数学分析期末考试题
一、叙述题：(每小题5分，共10分）
1、 叙述反常积分
a dx x f b
a
,)(⎰
为奇点收敛的cauchy 收敛原理
2、 二元函数),(y x f 在区域D 上的一致连续 二、计算题：（每小题8分，共40分） 1、)21
2111(
lim n
n n n +++++∞
→ 2、求摆线]2,0[)cos 1()
sin (π∈⎩
⎨⎧-=-=t t a y t t a x 与x 轴围成的面积
3、求⎰∞+∞-++dx x x cpv 211)
(
4、求幂级数∑∞
=-12
)1(n n
n x 的收敛半径和收敛域 5、),(y
x
xy f u =， 求y x u ∂∂∂2
三、讨论与验证题：（每小题10分，共30分）
1、y
x y x y x f +-=2
),(，求),(lim lim ),,(lim lim 0000y x f y x f x y y x →→→→；),(lim )0,0(),(y x f y x →是否存在？为
什么？
2、讨论反常积分
⎰
∞
+0
arctan dx x
x
p
的敛散性。 3、讨论∑∞
=-+1
33))1(2(n n
n
n n 的敛散性。 四、证明题：（每小题10分，共20分）
1、 设f （x ）在[a ,b ]连续，0)(≥x f 但不恒为0，证明0)(>⎰
b
a
dx x f
2、 设函数u 和v 可微，证明grad (uv )=ugradv +vgradu
参考答案
一、1、,0.0>∃>∀δε使得δδδ<<<∀210，成立
εδδ<⎰
--2
1
)(a a dx x f
2、设2R D ⊂为点集，m
R
D f →:为映射，,0.0>∃>∀δε使得
D x x x x ∈<-∀2,121,δ，成立ε<-)()(21x f x f
二、1、由于
x
+11
在[0，1]可积，由定积分的定义知（2分） )21
2111(
lim n
n n n +++++∞
→ =2ln 11)11211111(
1lim 10=+=+++++⎰∞→dx x n
n n n n n （6分）
2、 、所求的面积为：220
23)cos 1(a dx x a ππ
=-⎰
（8分）
3、 解：π=++=++⎰⎰-+∞→∞
+∞-A A A dx x x dx x x
cpv 2
211lim 11)
( (3分） 4、解：11
lim 2=∞
→n
n x
，r=1（4分） 由于x =0，x =2时，级数均收敛，所以收敛域为[0，2]（4分）
5、解： y u ∂∂=221y x f x f -（3分）3
22112212y
x
f xy f y f f y x u -++=∂∂∂（5分） 三、1、解、
0lim lim lim ,1lim lim lim 2
02000200==+-==+-→→→→→→y
y y x y x x x y x y x y x y x y x （5分）由于沿kx y =趋于（0，0）极限为k
+11
所以重极限不存在（5分） 2、解：⎰⎰⎰∞+∞++=1100arctan arctan arctan dx x x dx x x dx x x p p p （2分），对⎰10arctan dx x x
p
，由于
)0(1arctan 1+→→-x x x x p p 故p <2时⎰10arctan dx x x p 收敛（4分）；⎰∞+1arctan dx x x p
，由于)(2arctan +∞→→x x x x p p π
（4分）故p >1⎰∞+1arctan dx x
x p 收敛，综上所述1
23])1(2[lim
3<+=-++∞
→n
n n n n 所以级数收敛（10分）
四、证明题（每小题10分，共20分）
1、证明：由0)(≥x f 但不恒为0，至少有一点],[0b a x ∈ f （x ）在[a ,b ]连续（2分），存在
包含x 0的区间],[],[b a d c ⊂，有0)(>x f （4分），0)()(>≥⎰⎰
d
c
b
a
dx x f dx x f （4分）
2、证明：以二元函数为例
ugradv
vgradu v v u u u v u v u v v u v u u v v u u v v u uv grad y x y x y x y x y y x x +=+=+=++=),(),(),(),(),()(（10分）
