弹性力学习题集

弹性力学简明教程（第四版）课后习题解答徐芝纶第一章绪论【1-1】试举例说明什么是均匀的各向异性体，什么是非均匀的各向同性体？【分析】均匀的各项异形体就是满足均匀性假定，但不满足各向同性假定；非均匀的各向异性体，就是不满足均匀性假定，但满足各向同性假定。

【解答】均匀的各项异形体如：竹材，木材。

非均匀的各向同性体如：混凝土。

【1-2】一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体？一般的岩质地基和土质地基能否作为理想弹性体？【分析】能否作为理想弹性体，要判定能否满足四个假定：连续性，完全弹性，均匀性，各向同性假定。

【解答】一般的混凝土构件和土质地基可以作为理想弹性体；一般的钢筋混凝土构件和岩质地基不可以作为理想弹性体。

【1-3】五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么作用？【解答】（1）连续性假定：假定物体是连续的，也就是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。

引用这一假定后，物体的应力、形变和位移等物理量就可以看成是连续的。

因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。

完全弹性假定：假定物体是完全弹性的，即物体在对应形变的外力被去除后，能够完全恢复原型而无任何形变。

这一假定，还包含形变与引起形变的应力成正比的涵义，亦即两者之间是成线性关系的，即引用这一假定后，应力与形变服从胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程，其弹性常数不随应力或形变的大小而变。

均匀性假定：假定物体是均匀的，即整个物体是由同一材料组成的，引用这一假定后整个物体的所有各部分才具有相同的弹性，所研究物体的内部各质点的物理性质都是相同的，因而物体的弹性常数不随位置坐标而变化。

各向同性假定：假定物体是各向同性的，即物体的弹性在所有各个方向都相同，引用此假定后，物体的弹性常数不随方向而变。

小变形假定：假定位移和变形是微小的。

亦即，假定物体受力以后整个物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，而且应变和转角都远小于1。

《弹性力学》习题第一章：绪论第二章：平面问题的基本理论一、试导出求解平面应力问题的用应力分量表示的相容方程。

二、试叙述弹性力学两类平面问题的几何、受力、应力、应变特征，并指出这两类平面问题中弹性常数间的转换关系。

三、弹性力学问题按应力和位移求解，分别应满足什么方程？ 四、写出直角坐标下弹性力学平面问题的基本方程和边界条件？ 五、求解弹性力学问题时，为什么需要利用圣维南原理？ 六、试判断下列应变场是否为可能的应变场？（需写出判断过程） εx =C (x 2+y 2), εy =Cy 2, γxy =2Cxy 。

七、试写出应力边界条件：（a ）图用极坐标形式写出；（b ）图用直角坐标形式写出。

八、已知受力物体中某点的应力分量为：0,2,,,0,2x y z xy yz zx a a a a σσστττ======。

试求作用在过此点的平面31x y z ++=上的沿坐标轴方向的应力分量，以及该平面的正应力和切应力。

九、图示矩形截面悬臂梁，长为l ，高为h ，在左端面受力P 作用。

不计体力，试求梁的应力分量。

（应力函数取为3Axy Bxy ϕ=+）十、试用下面的应力函数求解如图所示挡水墙的应力分量。

已知挡水墙的密度为ρ，厚度为h ，水的密度为γ。

五、2、（10分）如图所示为处于平面应力状态下的细长薄板条，上下边界受P 力的作用，其余边界上均无面力作用。

试证明A 点处为零应力状态。

γgρgxyO2h2h 223333161066x y x Axy Bxy C x y D Exyϕ⎛⎫=-++++ ⎪⎝⎭A第三章：平面问题的直角坐标解答三、写出下列平面问题的定解条件1、（10分）楔型体双边受对称均布剪力q 。

2、（10分）楔形体在一面受有均布压力q 和楔顶受有一集中载荷P 的作用。

第四章：平面问题的极坐标解答yPq第五章：差分法及能量原理一、试叙述位移变分方程和最小势能原理，并指出它们与弹性力学基本方程的等价性？1、（10分）设有宽度为2a ,高度为b 的矩形薄板，左右两边及下边均被固定，而上边的位移给定为⎪⎪⎭⎫⎝⎛--==221,0a x v u η试设定出其用变分法求解时的位移分量的函数形式。

a. 下列材料中，属于各向同性材料。

A. 竹材；B. 纤维增强复合材料；C. 玻璃钢；D. 沥青。

b. 关于弹性力学的正确认识是。

A. 计算力学在工程结构设计的中作用日益重要；B. 弹性力学从微分单元体入手分析弹性体，因此与材料力学不同，不需要对问题作假设；C. 任何弹性变形材料都是弹性力学的研究对象；D. 弹性力学理论像材料力学一样，可以没有困难的应用于工程结构分析。

c. 弹性力学与材料力学的主要不同之处在于。

A. 任务；B. 研究对象；C. 研究方法；D. 基本假设。

d. 所谓“完全弹性体”是指。

A. 材料应力应变关系满足胡克定律；B. 材料的应力应变关系与加载时间历史无关；C. 本构关系为非线性弹性关系；D. 应力应变关系满足线性弹性关系。

a. 所谓“应力状态”是指。

A. 斜截面应力矢量与横截面应力矢量不同；B. 一点不同截面的应力随着截面方位变化而改变；C. 3个主应力作用平面相互垂直；D. 不同截面的应力不同，因此应力矢量是不可确定的。

2－2. 梯形横截面墙体完全置于水中，如图所示。

已知水的比重为 ，试写出墙体横截面边界AA'，AB，BB’的面力边界条件。

2－3. 作用均匀分布载荷q的矩形横截面简支梁，如图所示。

根据材料力学分析结果，该梁横截面的应力分量为试检验上述分析结果是否满足平衡微分方程和面力边界条件。

2－4. 单位厚度的楔形体，材料比重为γ，楔形体左侧作用比重为γ1的液体，如图所示。

试写出楔形体的边界条件。

2－5. 已知球体的半径为r，材料的密度为ρ1，球体在密度为ρ1（ρ1＞ρ1）的液体中漂浮，如图所示。

试写出球体的面力边界条件。

2－6. 矩形横截面悬臂梁作用线性分布载荷，如图所示。

试根据材料力学应力解答推导挤压应力σy的表达式。

3－1. 选择题a. 切应力互等定理根据条件成立。

A. 纯剪切；B. 任意应力状态；C. 三向应力状态；D. 平面应力状态；b. 应力不变量说明。

1－1. 选择题a. 下列材料中，D属于各向同性材料。

A. 竹材；B. 纤维增强复合材料；C. 玻璃钢；D. 沥青。

b. 关于弹性力学的正确认识是A。

A. 计算力学在工程结构设计的中作用日益重要；B. 弹性力学从微分单元体入手分析弹性体，因此与材料力学不同，不需要对问题作假设；C. 任何弹性变形材料都是弹性力学的研究对象；D. 弹性力学理论像材料力学一样，可以没有困难的应用于工程结构分析。

c. 弹性力学与材料力学的主要不同之处在于B。

A. 任务；B. 研究对象；C. 研究方法；D. 基本假设。

d. 所谓“完全弹性体”是指B。

A. 材料应力应变关系满足胡克定律；B. 材料的应力应变关系与加载时间历史无关；C. 本构关系为非线性弹性关系；D. 应力应变关系满足线性弹性关系。

2－1. 选择题a. 所谓“应力状态”是指B。

A. 斜截面应力矢量与横截面应力矢量不同；B. 一点不同截面的应力随着截面方位变化而改变；C. 3个主应力作用平面相互垂直；D. 不同截面的应力不同，因此应力矢量是不可确定的。

2－2. 梯形横截面墙体完全置于水中，如图所示。

已知水的比重为 ，试写出墙体横截面边界AA'，AB，BB’的面力边界条件。

2－3. 作用均匀分布载荷q的矩形横截面简支梁，如图所示。

根据材料力学分析结果，该梁横截面的应力分量为试检验上述分析结果是否满足平衡微分方程和面力边界条件。

2－4. 单位厚度的楔形体，材料比重为γ，楔形体左侧作用比重为γ1的液体，如图所示。

试写出楔形体的边界条件。

2－5. 已知球体的半径为r，材料的密度为ρ1，球体在密度为ρ1（ρ1＞ρ1）的液体中漂浮，如图所示。

试写出球体的面力边界条件。

2－6. 矩形横截面悬臂梁作用线性分布载荷，如图所示。

试根据材料力学应力解答推导挤压应力σy的表达式。

3－1. 选择题a. 切应力互等定理根据条件B 成立。

A. 纯剪切；B. 任意应力状态；C. 三向应力状态；D. 平面应力状态；b. 应力不变量说明D.。

1－1. 选择题a. 下列材料中，D属于各向同性材料。

A. 竹材；B. 纤维增强复合材料；C. 玻璃钢；D. 沥青。

b. 关于弹性力学的正确认识是A。

A. 计算力学在工程结构设计的中作用日益重要；B. 弹性力学从微分单元体入手分析弹性体，因此与材料力学不同，不需要对问题作假设；C. 任何弹性变形材料都是弹性力学的研究对象；D. 弹性力学理论像材料力学一样，可以没有困难的应用于工程结构分析。

c. 弹性力学与材料力学的主要不同之处在于B。

A. 任务；B. 研究对象；C. 研究方法；D. 基本假设。

d. 所谓“完全弹性体”是指B。

A. 材料应力应变关系满足胡克定律；B. 材料的应力应变关系与加载时间历史无关；C. 本构关系为非线性弹性关系；D. 应力应变关系满足线性弹性关系。

2－1. 选择题a. 所谓“应力状态”是指B。

A. 斜截面应力矢量与横截面应力矢量不同；B. 一点不同截面的应力随着截面方位变化而改变；C. 3个主应力作用平面相互垂直；D. 不同截面的应力不同，因此应力矢量是不可确定的。

2－2. 梯形横截面墙体完全置于水中，如图所示。

已知水的比重为 ，试写出墙体横截面边界AA'，AB，BB’的面力边界条件。

2－3. 作用均匀分布载荷q的矩形横截面简支梁，如图所示。

根据材料力学分析结果，该梁横截面的应力分量为试检验上述分析结果是否满足平衡微分方程和面力边界条件。

2－4. 单位厚度的楔形体，材料比重为γ，楔形体左侧作用比重为γ1的液体，如图所示。

试写出楔形体的边界条件。

2－5. 已知球体的半径为r，材料的密度为ρ1，球体在密度为ρ1（ρ1＞ρ1）的液体中漂浮，如图所示。

试写出球体的面力边界条件。

2－6. 矩形横截面悬臂梁作用线性分布载荷，如图所示。

试根据材料力学应力解答推导挤压应力σy的表达式。

3－1. 选择题a. 切应力互等定理根据条件B 成立。

A. 纯剪切；B. 任意应力状态；C. 三向应力状态；D. 平面应力状态；b. 应力不变量说明D.。

填空题1、有一平面应力状态，其应力分量为：MPa x 12=σ，MPa y 10=σ，MPa xy 6=τ及一主应力MPa 08.171=σ，则另一主应力等于 ，最大剪应力等于 。

2、设有周边为任意形状的薄板，其表面自由并与Oxy 做表面平行。

若已知各点的位移分量为：x E p u μ--=1，y Ep v μ--=1，则板内的应力分量为 。

3、已知一平面应变问题内某一点的正应力分量为：MPa x 35=σ，MPa y 25=σ，3.0=μ，则=z σ 。

4、将平面应力问题下物理方程中的E 、μ分别换成 和 就可得到平面应变问题下相应的物理方程。

5、已知某弹性体应力分量为：qxy x =σ，0=y σ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=224y h C xyτ（不计体力），系数C = 。

6、应力函数2ax =ϕ（0>a ）能解决矩形板 的问题；bxy =ϕ能解决矩形板 的问题；)0(2>=c cy ϕ能解决矩形板 的问题；3dy =ϕ能解决矩形梁 的问题。

7、要使应力函数y dx cxy by ax y x 3333),(+++=ϕ能满足相容方程，对系数a ,b ,c ,d 的取值要求是 。

计算题1、设某点的应力矩阵（在X Y Z 坐标系中）为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=a a a a 10000300400200][σ试求作用在过此点且平行于0622=-++z y x 的面上的应力：总应力N S ，正应力N σ，剪应力N τ。

2、悬臂梁受力如右图所示，其应力分量表达式为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++--=2222222arctan arctan y x y A B y x xy x y A C y x xy x y A xy y x τσσ试根据应力边界条件确定其中的待定常数3、如下图所示为矩形截面水坝，其右侧受静水压力，顶部受集中力作用，试写出水坝的应力边界条件4、试写出下图所示三角形悬臂梁的应力边界条件。

习 题2-1 如果某一问题中，0z zx xy σττ===，只存在平面应力分量x σ，y σ，xy τ，且它们不沿z 方向变化，仅为x ，y 的函数，试考虑此问题是否就是平面应力 问题？(是)2-2 如果某一问题中，0z zx zy εγγ===，只存在平面应变分量x ε ，y ε，xy γ，且它们不沿z 方向变化，仅为x ，y 的函数，试考虑此问题是否就是平面应变问题？(是)2-3 试分析说明，在不受任何面力作用的空间体表面附近的薄层中，图2-11，其应力状态接近于平面应力的情况。

(自由表面薄层中：000z yz xzx y xy σττσστ=≠近于平面应力问题)2-4 试分析说明，在板面上处处受法向约束且不受切向面力作用的等厚度薄板中，图2-12，当板边上只受x ，y 向的面力或约束，且不沿厚度变化时，其应变状态近于平面应变的情况。

(000z yz yz xz yz εττγγ===∴==只有0x y xy εεγ≠接近平面应变问题)2-5 在图2-3的微分体中，若将对形心的力矩平衡条件0C M =∑，改为对角点的力矩平衡条件，试问将导出什么形式的方程？(xy yx ττ=)3-1 试考察应力函数3ay Φ=在图3-8所求的矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不计）。

3-2 取满足相容方程的应力函数为：（1）2ax y Φ=，（2）2bxy Φ=，（3）2cxy Φ=，试求出应力分量（不计体力），画出图3-9所示弹性体边界上的面力分布，并在次要边界上表示出面力的主矢量和主矩。

3-3 试考察应力函数223(34)2Fxy h y hΦ=-能满足相容方程，并求出应力分量（不计体力），画出图3-9所示矩形体边界上的面力分布（在次要边界上画出面力的主矢量和主矩），指出该应力函数所能解决的问题。

3-4 试证2323334312410qx y y qy y y h h h h ⎛⎫⎛⎫Φ=-+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭能满足相容方程，并考察它在图3-9所示矩形板和坐标系中能解决什么问题（设矩形板的长度为l ，深度为h ，体力不计）。