《弹性力学》第六章 温度应力问题的基本解法

几何方程仍然为：
u v v u x , y , xy x y x y
将几何方程代入物理方程，得用位移分量和变温T 表示的应 力分量
E u v E T x （ ） 1 2 x y 1 E v u E T （ ） y 2 1 y x 1 E v u xy （ ） （1 ） x y 2
当弹性体的温度变化时，其体积将趋于膨胀和收缩，若 外部的约束或内部的变形协调要求而使膨胀或收缩不能自由 发生时，结构中就会出现附加的应力。这种因温度变化而引 起的应力称为热应力，或温度应力。 忽略变温对材料性能的影响，为了求得温度应力，需要 进行两方面的计算：（1）由问题的初始条件、边界条件， 按热传导方程求解弹性体的温度场，而前后两个温度场之差 就是弹性体的变温。（2）按热弹性力学的基本方程求解弹 性体的温度应力。本章将对这两方面的计算进行简单的介绍。
代替了面力分量X 及 Y 。
对于温度应力的平面应变问题，只须将温度应力的平面 应力问题的
E换成 E 1 2
换成

1
换成（ ） 1
则得到在平面应变条件下的相应方程。
§6-5
位移势函数的引用
由上一节知：在平面应力的情况下按位移求解温度应力 问题时，须使位移分量u 和v 满足微分方程：
根据热量平衡原理得：
c T dxdydzdt 2Tdxdydzdt Wdxdydzdt x
T 2 W T t c c
化简后得： 记 则
a
c
T W 2 a T t c
这就是热传导微分方程。
§6-3
温度场的边值条件
为了能够求解热传导微分方程，从而求得温度场，必须已知物体在 初瞬时的温度，即所谓初始条件；同时还必须已知初瞬时以后物体表面 与周围介质之间热交换的规律，即所谓边界条件。初始条件和边界条件 合称为初值条件。
第六章 温度应力问题的基本解法
§6-1 §6-2 §6-3 §6-4 §6-5 §6-6 温度场和热传导的基本概念 热传导微分方程 温度场的边界条件 按位移求解温度应力的平面问题 位移势函数的引用 轴对称温度场平面热应力问题
§6-1 温度场和热传导的基本概念
1.温度场：在任一瞬时，弹性体内所有各点的温度值的总体。用T表示。
1
代入位移分量和变温T表示的应力分量表达式
E u v ET ( ) 1 2 x y 1 E v u ET y ( ) 1 2 y x 1 E v u xy ( ) 2(1 ) x y
x
( 初始条件： T ) t 0
f ( x, y, z )
边界条件分四种形式：
第一类边界条件 已知物体表面上任意一点在所有瞬时的温度，即
Ts f (t ) (qn ) s f (t )
向。
其中Ts 是物体表面温度。 其中角码 s 表示“表面”，角码n 表示法
第二类边界条件 已知物体表面上任意一点的法向热流密度，即
t
t
在同一段时间dt内，由六面体左面传入热量qxdydzdt， 由右面传出热量 (qx qx dx)dydzdt 。因此，传入的净热量为
x

将 q x
T 代入可见： x
qx dxdydzdt x
2T 2 dxdydzdt x
由左右两面传入的净热量为： 由上下两面传入的净热量为： 由前后两面传入的净热量为：
第三类边界条件 已知物体边界上任意一点在所有瞬时 的运流（对流）放热情况。按照热量的运流定理，在单位时 间内从物体表面传向周围介质的热流密度，是和两者的温差 成正比的，即
(qn ) s (Ts Te )
其中Te是周围介质的温度； 称为运流放热系数，或简称热 系数。 第四类边界条件 式进行热交换。即 已知两物体完全接触，并以热传导方
（2）
这是按位移求解温度应力平面应力问题的应力边界条件。 位移边界条件仍然为：
u s u，vs v
将式(1)、(2)与第二章§2-8中式(1)、(2)对比，可见

E T E T 及 1 x 1 y
代替了体力分量 X 及 Y ，而： ET ET l 及m 1 1
x
T+2△T T T+△T T-△T
o
3.温度梯度：沿等温面的法线方向，指向温度增大方向的矢 T 量。用△T表示，其大小用 n 表示。其中n为等温面的法线方 向。温度梯度在各坐标轴的分量为
T T COS（n ，x） x n T T COS（n ，y） y n T T COS（n ， z） z n
q △T
(3)
称为导热系数。由（1）、（2）、（3）式得

dQ T / S dt n
可见，导热系数表示“在单位温度梯度下通过等温面单位面积 的热流速度”。 由（1）和（3）可见，热流密度的大小
q T n
热流密度在坐标轴上的投影
q x qy qz T x T y T z
将上式代入不计体力的平衡微分方程
yx x 0 y x y xv 0 y x
简化得：
2u 1 2u 1 2 v T 1 ） （ 0 2 2 x 2 y 2 xy x v 1 v 1 u T 1 ） （ 0 2 2 y 2 x 2 xy y
可见：热流密度在任一方向的分量，等于导热系数乘以 温度在该方向的递减率。
§6-2 热传导微分方程
热量平衡原理：在任意一段时间内，物体的任一微小部 分所积蓄的热量，等于传入该微小部分的热量加上内部热源 所供给的热量。 y
qx
qx
q x dx x
z
x
取图示微小六面体dxdydz。假定该六面体的温度在dt时 间内由T 升高到T T dt 。由温度所积蓄的热量是 CdxdydzT dt ， 其中 是物体的密度，C 是单位质量的物体升高一度时所需 的热量——比热容。
但是，由于弹性体所受的外在约束以及体内各部分之间的相互约束，上 述形变并不能自由发生，于是就产生了应力，即所谓温度应力。这个温度应 力又将由于物体的弹性而引起附加的形变，如虎克定理所示。因此，弹性体 总的形变分量是：
1 [ x ( y z )] T E 1 y [ y ( z x )] T E 1 z [ z ( x y )] T E
2 2 2
（1）
这就是按位移求解温度应力平面应力问题的微分方程。 同理，将应力分量代入无面力的应力边界条件
l（ x） m（ yx） 0 s s m（ y） l（ xy） 0 s s
简化后得：
v 1 u v u l（ ） m （ ） l（1 ）T s s x y 2 y x m（ v u ） l 1 v u ） m（1 ）T （ s s y x 2 x y
可得相应位移特解的应力分量是： E 2 x ' 1 y 2 E 2 y ' 1 x 2 E 2 xy 1 xy
设 u" ， v" 为位移的补充解，则 u" ， v" 需满足齐次微 分方程： 2u" 1 2u" 1 2v" 0 2 2 2 y 2 xy x 2 v" 1 2v" 1 2u" 0 2 2 y 2 x 2 xy 相应于位移补充解的应力分量为（注意不计变温，即T=0）：
取 n0 为等温面法线方向且指向增温方向的单位矢量，则有
△T n0
T n
（1）
4.热流速度：在单位时间内通过等温面面积S 表示。
dQ 的热量。用 dt
热流密度：通过等温面单位面积的热流速度。用 q 表示， 则有
q n0 dQ /S dt
(2)
其大小为
q dQ /S dt
5.热传导基本定理：热流密度与温度梯度成正比而方向相反。 即
2u 1 2 2 x 2 v 1 y 2 2 2u 1 2 v T 1 ） （ 0 2 y 2 xy x 2 v 1 2u T 1 ） （ 0 2 x 2 xy y
Ts Te
§6-4
按位移求解温度应力的平面问题
设弹性体内各点的温变为T。对于各向同性体，若不受约束，则弹性体 内各点的微小长度，都将产生正应变 T （ 是弹性体的膨胀系数），这样， 弹性体内各点的形变分量为
x y z T , yz zx xy 0
2 1 ） （ x 2 1 ） （ y T x T y
由于 和 都是常量，所以取： 2 1 ）T （ 时， x，y）满足微分方程。因此 u ' ， v ' 可以作为微分方程 （ , v' 的一组特解。将u ' 以及 T 1 2 x y
2T dydzdxdt 2 y 2T dzdxdydt z 2
2T 2T 2T 因此，传入六面体的总净热量为： ( x 2 y 2 z 2 )dxdydzdt
简记为：
2Tdxdydzdt
假定物体内部有正热源供热，在单位时间、单位体积供 热为W，则该热源在时间dt内所供热量为Wdxdydzdt。
x
这就是平面应力问题热弹性力学的物理方程。
将应力分量用形变分量和变温T表示的物理方程为：
E E T ( x y ) 1 2 1 E E T y ( y x ) 2 1 1 E xy xy 2(1 )
x
并在边界上满足位移边界条件和应力边界条件。实际求解时， 宜分两步进行：（1）求出上述微分的任意一组特解，它只需 满足微分方程，而不一定要满足边界条件。（2）不计变温T， 求出微分方程的一组补充解，使它和特解叠加以后，能满足 边界条件。
引用一个函数 （x，y） ，将位移特解取为： ' ' u ,v x y 函数 称为位移势函数。以 u 和 v 分别作为u和v代入微分 方程，简化后得：
E u" x " 1 2 ( x E v" ( y " 2 1 y E v" xy " ( 2(1 ) x v" ) y u" ) x u" ) y
不稳定温度场或非定常温度场：温度场的温度随时间而变化。
即
T=T（x，y，z，t）
稳定温度场或定常温度场：温度场的温度只是位置坐标的函数。
即 T=T（x，y，z）
平面温度场：温度场的温度只随平面内的两个位置坐标而变。
y
即Hale Waihona Puke Baidu
T=T（x，y，t）
2.等温面：在任一瞬时，连接温度场 内温度相同各点的曲面。显然，沿着 等温面，温度不变；沿着等温面的法 线方向，温度的变化率最大。
x
yz zx xy
2(1 ) yz E 2(1 ) zx E 2(1 ) xy E
对于平面应力的变温问题，上式简化为
1 [ x y ] T E 1 y [ y x ] T E 2(1 ) xy xy E