20170802-电压型控制等效功率级的小信号传递函数

图1： 峰值电流控制开关稳压电源的基本结构框图用图1所示峰值电流型控制开关电源的基本结构框图，可得它的等效功率级如图2（a ）所（a ）等效功率级 （b ）PWM 调制器及波形图2： 峰值电流型控制的等效功率级及其PWM 调制器由占空比的波形，可获得下列调制器的动态方程：2)()()()()(s f s e c L i T t d t s T t d S t v t i R ×′×+×−=× （1）其中：i R 为取样电阻)(t i L 为电感电流的开关周期平均值 )(t v c 为控制电压)(t d 为控制占控比 e S 为外部斜波的斜率)(t s f 为电感电流取样信号的下降斜率 )(t s n 为电感电流取样信号的上升斜率 )(1)(t d t d −=′ s T 为开关周期将上述调制器动态方程中的动态变量，用稳态工作点+小扰动这种动态变量，即：)(ˆ)(t i I t i L L L += )(ˆ)(t dD t d += )(ˆ)(t s S t s f f f += )(ˆ)(t vV t v c c c += 和)(ˆ)(t dD t d −′=′ 代入，并忽略小信号的乘积项，可得下面的稳态调制器方程和小信号调制器方程：2s f s e c L i T D S DT S V I R ×′×+×−=× （2）2])(ˆ)(ˆ[)(ˆ)(ˆ)(ˆs f f s e c L i T D t s t d S T t d S t v t iR ×′×+×−+×−=× （3） 对（3）的小信号调制器方程进行一定的处理，便可得调制器的小信号关系。

其中R.Ridely 在处理时，引入了采样函数，并将最终的调制器小信号方程写成了下面的关系：]ˆˆ)(ˆ)(ˆ[)(ˆg f o r L e i c m v k v k s i s H R v F s d×+×+××−= （4） 其中：s n c m T S m F 1=，ne c S S m +=1n S 为电感电流取样信号的稳态上升斜率221)(n n n e s Q s s H ω++=，是R.Ridely 引入的采样函数s n πω=或2s n f f =，π2−=n Qr k 和f k 是与拓扑结构有关的系数，r k 是正数、f k 是负数。

图1： 平均电流控制的等效功率级及其PWM 调制器平均电流控制开关电源的等效功率级如图1所示，它将电感电流取样信号与控制电压组成一 个误差放大器，这个放大器的输出再与外部固定斜波比较，来产生控制占空比。

其占空比的 产生与电压型控制类似，只是PWM 调制器的同相端信号从)(t v c 变成了)(t v i 。

Ts外部斜波Se 驱动器div mF mV图2： 平均电流控制的PWM 调制器波形调制器的波形如图2所示。

从图2可知，控制占空比为：)()(t v F V v T t t d i m mcs ON ×===， 同电压型控制，其mm V F 1=是常数。

所以输出（占空比d ）和输入（电压i v ）的小信号关系为：i m v F dˆˆ×=。

另外从图2的电流环误差放大器可知，L i i c i i i R G v G v ˆˆ)1(ˆ−+=，所以占空比的小信号为：]ˆˆ)1[(ˆL i i c i m i R G v G F d−+=，其中)()()(12s Z s Z s G i i i =为电流环补偿器的传递函数，须在设计电压环补偿器之前就已经设计好。

如0)(=s G i ，即0)(2=s Z i ，则c m v F dˆˆ×=，其结果就是电压型控制。

所以电压型控制可以看成是平均电流型控制在电流补偿器传递函数为零（将放大器接成跟随器）时的特例。

为了改善电压型控制的动态特性，可通过选择平均电流型控制中的电流环补偿器传递函数)(s G i 来实现，从占空比的小信号方程：]ˆˆ)1[(ˆL i i c i m i R G v G F d−+=可以看出，在)(s G i 为一个复杂的传递函数时，占空比与控制电压和电感电流之间不再是线性关系，而是一个复杂的非线性关系。

把这个小信号方程与实际功率级的传递函数方块图结合后，可以得到平均电流控制的等效功率级传递函数方块图，如图3所示。

等效功率级的一般小信号等效电路普高（杭州）科技开发有限公司 张兴柱 博士等效功率级的一般小信号等效电路 )(ˆ)()(ˆ)()(ˆ)()(ˆs i s Z s v s G s v s G s vo out g vg c vc o ×′−×′+×′= （1） )(ˆ)()(ˆ)()(ˆ)()(ˆ)()()(s i s G s v s G s v s G s io g ii g g ig c g ic g ×′+×′+×′= （2）图1： 等效功率级的一般小信号等效电路如将等效功率级在稳态工作点上的小信号方程（1）、（2）用一个电路来等效的话，就可以得到该等效功率级的一般小信号等效电路，如图1所示。

小信号等效电路中，有三个输入，分别为g vˆ、o i ˆ和c v ˆ，两个输出，分别为：o v ˆ和g i ˆ。

这个等效电路与前面介绍过的实际功率级的等效电路非常类似，区别是控制输入从dˆ改为c v ˆ；输出部分的受控电压源从)(ˆ)(s ds G vd ×、)(ˆ)(s v s G g vg ×分别改为)(ˆ)(s v s G c vc ×′、)(ˆ)(s v s G g vg ×′，输出阻抗从)(s Z out 改为)(s Z out ′；输入部分的受控电流源从)(ˆ)()(s ds G g id ×、)(ˆ)()(s v s G g g ig ×分别改为)(ˆ)()(s vs G c g ic ×′、)(ˆ)()(s v s G g g ig ×′，输入阻抗从)(s Z in 改为)(s Z in ′。

不同的控制，其在图1上所反映的差别就是这些小信号等效参数（或等效功率级的小信号传递函数）的不同。

与实际功率级相同，等效功率级的小信号传递函数首先必须是稳定的，即不能因为内环的闭合，导致等效功率级的不稳定。

Buckboost 变换器在电阻负载下的小信号传递函数普高（杭州）科技开发有限公司 张兴柱 博士用等效电源平均法，可获得Buckboost 变换器在电阻负载和CCM 下的两个等效子电路，分别如图1(b)和图1(c)所示。

其中图1（b ）为稳态等效子电路，图1（c ）为小信号等效子电路。

)(t v g )(tgV(ˆs vg )(ˆ][s dV V g o +)(ˆs oL图1： Buckboost 变换器和它的等效平均电路模型用图1（b ）的稳态等效子电路，可以求出Buckboost 变换器在电阻负载和CCM 下的稳态关系。

因R R L <<，故在稳态关系中，可将其忽略。

求得的稳态关系为：Buckboost 变换器在稳态工作点上的小信号传递函数：222111)(o o zc a g vd s Q s s s D V s G ωωωω+++−′=）（）（，2211)(o o zc vg s Q s s D Ds Gωωω+++′= 2221)1)(1()(oo zc zL L out s Q s s s D R s Z ωωωω++++′=)1()1()(1)(2222)(zp o o g ig in s s Q s D R D s G s Z ωωω+++′== 221311)1)(o o zp g id s Q s s R D V D s G ωωω+++′+=（，22211)(oo zpig s Q s s R D D s G ωωω+++′=22111)(o o zcii s Q s s D s G ωωω+++′=其中：D D −=′1，LC D o ′=ω，])([122C D R R R D L Q L c o ′++′=ω，DL R D a 2′=ω L R L zL =ω，C R C zc 1=ω，RC zp 1=ω，RCD zp +=11ω有两个小信号传递函数，即)()(s G g id ，)()(s G g ii 没有给出，有兴趣的读者，可以作为作业自己去推导。

功率级小信号传递函数的物理意义与测量（一）普高（杭州）科技开发有限公司 张兴柱 博士小信号电压音频隔离度的物理意义与测量：图1： 功率变换器的一般小信号等效电路)0ˆ,0ˆ(ˆˆ)(===d ig o vg oL vv s G （3）从这个定义，可以看出，)(s G vg 是一种小信号增益，其物理概念为：对应于功率变换器的某一稳态工作点[g V ，oL I ，D ，o V ]，在保持负载和占空比不变时，当输入电压被小信号扰动后，所获得的输出电压小信号扰动与输入电压小信号扰动之比。

扰动后的工作点变成一个准稳态工作点[g g vV ˆ+，oL I ，D ，o o v V ˆ+]。

当输入电压的小信号扰动采用单一频率的扰动，且其扰动频率小于1/2开关频率时，在输出电压上的扰动也可看成是同频的小信号扰动，这两个小信号扰动在频域上的比值，即)(s G vg 与小信号扰动的频率有关，)(s G vg 幅度的大小，反映了功率变换器的输出电压抗输入电压小扰动的抑制能力，因而也将)(s G vg 称为功率变换器的电压音频抗扰度，国内则叫作电压音频隔离度。

图2： 电压音频隔离度的电路表示电压音频隔离度)(s G vg 的电路表示，如图2所示。

在AC-DC 开关电源中，后级DC-DC 功率变换器的输入电压可以看成是一个DC 分量加上一个100Hz 的AC 分量，因为100Hz AC 分量的幅度远小于直流分量，所以可将它看成是输入电压上的一个小信号扰动，这个扰动在输出电压上也会产生相应频率的扰动，即开关电源的输出低频纹波。

如不加反馈控制电路，则该扰动在输出电压上得到的扰动幅度就只由上图功率级的小信号传递函数)(s G vg 在100Hz 处的幅度决定，其幅度一般很大。

这可从下面例子（正激变换器）中的)(s G vg Bode 图来分析。

20图3： 例子的电压音频隔离度Bode 图图3是正激变换器在CCM 下的)(s G vg Bode 图幅频特性。

电力系统中的小信号稳定性分析与控制研究电力系统是现代工业的重要基础设施之一，它的稳定运行对于经济发展和人民生活都具有重要作用。

然而，由于电力系统的复杂性和不确定性，它经常会受到各种小信号的干扰，从而导致系统性能的下降。

因此，对电力系统的小信号稳定性进行研究和控制变得非常重要。

一、电力系统中的小信号概念我们所说的小信号是指电力系统在稳定工作状态下，所受到的微小扰动。

它们可能来自于负载的变化，天气变化或其他因素。

尽管这些信号很小，但它们可以通过系统反馈机制逐渐增大，进而引发系统动态响应的变化。

二、小信号稳定性分析方法小信号稳定性分析是通过线性化模型来研究系统的动态响应特性。

这种方法可以将非线性复杂的电力系统简化成一个线性的模型，从而更容易分析系统的特性和行为。

利用小信号分析，我们可以计算得到系统各个节点的传递函数和状态空间方程，进而对系统进行分析。

三、小信号稳定性控制方法要控制电力系统中的小信号，可以采取一系列控制策略。

一种常用的策略是采用领先型控制，通过加入相位补偿器的方式提高系统的相位裕度和稳定裕度。

另外，也可以采用反馈控制方式，通过对系统状态进行反馈，实时调节控制参数，从而控制小信号的影响。

还可以采用模型预测控制，通过预测未来时刻系统状态的变化，动态调整控制参数，从而使系统保持稳定。

四、小结电力系统中的小信号稳定性分析和控制是一个复杂的研究领域。

如何对系统进行合理的建模，选择合适的分析方法，并采取科学的控制策略，都需要深入研究和实践。

未来，随着电力系统的不断发展和升级，电力系统中的小信号稳定性研究也将更加重要和有意义。

峰值电流型控制Boost 等效功率级的小信号传递函数
普高（杭州）科技开发有限公司 张兴柱 博士
Boost 变换器在峰值电流型控制下的等效功率级小信号传递函数（CCM ）： )
1)(1()1()1()(220n n p p zc a vc vc s Q s s s s G s G ωωωωω++++−′≈′ )1)(1()1)(1()(220
n n p p zc a vg vg s Q s s s s G s G ωωωωω++++′+′≈′ )
1()1()(0p zc out s s R s Z ωω++′≈′ 其中：10F D R R G i vc ′=′，120F F L RT G s vg =′，1
0F R R =′ 11F RC p =ω，L R D a 2′=ω，)5.0(1−′=D m Q c p π，C R c zc 1=ω，s
n T πω= a a D F ωω×′=′22，)]5.0(21[231−′+=c s m D L RT F ，]5.0[22−′+′′=D m RT D L D F c s
n e c S S m +=1，i g n R L
V S ×=
Boost 的峰值电流控制等效功率级小信号传递函数，与Buck 的差别是在控制电压到输出电压这个小信号传递函数中增加了一个右半平面零点，其它的特性很类似，但由于其极点数少了一阶，所以相比于电压型控制而言，它的补偿电路也是比较容易设计的。

1。

看看确实推导过程都没写，不过确实因为推导太复杂了，要整理成word真不容易，开个手稿版的，其实都是按照张卫平那本书中的方法和步骤推导的，不过那本书中只对buck拓扑进行了推导，所以我真的没有抄哦。

由上面的两个式子就可以推导出Gvd(s)和Gid(s)，过程就略过了，直接给出结果：而Gvg(s)和Gig(s)的推导则令交流小信号等效电路中d(s)微变量为零，即涉及到的电压源短路，电流源开路，同样根据变压器两边电压电流的关系可列出两个式子基本上，CCM模式的boost主回路Gvd(s)均可以套用这个公式，大家可以结合自己接触过的项目用mathcad绘制这个函数的波特图，对于主回路的传递函数其实有四个式子，这个当然是最关键的，因为是占空比到输出电压的传递函数，关于这个函数主要注意点是：品质因数Qc、ESR造成的零点和右半平面零点，明天再做具体分析。

最后一张图②中的交流小信号等效电路，那个方法不懂，麻烦楼主再讲一下为什么d'(t) < Vo(t) >Ts就分离为那四部分了？我也是按照那个书上《开关变换器的建模与控制》的方法来推导的，我的理解是那种分离方法是针对小信号扰动进行，其实就相当于用d'(t) < Vo(t) >Ts对t求导数，<Vo(t)>Ts指的是开关周期内输出电压的平均值，自然就是Vo了，d`(t)在开关周期内的平均值自然就是D`，该式对时间求一阶导数的话就是那四个分式啦不晓得有没有解释清楚其实你可以看看那本书，我推传递函数的方法和步骤基本都是按照那本书的方法进行的d'(t)<Vo(t)>Ts不就是d(t)<Vo(t)>Ts对时间t 求导了么？，还是说这里的d' 表示的和D‘差不多的意思？其实应该是(1-d(t))<Vo(t)>Ts对时间求导，所以式子中有很多匪夷所思的负号那个d(t)<vo(t)>Ts是平均分量表达式，然后把平均分量分解成直流分量与交流小信号分量之和。

功率级小信号传递函数的物理意义与测量（二）普高（杭州）科技开发有限公司 张兴柱 博士小信号输出阻抗的物理意义与测量：图1： 功率变换器的一般小信号等效电路)0ˆ,0ˆ(ˆˆ)(==−=d voL o out g iv s Z （3）从这个定义，可以看出，)(s Z out 是一种小信号阻抗，其物理概念为：对应于功率变换器的某一稳态工作点[g V ，oL I ，D ，o V ]，在保持输入电压和占空比不变时，当负载电流被小信号扰动后，所获得的输出电压小信号扰动与输入电压小信号扰动之比的负数。

扰动后的工作点变成一个准稳态工作点[g V ，oL oL iI ˆ+，D ，o o v V ˆ+]。

当负载电流的小信号扰动采用单一频率的扰动，且其扰动频率小于1/2开关频率时，在输出电压上的扰动也可看成是同频的小信号扰动，由于负载电流的增加会导致输出电压的减小，所以这两个扰动的方向是相反的，因次我们定义这两个小信号扰动在频域上的比值，再乘一个负号，来表示)(s Z out 。

其大小和相位与负载电流的小信号扰动频率有关。

)(s Z out 幅度的大小，反映了功率变换器输出电压抗负载小扰动的抑制能力，因而也将)(s Z out 称为功率变换器的小信号输出阻抗，或简称功率变换器的输出阻抗。

图2： 输出阻抗的电路表示输出阻抗)(s Z out 的电路表示，如图2所示。

在直流开关电源中，功率变换器的输出负载，在多数情况下，均可以看成是一个DC 分量加上一个小的AC 分量，这个小的AC 分量，可以看成是一种负载的小信号扰动，这个扰动在输出电压上也会产生相应的扰动，与输入电压的2倍网频扰动不同的是，这个小信号负载扰动的频率不是固定的，且其波形也不是单一频率的简单波形。

极端的例子是负载的突变，当突变的幅度不大时，用付立叶变换，可将其展开为频率从零频直到无限的正弦波之和，每个频率的幅度可用付立叶变换公式求得，且随着频率的提高而衰减。

Buck 变换器在电阻负载下的小信号传递函数普高（杭州）科技开发有限公司 张兴柱 博士用等效电源平均法，可获得Buck 变换器在电阻负载和CCM 下的两个等效子电路，分别如图1(b)和图1(c)所示。

其中图1（b ）为稳态等效子电路，图1（c ）为小信号等效子电路。

)(t oL (t v ggV(ˆs vg )(s oL (c)图1： Buck 变换器和它的等效平均电路模型用图1（b ）的稳态等效子电路，可以求出Buck 变换器在电阻负载和CCM 下的稳态关系。

因R R L <<，故在稳态关系中，可将其忽略。

求得的稳态关系为：稳态关系g o MV V =oL L I I = oL g MI I = D M =用图1（c ）的小信号等效子电路及下面的求解技巧，可以求出Buck 变换器在稳态工作点上的小信号传递函数，具体的求解过程如下：（A ）：只有占空比扰动时的三个小信号传递函数)(s G vd ，)()(s G g id ，)(s G id 求解： 从方程：)(ˆ)()(ˆ)()(ˆ)()(ˆs i s Z s v s G s d s G s voL out g vg vd o ×−×+×= )(ˆ)()(ˆ)()(ˆ)()(ˆ)()()(s i s G s v s G s d s G s ioL g ii g g ig g id g ×+×+×= )(ˆ)()(ˆ)()(ˆ)()(ˆs i s G s v s G s d s G s ioL ii g ig id L ×+×+×= 我们有：0ˆ,0ˆ)(ˆ)(ˆ)(===oL g o vd i vs ds vs G 0ˆ,0ˆ)(ˆ)(ˆ)()(===oL g g g id i vs ds is G 0ˆ,0ˆ)(ˆ)(ˆ)(===oL g d id i vs ds is G图2： Buck 变换器只有占空比扰动时的小信号等效电路所以图1（c ）的小信号等效电路可简化为图2所示。