-传递函数

传递函数的推导一、引言在探索传递函数的推导之前，让我们先明确一下什么是传递函数。

传递函数是用来描述输入和输出之间关系的数学表达式，它可以帮助我们理解信号在系统中的传输过程。

本文将以人类的视角，通过简单的例子来推导传递函数的方法，以增强读者的理解。

二、例子引入假设我们有一个简单的系统，输入信号为一个正弦波，输出信号为经过系统处理后的波形。

我们的目标是找到输入和输出之间的数学关系，也就是传递函数。

三、推导过程我们首先假设输入信号为x(t)，输出信号为y(t)。

根据系统的特性，我们可以得到如下的微分方程表达式：dy(t)/dt + a*y(t) = b*x(t) （1）其中，a和b是常数，表示系统的参数。

为了求解传递函数，我们需要对方程（1）进行变换。

我们对方程（1）两边同时进行拉普拉斯变换，得到：s*Y(s) + a*Y(s) = b*X(s) （2）其中，s是拉普拉斯变量，X(s)和Y(s)是X(t)和Y(t)的拉普拉斯变换。

接下来，我们将方程（2）重排，得到传递函数H(s)的表达式：H(s) = Y(s)/X(s) = b/(s + a) （3）至此，我们推导出了传递函数H(s)的表达式，它描述了输入信号和输出信号之间的关系。

在频域上，传递函数H(s)表示了系统对不同频率信号的传输特性。

四、总结通过以上推导过程，我们得到了传递函数的表达式。

传递函数是一种重要的工具，它可以帮助我们分析和设计各种信号处理系统。

通过理解传递函数的推导方法，我们可以更好地理解信号在系统中的传输过程，从而更好地应用于实际工程中。

以上就是传递函数的推导过程，希望本文能够帮助读者理解传递函数的概念和推导方法。

传递函数的推导是一个重要的数学工具，它在信号处理和系统控制等领域有着广泛的应用。

通过深入研究和应用传递函数，我们可以更好地理解和掌握信号处理和系统控制的原理和方法。

希望读者能够通过本文对传递函数有更深入的认识，并在实际工作中灵活运用。

第六章 传递函数对于线性定常系统，传递函数是常用的一种数学模型，它是在拉氏变换的基础上建立的。

用传递函数描述系统可以免去求解微分方程的麻烦，间接地分析系统结构及参数与系统性能的关系，并且可以根据传递函数在复平面上的形状直接判断系统的动态性能，找出改善系统品质的方法。

因此，传递函数是经典控制理论的基础，是一个极其重要的基本概念。

第一节 传递函数的定义一、传递函数的定义1、定义对于线性定常系统，在零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉()()C s R s ==零初始条件输出信号的拉氏变换传递函数输入信号的拉氏变换2、推导设线性定常系统的微分方程的一般形式为1011110111()()()()()()()()n n n n nn m m m m mm d d d a c t a c t a c t a c t dtdtdtd d d b r t b r t b r t b r t dtdtdt------++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++◆ 式中c(t)是系统输出量，r(t)是系统输入量，r(t)、c(t)及其各阶导数在t=0时的值均为零，即零初始条件。

◆a ， 1a ，…，na 及b ， 1b ，…，mb 均为系统结构参数所决定的实常数。

对上式中各项分别求拉氏变换，并令C(s)＝L[c(t)]，R(s)=L[r(t)]，可得s 的代数方程为：11011011[]()[]()nn mm n n m m a s a sa s a C sb sb sb s b R s ----++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++于是，由定义得到系统的传递函数为：10111011()()()()()m m m m nn n nb s b sb s b C s M s G s R s a s a sa s a N s ----++⋅⋅⋅++===++⋅⋅⋅++其中，1011()m m m m M s b s b s b s b --=++⋅⋅⋅++ 1011()n n n n N s a s a s a s a --=++⋅⋅⋅++ N(s)=0称为系统的特征方程，其根称为系统特征根。

传递函数名词解释传递函数是反映一个系统输入，输出及扰动对系统影响程度的一个数字或者字母表达式。

它可以描述一个系统的输入输出特性和系统在该特性下运行的性能。

使用频谱分析仪（频域采集，时域显示），由系统的输入输出特性和参数表可以计算出系统的传递函数，从而对系统的动态性能有较深入的了解。

因此，理解传递函数是电路分析重要的基础知识之一。

下面是传递函数名词解释：1、直接测试法直接测试法是指通过直接测量有关物理量的大小来推断被测系统的动态特性的一种方法。

当测量得到的测试值不与真实值相差很远时，一般可认为被测系统具有线性动态性能，即传递函数是一个常数。

直接测试法是研究传递函数最常用、最基本的方法，也是实际中应用最多的方法。

2、间接测量法间接测量法也称为间接校正法或替代法。

它是根据待求传递函数中各变量在其他变量附近的变化，将被测系统中其他变量按某种规律变化，从而使被测系统传递函数近似地接近传递函数中某一已知函数的方法。

通过这种变换，可以把一个复杂的非线性传递函数转化为比较简单的线性传递函数。

这类方法主要用于系统响应信号中只包含一个或少数几个信号的情况。

3、虚功原理虚功原理是工程上常用的一个原理，用虚功原理来研究电子电路系统具有十分简单和方便的优点。

在电子学中，电路动态响应的描述一般采用方块图或者波特图来进行。

在系统分析中，一般使用传递函数来表征系统的动态性能，所以一般说来，只要能够得到系统的传递函数，就可以得到整个系统的动态性能。

4、极点配置法极点配置法是在满足一定条件下，将系统的特征方程在某些约束条件下写成最简形式，使系统的传递函数在某些点处的数值取极小值，或者取极大值，从而求出该点的频率响应的方法。

5、波特图法波特图是描述系统内部输入、输出之间相互关系的曲线图，又称输入-输出特性图，即输入-输出特性曲线。

它用来表示系统内部组成元素之间的动态联系，以及它们随时间的变化情况。

在工程上，波特图也称为奈奎斯特图，它是奈奎斯特最初发明的。

2-6 传递函数求解控制系统的微分方程，可以得到在确定的初始条件及外作用下系统输出响应的表达式，并可画出时间响应曲线，因而可直观地反映出系统的动态过程。

如果系统的参数发生变化，则微分方程及其解均会随之而变。

为了分析参数的变化对系统输出响应的影响，就需要进行多次重复的计算。

微分方程的阶次愈高，这种计算愈复杂。

因此，仅仅从系统分析的角度来看，就会发现采用微分方程这种数学模型，当系统阶次较高时，是相当不方便的。

以后将会看到，对于系统的综合校正及设计，采用微分方程这一种数学模型将会遇到更大的困难。

目前在经典控制理论中广泛使用的分析设计方法——频率法和根轨迹法，不是直接求解微分方程，而是采用与微分方程有关的另一种数学模型——传递函数，间接地分析系统结构参数对响应的影响。

所以传递函数是一个极其重要的基本概念。

一、传递函数的概念及定义在[例2-7]中，曾建立了网络微分方程，并用拉氏变换法对微分方程进行了求解。

其微分方程（2-44）为假定初始值，对微分方程进行拉氏变换，则有网络输出的拉氏变换式为（2-48）这是一个以为变量的代数方程，方程右端是两部分的乘积；一部分是，这是外作用（输入量）的拉氏变换式，随的形式而改变；另一部分是，完全由网络的结构参数确定。

将上式（2-48）改写成如下形式令，则输出的拉氏变换式可写成可见，如果给定，则输出的特性完全由决定。

反映了系统（网络）自身的动态本质。

这很显然，因为是由微分方程经拉氏变换得到的，而拉氏变换又是一种线性变换，只是将变量从实数域变换（映射）到复数域，所得结果不会改变原方程所反映的系统本质，对照与原微分方程（2-44）的形式，也可看出二者的联系。

我们称为传递函数，并将其看作另一种数学模型。

这是一个复变量函数，对任意元、部件或系统，传递函数的具体形式各不相同，但都可看作是在零初始条件下，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。

网络的传递函数，即为输出、输入与传递函数三者之间的关系，还可以用图2-26的方框形象地表示输入经传递到输出。

线性微分方程可以归纳其一般的表达式为：1011110111()()()...........()()()()...........()n n n n n n m m m m m m d c t d c t d c t a a a a c t dt dt dtd r t d r t d r t b b b b r t dt dt dt------++++=++++ （7.1）式子中，()c t 是输出量，()r t 是输入量。

0a ，1a ，1n a -…….. n a 和0b ，1b ，…….. 1m b -，m b 都是由系统结构决定的常数。

微分方程建立以后，便可以由此为基础分析控制系统的性能。

最直接的办法就是求解微分方程得到系统的输出响应，但是微分方程特别是高阶微分方程的求解以及参数性能分析是十分困难的，可以利用拉普拉斯变换来简化对微分方程的求解，并利用拉氏变换将微分方程这种时间域中的数学模型转化成复数s 域内的数学模型——传递函数。

传递函数不仅可以表征系统的动态特征，而且还可以用来研究系统的结构或参数变化对系统的影响。

在后面的章节中将要介绍的频率法和轨迹法，都是以传递函数为基础建立起来的，传递函数是经典控制理论中最主要和最基本的概念。

7.1传递函数的定义一般线性定常系统的微分方程课用式7.1表示，对于实际的控制系统，n 不小于m ，即n ≥m 。

设r(t)以及其各阶导数在t=0时刻的值均为0，则对式（7.1）中的各项分别求拉氏变换，可得： 10111011(......)()(..........)()n n n n m m m m a s a s a s a c s b s b s b s b r s ----++++=+++（7.2） 式子中，C(s)=L[c(t)],R(S)=L[R(t)]。

由式（2.1）可得： 10111011..........()()()......m m m m n n n n b s b s b s b C s G s R s a s a s a s a ----+++==++++ (7.3)2.2 传递函数的性质1）传递函数是复变量s 的有理真分式，具有复变函数的所有性质，只适用于线性定常系统，其分母多项式中s 的最高幂称为系统的阶次，一般分母多项式中s 的最高次方总大于或等于分钟多项式中的s 的最高次方。