网格中的数学

2023中考真题抢先练：数学网格作图1.（2023达州18题）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，△ABC 的顶点均在小正方形的格点上.（1）将△ABC 向下平移3个单位长度得到△A 1B 1C 1，画出△A 1B 1C 1；（2）将△ABC 绕点C 顺时针旋转90度得到△A 2B 2C 2，画出△A 2B 2C 2；（3）在（2）的运动过程中请计算出△ABC 扫过的面积.第1题图【推荐区域：安徽陕西】【参考答案】解：（1）如解图，△A 1B 1C 1即为所求；（2）如解图，△A 2B 2C 2即为所求；第1题解图（3）由图可得，△ABC 为等腰直角三角形，∴51222=+==BC AB ，AC =101322=+，∴25552121=´´=×=D BC AB S ABC ，∴△A 1B 1C 1在旋转过程中扫过的面积为2ABCACA S S D +扇形290360p ´=+52=52π+52.反比例与一次函数性质综合题2.（2023自贡24题）如图，点A (2，4)在反比例函数xm y =1图象上，一次函数b kx y +=2的图象经过点A ，分别交x 轴，y 轴于点B ，C ，且△OAC 与△OBC 的面积比为2：1.（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）请直接写出y 1≥y 2时，x 的取值范围.第2题图【推荐区域：安徽江西甘肃】【参考答案】解：（1）将A （2，4）代入x m y =1中得24m =，解得m =8，∴xy 81=，∵C （0，b ），∴12OAC S OC D =·2=b ，∵△OAC 与△OBC 的面积比为2：1，∴b OB OC S OBC 2121=´=D ，解得OB =1，∴B （-1，0）或（1，0），①将A （2，4），B （-1，0）代入b kx y +=2中，得îíì+-=+=，，b k b k 024解得ïîïíì==，，3434b k ∴34342+=x y ；②将A （2，4），B （1，0）代入b kx y +=2中，得îíì+=+=，，b k b k 024解得îíì-==，，44b k ∴442-=x y ；综上可知，一次函数的解析式为34342+=x y 或442-=x y ；（2）当34342+=x y 时，x ≤-3或0＜x ≤2；当442-=x y 时，x ≤-1或0＜x ≤2.解直角三角形的实际应用3.（2023达州19题）莲花湖湿地公园是当地人民喜爱的休闲景区之一，里面的秋千深受孩子们喜爱，如图所示，秋千链子的长度为3m ，当摆角∠BOC 恰为26°时，座板离地面的高度BM 为0.9m ，当摆动至最高位置时，摆角∠AOC 为50°，求座板距地面的最大高度为多少m?(结果精确到0.1m ；参考数据：sin 26°=0.44，cos 26°≈0.9，tan 26°≈0.49，sin 50°≈0.77，cos 50°≈0.64，tan 50°≈1.2)第3题图【推荐区域：安徽江西河南甘肃】【参考答案】解：如解图，过点B 作BD ⊥ON 于点D ，过点A 作AE ⊥ON 于点E ，作AF ⊥MN于点F，第3题解图∴四边形BDNM，AENF均为矩形，∴BM=DN=0.9，AF=EN，在Rt△OBD中，OD=OB·cos26°=3cos26°，∴ON=OD+DN=3cos26°+0.9，在Rt△OAE中，OE=OA·cos50°=3cos50°，∴EN=ON-OE=3cos26°+0.9-3cos50°，∴AF=3cos26°+0.9-3cos50°≈3×0.9+0.9-3×0.64=1.68≈1.7（m），答：座板距地面的最大高度为1.7m.4.（2023重庆A卷24题）为了满足市民的需求，我市在一条小河AB两侧开辟了两条长跑锻炼线路，如图：①A—D—C—B；②A—E—B.经勘测，点B在点A的正东方，点C在点B的正北方10千米处，点D在点C的正西方14千米处，点D在点A的北偏东45°方向，点E在点A的正南方，点E在点B的南偏西60°方向.( 1.41≈1.73)（1）求AD的长度；(结果精确到1千米)（2）由于时间原因，小明决定选择一条较短线路进行锻炼，请计算说明他应该选择线路①还是线路②?第4题图【推荐区域：安徽江西河南甘肃】【参考答案】解：（1）如解图，过点D作DF⊥AB于点F.第4题解图由题意可知，AB∥CD，BC⊥AB，∴四边形BCDF是矩形，且BC=10，CD=14.∴DF=BC=10，在Rt△ADF中，∠DAF=45°，∴AD≈14（千米），答：AD的长度约为14千米；（2）由题意可知，EA⊥AB，∠ABE=90°-60°=30°，∵AF=DF=10，BF=CD=14，∴AB=AF+BF=10+14=24，∴在Rt△ABE中，AE AB BE=2AE线路①：AD+CD+BC≈38.1（千米），线路②：AE+BE41.52（千米），∵38.1＜41.52，∴小明应选择线路①.二次函数的实际应用5.（2023南充23题）某工厂计划从A ，B 两种产品中选择一种生产并销售，每日产销x 件，已知A 产品成本价m 元/件(m 为常数，且4≤m ≤6)，售价8元/件，每日最多产销500件，同时每日共支付专利费30元；B 产品成本价12元/件，售价20元/件，每日最多产销300件，同时每日支付专利费y 元，y (元)与每日产销x （件）满足关系式201.080x y +=.（1）若产销A ，B 两种产品的日利润分别为1w 元，2w 元，请分别写出1w ，2w 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（2）分别求出产销A ，B 两种产品的最大日利润；(A 产品的最大日利润用含m 的代数式表示)（3）为获得最大日利润，该工厂应该选择产销哪种产品?并说明理由.[利润=(售价一成本)×产销数量一专利费]【推荐区域：安徽河北云南江西】【参考答案】解：（1）根据题意，得30)8(1--=x m w ，0≤x ≤500.)01.080()1220(22x x w +--=80801.02-+-=x x ，0≤x ≤300；（2）∵8-m >0，∴1w 随x 的增大而增大，又0≤x ≤500，∴当x =500时，1w 的值最大，39705001+-=m w 最大.1520)400(01.080801.0222+--=-+-=x x x w .∵-0.01<0，对称轴为直线x =400，当0≤x ≤300时，2w 随x 的增大而增大，∴当x =300时，2w 最大=-0.01×(300-400)2+1 520=1 420（元）.（3）①若最大1w =最大2w ，即-500m +3970=1420，解得m =5.1；②若最大1w >最大2w ，即-500m +3970>1 420，解得m <5.1；③若最大1w <最大2w ，即-500m +3 970<1420，解得m >5.1.又∵4≤m ≤6，∴综上可得，为获得最大日利润：当m =5.1时，选择A ，B 产品产销均可；当4≤m <5.1时，选择A 种产晶产销；当5.1<m ≤6时，选择B 种产品产销.二次函数性质综合题6.（2023遂宁25题）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线c bx x y ++=241经过点O (0，0)，对称轴过点B (2，0)，直线l 过点C (2，-2)且垂直于y 轴.过点B 的直线1l 交抛物线于点M ，N ，交直线l 于点Q ，其中点M ，Q 在抛物线对称轴的左侧.（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，当BM ：MQ =3：5时，求点N 的坐标；（3）如图2，当点Q 恰好在y 轴上时，P 为直线1l 下方的抛物线上一动点，连接PQ ，PO ，其中PO 交1l 于点E ，设△OQE 的面积为1S ，△PQE 的面积为2S ，求12S S 的最大值.第6题图【推荐区域：安徽陕西】【参考答案】解：（1）由题意得0b 2124c =ìïïí-=ï´ïî，，解得01c b =ìí=-î，，∴抛物线的解析式为y =214x -x ；（2）如解图，过点M ，Q 作MD ⊥x 轴，QH ⊥x 轴分别于点D ，H ，第6题解图∴DM ∥HQ ，∴△BDM ∽△BHQ ，∴BM BQ =DM HQ ，∴38=2DM ，∴DM =34，∴点M 的纵坐标为-34，代入y =34x 2-x 中，解得x M =1或x M =3，∵点M 在抛物线对称轴的左侧，∴x M =1，∴点M （1，-34），设直线BM 的解析式为y =kx +b 1，将点M （1，-34）和点B （2，0）代入，得113=402k b k b ì-+ïíï=+î，，解得13=432k b ìïïíï=-ïî，，∴直线BM 的解析式为y =2343-x ，联立2143342y x x y x ì=-ïïíï=-ïî，，解得134x y =ìïí=-ïî，或63x y =ìí=î，，∵点N 在对称轴的右侧，∴点N （6，3）；（3）由题意可知，点Q 的坐标为（0，-2），设点P （m ，14m 2-m ），由题意得直线y OP =（14m -1）x ，直线l 1的解析式为y BQ =x -2，联立1(1)42y m x y x ì=-ïíï=-î，，∴点E 的横坐标为x E =88m -，∴S 1=21OQ ·x E =21×2×m -88=m-88，S 2=21OQ ·(P E x x -）=21×2（m -m-88）=m m m ---8882，∴22188888S m m m S m ---=-=1812-+-m m =1)4812+--m （，∵81-＜0，∴当m =4时，12S S 有最大值，最大值为1，∴12S S 的最大值为1.。

网格中的数学问题。

网格中的数学问题是一种挑战性的数学游戏，它可以帮助孩子们提高
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网格中的数学问题是一种拼图
游戏，它由一个网格组成，每个格子里有一个数字或符号，孩子们需
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网格中的数学问题可以帮助孩子们提高数学能力，培养他们的逻辑思
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它还可以帮助孩子们学习如何解决问题，
比如如何分析问题、如何推理、如何解决问题等等。

网格中的数学问题也可以帮助孩子们提高解决问题的能力，比如如何
分析问题、如何推理、如何解决问题等等。

它可以帮助孩子们学习如
何分析问题，比如如何分析问题的结构、如何分析问题的解决方案、
如何分析问题的可行性等等。

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总之，网格中的数学问题是一种有趣的游戏，它可以帮助孩子们提高
数学能力、培养他们的逻辑思维能力、提高解决问题的能力和思维能力，以及提高解决问题的速度。

一、网格题型在中考数学中的10大考点梳理网格问题，近年来在一些省市的中考试卷中频频出现，这类问题虽然出现在小网格中，却隐藏着大智慧，从中可以开发智力，发展思维．笔者以中考试题为例，说明小网格中的大智慧．一、正方形网格（一）全网格形全网格形是指有完整的网格的题型．1．网格中求坐标例1：如图1，在一单位为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，…都是斜边在x轴上、斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形．若△A1A2A3的顶点坐标分别为A t(2，0)，A2（1，－1），A3(0，0)，则依图中所示规律，A2012的坐标为________．分析：由于2012是4的倍数，故A1~A4；A5～A8；…每4个为一组，可见，A2012在x轴上方，横坐标为2，再根据纵坐标变化找到规律即求得纵坐标为1006．答案：(2，1006)2．网格与等腰三角形例2：如图2所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点°已知A、B是两格点，如果C 也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点G的个数是()(A)6(B)7(C)8(D)9分析：有两种情况：①AB为等腰△ABC底边，C在A B的中垂线上，因此，符合条件的C点有4个；②AB为等腰ABC其中的一条腰，符合条件的C点有4个，应选C．本题考查了等腰三角形的判定，解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形．3．网格与直角三角形例3：如图3，在网格中有一个直角三角形（网格中的每个小正方形的边长均为1个单位长度）．若以该三角形一边为公共边画一个新三角形与原来的直角三角形一起组成一个等腰三角形，要求新三角形与原来的直角三角形除了有一条公共边外，没有其它的公共点，新三角形的顶点不一定在格点上．那么符合要求的新三角形有()(A)4个(B)6个(C)7个(D)9个分析：根据题意可知：如图4，以原三角形AB边为公共边的三角形有4个，分别如图上D1，D2，D3，D4；以原三角形BC边为公共边的三角形有2个，分别如图上D5，D6；以原三角形AC边为公共边的三角形只有1个，如图上D．符合要求新三角形有7个，选C例4：如图5是5×5的正方形网格，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，像△ABC这样的三角形叫格点三角形．画与△ABC有一条公共边且全等的格点三角形，这样的格点三角形最多可以画出_______个．分析：如图6，以BC为公共边可画出△BDC，△BEC，△BFC三个三角形和原三角形全等；以AB为公共边可画出三个三角形△ABC、△ABM、△AB H和原三角形全等，所以可画出6个．5．网格与相似例5：图7所示4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是()[来源学*科*网][来源学科网Z XX K]分析：根据勾股定理，得BC＝，AB，AC；根据勾股定理的逆定理可判断△ABC为直角三角形，∠ABC＝90°，BC：AB＝1：2．在四个图形中，显然答案B中的三角形为直角三角形且两条直角边的比为1：2，选B．例6：如图8，在3×5的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，求图中点A到P Q的距离A H的长．分析：连结A P，AQ组成一个三角形．你可以用长方形面积减去三个直角三角形求得[来源学科网]出△A P Q的面积，而S△A P Q＝12P Q×A H，P Q的长用勾股定理计算，求得答案为755．7．网格中求三角函数[来源:Z xx k.C o m]例7：如图9，在正方形网格中有△ABC，则s i n∠ABC的值等于()（A）31010（B）1010（C）13（D）10分析：首先利用勾股定理分别算出AB、BC、AC的长度，再利用勾股定理的逆定理得出∠ACB＝90°，最后根据锐角三角函数的定义求出s i n∠ABC的值，选B．8．网格与圆例8：如图10，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O 的圆心O 在格点上，点A 、B 、C 、E 也都在格点上，CB 与⊙O 相交于点D ，连结ED ，则∠AED 的正切值等于_______．分析：本题是锐角三角函数的定义和圆周角的运用，解答本题的关键是利用同弧所对的圆周角相等把求∠AED 的正切值转化成求∠ACB 的正切值．tan ∠AED ＝tan ∠ABC ＝12AC AB ．（二）局部网格形局部网格形指是网格图案的一部分，需要通过添线补全网格的题型．例9：如图11(1)，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数为()(A )90°(B )60°(C )45°(D )30°分析：先把局部网格补全成如图11(2)所示，易见△ACD 与△CBE 全等，可得出AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，所以∠ABC ＝45°．选C ．二、长方形网格例10：如图12，在长方形网格中，每个小长方形的长为2，宽为1，A、B两点在网格格点上，若点C也在网格格点上，以A、B、C为顶点的三角形面积为2，则满足条件的点C 个数是()(A)2(B)3(C)4(D)5[来源学科网]分析：底和高分别是4和1的有两个，底和高分别是2和2的有两个，选C．二、中考网格型试题赏析近几年中考中，网格型试题可谓大放异彩，这类试题构思精巧、形式活泼，能很好地考查图形变换、勾股定理、相似等数学知识，体现分类讨论、数形结合等重要的数学思想，当网格作为背景与双曲线、抛物线、圆、三角形结合时，更会出现许多让人意想不到的思路、方法，使我们在解题中感受到无穷的乐趣，本文撷取其中的几例进行解析，供参考．一、网格与双曲线结合例1：在边长为1的4×4方格上建立直角坐标系（如图1），在第一象限内画出反比例函数16y x =、6y x =、4y x=的图象，它们分别经过方格中的一个格点、二个格点、三个格点；在边长为1的10×10方格上建立直角坐标系（如图2），在第一象限内画出反比例函数的图象，使它们经过方格中的三个或四个格点，则最多可画出()条．(A )12(B )13(C )25(D )50分析：易知系数k 为合数，且能分解成两个均不超过10的正整数的乘积的形式．如4＝1×4＝2×2，则反比例函数4y x=的图象经过以下3个格点：(1，4)，(2，2)，(4，1)．6＝1×6＝2×3，则反比例函数6y x =的图象经过以下4个格点：(1，6)，(2，3)，(3，2)，(6，1)．经过尝试，符合条件的k 值共有13个，分别为：4，6，8，9，10，12，16，18，20，24，30，36，40．所以，经过方格中的三个或四个格点的反比例函数的图象最多可以画出13条．故选B ．二、网格与抛物线结合例2：已知图3中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点，请你在图中任意画一条抛物线，问所画的抛物线最多能经过81个格点中的多少个？()(A )6(B )7(C )8(D )9分析：我们先解决如下问题：对于抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c ，当a 、b 、c 满足什么条件时，当x 取任意整数时，函数值y 都是整数？（为叙述方便，不妨假设抛物线开口向上．）当x ＝0时，y ＝c ；当x ＝l 时，y ＝a ＋b ＋c ．∴c 为整数，a ＋b ＋c 为整数，∴a ＋b 必为整数，又∵当x ＝2时，y ＝4a ＋2b ＋c ＝2a ＋2(a ＋b )＋c 是整数，∴2a 必为整数，∴a 应为12的整数倍，即a ＝12，1，32，2，…从对称的角度考虑，建立如图4所示的平面直角坐标系．(1)若抛物线的顶点在格点上，要使抛物线尽可能多地经过格点，显然应使抛物线过原点．所画抛物线y ＝ax 2（n ＝12，1，32，2，…）最多能经过5个格点．(2)若抛物线的顶点不在格点上，要使抛物线尽可能多地经过格点，显然应使抛物线），＝ax 2＋bx ＋c 过原点和(1，0)．所画抛物线y ＝ax (x －1)（a ＝12，1，32，2，…）最多能经过8个格点．此时a ＝12，这8个格点分别为：(－3，6)，（－2，3），（－1，1），(0，0)，(1，0)，(2，1)，(3，3)，(4，6)．[来源学&科&网Z&X &X &K]综上所述，抛物线最多能经过81个格点中的8个，故选C ．三、网格与圆结合例3：请你在12×12的网格图形中任意画一个圆，则所画的圆最多能经过169个格点中的____个格点．分析：从对称的角度考虑，建立如图5所示的平面直角坐标系．(1)如图5，若圆心在格点上，要使圆尽可能多地经过格点，显然应使圆心过原点，所画圆最多能经过12个格点，此时圆的半径为5．这12个格点分别为：(0，5)，(3，4)，(4，3)，(5，0)，[来源学§科§网](4，－3)，（3，－4），（0，－5），（－3，－4），(－4，－3)，（－5，0），（－4，3），（－3，4）．(2)如图6，若圆心不在格点上，要使圆尽可能多地经过格点，显然应使圆心过（12，12），所画圆最多能经过16个格点，此时圆的半径为2，这16个格点分别为：(2，6)，(4，5)，(5，4)，(6，2)，（6，－1），（5，－3），（4，－4），（2，－5），（－1，－5），（－3，－4），（－4，－3），(－5，－1)，（－5，2），（－4，4），（－3，5），（－1，6）．综上所述，所画的圆最多能经过169个格点中的16个格点．四、网格与三角形结合例4：如图7，将△ABC 放在每个小正方形的边长为1网格中，点A 、B 、C 均落在格点上．(1)△ABC 的面积等于____；(2)若四边形DEF G 是△ABC 中所能包含的面积最大的正方形，请你在如图7所示的网格中，用直尺和三角尺画出该正方形，并简要说明画图的方法．分析：(1)S △ABC ＝12×4×3＝6；(2)如果正方形的一边落在三角形的一边上，其余两个顶点分别在三角形的另外两条边上，则这样的正方形面积是最大的．如图8，在△ABC 中，AB ＝c ，AB 边上的高CN ＝h c ，△ABC 的面积为S ，正方形的一边DE 落在AB 上，其余两个顶点F 、G 分别在BC 、AC 上．设正方形DEF G 的边长是x．所以，图8中正方形一边落在AB 边上，另两个顶点落在其他两边上时，121212744x ==+；图8中正方形一边落在BC边上，另两个顶点落在其他两边上时，图8中正方形一边落在AC 边上，另两个顶点落在其他两边上时，[来源学科网Z|X X|K]∴当正方形一边落在BC边上时，正方形DEF G的面积最大．画法一：如图9，在AB上任取一点P，作P Q⊥BC于点Q，以P Q为一边在△ABC内部画正方形P QMN；作射线BN交AC于点D，过点D作D G⊥BC于点G，作DE⊥D G交AB 于点E，过点E作EF⊥BC于点F，则四边形DEF G即为所求．证明：由画图过程易得四边形DEF G为矩形，∵D G⊥BC，NM⊥BC，∴D G//NM，画法二：如图10，取格点P，连结P C，过点A画P C的平行线，与BC交于点Q，连结P Q 与AC相交得点D；过点D画CB的平行线，与AB相交得点E，分别过点D、E画P C的平行线，与CB相交得点G、F，则四边形DEF G即为所求．证明：由画图过程易得四边形DEF G为平行四边形，[来源学科网]由格点P的位置易判断P C＝CB，且P C⊥CB，∴D G⊥CB，∴平行四边形DEF G为矩形。

初三数学格点问题一、网格中的图形变换1.如图，正方形网格图中每个小正方形边长都为1，每格的顶点叫做格点。

（1）以格点为顶点画出三边长分别为23104、、的ABC∆，并求出三角形的面积；（2）画出ABC∆的外接圆的圆心O，并求出这个外接圆的面积。

（π取14.3）二、网格中的计算问题2.图2是由边长为1m的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿图中所示的折线从A→B→C所走的路程为________m．（结果保留根号）图2 图3 图4 图53.如图3，在边长为1的正方形网格中，•按下列方式得到“L”形图形．第1个“L”形图形的周长是8，第2•个“L•”形图形的周长是12，则第n个“L”形图形的周长是______．4.如图4，直角坐标系中，△ABC•的顶点都在网格点上，其中，A点坐标为（2，-1），则△ABC的面积为________平方单位.5.如图，在6×6的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，其中A、B、C为格点．作△ABC的外接圆⊙O，则弧AC的长等于三、网格中的计数问题6.如图6，在长方形网格中，每个小长方形的长为2，宽为1，A．B两点在网格格点上，若点C也在网格格点上，以A．B．C为顶点的三角形面积为2，则满足条件的点C个数是个.第6题第7题第7题A BCC’B’7.如图7，A 、B 、C 三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB 绕着点A 逆时针旋转得到△AC ’B ’，则tanB ’的值为8.如第8题图，1∠的正切值等于 。

四、网格中的相似图形1. 如图2，若A 、B 、C 、P 、Q 、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，为使△ABC ∽△PQR ，则点R 应是甲、乙、丙、丁四点中的A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁2．有一张足够大的网格图，每一小格都是边长为a 正方形，每格的顶点叫做格点。

网格上有如右图的D C B A ,,,四点，连接AD BC AC AB 、、、。

（１）请问在网格上可以找到几个格点（记这个点为E ）使得以点E D A 、、为顶点的ADE ∆与ACD ∆相似；选择其中的一点，来说明ADE ∆与ACD ∆相似。

初中网格中的数学问题赏析在正方形的网格中，每个小正方形的边长都是相等的，每个小正方形的顶点叫做格点，我们把以格点的连线为边的图形叫格点图形.近年来，各地的中考试卷中频频出现这类与格点有关的数学问题，由于这类与网格有关的中考题大部分具有开放性，设计又新颖，能很好地考查学生的思维水平和思维能力，故很受命题者的青睐.但课本、作业本中这类问题的例题和习题却并不多见，在此，特作梳理，与大家一起赏析.一、网格中的三角形1. （2010·湖南）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（）.A． 6 B． 7 C． 8 D． 9分析根据题意，结合图形，分两种情况讨论（如下图）：① AB为等腰△ABC 底边，符合条件的C点有4个；② AB为等腰△ABC其中的一条腰，符合条件的C点有4个.故选C.本题考查了等腰三角形的判定，解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解.数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想.本题是利用网格提供的相等线段来构图.2. 在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点A、B是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个5×5的方格纸中，找出格点C使△ABC 的面积为2个平方单位，则满足条件的格点C的个数是（）.A. 5B. 4C. 3D. 2分析 A、B两点的垂直距离为2，那么，只要保证水平距离为2即可使△ABC的面积为2个平方单位；A、B两点的水平距离为1，那么，只要保证垂直距离为4，即可使△ABC的面积为2个平方单位.符合条件的点坐标分别为：C（3，1），C（0，3），C（4，3），C（1，5）.本题考查三角形面积的求法，注意分水平距离和垂直距离两种情况，数学分类思想是一种重要的数学思想.二、网格与三角函数1. （2010·贵州）在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cos∠B的值为 .分析过点C向上作垂线与AB相交于点D，则∠B是Rt△BCD的一个内角，邻边和斜边均由图可知，所以很容易求出cos∠B的值.或是过点A作垂线交BC的延长线于D，也可求出.本题主要考查了余弦函数的定义，正确理解定义是解题的关键.本题是利用网格提供的垂线，构建直角三角形.2. （2010·四川）如图，∠D的正切值等于 .分析根据同弧所对的圆周角相等，可以把求三角函数的问题，转化为直角三角形边的比的问题.先利用同弧所对圆周角相等，得出∠D=∠A，然后利用正切等于对边比上邻边即可求出.本题考查圆周角的性质及锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边.从网格中很容易找到相关的直角三角形.三、网格与面积1. （2006·苏州）如图，直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上，其中A点坐标为（2，－1），则△ABC的面积为平方单位.分析根据图形，可以直接写出点A的坐标是（2，-1）.分别过A、B、C三点作垂线，形成一个大矩形，求出大矩形的面积，用大矩形的面积减去三个直角三角形的面积，剩余的面积即为△ABC的面积.此类题要求学生要能够把不规则图形的面积转化为规则图形的面积.有关面积的割补法是解决不规则图形面积的常用方法.本题充分利用网格的特点，构建规则图形.2. （2009·吉林）如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC，则AC边上的高是 .分析先用大正方形的面积减去三个直角三角形的面积得到△ABC的面积，△ABC的面积又等于AC乘以AC边上的高的一半，按这一等量关系列出方程，解出方程即可得出AC边上的高.四、网格与相似如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上.（1）?摇判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；（2）?摇P，P，P，P，P，D，F是△DEF边上的7个格点，请在这7个格点中选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与△ABC相似（要求写出2个符合条件的三角形，并在图中连结相应线段，不必说明理由）.分析答案为：△DPP、△DPP、△DPP.本题主要考查学生识图、构图能力和对三角形相似判定知识的理解，对学生的观察力有一定的挑战性.网格中的相等线段以及相等的角对构图起到关键性的作用.五、网格与圆1. （2010· 河北）如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A、B、C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是 .分析连接BC，弦AB、BC垂直平分线的交点即为圆心.本题主要考察学生对垂径定理的理解，和残圆确定圆心的方法.本题是由网格特点直接看出线段的垂直平分线.2. （2010·江苏）．如图，在4×4的方格纸中（共有16个小方格），每个小方格都是边长为1的正方形.O、A、B分别是小正方形的顶点，则扇形OAB的弧长等于（结果保留根号及π）.分析连接AB、AC，分别作它们的垂直平分线，两线交点即为圆心.利用勾股定理求出圆的半径，由图可知扇形OAB圆心角为90°，利用弧长公式即可求出弧长.本题考查了勾股定理及弧长公式的应用.解题的关键是正确地求出扇形的圆心角及半径.3. 如图所示，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（-1,3）、B（-2,-2）、C（4,-2），则△ABC外接圆半径的长度为 .分析先求出线段AB、 AC、 BC的长度，再利用余弦定理求角A的余弦值，从而得到角A的正弦值.再利用正弦定理，即可求得直径.半径为2.连接OC因为C（4，-2），利用勾股定理得半径的长等于根号下，等于，化简为2.六、网格中的运动（2010·江苏）如图在网格图中，⊙A的半径为2个单位长度，⊙B的半径为1个单位长度，要使运动的⊙B与静止的⊙A相内切，应将⊙B由图示位置向左平移个单位长度.分析⊙B与⊙A可以在右边相内切，也可以在左边相内切.当⊙B与⊙A在右边相内切，移动距离为4个单位长度，当⊙B与⊙A在左边相内切，移动距离为6个单位长度.故答案为：4或6.本题主要通过圆的移动来考查圆与圆的位置关系；题目中小圆向左移动，通过观察，可知两圆内切的两种情况，分别求出移动的距离.七、网格与图形的变换1. （2010·辽宁）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：（1）以直线BC为对称轴作△ABC的轴对称图形，得到△ABC，再将△ABC绕着点B逆时针旋转90°得到△ABC，请依此画出△ABC、△ABC；（2）求线段BC旋转到BC过程中所扫过的面积（计算结果用π表示）；（3）求点C旋转过程所经过的路径长.分析（1）根据对称的性质，画出图形；（2）BC旋转到BC的过程中，旋转角为90°，半径为4，由弧长公式计算即可.所以B点所经过的路线长度是2π.本题考查了学生画一个图形的对称图形以及弧长公式的应用的能力.2. （2010·湖北）如图，在方格纸上△DEF是由△ABC绕定点P顺时针旋转得到的.如果用（2，1）表示方格纸上A点的位置，（1，2）表示B点的位置，那么点P的位置为（）.A. （5，2）B. （2，5）C. （2，1）D. （1，2）分析连接AD、CF，再做这两线段的垂直平分线，交点就是点P.根据点A、点B 的坐标建立平面直角坐标系，然后写出点P的坐标.此题属于中等难度题，主要考查的知识点是旋转及其相关的性质，旋转的中心在连接对应点的垂直平分线上，做出两条垂直平分线，它们的交点就是旋转的中心点.3. （2010· 甘肃）如图均为7×6的正方形网格，点A、B、C在格点（小正方形的顶点）上.（1）在图中确定格点D，并画出一个以A、B、C、D为顶点的四边形，使其为轴对称图形；（2）在图中确定格点E，并画出一个以A、B、C、E为顶点的四边形，使其为中心对称图形.分析第（1）题可以将点A向下平移四格得到点D，或是将点A向右平移两格得到点D.第（2）题可以将点A向右平移一格得到点E，两题方法均不唯一，此题比较灵活地考查了等腰梯形、平行四边形、矩形的对称性，是道好题.八、网格与概率一只蚂蚁在如图所示的图案内任意爬动一段时间后停下，蚂蚁停在阴影内的概率为 .分析先确定黑色区域的面积与总面积的比值，此比值即为所求的概率.本题主要考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率.网格对化不规则图形为规则图形提供了帮助，方便学生求出阴影部分的面积.九、网格与规律（2006·温州）在边长为l的正方形网格中，按下列方式得到“L”形图形，第1个“L”形图形的周长是8，第2个“L”形图形的周长是，第三个“L”形图形的周长是，则第n个“L”形图形的周长是 .分析第1个“L”形图形的周长是8＝4＋4，第2个“L”形图形的周长是12＝4＋2×4，第3个“L”形图形的周长是16＝4＋3×4，……，第n个“L”形图形的周长是4＋n×4，即4n＋4．本题也可以这样来分析：平移“L”形的上面和右下的两边，第1个“L”形图形周长变成一个正方形周长加上4，即4＋4，第2个“L”形图形周长为4＋2×4，第3个“L”形图形周长为4＋3×4，第n个“L”形图形的周长是4＋n×4.用整式描述几何图形的规律在近几年的中考题中经常出现，这类题目把几何和整式结合起来考查，使试题难度增大.它既考查学生的识图能力，又考查学生的判断推理能力.通过以上分析，我们不难发现：网格中的数学问题，往往是把网格的特点与数学问题有机结合起来.网格可以提供相等的线段、相等的角、垂线、平行线、化不规则图形为规则图形等.还能够很方便地进行图形的翻折、平移、旋转等.同学们在解决这类问题时，既要有札实的数学基础，灵活运用相关数学知识，还要注意结合网格的特点来分析和解决问题.。

专题12 网格中的勾股定理【专题综述】网格题型是近几年的常考题型，也是近期各地中考考试的一个热点。

正方形网格中的每一个角都是直角，所以在正方形网格中的计算都可以归结为求任意两个格点之间的长度问题，一般情况下都是设每一个小正方形的边长为1，然后应用勾股定理来进行计算。

【方法解读】一、面积问题例1 如图1所示，在一个有4×4个小正方形组成的正方形网格中，阴影部分的面积与正方形ABCD的面积比是（）A、3：4B、5：8C、9：16D、1：2【举一反三】如图，在正方形网格（图中每个小正方形的边长均为1）中，△ABC的三个顶点均在格点上，则△ABC的周长为，面积为．【来源】山东省青岛市第四中学八年级数学上册：1.1探索勾股定理同步练习二、长度问题例2 如图2所示，在△ABC 中，三边a 、b 、c 的大小关系是（ ）A 、a ＜b ＜cB 、c ＜a ＜bC 、c ＜b ＜aD 、b ＜a ＜c【举一反三】勾股定理是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。

中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦。

我国西汉《周髀算经》中周公与商高对话中涉及勾股定理，所以这个定理也有人称商高定理，勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，相传是古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉斯于公元前550年发现的。

我们知道，可以用一个数表示数轴上的一个点，而每个数在数轴上也有一个点与之对应。

现在把这个数轴叫做x 轴，同时，增加一个垂直于x 轴的数轴，叫做y 轴，如下图。

这样，我们可以用一组数对来表示平面上的一个点，同时，平面上的一个点也可以用一组数对来表示，比如下图中A 点的位置可以表示为（2，3），而数对（2，3）所对应的点即为A 。

若平面上的点M ()11,x y ，N ()22,x y ，我们定义点M 、N 在x 轴方向上的距离为： 12x x -，点M 、N 在y 轴方向上的距离为： 12y y -。

填写格子数量的公式
在数学和统计学中，填写格子数量的公式是指用一个数学表达式来计算格子或
单元格的数量。

这个公式通常用于解决与格子数量相关的问题，如计算矩形区域中的格子数量、网格中的总格子数等等。

一种常见的填写格子数量的公式是通过计算矩形区域的长和宽的乘积来得到。

以一个矩形网格为例，假设矩形的长为L个单位，宽为W个单位，那么矩形区域
中的格子数量可以用如下公式来表示：
格子数量 = 长 ×宽
例如，如果一个矩形区域的长为4个单位，宽为3个单位，那么这个矩形区域
中的格子数量就是 4 × 3 = 12 个。

除了矩形区域，填写格子数量的公式也可以适用于其他形状的网格，如正方形、三角形等等。

对于正方形网格，它的边长为L个单位，那么格子数量的计算公式为：
格子数量 = 边长 ×边长
对于一个边长为5个单位的正方形网格，它的格子数量就是 5 × 5 = 25 个。

注意，填写格子数量的公式可以根据不同的情况进行调整。

对于一些特殊的网
格形状，可能需要额外的数学知识和几何概念来计算格子数量。

同时，不同问题的格子数量计算方法也可能不同，因此在具体应用中需要根据问题的要求来确定如何填写格子数量的公式。

总之，填写格子数量的公式是一种用于计算网格中格子数量的数学表达式。

无
论是矩形区域，还是其他形状的网格，通过合适的公式，我们可以准确地计算出格子的数量，为解决相关问题提供了便利。

运用网格正方形解题举例把正方形均匀地分成一个一个的小方格，从而形成“网格正方形”，同学们对于这种图形都很熟悉，在数学学习中，正方形网格能发挥很大的作用，现举例如下：一、比较大小例1 比较＋2＋与6的大小．解析如图1，由数字6想到可以构造出边长为6的正方形，并分成网格状．由勾股定理找出线段根据线段公理“两点之间，线段最短”AB＋BC＋CD＞6，即＋2＋>6．点评，从数字的特征（含根号的无理数）联想到与这些数字相关的图形——直角三角形，这样来构造方网格，促使数向形转化．二、设计方案例一块正方形草地，要在上面修建两条交叉的小路，使得两条小路将草地分成的四部分面积相等，你有多少种方法？解析一般同学都能想到过正方形的对称中心作两条互相垂直的直线．若借用网格正方形，把草地平分成16块均等的小正方形，再作面积等于4的图形，经过旋转或轴对称，便得到形状各异的符合题意的方案（图略）．点评用方网格将面积数量化，从定量的角度快速找出各种各样的方案，可有效防止思维定势，从而拓展解题思路，如果借用更密的网格就以得到更多的方案，大家再试试看．三、巧求面积例3 已知△ABC的三边长分别为，，，，求这个三角形的面积．解析解题的通法是作高，将三角形分成两个直角三角形，再运用勾股定理构造方程求解，但计算量大，由三角形的三边都是无理数，想到构造正方形网格，画出符合条件的三角形，用割补法解题能起到事半功倍的效果．如图2，构造正方形网格，每个小正方形边长为1．由勾股定理，知点评由“数”建立网格正方形，再通过“形”简捷地解决问题，起到数形结合，互不可分的效果．四、求值例4 计算13＋23＋33＋…＋503的值．解析直接计算显然不可取，利用数形结合法——构造正方形网格，可使计算简捷易行．如图3所示的正方形，左上方第一层小网格个数12＝13，左上方第一、二层的小网格总个数为点评此处利用网格正方形形象而直观地计算出较为复杂的算式，体现了数与形之间的和谐统一．也印证了德国数学家希尔伯特的一句名言：“算术是写下来的图形，几何是画下来的公式”．五、确定直线例5　六个面上分别标有1,1,2,3,3,5六个数字的均匀立方体的表面展开图，如图5所示，掷这个立方体一次，记朝上一面的数为平面直角坐标系中某个点的横坐标，朝下一面的数为该点的纵坐标．按照这样的规定，每掷一次该小立方体，就得到平面内一个点的坐标．已知小敏前两次掷得的两个点能确定一条直线L，且这条直线L经过点P(4，7)，那么，他第三次掷得点也在直线L上的概率是( )．（A）（B）（C）（D）解析根据图4的表面展开图，想象出立方体模型．易知相对的三组面的数字对应为：表面展开图中左边的1与右边的1对应，由上向下第二个3与5对应，顶上的3与2对应．投掷立方体得到平面内点的坐标有6种可能：(1，1)、(1，1)、(3，5)、(5，3)、(3，2)、(2，3)．再看这些点是否在某条直线上，找出直线L是解题的关键．因为P(4，7)在直线L上，由“两点确定一条直线”，只须再找出另一点即可，建立如图5的网格，把六个点逐一描出，很直观地看出点(1，1)、(2，3)、(3，5)、(4，7)都在同一直线上，即这条直线为L，故第三次掷得的点在直线L上的概率P＝＝，选A．点评此处借用网格正方形描点，可直观看出这些点是否在同一条直线上，避免了繁琐的计算，为准确计算概率扫清了思维障碍．六、妙求角度例6 已知α、β均为锐角，且tanα＝，tanβ＝，求α＋β的度数．解析如果用初中的三角函数的知识来解决问题，比较困难．由锐角三角函数的定义，构造出∠α,∠β，放置在正方形网格中，并把这两个角集中在一处，找出全等三角形，问题得以解决．如图6 的正方形网格中，每个小正方形边长都为1，若∠AB F＝α，∠CB F＝β，则tan α＝，tanβ＝，只需求∠4BC的度数即可．点评根据锐角三角函数的定义，结合网格正方形的特征，构造出∠α、∠β，利用三角形全等进行解题，显得别致而简洁．。

初二数学网格练习题1. 问题描述：小明是初二的一名学生，最近在数学课上学习了网格练习题。

网格练习题是一种常见的数学题型，需要学生在一个方形网格中填写数字，满足一定的条件。

小明对网格练习题很感兴趣，希望能够更好地掌握这种题型。

于是，他决定自己设计一些网格练习题来练习。

2. 网格练习题的基本规则：网格练习题通常由一个方形的网格组成，每个格子中填写一个数字。

填写数字的规则根据题目的要求而定，可以是满足一定的条件、遵循一定的规律或者符合某种特定的要求。

学生需要在规定的时间内完成题目，并保证答案的准确性。

3. 设计一个简单的网格练习题：现在，让我们一起设计一个简单的网格练习题。

假设我们有一个3x3的方形网格，要求填写1至9的数字，每个数字只能使用一次。

同时，每一行、每一列以及两条对角线上的数字之和都必须相等。

解题思路如下：1) 在网格的中间位置填写一个数字，比如5；2) 根据对称性，将8和2分别填写在与5对称的位置上；3) 剩下的6个数字可以根据规律填写，确保每一行、每一列以及两条对角线上的数字之和都相等。

以下是填写完毕的网格：4 9 23 5 78 1 64. 进一步探索：通过这个简单的网格练习题的设计，我们可以发现数学的乐趣和美妙之处。

学生们在解题的过程中，需要灵活运用数学知识，掌握规律，并进行逻辑推理。

这不仅可以提高他们的思维能力，还可以培养他们的观察力和创造力。

5. 网格练习题的应用：网格练习题在数学教学中具有广泛的应用。

通过设计不同难度的网格题目，可以帮助学生理解和掌握数学中的各种规律和概念。

同时，网格练习题也可以用于培养学生的团队合作意识和沟通能力，例如将学生分为小组，一起合作解答复杂的网格题目。

6. 总结：网格练习题是一种有趣且富有启发性的数学题型，通过填写数字的方式，培养学生的逻辑思维和创造力。

在数学教学中，教师可以设计不同难度的网格练习题来帮助学生巩固知识，提高解题能力。

希望小明能够通过设计和解答网格练习题，更好地掌握数学知识，取得优异的成绩。

浅谈数学中的网格问题
网格问题是数学中一个重要的概念，是一类问题，如果有足够的数学方法来解
决它，则可以将复杂的结构拆分为基本的步骤，从而更容易理解。

有了网格问题，就可以将复杂的问题分作一系列解决交互依存的小问题，从而实现开发者最终想要达到的结果。

网格问题在数学中是一个被广泛应用的概念，它可以帮助把复杂的问题分解为
一系列可解决的更简单问题，并且可以用于解决大量的数学函数。

通过将大型网格的解决方案分解成一系列小步骤，可以更加容易地理解复杂的结构，以及它可以和其它网格一起融合形成多个子系统。

在互联网领域，网格问题也有着重要的用途。

在网页设计，以及数据可视化方面，其网格结构可以帮助开发人员以更容易理解、更易于控制的方式来解决复杂的问题。

互联网上的影响力尤其强大，网格结构也因此被大量使用。

以此为基础，各路开发者多取用网格问题的方法，以更好的分解和解决复杂的在线问题，也因此推动了网络技术的发展和进步，使得基于网络的应用程序变得更方便、执行更高效。

总而言之，网格问题是数学中一个十分重要的概念，它提供了一种有助于解除
复杂问题的方案，并且在互联网领域也有着巨大的用处。

有了网格问题的支持，许多网络应用程序都更容易使用和开发，并且能更有效地实现更大的实践运用以及商业利益。

专题2：中考热点之网格问题（1）网格类问题是近几年中考热点考题之一．所谓网格，就是由一个简单的正多边形经过图形变换而形成的网状图形．网格的基本几何元素是：点和线．组成网格的每个小正多边形可看作单位图形．常见的单位图形有：正三角形、正方形、正六边形等．本节主要研究单位图形为正方形的网格．例：问题呈现：如图1，在边长为1的正方形网格中，连接格点D，N和E，C，DN 和EC相交于点P，求tan∠CPN的值．方法归纳求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出）一个直角三角形．观察发现问题中∠CPN不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题，比如连接格点M，N，可得MN∥EC，则∠DNM=∠CPN，连接DM，那么∠CPN就变换到Rt△DMN中．问题解决（1）直接写出图1中tan∠CPN的值为；（2）如图2，在边长为1的正方形网格中，AN与CM相交于点P，求cos∠CPN的值；思维拓展（3）如图3，AB⊥BC，AB=4BC，点M在AB上，且AM=BC，延长CB到N，使BN=2BC，连接AN交CM的延长线于点P，用上述方法构造网格，求∠CPN的度数．分析（1）tan∠CPN=tan∠DNM =DMMN=222=2；（2）过点C作CD∥AN，D为格点，得∠DCM=∠CPN=45°；（3）利用网格及线段间的关系，构造等腰直角三角形来解决．解：（1） （2） （3） 课内练习在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．以顶点都是格点的正方形ABCD 的边为斜边，向内作四个全等的直角三角形，使四个直角顶点E ，F ，G ，H 都是格点，且四边形EFGH 为正方形，我们把这样的图形称为格点弦图．例如，在如图1所示的格点弦图中，正方形ABCD 的边长为65，此时正方形EFGH 的面积为5．问：当格点弦图中的正方形ABCD 的边长为65时，正方形EFGH 的面积的所有可能值是__ ___（不包括5）． MPB C NAE图3作业题1．下列4⨯4的正方形网格图中，每个小正方形的边长都是1，三角形的顶点都在格点上，那么与如图中△ABC相似的三角形所在的网格图是（）2．如图，在平面直角坐标系xOy中，点4 (,)3A m m-绕坐标原点O顺时针旋转90°后，恰好落在右图中阴影区域（包括边界）内，求m的取值范围是．3．定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等．．．) ，我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”.（1）如图1，已知Rt△ABC在正方形网格中，请你只用无刻度的直尺．．．．．．在网格中找到一格点D，使四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形（找出2个即可）；（2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC=80°，∠ADC=140°，对角线BD平分∠ABC.求证：BD是四边形ABCD的“相似对角线”；（3）如图3，已知FH是四边形EFGH的“相似对角线”，点E与点H为对应点，∠EFH=∠HFG=30°，连接EG，若△EFG的面积为23，求FH的长．。

专题23 网格中求正切【法一】构造直角三角形求Ð=________．如图是由边长为1的小正方形组成的44´网格，则tan BAC【法二】转移角后再求如图，A，B，C，D均为网格图中的格点，线段AB与CD相交于点P，则∠APD的正切值为（）A．3B．2C．D．【法三】等面积法求Ð如图，网格中小正方形的边长均为1，点A，B、O都在格点（小正方形的顶点）上，则tan AOB 的值是______．【综合演练】1．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（）A．2B C D．12【答案】DÐ的正切【分析】连接AC，根据网格图不难得出=90CABа，求出AC、AB的长度即可求出ABC值．【详解】连接AC，2．如图所示的方格纸中，△ABC的顶点都在格点上，则tan∠BAC的值为（）A．1B C D．223．如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则tan∠ACB的值为（）A ．13B ．35C ．23D ．124．如图，正方形网格中每个小正方形的边长都是1，若点A 、B 、C 都在格点上，则tan ∠BAC 的值是_____．【答案】1【分析】根据已知图形得出45CAD Ð=°，再求解即可.【详解】5．如图，A，B，C三点在正方形网格线的交点处，将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，若A，C，B′三点共线，则tan∠B′CB=________．【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理和锐角三角函数关系，得出BD⊥CB′是解题的关键．6．如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C都在这些小正方形的顶点上，则∠ABC的正切值是．【答案】2【详解】试题分析：设小正方形边长为a，链接AC，那么因为所以考点：勾股定理点评：本题是锐角三角函数与勾股定理的结合，难度适中，解题关键是注意转化思想和数形结合思想的应用．V的顶点都在格点上，则7．如图，在44´的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，ABCÐ的正切值是______．ABC【答案】2【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出△ABC的形状，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．【详解】解：由图可知，AC2=22+42=20，BC2=12+22=5，AB2=32+42=25，8．如图，在1×3的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交Ð=_____________于点P，则tan APC9．如图，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C都在小正方形的顶点上，则∠ABC的正切值为_____．【答案】1【分析】根据勾股定理求出△ABC的各个边的长度，根据勾股定理的逆定理求出∠ACB＝90°，再解直角三角形求出即可．【详解】如图：长方形AEFM，连接AC，∵由勾股定理得：AB2＝32+12＝10，BC2＝22+12＝5，AC2＝22+12＝5∴AC2+BC2＝AB2，AC＝BC，即∠ACB＝90°，∴∠ABC＝45°∴tan∠ABC=1【点睛】本题考查了解直角三角形和勾股定理及逆定理等知识点，能求出∠ACB＝90°是解此题的关键.10．如图所示，在44´的网格中，每个小正方形的边长为1，线段AB、CD的端点均为格点．（1）CD的长度为______；（2）CD与网格线交于E，则DE=______；（3）若AB与CD所夹锐角为a，则tan a=______．．11．如图所示，在边长相同的小正方形组成的网格中，AB 与CD 交于点P ，那么tan APD Ð=__________．【答案】2【分析】要求∠APD 的正切值，要把∠APD 放在直角三角形中，构造直角三角形，连结正方形的对角线AE ，EF 、FB ，故有AE =EF=FB=CD ，直角三角形构成△AEG ，下面解决AE 与EG 的关系，发现G 在EF 上，EF=AE ，只要G 为EF 中点，为此证△AGE ≌△BGF ，在Rt △AGE 中tan ∠AGE 可求即可．【详解】如图连结AE 、EF 、FB ，EF 与AB 交于G ，由正方形知AE=EF=EB=DC ，∠AEG=∠GFB=90º,∠AGE=∠BGF,【点睛】本题考查网格中求角的正切值问题，关键是把给的角转移到三角形中，掌握正方形性质，12．如图，在8×4的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上则tan A的值为______．Ð的值为13．如图，每一个小方格的边长都相等，点A、B、C三点都在格点上，则tan BAC________．Ð的值为________．14．如图，点A、B、C在正方形网格的格点上，则tan BAC三、解答题15．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：（1）用2B铅笔画AD∥BC（D为格点），连接CD；（2）线段CD的长为 ；（3）请你在△ACD的三个内角中任选一个锐角，若你所选的锐角是 ，则它所对应的正弦函数值是 ；（4）若E为BC中点，则tan∠CAE的值是 ．三边的长分别为，求∠A的正切值．小华是这样解决问题的：如图2所示，先在一个正方形网格（每个小正方形的边长均为1）中画出格点△ABC（△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），然后在这个正方形网格中再画一个和△ABC相似的格点△DEF，从而使问题得解．（1）图2中与A Ð相等的角为 ， A Ð的正切值为 ；（2）参考小华解决问题的方法，利用图4中的正方形网格（每个小正方形的边长均为1）解决问题：如图3，在△GHK 中，HK=2，HG=KG=HK ，求+a b ÐÐ的度数．17．如图，在边长为1的小正方形方格纸中，有线段AB 、CD ，点A 、B 、C 、D 均在小正方形的顶点上．（1）在图中画一个以线段AB 为斜边的等腰直角三角形ABE ，点E 在小正方形的顶点上，并直接写出BE 的长；（2）在图中画一个钝角三角形CDF ，点F 在小正方形的顶点上，并且三角形CDF 的面积为92，3tan 4DCF Ð=．。

三乘三的方格1. 概述三乘三的方格是指一个由3行3列组成的正方形网格。

这个简单却有趣的图形在数学、几何和计算机科学等领域中都具有重要的应用。

本文将介绍三乘三的方格在不同领域中的应用以及相关概念和问题。

2. 数学中的应用2.1 网格图形三乘三的方格可以看作是一个网格图形，它由9个小正方形组成。

在数学中，网格图形经常被用来研究几何性质和图论问题。

例如，通过对网格图形进行旋转、翻转和平移等操作，可以得到一些有趣的性质。

2.2 方阵与矩阵三乘三的方格也可以看作是一个3x3的方阵或矩阵。

矩阵在线性代数和计算机科学中都具有重要的地位。

通过对矩阵进行运算，我们可以解决线性方程组、求解特征值和特征向量等问题。

2.3 组合数学在组合数学中，我们可以通过对三乘三的方格进行染色来研究不同染色方案的数量和性质。

例如，我们可以计算出在给定颜色数目的情况下，有多少种不同的染色方案。

3. 几何中的应用3.1 空间划分三乘三的方格可以用来进行空间划分。

通过将每个小正方形看作一个空间单元，我们可以将整个方格划分为9个不同的区域。

这种空间划分在计算机图形学和地理信息系统中经常被使用。

3.2 图案设计三乘三的方格可以用来设计各种图案和装饰。

通过对方格进行染色、填充或者加入其他几何图形，我们可以创造出各种美观且有趣的图案。

这种图案设计在艺术、建筑和纺织品等领域中有广泛的应用。

4. 计算机科学中的应用4.1 图像处理在计算机视觉和图像处理中，三乘三的方格经常被用来表示图像的局部区域或者进行图像分割。

通过对每个小正方形进行像素值操作，我们可以实现各种图像处理算法，如平滑、锐化和边缘检测等。

4.2 游戏开发在游戏开发中，三乘三的方格可以用来表示游戏场景或者游戏界面的元素。

通过对方格进行状态变化和交互操作，我们可以实现游戏中的各种效果和功能。

这种游戏设计在手机游戏和电子游戏中都有广泛的应用。

5. 相关问题与研究5.1 方格染色问题方格染色问题是指给定一定数量的颜色，需要将三乘三的方格进行染色，使得相邻的小正方形具有不同的颜色。