网格中的作图题(8年级下)

2024年教科新版八年级数学下册月考试卷633考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______ 姓名：______ 班级：______ 考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共7题，共14分)1、以下列条件构成的三角形中，不属于直角三角形的是（）A. ∠A=∠B=45°B. ∠A=∠B+∠CC. AB=5，BC=12，AC=13D. ∠A=2∠B=3∠C2、【题文】要使二次根式有意义，字母的取值范围必须满足的条件是（）A.B.C.D.3、正方形的网格中；每个小正方形的边长为1，则网格中三角形ABC中，边长是无理数的边数是（）A. 0B. 1C. 2D. 34、如图；在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D为BC上一点，AB=BD，DE⊥BC，交AC于E，则图中的等腰三角形的个数有（）A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个5、下列计算正确的是( )A. 5−3=2B. 8+2=4C. 27=33D. (1+2)(1−2)=16、已知△ABC≌△DEF，点A、B的对应点分别是点D、E，若∠A=40°，∠E=60°，则∠C的度数是（）A. 100°B. 80°C. 60°D. 40°7、给出下列长度的四组线段：①1，2，2；②5，12，13；③6，7，8；④3m，4m，5m（m＞0）.其中能组成直角三角形的有（）A. ①②B. ②④C. ②③D. ③④评卷人得分二、填空题(共5题，共10分)8、某药品由原售价连续两次降价，每次下降的百分率相同，每瓶零售价由150元降为96元，那么下降的百分率是____．9、如图，把抛物线平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（-6，0）和原点O（0，0），它的顶点为P，它的对称轴与抛物线交于点Q，则图中阴影部分的面积为________________．10、已知关于x的方程2x+mx−2=3的解是非负数，则m的取值范围为 ______ ．11、在下面的六幅图中，（2）（3）（4）（5）（6）中的图案_________可以通过平移图案（1）得到的.12、（2015•玉林）某校对学生上学方式进行了一次抽样调查，并根据此次调查结果绘制了一个不完整的扇形统计图，其中“其他”部分所对应的圆心角是36°，则“步行”部分所占百分比是____．评卷人得分三、判断题(共9题，共18分)13、由2a＞3，得；____．14、正数的平方根有两个，它们是互为相反数____15、－52的平方根为－5.（）16、等腰梯形、直角梯形是特殊梯形．（判断对错）17、有意义的x的取值范围是x＞．____（判断对错）18、判断：两组邻边分别相等的四边形是菱形.（）19、判断：×===6（）20、线段是中心对称图形，对称中心是它的中点。

2023中考真题抢先练：数学网格作图1.（2023达州18题）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，△ABC 的顶点均在小正方形的格点上.（1）将△ABC 向下平移3个单位长度得到△A 1B 1C 1，画出△A 1B 1C 1；（2）将△ABC 绕点C 顺时针旋转90度得到△A 2B 2C 2，画出△A 2B 2C 2；（3）在（2）的运动过程中请计算出△ABC 扫过的面积.第1题图【推荐区域：安徽陕西】【参考答案】解：（1）如解图，△A 1B 1C 1即为所求；（2）如解图，△A 2B 2C 2即为所求；第1题解图（3）由图可得，△ABC 为等腰直角三角形，∴51222=+==BC AB ，AC =101322=+，∴25552121=´´=×=D BC AB S ABC ，∴△A 1B 1C 1在旋转过程中扫过的面积为2ABCACA S S D +扇形290360p ´=+52=52π+52.反比例与一次函数性质综合题2.（2023自贡24题）如图，点A (2，4)在反比例函数xm y =1图象上，一次函数b kx y +=2的图象经过点A ，分别交x 轴，y 轴于点B ，C ，且△OAC 与△OBC 的面积比为2：1.（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）请直接写出y 1≥y 2时，x 的取值范围.第2题图【推荐区域：安徽江西甘肃】【参考答案】解：（1）将A （2，4）代入x m y =1中得24m =，解得m =8，∴xy 81=，∵C （0，b ），∴12OAC S OC D =·2=b ，∵△OAC 与△OBC 的面积比为2：1，∴b OB OC S OBC 2121=´=D ，解得OB =1，∴B （-1，0）或（1，0），①将A （2，4），B （-1，0）代入b kx y +=2中，得îíì+-=+=，，b k b k 024解得ïîïíì==，，3434b k ∴34342+=x y ；②将A （2，4），B （1，0）代入b kx y +=2中，得îíì+=+=，，b k b k 024解得îíì-==，，44b k ∴442-=x y ；综上可知，一次函数的解析式为34342+=x y 或442-=x y ；（2）当34342+=x y 时，x ≤-3或0＜x ≤2；当442-=x y 时，x ≤-1或0＜x ≤2.解直角三角形的实际应用3.（2023达州19题）莲花湖湿地公园是当地人民喜爱的休闲景区之一，里面的秋千深受孩子们喜爱，如图所示，秋千链子的长度为3m ，当摆角∠BOC 恰为26°时，座板离地面的高度BM 为0.9m ，当摆动至最高位置时，摆角∠AOC 为50°，求座板距地面的最大高度为多少m?(结果精确到0.1m ；参考数据：sin 26°=0.44，cos 26°≈0.9，tan 26°≈0.49，sin 50°≈0.77，cos 50°≈0.64，tan 50°≈1.2)第3题图【推荐区域：安徽江西河南甘肃】【参考答案】解：如解图，过点B 作BD ⊥ON 于点D ，过点A 作AE ⊥ON 于点E ，作AF ⊥MN于点F，第3题解图∴四边形BDNM，AENF均为矩形，∴BM=DN=0.9，AF=EN，在Rt△OBD中，OD=OB·cos26°=3cos26°，∴ON=OD+DN=3cos26°+0.9，在Rt△OAE中，OE=OA·cos50°=3cos50°，∴EN=ON-OE=3cos26°+0.9-3cos50°，∴AF=3cos26°+0.9-3cos50°≈3×0.9+0.9-3×0.64=1.68≈1.7（m），答：座板距地面的最大高度为1.7m.4.（2023重庆A卷24题）为了满足市民的需求，我市在一条小河AB两侧开辟了两条长跑锻炼线路，如图：①A—D—C—B；②A—E—B.经勘测，点B在点A的正东方，点C在点B的正北方10千米处，点D在点C的正西方14千米处，点D在点A的北偏东45°方向，点E在点A的正南方，点E在点B的南偏西60°方向.( 1.41≈1.73)（1）求AD的长度；(结果精确到1千米)（2）由于时间原因，小明决定选择一条较短线路进行锻炼，请计算说明他应该选择线路①还是线路②?第4题图【推荐区域：安徽江西河南甘肃】【参考答案】解：（1）如解图，过点D作DF⊥AB于点F.第4题解图由题意可知，AB∥CD，BC⊥AB，∴四边形BCDF是矩形，且BC=10，CD=14.∴DF=BC=10，在Rt△ADF中，∠DAF=45°，∴AD≈14（千米），答：AD的长度约为14千米；（2）由题意可知，EA⊥AB，∠ABE=90°-60°=30°，∵AF=DF=10，BF=CD=14，∴AB=AF+BF=10+14=24，∴在Rt△ABE中，AE AB BE=2AE线路①：AD+CD+BC≈38.1（千米），线路②：AE+BE41.52（千米），∵38.1＜41.52，∴小明应选择线路①.二次函数的实际应用5.（2023南充23题）某工厂计划从A ，B 两种产品中选择一种生产并销售，每日产销x 件，已知A 产品成本价m 元/件(m 为常数，且4≤m ≤6)，售价8元/件，每日最多产销500件，同时每日共支付专利费30元；B 产品成本价12元/件，售价20元/件，每日最多产销300件，同时每日支付专利费y 元，y (元)与每日产销x （件）满足关系式201.080x y +=.（1）若产销A ，B 两种产品的日利润分别为1w 元，2w 元，请分别写出1w ，2w 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（2）分别求出产销A ，B 两种产品的最大日利润；(A 产品的最大日利润用含m 的代数式表示)（3）为获得最大日利润，该工厂应该选择产销哪种产品?并说明理由.[利润=(售价一成本)×产销数量一专利费]【推荐区域：安徽河北云南江西】【参考答案】解：（1）根据题意，得30)8(1--=x m w ，0≤x ≤500.)01.080()1220(22x x w +--=80801.02-+-=x x ，0≤x ≤300；（2）∵8-m >0，∴1w 随x 的增大而增大，又0≤x ≤500，∴当x =500时，1w 的值最大，39705001+-=m w 最大.1520)400(01.080801.0222+--=-+-=x x x w .∵-0.01<0，对称轴为直线x =400，当0≤x ≤300时，2w 随x 的增大而增大，∴当x =300时，2w 最大=-0.01×(300-400)2+1 520=1 420（元）.（3）①若最大1w =最大2w ，即-500m +3970=1420，解得m =5.1；②若最大1w >最大2w ，即-500m +3970>1 420，解得m <5.1；③若最大1w <最大2w ，即-500m +3 970<1420，解得m >5.1.又∵4≤m ≤6，∴综上可得，为获得最大日利润：当m =5.1时，选择A ，B 产品产销均可；当4≤m <5.1时，选择A 种产晶产销；当5.1<m ≤6时，选择B 种产品产销.二次函数性质综合题6.（2023遂宁25题）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线c bx x y ++=241经过点O (0，0)，对称轴过点B (2，0)，直线l 过点C (2，-2)且垂直于y 轴.过点B 的直线1l 交抛物线于点M ，N ，交直线l 于点Q ，其中点M ，Q 在抛物线对称轴的左侧.（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，当BM ：MQ =3：5时，求点N 的坐标；（3）如图2，当点Q 恰好在y 轴上时，P 为直线1l 下方的抛物线上一动点，连接PQ ，PO ，其中PO 交1l 于点E ，设△OQE 的面积为1S ，△PQE 的面积为2S ，求12S S 的最大值.第6题图【推荐区域：安徽陕西】【参考答案】解：（1）由题意得0b 2124c =ìïïí-=ï´ïî，，解得01c b =ìí=-î，，∴抛物线的解析式为y =214x -x ；（2）如解图，过点M ，Q 作MD ⊥x 轴，QH ⊥x 轴分别于点D ，H ，第6题解图∴DM ∥HQ ，∴△BDM ∽△BHQ ，∴BM BQ =DM HQ ，∴38=2DM ，∴DM =34，∴点M 的纵坐标为-34，代入y =34x 2-x 中，解得x M =1或x M =3，∵点M 在抛物线对称轴的左侧，∴x M =1，∴点M （1，-34），设直线BM 的解析式为y =kx +b 1，将点M （1，-34）和点B （2，0）代入，得113=402k b k b ì-+ïíï=+î，，解得13=432k b ìïïíï=-ïî，，∴直线BM 的解析式为y =2343-x ，联立2143342y x x y x ì=-ïïíï=-ïî，，解得134x y =ìïí=-ïî，或63x y =ìí=î，，∵点N 在对称轴的右侧，∴点N （6，3）；（3）由题意可知，点Q 的坐标为（0，-2），设点P （m ，14m 2-m ），由题意得直线y OP =（14m -1）x ，直线l 1的解析式为y BQ =x -2，联立1(1)42y m x y x ì=-ïíï=-î，，∴点E 的横坐标为x E =88m -，∴S 1=21OQ ·x E =21×2×m -88=m-88，S 2=21OQ ·(P E x x -）=21×2（m -m-88）=m m m ---8882，∴22188888S m m m S m ---=-=1812-+-m m =1)4812+--m （，∵81-＜0，∴当m =4时，12S S 有最大值，最大值为1，∴12S S 的最大值为1.。

一、选择题1．如图的网格中，每个小正方形的边长为1，A ，B ，C 三点均在格点上，结论错误的是（ ）A ．AB=25B ．∠BAC=90°C ．ABC S 10=D ．点A 到直线BC 的距离是22．如图，在ABC 中，AB AC =，BD 平分ABC ∠，将BCD △连续翻折两次，C 点的对应点E 点落在边AB 上，B 点的对应点F 点恰好落在边AC 上，则下列结论正确的是（ ）A ．18,2A AD BD ∠=︒=B ．18,A AD BC BD ∠=︒=+ C ．20,2A AD BD ∠=︒=D ．20,A AD BC BD ∠=︒=+3．下列说法中，不正确的有（ ） ①不在角的平分线上的点到这个角的两边的距离不相等；②三角形两内角的平分线的交点到各边的距离相等；③到三角形三边距离相等的点有1个④线段中垂线上的点到线段两端点的距离相等，⑤到三角形三个顶点距离相等的点有1个A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4．下列命题中真命题的个数（ ）（1）面积相等的两个三角形全等（2）无理数包含正无理数、零和负无理数（3）在直角三角形中，两条直角边长为n 2﹣1和2n ，则斜边长为n 2＋1；（4）等腰三角形面积为12，底边上的高为4，则腰长为5．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 5．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，若∠A ＝30°，BD ＝1，则AD 的长为（ ）A ．3B ．2C ．3D ．236．如图，ABC 中，D 、E 为线段BE 上两点，且AC DC =，BA BE =，若52DAE BAC ∠=∠，则DAE ∠的度数为（ ）A ．40︒B ．45︒C ．50︒D ．60︒ 7．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ） A ．1,2,3B ．2,3,4C ．4,5,6D ．()5,12,130a a a a >8．如图，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AD 是高，BE 是中线，CF 是角平分线，CF 交AD 于G ，交BE 于H ．下列结论：①BE BCE S S =△A △；②2BAG ACF ∠=∠；③AFG AGF ∠=∠；④BH CH =．其中所有正确结论的序号是（ ）A ．①③B ．①②③C ．②③④D ．①②③④ 9．如图，ABC 中，BAC 60∠=︒，BAC ∠的平分线AD 与边BC 的垂直平分线MD 相交于点D ，DE AB ⊥交AB 的延长线于点E ，DF AC ⊥于点F ，现有下列结论：①DE DF =；②DE DF AD +=；③DM 平分ADF ∠；④2AB AC AE +=．其中正确的有（ ）A ．①②B ．①②③④C ．①②④D ．②④ 10．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，过B 点作BE ⊥AD 于E ，过E 作EF //AC 交AB 于F ，则（ ）A ．不确定B ．AF=BFC ．AF >BFD ．AF <BF11．如图，在ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，以点A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB ，AC 于点M 和N ，再分别以M ，N为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连接AP 并延长交BC 于点D ，则下列结论不正确的是（ ）A ．AD 平分∠BACB ．∠ADC =60° C ．点D 在AB 的垂直平分线上 D ．:DAC ABC S S ＝1：212．如图，以△ABC 的边AB 、AC 为边向外作等边△ABD 与等边△ACE ，连接BE 交DC 于点F ，下列结论：①CD =BE ；②FA 平分∠DFE ；③∠BFC =120°；④AFE EFC S AF S FC∆∆=．其中正确的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个二、填空题13．如图，在ABC 中，10,12,CA CB AB AB ===边上的中线8,CD AE =平分BAC ∠，P 是线段AE 上的一点，,PF AB PG BC ⊥⊥，若:1:2PF PG =，则PG =_________．14．如图所示，有n +1个边长为1的等边三角形，点A 、C 1、C 2、C 3、…、C n 都在同一条直线上，若记△B 1C 1D 1的面积为S 1，△B 2C 2D 2的面积为S 2，△B 3C 3D 3的面积为S 3，…，△B n C n D n 的面积为S n ，则（1）S 1＝_____；（2）S n ＝_____．15．如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地四边形ABCD ，经测量，3m AB =，4m BC =，12m CD =，13m DA =，90B ∠=︒．小区美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米100元，试问铺满这块空地需花_________元．16．如图，在ABC 中，6,,BC AD DC =分别平分,BAC ACB ∠∠，点E 为BC 上一点，若105ADC ︒∠=，则CD DE +的最小值为________．17．如图，在ABC 中，分别以点A 和点B 为圆心，大于12AB 为半径画弧，两弧相交于点M 、N ，作直线MN ，交BC 于点D ，ADC 的周长为15，7AB =，则ABC 的周长为______．18．如图所示，在ABC 中，AB AC =，BAD ∠=α，且AE AD =，则EDC ∠=______．19．已知：如图，在ABC 中，AB AC =，30C ∠=︒，AB AD ⊥，4cm AD =，则BC 的长为__________cm ．20．如图，在ABC 中，AB AC =，38A ∠=︒，AB 的垂直平分线交AC 点E ，垂足为点D ，连接BE ，则EBC ∠的度数为________．三、解答题21．如图，已知E 、F 分别是ABC 的边AB 和AC 上的两个定点，在BC 上找一点M ，使EFM △的周长最小．（不写作法，保留作图痕迹）22．在ABC ∆中，AB AC =，点D 是直线BC 上一点（不与B ，C 重合），以AD 为一边在AD 的右侧作ADE ∆，使AD AE =，DAE BAC ∠=∠，连接CE ．（1）如图1，当点D 在线段BC 上，如果90BAC ∠=︒，则BCE ∠=__度；（2）如图2，如果60BAC ∠=︒，求BCE ∠的度数是多少？（3）设BAC α∠=，BCE β∠=．①如图3，当点D 在线段BC 上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由；②当点D 在直线BC 上移动，请直接写出α，β之样的数量关系，不用证明．23．（1）猜想：如图1，已知：在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线m 经过点A ，BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，垂足分别为点D 、E 试猜想DE 、BD 、CE 有怎样的数量关系，请直接写出；（2）探究：如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在ABC 中，AB AC =，D ，A 、E 三点都在直线m 上，并且有BDA AEC BAC α∠=∠=∠=（其中α为任意锐角或钝角）如果成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）解决问题：如图3，F 是角平分线上的一点，且ABF 和ACF 均为等边三角形，D 、E 分别是直线m 上A 点左右两侧的动点D 、E 、A 互不重合，在运动过程中线段DE 的长度始终为n ，连接BD 、CE ，若BDA AEC BAC ∠=∠=∠，试判断DEF 的形状，并说明理由．24．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A ，B 都在格点上，点A 的坐标为（-1，4），点B 的坐标为（-3，2），请按要求回答下列问题：（1）请你在网格中建立合适的平面直角坐标系；（2）在y 轴左侧找一格点C ，使△ABC 是以AB 为腰的等腰直角三角形，则点C 的坐标为____，△ABC 的周长是 ；（3）在x 轴上是否存在点P ，使△ABP 的周长最小?若存在，请求出点P 的坐标;若不存在，请说明理由．25．如图，∠BAC ＝∠DAE ＝90°，AB ＝AC ，AD ＝AE ，BE 、CD 交于F ．（1）求证：BE ＝CD ；（2）连接CE ，若BE ＝CE ，求证：从“①DE ⊥AC”、“②DE ∥AB”中选择一个填入（2）中，并完成证明26．已知：如图，在ABC 中，,90AC BC ACB =∠=︒，D 是AB 延长线上一点，过点C 作CE CD ⊥，使CE CD =，连结,BE DE ．（1）求证：AD BE =．（2）求DBE ∠的度数．（3）连结AE ，若ADE 是等腰三角形，1AB =，求DE ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】根据勾股定理以及其逆定理和三角形的面积公式逐项分析即可得到问题答案．【详解】解：22242025+=A 正确，不符合题意；∵AC 22125+=BC 2234255=+==，∴22252025AC AB BC +=+==，∴△ACB 是直角三角形，∴∠CAB=90°，故选项B 正确，不符合题意；S △ABC 111442421345222=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=，故选项C 错误，符合题意； 点A 到直线BC 的距离2552AC AB BC ===，故选项D 正确，不符合题意； 故选：C ．【点睛】本题考查了勾股定理以及逆定理的运用，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么 222+=a b c ．熟记勾股定理的内容是解题得关键．2．D解析：D【分析】设∠ABC=∠C=2x ，根据折叠的性质得到∠BDE=∠BDC=∠FDE=60°BD=DF ，BC=BE=EF ，在△BDC 中利用内角和定理列出方程，求出x 值，可得∠A ，再证明AF=EF ，从而可得AD =BC+BD ．【详解】解：∵AB=AC ，BD 平分∠ABC ，设∠ABC=∠C=2x ，则∠A=180°-4x ，∴∠ABD=∠CBD=x ，第一次折叠，可得：∠BED=∠C=2x ，∠BDE=∠BDC ，第二次折叠，可得：∠BDE=∠FDE ，∠EFD=∠ABD=x ，∠BED=∠FED=∠C=2x ，∵∠BDE+∠BDC+∠FDE=180°，∴∠BDE=∠BDC=∠FDE=60°，∴x+2x+60°=180°，∴x=40°，即∠ABC=∠ACB=80°，∴∠A=20°，∴∠EFD=∠EDB=40°，∴∠AEF=∠EFD-∠A=20°，∴AF=EF=BE=BC ，∴AD=AF+FD=BC+BD ，故选D ．【点睛】本题考查了翻折的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．3．C解析：C【分析】根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质逐一进行判断即可．【详解】①根据角平分线的判定可知①正确；②根据角平分线的性质可知②正确；③缺乏前提条件：在三角形内部，若不限制条件，到三角形三边距离相等的点有4个，故③错误；④根据垂直平分线的性质可知④正确；⑤缺乏前提条件：在平面内，若不在平面内到三角形三个顶点距离相等的点有无数个，故⑤错误，∴错误的有2个，故选：C ．【点睛】本题主要考查角平分线的性质和判定及垂直平分线的性质，掌握角平分线的性质和垂直平分线的性质是解题的关键．4．B解析：B【分析】根据三角形全等的性质、无理数的定义、勾股定理进行判断即可；【详解】面积相等的三角形不一定全等，故（1）是假命题；零不是无理数，故（2）是假命题；()()222242214211n n n n n -+=++=+，故（3）是真命题； 根据题意可得，底边长为12246⨯÷=，则底边长的一半为623÷=，腰长为5=，故（4）是真命题；综上所述，真命题有2个；故答案选B ．【点睛】本题主要考查了命题的真假判断，结合全等三角形的定义、无理数定义、勾股定理判断是解题的关键．5．C解析：C【分析】求出∠BCD=30°，根据含30°角的直角三角形的性质求出BC=2，求出AB=4，即可得出答案．【详解】解：∵△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠B=60°，∵CD是高，∴∠CDB=90°，∴∠BCD=30°，∵BD=1，∴BC=2BD=2，∵在△ACB中，∠ACB=90°，∠A=30°，∴AB=2BC=4，∴AD=AB-BD=4-1=3，故选：C．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，含30度角的直角三角形的性质的应用，解题的关键是得出BC=2BD和AB=2BC，难度适中．6．A解析：A【分析】根据等腰三角形的性质可得出∠BAE＝∠BEA，∠ADC＝∠DAC，然后分别用外角的知识表示出这个关系，进而结合5∠DAE＝2∠BAC可得出∠DAE的值．【详解】解：∵AC＝DC，BA＝BE，∴∠DAE+∠EAC＝∠ADE＝∠B+∠BAD①，∠EAD+∠BAD＝∠AED＝∠C+∠EAC②，①+②可得：∠DAE+∠EAC+∠EAD+∠BAD＝∠B+∠BAD+∠C+∠EAC，整理，得∠DAE+∠BAC＝180°﹣∠DAE，又5∠DAE＝2∠BAC，设∠DAE=2x，则∠BAC=5x，上式即为2x+5x=180°－2x，解得：x=20°，即∠DAE＝40°．故选：A．【点睛】本题考查等腰三角形的性质及三角形的内角和定理，有一定的难度，解答本题需用到等腰三角形的两底角相等、三角形的内角和等于180°．7．D解析：D【分析】根据勾股定理逆定理判断即可；【详解】≠A不正确；≠B不正确；≠C不正确；=，故D正确；故答案选D．【点睛】本题主要考查了勾股定理逆定理，准确计算是解题的关键．8．B解析：B【分析】根据中线的性质即可判断①；根据三角形内角和定理求出∠BAD＝∠ACB，再用角平分线的定义推出②；根据三角形内角和定理求出∠ABC＝∠DAC，再用外角的性质可判断③；根据等腰三角形的判定判断④．【详解】解：∵BE是中线，∴AE＝CE，∴△ABE的面积＝△BCE的面积，故①正确；∵AD为高，∴∠ADB＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ABC+∠BAD＝90°，∴∠ACB＝∠BAD，∵CF是∠ACB的平分线，∴∠ACB＝2∠ACF，∴∠BAD＝2∠ACF，即∠BAG＝2∠ACF，故②正确；∵CF是角平分线，∴∠ACF＝∠BCF，∵AD为高，∴∠ADC＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ACB+∠CAD＝90°，∴∠ABC＝∠CAD，∵∠AFG＝∠ABC+∠BCF，∠AGF＝∠CAD+∠ACF，∴∠AFG＝∠AGF，故③正确；根据已知条件不能推出∠HBC＝∠HCB，即不能推出BH＝CH，故④错误；故选：B．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，三角形的角平分线、中线、高，等腰三角形的判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．9．C解析：C【分析】①由角平分线的性质可知①正确；②由题意可知∠EAD=∠FAD=30°，故此可知ED=12AD，DF=12AD，从而可证明②正确；③若DM平分∠EDF，则∠EDM=60°，从而得到∠ABC为等边三角形，条件不足，不能确定，故③错误；④连接BD、DC，然后证明△EBD≌△DFC，从而得到BE=FC，从而可证明④．【详解】解：如图所示：连接BD、DC．①∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴ED=DF．∴①正确．②∵∠EAC=60°，AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠FAD=30°．∵DE⊥AB，∴∠AED=90°．∵∠AED=90°，∠EAD=30°，∴ED=12AD．同理：DF=12 AD．∴DE+DF=AD．∴②正确．③由题意可知：∠EDA=∠ADF=60°．假设MD平分∠EDF，则∠ADM=30°．则∠EDM=60°，又∵∠E=∠BMD=90°，∴∠EBM=120°．∴∠ABC=60°．∵∠ABC是否等于60°不知道，∴不能判定MD平分∠EDF，故③错误．④∵DM 是BC 的垂直平分线，∴DB=DC ．在Rt △BED 和Rt △CFD 中DE DF BD DC ⎧⎨⎩＝＝， ∴Rt △BED ≌Rt △CFD ．∴BE=FC ．∴AB+AC=AE-BE+AF+FC又∵AE=AF ，BE=FC ，∴AB+AC=2AE ．故④正确．故选：C ．【点睛】本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．10．B解析：B【分析】根据角平分线的定义和两直线平行，内错角相等的性质得到FAE FEA ∠=∠，即可得到AF=EF ，再根据BE ⊥AD ，得到90AEB =︒∠，再根据等角的余角相等得到ABE BEF ∠=∠，根据等边对等角的性质得到BF=EF ，即可得解；【详解】∵AD 平分∠BAC ，EF //AC ，∴FAE FEA ∠=∠，∴AF=EF ，∵BE ⊥AD ，∴90FAE ABE ∠+=︒，90AEF BEF ∠+∠=︒， ∴ABE BEF ∠=∠， ∴BF=EF ，∴AF=BF ；故答案选B ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质、三角形的角平分线，准确分析证明是解题的关键． 11．D解析：D【分析】由作图可得：AD 平分,BAC ∠ 可判断A ，再求解1302DAC DAB BAC ∠=∠=∠=︒， 可得60,ADC ∠=︒ 可判断B ，再证明,DA DB = 可判断C ，过D 作DF AB ⊥于,F 再证明,DC DF = 再利用ACD ACD ABC ACD ABD S S SS S =+ ，可判断,D 从而可得答案． 【详解】解：90,30,C B ∠=︒∠=︒903060,BAC ∴∠=︒-︒=︒由作图可得：AD 平分,BAC ∠ 故A 不符合题意；1302DAC DAB BAC ∴∠=∠=∠=︒， 903060,ADC ∴∠=︒-︒=︒ 故B 不符合题意；30,DAB B ∠=∠=︒,DA DB ∴=D ∴在AB 的垂直平分线上，故C 不符合题意；过D 作DF AB ⊥于,F90,C AD ∠=︒平分,BAC ∠,DC DF ∴=30B ∠=︒，2,AB AC ∴=11,,22ACD ABD S AC CD S AB DF ∴== 121122ACDACD ABC ACD ABD AC CD SS S S S AC CD AB DF ∴==++ 1.233AC AC AC AC AB AC AC AC ====++ 故D 符合题意； 故选：.D【点睛】 本题考查的是三角形的内角和定理，角平分线的作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的判定，等腰三角形的判定，掌握以上知识是解题的关键．12．A解析：A【分析】过点A 作AM ⊥CD 于M ，AN ⊥BE 于N ，过点C 作CH ⊥BE 于H ，证明△ADC ≌△ABE ，可判断①，再证明AM =AN ，结合AM ⊥CD 于M ，AN ⊥BE 于N ，可判断②，证明∠ACF +∠BEC +∠ACE =120°，结合三角形的外角的性质可判断③，证明∠FAN =∠FCH =30°， 利用含30的直角三角形的性质与勾股定理可得： 33,,22AN AF HC FC == 再利用三角形的面积公式可判断④．【详解】解：过点A 作AM ⊥CD 于M ，AN ⊥BE 于N ，过点C 作CH ⊥BE 于H ，∵△ABD ，△ACE 都是等边三角形，∴AD =AB ，AE =AC ，∠DAB =∠EAC =60°，∴∠DAC =∠BAE ．在△ADC 和△ABE 中，AD AB DAC BAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC ≌△ABE （SAS ），∴CD =BE ，∠AEB =∠ACD ，故①正确∵△ADC ≌△ABE ，∴AM =AN ．∵AM ⊥CD 于M ，AN ⊥BE 于N ，∴AF 平分∠DFE ，故②正确．∵∠AEB =∠ACD ，∴∠AEC +∠ACE =120°=∠AEB +∠BEC +∠ACE ，∴∠ACF +∠BEC +∠ACE =120°，∴∠BFC =∠ACF +∠BEC +∠ACE =120°，故③正确，∴∠DFE =120°， ∴∠DFA =∠EFA =60°=∠CFE ．∵AN ⊥BE ，CH ⊥EF ，∴∠FAN =∠FCH =30°，∴22222,3,2,3,AF FN AN AF FN FN FC FH HC FC FH FH ==-===-=∴,,22AN AF HC FC ==∴12.12AEF EFC EF AN AF S AN AF S CH FC EF CH ⨯⨯====⨯⨯故④正确． 故选：A ．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，角平分线的判定与性质，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．二、填空题13．【分析】连接PBPC 过P 作PH ⊥AC 垂足为H 设PF=x 求出CD 的长从而算出△ABC 的面积再根据S △ABC=S △ABP+S △ACP+S △BCP=求出x 值可得结果【详解】解：连接PBPC 过P 作PH ⊥AC解析：167【分析】连接PB ，PC ，过P 作PH ⊥AC ，垂足为H ，设PF=x ，求出CD 的长，从而算出△ABC 的面积，再根据S △ABC =S △ABP +S △ACP +S △BCP =21x ，求出x 值，可得结果．【详解】解：连接PB ，PC ，过P 作PH ⊥AC ，垂足为H ，∵AP 平分∠BAC ，∴PF=PH ，设PF=x ，则PH=x ，PG=2x ，∵CA=CB=10，CD 是AB 中线，AB=12，∴AD=BD=6，则=8，∴S △ABC =12AB CD ⨯⨯=48， 又S △ABC =S △ABP +S △ACP +S △BCP =()12AB PF AC PH BC PG ⨯⋅+⋅+⋅ =()11210202x x x ⨯++ =21x=48解得：x=167， 即PG=167， 故答案为：167．【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，角平分线的性质，勾股定理，三角形的面积，解题的关键是利用△ABC 的面积列出方程．14．【分析】首先求出S1S2S3…探究规律后即可解决问题【详解】解：如图过点B 作BE ⊥AC1于点E ∵△ABC1是等边三角形AB=AC1=BC1=1∴AE=∴∴由题意可知=…所以∵∴故答案为：【点睛】本题 解析：38 34(1)n n + 【分析】首先求出S 1，S 2，S 3，…，探究规律后即可解决问题．【详解】解：如图，过点B 作BE ⊥AC 1于点E ，∵△ABC1是等边三角形，AB=AC1=BC1=1∴AE=12， ∴22221312BE AB AE ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭∴1113312AC B S ∆=⨯=由题意可知，11111111122B C D AC B AC B S S S S ∆∆∆====133248⨯=， 222211121233B C D AC B AC B S S S S ∆∆∆===， 333321131344B C D AC B AC B S S S S ∆∆∆===， …，所以111n AC B n S S n ∆=+， ∵111331224AC B S ∆=⨯⨯=， ∴3n n S =． 故答案为：3，3n 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究方法，学会利用规律解决问题，属于中考常考题型．15．3600【分析】连接AC 根据勾股定理的性质计算得AC ；根据勾股定理的逆定理推导得计算得从而得四边形面积；结合草坪每平方米100元通过计算即可得到答案【详解】如图连接AC ∵∴∵∴∴∴∴四边形面积为：∵解析：3600【分析】连接AC ，根据勾股定理的性质，计算得AC 、ABC S ；根据勾股定理的逆定理，推导得90ACD ∠=︒，计算得ACD S，从而得四边形ABCD 面积；结合草坪每平方米100元，通过计算即可得到答案．【详解】如图，连接AC∵3m AB =，4m BC =，90B ∠=︒∴225AC AB BC m =+=，2162ABC S AB BC m =⨯=△ ∵12m CD =，13m DA =∴22222512169DA AC CD =+=+=∴90ACD ∠=︒∴21302ACD S AC CD m =⨯=△ ∴四边形ABCD 面积为：236ABC ACD S S m +=△△∵草坪每平方米100元∴铺满这块空地需花：361003600⨯=元，故答案为：3600．【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理和勾股定理逆定理，从而完成求解．16．3【分析】如图过作于连接先说明平分当时可得可得所以当三点共线时此时最短再求解结合从而可得答案【详解】解：如图过作于连接分别平分平分当时则所以当三点共线时此时最短分别平分即的最小值是故答案为：【点睛】 解析：3【分析】如图，过D 作DP AB ⊥于,P 连接,BD 先说明BD 平分,ABC ∠ 当DE BC ⊥时，可得,DP DE = 可得,CD DE CD DP +=+ 所以当,,C D P 三点共线时，,CD DP CP += 此时最短，再求解30ABC ∠=︒，结合,CP AB ⊥ 从而可得答案． 【详解】解：如图，过D 作DP AB ⊥于,P 连接,BD,AD DC 分别平分,BAC ACB ∠∠，BD ∴平分,ABC ∠当DE BC ⊥时，则,DP DE =,CD DE CD DP ∴+=+所以当,,C D P 三点共线时，,CD DP CP += 此时最短，105ADC ∠=︒，18010575DAC DCA ∴∠+∠=︒-︒=︒，,AD DC 分别平分,BAC ACB ∠∠，()2150,BAC BCA DAC DCA ∴∠+∠=∠+∠=︒18015030ABC ∴∠=︒-︒=︒，,CP AB ⊥116322CP BC ∴==⨯=， 即CD DE +的最小值是3，故答案为：3．【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，三角形的角平分线的性质，含30的直角三角形的性质，垂线段最短，掌握以上知识是解题的关键．17．22【分析】根据题意可得MN 为AB 的垂直平分线故即可求解【详解】解：根据题意可得MN 为AB 的垂直平分线∴∴的周长为故答案为：22【点睛】本题考查尺规作图-线段垂直平分线线段垂直平分线的性质得到MN 为 解析：22【分析】根据题意可得MN 为AB 的垂直平分线，故AD BD =，即可求解．【详解】解：根据题意可得MN 为AB 的垂直平分线，∴AD BD =，∴ABC 的周长为22AC AB BC AC CD BD AB AC CD AD AB ++=+++=+++=，故答案为：22．【点睛】 本题考查尺规作图-线段垂直平分线、线段垂直平分线的性质，得到MN 为AB 的垂直平分线是解题的关键．18．【分析】根据等边对等角和三角形的外角性质列出等式整理即可得出结论【详解】解：根据题意：在△ABC 中AB=AC ∴∠B=∠C ∵AE=AD ∴∠ADE=∠AED ∴∠B+∠α-∠EDC=∠C+∠EDC 化简可得 解析：12α 【分析】根据等边对等角，和三角形的外角性质列出等式整理即可得出结论．【详解】解：根据题意：在△ABC 中，AB=AC ，∴∠B=∠C，∵AE=AD，∴∠ADE=∠AED，∴∠B+∠α-∠EDC=∠C+∠EDC，化简可得：∠α=2∠EDC，∴∠EDC=12α，故答案为：12 ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角定理，关键是熟悉三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的知识点．19．【分析】已知AB=AC根据等腰三角形的性质可得∠B的度数再求出∠DAC 的度数然后根据30°角直角三角形的性质求得BD的长再根据等角对等边可得到CD的长即可求得BC的长【详解】∵AB=AC∠C=30°解析：12【分析】已知AB=AC，根据等腰三角形的性质可得∠B的度数，再求出∠DAC的度数，然后根据30°角直角三角形的性质求得BD的长，再根据等角对等边可得到CD的长，即可求得BC的长．【详解】∵AB=AC，∠C=30°，∴∠B=∠C=30°，∴∠BAC=120°，∵AB⊥AD，AD=4，∴∠BAD=90°，BD=2AD=8，∴∠DAC=120°-90°=30°，∴∠DAC =∠C=30°，∴AD=CD=4，∴CB=DB+CD=12故答案为：12【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质及30°角直角三角形的性质，熟练运用等腰三角形的性质及30°角直角三角形的性质是解决问题的关键.20．33°【分析】先根据等腰三角形的性质求出再根据垂直平分线的性质求解即可；【详解】∵在中∴∵的垂直平分线交点垂足为点∴AE=BE∴∴；故答案是【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质垂直平分线的性解析：33°【分析】先根据等腰三角形的性质求出71ABC C ∠=∠=︒，再根据垂直平分线的性质求解即可；【详解】∵在ABC 中，AB AC =，38A ∠=︒，∴71ABC C ∠=∠=︒，∵AB 的垂直平分线交AC 点E ，垂足为点D ，∴AE=BE ，∴38A ABE ∠=∠=︒，∴713833EBC ∠=︒-︒=︒；故答案是33︒．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、垂直平分线的性质，准确计算是解题的关键．三、解答题21．画图见解析【分析】先作E 点关于直线BC 的对称点1,E 则1,ME ME = 再连接1,FE 交BC 于,M 从而可得到EFM △的周长最短．【详解】解：如图，EFM △是所求作的周长最小的三角形，【点睛】本题考查的轴对称的性质，过直线外一点作已知直线的垂线，线段的垂直平分线的性质，掌握利用轴对称的性质求解两条线段的和的最小值是解题的关键．22．（1）90；（2）120°；（3）①180αβ+=︒；见解析；②180αβ+=︒或αβ=【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得∠ABC ＝∠ACB ＝45°，由“SAS ”可证△BAD ≌△CAE ，可得∠ABC ＝∠ACE ＝45°，可求∠BCE 的度数；（2）由条件可得△ABC 为等边三角形，由“SAS ”可证△ABD ≌△ACE 得出∠ABD ＝∠ACE ＝60°，则可得出结论；（3）①由“SAS ”可证△ABD ≌△ACE 得出∠ABD ＝∠ACE ，再用三角形的内角和即可得出结论；②分两种情况画出图形，由“SAS ”可证△ABD ≌△ACE 得出∠ABD ＝∠ACE ，再用三角形的内角和即可得出结论．【详解】解：（1）∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝45°，∵∠DAE ＝∠BAC ，∴∠BAD ＝∠CAE ，且AB ＝AC ，AD ＝AE ，∴△BAD ≌△CAE （SAS ）∴∠ABC ＝∠ACE ＝45°，∴∠BCE ＝∠ACB +∠ACE ＝90°，故答案为：90；（2）∵∠BAC ＝60°，AB ＝AC ，∴△ABC 为等边三角形，∴∠ABD ＝∠ACB ＝60°，∵∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAD ＝∠CAE ，在△ABD 和△ACE 中，∵∠BAD ＝∠CAE ，且AB ＝AC ，AD ＝AE ，∴△ABD ≌△ACE （SAS ），∴∠ABD ＝∠ACE ＝60°，∴∠BCE ＝∠ACE +∠ACB ＝60°+60°＝120°，故答案为：120．（3）①α+β＝180°，理由：∵∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAC ﹣∠DAC ＝∠DAE ﹣∠DAC ．即∠BAD ＝∠CAE ．在△ABD 与△ACE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△ACE （SAS ），∴∠B ＝∠ACE ．∴∠B +∠ACB ＝∠ACE +∠ACB ．∵∠ACE +∠ACB ＝β，∴∠B +∠ACB ＝β，∵α+∠B +∠ACB ＝180°，∴α+β＝180°．②如图1：当点D 在射线BC 上时，α+β＝180°，连接CE ，∵∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAD ＝∠CAE ，在△ABD 和△ACE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△ACE （SAS ），∴∠ABD ＝∠ACE ，在△ABC 中，∠BAC +∠B +∠ACB ＝180°，∴∠BAC +∠ACE +∠ACB ＝∠BAC +∠BCE ＝180°，即：∠BCE +∠BAC ＝180°，∴α+β＝180°，如图2：当点D 在射线BC 的反向延长线上时，α＝β．连接BE ，∵∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAD ＝∠CAE ，且AB ＝AC ，AD ＝AE ，∴△ABD ≌△ACE （SAS ），∴∠ABD ＝∠ACE ，∴∠ABD ＝∠ACE ＝∠ACB +∠BCE ，∴∠ABD +∠ABC ＝∠ACE +∠ABC ＝∠ACB +∠BCE +∠ABC ＝180°，∵∠BAC ＝180°﹣∠ABC ﹣∠ACB ，∴∠BAC ＝∠BCE ．∴α＝β；综上所述：点D 在直线BC 上移动，α+β＝180°或α＝β．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，证明△ABD ≌△ACE 是解本题的关键．23．（1）DE BD CE =+；（2）成立，见解析；（3）等边三角形，见解析【分析】（1）根据垂直的定义得到90BAD CAE ∠+∠=︒，根据等角的余角相等得到ABD CAE ∠=∠，再证明()ADB CEA AAS ≌△△，根据全等三角形的性质即可得解； （2）根据条件证明()BAD ACE AAS ≌即可得解；（3）根据等边三角形的判定证明即可；【详解】解：（1）DE BD CE =+，理由：∵90BAC ∠=︒，∴90BAD CAE ∠+∠=︒，∵BD m ⊥，CE m ⊥，∴90ADB CEA ∠=∠=︒，∴90BAD ABD ∠+∠=︒，∴ABD CAE ∠=∠，在ADB △和CEA 中，90ADB CEA ABD CAE AB AC ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ADB CEA AAS ≌△△， ∴BD AE =，AD CE =，∴DE AD AE BD CE =+=+，故答案为DE BD CE =+；（2）结论DE BD CE =+成立；理由如下：∵BAD CAE 180BAC ∠∠∠+=︒-，BAD ABD 180ADB ∠∠∠+=︒-，90BAD ABD ∠+∠=︒，∴ABD CAE ∠=∠， 在BAD 和ACE 中，ABD CAE ADB CEA AB AC α∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴()BAD ACE AAS ≌，∴BD AE =，AD CE =，∴DE DA AE BD CE =+=+；（3）DFE △为等边三角形，理由：由（2）得，BAD ACE ≌△△，∴BD AE =，ABD CAE ∠=∠，∴ABD FBA CAE FAC ∠+∠=∠+，即FBD FAE ∠=∠，在FBD 和FAE 中，FB FA FBD FAE BD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()FBD FAE SAS ≌，∴FD FE =，BFD AFE ∠=∠，∴60DFE DFA AFE DFA BFD ∠=∠+∠=∠+∠=︒， ∴DFE 为等边三角形．【点睛】 本题主要考查了三角形综合，结合三角形全等证明、等边三角形的判定是解题的关键． 24．（1）图见解析；（2）(-1，0)，442+；（3）P 7(,0)3-． 【分析】（1）根据AB 坐标可知，A 点向右1个单位，向下4个单位即是原点（0，0），由此即可建立平面直角坐标系；（2）由网格的特点易得点，再根据勾股定理可求AB 边长为22，进而即可得出答案， （3）作点B 关于x 轴的对称点B ′，连接AB ′，交x 轴于点P ，则点P 即所求，再利用一次函数与直线交点求法求出交点P ．【详解】解：（1）平面直角坐标系如图所示；（2）如图，当在y 轴左侧点C (-1，0)时，△ABC 为等腰直角三角形，此时222222AB BC ==+=故△ABC 的周长为42222442BC AB BC ++=+=+故填：(-1，0)，442+；（3）如图，作点(3,2)B -关于x 轴的对称点(3,2)B '--，连接AB ′，交x 轴于点P ，则点P 即所求，设直线AB ′的解析式为y =kx +b ，将A (−1,4)，B ′(−3,−2)代入得423k b k b=-+⎧⎨-=-+⎩， 解得37k b =⎧⎨=⎩， ∴直线AB ′的解析式为y =3x +7． 将y =0代入得，73x =-， ∴0()7,3P -．【点睛】本题考查了一次函数应用，勾股定理，轴对称与线段最小值等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．25．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据“SAS”证明△BAE ≌△CAD ，然后根据全等三角形的性质解答即可；（2）根据线段垂直平分线的判定可知CA 垂直平分DE ，进而可证明结论成立．【详解】证明：（1）∵∠BAC ＝∠DAE ＝90°，∴∠DAE ＋∠DAB ＝∠BAC ＋∠DAB ，即∠BAE ＝∠CAD ，在△BAE 与△CAD 中， AD AE CAD BAE AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAE ≌△CAD （SAS ），∴BE ＝CD ；（2）∵BE ＝CD ，BE ＝CE ，∴CE ＝CD ，又∵AD ＝AE ，∴CA 垂直平分DE ，∴DE ⊥AC （可得①），又∵∠BAC ＝90°，∴DE//AB （可得②）．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS 、SAS 、ASA 、AAS 和HL ）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．也考查了线段垂直平分线的判定、平行线的判定等知识．26．（1）见解析；（2）90°；（35【分析】（1）用SAS 证明△ACD ≌△BCE ，即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到∠EBC=∠BAC=45°，可得∠DBE ；（3）分DA=DE ，DA=AE ，DE=AE ，三种情况根据等腰三角形的性质求解．【详解】解：（1）∵CE ⊥CD ，∴∠DCE=90°=∠ACB ，∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD ，即∠ACD=∠ECB ，∴在△ACD 和△BCE 中，AC BC ACD ECB CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△BCE （SAS ），∴AD=BE ；（2）由（1）可知：△ACD ≌△BCE ，∴∠EBC=∠BAC=45°，∴∠DBE=180°-∠EBC-∠ABC=90°；（3）∵△ADE 是等腰三角形，若DA=DE ，则∠DAE=∠DEA ，∵∠DAC=∠DEC ，∴∠CAE=∠CEA ，∴AC=EC ，∵AC≠EC ，∴DA≠DE ；若DA=AE ，∵∠EBA=90°，∴AE＞BE，∵△ACD≌△BCE，∴AD=BE，∴AE≠AD；若DE=AE，∵EB⊥AD，AE=DE，∴B是AD中点，∴AD=2AB=2BD=1，∵△ACD≌△BCE，∴BE=AD=2，由（2）可知：∠DBE=90°，∴DE=225+=；BE DB综上：DE的值为5．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是注意分类讨论，灵活运用等腰三角形的性质．。

专题复习(三)网格作图题1．拟)如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点四边形ABCD(顶点是网格线的交点)，按要求画出四边形AB1C1D1和四边形AB2C2D2.(1)以A为旋转中心，将四边形ABCD顺时针旋转90°，得到四边形AB1C1D1；(2)以A为位似中心，将四边形ABCD作位似变换，且放大到原来的两倍，得到四边形AB2C2D2.解：(1)如图，四边形AB1C1D1为所作．(2)如图，四边形AB2C2D2为所作．2．二模)如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点B的坐标为(1，0)．(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，写出B1点的坐标；(2)画出将△ABC绕原点O按逆时针旋转90°所得的△A2B2C2，写出B2点的坐标．解：(1)如图所示，△A1B1C1即为△ABC关于x轴对称的图形，B1点的坐标是(1，0)．(2)如图所示，△A2B2C2即为△ABC绕原点O按逆时针旋转90°的三角形，B2点的坐标是(0，1)．3．模)如图，已知A(2，3)，B(1，1)，C(4，1)是平面直角坐标系中的三点．(1)请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；(2)画出△A1B1C1向下平移3个单位得到的△A2B2C2；(3)若△ABC中有一点P坐标为(x，y)，请直接写出经过以上变换后△A2B2C2中点P的对应点P2的坐标．解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求．(2)如图所示，△A2B2C2即为所求．(3)根据题意，可得P的对应点P2的坐标为(－x，y－3)．4．拟)如图，在9×7的小正方形网格中，△ABC的顶点A，B，C在网格的格点上．将△ABC向左平移3个单位，再向上平移3个单位得到△A′B′C′.再将△ABC按一定规律依次旋转：第1次，将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△A1BC1；第2次，将△A1BC1绕点A1顺时针旋转90°得到△A1B1C2；第3次，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转90°得到△A2B2C2；第4次，将△A2B2C2绕点B2顺时针旋转90°得到△A3B2C3，依次旋转下去．(1)在网格中画出△A′B′C′和△A2B2C2；(2)请直接写出至少在第几次旋转后所得的三角形刚好为△A′B′C′.解：(1)△A′B′C′和△A2B2C2的图象如图所示.(2)通过画图可知，△ABC至少在第8次旋转后得到△A′B′C′.5.如图，△ABC的三个顶点和点O都在正方形网格的格点上，每个小正方形的边长都为1.(1)将△ABC先向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；(2)请画出△A2B2C2，使△A2B2C2和△ABC关于点O成中心对称；(3)在(1)、(2)中所得到的△A1B1C1与△A2B2C2成轴对称吗？若成轴对称，请画出对称轴；若不成轴对称，请说明理由．解：(1)如图所示，△A1B1C1，即为所求．(2)如图所示，△A2B2C2，即为所求．(3)如图所示，△A1B1C1与△A2B2C2成轴对称，直线a，b即为所求．6．级二模)如图所示，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC 的顶点A ，B ，C 在小正方形的顶点上．将△ABC 向下平移2个单位得到△A 1B 1C 1，然后将△A 1B 1C 1绕点C 1顺时针旋转90°得到△A 2B 2C 1.(1)在网格中画出△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 1；(2)计算线段AC 在变换到A 2C 1的过程中扫过区域的面积．(重叠部分不重复计算)解：(1)如图，△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 1为所作．(2)线段AC 在变换到A 2C 1的过程中扫过区域的面积S ＝2×2＋90·π·（22）2360＝4＋2π.7．如图，△ABC 三个顶点的坐标分别为A(1，1)，B(4，2)，C(3，4)．(1)请画出将△ABC 向左平移4个单位长度后得到的图形△A 1B 1C 1；(2)请画出△ABC 关于原点O 成中心对称的图形△A 2B 2C 2；(3)在x 轴上找一点P ，使PA ＋PB 的值最小，请直接写出点P 的坐标．解：(1)如图所示．(2)如图所示．(3)找出A 关于x 轴的对称点A′(1，－1)，连接BA′，与x 轴交点即为P.如图所示，点P 坐标为(2，0)．8．模拟)如图，已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A(3，3)，B(－1，0)，C(4，0)．(1)经过平移，可使△ABC 的顶点A 与坐标原点O 重合，请直接写出此时点C 的对应点C 1坐标；(不必画出平移后的三角形)(2)将△ABC 绕点B 逆时针旋转90°，得到△A′BC′，画出△A′BC′并写出A′点的坐标；(3)以点A 为位似中心放大△ABC ，得到△AB 2C 2，使放大前后的面积之比为1∶4，请你在网格内画出△AB 2C 2.解：(1)∵经过平移，可使△ABC的顶点A与坐标原点O重合，∴A点向下平移3个单位再向左平移3个单位，故C1坐标为(1，－3)．(2)如图所示，△A′BC′即为所求，A′点的坐标为(－4，4)．(3)如图所示，△AB2C2即为所示．。

点评：(1)本题给出一段资料，提供网格作为探索问题的工具，主要考查直角三角形斜边中
线、高的性质以及特
较大．
(2)理解λA 的意义，根据题目要求画出图象是解题的关键．
解析：(1)如解图 10，作 BC 边上的中线 AD.∵AC⊥DC，∴λA＝CBDD＝1.
边上的高和中线，点
D
是垂足，点
E
是
BC
的中点，规定：λA
＝DE.特别地， BE
当点 D，E 重合时，规定：λA＝0.另外，对λB，λC 作类似的规定．
(1)如图 38－10②，在△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30°，求λA，λC；
(2)在每个小正方形边长均为 1 的 4×4 的方格纸上，画一个△ABC，使其顶点
4aa＋＋kk＝＝30，，解得
a＝－1， k＝4，
∴y＝－(x－2)2＋4＝－x2＋4x.
向右平移 1 个单位，向上平移 1 个单位可得到另一条符合题
意的抛物线，
可平移 6 次，
∴一共有 7 条抛物线．
同理：开口向上的抛物线也有 7 条．
∴满足上述条件且对称轴平行于 y 轴的抛物线条数是 7＋7＝14.故选 C.
名师点拨
与图形变换有关的网格型问题，常常会考查网格中的 画图、图形描述或图形操作、运动轨迹的路径(面积)、以 及利于网格进行图案或方案设计等方面，一般而言，这类 问题常常会以我们学过的平移、旋转与对称的知识为基 础，难度不大，掌握图形变换的本质特征是解题的关键．
【预测演练 3－1】 如图 38－8，8×8 方格纸上的两条对称轴 EF ，MN 交于中心点 O，对△ABC 分别作下列变换：①先以点 A 为中心顺时针 方向旋转 90°，再向右平移 4 格，向上平移 4 格； ②先以点 O 为中心 作中心对称图形，再以点 A 的对应点为中心逆时针方向旋转 90°；③ 先以直线 MN 为轴作轴对称图形，再向上平移 4 格，再以点 A 的对应 点为中心顺时针方向旋转 90°.其中能将△ABC 变换成△PQR 的是

专题2 网格类作图题中考题型训练1．（2022•荆州）如图，在10×10的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中△ABC为格点三角形．请按要求作图，不需证明．（1）在图1中，作出与△ABC全等的所有格点三角形，要求所作格点三角形与△ABC有一条公共边，且不与△ABC重叠；（2）在图2中，作出以BC为对角线的所有格点菱形．2．（2022•宁波）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，分别按要求画出图形．（1）在图1中画出等腰三角形ABC，且点C在格点上．（画出一个即可）（2）在图2中画出以AB为边的菱形ABDE，且点D，E均在格点上．3．（2022•丽水）如图，在6×6的方格纸中，点A，B，C均在格点上，试按要求画出相应格点图形．（1）如图1，作一条线段，使它是AB向右平移一格后的图形；（2）如图2，作一个轴对称图形，使AB和AC是它的两条边；（3）如图3，作一个与△ABC相似的三角形，相似比不等于1．4．（2022•衢州）如图，在4×4的方格纸中，点A，B在格点上．请按要求画出格点线段（线段的端点在格点上），并写出结论．（1）在图1中画一条线段垂直AB．（2）在图2中画一条线段平分AB．5．（2022•长春）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．（1）网格中△ABC的形状是；（2）在图①中确定一点D，连结DB、DC，使△DBC与△ABC全等；（3）在图②中△ABC的边BC上确定一点E，连结AE，使△ABE∽△CBA；（4）在图③中△ABC的边AB上确定一点P，在边BC上确定一点Q，连结PQ，使△PBQ∽△ABC，且相似比为1：2．6．（2022•湖北）已知四边形ABCD为矩形，点E是边AD的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．（1）在图1中作出矩形ABCD的对称轴m，使m∥AB；（2）在图2中作出矩形ABCD的对称轴n，使n∥AD．7．（2022•江西）如图是4×4的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．（1）在图1中作∠ABC的角平分线；（2）在图2中过点C作一条直线l，使点A，B到直线l的距离相等．8．（2023•锡山区校级模拟）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，C均落在格点上，点B在网格线上．（Ⅰ）线段AC的长等于；（Ⅱ）以AB为直径的半圆的圆心为O，在线段AB上有一点P，满足AP＝AC．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P．9．（2023•鄞州区校级一模）如图，在6×6的方格纸中，每个小正方形的边长为1，点A，B均在格点上，在图1和图2中分别画出一个以点A，B为顶点且另两个顶点均在格点上的正方形，并分别求出其周长．10．（2023•衢州模拟）如图在7×7的方格中，有两个格点A、B．请用无刻度的直尺按要求画图．（1）在图1中画线段AB中点C；（2）在图2中在线段AB上找一点D，使AD：DB＝1：2．11．（2023•宁波模拟）作图题（1）填空：如果长方形的长为3，宽为2，那么对角线的长为．（2）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点（端点），分别按下列要求画图（不要求写画法和证明，但要标注顶点）．①在图1中，画一个面积为4的菱形，且邻边不垂直．②在图2中，画平行四边形ABCD，使∠A＝45°，且面积为6．12．（2023•杨浦区一模）新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，已知在5×5的网格图形中，△ABC的顶点A、B、C都在格点上．请按要求完成下列问题：（1）S△ABC＝；sin∠ABC＝；（2）请仅用无刻度的直尺在线段AB上求作一点P，使S△ACP＝S△ABC．（不要求写作法，但保留作图痕迹，写出结论）13．（2023•武汉模拟）如图是由小正方形组成的7×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．（1）在图（1）中，A，B，C三点是格点，画经过这三点的圆的圆心O，并在该圆上画点D，使AD＝BC；（2）在图（2）中，A，E，F三点是格点，⊙I经过点A．先过点F画AE的平行线交⊙I于M，N两点，再画弦MN的中点G．14．（2023•乌鲁木齐一模）请仅用无刻度的直尺在网格中完成下列作图，保留作图痕迹，不写作法．（1）图①是由边长为1的小等边三角形构成的网格，△ABC为格点三角形．在图①中，画出△ABC中AB边上的中线CM；（2）如图②，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠D，画出BC边的垂直平分线n．15．（2023•靖江市校级模拟）如图是由小正方形组成的9×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A，B，C三个格点都在圆上．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．（1）画出该圆的圆心O，并画出劣弧的中点D；（2）画出格点E，使EA为⊙O的一条切线，并画出过点E的另一条切线EF，切点为F．16．（2023•九台区模拟）图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按照要求作图（保留作图痕迹）．（1）在图①中作△ABC的中线BD．（2）在图②中作△ABC的高BE．（3）在图③中作△ABC的角平分线BF．17．（2023•迁安市模拟）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，△ABC的顶点均在格点上．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．（1）在图（1）中画△ABC的高CH；（2）在图（1）的线段AC上画一点D，使得S△ABD：S△CBD＝2：3；（3）在图（2）中C点的右侧画一点F，使∠FCA＝∠BCA且CF＝2．18．（2022•碧江区校级一模）操作理解，解答问题．（1）如图1：已知△ABC，AB＝AC，直线CD∥AB；①完成作图：以点A为圆心，AB长为半径画弧，交直线CD于点P，连接PB．②试判断①中∠ABP与∠BAC的数量关系，并证明你的结论．（2）如图2：已知△ABC是格点三角形，点C在直线n上，且n∥AB；在直线n上画出点P，连接PB，使得∠PBA＝∠CAB．（不用尺规作图）19．（2022•丽水模拟）图1，图2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AC的两个端点均在小正方形的顶点上．（1）在图1中画出一个以AC为底边的等腰△ABC，使点B落在格点上．（2）在图2中画出一个以AC为对角线且面积为6的格点矩形ABCD（顶点均在格点上）．20．（2022•婺城区校级模拟）如图，在4×4的方格中，点A，B，C为格点，利用无刻度的直尺画出满足以下条件的图形（保留必要的辅助线）．（1）在图1中画△ABC的中线BE．（2）在图2中标注△ABC的外心O并画出其外接圆的切线CP．21．（2022•海陵区校级三模）如图（1）（2），在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，B，C均落在格点上，以AB为直径的半圆的圆心为O，请用无刻度的直尺，在如图（1）图（2）所示的网格中，在半圆O上画出点P，连接AP，使AP平分∠CAB．22．（2022•吉安模拟）如图，在正方形网格中，△ABC的顶点在格点（网格线的交点）上，请仅用无刻度直尺完成以下作图．（保留作图痕迹）（1）在图1中作△ABC的重心．（2）在图2中作∠AGB＝∠ACB，且G是格点．23．（2022•绿园区校级模拟）如图①，②，③中每个小正方形的边长均为1．△ABC的顶点A，B均落在小正方形的顶点上，点C在小正方形的边上，以AC为直径的半圆的圆心为O．请用无刻度的直尺按要求画图．（1）如图①，在半圆上确定点D，使OD∥AB．（2）如图②，在线段AB的延长线上确定点E，使AE＝AC．（3）如图③，在线段AC上确定点F，使AF＝AB．24．（2022•南关区校级模拟）图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，ABC的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图．（不写作法，保留画图痕迹）（1）在图①中，在BC上画一点D，使S△ABD＝S△ACD．（2）在图②中，在BC上画一点E，使S△ABE：S△ACE＝2：3．（3）在图③中，在ABC内画一点F，使S△ACF：S△ABF：S△BCF＝2：3：3.25．（2022•长春模拟）图①、图②分别是10×8的网格，网格中每个小正方形的边长均为1，A、B两点在小正方形的格点上，请在图①、图②中各取一点（点C必须在小正方形的格点上），使以A、B、C为顶点的三角形分别满足下列要求．（1）在图①中画一个△ABC，使∠ACB＝90°，面积为5；（2）在图②中画一个△ABC，使BA＝BC，∠ABC为钝角，并求△ABC的周长．26．（2022•二道区校级二模）图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB、EF、MN的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求画图．（1）在图①中，画∠ADB＝45°；（2）在图②中，画∠APB＝45°，且点P在线段EF上；（3）在图③中，画∠AQB＝45°，且点Q在线段MN上.27．（2022•香坊区校级三模）如图1、2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AC的两个端点均在小正方形的顶点上．（1）在图1中画出以AC为底边的等腰直角三角形ABC，点B在小正方顶点上；（2）在图2中画出以AC为腰的等腰三角形ACD，点D在小正方形的顶点上，且△ACD的面积为8，并直接写出tan A的值．28．（2022•瑞安市校级三模）如图是由边长为1的小正六边形构成的网格图，网格上的点称为格点．已知格点线段AB，利用网格图，仅用无刻度的直尺来完成下面几何作图．（1）请在图①中作一个格点等腰三角形△ABC；（2）请在图②在线段AB上求作点P，使得AP：BP＝3：4．（要求：不写作法但保留作图痕迹）29．（2022•江夏区模拟）用无刻度直尺作图：（1）如图1，在AB上作点E，使∠ACE＝45°；（2）如图1，点F为AC与网格的交点，在AB上作点D，使∠ADF＝∠ACB；（3）如图2，在AB上作点N，使＝．（4）如图2，在AB上作点M，使∠ACM＝∠ABC.30．（2022•阿城区模拟）如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，线段AB和线段DE，点A、B、D、E均在小正方形的顶点上．（1）在方格纸中画出以AB为底边的等腰三角形ABC，使△ABC的面积为10，点C在小正方形的顶点上，直接写出tan∠ABC的值；（2）在方格纸中画出钝角三角形DEF，使∠DEF＝45°，点F在小正方形的顶点上．31．（2022•长春模拟）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图，所画图形的顶点均在格点上．（1）在图①中，画等腰三角形ABC，使其面积为3．（2）在图②中，画等腰直角三角形ABD，使其面积为5．（3）在图③中，画平行四边形ABEF，使其面积为9．32．（2022•朝阳区校级模拟）如图在8×8的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形ABCD的顶点在格点上，用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留必要的作图痕迹，不要求说明理由．（1）如图1，过点A作线段AF，使AF∥DC，且AF＝DC．（2）如图2，在四边形ABCD边上求作一点E，使点E与四边形ABCD某一顶点连线，能把该四边形分成的两部分恰好拼成一个无缝隙、不重叠的三角形．（画一个即可）（3）如图3，在边AB上求作一点G，使∠AGD＝∠BGC．。

∴∠ABO=∠A′CO=90°，
又∵∠A′OA=90°，
∴∠AOB+∠BAO=∠AOB+∠A′OC=90°，
∴∠BAO=∠A′OC，
又∵OA′=OA，
∴△A′OC≌△OAB，
∴A′C=OB，OC=AB，
∵点A的坐标为（-4，-3），
∴OB=4，AB=3，
∴OC=3，A′C=4，
又∵点A′在第二象限，
3．B
【解析】试题解析：A.平移不改变图形的形状和大小，而旋转同样不改变图形的形状和大小，故错误；
B.平移和旋转的共同点是改变图形的位置，而图形的形状大小没有变化，故正确；
C.图形可以向某方向平移一定距离，而旋转是围绕中心做圆周运动，故错误；
D.在平移和旋转图形中，对应角相等，平移中对应线段相等且平行，旋转图形对应线段相等但不一定平行，故错误.
（2）请写出第（1）小题平移的过程.
22．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）．
（1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出A1的坐标；
（2）请画出△ABC关于原点对称的△A2B2C2，并写出A2的坐标；
（3）请画出△ABC以点B为旋转中心，沿逆时针旋转90°后△A3B3C3．
故选B.
4．D
【解析】【分析】该图形被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是72°，因而旋转72度的整数倍，就可以与自身重合．
【详解】根据旋转对称图形的概念可知：该图形被平分成五部分，旋转72度的整数倍，就可以与自身重合，因而国旗上的每一个正五角星绕着它的中心至少旋转72度能与自身重合，
故选D．
【点睛】本题考查了旋转对称图形的性质，正确识图、理解求解方法是关键．

中考数学之尺规作图真题汇编一、网格纸作图【2019·武汉】如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形ABCD的顶点在格点上，点E是边DC与网格线的交点．请选择适当的格点，用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留连线的痕迹，不要求说明理由．（1）如图1，过点A画线段AF，使AF∥DC，且AF＝DC．（2）如图1，在边AB上画一点G，使∠AGD＝∠BGC．（3）如图2，过点E画线段EM，使EM∥AB，且EM＝AB．【解答】解：（1）如图所示，线段AF即为所求；（2）如图所示，点G即为所求；（3）如图所示，线段EM即为所求．【2019·无锡】按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹．（1）如图1，A为⊙O上一点，请用直尺（不带刻度）和圆规作出⊙O的内接正方形；（2）我们知道，三角形具有性质：三边的垂直平分线相交于同一点，三条角平分线相交于一点，三条中线相交于一点，事实上，三角形还具有性质：三条高所在直线相交于一点．请运用上述性质，只用直尺（不带刻度）作图．①如图2，在▱ABCD中，E为CD的中点，作BC的中点F．②如图3，在由小正方形组成的4×3的网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，作△ABC的高AH．【解答】解：（1）如图1，连结AO并延长交圆O于点C，作AC的中垂线交圆于点B，D，四边形ABCD即为所求．（2）①如图2，连结AC，BD交于点O，连结EB交AC于点G，连结DG并延长交CB 于点F，F即为所求②如图3所示，AH即为所求．【2020·安徽】如图1，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点(网M N在网格线上，格线的交点)为端点的线段AB，线段,()1画出线段AB关于线段MN所在直线对称的线段11A B(点A B分别为,A B的对应点)；11()2将线段11B A ，绕点1B ，顺时针旋转90︒得到线段12B A ，画出线段12B A ．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】【分析】（1）先找出A ，B 两点关于MN 对称的点A 1，B 1，然后连接A 1B 1即可； （2）根据旋转的定义作图可得线段B 1A 2．【详解】（1）如图所示，11A B 即为所作；（2）如图所示，12B A 即为所作．【点睛】本题主要考查作图-旋转与轴对称，解题的关键是掌握旋转变换和轴对称的定义与性质．【2021·荆州】如图，在5×5的正方形网格图形中，小正方形的边长都为1，线段ED 与AD 的端点都在网格小正方形的顶点（称为格点）上．请在网格图形中画图：（1）以线段AD 为边画正方形ABCD ，再以线段DE 为斜边画等腰直角三角形DEF ，其中顶点F在正方形ABCD外；（2）在（1）中所画图形基础上，以点B为其中一个顶点画一个新正方形，使新正方形的面积为正方形ABCD和△DEF面积之和，其它顶点也在格点上．【分析】（1）根据正方形，等腰直角三角形的定义画出图形即可．（2）画出边长为的正方形即可．【解答】解：（1）如图，正方形ABCD，△DEF即为所求．（2）如图，正方形BKFG即为所求．二、角平分线【2021·铜仁】．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，按下列步骤作图：步骤1：以点A为圆心，小于AC的长为半径作弧分别交AC、AB于点D、E．步骤2：分别以点D、E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于点M．步骤3：作射线AM交BC于点F．则AF的长为（）A．6B．3C．4D．6【分析】利用基本作图得到AF平分∠BAC，过F点作FH⊥AB于H，如图，根据角平分线的性质得到FH＝FC，再根据勾股定理计算出AC＝6，设CF＝x，则FH＝x，然后利用面积法得到×10•x+×6•x＝×6×8，解得x＝3，最后利用勾股定理计算AF的长．【解答】解：由作法得AF平分∠BAC，过F点作FH⊥AB于H，如图，∵AF平分∠BAC，FH⊥AB，FC⊥AC，∴FH＝FC，在△ABC中，∵∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，∴AC＝＝6，设CF＝x，则FH＝x，∵S△ABF+S△ACF＝S△ABC，∴×10•x+×6•x＝×6×8，解得x＝3，在Rt△ACF中，AF＝＝＝3．故选：B．三、垂直平分线【2019·泰州】如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝8．（1）用直尺和圆规作AB的垂直平分线；（保留作图痕迹，不要求写作法）（2）若（1）中所作的垂直平分线交BC于点D，求BD的长．【解答】解：（1）如图直线MN即为所求．（2）∵MN垂直平分线段AB，∴DA＝DB，设DA＝DB＝x，在Rt△ACD中，∵AD2＝AC2+CD2，∴x2＝42+（8﹣x）2，解得x＝5，∴BD＝5．【2021·北部湾】如图，四边形ABCD中，AB//CD，∠B=∠D，连接AC．(1)求证：△ABC≌△CDA；(2)尺规作图：过点C作AB的垂线，垂足为E(不要求写作法，保留作图痕迹)；(3)在(2)的条件下，已知四边形ABCD的面积为20，AB=5，求CE的长．【答案】(1)证明：∵AB//CD，∴∠ACD=∠CAB，在△ABC和△CDA中，{∠B=∠D∠CAB=∠ACD AC=CA，∴△ABC≌△CDA(AAS)；(2)解：过点C作AB的垂线，垂足为E，如图：(3)解：由(1)知：△ABC≌△CDA，∵四边形ABCD的面积为20，∴S△ABC=S△CDA=10，∴12AB⋅CE=10，∵AB=5，∴CE=4．【2019·盐城】如图，AD是△ABC的角平分线．（1）作线段AD的垂直平分线EF，分别交AB、AC于点E、F；（用直尺和圆规作图，标明字母，保留作图痕迹，不写作法．）（2）连接DE、DF，四边形AEDF是形．（直接写出答案）【解答】解：（1）如图，直线EF即为所求．（2）∵AD平分∠ABC，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠BAD＝∠CAD，∵∠AOE＝∠AOF＝90°，AO＝AO，∴△AOE≌△AOF（ASA），∴AE＝AF，∵EF垂直平分线段AD，∴EA＝ED，F A＝FD，∴EA＝ED＝DF＝AF，∴四边形AEDF是菱形．故答案为菱形．四、全等或相似【2019·福建】如图，已知△ABC为和点A'.(1)以点A'为顶点求作△A'B'C',使△A'B'C'∽△ABC，S△A'B'C'=4S△ABC;(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)(2)设D、E、F分别是△ABC三边AB、BC、AC的中点，D'、E'、F'分别是你所作的△A'B'C'三边A'B'、B'C'、A'C'的中点，求证：△DEF∽△D'E'F'.(2)证明(略)【答案】见解析【解析】【2021·贵港】尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）．如图，已知△ABC，且AB ＞AC．（1）在AB边上求作点D，使DB＝DC；（2）在AC边上求作点E，使△ADE∽△ACB．CBACBA【分析】（1）作线段BC的垂直平分线交AB于点D，连接CD即可．（2）作∠ADT＝∠ACB，射线DT交AC于点E，点E即为所求．【解答】解：（1）如图，点D即为所求．（2）如图，点E即为所求．五、三角形四心（内心、外心、重心、垂心）【2019·陇南】已知：在△ABC中，AB=AC．（1）求作：△ABC的外接圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）若△ABC的外接圆的圆心O到BC边的距离为4，BC=6，则S⊙O=______．【答案】25π【解析】解：（1）如图⊙O即为所求．（2）设线段BC的垂直平分线交BC于点E．由题意OE=4，BE=EC=3，在Rt△OBE中，OB=√32+42=5，∴S圆O=π•52=25π．故答案为25π．（1）作线段AB，BC的垂直平分线，两线交于点O，以O为圆心，OB为半径作⊙O，⊙O即为所求．（2）在Rt△OBE中，利用勾股定理求出OB即可解决问题．本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的性质，三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．五、其他类型【2021·山西】已知正方形ABCD的边长为4个单位长度，点E是CD的中点，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）．（1）在图1中，将直线AC绕着正方形ABCD的中心顺时针旋转45°；（2）在图2中，将直线AC向上平移1个单位长度．【分析】（1）根据正方形的性质和旋转的性质即可作出图形；（2）根据平移的性质即可作出图形．【解答】解：（1）如图1，直线l即为所求；（2）如图2中，直线a即为所求．。

关于网格图形问题我们知道，能够完全重合的两个图形，叫做全等形。

请你把下面4×4的正方形方格图形沿着虚线分割成两个全等的图形。

〖解〗：分割方法如下：〖反思〗：1、还有其它分割方法吗？2、从上面的分割方法中，你能发现分割的规律吗？题目：在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线与点G，一等腰三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B，（1）、在图1中，请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想。

（图1）（2）、当三角尺沿AC方向平移到图2所示的位置时，一直角边仍与AC边在同一条直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA交BA于点E，此时，请你通过观察、测量DE、DF与CG 的长度，猜想并写出DE+DF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想。

（图2）（3）、当三角尺在（2）、的基础上沿AC方向继续平移到图3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，（2）中的猜想是否仍然成立？（不用说明理由）（图3）〖点评〗：本题以图形的平移为素材，要求学生发现并证明自己所得的结论，将合情推理与逻辑推理融为一体，突出对数学思考的考察。

本题选自《2008年安徽省初中毕业学业考试纲要》数学试题样卷，仅题目文字就超过300字，又出现动点和平移问题，实在可以称之为一个“庞然大物”，如果你是一位初中生，千万不要被它吓到。

仔细审题，你会发现实际考察平时学习的两个小问题：1、等腰三角形两腰上的高相等（应用三角形的全等或三角形的面积公式证明）；2、等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离和等于腰上的高（综合应用等腰三角形的性质、三角形的全等、矩形的判定和性质或三角形的面积公式证明）。

所以，在第一轮数学复习时，要注意概念复习和基础题的复习，不要脱离课本，注重数学思想和数学方法的复习。

对一些比较典型的题目，进行一题多思，一题多变，培养我们分析问题和解决问题的能力，以适应中考的需要。

结论,观察新图形的对称性,找出新图形的对称中心或对称轴,再对比
题图,从而解决问题.
3.涉及面积问题时,常用到的结论有过对角线的交点的任意一条直线
将特殊四边形的面积平分、等底等高的两个三角形的面积相等等.
前往
方法
高分
方法 类型3 利用正多边形的性质作图 (5年1考)
例3 如图,已知正六边形ABCDEF,请仅用无刻度的直尺,分别按下列 要求画图. (1)在图(1)中,画出一个以BC为边的矩形; (2)在图(2)中,在AF上画出点M,使得AM=14AF.
答图(2)
前往
方法
高分
方法 类型3 利用正多边形的性质作图 (5年1考)
解题通法
正多边形中作图的关键点
在正多边形中作图,要充分利用正多边形的对称性.
(1)当边数为偶数时,以正六边形为例,如图(1).
①正六边形的对称轴的一种作法如图(1)所示,直线MN即为其对称轴.依
此可类推其他边数为偶数的正多边形的对称轴的作法.
高分
方法 类型2 利用特殊四边形的性质作图 (5年1考)
1.理解题意
2.问题分析 (1)
前往
方法
高分
方法 类型2 利用特殊四边形的性质作图 (5年1考)
(2)
3.参考答案 (1)如答图(1),点F即为所求. (2)如答图(2),点P即为所求(作法不唯一).
答图(1)
前往
方法
高分
答图(2)
方法 类型2 利用特殊四边形的性质作图 (5年1考)
题型
题型二 创新作图题
内容一览 题型概述
方法
类型1 利用三角形的性质作图 类型2 利用特殊四边形的性质作图 类型3 利用正多边形的性质作图 类型4 利用圆的性质作图 类型5 利用网格的性质作图

阶段复习提升训练卷（图形的旋转、中心对称、平行四边形）-20-21苏科版八年级数学下册一、选择题1、民族图案是数学文化中的一块瑰宝．下列图案中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．2、等边三角形绕着它的中心O 旋转，若旋转后的三角形能与自身重合，则旋转角最小是( ) A ．360︒ B ．240︒ C ．120︒ D ．60︒3、如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，将ABC ∆绕点C 逆时针旋转θ角到DEC ∆的位置，这时点B 恰好落在边DE 的中点，则旋转角θ的度数为( ) A ．60︒ B ．45︒ C ．30︒ D ．55︒(3) (4) (7)4、如图，将ABC ∆绕点A 顺时针旋转60︒得到AED ∆，若4AB =，3AC =，2BC =，则ABE ∆的面积为 ．5、将AOB ∆绕点O 旋转180︒得到DOE ∆，则下列作图正确的是( ) A ．B ．C ．D ．6、一个图形旋转后得到的图形与原来的图形有如下的关系对应角相等；对应线段相等；对应点到旋转中心的距离相等；连接对应点所成的线段相等；每对对应点与旋转中心连线所成的角都相等，它们都等于旋转角；其中正确的有A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个7、如图，在ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，E 、F 是对角线AC 上的两点，给出下列四个条件，其中不能判定四边形DEBF 是平行四边形的有（ ）A ．AE CF =B ．DE BF =C ．ADE CBF ∠=∠D ．ABE CDF ∠=∠8、如图在ABCD 中，对角线,AC BD 相交于点O ，AOD △与AOB 的周长相差3，8AB =，那么AD 为（ ） A ．5 B ．8 C ．11或5 D ．11或14(8) (9) (11) 9、如图，在平行四边形ABCD 中，BF 平分∠ABC ，交AD 于点F ，CE 平分∠BCD ，交AD 于点E ，AB=6，BC=10，则EF 长为（ ） A ．1 B ．1.5 C ．2 D ．2.5 10、已知平行四边形ABCD ，对角线6AC =、8BD =，则该平行四边形四条边中最长边．．．a 的取值范围是（ ） A 77a ≤< B ．57a ≤< C ．17a << D 437a ≤< 二、填空题11、把图中的风筝图案，绕着它的中心O 旋转，旋转角至少为 度时，旋转后的图形能与原来的图形重合．12、在下列图形中：等腰三角形、等边三角形、正方形、正五边形、平行四边形、等腰梯形，其中有 个旋转对称图形．13、下列图形中，①等腰三角形；②平行四边形；③等腰梯形；④圆；⑤正六边形；⑥菱形；⑦正五边形，是中心对称图形的有 （填序号）14、在ABCD 中，:3:5AB BC =，它的周长是32，则BC =______．15、如图，E 为ABCD 外一点，且EB BC ⊥，ED CD ⊥，若55E ∠=︒，则A ∠的度数为________．(15) (16) (17)16、如图，在▱ABCD 中，E 、F 分别是AB 、DC 边上的点，AF 与DE 相交于点P ，BF 与CE 相交于点Q ，若S △APD=16cm 2，S △BQC=25cm 2，则图中阴影部分的面积为 cm 2．17、如图，▱ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点E ，∠AEB=45°，BD=2，将△ABC 沿AC 所在直线翻折180°到其原来所在的同一平面内，若点B 的落点记为B ′，则DB ′的长为18、如图，平行四边形ABCD 中，AB=4，BC=5，以点C 为圆心，适当长为半径画弧，交BC 于点P ，交CD 于点Q ，再分别以点P ，Q 为圆心，大于21PQ 的长为半径画弧，两弧相交于点N ，射线CN 交BA 的延长线于点E ，则AE 的长是_______．(18) (19) (20)19、如图所示，在ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，若DAC EAC ∠=∠，4AE =，3AO =，则AEC S ∆的面积为____． 20、如图，在平行四边形ABCD 中，5AB =，8BC =，ABC ∠和BCD ∠的角平分线分别交AD 于点E和F ，若6BE =，则CF =____________三、解答题21、如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，ABC ∆的顶点A ，B ，C 均在格点上． （1）ACB ∠的大小为 （度)（2）在如图所示的网格中，以A 为中心，取旋转角等于BAC ∠，把ABC ∆逆时针旋转，请用无刻度的直尺，画出旋转后的ABC ∆，并简要说明旋转后点C 和点B 的对应点点C '和点B '的位置是如何而找到的（不要求证明）22、如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．求证：（1）AE＝CF；（2）四边形AECF是平行四边形．23、如图，四边形ABCD中AC、BD相交于点O，延长AD至点E，连接EO并延长交CB的延长线于点F，∠E＝∠F，AD＝BC．（1）求证：O是线段AC的中点：（2）连接AF、EC，证明四边形AFCE是平行四边形．24、如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AF交CD于点E，交BC的延长线于点F．（1）求证：BF＝CD；（2）连接BE，若BE⊥AF，∠BFA＝60°，BE＝43，求平行四边形ABCD的周长．25、如图，在▱ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点分别作AE⊥BD，CF⊥BD，E、F为垂足．（1）求证：四边形AFCE是平行四边形．（2）若AD＝15cm，AE＝12cm，AB＝20cm，过点C作CH⊥AB，求CH的长．26、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝15cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，点P，Q同时出发，设运动时间为t（s）．（1）用含t的代数式表示：AP＝；DP＝；BQ＝；CQ＝．（2）当t为何值时，四边形APQB是平行四边形？（3）当t为何值时，四边形PDCQ是平行四边形？27、如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O作OE⊥BC交BC于点E．过点O作FG⊥AB交AB、CD于点F、G．（1）如图1，若BC＝5，OE＝3，求平行四边形ABCD的面积；（2）如图2，若∠ACB＝45°，求证：AF+FO=2EG．28、如图，ABC∆是边长为6的等边三角形，D是中点，E是边BC上一动点，连结DE，将DE绕点D逆时针旋转60︒得DF，连接CF．若7CF=，求BE的长29、如图1，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，∠ABC的平分线BE交AC于E．（1）求证：AE=BC；（2）如图（2），过点E作EF∥BC交AB于F，将△AEF绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜144°）得到△AE′F′，连结CE′，BF′，求证：CE′=BF′；（3）在（2）的旋转过程中是否存在CE′∥AB？若存在，求出相应的旋转角α；若不存在，请说明理由．30、如图，P 是正方形ABCD 内一点，连接PA 、PB 、PC ，将∆ABP 绕点B 顺时针旋转到'CBP ∆的位置． （1）旋转中心是点______ ，点P 旋转的度数是______ 度； （2）连接’PP ,'BPP ∆的形状是______ 三角形； （3）若PA=2,PB=4,∠APB=135 ． 求'BPP ∆的周长；求PC 的长．31、在▱ ABCD 中，BE 平分∠ABC 交 E ．（1）如图 1，若∠D ＝30°，AB ＝6，求△ABE 的面积；（2）如图 2，过点 A 作 A F ⊥DC ，交 D C 的延长线于点 F ，分别交 B E ，BC 于点 G ，H ， 且 A B ＝AF ．求证：ED ﹣AG ＝FC ．阶段复习提升训练卷（图形的旋转、中心对称、平行四边形）-20-21苏科版八年级数学下册（答案）一、选择题1、民族图案是数学文化中的一块瑰宝．下列图案中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．【解析】A 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；B 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项正确；C ．既不是轴对称，也不是中心对称图形，故本选项错误；D 、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误． 故选：B ．2、等边三角形绕着它的中心O 旋转，若旋转后的三角形能与自身重合，则旋转角最小是( ) A ．360︒ B ．240︒ C ．120︒ D ．60︒【解析】3603120︒÷=︒，∴该图形绕中心至少旋转120度后能和原来的图案互相重合．故选：C ．3、如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，将ABC ∆绕点C 逆时针旋转θ角到DEC ∆的位置，这时点B 恰好落在边DE 的中点，则旋转角θ的度数为( )A ．60︒B ．45︒C ．30︒D ．55︒ 【解析】90ACB ∠=︒，B 为DE 的中点，BC BE BD ∴==，将ABC ∆绕点C 逆时针旋转θ角到DEC ∆的位置，CB CE ∴=，CB CE BE ∴==， ECB ∴∆为等边三角形，60ECB ∴∠=︒，60ACD ECB ∴∠=∠=︒，故选：A ．4、如图，将ABC ∆绕点A 顺时针旋转60︒得到AED ∆，若4AB =，3AC =，2BC =，则ABE ∆的面积为 ．【解析】将ABC ∆绕点A 顺时针旋转60︒得到AED ∆，60BAE ∴∠=︒，BA AE =，ABE ∴∆是等边三角形，4BE AB ∴==，ABE ∴∆的面积1423432=⨯⨯=，故答案为：43．5、将AOB ∆绕点O 旋转180︒得到DOE ∆，则下列作图正确的是( ) A ．B ．C ．D ．【解析】AOB ∆与DOE ∆关于点O 中心对称的只有D 选项．故选：D ． 6、一个图形旋转后得到的图形与原来的图形有如下的关系对应角相等；对应线段相等；对应点到旋转中心的距离相等；连接对应点所成的线段相等；每对对应点与旋转中心连线所成的角都相等，它们都等于旋转角；其中正确的有A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个解答：B7、如图，在ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，E 、F 是对角线AC 上的两点，给出下列四个条件，其中不能判定四边形DEBF 是平行四边形的有（ ）A ．AE CF =B ．DE BF =C ．ADE CBF ∠=∠D ．ABE CDF ∠=∠ 解：A 、∵AE CF =，∴AO=CO ，由于四边形ABCD 是平行四边形，则BO=DO ，∴四边形DEBF 是平行四边形； B 、不能证明四边形DEBF 是平行四边形；C 、∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD=BC ，∠DAE=∠BCF ，又∠ADE=∠CBF ，∴△DAE ≌△BCF （ASA ），∴AE=CF ，同A 可证四边形DEBF 是平行四边形；D 、同C 可证：△ABE ≌△CDF （ASA ），∴AE=CF ，同A 可证四边形DEBF 是平行四边形； 故选：B ．8、如图在ABCD 中，对角线,AC BD 相交于点O ，AOD △与AOB 的周长相差3，8AB =，那么AD 为（ ）A ．5B ．8C ．11或5D ．11或14 解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BO=DO ，AO=AO ，∵AOD △与AOB 的周长相差3，∴AB-AD=3，或AD-AB=3， ∵AB=8，∴AD 的长为5或11， 故选C ． 9、如图，在平行四边形ABCD 中，BF 平分∠ABC ，交AD 于点F ，CE 平分∠BCD ，交AD 于点E ，AB=6，BC=10，则EF 长为（ ）A ．1B ．1.5C ．2D ．2.5【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴//AD BC ，10AD BC ==，6DC AB ==，∴AFB FBC ∠=∠，∴BF 平分ABC ∠，∴ABF FBC ∠=∠，∴AFB ABF ∠=∠， ∴6AF AB ==， 同理可得6DE DC ==，∴66102EF AF DE AD =+-=+-=．故选：C ．10、已知平行四边形ABCD ，对角线6AC =、8BD =，则该平行四边形四条边中最长边．．．a 的取值范围是（ ）A 77a ≤<B ．57a ≤<C ．17a <<D 437a ≤<解：如图所示：四边形ABCD 是平行四边形，AD ＞AB ， 132OA AC ∴==，142OD BD ==， 在△AOD 中，由三角形的三边关系得：4-3＜AD ＜4+3，∴1＜AD ＜7， 当四边相等时易得边长为5，∴5≤AD ＜7．故选：B ．二、填空题11、把图中的风筝图案，绕着它的中心O 旋转，旋转角至少为 度时，旋转后的图形能与原来的图形重合．【解析】该图形被平分成四部分，旋转90度的整数倍，就可以与自身重合，旋转角至少为90︒．故答案为：9012、在下列图形中：等腰三角形、等边三角形、正方形、正五边形、平行四边形、等腰梯形，其中有 个旋转对称图形．【解析】在等腰三角形、等边三角形、正方形、正五边形、平行四边形、等腰梯形中只有等边三角形、正方形、正五边形、平行四边形是旋转对称图形．故答案为4；13、下列图形中，①等腰三角形；②平行四边形；③等腰梯形；④圆；⑤正六边形；⑥菱形；⑦正五边形，是中心对称图形的有 （填序号）【解析】是中心对称图形的有：②平行四边形；④圆；⑤正六边形；⑥菱形．故答案为：②④⑤⑥．14、在ABCD 中，:3:5AB BC =，它的周长是32，则BC =______．解：设3,5AB x BC x ==由题意得，()23532x x += 解得2x =所以BC=10. 故答案为10.15、如图，E 为ABCD 外一点，且EB BC ⊥，ED CD ⊥，若55E ∠=︒，则A ∠的度数为________．【详解】∵EB BC ⊥，ED CD ⊥，∴90EBC EDC ∠=∠=︒．∵E EBC EDC C ∠+∠+∠+∠=360︒，∴180E C ∠+∠=︒，且55E ∠=︒，∴125C ∠=︒． ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴A ∠=125C ∠=︒． 故答案为：125︒．16、如图，在▱ABCD 中，E 、F 分别是AB 、DC 边上的点，AF 与DE 相交于点P ，BF 与CE 相交于点Q ，若S △APD=16cm 2，S △BQC=25cm 2，则图中阴影部分的面积为 41 cm 2．17、如图，▱ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点E ，∠AEB=45°，BD=2，将△ABC 沿AC 所在直线翻折180°到其原来所在的同一平面内，若点B 的落点记为B ′，则DB ′的长为解答：解：∵四边形ABCD 是平行四边形，BD=2，∴BE=BD=1．如图2，连接BB ′．根据折叠的性质知，∠AEB=∠AEB ′=45°，BE=B ′E ． ∴∠BEB ′=90°，∴△BB ′E 是等腰直角三角形，则BB ′=BE=．又∵BE=DE ，B ′E ⊥BD ，∴DB ′=BB ′=． 故答案是：．18、如图，平行四边形ABCD 中，AB=4，BC=5，以点C 为圆心，适当长为半径画弧，交BC 于点P ，交CD 于点Q ，再分别以点P ，Q 为圆心，大于21PQ 的长为半径画弧，两弧相交于点N ，射线CN 交BA 的延长线于点E ，则AE 的长是_______．【详解】由作图可知，CE 平分BCD ∠，BCE DCE ∴∠=∠．四边形ABCD 是平行四边形，//AB CD ∴，E DCE ∴∠=∠，E BCE ∴∠=∠， BE BC ∴=．∵AB=4，5BC =,541AE BE AB BC AB ∴=-=-=-=． 故答案为1．19、如图所示，在ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，若DAC EAC ∠=∠，4AE =，3AO =，则AEC S ∆的面积为____．解：如图1，连接OE ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA=OC=3，AD ∥BC ，∴∠DAC=∠ACB ，又∵DAC EAC ∠=∠，∴∠ACB=∠EAC ，∴AE=EC=4，∴△AEC 是等腰三角形，∴OE ⊥AC ，在Rt △AOE 中，由勾股定理得，AO 2+OE 2=AE 2，∴32+OE 2=42，∴OE=7， ∴167372AEC s =⨯⨯=， 故答案是：37．20、如图，在平行四边形ABCD 中，5AB =，8BC =，ABC ∠和BCD ∠的角平分线分别交AD 于点E和F ，若6BE =，则CF =____________【详解】平行四边形ABCD 中，BE 平分ABC ∠，CF 平分BCD ∠，∴ABE CBE ∠=∠，BCF DCF ∠=∠，∵//AB CD ，∴+=180ABC DCB ∠∠︒，CBE AEB ∠=∠，BCF DFC ∠=∠，∴+=90CBE BCF ∠∠︒，ABE AEB ∠=∠，DCF DFC ∠=∠，∴AE=AB=5，DF=DC=5， ∵AD=BC=8，∴AF=AD-DF=3，∴EF=AE-AF=2，延长CG 使CG EF =，∴EFCG 为平行四边形，∴2CG EF ==，10BG =，EG CF =， ∴=BCF G ∠∠，∴90BEG ∠=︒∵6BE =，10BG =，∴22221068EG BG BE =-=-=，∴8CF EG ==．故答案为：8．三、解答题21、如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，ABC ∆的顶点A ，B ，C 均在格点上．（1）ACB ∠的大小为 （度)（2）在如图所示的网格中，以A 为中心，取旋转角等于BAC ∠，把ABC ∆逆时针旋转，请用无刻度的直尺，画出旋转后的ABC ∆，并简要说明旋转后点C 和点B 的对应点点C '和点B '的位置是如何而找到的（不要求证明）【解析】（1）32AC =42BC =52AB =222AB AC BC ∴=+，90ACB ∴∠=︒，故答案为90．（2）如图，延长AC 到格点B '，使得52AB AB '==，取格点E ，F ，G ，H ，连接EG ，FH 交于点Q ，取格点E '，F '．G '，H '，连接E G ''，F H ''交于点Q '，作直线AQ '，直线B Q '交于点C '，△AB C ''即为所求．22、如图，在平行四边形ABCD 中，AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，垂足分别为E 、F ．求证：（1）AE ＝CF ；（2）四边形AECF 是平行四边形．【解析】证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形．∴AD ∥BC ，AD ＝BC ．∴∠ADE ＝∠CBF ．∵AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，∴∠AED ＝∠CFB ＝90°．∵在△ADE 与△CBF 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠CB AD CBF ADE CFBAED ，∴△ADE ≌△CBF （AAS ），∴AE ＝CF ． （2）∵AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，∴∠AEF ＝∠CFE ＝90°．∴AE ∥CF ．又∵AE ＝CF ，∴四边形AECF 是平行四边形．23、如图，四边形ABCD 中AC 、BD 相交于点O ，延长AD 至点E ，连接EO 并延长交CB 的延长线于点F ，∠E ＝∠F ，AD ＝BC ．（1）求证：O 是线段AC 的中点：（2）连接AF 、EC ，证明四边形AFCE 是平行四边形．【解析】证明：（1）∵∠E ＝∠F ，∴AD ∥BC ，∵AD ＝BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∴AC ，BD 互相平分；即O 是线段AC 的中点．（2）∵AD ∥BC ，∴∠EAC ＝∠FCA ，在△OAE 和△OCF 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠COF AOE CO AO FCO EAO , ∴△OAE ≌△OCF （ASA ）． ∴OE ＝OF ，∴四边形AFCE 是平行四边形．24、如图，四边形ABCD 为平行四边形，∠BAD 的角平分线AF 交CD 于点E ，交BC 的延长线于点F ．（1）求证：BF ＝CD ；（2）连接BE ，若BE ⊥AF ，∠BFA ＝60°，BE ＝43，求平行四边形ABCD 的周长．【解析】（1）∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB ＝CD ，AD ∥BC ，∴∠FAD ＝∠AFB ，又∵AF 平分∠BAD ，∴∠FAD ＝∠FAB ．∴∠AFB ＝∠FAB ．∴AB ＝BF ，∴BF ＝CD ；（2）解：由（1）知：AB ＝BF ，又∵∠BFA ＝60°，∴△ABF 为等边三角形，∴AF ＝BF ＝AB ，∠ABF ＝60°，∵BE ⊥AF ，∴点E 是AF 的中点．在Rt △BEF 中，∠BFA ＝60°，BE ＝43，∴EF ＝4，BF ＝8，∴AB ＝BF ＝8，∵四边形BACD 是平行四边形，∴AB ＝CD ，AD ＝BC ，AB ∥CD ，∴∠DCF ＝∠ABC ＝60°＝∠F ，∴CE ＝EF ，∴△ECF 是等边三角形，∴CE ＝EF ＝CF ＝4，∴BC ＝8﹣4＝4，∴平行四边形ABCD 的周长为8+8+4+4＝24．25、如图，在▱ABCD 中，BD 是它的一条对角线，过A 、C 两点分别作AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，E 、F 为垂足．（1）求证：四边形AFCE 是平行四边形．（2）若AD ＝15cm ，AE ＝12cm ，AB ＝20cm ，过点C 作CH ⊥AB ，求CH 的长．【解析】（1）证明：如图，连接AC 交BD 于点O∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AD ＝BC ，AO ＝CO ，∵AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，∴∠AEO ＝∠CFO ＝90°，在△AOE 和△COF 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠CO AO COF AOE CFO AEO ，∴△AOE ≌△COF （AAS ），∴EO ＝FO ，∵AO ＝CO ，∴四边形AECF 是平行四边形；（2）解：在Rt △ABE 中，由勾股定理得：BE==16， 在Rt △AED 中，由勾股定理得：DE =9， ∴BD ＝16+9＝25，∴S ▱ABCD ＝2S △ABD ＝2×21×25×12＝AB ×CH ＝20CH ， ∴CH ＝15．26、如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝12cm ，BC ＝15cm ，点P 自点A 向D 以1cm /s 的速度运动，到D 点即停止．点Q 自点C 向B 以2cm /s 的速度运动，到B 点即停止，点P ，Q 同时出发，设运动时间为t （s ）．（1）用含t 的代数式表示：AP ＝ ；DP ＝ ；BQ ＝ ；CQ ＝ ．（2）当t 为何值时，四边形APQB 是平行四边形？（3）当t 为何值时，四边形PDCQ 是平行四边形？【解析】（1）t ，12﹣t ，15﹣2t ，2t（2）根据题意有AP ＝t ，CQ ＝2t ，PD ＝12﹣t ，BQ ＝15﹣2t ．∵AD ∥BC ，∴当AP ＝BQ 时，四边形APQB 是平行四边形．∴t ＝15﹣2t ，解得t ＝5．∴t ＝5s 时四边形APQB 是平行四边形；（3）由AP ＝tcm ，CQ ＝2tcm ，∵AD ＝12cm ，BC ＝15cm ，∴PD ＝AD ﹣AP ＝12﹣t ，如图1，∵AD ∥BC ，∴当PD ＝QC 时，四边形PDCQ 是平行四边形．即：12﹣t ＝2t ，解得t ＝4s ， ∴当t ＝4s 时，四边形PDCQ 是平行四边形．27、如图，在平行四边形ABCD 中，O 是对角线AC 的中点，过点O 作OE ⊥BC 交BC 于点E ．过点O 作FG ⊥AB 交AB 、CD 于点F 、G ．（1）如图1，若BC ＝5，OE ＝3，求平行四边形ABCD 的面积； （2）如图2，若∠ACB ＝45°，求证：AF +FO=2EG ．【解析】（1）连接BD ，∵平行四边形ABCD ，∴BD 过点O ，∴S △OBC =21BC •OE =21×5×3=215, ∴平行四边形ABCD 的面积＝4S △OBC ＝30； （2）过点E 作EH ⊥EG ，与GC 的延长线交于点H ，如图2，∵OE ⊥BC ，∴∠OEG +∠OEC ＝∠GEC +∠CEH ＝90°，∴∠OEG ＝∠CEH ，∵∠ACB ＝45°，∴∠COE ＝45°，∴OE ＝CE ，∵平行四边形ABCD 中，AB ∥CD ， 又FG ⊥AB ，∴FG ⊥CD ，∴∠EOG +∠ECG ＝360°﹣90°﹣90°＝180°，∵∠ECH +∠ECG ＝180°，∴∠EOG ＝∠ECH ，∴△OEG ≌△CEH （ASA ），∴OG ＝CH ，EG ＝EH ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA ＝OC ，AB ∥CD ，∴∠OAF ＝∠OCG ，∵∠AOF ＝∠COG ，∴△OAF ≌△OCG （ASA ），∴AF ＝CG ，OF ＝OG ，∵CG +CH ＝GH ，∴AF +OF ＝GH ，∵∠GEH ＝90°，EG ＝EH ，∴GH=2EG ，∴AF +OF=2EG ．28、如图，ABC 是边长为6的等边三角形，D 是AB 中点，E 是边BC 上一动点，连结DE ，将DE 绕点D 逆时针旋转60︒得DF ，连接CF ．若7CF =，求BE 的长【解析】连接CD ，当点F 在直线CD 的右侧时，如图1中，取BC 的中点M ，连接DM ，MF ，延长MF交CD 于N ，ABC ∆是等边三角形，60B ∴∠=︒，BA BC =，AD DB =，CM MB =，DB BM ∴=，BMD ∴∆是等边三角形，60BDM EDF ∴∠=∠=︒，DB DM =，BDE MDF ∴∠=∠，DE DF =，()BDE MDF SAS ∴∆≅∆，FM BE ∴=，60FMD B ∠=∠=︒，FMD BDM ∴∠=∠，//MF AB ∴，CM MB =，CN ND ∴=，1322NM BD ∴==， AD BD =，CA CB =，CD AB ∴⊥，90CDB ∴∠=︒，6BC =，3BD =，33CD ∴=，33CN ∴=，90CNM CDB ∠=∠=︒， 7CF =，271742NF ∴=-=, 31122BE FM ∴==-=． 当点F 在直线CD 的左侧时，如图2中，同法可得13222FM BE ==+=， 综上所述，满足条件的BE 的值为1或2．29、如图1，在△ABC 中，∠A=36°，AB=AC ，∠ABC 的平分线BE 交AC 于E ．（1）求证：AE=BC ；（2）如图（2），过点E 作EF ∥BC 交AB 于F ，将△AEF 绕点A 逆时针旋转角α（0°＜α＜144°）得到△AE′F′，连结CE′，BF′，求证：CE′=BF′；（3）在（2）的旋转过程中是否存在CE′∥AB ？若存在，求出相应的旋转角α；若不存在，请说明理由．【解答】（1）证明：∵AB=BC ，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°，又∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE=∠CBE=36°，∴∠BEC=180°﹣∠C ﹣∠CBE=72°，∴∠ABE=∠A ，∠BEC=∠C ，∴AE=BE ，BE=BC ，∴AE=BC ．（2）证明：∵AC=AB 且EF ∥BC ，∴AE=AF ；由旋转的性质可知：∠E′AC=∠F′AB ，AE′=AF′，∵在△CAE′和△BAF′中，∴△CAE′≌△BAF′，∴CE′=BF′．（3）存在CE′∥AB ，理由：由（1）可知AE=BC ，所以，在△AEF 绕点A 逆时针旋转过程中，E 点经过的路径（圆弧）与过点C 且与AB 平行的直线l 交于M 、N 两点，如图：①当点E 的像E′与点M 重合时，则四边形ABCM 为等腰梯形，∴∠BAM=∠ABC=72°，又∠BAC=36°，∴α=∠CAM=36°． ②当点E 的像E′与点N 重合时，由AB ∥l 得，∠AMN=∠BAM=72°，∵AM=AN ，∴∠ANM=∠AMN=72°，∴∠MAN=180°﹣2×72°=36°，∴α=∠CAN=∠CAM +∠MAN=72°．所以，当旋转角为36°或72°时，CE′∥AB ．30、如图，P 是正方形ABCD 内一点，连接PA 、PB 、PC ，将∆ABP 绕点B 顺时针旋转到'CBP ∆的位置．（1）旋转中心是点______ ，点P 旋转的度数是______ 度；（2）连接’PP ,'BPP ∆的形状是______ 三角形；（3）若PA=2,PB=4,∠APB=135 ．求'BPP ∆的周长；求PC 的长．解答：（1）∵P 是正方形ABCD 内一点，△ABP 绕点B 顺时针旋转到△CBP ′的位置，∴旋转中心是点B ，点P 旋转的度数是90度；（2）根据旋转的性质BP=BP ′，∵旋转角为90°，∴△BPP ′是等腰直角三角形；（3）①∵PB=4，∴PP ′=，∴△BPP ′的周长=PB+P ′B+PP ′=；②∵∠BP ′C=∠BPA=135°，∴∠PP ′C=∠BP ′C ﹣∠BP ′P=135°﹣45°=90°，在Rt △PP ′C 中，PC=．31、在▱ ABCD 中，BE 平分∠ABC 交 A D 于点 E ．（1）如图 1，若∠D ＝30°，AB 6，求△ABE 的面积；（2）如图 2，过点 A 作 A F ⊥DC ，交 D C 的延长线于点 F ，分别交 B E ，BC 于点 G ，H ， 且 A B ＝AF ．求证：ED ﹣AG ＝FC ．【解答】（1）解：作BO⊥AD于O，如图1所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，∠ABC＝∠D＝30°，∴∠AEB＝∠CBE，∠BAO＝∠D＝30°，∴BQ＝AB＝，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∴∠ABE＝∠AEB，∴AE＝AB＝，∴△ABE的面积＝AE×BO＝××＝；（2）证明：作AQ⊥BE交DF的延长线于P，垂足为Q，连接PB、PE，如图2所示：∵AB＝AE，AQ⊥BE，∴∠ABE＝∠AEB，BQ＝EQ，∴PB＝PE，∴∠PBE＝∠PEB，∴∠ABP＝∠AEP，∵AB∥CD，AF⊥CD，∴AF⊥AB，∴∠BAF＝90°，∵AQ⊥BE，∴∠ABG＝∠F AP，在△ABG和△F AP中，，∴△ABG≌△AFP（ASA），∴AG＝FP，∵AB∥CD，AD∥BC，∴∠ABP+∠BPC＝180°，∠BCP＝∠D，∵∠AEP+∠PED＝180°，∴∠BPC＝∠PED，在△BPC和△PED中，，∴△BPC≌△PED（AAS），∴PC＝ED，∴ED﹣AG＝PC﹣AG＝PC﹣FP＝FC．。

如图
【小问2详解】
如图，
【点睛】本题考查了作图，轴对称变换，平行四边形的性质，勾股定理等知识，准确画出图形是解题的关键．
9．（2022温州中考）（8分）如图，在 的方格纸中，已知格点 ，请按要求画格点图形（顶点均在格点上）．
（1）在图1中画一个锐角三角形，使 为其中一边的中点，再画出该三角形向右平移2个单位后的图形．
【小问1详解】
∵
∴ ,
∴ 是直角三角形，
故答案为：直角三角形；
【小问2详解】
如图，点D即为所求作，使 与 全等：
【小问3详解】
如图所示，点E即为所作，且使 ：
【问4详解】
如图，点P，Q即为所求，使得 ，且相似比为1：2．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，勾股定理逆定理，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定，相似三角形的判定，熟练掌握相关定理是解答本题的关键．
（2）在方格纸中画出以线段 为一边的平行四边形 （点G，点H均在小正方形的顶点上），且平行四边形 的面积为4．连接 ，请直接写出线段 的长．
【答案】（1）见解析（2）图见解析，
【解析】
【分析】（1）根据轴对称的性质可得△ADC；
（2）利用平行四边形的性质即可画出图形，利用勾股定理可得DH的长．
【小问1详解】
网格作图
1.（2022丽水中考）如图，在 的方格纸中，点A，B，C均在格点上，试按要求画出相应格点图形．
（1）如图1，作一条线段，使它是 向右平移一格后的图形；
（2）如图2，作一个轴对称图形，使 和 是它的两条边；
（3）如图3，作一个与 相似的三角形，相似比不等于1．
【答案】（1）画图见解析
（2）画图见解析（3）画图见解析
7.（2022牡丹江中考）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC与△DEF关于点O成中心对称，△ABC与△DEF的顶点均在格点上，请按要求完成下列各题．

中考题型训练——网格作图1.（07.云南）（6分）如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：（1）作出格点△ABC关于直线DE对称的△A1B1C1; (2)作出△A1B1C1绕点B1顺时针方向旋转90°后的△A2B1C2；（3）求△A2B1C2的周长；（第1题）（第２题）2.（06.云南）（7分）在如图的方格纸中，每个小正方形的边长都是1, △ABC与△A1B1C1构成的图形是中心对称图形. (1)画出此中心对称图形的对称中心O; (2)画出将△A1B1C1沿直线DE方向向上平移５格得到的△A2B２C2；（３）要使△A2B２C2与△CC1C2重合，则△A2B２C2绕点C2顺时针方向旋转，至少要旋转多少度？（不要求证明）３．（05.云南）（7分）如图，梯形ABMN是直角梯形.(1)请在图中拼上一个直角梯形,使它与梯形ABMN构成一个等腰梯形;(3)将补上的直角梯形以点M为旋转中心,逆时针方向旋转180°,再向上平移一格,画出这个直角梯形(不要求写作法)（第3题）（第4题）4.(07.安徽) △ABC和点S在平面直角坐标系中的位置如图所示:(1)将△ABC向右平移4个单位得到△A1B1C1,则点A1 、B1的坐标分别为和.（２）将△ABC绕点S按顺时针方向旋转90°,画出旋转后的图形.5.(07.江苏)如图,网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度.(1)请在所给的网格内画出以线段AB,BC为边的菱形ABCD;(2)填空:菱形ABCD的面积等于 .（第5题）（第6题）6.(07.福州)如图的方格纸中，每个小正方形的边长都为1个单位的正方形,在建立平面直角坐标系后, △ABC的顶点均在格点上,点C的坐标为(4,-1).(1)把△ABC向上平移5个单位后得到对应的△A1B1C1,画出△A1B1C1,并写出点C1的坐标;(2)以原点O为对称中心,再画出与△A1B1C1关于原点O对称的△A2B２C2,并写出点C2的坐标.7．（07.哈尔滨）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示.（１）作出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C；（２）将△ABC向下平移３个单位长度，画出平移后的△A2B２C2.（第７题）（第8题）８.（07.辽宁）如图, 在平面直角坐标系中,图○1与图○2关于点P成中心对称.(1)画出对称中心P,并写出点P的坐标;(2)将图形○2向下平移4个单位,画出平移后的图形○3,并判断图形○3与图形○1的位置关系.(直接写出结果)9.(07.安徽)如图,在直角坐标系中△ABC的A、B、C三点坐标为A(7,1)、B(8,2)、C(9,0).(1)请在图中画出△ABC的一个以点P(12,0)为位似中心,相似比为3的位似图形(要求与△ABC同在P点一侧);(2)求线段BC的对应线段B′C′所在直线的表达式.（第9题）（第10题）10.(07.长沙)如图是某设计师在方格纸中设计图案的一部分,请你帮他完成余下的工作: (1)作出关于直线AB的轴对称图形;(2)将你画出的部分连同原图形绕点O逆时针旋转90°;(3)发挥你的想象,给得到的图案适当涂上阴影,让图案变得更加美丽.11.(07.海南)在如图的方格纸中，△ABC的顶点坐标分别为A(-2,5)、B(-4,1)和C(-1,3).(1)作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1,并写出点A、B、C的对称点A1、B1、C1的坐标；（2）作出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2,并写出点A、B、C的对称点A2、B2、C2的坐标；（3）试判断：△A1B1C1与△A2B2C2是否关于y轴对称（只需写出判断结果）（第11题）（第12题）12.（07.青海）如图所示，图○1和图○2中的每个小正方形的边长都为1个单位长度.(1)将图○1中的格点△ABC(顶点都在网格线交点的三角形叫格点三角形)向在平移2个单位长度得到△A1B1C1,请你在图中画出△A1B1C1;(2)在图○2中画一个与格点△ABC相似的格点△A2B2C2,且△A2B2C2与△ABC的相似比为2:1.13.(07.广西)如图,在正方形网格中,△ABC的三个顶点A、B、C均在格点上，将△ABC 向右平移5格，得到△A1B1C1，再将△A1B1C1绕点B1按顺时针方向旋转90°,得到△A2B2C2.(1)请在网格中画出△A1B1C1和△A2B2C2(不要求写画法)(2)画出△A1B1C1和△A2B2C2后,填空:∠C1B1C2= 度, ∠A2= 度.（第13题）14.(06.成都)如图,在平面直角坐标系中,点B的坐标为(-1,-1).(1)把△ABC向左平移8格后得到△A1B1C1,画出△A1B1C1并写出点B1的坐标;(2)把△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后得到△A2B2C,画出△A2B2C并写出点B2的坐标;(3)把△ABC以点A为位似中心放大,使放大前后对应边长的比为1:2,画出△AB3C3.（第14题）15.(06.广东)如图,图中的小正方形是边长为1的正方形,△ABC与是关于O为位似中心的位似图形,它们的顶点都在小正方形的顶点上.(1)画出位似中心点O;(2)求出△ABC与的位似比;(3)以点O为位似中心,再画一个△A1B1C1,使它与△ABC的位似比为1.5;。

热点09 尺规作图中考数学中《尺规作图》部分主要考向分为三类：一、尺规作图的痕迹（每年1道，3~8分）二、尺规作图画图（每年1道，3~12分）三、网格问题中的作图设计（每年1题，6~8分）尺规作图指的是只用无刻度的直尺和圆规，作已知线段的中垂线、已知角的角平分线；部分题型则考察由作图痕迹逆向推导是什么线，然后利用中垂线或者角平分线的性质继续解题。

最近几年又出现一类不用“尺规”，只用无刻度的直尺在网格图中按要求画图或找点。

当考察作图痕迹时，基本以选择题为主，实际画图题或者网格类问题则是简单题，虽然难度中等，但是对应考点的综合性已经越来越强，需要在做题时更加全面的分析。

考向一：尺规作图的痕迹【题型1 线段中垂线的尺规作图痕迹】满分技巧1、线段垂直平分线的画图痕迹：2、线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等1．（2023•凉山州）如图，在等腰△ABC中，∠A＝40°，分别以点A、点B为圆心，大于AB为半径画弧，两弧分别交于点M和点N，连接MN，直线MN与AC交于点D，连接BD，则∠DBC的度数是（）A．20°B．30°C．40°D．50°2．（2023•西宁）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点，作直线PQ交AB，AC于点D，E，连接CD．下列说法错误的是（）A．直线PQ是AC的垂直平分线B．CD＝ABC．DE＝BCD．S△ADE：S四边形DBCE＝1：43．（2023•随州）如图，在▱ABCD中，分别以B，D为圆心，大于BD的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线交BD于点O，交AD，BC于点E，F，下列结论不正确的是（）A．AE＝CF B．DE＝BF C．OE＝OF D．DE＝DC4．如图，在△ABC中，∠C＝40°，分别以点B和点C为圆心，大于BC的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN，交边AC于点D，连接BD，则∠ADB的度数为（）A．40°B．50°C．80°D．100°5．（2023•西藏）如图，在△ABC中，∠A＝90°，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点；作直线MN交AB于点E．若线段AE＝5，AC＝12，则BE长为．6．（2023•广元）如图，a∥b，直线l与直线a，b分别交于B，A两点，分别以点A，B为圆心，大于AB 的长为半径画弧，两弧相交于点E，F，作直线EF，分别交直线a，b于点C，D，连接AC，若∠CDA ＝34°，则∠CAB的度数为．【题型2 角平分线的尺规作图痕迹】满分技巧1、角平分线的画法：2、角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等1．（2023•衢州）如图，在△ABC中，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点D，E．分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，交于∠BAC内一点F．连结AF并延长，交BC于点G．连结DG，EG．添加下列条件，不能使BG＝CG成立的是（）A．AB＝AC B．AG⊥BC C．∠DGB＝∠EGC D．AG＝AC2．（2023•辽宁）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点E，F，分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径作弧，两弧在∠BAC的内部相交于点G，作射线AG，交BC于点D，则BD的长为（）A．B．C．D．3．阅读以下作图步骤：①在OA和OB上分别截取OC，OD，使OC＝OD；②分别以C，D为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点M；③作射线OM，连接CM，DM，如图所示．根据以上作图，一定可以推得的结论是（）A．∠1＝∠2且CM＝DM B．∠1＝∠3且CM＝DMC．∠1＝∠2且OD＝DM D．∠2＝∠3且OD＝DM4．（2023•湖北）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BC，BD于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线BP，过点C作BP 的垂线分别交BD，AD于点M，N，则CN的长为（）A．B．C．D．45．（2023•丹东）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AB，BC于点E，F，分别以E，F为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点P，作射线BP，交AD于点G，交CD的延长线于点H．若AB＝AG＝4，GD＝5，则CH的长为（）A．6B．8C．9D．106．（2023•内蒙古）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，以点A为圆心，以AB的长为半径画弧交AC于点D，连接BD，再分别以点B，D为圆心，大于BD的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BD于点M，交BC于点E，连接DE，则S△BDE：S△CDE是（）A．1：2B．1：C．2：5D．3：87．如图，在▱ABCD中，∠D＝60°．以点B为圆心，以BA的长为半径作弧交边BC于点E，连接AE．分别以点A，E为圆心，以大于AE的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线BP交AE于点O，交边AD 于点F，则的值为．8．（2023•鞍山）如图，△ABC中，在CA，CB上分别截取CD，CE，使CD＝CE，分别以D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在∠ACB内交于点F，作射线CF，交AB于点M，过点M作MN⊥BC，垂足为点N．若BN＝CN，AM＝4，BM＝5，则AC的长为．9．（2023•甘孜州）如图，在平行四边形ABCD（AB＜AD）中，按如下步骤作图：①以点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交AB，AD于点M，N；②分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在∠BAD内交于点P；③作射线AP交BC于点E．若∠B＝120°，则∠EAD为°．10．（2023•阜新）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8．连接AC，在AC和AD上分别截取AE，AF，使AE＝AF，分别以点E和点F为圆心，以大于EF的长为半径作弧，两弧交于点G，作射线AG交CD 于点H，则线段DH的长是．考向二：尺规作图画图【题型3 作一条线段的垂直平分线】满分技巧线段垂直平分线的画图步骤：1、分别以线段两端点为圆心，相同适当长（大于线段的一半）为半径画圆弧，上下各得两个弧的一个交点；2、过两个弧的交点作一条直线，则该直线即为所求作的线段中垂线。

学校2023北京通州初二（下）期末数学班级姓名2023年6月考1. 本试卷共7页，共三道大题，27个小题，满分为100分，考试时间为120分钟．生，2. 请在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名．3. 试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．须，4. 在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．知I 5. 考试结束后，请将答题卡交回．一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1. 五边形的外角和为A. 180°B. 360°C. 540°D. 720° 2. 志愿服务，传递爱心，传递文明，下列志愿服务标志为中心对称图形的是�• A. B.C.3. 用配方法解方程x 2-4x -3 = 0, 则配方正确的是®D.A. (x-2)2= 1B. (X + 2)2= 1C. (X-2)2= 7 D. (X +2)2= 7 4. 矩形具有而菱形不具有的性质是A. 两组对边分别平行B. 对角线相等C. 对角线互相平分 D. 两组对角分别相等5. 某工厂由千管理水平提高，生产成本逐月下降原来每件产品的成本是1600元，两个月后降至900元，若产品成本的月平均降低率为X ,下面所列方程正确的是A. 1600 (1 -X )2= 900C. 1600 (1 -x 2) = 900B. 1600 (1 -2x ) = 900 D. 1600 (1 -x) = 9006. 已知一次函数y =x+2,那么下列结论正确的是A. y 的值随x的值增大而增大 B. 图象经过第一、二、三象限C. 图象必经过点(0,2)D. 当x<2时，y<O试题7. 方差的统计含义：表示一组数据的每个数A . 偏离它的众数的差的平均值c. 偏离它的中位数的差的平方数的平均值B. 偏离它的平均数的差的绝对值的平均值D. 偏离它的平均数的差的平方数的平均值8. 下面的四个问题中都有两个变量：变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是A . 汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的行驶路程y与行驶时间X ;yB . 用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的一边长y与另一条边长X;C. 将水匀速注入水箱中，水箱中的水量y与注水时间X;D . 在弹簧测力计的量程范围内，弹簧挂重物伸长后的总长度y与所挂重物质量X.X二、填空题（本题共8个小题，每小题2分共16分）9. 在平面直角坐标系x O y 中，点A (—3, 4)和点B (3, 4)关千轴对称．10. 函数y =✓x 二飞的自变量x 的取值范围是11. 如图所示，某居民小区为了美化居住环境，要在一块三角形ABC 空地上围一个四边形花坛BCFE,已知点E、F 分别是边AB、AC 的中点量得BC =16米，则EF 的长是米．12. 关千x的方程x 2+3x +c =O 有一个根为-1,则c的值为13. 关千x的方程x 2-2x + m = 0有两个相等实数根则m 值是14. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作在《九章算术》中的勾股卷中有这样一道题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺。

中考网格作图题专项训练一．填空题（共1小题）1．（2006•烟台）正方形网格中，小格的顶点叫做格点．小华按下列要求作图：①在正方形网格的三条不同的实线上各取一个格点，使其中任意两点不在同一条实线上；②连接三个格点，使之构成直角三角形．小华在左边的正方形网格中作出了Rt△ABC．请你按照同样的要求，在右边的两个正方形网格中各画出一个直角三角形，并使三个网格中的直角三角形互不全等_________ ．二．解答题（共17小题）2．作图题，在网格中作图：①过C点作线段CD，使CD∥AB．②过C点作线段CE，使CE⊥AB．3．作图题，在如图所示的网格图中，画出一个与图中三角形相似的三角形．4．作图题：如图，是一个边长为1的正方形网格，请在网格中画出一个边长为2，和3的三角形．（要求三角形的顶点在小格的顶点处）．5．在如图的网格中作图：（1）过点C作直线AB的垂线；（2）过点C作直线AB的平行线．6．基本作图（保留作图痕迹不写作法．）在网格中求作一个三角形A′B′C′，使它与已知△ABC相似，且相似比为1：2；并分别求出两个三角形的周长．7．在如图所示的正方形网格中，已知线段AB，A、B均为格点．（1）请在网格中画出一个以AB为底边的等腰三角形ABC，且点C也为格点；（2）作出△ABC的外接圆（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法与证明）．8．正方形网格中，小格的顶点叫做格点，小华按下列要求作图：①在正方形网格的三条不同实线上各取一个格点，使其中任意两点不在同一条实线上；②连接三个格点，使之构成直角三角形．小华在左边的正方形网格中作出了Rt△ABC，请你按照同样的要求，在右边的两个正方形网格中各画出一个直角三角形，并求出这个直角三角形的面积．（要求：三个网格中的直角三角形互不全等）9．（2010•丰台区二模）在正方形网格中，小格的顶点叫做格点．小华按下列要求作图：①在正方形网格的三条不同实线上各取一个格点，使其中任意两点不在同一条实线上；②连接三个格点，使之构成直角三角形，小华在左边的正方形网格中作出了Rt△ABC．请你按照同样的要求，在右边的两个正方形网格中各画出一个直角三角形，使三个网格中的直角三角形互不全等，并分别求出这三个直角三角形的斜边长．10．△ABC在网格中如图，请根据下列要求作图：（1）过点C作AB的平行线．（2）将△ABC平移，使顶点B平移到点A，画出平移后的三角形．11．作图题：正方形网格中有△OAB，请你以O为位似中心放大，使新图形与原图形的对应线段比是2：1（不写作法）12．如图所示，在8×8的网格中，我们把△ABC在图1中作轴对称变换，在图2中作旋转变换，已知网格中的线段ED、线段MN分别是边AB经两种不同变换后所得的像，请在两图中分别画出△ABC经各自变换后的像，并标出对称轴和旋转中心（要求：不写作法，作图工具不限，但要保留作图痕迹）．13．按下列要求作图：（1）在正方形网格中三条不同实线上各取一个格点，使其中任意两点，不在同一实线上；（2）连接三个格点，使之构成直角三角形（如图1），请在右边网格在作出三个直角三角形，使四个直角三角形互不全等．14．作图：（1）在图1中画出△ABC关于点O的中心对称图形．（2）正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形，在图2正方形网格（每个小正方形边长为1）中画出格点△DEF，使DE=DF=5，EF=．15．如图：在正方形网格中有一个△ABC，按要求进行下列作图（只能借助于网格）：（1）画出△ABC中BC边上的高（需写出结论）；（2）画出先将△ABC向右平移6格，再向上平移3格后的△DEF；（3）画一个锐角△MNP（要求各顶点在格点上），使其面积等于△ABC的面积．16．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点）和点A1．利用网格完成下面的作图：（1）画出点B关于直线AC的对称点D；（2）画出一个格点△A1B1C1，并使它的三边长分别是3、、．17．作图题：（不要求写作法）如图，在边长为单位1的正方形网格中，有一个格点△ABC（各个顶点都是正方形网格的格点）（1）画出△ABC关于直线1对称的格点△A1B1C1；（2）画出以O点为位似中心，把△ABC放大到2倍的△A2B2C2．18．如图，图（1）、图（2）是边长为1的正方形网格，按下列要求作图并回答问题．（1）画出△ABC，点C在格点上且△ABC是等腰三角形，其腰长是_________ ；（2）画出正方形ABCD，且C、D在格点上，其周长是_________ ．2014年5月294464107的初中数学组卷参考答案与试题解析一．填空题（共1小题）1．（2006•烟台）正方形网格中，小格的顶点叫做格点．小华按下列要求作图：①在正方形网格的三条不同的实线上各取一个格点，使其中任意两点不在同一条实线上；②连接三个格点，使之构成直角三角形．小华在左边的正方形网格中作出了Rt△ABC．请你按照同样的要求，在右边的两个正方形网格中各画出一个直角三角形，并使三个网格中的直角三角形互不全等如图．考点：作图—复杂作图．专题：压轴题；网格型．分析：本题中得出直角三角形的方法如图：如果设AE=x，BE=4﹣x，如果∠FEG=90°，△AFE∽△GBE。

1． (2015 ·安徽 ) 如图，在边长为 1 个单位长度的小正方(1) ①画出△ ABC向左平移 5 个单位长度后获得的△A1B1C1；形格中，给出了△ABC(极点是格线的交点) ．②画出△ ABC绕着原点O 顺时针旋转90°后获得的△A2B2C2.(1) 请画出△ ABC对于直线l 对(2) 请写出直线B1C1与直线 B2C2的交点坐标．称的△ A1B1C1；(2) 将线段AC 向左平移 3 个单位，再向下平移 5 个单位，画5． (2015 ·昆明盘龙区二模) 如图，△ ABC 三个极点的坐出平移获得的线段A2C2，并以它标分别为A(1 ，1) ， B(4 ， 2) ， C(3， 4) ．为一边作一个格点△A2B2C2，使A2B2＝ C2B2.(1) 请画出将△ ABC先向左，再向下都平移 5 个单位长度后得到的△ A1B1C1；(2) 请画出将△ ABC绕 O按逆时2． (2015 ·昆明二模 ) 在如下图的方格纸中，每个小正针方向旋转90°后获得的△方形的边长都是1，△ ABC和△ A1B1C1成中心对称．A2B2C2；(3) 在 x 轴上求作一点P，使△(1) 请在图中画出对称中PAB周长最小，请画出△PAB并直接写出点P 的坐标．心 O；(2)在图中画出将△A1B1C1沿直线 DE平移 5 格获得的△ A2B2 C2；(3)要使△ A2B2C2与△6． (2013 ·海南 ) 如图，在正方形网格中，△ABC 各极点CC1C2重合，需将△ A2B2C2绕点 C2顺时针旋转，则起码要旋都在格点上，点A、C的坐标分别为( － 5，1) 、( － 1，4) ，转 ________度．联合所给的平面直角坐标系，解答以下问题：3．(2015 ·昆明西山区一模)如图，在平面直角坐标系中，已知△ ABC 的三个极点的坐标分别为A( － 4，3) ，B( －3，1) ， C(－ 1， 3) ． (1) 请按下列要求绘图；①将△ ABC 先向右平移 4 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度，获得△ A1B1C1，画出△ A1B1C1；②△ A2B2 C2与△ ABC对于原点O中心对称，画出△A2B2C2.在 (1) 中所得的△ A1B1C1和△ A2B2C2对于点 M 成中心对称，请直接写出对称中心 M点的坐标 ________．4．(2015 ·贵港 ) 如图，已知△ ABC三个极点的(1)画出△ ABC对于 y 轴对称的△A1B1C1；(2)画出△ ABC对于原点 O对称的△A2B2C2；(3)画出△ ABC绕着 O逆时针旋转 90 度得△A3B3C3，则旋转过程中点 C到点C3所经过的路径长 ________( 保存π ) ．7．(2015 ·南宁 ) 如图，在平面直角坐标系中，已知△ ABC 的三个极点的坐标分别为 A( － 1，1) ，B( － 3，1) ，C( －1，4)．(1)画出△ ABC对于 y 轴对称的△ A1B1C1；(2)将△ABC绕着点B 顺时针旋转90°后获得△A2BC2，请在图中画出△ A2BC2，并求出线段 BC旋转过程中所扫过的面积( 结果保存π ) ．参照答案1． (1) 如图：△ A1B1C1即为所求．(2)如图：△ A2B2C2即为所求．5.(1) 如图：△ ABC即为所求． A(－ 3，1) ，B(0 ，2) ，C(－1，4) ．(2) 连结 1 1 1OA， OA， AA 即得△ AOA，图略． S△2.(1) 如图：点 O 即为所求．(2) 如图：△ A2B2C2即为所 1求．(3)90 AOA1＝2×4× 1＝ 2.3．(1) ①如图：△ A1 B1C1即为所求．②如图：△A2 B2 C2即为所求．6． (1) 如图：△ A1B1C1即为所求．(2) 如图：△ A2B2C2即为所求．(3) 如图：△ PAB即为所求， P(2 ， 0) ．(2)(2 ， 1)7.(1) 如图：△ A1B1C1即为所求．(2) 如图：△ A2B2C2即为4.(1) ①如图：△ A1B1C1，即为所求；②如图：△A2B2C2如所求．(3)(1 ， 4) (1 ，－ 4) 17π图所示．(2)( －1，－ 4) ．8.(1) 如图：△ A1 B1C1即为所求．(2) 如图：△ A2BC2即为所求． S＝13π . 4。