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第八章 静电场中的导体和电介质§8-1 静电场中的导体一、静电感应 导体的静电平衡条件 1、静电感应2、导体静电平衡条件（1）导体的静电平衡：当导体上没有电荷作定向运动时称这种状态为导体的静电平衡。
（2）静电平衡条件 从场强角度看：①导体内任一点，场强0=E；②导体表面上任一点E与表面垂直。
从电势角度也可以把上述结论说成：①⇒导体内各点电势相等；②⇒导体表面为等势面。
用一句话说：静电平衡时导体为等势体。
二、静电平衡时导体上的电荷分布 1、导体内无空腔时电荷分布如图所示，导体电荷为Q ，在其内作一高斯面S ，高斯定理为：∑⎰=∙内S Sq s d E 01ε导体静电平衡时其内0=E，∴ 0=∙⎰s d E S， 即0=∑内S q 。
S 面是任意的，∴导体内无净电荷存在。
结论：静电平衡时，净电荷都分布在导体外表面上。
2、导体内有空腔时电荷分布 （1）腔内无其它电荷情况如图所示，导体电量为Q ，在其内作一高斯面S ，高斯定理为：∑⎰=∙内S Sq s d E 01ε 静电平衡时，导体内0=E∴ 0=∑内S q ，即S 内净电荷为0，空腔内无其它电荷，静电平衡时，导体内又无净电荷∴空腔内表面上的净电荷为0。
但是，在空腔内表面上能否出现符号相反的电荷，等量的正负电荷？我们设想，假如有在这种可能，如图所示，在A 点附近出现+q ，B 点附近出现-q ，这样在腔内就分布始于正电荷上终于负电荷的电力线，由此可知，B A U U >,但静电平衡时，导体为等势体，即B A U U =，因此，假设不成立。
结论：静电平衡时，腔内表面无净电荷分布，净电荷都分布在外表面上，（腔内电势与导体电势相同）。
（2）空腔内有点电荷情况如图所示，导体电量为Q ，其内腔中有点 电荷+q ，在导体内作一高斯面S ，高斯定理为∑⎰=∙内S Sq s d E 01ε 静电平衡时0=E， ∴ 0=∑内S q 。
又因为此时导体内部无净电荷，而腔内有电荷+q ， ∴ 腔内表面必有感应电荷-q 。
§2 静电场中的导体和电介质§2－1 静电场中的导体1. 导体的静电平衡条件当电荷静止不动时，电场散布不随转变，该体系就达到了静电平衡。
在导体中存在自由电荷，它们在电场的作用下可以移动，从而改变电荷的散布……导体内自由电荷无宏观运动的状态。
导体的静电平衡的必要条件是其体内图2－1导体的静电平衡场强处处为零。
从静电平衡的条件动身可以取得以下几点推论：推论1）导体是等位体，导体表面是等位面：2）导体表面周围的场强处处与它的表面垂直：因为电力线处处与等位面正交，所以导体外的场强必与它的表面垂直。
（注意：本章所用的方式与第一章不同，而是假定这种平衡以达图2－2导体对等位面的控制作用到，以平衡条件动身结合静电场的普遍规律分析问题。
）2．电荷散布1) 体内无电荷，电荷只散布在导体的表面上:当带电导体处于静电平衡时，导体内部不存在净电荷（即电荷的体密度）电荷仅散布在导体的表面。
可以用高斯定理来证明：设导体内有净电荷，则可在导体内部作一闭合的曲面，将包围起来，依静电条件知S面上处处, 即由高斯定理必有q=02） 面电荷密度与场强的关系:当导体静电平衡时，导体表面周围空间的 与该处导体表面的面电荷密度 有如下关系：论证： 在电荷面密度为 的点取面元设 点为导体表面之外周围空间的点，面元。
充分小，可以为 上的面电荷密度 是均匀的，以为横截面作扁圆柱形高斯面（S ）,上底面过P 点，把电荷q= 包围起来. 通太高斯面的电通量是：3） 表面曲率的影响、尖端放电导体电荷如何散布，定量分析研究较复杂，这不仅与这个导体的形状有关，还和它周围有何种带电体有关。
对孤立导体，电荷的散布有以下定性的规律：图2－3导体表面场强与电荷面密度曲率较大的地方（凸出而尖锐处），电荷密度e 较大；曲率较小的地方（较平坦处）电荷密度e 较小；曲率为负的地方（凹进去向）电荷密度e 更小。
1） 端放电的利和弊3 导体壳（腔内无带电体情况）大体性质：当导体壳内无带电体时，在静电平衡当导体壳内无 带电体时，在静电平衡下：导体壳内表面上处处无电荷，电荷仅散布在外 表面；空腔内无带电场，空腔内电位处处相等。
静电场、静电场中的导体
判断题
（×）1. 静电场中电场线可以是闭合的。
（×）2. 电场是标量场，电势是矢量场。
（×）3.静电场的高斯定理i S 01E dS q ε⋅=∑⎰中E 取决于高斯面内部的电荷。
（×）4.高斯面上的电场强度是仅仅由高斯面包围的电荷产生的。
选择题
1、关于静电场的电场线，以下说法错误的是 C
（A ）静电场的电场线总是从正电荷出发，到负电荷终结；
（B ）静电场的任何两条电场线不会相交； （C ）沿静电场的电场线方向电场强度的大小减小；
（D ）静电场的电场线的切线方向就是该点电场强度的方向。
2、下列关于高斯定理∑⎰⎰=⋅i S q S d E 0
1ε 说法正确的是 D (A) 若闭合曲面S 内电荷的代数和为零，则面上任一点的电场强度为零；
(B) 若0=⋅⎰⎰S S d E ，则闭合曲面内一定没有电荷；
(C) 由高斯定理可知，静电场的电场线是有起点和终点的；
(D) 由高斯定理可知，静电场是保守力场。
3、一平行板空气电容器，极板面积为S ,极板间的距离为d ，充电至带电Q 后与电源断开，然后用力缓缓地把两极板拉开到d 2。
电容器的能量（ B ）
(A)不变 （B ）增大 （C ）减小 （D ）不可确定
4、在静电场中，下列说法正确的是(无答案)
A 、 电势为零处，场强必为零。
B 、 场强为零处，电势必为零。
C 、 场强大小相等处，电势必相等。
D 、电势处处相等处，场强必为零。
5、关于静电场中的高斯定理⎰⎰∑=⋅i q s d E 01ε ，下列说法正确的是( D )
A 、E 为高斯面内电荷所产生的场强，∑i q 为高斯面内电荷的代数和。
B 、E 为高斯面内电荷所产生的场强，∑i q 为高斯面内外电荷的代数和。
C 、E 为高斯面内外电荷所产生的场强，∑i
q 为高斯面内自由电荷代数和。
D 、E 为高斯面内外电荷所产生的场强，∑i q 为高斯面内电荷的代数和。
7. 下列说法正确的是（B ）
A 、闭合曲面上各点的电场强度都为零时，曲面内一定没有电荷
B 、闭合曲面上各点的电场强度都为零时，曲面内电荷的代数和必为零
C 、闭合曲面的电通量为零时，曲面上各点的电场强度必为零
D 、闭合曲面的电通量不为零时，曲面上任一点的电场强度都不可能为零
填空题
1．边长为a 正方体中心放置一个电荷Q ，则通过任一个正方体侧面的电通量为 0
6εQ 。
2.半径为R 的球面均匀带电，所带总电量为q ，则球内距球心距离为r (r <R )处的电势为 R
q
04πε 。
计算题 1．有两个半径分别为1R 、2R 的同心球壳，带电分别为1Q 、2Q ，试求空间电场分布。
解：以同心球壳的球心为球心，以任意的r 为半径做球形高斯面 则：⎰⎰∑=⋅i q s d E 01ε
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<+==⋅⎰⎰)
()()(0422110210
12R r R r R R r Q Q Q E r s d E εεπ ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<+=∴)
()()(44022110221021R r R r R R r r Q Q r Q E επεπ 方向：沿半径发散
2． 一个半径为R 的带电球体，电荷分布均匀，体密度为ρ，试求此带电球体内、外的场强
分布。
解：以带电球体的球心为球心，以任意的r 为半径做球形高斯面 则：⎰⎰∑=⋅i q s d E 01ε
⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<==⋅⎰⎰)
()(34344030
32R r R r R
r
E r s d E επρεπρπ
⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<=∴)
()(330
23
R r R r r R r E ερερ 方向：沿半径发散
3．如图所示，两个带有等量异号电荷的无线长同轴圆柱面，半径分别为1R 和2R (12R R >) 单位长度上的电荷为λ。
求离轴线为r 处的电场强度 （1）1R r <（2）21R r R << （3）2R r >
解：以同轴圆柱面的轴为轴，以任意的r 为半径做圆柱形高斯面 则：⎰⎰∑=⋅i q s d E 01ε
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<==⋅⎰⎰)
()()(00222110
R r R r R R r h E rh s d E ελπ ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<=∴)
()()(02022110
R r R r R R r r E επλ 方向：沿半径发散
4．两个均匀带电球壳同心放置，半径分别为1R 和2R (12R R >)，已知内外球壳之间的电势差为12U ，求两个球壳之间的场强布。
解：设内球壳带电为Q ，则按第一题可知、 在12R r R >>处，2
04r Q
E πε= 则：)1
1
(442
10201221R R Q dr r Q
U R R -==⎰πεπε
1
22
10124R R R R U Q -=∴πε ∴21221121
r
R R R R U E -=。
