2.3.3平面向量的坐标运算，实际是平面向量的代数表示 .在引入了平面向量的坐标表示后可使 ,这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算 .2.本小节主要是运用向量线性运算的交换律、结合律、分配律，推导两个向量的和的坐标、差的坐标以及数乘的坐标运算 推导的关键是灵活运用向量线性运算的交换律、结合律和分配律 .3.引进向量的坐标表示后，向量的线性运算可以通过坐标运算来实现，一个自然的想法是向量的某些关系,特别是向量的平行、垂直,是否也能通过坐标来研究呢 ？前面已经找出两个向量共线的条件（如果存在实数 入使得a =血，那么a 与b 共线）,本节则进一步地把向量共线的条件转化为坐标表示.这种转化是比较容易的只要将向量用坐标表示出来 ，再运用向量相等的条件就可以得出平面向量共线的坐标表示 .要注意的是，向量的共线与向量的平行是一致的 .二、 教学目标1、 知识与技能：掌握平面向量的坐标运算；会根据向量的坐标，判断向量是否共线。
2、 过程与方法：通过对共线向量坐标关系的探究，提高分析问题、解决问题的能力。
3情感态度与价值观：学会用坐标进行向量的相关运算，理解数学内容之间的内在联系。
三、 教学重点与难点教学重点：平面向量的坐标运算。
教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确 .四、 教学设想 （一）导入新课思路1.向量具有代数特征，与平面直角坐标系紧密相联.那么我们在学习直线和圆的方程以及点、 直线、平面之间的位置关系时，直线与直线的平行是一种重要的关系 .关于X 、y 的二元一次方程 Ax+By+C=0（A 、B 不同时为零）何时所体现的两条直线平行？向量的共线用代数运算如何体现？思路2.对于平面内的任意向量 a ，过定点0作向量OA =a ，则点A 的位置被向量a 的大小和方向所唯一确定.如果以定点0为原点建立平面直角坐标系，那么点A 的位置可通过其坐标来反映，从而向量a 也可以用 坐标来表示，这样我就可以通过坐标来研究向量问题了 .事实上,向量的坐标表示，实际是向量的代数表示.引入向量的坐标表示可使向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算.引进向量的坐标表示后，向量的线性运算可以通过坐标运算来实现 ，那么向量的平行、垂直，是否也能通过坐标来研究呢？（二）推进新课、新知探究、提出问题①我们研究了平面向量的坐标表示现在已知a =（x i ,y i ）,b =（X 2,y 2）,你能得出a +b ,a -b , a 的坐标表示吗？②如图h 已知A （x i ,y i ）,B （x 2,y 2）,怎样表示AB 的坐标？你能在图中标出坐标为 （X 2-x i ,y 2-y i ）的P 点吗？标出点P 后,你能总结出什么结论？2.3.4 平面向量共线的坐标表示一、 教学分析1. 前面学习了平面向量的坐标表示向量完全代数化，将数与形紧密结合起来活动：教师让学生通过向量的坐标表示来进行两个向量的加、减运算骤.，教师可以让学生到黑板去板书步可得：活动:教师引导学生类比直线平行的特点来推导向量共线时的关系.此处教师要对探究困难的学生给以必要的点拨：设a =(x i ,y i ),b =(x 2,y 2),其中b M (我们知道，a 、b 共线，当且仅当存在实数 入使a =血.如果用坐标表示,可写为(X i ,y i )=入(xy 2),1x4=卜X , 即｛ 消去入后得x i y 2-x 2y i =0.A i =功2.这就是说，当且仅当X i y 2-X 2y i =0时向量a 、b (b 丰(共线. 又我们知道X i y 2-X 2y i =0与x i y 2=X 2y i 是等价的，但这与％ - ％时,X i y 2-X 2y i =0成立，但 吐=均无意义.因此 H =里是向量a 、b 共线的充分不必要条件.由此也看出向为 x 2x i x 2图1a +b =(x i i +y i j )+(x 2 i +y 2j )=(x i +X 2)i +(y 什y 2)j , 即 a + b =(x i +x 2 ,y i +y 2).同理 a - b =(x i -x 2,y i -y 2).又？a=入(X i +y i j )=入 x i + 入 y. /•扫=(入 x, X i ). 教师和学生一起总结，把上述结论用文字叙述分别为 ： 两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和 (差);实数与向量的积的坐标等于用这个实数 乘原来向量的相应坐标.教师再引导学生找出点与向量的关系:将向量AB 平移,使得点A 与坐标原点0重合,则平移后的B 点位置就是P 点.向量AB 的坐标与以原点为始点，点P 为终点的向量坐标是相同的，这样就建 立了向量的坐标与点的坐标之间的联系学生通过平移也可以发现：向量AB 的模与向量0P 的模是相等的. 由此，我们可以得出平面内两点间的距离公式1AB 1=1 OP 1= ~x 2)+ (y i ~ y 2).教师对总结完全的同学进行表扬，并鼓励学生，只要善于开动脑筋，勇于创新，展开思维的翅膀，就一定能 获得意想不到的收获.讨论结果：①能.② AB = OB - OA =(X 2,y 2)-(x i ,y i )=(x 2-x i ,y 2-y i ).结论：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标 提出问题①如何用坐标表示两个共线向量 ？ ②若 a =(x i ,y i ), b =(X 2,y 2),那么 y iX iy 2是向量a 、b 共线的什么条件？X 2- 是不等价的.因为当X i =X 2=0X 2X i量的应用更具一般性，更简捷、实用，让学生仔细体会这点.讨论结果：①X 1y 2-X 2y 1=0时，向量a 、b (b^0)共线. ②充分不必要条件. 提出问题a 与非零向量b 为共线向量的充要条件是有且只有一个实数 那么这个充要条件如何用坐标来表示呢？活动：教师引导推证：设a =(x 1,y 1),b =(X 2,y 2),其中b 力,「X j =Z X 2,、、“由 a = Ab,(X 1,y 1)=入 細2)= { 消去 入得 X 1y 2-X 2y 1=0.A 二泌.讨论结果:a // b (b^0)的充要条件是X 1y 2-X 2y 1=0. 教师应向学生特别提醒感悟1°肖去入时不能两式相除X 2a = A b:a // b (b 丰呀 \01 y 2 7丫1 =0.(三) 应用示例思路1例 1 已知 a =(2,1), b =(-3,4),求 a +b ,a -b ,3a +4b 的坐标.活动：本例是向量代数运算的简单应用，让学生根据向量的线性运算进行向量的和、差及数乘的坐标运 算,再根据向量的线性运算律和向量的坐标概念得出的结论 .若已知表示向量的有向线段的始点和终点坐标那么终点的坐标减去始点的坐标就是此向量的坐标 ，从而使得向量的坐标与点的坐标可以相互转化.可由学生自己完成.解:a + b =(2,1)+(-3,4)=(-1,5);a -b =(2,1)-(-3,4)=(5,-3);3 a +4 b =3(2,1)+4(-3,4)=(6,3)+(-12,16)=(-6,19).点评:本例是平面向量坐标运算的常规题 ，目的是熟悉平面向量的坐标运算公式 .变式训练入使得a =血,,•.• y i 、y 2有可能为0,而b 丸,.・.X 2、y 2中至少有一个不为 0.2。
