湖南师大附中高一试卷

2023-2024学年湖南师大附中高一数学上学期期末试卷2024年1月时量：120分钟满分：150分一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分﹐共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的．）1．tan 390︒的值为（）．A．B．C．2．已知全集为U，集合M，N 满足M NU ，则下列运算结果为U 的是（）．A．M N⋃B．()()U UN M ⋃痧C．()U M N ⋃ðD．()U N M ⋃ð3．下列命题为真命题的是（）．A．若0a b <<，则22a ab b <<B．若0a b >>，则22ac bc>C．若0a b <<，则11a b<D．若0a b >>，则22a b>4．下列命题正确的是（）．A．小于90︒的角是锐角B．第二象限的角一定大于第一象限的角C．与2024-︒终边相同的最小正角是136︒D．若2α=-，则α是第四象限角5．函数242xy x =+的图象大致为（）A．B．C．D．6．在R 上定义的函数()f x 是偶函数，且()()2f x f x =-，若()f x 在区间[]1,2上是减函数，则()f x （）．A．在区间[]0,1上是增函数﹐在区间[]3,4上是增函数B．在区间[]0,1上是增函数，在区间[]3,4上是减函数C．在区间[]0,1上是减函数，在区间[]3,4上是增函数D．在区间[]0,1上是减函数，在区间[]3,4上是减函数7．若2233x y x y---<-，则（）A．ln(1)0y x -+>B．ln(1)0y x -+<C．ln ||0x y ->D．ln ||0x y -<8．设方程21log 02xx ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，121log 02xx ⎛⎫-= ⎪⎝⎭的根分别为1x ，2x ，则（）A．121=x x B．1201x x <<C．1212x x <<D．122x x ≥二、选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9．下列选项中，下列说法正确的是（）．A．“1a >”是“21a >”的充分不必要条件B．“A B =”是“sin sin A B =”的必要不充分条件C．“,x y ∀∈R ，220≥+x y ”的否定是“00,x y ∃∈R ，22000x y +<”D．12y x =与24y x =是同一函数10．下列不等式恒成立的是（）．A．()1128x x -≤B．e e 2-+≥x xC．log log 2a b b a +≥D．221122x x +>+11．已知函数()221tan 2sin cos 1tan xf x x x x -=-+．下列结论是假命题的是（）．A．函数()f x 的最小正周期是πB．函数()f x 在区间ππ,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数C．函数()f x 的图象关于点π,08⎛⎫- ⎪⎝⎭对称D．函数()f x 的图象关于直线π8x =-对称12．已知53a =，85b=，则（）A．a b <B．112a b +>C．11a b a b +<+D．b aa ab b+<+三、填空题（本大题共4个小题﹐每小题5分﹐共20分．）13．将函数()πsin 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移()0m m >个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图象，若()g x 为奇函数，则m 的最小值为．14．若函数()2202412023x xf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间D 上单调递增，请写出一个满足条件的区间D 为．15．已知函数()()sin f x x ωϕ=+，如图A，B 是直线12y =与曲线()y f x =的两个交点，若π6AB =，则()πf =．16．已知函数()f x 的定义域为R，且满足()()()()2log 1,012,0x x f x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨--->⎪⎩，则()f x 在[]2024,2024-上的整数值零点的个数为．四、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．设全集U =R ，集合{}12A x x =-≤，206x B x x ⎧⎫-=≥⎨⎬+⎩⎭．(1)求A B ⋂；(2)已知集合{}1021C x a x a =-<<+，若() U B C ⋂=∅ð，求a 的取值范围．18．已知()34sin 2,sin 55a ββ-==-，且πππ,022αβ<<-<<．(1)求cos(2)αβ-的值；(2)求cos α的值；(3)求角αβ-的大小．19．已知关于x的不等式2104b x x -+≤．(1)当1,4a b ==时，求不等式的解集；(2)若不等式仅有一个解，求4b a +的最小值．20．已知函数()()()log 24log 5a a f x x x =-+-（0a >且1a ≠）的图象过点()3,2P -．(1)求a 的值及()f x 的定义域；(2)求()f x 的单调区间；(3)若523,32m n t ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭，比较()2f m 与()3f n 的大小．21．某摩天轮示意图如图．已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转﹐旋转一周所需时间为24T =分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1～12（可视为点）．现4号座舱位于圆周最上端，从此时开始计时，旋转时间为t分钟．(1)求1号座舱与地面的距离h 与时间t 的函数关系()h t 的解析式；(2)在前24分钟内，求1号座舱与地面的距离为17米时t 的值；(3)记1号座舱与5号座舱高度之差的绝对值为H 米，若在00t t ≤≤这段时间内，H 恰有三次取得最大值，求0t的取值范围．22．已知函数3()()31x x af x a R -=∈+.（1）若函数()f x 为奇函数，求a 的值，并求此时函数()f x 的值域；（2）若存在120x x <<，使()()120f x f x +=，求实数a 的取值范围.1．B【分析】根据诱导公式及特殊角的三角函数求解.【详解】()tan 390tan 36030tan 30︒=︒+︒=︒=，故选：B 2．D【分析】根据M N U ，结合交并补的运算即可判断选项【详解】如图，因为M NU ，所以M N N U =≠ ，故A 错误；因为()()() U UU UN M M N M U⋃==≠ 痧痧，故B 错误；因为M N U ，所以() U M N U ⋃≠ð，故C 错误；因为M NU ，所以() U N M U ⋃=ð，故D 正确.故选：D 3．D【分析】由题意结合作差法逐一判断每一选项即可，特别的对于C，令0c =即可判断.【详解】对于AC，若0a b <<，则()2110,0b aa ab a a b a b ab --=->-=>，故AC 错误；对于B，令0a b c >>=，则220ac bc ==，故B 错误；对于D，若0a b >>，则()()220a b a b a b -=+->，即22a b >，故D 正确.故选：D.4．C【分析】根据锐角定义判断A，取特殊角判断B，根据终边相同的角判断C，确定α所在象限判断D.【详解】1090-︒<︒，但是由锐角的定义知10-︒不是锐角，故A 错误；100︒是第二象限的角，400︒是第一象限的角，但100400︒<︒，故B 错误；因为20246360136-︒=-⨯︒+︒，所以与2024-︒终边相同的最小正角是136︒，故C 正确；π22α=-<-且2πα=->-，所以α是第三象限角，故D 错误.故选：C 5．A【分析】分析函数的奇偶性，并结合函数的解析式知：当0x >时()0f x >，即可确定大概函数图象.【详解】根据题意，设()242x y f x x ==+，其定义域为R ，有()()242xf x f x x -=-=-+，则()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，排除C ､D，当0x >时，40x >，220x +>，必有()0f x >，排除B，故选：A.【点睛】关键点点睛：分析函数的奇偶性与函数值符号，应用间接法确定函数图象.6．B【分析】根据函数关于y 轴和1x =轴对称，利用已知区间的单调性求解.【详解】因为()()2f x f x =-，所以函数()f x 关于1x =成轴对称，所以区间[0,1]与区间[]1,2，区间[2,1]--与[]3,4关于1x =对称，由函数()f x 在区间[]1,2上是减函数，可知函数在[0,1]上是增函数，又函数()f x 是偶函数，所以函数()f x 在[2,1]--上是增函数，所以函数()f x 在[]3,4上是减函数，故选：B 7．A【分析】将不等式变为2323x x y y---<-，根据()23t tf t -=-的单调性知x y <，以此去判断各个选项中真数与1的大小关系，进而得到结果.【详解】由2233x y x y ---<-得：2323x x y y---<-，令()23t tf t -=-，2x y = 为R 上的增函数，3x y -=为R 上的减函数，()f t ∴为R 上的增函数，x y ∴<，0y x ->Q ，11y x ∴-+>，()ln 10y x ∴-+>，则A 正确，B 错误；x y-Q 与1的大小不确定，故CD 无法确定.故选：A.【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到,x y 的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.8．B【分析】由方程21log 02xx ⎛⎫-= ⎪⎝⎭得212log xx ⎛⎫ ⎪⎝⎭=，121log 02xx ⎛⎫-= ⎪⎝⎭得：1212log xx ⎛⎫ ⎪⎝⎭=，分别画出左右两边函数的图象，即可得出结论.【详解】解：由方程21log 02x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭得212log xx ⎛⎫⎪⎝⎭=，121log 02x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭得：1212log xx ⎛⎫⎪⎝⎭=，分别画出左右两边函数的图象，如图所示.由指数与对数函数的图象知：1210x x >>>，于是有122112211log log 22xxx x ⎛⎫⎛⎫=<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得121x x <，所以1201x x <<，故选：B.9．AC【分析】根据不等式性质及反例可判断A，由正弦函数性质及反例判断B，由全称命题的否定C，由函数的定义域判断D.【详解】当1a >时，由不等式性质可知21a >成立，而当21a >时，1a >不一定成立，如2a =-，故“1a >”是“21a >”的充分不必要条件，故A 正确；因为A B =时，sin sin A B =成立，而sin sin A B =时，A B =不一定成立，如π2π,33A B ==，故“A B =”是“sin sin A B =”的充分不必要条件，故B 错误；由全称命题的否定知，“,x y ∀∈R ，220≥+x y ”的否定是“00,x y ∃∈R ，22000x y +<”，故C 正确；因为12y x =[0,)+∞，24y x ==x ∈R ，故函数不是同一函数，故D 错误.故选：AC 10．AB【分析】根据均值不等式判断AB，根据特例可判断CD.【详解】()21121212(12)222812x x x x x x +-⎛⎫⨯-≤=⎪-⎝⎭=，当且仅当212x x =-，即14x =时等号成立，故A正确；e e 2-+≥=x x ，当且仅当e e x x -=，即0x =时等号成立，故B 正确；当1,22a b ==时，1221log log log 2log 222a b b a +=+=-<，故C 错误；因为0x =时，221122x x +=+，所以221122x x +>+不成立，故D 错误.故选：AB 11．BCD【分析】首先根据同角三角函数关系式，二倍角公式和辅助角公式对函数()f x 的解析式进行化简，然后利用函数的周期判断A，利用单调性判断B，根据对称中心、对称轴判断CD.【详解】222222s 1tan ()2sin co in 1cos 2sin cos sin 1co tan s s 1x f x x x x x x x x xx -=--+-=+222222cos sin 2sin cos cos sin 2sin cos cos 2sin 2cos sin x x x x x x x x x x x x-=-=--=-+π24x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ππ,Z 2x k k ⎛⎫≠+∈ ⎪⎝⎭，因为2π2ππ2T ω===，函数()f x 的最小正周期是π，选项A 正确；由()ππ2π22πZ 4k x k k -+≤+≤∈，得()5ππππZ 88k x k k -+≤≤-+∈，所以区间ππ,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦不是函数的单调递增区间，选项B 错误；由()ππ2πZ 42x k k +=+∈，得()ππZ 82k x k =+∈，所以点π,08⎛⎫- ⎪⎝⎭不是函数的对称中心，选项C 错误；由()π2πZ 4x k k +=∈，得()ππZ 82k x k =-+∈，当0k =时，π8x =-，当取函数图象上点3π,14M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭时，M 关于π8x =-的对称点π,12M ⎛⎫- ⎪⎝⎭'，但由于函数定义域为ππ,2x k k ≠+∈Z，故π,12M ⎛⎫- ⎪⎝⎭'不在函数图象上，所以π8x =-不是函数的对称轴，选项D 错误.故选：BCD.12．ABD【分析】根据条件求得,a b 表达式，根据对数性质结合放缩法得A 正确，根据不等式性质得B 正确，通过作差法判断C 错，结合指数函数单调性与放缩法可得D 正确．【详解】解：∵53a =，85b=，∴35log a =，58log b =，因为3344435533535log 3log 54<⇒<⇒<=，又由3344438835858log 5log 84>⇒>⇒>=，所以a b <，选项A 正确；35lo 01g a <=<，580log 1b <=<，则11a >，11b >，所以112a b +>，选项B 正确；因为a b <，01a b <<<，则0b a ->，11ab >，此时111()()10b a a b a b b a a b ab ab -⎛⎫⎛⎫+-+=-+--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以11a b a b +>+，故选项C 不正确；由1324a <<和314b <<知()x f x a =与()xg x b =均递减，再由a ，b 的大小关系知b b a b a b aa b b a b a a b b <<⇒<⇒+<+，故选项D 正确.故选：ABD【点睛】本题考查了数值大小比较，关键运用了指对数运算性质，作差法和放缩法．13．π18【分析】根据图象平移与伸缩变换得出函数()g x 解析式，再由奇函数及诱导公式求解.【详解】由题意可得11π()()sin 3626g x f x m x m ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭，因为()g x 为奇函数，所以π3π,Z 6m k k -+=∈，即ππ183k m =-，Z k ∈，所以0k =时，正数m 有最小值π18.故答案为：π1814．[1,2]（答案不唯一）【分析】根据指数型函数的单调性判断方法，将指数取为t ，分别判断外函数1()2023ty =和内函数22024t x x =-的单调性，再由“同增异减”的方法即得函数的单调区间，再取其任意子集即得.【详解】对于函数()2202412023x xf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，不妨设22024t x x =-，则1()2023ty =在R 上递减，而2222024(1012)1012t x x x =-=--的对称轴为直线1012x =，故当(,1012)x ∈-∞时，函数t 为减函数，当(1012,)x ∈+∞时，函数t 为增函数.根据复合函数的“同增异减原则”可得：函数()2202412023x xf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭在(,1012)-∞上递增，在(1012,)+∞上递减.故依题意可知，区间D 可取区间(],1012∞-的任何子集，如[1,2].故答案为：[1,2].（答案不唯一）15．【分析】设1211,,,22A x B x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，依题可得，21π6x x -=，结合1sin 2x =的解可得，()212π3x x ω-=，从而得到ω的值，再根据2π03f ⎛⎫= ⎪⎝⎭以及()00f <，即可得2()sin 4π3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，进而求得()πf ．【详解】设1211,,,22A x B x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由π6AB =可得21π6x x -=，由1sin 2x =可知，π2π6x k =+或5π2π6x k =+，Z k ∈，由图可知，()215π2ππ663x x ωϕωϕ+-+=-=，即()212π3x x ω-=，4ω∴=．因为28ππsin 033f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以8ππ3k ϕ+=，即8ππ3k ϕ=-+，Z k ∈．所以82()sin 4ππsin 4ππ33f x x k x k ⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()2sin 4π3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭或()2sin 4π3f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，又因为()00f <，所以2()sin 4π3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2πsin 4ππ32f ⎛⎫∴=-=-⎪⎝⎭．故答案为：．【点睛】本题主要考查根据图象求出ω以及函数()f x 的表达式，从而解出，熟练掌握三角函数的有关性质，以及特殊角的三角函数值是解题关键．16．674【分析】根据函数当0x >时的周期，及(3)()f x f x +=-，即可求出整数值零点.【详解】当0x >时，由()(1)(2)f x f x f x =---可得(2)(1)()f x f x f x +=+-，(3)(2)(1)f x f x f x +=+-+，所以(3)()f x f x +=-，所以(6)(3)()f x f x f x +=-+=，即0x >时，周期为6.当0x <时，11x ->，()2()log 10f x x =->，此时函数无零点，由于2(0)log 10f ==，则(6)(5)(4)(4)(3)(4)(3)f f f f f f f =-=--=-，(3)(2)(1)(1)(0)(1)(0)0f f f f f f f -=-+=-++==，所以(3)0f =，所以(0)(3)(6)(9)(12)(2022)f f f f f f ====== ，由于20223674=⨯，故()f x 在[]2024,2024-上的整数值零点个数为674.故答案为：67417．(1)[1,2]-(2)8a ≤【分析】（1）化简集合,A B 根据集合的交集运算得解；（2）讨论,C C =∅≠∅，由()U B C ⋂=∅ð建立不等式求解即可.【详解】（1）{}12[1,3]A x x =-≤=-，20(6)[2,)6x B x x ∞∞⎧⎫-=≥=--⋃+⎨⎬+⎩⎭，所以[2,3]A B ⋂=.（2）由（1）知U [6,2)B =-ð，因为()U B C ⋂=∅ð，当C =∅时，1021a a -≥+，解得3a ≤，当C ≠∅时，则2103a a ≤-⎧⎨>⎩或2163a a +≤-⎧⎨>⎩，解得38a <≤，综上，实数a 的取值范围为8a ≤.18．(1)45(2)7210-(3)5π4【分析】（1）根据同角平方关系即可求解；（2）根据和角余弦公式求解cos 2cos[(2)]ααββ=-+，再根据倍角余弦公式即可求解；（3）先根据差角正弦公式求解sin()sin[(2)]αβαβα-=--，再结合角的范围即可求解.【详解】（1）因为ππ2α<<，所以π22πα<<.又π02β-<<，所以π02β<-<，所以5ππ22αβ<-<.而3sin(2)05αβ-=>，所以5π2π22αβ<-<，所以4cos(2)5αβ-==.（2）由π02β-<<且4sin 5β=-，得3cos 5β=，所以cos 2cos[(2)]cos(2)cos sin(2)sin ααββαββαββ=-+=---433424555525⎛⎫=⨯-⨯-= ⎪⎝⎭.又ππ2α<<，所以cos α==.（3）由（2）知π72π,cos 210αα<<=-，所以2sin 10α=，所以sin()sin[(2)]sin(2)cos cos(2)sin αβαβααβααβα-=--=---3724225105102⎛⎫=⨯--⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭.又πππ,022αβ<<<-<，所以π3π22αβ<-<，所以5π4αβ-=.19．(1)13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2)9【分析】（1）把1,4a b ==代入，解不等式即可；（2）根据条件可得Δ0=，可得11a b +=，0ab >，再利用基本不等式1的妙用求解即可.【详解】（1）当1,4a b ==时，不等式可化为23204x x -+≤，即24830x x -+≤，(23)(21)0x x --≤，解得1322x ≤≤，故不等式的解集为13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（2）若不等式2104b x x --+≤仅有一个解，则2Δ((1)0b =--=，即110,0ab b b ab a =-⇒=+>>，由10ab b -+=，两边除以b 得11a b +=，则4414()()559b b a ab a a b ab +=++=++≥+=，当且仅当4ab ab =，即2,33a b ==时，等号成立，故4b a +的最小值为9.20．(1)12a =，(2,5)(2)单调增区间为7,52⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调减区间为72,2⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)(2)(3)f m f n <【分析】（1）由(3)2f =-求得a ，由对数函数的定义得定义域；（2）根据二次函数、对数函数的单调性及复合函数的“同增异减”求函数的单调区间；（3）指数式改写为对数式，然后比较2,3m n 的大小，并由已知得出2,3m n 的范围，在此范围内由()f x 的单调性得大小关系．【详解】（1）因为()3,2P -在函数()()()log 24log 5a a f x x x =-+-的图象上，所以(3)log 2log 22log 22a a a f =+==-，即log 21a =-，解得12a =.由24050x x ->⎧⎨->⎩，解得25x <<，所以()f x 的定义域为(2,5).（2）由()()()111222log 24log 5log (24)(5)f x x x x x =-+-=--，令2(24)(5)21420s x x x x =--=-+-，当72,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，221420s x x =-+-单调递增，7,52x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，221420s x x =-+-单调递减，又12log y s=单调递减，由复合函数的单调性知，()f x 在72,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减，在7,52x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递增，故()f x 的单调增区间为7,52⎛⎫⎪⎝⎭，单调减区间为72,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.（3）52332m n t t ⎛⎫==<< ⎪⎝⎭，23m n t ==，2m t=，3n =，=1=>=>，所以23m n >，532<<t ，则22log log 3m t =<，222log 3m <，因为7423>，所以274log 3>，27log 34<，即722m <，335log log 2n t =>，333512533log log log 9228n >=>=，所以72(2,)2m ∈，73(2,)2n ∈，由（2）知，()f x 在7(2,)2上是减函数，所以(2)(3)f m f n <．21．(1)π()30sin3212h t t =+()0t ≥(2)14或22(3)0[32,44)t ∈【分析】（1）设1号座舱与地面的距离h 与时间t 的函数关系的解析式为()sin()(0h t A t b A ωϕ=++>，0)ω>，根据所给条件求出A 、b 、ω、ϕ，即可得到函数解析；（2）由（1）中的解析式得出()17h t =，结合正弦函数的性质计算可得；（3）依题意可得1h ，5h ，从而得到高度差函数()ππ30sin 3230sin 8321212H t t ⎛⎫⎡⎤=+-++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，利用两角和差的正弦公式化简，再结合正弦函数的性质求出函数取得最大值时t 的值，即可得解；【详解】（1）设1号座舱与地面的距离h 与时间t 的函数关系的解析式为()sin()(0h t A t b A ωϕ=++>，0ω>，0)t ≥，则30A =，32b =，所以()30sin()32(0)h t t ωϕω=++>依题意24min T =，所以2ππ(/min)12rad T ω==，当0=t 时()32h t =，所以0ϕ=，故π()30sin3212h t t =+()0t ≥；（2）令()17h t =，即π30sin321712t +=，所以π1sin 122t =-，又024t ≤≤，所以π02π12t ≤≤，所以π7π126t =或π11π126t =，解得14t =或22t =，即14t =或22t =时1号座舱与地面的距离为17米；（3）依题意130sin32π12t h +=，()5π30sin 83212h t =++，所以()ππ30sin 3230sin 8321212H t t ⎛⎫⎡⎤=+-++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()ππ30sin30sin 81212t t =-+ππ2π30sinsin 12123t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭3π3π30sin cos 212212t t =ππ126t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭令πππ,N π1262k k t -=+∈，解812,N t k k =+∈，所以当812,N t k k =+∈时H 取得最大值，故081228123t +⨯≤<+⨯，解得03244t ≤<，所以0[32,44)t ∈.22．（1）1a =，(1,1)-；（2）133a <<.【分析】（1）利用(0)0f =可求1a =，分离常数后可求函数的值域.（2）由题设可得故()f x 在()0,∞+上的取值集合与()f x -在(),0∞-的取值集合有交集，考虑它们无公共元素时实数a 的取值范围，该范围在实数集上的补集即为所求的取值范围.【详解】（1）因为3()31x x a f x -=+为奇函数，所以1(0)02a f -==，所以1a =，又当1a =时，31()31x x f x -=+，此时()3131()3131x x x x f x f x -----==-=-++，满足奇函数的定义，故1a =符合.此时312()13131x x xf x -==-++，又2231102()1(1,1)3131x x x f x +>⇒<<⇒=-∈-++，故函数()f x 的值域为(1,1)-.（2）3111()13131x xxa a f x +--+==-++.①当10a +≤时，()1f a ≥，故不成立；②当10a +>即1a ≥-时，因为存在120x x <<，使()()120f x f x +=，故()f x在()0,∞+上的取值集合与()f x-在(),0∞-的取值集合有交集，因为()f x在R上为增函数，故()f x在()0,∞+上的取值区间为1,12a-⎛⎫⎪⎝⎭，() f x在(),0∞-上的取值区间为1,2aa-⎛⎫-⎪⎝⎭，故()f x-在(),0∞-上的取值区间为1,2a a-⎛⎫⎪⎝⎭，若区间1,2a a-⎛⎫⎪⎝⎭与1,12a-⎛⎫⎪⎝⎭无公共元素，则12aa-≤或112a-≥，也就是13a≤或3a≥，故区间1,2a a-⎛⎫⎪⎝⎭与1,12a-⎛⎫⎪⎝⎭有公共元素时，必有133a<<.综上，13 3a<<.【点睛】方法点睛：（1）含参数的奇函数或偶函数，利用赋值法求出参数值后应加以检验；（2）多元方程解的存在性问题，一般转化为不同函数在对应范围中的值域的关系，注意合理转化.。

湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2023-2024学年高一上学期期中考试物理试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________A.b作用于a的静摩擦力为零D.第3s内的平均速度是8m/s5、某同学从一塔顶上每隔0.8s由静止释放一个小球，当刚释放第7个小球时，第1个小球恰好落地。

不计空气阻力，重力加速度g取210m/s，则下列说法中正确的是( )A.小球落地时的速度大小为56m/sB.第1个小球落地时，第6个小球下落的距离为3.2mC.第1个小球落地时，第2个小球与第3个小球的间距为16mD.第1个小球落地前瞬间，第1个、第2个和第5个小球的速度大小之比为5:2:16、如图所示，用细绳悬挂重物于O点，OB绳固定在墙B点，在水平绳OA的A端施加水平向左的拉力，物体处于静止状态。

现将拉力沿顺时针方向缓慢旋转到竖直方向，旋转过程中保持O点不动，则在OA绳缓慢旋转过程中，下列判断正确的是( )A.绳OB上的拉力一直减小，绳OA上的拉力先减小后增大B.绳OB上的拉力一直减小，绳OA上的拉力一直减小C.绳OB上的拉力一直增大，绳OA上的拉力先增大后减小D.绳OB上的拉力一直增大，绳OA上的拉力一直增大二、多选题7、下列几组共点力中，合力可能等于零的是( )A.3N，4N，6NB.1N，2N，4NC.2N，4N，6ND.5N，5N，11N8、手机地图导航越来越多的被人们使用。

某位同学坐轿车从湖南师大附中到长沙火车南站，乘坐高铁回家，如图所示为手机导航截屏画面，手机地图提供了三种驾车路线规划方案及相对应的数据，下列说法正确的是( )A.图中显示“37分钟”指的是时间间隔B.图中显示“24公里”指的是位移C.三条路线规划方案的平均速率相等D.三条路线规划第二方案的平均速度最大9、跳伞运动员从高空悬停的直升机内跳下，运动员竖直向下运动，其v t 图象如图所示，下列说法正确的是( )A.10s末运动员的速度方向改变B.从15s末开始运动员匀速下降C.运动员在打开降落伞前后瞬间加速度减小D.10~15s内运动员做加速度逐渐减小的减速运动10、两根完全相同的轻弹簧的原长均为L，将两弹簧与完全相同的两物体A、B，按如图所示的方式连接，并悬挂于天花板上，静止时两根弹簧的总长为2.6L。

2023-2024学年湖南师大附中高一（上）第一次月考语文试卷一、现代文阅读（35分）1．（17分）阅读下面的文字，完成各题。

材料一意境是我国古典文论独创的一个概念。

它是华夏抒情文学审美理想的集中体现。

文学意境论早在刘勰《文心雕龙》和钟嵘的《诗品》中已见端倪，盛唐之后开始全面形成。

王昌龄的《诗格》甚至直接使用了“意境”这个概念，文中说：诗有三境。

一曰物境：欲为山水诗，则张泉石云峰之境，极丽绝秀者，神之于心，处身于境，视境于心，莹然掌中，然后用思，了然境象，故得形似。

二曰情境：娱乐愁怨，皆张于意而处于身，然后驰思，深得其情。

三曰意境：亦张之于意而思之于心，则得其真矣。

这段话从诗歌创作的角度，分析了意境创造的三个层次。

认为要写好“物境”，必须心身入境，对泉石云峰那种“极丽绝秀”的神韵有了透彻了解之后，才能逼真地表现出来；描写“情境”需要作者设身处地地体验人生的娱乐愁怨，有了这种情感体验，才能驰骋想象，把握情感，深刻地把它表现出来；对于“意境”，作家必须发自肺腑，得自心源，有真诚的人格、真切的发现，这样的“意境”才能真切感人。

他还探讨了意与景的关系，提出“诗不可一向把理，皆须入景，语始清味。

诗一向言意，则不清及无味；一向言景，亦无味；事须景与意相兼始好。

”这些都是前无古人的深刻见解。

王昌龄之后，诗僧皎然又把意境的研究推进了一步，提出了诸如“缘境不尽曰情”“文外之旨”“取境”等重要命题，全面发展了意境论。

中唐以后，刘禹锡提出了“境生于象外”的观点。

晚唐司空图对此加以生发，提出了“象外之象，景外之景”和“韵外之致”“味外之旨”等观点，进一步扩大了意境研究的领域。

至此，意境论的基本内容和理论构架已经确立。

总的来说，它有两大因素、一个空间，即情与景两大因素和审美想象的空间。

这就是所谓“境”。

此后，意境论逐渐成了我国诗学、画论、书论的重要范畴，历代都有学者文人对它作补充、发挥，清末王国维是意境论的集大成者。

可是，由于意境概念历经千余年的沿革变化，更由于南宋以后意境与境界概念的混用，其内容更为丰富复杂。

5.湖南师大附中高一第一学期期末考试教学(本试卷满分150分，考试时间120分钟）第I 卷(满分100分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若直线过点()(1,22,2+，，则此直线的倾斜角是（ ) A.30︒ B.45︒ C.60︒ D.90︒2.已知直线1:20l ax y --=和直线()2:210l a x y +-+=，若12l l ⊥，则a 的值为（ ） A.2 B.l C.0 D.-13.若,a b 表示直线，α表示平面，下列命题中正确的个数为（ ) ①,//;a b a b αα⊥⇒⊥ ②,//;a a b b αα⊥⊥⇒ ③//,a a b b αα⊥⇒⊥. A.l B.2 C.3 D.04.在空间直角坐标系中，点B 是()1,2,3A 在xOz 坐标平面内的射影，O 为坐标原点，则OB 等于（ ）A.14B.13C.5D.105.两圆2222104240x y x y x y +-=+-+-=和的位置关系是（ ） A.内切 B.相交 C.外切 D.外离6.如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为12，则该几何体的俯视图可以是（ ）7.已知圆22:450C x y x +--=，则过点()1,2P 的最短弦所在直线l 的方程是（ ）A.3270x y +-= B.240x y +-= C.230x y --= D.230x y -+=8.直三棱柱111ABC A B C -中，若190,BAC AB AC AA ︒∠===，则异面直线1BA 与1AC ,所成的角等于( )A.30︒B.45︒C.60︒D.90︒9.从直线30x y -+=上的点向圆224470x y x y +--+=引切线，则切线长的最小值为（ ）32A.2 14B.232C.432D.12- 10.如图，等边三角形ABC 的中线AF 与中位线DE 相交于G ,已知'A ED ∆是AED ∆绕DE 旋转过程中的一个图形,下列命题中，错误的是( ) A.恒有'DE A F ⊥B.异面直线'A E 与BD 不可能垂直C.恒有平面'AGF⊥平面BCED D.动点'A 在平面ABC 上的射影在线段AF 上二、填空题(本大题共3小题,每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上）11.如图，'''O A B ∆是水平放置的AOB ∆的直观图，''''3,4O A O B ==，则AOB ∆的面积是_____.12.在三棱锥A BCD -中，,,AB AC AB AD AC AD ⊥⊥⊥，若3,4,AB AC ==5AD =，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为_____.13.如图所示，已知矩形ABCD 中，3,AB BC a ==，若PA ⊥平面AC ，在BC 边上取点E ，使PE DE ⊥，则满足条件的E 点有两个时，a 的取值范围是_____.三、解答题(本大题共3小题，共35分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)14.(本小题满分10分)已知直线l 经过点()2,5P -，且斜率为34-.(I)求直线l 的方程；(II)求与直线l 切于点()2,2，圆心在直线110x y +-=上的圆的方程. 15.(本小题满分12分）已知坐标平面上动点(),M x y 与两个定点()()26,1,2,1A B 的距离之比等于5. (I)求动点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；(II)记(I)中的轨迹为C ，过点()2,3P -的直线l 被C 所截得的线段的长为8，求直线l 的方程.16.(本小题满分13分）如图所示，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO ⊥底面ABCD ，底面边长为a ，E 是PC 的中点. (I)求证://PA 平面BDE ;(II)求证:平面PAC ⊥平面BDE ;(III)若二面角E BD C --为30︒，求四棱锥P ABCD -的体积.第II 卷(满分50分)一、选择题(本大题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)17.中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题:“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何?”人们把此类题目称为“中国剩余定理”问题，若正整数N 除以正整数m 后的余数为,n 则记为()mod N n m =，例如()112mod3=.现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的n 等于（ ）A.21B.22C.23D.2418.在四棱锥P ABCD -中，AD ⊥平面PAB ，BC ⊥平面PAB ，底面ABCD 为梯形，4,8,6,AD BC AB APD CPB ===∠=∠,满足上述条件的四棱锥的顶点P 的轨迹是（ ） A.直线的一部分 B.半圆的一部分 C.圆的一部分 D.球的一部分二、填空题(本大题共1小题，每小题5分.把答案填在题中的横线上）19.定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，()()[)[)12log 1,0,1,13,1,,x x f x x x ⎧+∈⎪=⎨⎪--∈+∞⎩则关于x 的函数()()20172018F x f x =-的所有零点之和为_____. 三、解答题(本大题共3小题，共35分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）20.（本小题满分10分）如图，在正方体中1111ABCD A B C D -.(I)求证:1AC BD ⊥(II)是否存在直线与直线111,,AA CC BD 都相交？若存在，请你在图中画出两条满足条件的直线(不必说明画法及理由)；若不存在，请说明理由.21.(本小题满分12分） 平面直角坐标系中，在x 轴的上方作半径为1的圆Γ，与x 轴相切于坐标原点O .平行于x 轴的直线1l ,与y 轴交点的纵坐标为-l ，(),A x y 是圆Γ外一动点，A 与圆Γ上的点的最小距离比A 到1l 的距离小1. (I)求动点A 的轨迹方程；(II)设2l 是圆Γ平行于x 轴的切线，试探究在y 轴上是否存在一定点B ，使得以AB 为直径的圆截直线2l 所得的弦长不变. 22.(本小题满分13分） 已知函数()()2log 1f x x =+.(I)若()()10f x f x +->成立，求x 的取值范围；(II)若定义在R 上奇函数()g x 满足()()2g x g x +=-，且当01x ≤≤时，()()g x f x =，求()g x 在[]3,1--上的解析式，并写出()g x 在[]3,3-上的单调区间(不必证明）；(III)对于(II)中的()g x ，若关于x 的不等式321822x x t g g +⎛⎫-⎛⎫≥- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭在R 上恒成立，求实数t的取值范围.参考答案 1.答案：C解析：由斜率公式可得该直线的斜率tan k θ==，则倾斜角60θ︒=,故选C. 2.答案：D解析：由题知()210a a ++=,即()222110,1a a a a ++=+=∴=-(也可以将选项中的值代入检验），故选D. 3.答案：A解析：①正确；对于②，//b α或;b a ⊂对于③，b a ⊂或//b α或b 与α相交，故选A. 4.答案：D解析：点()1,2,3A 在xOz 坐标平面内的射影为()1,0,3B ，则OB ==，故选D. 5.答案：B解析：将两圆方程化成标准方程分别为221x y +=,()()22219x y -++=，可知圆心距d =，由于24d <<，所以两圆相交，故选B.6.答案：C解析：当俯视图为A 中正方形时，几何体为边长为1的正方体，体积为1；当俯视图为B 中圆时，几何体为底面半径为12高为1的圆柱，体积为;4π当俯视图为C 中三角形时，几何体为底面为直角边长为1的等腰直角三角形，高为1的三棱柱，体积为12；当俯视图为D 中扇形时，几何体为圆柱的14，体积为4π，故选C. 7.答案：D解析：圆C 的标准方程为()2229x y -+=，过点()1,2P 的最短弦所在直线l 应与PC 垂直，故有1l pc k k ⋅=-，由2pc k =-得12l k =，进而得直线l 的方程为230x y -+=，故选D.答案：C解析：将直三棱柱111ABC A B C -,补形成正方体1111ABCD A B C D -，则异面直线1BA ,与1AC ,所成的角等于1BA 与1BD 所成的角，即为60︒，故选C. 9.答案：B解析：当圆心到直线距离最短时，切线长最短.圆224470x y x y +--+=的标准方程为()()22221x y -+-=，则圆心为()2,2，半径为1，圆心到直线30x y -+=的距离d =2=，故选B. 10.答案：B解析：在旋转的过程中，',DE AGDE FG ⊥⊥，又'AG FG G =，则DE ⊥平面'',AGF DE A F ∴⊥，A 选项正确；,E F 为线段,AC BC 的中点，'//,EF AB A EF ∴∴∠就是异面直线'A E 与BD 所成的角，当()()22'2'A E EF A F +=时，直线'A E 与BD 垂直，B 选项不正确；已证得DE ⊥平面'AGF，又DE ⊂平面,BCED ∴平面'AGF ⊥平面BCDE ，C 选项正确；已证得平面'AGF⊥平面BCDE ，且两平面的交线为',AF A ∴在平面ABC 上的射影在线段AF 上，D 选项正确.综上所述,故选B.11.答案：见解析解析：由斜二测画法可知OAN ∆为直角三角形，两 直角边分别为4和6，12AOB S ∆∴=.12.答案：见解析解析：三棱锥A BCD -的外接球即为长、宽、高分别为4，3，5的长方体的外接球,所以外接球的半径R 满足2R ==所以三棱锥A BCD -的外接球的表面积2450S R ππ==. 13.答案：见解析解析：由PA ⊥平面AC ，得PA DE ⊥，又PE DE ⊥，AP PE P =，则DE ⊥平面PAE ，得AE DE ⊥.问题转化为以AD 为直径的圆与BC 有两个交点，所以32a>，解得6a >. 14.答案：见解析解析：解:（I)直线l 经过点()2,5P -，且斜率为34-，∴直线l 的方程为()3524y x -=-+,即34140x y +-=.(4分）(II)解法一:过点()2,2且与直线l 垂直的直线方程为4320x y --=，由110,4320,x y x y +-=⎧⎨--=⎩得5,6,x y =⎧⎨=⎩ 即圆心为()5,6，半径为5=，故所求圆的方程为()()225625x y -+-=.（10分） 解法二：圆心在110x y +-=上，∴设圆心坐标为(),11a a -，由题意，=解得5a =，∴5=.∴所求圆的方程为()()225625x y -+-=.（10分）15.答案：见解析解析：解:(I)由题意，得5MA MB=.5=化简，得2222230x y x y +---=.即()()221125x y -+-=.∴点M 的轨迹方程是()()221125x y -+-=,轨迹是以()1,1为圆心，以5为半径的圆.（6分) (II)当直线l 的斜率不存在时，:2l x =-， 此时所截得的线段的长为222538-=，:2l x ∴=-符合题意. 当直线l 的斜率存在时， 设l 的方程为()32y k x -=+， 即230kx y k -++=， 圆心到l 的距离2321k d k +=+由题意，得222232451k k ⎛⎫++= ⎪+⎝⎭, 解得512k =.∴直线l 的方程为5230126x y -+=.即512460x y -+=.综上，直线l 的方程为2x =或512460x y -+=.(12分) 16.答案：见解析解析：解：(I)证明：连接OE ，如图所示.,O E 分别为,AC PC 中点，//OE PA ∴.OE ⊂平面,BDE PA ⊄平面BDE, //PA ∴平面BDE .(4分)(II)证明：PO ⊥平面,ABCD PO BD ∴⊥. 在正方形ABCD 中，BD AC ⊥， 又,POAC O BD =∴⊥平面PAC .又BD ⊂平面,BDE ∴平面PAC ⊥平面BDE E.(8分) (III)取OC 中点F ，连接EF .E 为PC 中点，EF ∴为POC ∆的中位线，//EF PO ∴. 又PO ⊥平面ABCD ,EF ∴⊥平面ABCD , ,.OF BD OE BD ⊥∴⊥EOF ∴∠为二面角E BD C --的平面角，30EOF ︒∴∠=.在Rt OEF ∆中，112,2466tan 30,2.126OF OC AC a EF OF a OP EF a ︒===∴=⋅=∴==231663618P ABCD V a a a -∴=⨯⨯=.（13分）17.答案：C解析：执行该程序框图，初始值20.2137n =÷=，执行“否”；22371÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，执行“否”；23372÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，执行“是”，23543÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，执行“是”，输出23n =,故选C. 18.答案：C解析：因为AD ⊥平面.PAB BC 平面PAB ，所以//AD BC ，且90DAP CBP ︒∠=∠=.又,4,8,APD CPN AD BC ∠=∠==可得tan AD CBAPD CPB PA PB∠=∠=,即得2PB CBPA AD==，在平面PAB 内，以AB 中点O 为坐标原点，所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则()()3,0,3,0A B -.设点(),P x y ，则有23PB PAx y ==++，整理得221090x y x +++=.由于点P 不在直线AB 上，故此轨迹为一个圆(不含直线AB 上两点），故选C. 19.答案：见解析解析：当0x ≥时，()()[)[)12log 1,0,1,13,1,,x x f x x x ⎧+∈⎪=⎨⎪--∈+∞⎩即[)0,1x ∈时，()()[)12log 1,0,1f x x x =+∈；[]1,3x ∈时，()[]21,1f x x =-∈-；()3,x ∈+∞时，()()4,1f x x =-∈-∞；画出0x ≥时()f x 的图象，再利用奇函数的对称性,画出0x <时()f x 的图象,如图所示.则直线20172018y =与()y f x =图象有5个交点，则方程()201702018f x -=共5个实根，即函数()F x 有5个零点，分别为1234,,,,p x x x x x ，由图象可知，()34126,6,1,0x x x x x +=-+=∈-时，()0,1x -∈，()()12log 1f x x ∴-=-+，又()()()()()11122,log 1log 1f x f x f x x x --=-∴=--+=-()2log 1,x =-P x ∴满足()22017log 12018x -=，即2017201812x -=，解得2017201812,x =-∴所有零点的和为2017201812-.20.答案:见解析解析：解:(I)证明:如图，连接BD . 正方体1111ABCD A B C D -,1DD ∴⊥平面ABCD .AC ⊂平面ABCD ,1D D AC ∴⊥. 四边形ABCD 是正方形，AC BD ∴⊥.1,BDD D D AC =∴⊥平面1BDD .1BD ⊂平面11,BDD AC BD ∴⊥.(5分)(II)存在.答案不唯一，作出满足条件的直线一定在平面11ACC A 中， 且过1BD 的中点并与直线11,A A C C 相交. 下面给出答案中的两种情况，(10分)其他答案只要合理就可以给满分. 21.答案：见解析解析：解:(I)设圆Γ的圆心为1O ，显然圆Γ上距A 距离最小的点在1AO 上,于是依题意知1AO 的长度等于A 到1l 的距离.显然A 不能在1l 的下方，不然A 到1l 的距离小于1AO 的长度， 故有()()2211y x y -+=--,即()2104y x x =≠.（5分）(II)若存在这样的点B ，设其坐标为()0,t ，以AB 为直径的圆的圆心为C ，过点C 作2l 的垂线,垂足为D .则C 点坐标为,22x y t +⎛⎫⎪⎝⎭，于是42y t CD +-=， ()()2224AB x y t y y t =+-=+-.设所截弦长为l ，则22242l AB CD ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()()()22481644y y t y t y t +---++=-， 于是()2124816l t y t =-+-，（10分） 弦长不变即l 不随y 的变化而变化， 故1240t -=,即3t =.即存在点()0,3B ，满足以AB 为直径的圆截直线2l 所得的弦长不变.（12分） 22.答案：见解析解析：解:（I)由()()10f x f x +->得()22log 1log 0x x ++>，得21,0,10,x x x x ⎧+>⎪>⎨⎪+>⎩解得x >，所以x的取值范围是x x x ⎧⎪∈>⎨⎪⎪⎩⎭.（5分）(II)当32x -≤≤-时，()()()()()()22222log 21log 1,g x g x g x f x x x =-+=--=--=--+=-- 当21x -<≤-时，()()()()22=2=log 3g x g x f x x =-+--+-+,综上可得()()()()()22log 132,log 321.x x g x x x ---≤≤-⎧⎪=⎨-+-<≤-⎪⎩()g x 在[]3,1--和[]1,3上单调递减； ()g x 在[]1,1-上单调递增.(III)因为21113log ,2222g g f⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭由(II)知，若()23log 2g x =-，得32x =-或52x =， 由函数()g x 的图象可知若321822x x t g g +⎛⎫-⎛⎫≥- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭在R 上恒成立. 设()3211828812x x xt t u +-+==-+++， 当10t +≥时，()11111,8888812x t t u ++⎛⎫=-+∈--+ ⎪+⎝⎭，则11115,,,88822t u +⎛⎫⎡⎤∈--+⊆- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦则115882t +-+≤，解得120t -≤≤. 当10t +<时，()11111,8888812x t t u ++⎛⎫=-+∈-+- ⎪+⎝⎭ 则111882t +-+≥-，解得4 1.t -≤<-综上，故420t -≤≤.（13分）。

湖南省长沙市一中、湖南师大附中2024届高一数学第二学期期末学业质量监测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．若函数()sin 0,0,2y A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭在一个周期内的图象如图所示，且在y 轴上的截距为2，,M N 分别是这段图象的最高点和最低点，则ON 在OM 方向上的投影为（ ）A ．2929B ．2929-C ．55-D ．552．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A ，B ，C ，D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，二面角B AC D --的大小为（ ） A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°3．2019年是新中国成立70周年，涡阳县某中学为庆祝新中国成立70周年，举办了“我和我的祖国”演讲比赛，某选手的6个得分去掉一个最高分，去掉一个最低分，4个剩余分数的平均分为91.现场制作的6个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示，则4个剩余分数的方差为（ ）A ．1B ．32C ．4D ．64．执行如下的程序框图，则输出的S 是（ ）A ．36B ．45C ．36-D ．45-5．设变量,x y 、满足约束条件236y x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．96．一个圆锥的表面积为5π，它的侧面展开图是圆心角为90︒的扇形，该圆锥的母线长为（ ） A ．83B ．4C ．25D ．357．点（4，0）关于直线5x ＋4y ＋21＝0的对称点是 （ ）． A ．（－6，8）B ．（－8，－6）C ．（6，8）D ．（－6，－8）8．已知扇形的周长为8cm ，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为（ ） A ．24cmB ．26cmC ．28cmD ．216cm9．椭圆221169x y +=中以点M(1，2)为中点的弦所在直线斜率为（ ）A ．932-B ．9 32C ．9 64D ．9 1610．若正实数,x y 满足x y 1+=，则41x 1y++的最小值为( ) A ．447B ．275 C ．143D ．92二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2022-2023学年湖南师大附中高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U ＝{1，2，3，4，5}，A ＝{1，2}，B ＝{2，3，4}，则A ∩（∁U B ）＝（ ） A ．{1}B ．{5}C ．{1，5}D ．{1，2}2．（5分）已知复数z =5i−2（i 是虚数单位），则z =（ ） A ．2﹣iB ．2+iC ．﹣2+iD ．﹣2﹣i3．（5分）如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，且E 为AO 的中点，则DE →=（ ）A ．34AB →−14AD →B ．14AB →+34AD →C ．14AB →−34AD →D ．34AB →+14AD →4．（5分）某地区中小学生人数比例和近视情况分别如图甲和图乙所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法随机抽取2%的学生进行调查，其中被抽取的小学生有80人，则样本容量和该地区的初中生近视人数分别为（ ）A ．100，50B ．100，1050C ．200，50D ．200，10505．（5分）下列说法不正确的是（ ）A ．若直线a ∥平面α，则直线a 与平面α内的任意一条直线都无公共点B ．若α∩β＝a ，β∩γ＝b ，且a ∥b ，则α∥γC ．垂直于同一条直线的两个平面互相平行D ．垂直于同一个平面的两条直线互相平行6．（5分）函数f(x)=sinx⋅ln x−1x+1的大致图象为（）A．B．C．D．7．（5分）某游戏在刚发布时有100名玩家，发布5天后有1000名玩家．加果玩家人数R（t）与天数之间满足关系式：R（t）＝R0e kt，其中k为常数，R0是刚发布时的玩家人数，则玩家超过30000名至少经过的天数为（）（参考数据：lg3≈0.4771）A．11B．12C．13D．148．（5分）如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是12，且是相互独立的，则灯亮的概率为（）A．316B．34C．1316D．14二、选择题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．（多选）9．（5分）一组样本数据x 1，x 2，…，x 6，其中x 1是最小值，x 6是最大值，则（ ） A ．x 2，x 3，x 4，x 5的平均数等于x 1，x 2，…，x 6的平均数B ．x 2，x 3，x 4，x 5的第60百分位数等于x 1，x 2，…，x 6的第60百分位数C ．x 2，x 3，x 4，x 5的标准差小于x 1，x 2，…，x 6的标准差D ．x 2，x 3，x 4，x 5的极差不大于x 1，x 2，…，x 6的极差（多选）10．（5分）已知e a ＞e b ，则下列不等式一定成立的有（ ） A ．1a2＜1b2B ．πa ﹣b ＞1C ．a 2023＞b 2023D ．lg （a ﹣b ）＞1（多选）11．（5分）一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A 为“第一次向下的数字为2或3”，事件B 为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（ ） A ．P(A)=14B ．事件A 与事件B 互斥C ．事件A 与事件B 相互独立D ．P(A ∪B)=34（多选）12．（5分）如图，在边长为4的正方形ABCD 中，点E 是AB 的中点，点F 是BC 的中点，点P 是AD 上的动点，将△ADE ，△CDF 分别沿DE ，DF 折起，使A ，C 两点重合于点G ，则下列结论正确的是（ ）A ．BG ⊥EFB ．G 到平面DEF 的距离为23C ．若BG ∥面EFP ，则二面角D ﹣EF ﹣P 的余弦值为√63D ．四面体G ﹣DEF 外接球表面积为24π三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知cos(θ+π4)=−√1010，则sin2θ＝ ．14．（5分）以棱长为1的正方体各面的中心为顶点，构成一个正八面体，那么这个正八面体的表面积是 ．15．（5分）一个袋子中有大小和质地相同的5个球，其中有3个红色球，2个白色球，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则第2次摸到红色球的概率为 ．16．（5分）在△ABC 中，AB →=（2m ，m +5），AC →=（cos α，sin α），（m ∈R ，α∈R ），若对任意的实数t ，|AB →−tAC →|≥|AB →−AC →|恒成立，则BC 边的最小值是 ．三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为正方形，侧面ADP 是正三角形，侧面ADP ⊥底面ABCD ，M 是DP 的中点． （1）求证：AM ⊥平面CDP ；（2）求直线BP 与底面ABCD 所成角的正弦值．18．（12分）已知在△ABC 中，A +B ＝2C ，2sin （A ﹣C ）＝sin B ． （1）求sin A ；（2）设c =2√7，求△ABC 的面积．19．（12分）已知向量m →=(4sin 2x 2−1，cos(π3−x))，n →=(1，2)，记函数f(x)=m →⋅n →．（1）求使函数f （x ）≤0成立的x 的取值集合；（2）已知α，β均为锐角，f(α+π6)=135，sin(α−β)=−1213，求sin （2α﹣β）的值．20．（12分）某地区为了解市民的心理健康状况，随机抽取了n 位市民进行心理健康问卷调查，将所得评分百分制按国家制定的心理测评评价标准整理，得到频率分布直方图．已知调查评分在[70，80）中的市民有200人． 心理测评评价标准（1）求n 的值及频率分布直方图中t 的值；（2）该地区主管部门设定预案：若市民心理健康指数的平均值不低于0.75，则只需发放心理指导资料，否则需要举办心理健康大讲堂．根据调查数据，判断该市是否需要举办心理健康大讲堂，并说明理由．（每组的每个数据用该组区间的中点值代替，心理健康指数＝调查评分÷100）（3）在抽取的心理等级为D 的市民中，按照调查评分的分组，分为2层，通过分层随机抽样抽取3人进行心理疏导．据以往数据统计，经心理疏导后，调查评分在[40，50）的市民的心理等级转为B 的概率为14，调查评分在[50，60）的市民的心理等级转为B 的概率为13，假设经心理疏导后的等级转化情况相互独立，求在抽取的3人中，经心理疏导后恰有一人的心理等级转为B 的概率；21．（12分）如图，在棱长为3的正方体ABCD ﹣A 'B 'C 'D '中，M 为AD 的中点．（1）求证：DB '∥平面BMA '；（2）在体对角线DB '上是否存在动点Q ，使得AQ ⊥平面BMA '？若存在，求出DQ 的长；若不存在，请说明理由．22．（12分）设函数f（x）的定义域为D，对于区间I＝[a，b]（a＜b，I⊆D），若满足以下两条性质之一，则称I为f（x）的一个“Ω区间”．性质1：对任意x∈I，有f（x）∈I；性质2：对任意x∈I，有f（x）∉I．（1）分别判断区间[1，2]是否为下列两函数的“Ω区间”（直接写出结论）；①y＝3﹣x；②y=4 x ；（2）若[0，m]（m＞0）是函数f（x）＝﹣x2+2x的“Ω区间”，求m的取值范围；（3）已知定义在R上，且图象连续不断的函数f（x）满足：对任意a，b∈R，且a＜b，有f（a）﹣f （b）＞b﹣a．求证：f（x）存在“Ω区间”，且存在x0∈R，使得x0不属于f（x）的任意一个“Ω区间”．附：参考答案一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U ＝{1，2，3，4，5}，A ＝{1，2}，B ＝{2，3，4}，则A ∩（∁U B ）＝（ ） A ．{1}B ．{5}C ．{1，5}D ．{1，2}【解答】解：由已知可得∁U B ＝{1，5}， 所以A ∩（∁U B ）＝{1}， 故选：A ．2．（5分）已知复数z =5i−2（i 是虚数单位），则z =（ ） A ．2﹣i B ．2+i C ．﹣2+i D ．﹣2﹣i【解答】解：z =5i−2=5(−2−i)(−2+i)(−2−i)=−2﹣i ， 则z =−2+i ． 故选：C ．3．（5分）如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，且E 为AO 的中点，则DE →=（ ）A ．34AB →−14AD →B ．14AB →+34AD →C ．14AB →−34AD →D ．34AB →+14AD →【解答】解：由题意可得：AE →=14AC →=14(AB →+AD →)，则DE →=AE →−AD →=14(AB →+AD →)−AD →=14AB →−34AD →．故选：C ．4．（5分）某地区中小学生人数比例和近视情况分别如图甲和图乙所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法随机抽取2%的学生进行调查，其中被抽取的小学生有80人，则样本容量和该地区的初中生近视人数分别为（ ）A．100，50B．100，1050C．200，50D．200，1050【解答】解：由题意知，被抽取的小学生有80人，则样本容量为80÷40%＝200；所以该地区的学生人数为200÷2%＝10000，所以该地区初中生近视人数为10000×35%×30%＝1050．故选：D．5．（5分）下列说法不正确的是（）A．若直线a∥平面α，则直线a与平面α内的任意一条直线都无公共点B．若α∩β＝a，β∩γ＝b，且a∥b，则α∥γC．垂直于同一条直线的两个平面互相平行D．垂直于同一个平面的两条直线互相平行【解答】解：A项：直线与平面平行，即没有公共点，故直线与平面内任意一条直线都无公共点，A项正确；B项：α和β有可能平行，有可能相交，B项错误；C项：由直线和平面垂直的性质可知垂直于同一条直线的两个平面互相平行，C项正确；D项，由直线和平面垂直的性质定理可知垂直于同一个平面的两条直线互相平行，D项正确．故选：B．6．（5分）函数f(x)=sinx⋅ln x−1x+1的大致图象为（）A．B ．C ．D ．【解答】解：f （﹣x ）＝﹣sin x •ln −x−1−x+1=−sin x •ln x+1x−1=sin x •ln x−1x+1=f （x ），则函数f （x ）是偶函数，图象关于y 轴对称， 排除A ，C ，f （3）＝sin3ln 12＜0，排除B ，故选：D ．7．（5分）某游戏在刚发布时有100名玩家，发布5天后有1000名玩家．加果玩家人数R （t ）与天数之间满足关系式：R （t ）＝R 0e kt ，其中k 为常数，R 0是刚发布时的玩家人数，则玩家超过30000名至少经过的天数为（ ）（参考数据：lg 3≈0.4771） A ．11B ．12C ．13D ．14【解答】解：由题意得{R(0)=R 0e 0=100R(t)=R 0e 5k =1000⇒{R 0=100k =ln105，故R(t)=100×eln105t =100×10t5，又R （t ）＞30000，即t ＞5lg 300＝5（lg 3+2）≈12.3855＞12， ∴至少经过的天数为13． 故选：C ．8．（5分）如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是12，且是相互独立的，则灯亮的概率为（ ）A．316B．34C．1316D．14【解答】解：由题意知，本题是一个相互独立事件同时发生的概率，灯泡不亮包括四个开关都开，或下边的2个都开，上边的2个中有一个开，这三种情况是互斥的，每一种情况中的事件是相互独立的，∴灯泡不亮的概率是12×12×12×12+12×12×12×12+12×12×12×12=316，∵灯亮和灯不亮是两个对立事件，∴灯亮的概率是1−316=1316，故选：C．二、选择题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．（多选）9．（5分）一组样本数据x1，x2，…，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，则（）A．x2，x3，x4，x5的平均数等于x1，x2，…，x6的平均数B．x2，x3，x4，x5的第60百分位数等于x1，x2，…，x6的第60百分位数C．x2，x3，x4，x5的标准差小于x1，x2，…，x6的标准差D．x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，…，x6的极差【解答】解：因为在一组样本数据x1，x2，…，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，对于选项A：不妨令x2＝x3＝x4＝x5＝4，x1＝1，x6＝6，此时x2+x3+x4+x54−x1+x2+x3+x4+x5+x66=4−236≠0，故选项A错误；对于选项B：不妨令x5≥x4≥x3≥x2，因为4×0.6＝2.4，所以x2，x3，x4，x5的第60百分位数为x4，又x1为最小值，x6为最大值，且6×0.6＝3.6，所以x1，x2，x3，x4，x5，x6的第60百分位数为x4，故选项B正确；对于选项C：不妨令x1＝x2＝x3＝x4＝x5＝x6＝7，此时x1，x2，…，x6的平均数x=7，则标准差s1=√(7−7)2+(7−7)2+(7−7)2+(7−7)2+(7−7)2+(7−7)26=0，而x2，x3，x4，x5的平均数y=7，则标准差s2=√(7−7)2+(7−7)2+(7−7)2+(7−7)24=0，因为s1＝s2，故选项C错误；对于选项D：不妨设x2，x3，x4，x5中x2为最小值，x5为最大值，此时x6﹣x1≥x5﹣x2，当且仅当x1＝x2，x5＝x6时等号成立，故选项D正确．故选：BD．（多选）10．（5分）已知e a＞e b，则下列不等式一定成立的有（）A．1a2＜1b2B．πa﹣b＞1C．a2023＞b2023D．lg（a﹣b）＞1【解答】解：对于A，令a＝1，b＝﹣1，则1a2=1b2，故选项A错误；对于B，因为e a＞e b，所以a＞b，即a﹣b＞0，所以πa﹣b＞π0＝1，B正确；对于C，由于a＞b且函数y＝x2023是增函数，所以a2023＞b2023，C正确；对于D，令a＝1，b＝0，则lg（a﹣b）＝0＜1，D错误．故选：BC．（多选）11．（5分）一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“第一次向下的数字为2或3”，事件B为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（）A．P(A)=1 4B．事件A与事件B互斥C．事件A与事件B相互独立D．P(A∪B)=3 4【解答】解：对于A，P（A）=24=12，A错误；对于B，实验的总结果数为4×4＝16，A，B同时发生的结果数为4，所以P（A∩B）=416=14≠0，A，B不互斥，B错误；对于C ，B 发生的结果数为2×2+2×2＝8，P （B ）=816=12， P （AB ）＝P （A ∪B ）=14=P （A ）×P （B ），所以事件A 与事件B 相互独立，C 正确； 对于D ，P （A ∪B ）＝P （A ）+P （B ）﹣P （A ∩B ）=12+12−14=34，D 正确． 故选：CD ．（多选）12．（5分）如图，在边长为4的正方形ABCD 中，点E 是AB 的中点，点F 是BC 的中点，点P 是AD 上的动点，将△ADE ，△CDF 分别沿DE ，DF 折起，使A ，C 两点重合于点G ，则下列结论正确的是（ ）A ．BG ⊥EFB ．G 到平面DEF 的距离为23C ．若BG ∥面EFP ，则二面角D ﹣EF ﹣P 的余弦值为√63D ．四面体G ﹣DEF 外接球表面积为24π【解答】解：由题意可得GE ＝GF ＝2，连接EF ，BD ，设EF ∩BD ＝H ， 由正方形的对称性可得H 为EF 的中点，则EF ⊥GH ，EF ⊥BD ， 所以EF ⊥平面BDG ，即有EF ⊥BG ，故A 正确； 由题意可得DG ⊥GE ，DG ⊥GF ，即有DG ⊥平面GEF ， V D ﹣GEF =13×4×12×2×2=83． 设G 到平面DEF 的距离为d ，由S △DEF =12×2√2×√16+4−2=6， 所以V D ﹣GEF ＝V G ﹣DEF =13d ×6，解得d =43，故B 错误；若BG ∥面EFP ，平面BGD ∩平面EFP ＝PH ，可得BG ∥PH ，由BG ⊥EF ，可得PH ⊥EF ，又EF ⊥DH ，则∠PHD 为二面角D ﹣EF ﹣P 的平面角． 由正方形ABCD 可得BD ＝4√2，即有BH =√2，DH ＝3√2， 而GP DP=BH DH，DG ＝4，可得DP ＝3，又PH=√PE2−EH2=√4+1−2=√3，则cos∠DHP=18+3−92×32×3=√63，故C正确；由于GE＝FG＝2，EF＝2√2，可得GE⊥GF，又GE⊥GD，GF⊥GD，可把三棱锥G﹣DEF补成以GE，GF，GD为棱的长方体，可得四面体G﹣DEF外接球的半径R=12√22+22+42=√6，则四面体G﹣DEF外接球表面积为4πR2＝24π，故D正确．故选：ACD．三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知cos(θ+π4)=−√1010，则sin2θ＝45．【解答】解：cos（θ+π4）=−√1010，可得√22（cosθ﹣sinθ）=−√1010，两边平方化简得：1﹣2cosθsinθ=1 5，∴sin2θ=4 5．故答案为：4 5．14．（5分）以棱长为1的正方体各面的中心为顶点，构成一个正八面体，那么这个正八面体的表面积是√3．【解答】解：根据题意，以棱长为1的正方体各面的中心为顶点，构成一个正八面体，设所得正八面体的棱长为a，则这个正八面体的中截面（垂直平分相对顶点连线的界面）是正方形，且正方形对角线长等于正方体的棱长1，则√2a=1，解可得a=√22，又由该正八面体的每个面都是等边三角形，则其表面积S ＝8×（12×√22×√22×√32）=√3．故答案为：√3．15．（5分）一个袋子中有大小和质地相同的5个球，其中有3个红色球，2个白色球，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则第2次摸到红色球的概率为35． 【解答】解：袋子中有相同的5个球，3个红球，2个白球， 不放回地依次随机摸出2个球， ∴第1次可能摸到1白色球或1红色球 ∴第2次摸到红色球的概率为：P =C 31C 21+C 21C 31C 51C 41=35， 故答案为：35．16．（5分）在△ABC 中，AB →=（2m ，m +5），AC →=（cos α，sin α），（m ∈R ，α∈R ），若对任意的实数t ，|AB →−tAC →|≥|AB →−AC →|恒成立，则BC 边的最小值是 √19 ．【解答】解：根据题意，若对任意的实数t ，|AB →−tAC →|≥|AB →−AC →|恒成立， 即|AB →−tAC →|≥|CB →|恒成立，则必有BC ⊥AC ， 又AB →=（2m ，m +5），AC →=（cos α，sin α）， 则|AB →|=√5m 2+10m +25，|AC →|＝1， 则|BC →|=√5m 2+10m +25−1 =√5m 2+10m +24 =√5(m +1)2+19，当m ＝﹣1时，BC 边的最小值为√19． 故答案为：√19．三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为正方形，侧面ADP 是正三角形，侧面ADP ⊥底面ABCD，M是DP的中点．（1）求证：AM⊥平面CDP；（2）求直线BP与底面ABCD所成角的正弦值．【解答】（1）证明：因为侧面ADP是正三角形，且M是DP的中点，所以AM⊥PD，因为底面ABCD为正方形，所以AD⊥CD，又侧面ADP⊥底面ABCD，侧面ADP∩底面ABCD＝AD，CD⊂底面ABCD，所以CD⊥平面ADP，因为AM⊂平面ADP，所以CD⊥AM，又PD∩CD＝D，PD、CD⊂平面CDP，所以AM⊥平面CDP．（2）解：取AD的中点E，连接BE，PE，则PE⊥AD，因为侧面ADP⊥底面ABCD，侧面ADP∩底面ABCD＝AD，PE⊂平面ADP，所以PE⊥平面ABCD，所以∠PBE即为直线BP与底面ABCD所成角，设正方形ABCD的边长为2，则PE=√3，BE=√AB2+AE2=√4+1=√5，所以PB=√PE2+BE2=2√2，在Rt△PBE中，sin∠PBE=PEPB=√32√2=√64，故直线BP与底面ABCD所成角的正弦值为√6 4．18．（12分）已知在△ABC中，A+B＝2C，2sin（A﹣C）＝sin B．（1）求sin A；（2）设c=2√7，求△ABC的面积．【解答】解：（1）因为A+B＝2C，而A+B+C＝π，可得C=π3，又因为2sin（A﹣C）＝sin B＝sin（23π﹣A），即sin A−√3cos A=√32cos A+12sin A，可得sin A＝3√3cos A，可得tan A＝3√3，A∈（0，π），可得sin A=3√328=3√2114；（2）由正弦定理可得asinA=bsinB=csinC=√7√32=4√213，所以a=4√213•sin A=4√213•3√2114=6，cos A=127=√714，sin B＝sin（23π﹣A）=√32cos A+12sin A=√32•√714+12•3√2114=√217，所以S△ABC=12ac sin B=12×6×2√7×√217=6√3．19．（12分）已知向量m→=(4sin2x2−1，cos(π3−x))，n→=(1，2)，记函数f(x)=m→⋅n→．（1）求使函数f（x）≤0成立的x的取值集合；（2）已知α，β均为锐角，f(α+π6)=135，sin(α−β)=−1213，求sin（2α﹣β）的值．【解答】解：（1）m→=(4sin2x2−1，cos(π3−x))，n→=(1，2)，f(x)=m→⋅n→．则f（x）=4sin2x2+2cos(π3−x)=2（1﹣cos x）﹣1+2(cosxcosπ3+sinπ3sinx)=1−cosx+√3sinx=1+2(√32sinx−12cosx)=2sin(x−π6)+1，∵f（x）≤0，∴sin(x−π6)≤−12，即−5π6+2kπ≤x−π6≤−π6+2kπ，k∈Z，解得−2π3+2kπ≤x≤2kπ，k∈Z，故使函数f（x）≤0成立的x的取值集合为{x|−2π3+2kπ≤x≤2kπ，k∈Z}；（2）f(α+π6)=135，则2sinα+1=135，解得sinα=45，α为锐角，则cosα=√1−sin2α=3 5，α，β均为锐角，则α﹣β∈(−π2，π2)，sin(α−β)=−12 13，则cos(α−β)=√1−sin2(α−β)=5 13，故sin（2α﹣β）＝sin[（α﹣β）+α]＝sin（α﹣β）cosα+cos（α﹣β）sinα=−1213×35+513×45=−1665．20．（12分）某地区为了解市民的心理健康状况，随机抽取了n位市民进行心理健康问卷调查，将所得评分百分制按国家制定的心理测评评价标准整理，得到频率分布直方图．已知调查评分在[70，80）中的市民有200人．心理测评评价标准（1）求n的值及频率分布直方图中t的值；（2）该地区主管部门设定预案：若市民心理健康指数的平均值不低于0.75，则只需发放心理指导资料，否则需要举办心理健康大讲堂．根据调查数据，判断该市是否需要举办心理健康大讲堂，并说明理由．（每组的每个数据用该组区间的中点值代替，心理健康指数＝调查评分÷100）（3）在抽取的心理等级为D的市民中，按照调查评分的分组，分为2层，通过分层随机抽样抽取3人进行心理疏导．据以往数据统计，经心理疏导后，调查评分在[40，50）的市民的心理等级转为B的概率为14，调查评分在[50，60）的市民的心理等级转为B的概率为13，假设经心理疏导后的等级转化情况相互独立，求在抽取的3人中，经心理疏导后恰有一人的心理等级转为B的概率；【解答】解：（1）易知调查评分在[70，80）中的市民有200人，而评分在[70，80）中的频率为10×0.020＝0.2，所以n=2000.2=1000，而10（t+0.004+7t+0.020+0.035+0.025）＝1，解得t＝0.002；（2）市民心理健康调查评分的平均值x=10（45×0.002+55×0.004+65×0.014+75×0.020+85×0.035+95×0.025）＝80.7，则市民心理健康指数平均值为80.7100=0.807＞0.75，所以只需发放心理指导资料，不需要举办心理健康大讲堂；（3）因为评分在[40，50）中的人数是评分在[50，60）中人数的一半，若通过分层随机抽样抽取3人进行心理疏导，此时评分在[40，50）内的有1人，在[50，60）内的有2人，记“在抽取的3人中，经心理疏导后恰有一人的心理等级转为B”为事件A，因为经心理疏导后的等级转化情况相互独立，所以P（A）=14×23×23+34×13×23+34×23×13=49，则在抽取的3人中，经心理疏导后恰有一人的心理等级转为B的概率为4 9．21．（12分）如图，在棱长为3的正方体ABCD﹣A'B'C'D'中，M为AD的中点．（1）求证：DB '∥平面BMA '；（2）在体对角线DB '上是否存在动点Q ，使得AQ ⊥平面BMA '？若存在，求出DQ 的长；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）证明：连接B 'A ，交A 'B 于点E ，连接EM ， 在正方体中，可得E 为AB '的中点，而M 是AD 的中点， 在△DAB '中，ME ∥DB '，ME ⊂平面BMA '，DB '⊄平面BMA '， 可证得DB '∥平面BMA '；（2）对角线DB '上存在点Q ，且DQ =√3，使得AQ ⊥平面BMA '， 证明如下：建立如图所示空间直角坐标系：A （0，0，0），B （3，0，0），D （0，3，0），则M （0，32，0），A '（0，0，3），B '（3，0，3），则BM →=（﹣3，32，0），BA ′→=（﹣3，0，3），AD →=（0，3，0），设DQ →=λDB ′→=λ（﹣3，3，﹣3）＝（﹣3λ，3λ，﹣3λ），AQ →=AD →+DQ →=（﹣3λ，3λ+3，﹣3λ）， 因为AQ ⊥平面BMA '，所以{AQ →⋅BM →=0AQ →⋅BA′→=0，即{9λ+32(3λ+3)+0=09λ+0−9λ=0，解得λ=−13， 即Q （1，2，1），所以DQ =13DB '=13×3√3=√3即在对角线DB '上存在点Q ，且DQ =√3，使得AQ ⊥平面BMA '．22．（12分）设函数f（x）的定义域为D，对于区间I＝[a，b]（a＜b，I⊆D），若满足以下两条性质之一，则称I为f（x）的一个“Ω区间”．性质1：对任意x∈I，有f（x）∈I；性质2：对任意x∈I，有f（x）∉I．（1）分别判断区间[1，2]是否为下列两函数的“Ω区间”（直接写出结论）；①y＝3﹣x；②y=4 x ；（2）若[0，m]（m＞0）是函数f（x）＝﹣x2+2x的“Ω区间”，求m的取值范围；（3）已知定义在R上，且图象连续不断的函数f（x）满足：对任意a，b∈R，且a＜b，有f（a）﹣f （b）＞b﹣a．求证：f（x）存在“Ω区间”，且存在x0∈R，使得x0不属于f（x）的任意一个“Ω区间”．【解答】解（1）①中，函数y＝3﹣x，当x∈[1，2]时，可得y∈[1，2]，所以区间[1，2]是函数y＝3﹣x的一个“Ω区间”；②中，函数y=4x，当x∈[1，2]时，可得y∈[2，4]，此时不满足f（x）∉[1，2]，也不满足f（x）∈[1，2]，所以区间[1，2]不是函数y=4x的一个“Ω区间”；所以①是（满足性质1），②不是；（2）记I＝[0，m]，S＝{f（x）|x∈I}，可得f（0）＝0∈[0，m]，故若I为f（x）的“Ω区间”，则不满足性质②，必满足性质①，即S⊆I；由f（x）＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1，当0＜m＜1时，f（x）在[0，m]上单调递增，且f（m）﹣m＝﹣m2+2m﹣m＝﹣m（m﹣1）＞0，即f（m）＞m，所以S＝[0，f（m）]不包含于I＝[0，m]，不合题意；当1≤m≤2时，S＝[f（0），f（1）]＝[0，1]⊆[0，m]＝I，符合题意；当m＞2时，f（m）＜f（2）＝0，所以f（x）∉I，不合题意；综上所述，1≤m≤2，即实数m的取值范围是[1，2]；（3）证明：对于任意区间I＝[a，b]（a＜b），记S＝{f（x）|x∈I}，由已知得f（x）在I上单调递减，故S＝[f（b），f（a）]，因为f（a）﹣f（b）＞b﹣a，即S的长度大于I的长度，故不满足性质①，所以若I为f（x）的“Ω区间”，必满足性质②，这只需S∩I＝∅，即只需f（a）＜a或f（b）＞b，由f（x）＝x显然不恒成立，所以存在常数c使得f（c）≠c，如f（c）＜c，取a＝c，区间I＝[a，b]（a＜b）满足性质②；如f（c）＞c，取b＝c，区间I＝[a，b]（a＜b）满足性质②；综上，函数f（x）一定存在“Ω区间”；记g（x）＝f（x）﹣x，则g（x）图象连续不断，下证明g（x）有零点：因为f（x）在R上是减函数，所以g（x）在R上是减函数，记f（0）＝t；若t＝0，则x0＝0是g（x）的零点，若t＞0，则f（t）＜f（0）＝t，即g（0）＞0，g（t）＜0，由零点存在性定理，可知存在x0∈（0，t），使得g（x0）＝0，若t＜0，则f（t）＞f（0）＝t，即g（0）＜0，g（t）＞0，由零点存在性定理，可知存在x0∈（t，0），使得g（x0）＝0，综上，g（x）有零点x0，即f（x0）＝x0，因为f（x）的所有“Ω区间”I都满足性质②，故x0∉I（否则f（x0）＝x0∈I，与性质②不符），即x0不属于f（x）的任意一个“Ω区间”．21。

绝密★启用前高一数学周考卷六一、单选题：本大题共6小题，共30.0分。

1.已知集合A={1,2,a2},B={1,a+2}，若B⊆A，则a的取值构成的集合为( )A. {−1}B. {0,2}C. {−1,0}D. {−1,0,2}【答案】B【解析】【分析】本题考查了含参数的集合关系的问题，属于基础题．根据子集的定义可得a+2=2或a+2=a2，讨论求解，注意集合元素的互异性．【解答】解：由B⊆A，可得a+2=2或a+2=a2，若a+2=2，即a=0，此时A={1,2,0}，B={1,2}，符合题意；若a+2=a2，解得a=2或−1，当a=2时，A={1,2,4}，B={1,4}，符合题意；当a=−1时，a2=a+2=1，不符合集合的互异性，舍去．综上，a的取值构成的集合为{0,2}．故选：B．2.设函数f(x)=log2x+2x−3，则函数f(x)的零点所在的区间为( )A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)【答案】B【解析】【分析】本题考查函数的零点，属于基础题．已知函数f(x)=log2x+2x−3，代入f(1)，f(2)，再根据函数的零点的判定定理即可得到结果．【解答】解：根据题意可得f(1)=0+2−3=−1<0，f(2)=1+4−3=2>0，因此函数在区间(1,2)上有零点，易知f(x)=log2x+2x−3在定义域上是增函数，所以函数f(x)=log2x+2x−3有且仅有一个零点，零点所在的区间是(1,2)．故选B．3.函数f(x)=ln|1−x1+x|的大致图象为( )A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查函数的图象的判断，函数奇偶性的应用，属于基础题．判断函数的奇偶性排除A，C，再利用特殊值排除D即可．【解答】解：函数f(x)=ln|1−x1+x|，可知定义域{x|x≠±1}关于原点对称，f(−x)=ln|1+x1−x |=−ln|1−x1+x|=−f(x)，所以函数f(x)是奇函数，排除选项A，C，f(2)=ln13<0，排除D．故选：B．4.“a3>b3”是“a>|b|+1”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，属于基础题． 根据充分条件、必要条件、充要条件的定义进行判断即可． 【解答】解：由a 3>b 3推出a >b ，取a =1，b =0，不能推出a >|b|+1，充分性不成立， 反之当a >|b|+1时，a >|b|+1>|b|≥b ，所以a >b ，所以a 3>b 3，必要性成立， 故“a 3>b 3”是“a >|b|+1”的必要不充分条件， 故选：B ．5.某品牌可降解塑料袋经自然降解后残留量y 与时间t(单位：年)之间的关系为y =y 0⋅e kt .其中y 0为初始量，k 为降解系数．已知该品牌塑料袋2年后残留量为初始量的若该品牌塑料袋需要经过n 年，使其残留量为初始量的10％，则n 的值约为( ) (参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477) A. 20 B. 16 C. 12 D. 7【答案】B 【解析】【分析】本题考查了利用指数函数模型解决实际问题，对数式的化简和对数换底公式，属于中档题． 由e 2k =34可得2k =ln3−2ln2，由e nk =110，可得nk =ln110=−ln10，进而求解即可．【解答】解：根据题意可得y 0⋅e 2k =y 0⋅34， 则e 2k =34，2k =ln 34=ln 3−2ln 2， 则经过n 年时，有y 0⋅e nk =y 0⋅110， 即e nk =110，则nk =ln 110=−ln 10，所以n 2=nk 2k=−lg 10lg 3−2lg 2≈−10.477−2×0.301=8，则n =16． 故选：B ．6.函数f(x)=log a (5−ax ),(a >0,a ≠1)在(1,3)上是减函数，则a 的取值范围是( ) A. (53,+∞) B. (15,1)C. (1,53)D. (1,53]【答案】D【解析】【分析】本题考查复合函数的单调性，属于中档题．根据a >0可知y =5−ax 在定义域内单调递减，若使得函数f(x)=log a (5−ax ),(a >0,a ≠1)在(1,3)上是减函数，则需{a >15−3a ≥0，解不等式组即可．【解答】 解：∵a >0，∴y =5−ax 在定义域内单调递减，若使得函数f(x)=log a (5−ax ),(a >0,a ≠1)在(1,3)上是减函数，则需{a >15−3a ≥0，解得1<a ≤53， 故选：D ．二、多选题：本大题共2小题，共12.0分。

湖南师大附中2023-2024学年高一上学期入学检测语文试题（解析版）一、现代文阅读（共18分）阅读下面的文字，完成下面小题。

过封锁线茅盾昨夜朦胧的月光下只觉得这大房子像个堡垒，今天白昼再进来一看，嘿，这简直可以说是一座要塞。

那一圈围墙。

团团四周全是上下两层枪眼。

门楼顶上“居然雉堞式，而且是平顶，必要时这就是机关枪阵地。

说它像一座城，实在不嫌夸大。

现在这“城”中就住了十几家老百姓。

他们腾出一间招待那五个客人——逃难的外江佬。

五个客人洗过脸，都坐在阔大的木板铺上，看一个十六七岁的大孩子擦步枪的机件。

而那大孩子是被派来招呼他们的。

他们要问的话很多。

最要紧的一件事是今晚能不能走。

他们还想多知道一点路上可能遇到的困难，过去两个晚上的夜行的经验。

特别是行列常常脱节，走不快的人急得要命——这一些不大好的秩序，使得他们想起了就满心不安，问话就多了。

但是这大孩子只能说客家话。

客人中的老徐能说半生不熟的广府话。

和这大孩子双方都半懂不懂地攀谈了好一会儿，仿佛弄明白了：今晚走的路要通过敌人在公路上的两道封锁线。

一个年青人带着个墨水瓶走进房来，就在靠近窗洞的桌旁坐下，在一本笔记簿上写起什么来。

客人们认识这面孔。

昨夜在半山松林里，他是彻夜担任警卫的。

虽然看样子他并不有闲，可是五个客人不肯放过他，谈话就开始了。

这青年懂得国语，也能说几句，虽然十分生硬。

他告诉他们：今晚能走，不过要通过两道封锁线。

“是不是你送我们去？”“现在还没晓得。

”“我们希望你能去。

因为你能说国语，我们路上方便些。

”他点一下头，不说什么，谈话暂时中断。

他拿出一本相当厚的书，很用心地读着，时时在笔记簿上记下些什么。

客人们瞥见了这书名是《论民族民主革命》，话题又来了。

客人们一次一次追问。

才知道他是南洋华侨，在新加坡做机器工人，广州失陷以后和许多热血的华侨子弟跑回祖国来，参加了抗战的阵营，他姓张。

离动身还有两小时，那个大孩子早已全身披挂，—一军毡，粮袋，胸前交叉的子弹带，手榴弹两颗，一支长枪则斜挂在肩头。

湖南师大附中2023-2024学年度高一第二学期期末考试数学时量：120分钟满分：150分得分：_______一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的．）1．已知点，则点A 关于x 轴的对称点的坐标为A ．B ．C ．D ．2．在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性A ．与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性最大B ．与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性最小C ．与第几次抽样无关，每一次抽到的可能性相等D ．与第几次抽样无关，与样本量也无关3．已知x ，，则“”是“”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知一组数据，，，，的平均数为3，方差为，则另一组数据，，，，的平均数、方差分别为A ．3，B ．3，1C ．7，D ．7，5．已知向量，，．若，则λ=A ．B ．C ．-2D ．26．如图，P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点，E 为AD 的中点，F 为PC 上一点，当平面EBF 时，()2,1,4A --()2,1,4---()2,1,4--()2,1,4()2,1,4--C y ∈1x y ==1x yi i +=+1x 2x 3x 4x 5x 12132x -232x -332x -432x -532x -123292()1,2a =r ()2,2b =-r ()1,c λ=r()2c a b ⊥+r r r 12-12PA ∥PFFC=A．B ．C ．D ．7．柯西不等式是数学家柯西（Cauchy ）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式，而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的：已知向量，，由得到，当且仅当时取等号．现已知，，的最大值为A ．18B ．9C ．D ．8．冰雹猜想又称考拉兹猜想、角谷猜想、猜想等，其描述为：任一正整数x ，如果是奇数就乘以3再加1，如果是偶数就除以2，反复计算，最终都将会得到数字1．例如：给出正整数5，则进行这种反复运算的过程为5→16→8→4→2→1，即按照这种运算规律进行5次运算后得到1．若从正整数6，7，8，9，10中任取2个数按照上述运算规律进行运算，则运算次数均为奇数的概率为A ．B ．C ．D ．二、选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分3分，有选错的得0分．）9．为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、知史爱国的热情．某校举办了“学党史、育文化”暨“喜迎党的二十大”党史知识竞赛，从1000名参赛师生中随机选取100人的竞赛成绩作为样本（满分100分成绩取整数）得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是A ．a 的值为0.05B ．估计这100人竞赛成绩的众数为75C ．1000名参赛师生中成绩低于60分的约有25人D ．以频率估计概率．从1000名参赛师生中随机抽取1人，该选手成不低于90分的概率为0.0510．在中，角A 、B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，以下说法正确的是23141312()11,a x y =r()22,b x y =r a b a b ⋅≤r r r r ()()()2222212121122x x y y x y x y +≤++1221x y x y =0a ≥0b ≥5a b +=+31x +1103571056ABC △A ．若，则B ．若，，，则为钝角三角形C ．若，，，则符合条件的三角形不存在D ．若，则一定是等腰三角形11．如图，在平行六面体中，，，若，其中m ，n ，则下列结论正确的有A ．若点Q 在平面内，则B ．若，则C ．当时，三棱锥D ．当时，CQ三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分．）12．某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层随机抽的方法抽取了一个容量为n 的样本进行调查，其中从丙车间的产品抽取了3件，则n =______．13．角，满足，则=______．14．如图，边长为4的正方形ABCD 中，半径为1的动圆Q 的圆心Q 在边CD 和DA 上移动（包含端点A ，C ，D ），P 是圆Q 上及其内部的动点，设，则的取值范围是______．四、解答题（本大题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（本小题13分）A B >sin sin A B>4a =5b =6c =ABC △5a =10b =4A π=cos cos a A b B =ABC △1111ABCD A B C D -12AB AD AA ===1160DAB A AB A AD ∠=∠=∠=︒1AQ mAB nAD p AA =++[]0,1∈1111A B C D 1p =CQ DB ⊥m n=12p =Q ABD -1m n +=αβ()()sin cos sin 4παβαβαβ⎛⎫+++=+⎪⎝⎭()tan αβ-(),R BP mBC nBA m n =+∈m n +已知的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且，．（1）求A ；（2）若，求的值．16．（本小题15分）在四棱锥中，底面ABCD 是边长为2的正方形，，直线PA 与BC 所成的角的正切值等于2，，M ，N 分别是PB ，PC 的中点．（1）判断直线AM 和DN 的位置关系并说明理由；（2）证明：平面PAD /平面ABCD ；（3）求平面MPD 与平面APD 夹角的余弦值．17．（本小题15分）某校举办“创新杯”围棋比赛活动，经过激烈的角逐后，甲、乙两名选手进入到最后的决赛，决赛采用五局三胜的赛制，决出最后的冠军．通过分析，若甲先下，则甲赢的概率为，若乙先下，则乙赢的概率为，每局没有和棋，不同局的结果互不影响．已知第一局甲先下，甲、乙两人依次轮流先下．（1）求比赛四局乙赢的概率；（2）已知前两局甲、乙各赢一局，求比赛五局结束的概率．18．（本小题17分）如图，已知正方体的棱长为2，点M ，N 分别在线段AB ，BF 上．（1）当时，求异面直线EM 与GN 所成角的取值范围；（2）已知线段HN 的中点为点K ，当时，求三棱锥MNK 的体积的最小值．19．（本小题17分）已知函数，若存在实数m ，，使得对于定义域内的任意实数x ，均有ABC △2b =()2213a c =-+4sin sin a A B =cos C P ABCD -PA PD =3PB =3423ABCD EFGH -AM FN =2AM FN +=()y f x =()0k m ≠成立，则称函数为“可平衡”函数，有序数对称为函数的“平衡”数对．（1）若，求函数的“平衡”数对；（2）若，判断是否为“可平衡”函数，并说明理由；（3）若，，且，均为函数的“平衡”数对，求的取值范围．湖南师大附中2023—2024学年度高一第二学期期末考试数学参考答案题号1234567891011答案BCADCDDABDACABD一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的．）1．B 【解析】空间点关于x 轴对称，横坐标不变，另外两个坐标相反，所以点A 关于x 轴的对称点为．故选B ．2．C 【解析】在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性均相同，与第几次抽样无关，但和要抽取的样本量有关，样本量越大，被抽到的概率越大．故选C ．3．A 【解析】略三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）12．1313．-114．四、解答题（本大题共5个小题．共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．【解析】（1）由已知条件得．由余弦定理可得，因为，所以．（2）若，则结合正弦定理得．()()()m f x f x k f x k ⋅=++-()f x (),m k ()f x ()2f x x =()f x 1m =()sin f x x =1m 2m R ∈1,2m π⎛⎫⎪⎝⎭2,4m π⎛⎫⎪⎝⎭()cos 204f x x x π⎛⎫=< ⎪⎝⎭≤2212m m +()2,1,4--12⎡+⎢⎣()2222221322a c c c c bc b =-+=-+=-+2222221cos 2222b c a b c c bc b bc A bc bc bc +-+-+-====()0,A π∈3A π=4sin sin a A B =sin sin sin sin 24B AB Bb α===所以，从而或．而，故．所以．16．【解析】（1）直线AM 与DN 相交．由M ，N 分别是PB ，PC 的中点，故，，又，所以四边形AMND 为梯形，且AM 与DN 是梯形的两条腰，故直线AM 与DN 相交．（2）取AD 的中点为O，连接PO ，BO ，因为，所以，因为，所以∠PAD 就是直线PA与BC 所成的角，所以，又底面ABCD 是边长为2的正方形，所以，，，由得，又，则有，所以，又AD ，平面ABCD ，，所以平面ABCD ，而平面PAD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD ．（3）因为M 是PB 的中点，所以平面MPD 即为平面BPD ，在正方形ABCD 中，取BC 的中点Q ，连接OQ ，则，又由（2）知平面ABCD ，故以O 为原点，OQ ，OA ，OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，设平面BPD 的一个法向量为，21sin 2B =sin B =4B π=34B π=23B A C A πππ=--<-=4B π=()()cos cos cos C A B A B π=--=-+sin sin cos cos A B A B=-1sinsincoscos34342ππππ=-=-=MN BC ∥12MN BC =BC AD ∥PA PD =PO AD ⊥BC AD ∥tan 2PAD ∠=22AB AD AO ===1AO =BO =tan 2PAD POAO==∠2PO =3PB =222PB PO BO =+PO BO ⊥BO ⊂BO AD O =I PO ⊥PO ⊂OQ AD ⊥PO ⊥()2,1,0B ()0,1,0D -()0,0,2P (2,2,0)BD =--u u u r (2,1,2)BP =--u u u r(),,nx y z =r则取，则，，故，平面APD 的一个法向量为，．所以平面MPD 与平面APD夹角的余弦值为．17．【解析】（1）设“乙先下乙赢”为事件A ．“甲先下乙赢”为事件B ．由题知，，，设比赛四局乙赢为事件C ，则所以比赛四局乙赢的概率为．（2）已知前两局甲、乙各赢一场，且比赛五局结束比赛，则第三局和第四局甲、乙各赢一场，第五局甲、乙都有可能赢，设“前两局甲、乙各赢一场，比赛五局结束”为事件D ，则，所以前两局甲、乙各赢一场，比赛五局结束的概率为．18．【解析】（1）由题意，正方体的三条棱长DA ，DC ，DH 两两互相垂直，故以D 为原点，DA ，DC ，DH 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，220220m BD x y m BP x y z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩u u u r u u u r 2x =2y=-1z =()2,2,1n =-r()1,0,0m =r2cos ||||3n m n m n m ===⋅⋅23()23P A =()14P B -()()()()P P BABA P BABA C P BABA=++3212111212321343434343434372=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=1372()()()11327434312P D P BA P BA =+=⨯+⨯=712，由题意不妨设，，所以，，，，所以，，设异面直线EM 与GN 所成角为，，所以，（4分）令，，当时，；当时，，，综上，，则，所以异面直线EM 与GN 所成角的取值范围为．（9分）（2）如图所示，由题意，线段HN 的中点是K ，，不妨设，，，所以，，，，取平面EMN 的一个法向量为，2AB =AM FN a ==[]0,2a ∈()2,0,2E ()0,2,2G ()2,,0Ma ()2,2,2N a -(0,,2)EM a =-u u u u r (2,0,)GN a =-u u u rθ0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦22cos cos 4EM GN aEM GN a EM GN θ⋅====+⋅u u u u r u u u ru u u u r u u u r u u u u r u u u r ()224af a a =+[],02a ∈0a =()0f a =0a ≠()2211024,22a f a a a a==∈++⎛⎤⎥⎝⎦[],02a ∈()1cos 0,2f a θ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦,32ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦θ32,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦2AB =AMa =2FN a =-[],02a ∈()0,0,2H ()2,2,N a 1,1,12a K ⎛⎫+ ⎪⎝⎭1,1,12a KN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ()1,0,0n=r所以点K 到平面EMN 的距离为，（亦可直接说明）而，所以三棱锥的体积为，，所以当且仅当时，三棱锥的体积取最小值．19．【解析】（1）根据题意可知，对于任意实数x ，成立，即，即对于任意实数x 恒成立，则，，故函数的“平衡”数对为．（2）若，则，，要使得为“可平衡”函数，需使对于任意实数x 均成立，则，此时，，故k 存在，所以是“可平衡”函数．（3）假设存在实数m ，k （），有序数对为函数的“平衡”数对，则，∴，∴，1n KN d n ⋅==u u u r r r112E d H ⨯==()()111222222222EMN EMA BMN EFN AEFB a S S S S S a a a =---=⨯-⨯⨯-⨯-⨯-⨯-⨯正方形V V V V 21122a a a a---=++()2211321222a a a =-+=-+E MNK -()21111362E MNKK MNE EMN V V S a d --===-+⋅△[],02a ∈1a =E MNK -12()()2222222mx x k x k x k =++-=+22222mxx k =+()22220m x k --=2m =0k=()²f x x =()2,01m =()sin m f x x ⋅=()()()()sin sin 2sin cos f x k f x k x k x k x k ++-=++-=()f x ()12cos sin 0k x -⋅=cos 12k =23k n ππ=±n Z ∈()sin f x x =0m ≠(),m k ()2cos 04f x x x π⎛=<≤⎫ ⎪⎝⎭()()222coscos cos m x x k x k =++-()()()1111cos 21cos 21cos 2222m x x k x k +=++++-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()1cos 21cos 2cos 2sin 2sin 21cos 2cos 2sin 2sin 2mx x k x k x k x k +=+-+++∴，∴，均为函数的“平衡”数对，∴，，∵，∴，∴，∴，，∴，设，函数单调递增，∴，即，∴的取值范围为．()1cos 222cos 2cos 2mx x k +=+1,2m π⎛⎫ ⎪⎝⎭2,4m π⎛⎫ ⎪⎝⎭()2cos 04f x x x π⎛⎫ ⎪⎝=<⎭≤()11cos 222cos 2cos 22cos 2m x x x π+=+=-()21cos 222cos 2cos22m x x π+=+=04x π<≤022x π<≤0cos 21x ≤<()2221222212sin 22cos 22sin 2tan 1cos 212cos 1cos x x xm x x x x---====++-22211cos 2cos m x x==+22412414tan cos m m x x +=+()4414tan 0cos 4h x x x x π⎛⎫ ⎪⎝=<≤⎭+()()40h h x h π≤<⎛⎫⎪⎝⎭()18h x <≤2212m m +(]1,8。

湖南师大附中2023-2024学年度高一第一学期第一次大练习（月考）数 学时量：120分钟 满分：150分得分：_________一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．） 1．设集合{}13A x x =≤≤，{}24B x x =<<，则A B =（ ）A ．{}23x x <≤ B ．{}23x x ≤≤C ．{}14x x ≤<D ．{}14x x <<2．命题：“x ∀∈R ，2x x ≠”的否定是（ ）A ．x ∀∉R ，2x x ≠B ．x ∀∈R ，2x x=C ．x ∃∉R ，2x x ≠D ．x ∃∈R ，2x x =3．一元二次不等式2144x x −≥的解集是（ ）A ．72,4⎡⎤−⎢⎥⎣⎦B ．7,24⎡⎤−⎢⎥⎣⎦C ．74,2⎡⎤−⎢⎥⎣⎦D ．7,42⎡⎤−⎢⎥⎣⎦4．已知2x >，则442x x +−的最小值是（ ） A ．4B ．8C ．12D ．165．设()22M a a =−，()()13N a a =+−，则有（ ）A ．M N >B ．M N ≥C ．M N <D ．M N≤6．已知{}31,M x x m m ==−∈Z ，{}32,N x x n n ==+∈Z ，{61P x x p ==−，}p ∈Z ，则下列结论正确的是（ ）A ．M PN = B ．P M N = C ．M N P ⊆ D ．N M P⊆7．命题“[]1,2x ∀∈，1120ax x+≥”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A ．1a ≥− B ．2a ≥− C ．3a ≥− D ．4a ≥− 8．在一次调查中，甲、乙、丙、丁四名同学阅读量有如下关系：同学甲、丙阅读量之和与乙、丁阅读量之和相同，同学丙、丁阅读量之和大于甲、乙阅读量之和，乙的阅读量大于甲、丁阅读量之和．那么这四名同学中阅读量最大的是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁二、选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

湖南师大附中2023—2024学年度高一第一学期期中考试语文时量：150分钟满分：150分一、现代文阅读（37分）（一）现代文阅读Ⅰ（本题共5小题，19分）阅读下面的文字，完成1~5题。

科技发展与创新是社会生产力发展的重要标志。

这轮科技革命正加速转变为现实生产力，直接导致生产力的三个要素，即劳动者、劳动工具、劳动对象的深刻变化。

劳动力的变化，已经不是以往蓝领、白领、金领之类的升级和变化，也不是体力型、知识型、科技型的智能化升级，而是人作为劳动者的健康、安全、智慧、长寿，丰富了劳动者的内涵；各种便携式智能装备拓宽了劳动者的外延，机器人和人工智能参与劳动，跻身劳动者行列，增加了劳动力的类别和数量；人工智能参与生产的标准化、精准化，以及人更多地向着脑力劳动发展，提高了劳动者的整体质量。

劳动者再没有以往那么单纯，人和机器人建立了多重内部关系，体现了劳动者的深刻变化。

人的健康、安全和长寿，以及人的体质和智能，是劳动者最重要的内涵。

内涵丰富、素质提升，这是劳动者最大的变化。

劳动者质量取决于人的体质和智能，农业科技促进的粮食增产，在解决温饱的基础上，改善了劳动者的营养，使劳动者的体能得到加强。

现代医学科技从为少数人服务发展到普惠大众，使更多的劳动者的健康得到保障。

过去四分之一的世纪，人类在健康领域取得的巨大进步已经让大多数人受益，但仍然有很多人享受不到这些福祉。

如果想要所有人都能得到医疗护理，必须对卫生工作人员进行培训并投入资金，让其能给最偏远地方的人提供健康医疗服务。

老弱病残虽然不是直接的劳动者，但如果他们的疾病能够得到治疗，他们的生活能够得到保障，也能解除劳动者的后顾之忧，实际上也间接地改善了劳动者工作和生活的条件和环境。

教育科技特别是这些年互联网和数字技术的兴起，使成人教育、职业教育、短期培训得到发展，提高了劳动者的智能技能水平，进而提高了劳动效率。

机器人和人工智能逐渐参与一些劳动，虽然取代了劳动者的一些岗位，但是那些急难险重和肮脏的工作被取代，大大减少人类劳动的风险和牺牲，使人可以更加安全、舒适地劳动。

湖南师大附中2024-2025学年度高一第一学期第一次大练习物 理时量：75分钟 满分：100分得分：____________一、单选题(本大题共6小题，每题4分，共24分。

每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的)1.用物理的知识来分析古诗文，别有一番趣味。

以下诗句中关于参考系的选择，解释正确的是（ ） A.“牛从桥上过，桥流水不流”—“桥流水不流”是以桥为参考系B.“两岸青山相对出，孤帆一片日边来”—“青山相对出”是以两岸为参考系C.“满眼风光多闪烁，看山恰似走来迎。

仔细看山山不动，是船行”一“山不动”是以船为参考系D.“不疑行船动，唯看远树来”—“唯看远树来”是以船为参考系2.如图，车轮半径为0.3 m 的自行车，在水平地面上不打滑并沿直线运动。

气门芯从最高点第一次到达最低点的位移大小约为(取3=π)（ ）A.1.1 mB.1.8 mC.2.2 mD.3.6m3.做匀加速运动的汽车经过间隔距离相等的三根电线杆，经过第一根时度为10 m/s,经过第二根时速度为15m/s,则经过第三根时速度为（ ） A.20m/s B.大于20m/s C.小于20m/s D.不确定4.一电动自行车由静止开始在平直的公路上行驶，其运动过程的t v −图像如图所示，则电动自行车（ ）A.12s 末的加速度大小为B.0～20s 的平均速度大小为 2.5m/sC.0～50s 发生的位移大小为200mD.0～50s 的平均速度大小大于4m/s5.如图所示是一种运动传感器。

这个系统只有一个不动的小盒子B 。

工作时小盒B 向被测物体发出短暂的超声波脉冲，脉冲被运动物体反射后又被B 盒接收。

根据发射与接收超声波脉冲的时间差可以得到B 盒与运动物体的距离，进而得到物体的速度。

若B 盒第一次发射脉冲的时刻为1t ,接收到脉冲的时刻是2t ,第二次发射脉冲的时刻为3t ,接收到脉冲的时刻是4t ,则物体在这段时间内的平均速度(已知超声波在空气中传播的速度为0v )是（ ）A.0131234vt t t t t t −+−− B.012341234v t t t t t t t t −−++−−C.0131234v t t t t t t −−+−D.012341234v t t t t t t t t −−+++−6.一长为L 的金属管从地面以0v 的速率竖直上抛，管口正上方高h(h>L)处有一小球同时自由下落，金属管落地前小球从管中穿过。

湖南师大附中2022-2023学年度高一第二学期第一次大练习语文一、现代文阅读（35分）（一）现代文阅读I（本题共5小题，17分）阅读下面的文字，完成下面小题。

材料一：老子之“道”和孔子之“仁”，是中国儒道文化精神的两大基石。

“道”与“仁”虽然考察问题的逻辑起点不同，具体方法不同，但是所彰显的社会价值观则基本相同。

老子之“道”，是万物生成的本原，又是现象存在的本体。

道，表现在价值原则上是“上善”。

上善，就是至善的道德。

万物中，水最能体现道德之善：“上善若水。

水善利万物而不争，处众人之所恶，故几于道。

”道，表现在社会行为上是“无为”。

无为不是不为，而是像水那样为而无为。

社会行为的核心是“治国治身”。

治国顺乎民性，修养生息。

治身以学养性，行循自然。

道，表现在主体性情上是“复性”，复性，就是回归于本然之性，本然之性至真至纯，是圣人道德境界的标志。

出乎本性的道德是“上德”，迫于外在规范的道德则是“下德”。

孔子之“仁”，是君子道德人格的核心，又是社会伦理秩序的规范。

仁，必须形之于“德”。

仁，是心性修养的一种抽象存在，必须以道德的形式具体呈现出来。

所以，乳子既将仁作为人生矢志不渝追求的道德目标，又将仁作为人生修养的道德品质，其核心是“爱人”“济众”。

仁与德，必须表现在博爱与正己之间。

仁，必须导之于“礼”。

自由追求是人类与生俱来的天性，秩序建构是社会存在的必然前提。

孔子既强调“克己复礼”，自觉遵守秩序；也热爱生命自由，在不越礼的前提下，最大限度地享受自由人生。

仁与礼，必须落实于自由与规范之间。

仁，必须成之于“行”。

“仁”是君子精神世界的支点，但必须落实到人生行为之中，才能彰显其意义。

孔子将君子之道概括为“不忧”“不惑”“不惧”，并强调唯有仁者、智者、勇者才能做到。

仁与行，必须落实于精神与生活之间。

综上所论，“道”和“仁”都立足于救世，因而构成辩证性关联。

老子论“道”，强调人性的本然状态；孔子论“仁”，强调社会的应然状态。

湖南师范大学附属中学2023-2024学年高一上学期期中考试语文试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、现代文阅读阅读下面的文字，完成下题。

科技发展与创新是社会生产力发展的重要标志。

这轮科技革命正加速转变为现实生产力，直接导致生产力的三个要素，即劳动者、劳动工具、劳动对象的深刻变化。

劳动力的变化，已经不是以往蓝领、白领、金领之类的升级和变化，也不是体力型、知识型、科技型的智能化升级，而是人作为劳动者的健康、安全、智慧、长寿，丰富了劳动者的内涵；各种便携式智能装备拓宽了劳动者的外延，机器人和人工智能参与劳动，跻身劳动者行列，增加了劳动力的类别和数量；人工智能参与生产的标准化、精准化，以及人更多地向着脑力劳动发展，提高了劳动者的整体质量。

劳动者再没有以往那么单纯，人和机器人建立了多重内部关系，体现了劳动者的深刻变化。

人的健康、安全和长寿，以及人的体质和智能，是劳动者最重要的内涵。

内涵丰富、素质提升，这是劳动者最大的变化。

劳动者质量取决于人的体质和智能，农业科技促进的粮食增产，在解决温饱的基础上，改善了劳动者的营养，使劳动者的体能得到加强。

现代医学科技从为少数人服务发展到普惠大众，使更多的劳动者的健康得到保障。

过去四分之一的世纪，人类在健康领域取得的巨大进步已经让大多数人受益，但仍然有很多人享受不到这些福祉。

如果想要所有人都能得到医疗护理，必须对卫生工作人员进行培训并投入资金，让其能给最偏远地方的人提供健康医疗服务。

老弱病残虽然不是直接的劳动者，但如果他们的疾病能够得到治疗，他们的生活能够得到保障，也能解除劳动者的后顾之忧，实际上也间接地改善了劳动者工作和生活的条件和环境。

教育科技特别是这些年互联网和数字技术的兴起，使成人教育、职业教育、短期培训得到发展，提高了劳动者的智能技能水平，进而提高了劳动效率。

机器人和人工智能逐渐参与一些劳动，虽然取代了劳动者的一些岗位，但是那些急难险重和肮脏的工作被取代，大大减少人类劳动的风险和牺牲，使人可以更加安全、舒适地劳动。

湖南师大附中2023—2024学年度高一第一学期期末考试物理时量：75分钟 满分：100分一、选择题（本大题共11小题，共49分，1~6小题只有一个选项正确，每小题4分；7~11小题有多个选项正确，全部选对得5分，部分选对得3分，错选或不选得0分）1．在物理学发展过程中，科学家们运用了许多研究方法．下列说法正确的是（ ）A ．重心、合力概念的提出，体现了微元思想B ．用质点代替有形状和大小的物体的理想化模型法是不科学的C ．牛顿的理想实验将实验和逻辑推理结合得出了力不是维持物体运动的原因D ．根据平均速度的定义式2121x x x v t t t -∆==∆-，当0t ∆→时，x t ∆∆就可以表示物体在1t 时刻的瞬时速度，该定义运用了极限思维2．河水的流速与离河岸的距离的变化关系如图甲所示，船在静水中的速度与时间的关系如图乙所示，河宽为300m ,若要使船以最短时间渡河，则（ ）甲 乙A ．船渡河的最短时间是150sB ．船在行驶过程中，船头始终与河岸垂直C ．船在河水中航行的轨迹是一条直线D ．船在河水中的最大速度是4m/s3．如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定轴转动，角速度从零缓慢增大，圆盘与水平桌面的夹角为θ，圆盘的半径为R ,圆盘边缘处有一小物体与圆盘始终保持相对静止，物体与盘面间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g ,认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力，圆盘最大的角速度为（ ）ABCD4．如图，倾角为45θ=︒的斜坡，斜坡高度为h ,斜坡底端A 点正上方有B 和C 两点，B 点和斜坡等高．甲战斗机以水平速度1v 飞到C 点时释放炸弹，准确命中斜坡上的一点,P CP 的连线垂直于坡面；乙战斗机以水平速度2v 飞到B 点时释放炸弹，也准确命中斜坡上的同一点P ,速度方向恰好垂直斜坡．已知两颗炸弹完全相同，则（ ）A ．C 点距离A 点的高度为53hB ．12:v v =CD5．如图所示，一内表面光滑的半圆形凹槽放在粗糙的水平地面上，物块（可看作质点）静置于槽内最底部的A 点处．现用一方向不变的斜向上的推力F 把物块从A 点沿着凹形槽缓慢推至B 点，整个过程中，凹槽始终保持静止．设物块受到凹槽的支持力为N F ,则在上述过程中下列说法正确的是（ ）A ．F 一直减小，N F 先减小后增大B ．F 和N F 都一直增大C ．地面对凹槽的摩擦力一直增大D ．地面对凹槽的支持力一直增大6．如图所示，粗糙的水平地面上有三块材料完全相同的木块A 、B 、C ,质量均为m,B 、C 之间用轻质细绳连接．现用一水平恒力F 作用在C 上，三者开始一起做匀加速运动，运动过程中把一块橡皮泥粘在某一木块上面，系统仍加速运动，且始终没有相对滑动．则在粘上橡皮泥并达到稳定后，下列说法正确的是（ ）A ．无论粘在哪个木块上面，系统的加速度都将增大B ．若粘在A 木块上面，绳的拉力减小，A 、B 间摩擦力不变C ．若粘在B 木块上面，绳的拉力增大，A 、B 间摩擦力增大D ．若粘在C 木块上面，绳的拉力和A 、B 间摩擦力都减小7．如图所示，两个固定的倾角相同的滑杆上分别套上A 、B 两个圆环，两个圆环上分别用细线悬吊两个物体C 、D ．不计空气阻力，当它们都沿滑杆向下滑动时，稳定后A 的悬线始终与杆垂直，B 的悬线始终竖直向下．对于它们运动稳定后的下列说法正确的是（ ）A ．A 与滑杆间无摩擦B ．B 与滑杆间无摩擦C ．A 环做的是匀速直线运动D ．B 环做的是匀速直线运动8．如图所示，不可伸长的轻绳平行于斜面，一端与质量为m 的物块B 相连，B 与斜面光滑接触．轻绳另一端跨过滑轮与质量为M 的物块A 连接．A 在外力作用下沿竖直杆以速度1v 向下匀速运动，物块B 始终沿斜面运动且斜面始终静止，当轻绳与杆的夹角为β时，物块B 的速度大小为2v ，斜面倾角为α,重力加速度为g ,下列说法正确的是（ ）A ．121cos v v β=B ．211cos v v β= C ．轻绳拉力一定大于sin mg α D ．斜面受到地面水平向右的摩擦力9．如图甲所示，劲度系数500N /m k =的轻弹簧，一端固定在倾角为37θ=︒的带有挡板的光滑斜面体的底端，另一端和质量为A m 的小物块A 相连，质量为B m 的物块B 紧靠A 一起静止．现用水平推力使斜面体以加速度a 向左匀加速运动，稳定后弹簧的形变量大小为x ．在不同推力作用下，稳定时形变量大小x 随加速度a 的变化如图乙所示．弹簧始终在弹性限度内，不计空气阻力，取重力加速度210m /s ,sin 370.6,cos370.8g ==︒=︒．下列说法正确的是（ ）甲 乙A ．207.5m /s a =B ．3kg A m =C ．若0a a =,稳定时A 对斜面的压力大小为12.5ND ．若00.5,a a =,稳定时A 、B 间弹力大小为6N10．如图甲所示，质量为2m 的长木板静止在光滑的水平面上，其上静止一质量为1m 的小滑块，现给木板施加一随时间均匀增大的水平力F ,满足F kt =（k 为常数，t 代表时间），长木板的加速度a 随时间t 变化的关系如图乙所示．已知小滑块所受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力．下列说法正确的是（ ）甲 乙A ．在0~2s 时间内，小滑块与长木板间的摩擦力增大B ．在2~3s 时间内，小滑块与长木板间的摩擦力在数值上等于2m 的大小C ．当小滑块从长木板上脱离时，其速度比长木板小1.5m/sD ．1m 与2m 之比为1:311．如图，水平地面上有一小车，车内有质量分别2m m 、的A 、B 两小球，用轻杆相连，杆与竖直方向的夹角为30θ=︒．A 球靠在光滑的竖直侧壁上，B 球在粗糙的水平底面上，且受到的最大静摩擦力与正压力之比为k ．小车可以以不同的加速度向右运动，现要保证轻杆与车厢相对静止，重力加速度用g 表示，下列说法正确的是（ ）A ．在不同加速度的情况下，轻杆对小球A 的作用力始终为恒力B ．当小球B 对底面的摩擦力等于0时，那么此时小车做匀加速运动，加速度大小为3C ．若k =D ．若k =当小车做匀加速直线运动时，则侧壁对小球A 二、实验题（本题共12、13两个小题，其中12题6分，13题8分，共计14分）12．小明学完平抛运动后，尝试利用平抛运动的知识测量家里的弹射器射出弹丸的速度．小明准备了白纸、米尺、复写纸、支架等材料．实验时，先将白纸和复写纸固定在墙上，并用支架将弹射器固定好，装置如图甲所示．接着压缩弹射器朝墙壁发射弹丸，弹丸通过碰撞复写纸，在白纸上留下落点位置．随后将弹射器沿垂直于墙面方向远离墙壁移动．每次移动的距离为0.2m ．通过多次重复实验，挑了一张有4个连续落点痕亦的白纸，如图乙所示．已知重力加速度210m/s g =．甲 乙（1）下列实验步骤必要的是__________．A ．在安装时，必须确保弹射器水平放置B ．为了减小实验误差，应选用体积小密度大的弹丸C ．每次必须将弹簧压缩至相同位置释放弹丸D ．第一次实验时，需要测量弹射器开口到墙壁的距离（2）根据测量的数据，可知弹丸离开弹射器的速度大小为__________m/s ,弹丸打到C 点时的速度大小为__________m/s （所有计算结果均保留两位有效数字）．13．某物理兴趣小组在实验室选择合适器材后，按如图甲所示安装好实验器材，探究“加速度与力的关系”．（本题所有计算结果均保留两位有效数字）甲 乙请回答下列问题：（1）图甲中的沙桶和沙的总质量__________（填“需要”或“不需要”）满足远小于滑块的质量，图中安装好的器材有一处不合理之处是__________．（2）物理小组仍利用图甲装置做实验，利用沙桶和沙提供拉力，拉动滑块及纸带运动，打出如图乙所示的一条纸带，已知电源频率为50Hz ,纸带上每两个计数点间还有4个点未画出，则由图中数据可求得此时滑块的加速度大小a =__________2m/s ．（3）将力传感器的示数记为F ,保持滑块质量不变，多次改变沙桶中沙的质量，测得多组数据，绘制出加速度a 与F 的关系图像，如图丙所示．小组同学经过讨论发现利用图丙可以求出滑块的质量以及滑块与长木板间的动摩擦因数，重力加速度210m/s g =,则由图丙可得，滑块质量M =__________kg ,滑块与长木板间的动摩擦因数=μ__________．丙三、解答题（本题共14、15、16三个小题，其中14题10分，15题12分，16题15分，共计37分）14．如图所示，一根长0.1m R =的细线，一端系着一个质量0.18kg m =的小球，拉住线的另一端，使小球在光滑的水平桌面上做匀速圆周运动．现使小球的角速度缓慢地增大，当小球的角速度增大到开始时的3倍时，细线断开，细线断开前的瞬间受到的拉力比开始时大40N ．取2g=10m/s ．（1）求细线断开前的瞬间，小球受到的拉力大小；（2）若小球离开桌面时，速度方向与桌面右边缘间垂直，桌面高出水平地面0.8m h =,求小球飞出后的落地点到桌面右边缘的水平距离s ．15．倾角30θ=︒的传送带，以恒定的速度06m/s v =逆时针匀速传动．如图甲所示，将一物块A 置于木板B 的前端，于传送带的顶端同时无初速释放．以释放的瞬间为零时刻，此后一段时间内，A 、B 各自的速度随时间变化的情况如图乙所示（图乙中速度以沿平行传送带向下为正）且在0.75s t =时A 恰好位于B 的后端．已知A 和B 的质量相等．A 可视为质点，重力加速度g 取210m /s ．求：甲 乙（1）木板B 的长度；（2）物块A 和木板B 之间的动摩擦因数1μ及木板B 和传送带之间的动摩擦因数2μ．16．某光滑桌面上，整齐叠放着n 本质量均为m 的同种新书，处于静止状态，书本之间的动摩擦因数均为μ、宽度为L ,书本正前方有一固定的竖直挡板（厚度不计），书本到挡板距离为2L ,如图所示为侧视图，在水平向右的力F 作用下，所有书本无相对滑动，一起向右运动，当上面书本撞击挡板后便立即停止运动，直至下面书本全部通过挡板下方区域后，才掉落至桌面，且上面书本碰撞挡板前后对下面书本的压力保持不变（不考虑书本形变）．已知重力加速度为g ,最大静摩擦力等于滑动摩擦力大小，所有运动均为一维直线运动．（1）若7n =,力F 作用于第7本书上，大小为3mg μ,求书本与挡板碰撞时的速度大小；（2）若7n =，力F 作用于第3本书上，求书本向右运动的最大加速度大小；（3）若力F 作用于第()k k n ≤本书，书本以最大加速度加速碰撞挡板，调节挡板高度使得碰撞后上方k 本书停止运动，试讨论下方书本能否穿出挡板．若能穿出，请写出穿出后书本的速度大小；若不能，请分析说明原因．。

湖南师大附中2023—2024学年度高一第一学期第一次大练习（月考）英语时量：120分钟满分：150分得分____________第一部分听力(共两节，满分30分)做题时，先将答案标在试卷上。

录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。

第一节(共5小题；每小题1.5分，满分7.5分)听下面5段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。

听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

例：How much is the shirt?A. ￡19.15.B. ￡9.18.C. ￡9.15.答案是C。

1. When will Jim's birthday party be held?A. In July.B. In August.C. In September.2. What is Johnnie's problem?A. He quarreled with his brother.B. Nobody listens to him.C. He is in poor spirits.3. What will the man do next?A. Pay the bill.B. Make a phone call.C. Check the puter.4. When does the conversation probably take place?A. In the morning.B. At noon.C. In the afternoon.5. How much does the chair cost?A. ￡80.B. ￡72.C. ￡10.第二节分，满分22.5分)听下面5段对话或独白。

每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。

听每段对话或独白前，你将有时间阅读各个小题，每小题5秒钟；听完后，各小题将给出5秒钟的作答时间。

湖南省长沙市岳麓区湖南师范大学附中2024届高一化学第一学期期末统考试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每题只有一个选项符合题意）1、铁粉在高温下可与水蒸气反应。

若反应后得到的干燥固体质量比反应前铁粉的质量增加了32g。

则参加反应的铁粉的物质的量是( )A．2．5mol B．2mol C．2．5mol D．2mol2、下列物质中，不属于．．．合金的是（）A．硬铝B．黄铜C．钢铁D．金3、在标准状况下，气体摩尔体积约为22.4L·mol－1，则标准状况下0.5mol氢气的体积约为（）A．0.5 L B．5 L C．11.2 L D．22.4 L4、有一瓶无色气体，可能含有HCl、CO2、H2S、HBr和SO2中的一种或几种。

将其通入氯水中，得到无色透明溶液。

将溶液分成两份，向一份中加入盐酸酸化的BaCl2溶液，出现白色沉淀；向另一份中加入HNO3酸化的AgNO3溶液，也有白色沉淀生成。

以下结论正确的是( )①原气体肯定有SO2②原气体中可能有SO2③原气体中肯定无H2S和HBr ④不能确定原气体中是否有HCl ⑤原气体中肯定没有CO2⑥原气体中肯定有HClA．①③⑥B．①④⑤C．①③④D．①③⑤⑥5、高锰酸钾溶液在酸性条件下可以与亚铁离子反应，离子方程式如下(未配平)：MnO4-+ Fe2++ H+= Mn2++ Fe3++ H2O下列有关说法正确的是( )A．MnO4-和H+是氧化剂，Fe2+是还原剂B．H2O既是氧化产物又是还原产物C．每生成1mol水将转移1.2 mol的电子D．Fe2+的还原性强于Mn2+6、"垃圾是放错了位置的资源",应该分类回收利用.生活中废弃的铁锅,铝制易拉罐,铜导线等可以归为一类加以回收,它们属于( )A．有机物B．氧化物C．盐D．金属或合金7、下列有关物质性质及对应用途描述正确的是( )A．SO2具有氧化性，可用于纸浆漂白B．金属镁燃烧时会发出耀眼的白光，常用作耐高温材料C．碳酸钠溶液显碱性，可用于清洗油污D．浓硫酸具有脱水性，可用作干燥剂8、元素在周期表中的位置，反映了元素的原子结构和元素的性质，下列说法正确的是（）A．短周期元素形成离子后，最外层都达到8电子稳定结构B．第二周期元素的最高正化合价等于它所处的主族序数C．同一元素可能既表现金属性，又表现非金属性D．同一主族的元素的原子，最外层电子数相同，化学性质完全相同9、给150mL某液体加热的操作中，所需的仪器是（）①试管②烧杯③酒精灯④试管夹⑤石棉网⑥泥三角⑦坩埚⑧铁三脚架A．③⑥⑦⑧B．②③⑤⑧C．①③④⑤D．②③⑤⑥10、下列物质不能通过化合反应生成的是A．FeCl2B．Mg(OH)2C．CuCl2D．Fe(OH)311、下列图示正确的是()A．水合氢离子：B．氢氧根：C．水合钠离子：D．水合氯离子：12、现如今，许多城市开始实施垃圾分类，其中可回收物主要包括废纸、塑料、玻璃、金属和布料五大类。

湖南师大附中2022-2023学年度高一第一学期第一次大练习数学时量：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.若a，b，c，d 为集合A 的四个元素，则以a，b，c，d 为边长构成的四边形可能是()A.矩形B.平行四边形C.菱形D.梯形【答案】D 【解析】【详解】由于集合中的元素具有“互异性”，故a，b，c，d 四个元素互不相同，即组成四边形的四条边互不相等.选D.点睛：集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．2.集合{}24A x x =≤<，{}3782B x x x =-≥-，则A B = （）A.{}34x x ≤< B.{}2x x ≥ C.{}14x x ≤< D.{}3x x ≥【答案】A 【解析】【详解】解不等式可得集合B ，进而可得A B【分析】集合{}24A x x =≤<，{}{}37823B x x x x x =-≥-=≥，所以{}34A B x x ⋂=≤<，故选：A.3.下列各式中：①{}{}00,1,2∈；②{}{}0,1,22,1,0⊆；③{}0,1,2∅⊆；④{}0∅=；⑤{}(){}0,10,1=；⑥{}00=.正确的个数是（）A.1 B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】根据相等集合的概念，元素与集合、集合与集合之间的关系，空集的性质判断各项的正误.【详解】①集合之间只有包含、被包含关系，故错误；②两集合中元素完全相同，它们为同一集合，则{}{}0,1,22,1,0⊆，正确；③空集是任意集合的子集，故{}0,1,2∅⊆，正确；④空集没有任何元素，故{}0∅≠，错误；⑤两个集合所研究的对象不同，故{}(){}0,1,0,1为不同集合，错误；⑥元素与集合之间只有属于、不属于关系，故错误；∴②③正确.故选：B.4.已知a ､b ､R c ∈，那么下列命题中正确的是（）A.若a b >，则22ac bc > B.若a bc c>，则a b >C.若33a b >且0ab <，则11a b> D.若22a b >且0ab >，则11a b>【答案】C 【解析】【分析】根据不等式的性质，对选项逐一判断即可.【详解】对于选项A ，当c 为0时不成立；对于选项B ，当c 为负数是不成立；对于选项C ，由33a b >且0ab <可得0,0a b ><，所以11a b>故C 正确；对于选项D ，若22a b >且0ab >说明,a b 同号，当,a b 为正数时不成立.故选：C5.已知命题“[]01,1x ∃∈-，20030x x a -++>”为真命题，则实数a 的取值范围是A.9,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B.()4,+∞ C.()2,4- D.()2,-+∞【答案】D 【解析】【分析】命题“[]01,1x ∃∈-，20030x x a -++>”为真命题等价于23a x x >-在[]1,1x ∈-上有解，构造函数()23f x x x =-求最大值代入即可．【详解】命题“[]01,1x ∃∈-，20030x x a -++>”为真命题等价于23a x x >-在[]1,1x ∈-上有解，令()23f x x x =-，[]1,1x ∈-，则等价于()()12min a f x f >==-，2a ∴>-，故选D ．【点睛】本题考查了存在量词和特称命题，属中档题．6.不等式02xx <-成立的一个必要不充分条件是（）A.02x << B.01x << C.13x << D.1x ≥-【答案】D 【解析】【分析】利用必要条件和充分条件的定义判断.【详解】由02xx <-，解得02x <<，所以不等式(2)0x x -<成立的一个必要不充分条件是1x ≥-.故选：D.7.若不等式11014m x x +-≥-对10,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，则实数m 的最大值为（）A.7 B.8C.9D.10【答案】C 【解析】【分析】分离参数使不等式化为1114m x x +≥-，使1114x x+-乘以414x x +-利用基本不等式求出1114x x+-的最小值即可求解.【详解】将不等式化为1114m x x +≥-，只需当10,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，min 1114m x x ⎛⎫+≥ ⎪-⎝⎭即可，由()11114141414x x x x x x ⎛⎫+=++- ⎪--⎝⎭14441554914x x x x -=+++≥+=+=-，当且仅当15x =时取等号，故9m ≤,故m 的最大值为9.故选：C【点睛】本题主要考查不等式恒成立求参数的取值范围、基本不等式求最值，注意验证等号成立的条件，属于中档题.8.在R 上定义运算：a ⊕b ＝(a ＋1)b .已知1≤x ≤2时，存在x 使不等式(m －x )⊕(m ＋x )<4成立，则实数m 的取值范围为（）A.{m |－2<m <2}B.{m |－1<m <2}C.{m |－3<m <2}D.{m |1<m <2}【答案】C 【解析】【分析】根据定义求出(m －x )⊕(m ＋x )＝m 2－x 2＋m ＋x ，将不等式分离参数后，转化为最大值使不等式成立，根据二次函数求出最大值后，解一元二次不等式即可得解.【详解】依题意得(m －x )⊕(m ＋x )＝(m －x ＋1)(m ＋x )＝m 2－x 2＋m ＋x ，因为1≤x ≤2时，存在x 使不等式(m －x )⊕(m ＋x )<4成立，所以存在1≤x ≤2，使不等式m 2＋m <x 2－x ＋4成立，即当1≤x ≤2时，m 2＋m <(x 2－x ＋4)max .因为1≤x ≤2，所以当x ＝2时，x 2－x ＋4取最大值6，所以m 2＋m <6，解得－3<m <2.故选：C ．【点睛】本题考查了对新定义的理解能力，考查了不等式能成立问题，考查了二次函数求最值，考查了一元二次不等式的解法，属于中档题.二、选择题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知集合A={1，2，2a }，B={1，2a +}，若B A ⊆，则a 的可能取值为（）A.1-B.0C.1D.2【答案】BD 【解析】【分析】利用B A ⊆，可得22a +=或22a a +=，再验证即可．【详解】因为B A ⊆，又集合{1A =，2，2}a ，{1B =，2}a +，所以22a +=或22a a +=，解得0a =或2a =或1a =-，当1a =-时，不满足集合元素的互异性，所以0a =或2a =．故选：BD ．10.若0a b <<，110c d<<，则下面四个不等式成立的有（）A.11a b > B.c d> C.a b c d> D.a ba cb d>++【答案】ACD 【解析】【分析】利用不等式的基本性质直接推导可判断ABC ；先将a ba cb d>++等价变形，然后由不等式性质推导可判断D.【详解】由0a b <<可得0a b ->->，所以11a b <--∴11a b>，故A 正确；由110c d <<可得0cd >，所以110cd cd c d⋅<⋅<，即0d c <<，∴c d <，故B 不正确；因为0a b <<，110c d <<，所以0a b ->->，110c d->->，所以11()()0a b c d -⨯->-⨯->，∴a bc d>，故C 正确；由题可知()()0a c b d ++>由于())a b a b d a c ad bc a c b d>⇔+>+⇔>++，由上可知0a b ->->，0d c ->->，所以0ad bc >>，所以a ba cb d>++，故D 正确；故选：ACD ．11.下列说法正确的有（）A.命题“若3x >，则29x >”的否定是“若3x >，则29x ≤”B.命题“x M ∃∈，()p x ⌝”的否定是“x M ∀∈，()p x ”C.命题“0x ∃∈R ，()200310a x ax -+->”是假命题，则实数a 的取值范围为{}62a a -≤≤D.命题“x ∀∈R ，221m m x x -<++”是真命题，则实数m 的取值范围为1322m m ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【答案】BCD【解析】【分析】根据全称量词命题的否定及存在量词命题的否定可判断AB ，根据全称量词命题及存在量词命题的真假结合二次函数的性质可判断CD.【详解】命题“若3x >，则29x >”为全称量词命题，它的否定为存在量词命题“3x ∃>，则29x ≤，故A 不正确；命题“x M ∃∈，()p x ⌝”的否定是“x M ∀∈，()p x ”，故B 正确；“0x ∃∈R ，()200310a x ax -+->”是假命题，则它的否定“x ∀∈R ，()2310a x ax -+-≤”是真命题，则当30a -=时，310x -≤，不合题意，当30a -≠时，则()230Δ430a a a -<⎧⎨=+-≤⎩，解得62a -≤≤，故C 正确；“x ∀∈R ，221m m x x -<++”是真命题，则()22min1m m x x -<++，又221331244x x x ⎛⎫++=++≥ ⎪⎝⎭，则234m m -<，解得1322m -<<，故D 正确．故选：BCD ．12.已知1,0,0x y y x +=>≠1x y +的值可能是A.12B.14 C.34D.54【答案】CD 【解析】【分析】1,0,0x y y x +=>≠,有10y x =->则1x <且0x ≠,分01x <<和0x <打开||x ，然后用重要不等式求出其最值，从而得到答案.【详解】由1,0,0x y y x +=>≠，得10y x =->，则1x <且0x ≠.当01x <<时,121x x y ++=122242x x x x x x x x+-+=+--=1215+44244x x x x -+≥-.当且仅当2=42x x x x--即23x =时取等号.当0x <时,121x x ++=122242x x x x x x x x--+-+=+----=1213+44244x x x x ---+≥---.当且仅当2=42x xx x----即2x =-时取等号.综上，13214x x y +≥+.故选：C D.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.命题“全等三角形的面积都相等”的否定是_______________【答案】存在两个全等三角形的面积不相等【解析】【分析】由原命题为全称命题，结合全称命题的否定为特称命题求解．【详解】解：∵原命题：全等三角形的面积都相等，为全称命题，∴它的否定为：存在两个全等三角形的面积不相等，故答案为存在两个全等三角形的面积不相等【点睛】本题重点考查全称命题和特称命题，全称量词和存在量词的概念及应用，属于基础题．14.已知0x >，则123x x--的最大值是________．【答案】2-【解析】【详解】由题意，根据基本不等式，可得答案.【分析】 13x x +≥=，当且仅当13x x =，即33x =时取等号.∴1232xx --≤-故123x x--的最大值是2-.故答案为：2-15.已知函数2()1f x mx mx =--，对于任意的[]1,3x ∈，()5f x m <-+恒成立，则m 的取值范围是___．【答案】【解析】【详解】试题分析：222()5,15,(1)6,1[1,7]f x m mx mx m x x m x x <-+∴--<-+∴-+<-+∈ ，226666,[,6],1177m m x x x x ∴<∈∴<-+-+ .考点：不等式的性质；二次函数的值域.【易错点睛】求二次函数最值的类型及解法：（1）二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解题的关键是对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论．（2）常结合二次函数在该区间上的单调性或图象求解，最值一般在区间的端点或顶点处取得．16.某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：（ⅰ）男学生人数多于女学生人数；（ⅱ）女学生人数多于教师人数；（ⅲ）教师人数的两倍多于男学生人数．①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为__________．②该小组人数的最小值为__________．【答案】①.6②.12【解析】【详解】试题分析：设男生人数、女生人数、教师人数分别为a b c 、、，则*2,,,c a b c a b c >>>∈N .①max 846a b b >>>⇒=，②min 3,635,412.c a b a b a b c =>>>⇒==⇒++=【名师点睛】本题主要考查了命题的逻辑分析、简单的合情推理,题目设计巧妙，解题时要抓住关键,逐步推断,本题主要考查考生分析问题、解决问题的能力，同时注意不等式关系以及正整数这个条件.四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.设,a b ∈R ，集合{}1,P a =，{}1,Q b =--，若P Q =．（1）求-a b 的值；（2）集合{}210A x x cx =++<，(){}B x a x a b =-<<-+，若B A ⊆，求实数c 的取值范围．【答案】（1）0（2）52c ≤-【解析】【分析】（1）利用集合=P Q 元素相等，可得a 、b 的值，从而求a b -的值；（2）利用集合之间的关系转化到210x cx ++<在12x <<上恒成立，进而求解即可．【小问1详解】设a ，b R ∈，{1P =，}a ，{1Q =-，}b -，若=P Q ，则1a =-，1b =-，故0a b -=；【小问2详解】由（1）可知：{}=1<<2B x x A ⊆，则210x cx ++<在12x <<上恒成立，记()21f x x cx =++，则只需要()()1020f f ≤≤⎧⎪⎨⎪⎩，52c ⇒≤-．18.（1）设0x y <<，试比较22()()x y x y +-与22()()x y x y -+的大小；（2）已知a ，b ，x ，(0,)∈+∞y 且11,x y a b>>，求证：x y x a y b >++．【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用作差法，即可比较两式的大小；（2）利用作差法，即可证明x yx a y b>++．【详解】（1）解：2222()()()()x y x y x y x y +---+222()[()()]x y x y x y =-+-+2()xy x y =--；因为0x y <<，所以0xy >，0x y -<，所以2()0xy x y -->，所以2222()()()()x y x y x y x y +->-+；（2）证明：()()x y bx ay x a y b x a y b --=++++，因为11a b>且a ，(0,)b ∈+∞，所以0b a >>；又因为0x y >>，所以0bx ay >>，所以x y x a y b>++．【点睛】本题考查了代数式的比较大小问题，常用作差法比较大小，属于基础题．19.对于有限个自然数组成的集合A ，定义集合{}()|,S A a b a A b A =+∈∈，记集合()S A 的元素个数为(())d S A .定义变换T ，变换T 将集合A 变换为集合()()T A A S A = .（1）若{}0,1,2A =，求(),()S A T A ；（2）若集合{}1212,,(),n n A x x x x x x n N =<<<∈ ，证明：()()"21"d S A n =-的充要条件是21321""n n x x x x x x --=-==- .【答案】（1）{}()()0,1,2,3,4S A T A ==；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据题干中对集合()S A 和()T A 的定义，可以求出两个集合（2）证明充要条件要从两方面证明，一是证明充分性，而是证明必要性，都成立则说明是充要条件【详解】解：（1）若集合{}0,1,2A =,则根据定义可得：{}()()0,1,2,3,4S A T A ==.（2）由{}1212,,(),n n A x x x x x x n N =<<<∈ .充分性：设{}k x 是公差为(d d ≠0的等差数列,则111(1)(1)2(2)(1,)i j x x x i d x j d x i j d i j n +=+-++-=++-≤≤且22i j n ≤+≤,所以i j x x +共有()21n -个不同的值,即()()21d S A n =-.必要性：若()()21d S A n =-,因为1122,(1,21)i i i i x x x x i n ++<+<=- ,所以()S A 中有()21n -个不同的元素：12122312,22,,n n nx x x x x x x x x -+++ ,任意1,i j x x i j n+≤≤（）的值都与上述某一项相等.又1212i i i i i i x x x x x x +++++<+<+,且111221,22,i i i i i x x x x x i n ++++<+=+<- .所以212i i i x x x +++=,所以{}k x 是等差数列，且公差不为0.20.已知258x y +=.（1）当0,0x y >>时，求xy 的最大值；（2）当1,2x y >->-时，若不等式2101412m m x y +≥+++恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）85；（2）9122m -≤≤.【解析】【分析】（1）结合已知等式，结合基本不等式进行求解即可；（2）问题转化为解不等式2min 1014()12m m x y +≤+++，结合已知等式，利用基本不等式求出min 101()12x y +++，然后解一元二次不等式即可.【详解】（1）因为0,0x y >>，258x y +=，所以有221125188(2)(5)()(101021025x y xy x y +=⋅⋅≤⋅=⨯=，当且仅当25x y =时，取等号，即2x =且45y =时，取等号，所以xy 的最大值为85；（2）因为258x y +=，所以2(1)5(2)20x y +++=，而1,2x y >->-，所以有：101120112(1)5(2)12(1)5(2)12212022120202x y x y x y x y x y +++++++=⋅+⋅=+⋅++++++，即10155211591242110244y x x y x y +++=+⋅+⋅≥+=++++，当且仅当521121102y x x y ++⋅=⋅++时，取等号，即173x =且23y =-时，取等号，因此min 1019()124x y +=++，要想不等式2101412m m x y +≥+++恒成立，只需2min 1014()12m m x y +≤+++成立，即2944m m +≤，解得9122m -≤≤.【点睛】本题考查了基本不等式的应用，考查了已知不等式恒成立求参数取值范围问题，考查了数学运算能力.21.党的十八大以来，精准扶贫取得了历史性成就，其中产业扶贫是扶贫工作的一项重要举措，长沙某驻村扶贫小组在湘西某贫困村实施产业扶贫，计划帮助该村进行猕猴桃的种植与销售，为了迎合大众需求，提高销售量，将以装盒售卖的方式销售．经市场调研，若要提高销售量，则猕猴桃的售价需要相应的降低，已知猕猴桃的种植与包装成本为24元/盒，且每万盒猕猴桃的销售收入()I x （单位：万元）与售价量x （单位：万盒）之间满足关系式()2562,010*********.6,10x x I x x x x -<≤⎧⎪=⎨+->⎪⎩．（1）写出利润()F x （单位：万元）关于销售量x （单位：万盒）的关系式；（利润=销售收入－成本）（2）当销售量为多少万盒时，该村能够获得最大利润？此时最大利润是多少？【答案】（1）()2232,01014406.4328,10x x x F x x x x ⎧-+<≤⎪=⎨--+>⎪⎩（2）销售量为15万盒时，该村的获利最大，此时的最大利润为136万元【解析】【分析】（1）根据已知条件，结合利润=销售收入－成本，分010x <≤，10x >两种情况讨论，即可求解．（2）根据已知条件，结合二次函数的性质，以及基本不等式的公式，分别求解分段函数的最大值，再通过比较大小，即可求解．【小问1详解】当010x <≤时，()()222456224232F x xI x x x x x x x =-=--=-+，当10x >时，()()2328144014402417.624 6.4328F x xI x x x x x x x x⎛⎫=-+--=--+ ⎪⎝⎭，故()2232,01014406.4328,10x x x F x x x x ⎧-+<≤⎪=⎨--+>⎪⎩．【小问2详解】当010x <≤时，()()2223228128F x x x x =-+=--+，故当8x =时，()F x 取得最大值，且最大值为128，当10x >时，()144014406.4328 6.43282328136F x x x x x ⎛⎫=--+=-++≤-= ⎪⎝⎭，当且仅当14406.4x x=，即15x =（负值舍去）时，等号成立，此时()F x 取得最大值，且最大值为136，由于136128>，所以销售量为15万盒时，该村的获利最大，此时的最大利润为136万元．22.已知二次函数()2f x ax bx c =++.（1）若()0f x >的解集为{}34x x -<<，解关于x 的不等式()2230bx ax c b +-+<.（2）若对任意x ∈R ，()0f x ≥恒成立，求b a c+的最大值.（3）已知4b =，a c >，若()0f x ≥对于一切实数x 恒成立，并且存在0x R ∈，使得2000ax bx c ++=成立，求2242a c a c +-的最小值.【答案】（1）()3,5-；（2）最大值为1；（3）8.【解析】【分析】（1）利用()0f x >的解集为{|34}x x -<<，得出a ，b ，c 的关系，再解关于x 的不等式22(3)0bx ax c b +-+<；（2）对任意x ∈R ，()0f x ≥恒成立，等价于240b ac ∆=-≤，且0a >，借助均值不等式可得最大值；（3）由()0f x ≥对于一切实数x 恒成立，可得01640a ac >⎧⎨∆=-≤⎩，由存在0x R ∈，使得2000ax bx c ++=成立可得1640ac ∆=-≥，结合均值不等式得到结果.【详解】解：（1）∵2ax bx c ++>的解集为{}34x x -<<，∴0a <，34b a -+=-，34c b a a -⨯=⇒=-，()120c a a =-<，∴()()222230215002150bx ax c b ax ax a a x x +-+<⇔-++<<⇔--<，∴解集为()3,5-，（2）∵对任意x ∈R ，0y ≥恒成立，∴240b ac ∆=-≤，且0a >∴24b ac ≤，0c ≥，故b -≤≤∴1b a c a c a c a c+≤≤=+++，当c a =，2b a =时取“=”，∴b a c+的最大值为1；（3）由()0f x ≥对于一切实数x 恒成立，可得01640a ac >⎧⎨∆=-≤⎩即04a ac >⎧⎨≥⎩，由存在0x R ∈，使得2000ax bx c ++=成立可得1640ac ∆=-≥，∴1640ac ∆=-=，∴4ac =，又a c >，∴()2222164822a c a c a c a c -++=≥=--，当且仅当24a c -=时“=”成立.。