新北师大版初中九年级数学上册4.2 平行线分线段成比例2公开课优质课教学设计

4.2 平行线分线段成比例1.了解平行线分线段成比例的基本事实及其推论；（重点）2.会用平行线分线段成比例及其推论解决相关问题.（难点）一、情景导入梯子是我们生活中常见的工具.如图是一个生产过程中不合格的左右不对称的梯子的简图，经测量，AB ＝BC ＝CD ，AA 1∥BB 1∥CC 1∥DD 1，那么A 1B 1和B 1C 1相等吗？二、合作探究探究点一：平行线分线段成比例如图，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC分别交这三条直线于点A ，B ，C ，直线DF 分别交这三条直线于点D ，E ，F ，若AB ＝3，DE ＝72，EF ＝4，求BC 的长.解：∵直线l 1∥l 2∥l 3，且AB ＝3，DE ＝72，EF ＝4，∴根据平行线分线段成比例可得AB BC＝DE EF， 即BC ＝EF DE ·AB ＝4 72×3＝247.方法总结：利用平行线分线段成比例求线段长的方法：先确定图中的平行线，由此联想到线段之间的比例关系，结合待求线段和已知线段写出一个含有它们的比例关系式，构造出方程，解方程求出待求线段长.如图所示，直线l 1∥l 2∥l 3，下列比例式中成立的是（ ）A.AD DF ＝CE BCB.AD BE ＝BC AFC.CE DF ＝AD BCD.AF DF ＝BE CE解析：由平分线分线段成比例可知AD DF ＝BC CE ，故A 选项不成立；由AD BC ＝AF BE 可知B 选项不成立；由CE DF ＝BC AD 可知C 选项不成立；D 选项成立.故选D.方法总结：应用平行线分线段成比例得到的比例式中，四条线段与两条直线的交点位置无关，关键是线段的对应，可简记为：“上下＝上下，上全＝上全，下全＝下全”或“上上＝下下＝全全”. 探究点二：平行线分线段成比例的推论如图所示，在△ABC 中，点D ，E分别在AB ，AC 边上，DE ∥BC ，若AD ：AB ＝3∶4，AE ＝6，则AC 等于（ ）A.3B.4C.6D.8解析：由DE ∥BC 可得AD AB ＝AE AC，即34＝6AC，∴AC ＝8.故选D. 易错提醒：在由平行线推出成比例线段的比例式时，要注意它们的相互位置关系，比例式不能写错，要把对应的线段写在对应的位置上.如图，在△ABC 的边AB 上取一点D ，在AC 上取一点E ，使得AD ＝AE ，直线DE 和BC 的延长线相交于P ，求证：BPCP ＝BD CE. 解析：本题无法直接证明，分析所要求证的等式中，有BP ：CP ，又含有BD ，故可考虑过点C 作PD 的平行线CF ，便可以构造出BP CP ＝BDDF，此时只需证得CE ＝DF 即可.证明：如图，过点C 作CF ∥PD 交AB 于点F ，则BP CP ＝BD DF ，AD DF ＝AECE.∵AD ＝AE ，∴DF ＝CE ，∴BP CP ＝BD CE. 方法总结：证明四条线段成比例时，如果图形中有平行线，则可以直接应用平行线分线段成比例的基本事实以及推论得到相关比例式.如果图中没有平行线，则需构造辅助线创造平行条件，再应用平行线分线段成比例的基本事实及其推论得到相关比例式.三、板书设计平行线分线段成比例⎩⎪⎨⎪⎧基本事实：两条直线被一组平行线所截， 所得的对应线段成比例推论：平行于三角形一边的直线与其他 两边相交，截得的对应线段成比例通过教学，培养学生的观察、分析、概括能力，了解特殊与一般的辩证关系.再次锻炼类比的数学思想，能把一个复杂的图形分成几个基本图形，通过应用锻炼识图能力和推理论证能力.在探索过程中，积累数学活动的经验，体验探索结论的方法和过程，发展学生的合情推理能力和有条理的说理表达能力.。

4.2 平行线分线段成比例教案教学目标：1.经历平行线分线段成比例基本事实及推论的探索过程，掌握这两个定理.2.会应用定理及推论求线段的长度或证明线段间的关系.教学重、难点：重点：平行线分线段成比例定理及推论的掌握与应用.难点：熟练运用平行线分线段成比例定理及其推论进行计算. 教学过程：一、创设情境，引入新课活动内容：回答下列问题.问题1.线段的比如何计算？问题2.线段AB、CD、EF、GH成比例是什么意思？问题3：教师展示绳子（1）你能快速的将这根绳子分成相等的两根吗？（2）你能快速的将它分成长度比为1:3的两根吗？（3）你能快速的将它分成长度比为2:3的两根吗？处理方式：问题1、2由学生口答完成.（教师注意学生回答问题1时对长度的叙述，回答问题2时四条线段的顺序性是否正确）.问题3由学生自告奋勇动手分一分试一试，一学生操作，其他同学进行判断.设计意图：本环节通过对线段的比及成比例线段的复习，为这节课的探究活动做铺垫.设计问题3，学生对前两种分法都很轻松，到了第3中将会产生疑问或分的不准确，提出这个问题是为了让学生感受到数学对解决生活中问题的必要性.为本节课的学习设下悬念，激发学生的学习兴趣. 二、探究学习，感悟新知 活动一：自主学习 自学指导：1.学习内容：课本82页全部内容.2.学习时间：约5分钟.3.学法指导：（1）小组内同学分工计算下列各组线段的比1223A A A A= ，1223B B B B = ，1213A A A A= ，1213B B B B = ， 2313A A A A = ，2313B B B B = .（2）观察各组线段的比，你们发现了成比例线段吗？ （3）若将l 2平移后，成比例线段改变了吗？ （4）撤掉方格纸，成比例线段会改变吗？（5）由此得到了结论：两条 被 所截，所得的 成比例 .处理方式：生分组自学，分工计算，完成导学案上的学法指导.师巡视参与小组学习，随时点拨计算中出现的问题，提示学生记住这个定理.设计意图：本环节为了适应学生自学，将课本上的问题更细化，让学生知道怎么学，学什么，从而一步一步按照指导得出定理. 活动二、自学检测1.展示导学案上的学法指导部分答案.2.如图：∵ l 1 ∥l 2 ∥ l 3 ∴ AB BC = ， ABAC = ，ABDE. = ， = .等 处理方式：将一位同学导学案上的学法指导部分的答案借助实物投影投出，全体同学进行批改订正，形成结论.第二问由学生将比例写在黑板上.多名同学相互补充，感受对应线段成比例的不同表示方法. 活动三、合作探究（一）1.你认为定理中的关键词是 ？2.在找出“对应线段”时你有什么好方法与同学们分享？ 处理方式：师将平行和对应线段画出来，以示本定理的关键.同时强调这是使用本定理的条件和书写比例时必须注意的问题.各小组各抒己见，说出找对应线段的技巧及比例的书写技巧l 1 l 2l 3l 5 l 4 CB F ED A设计意图：本环节主要是深化学生对平行线分线段成比例定理的理解，预防学生在解决问题时只写比例式而忽略了平行线这个条件，再者让学生明确无论是上下比还是左右比，都必须对应. 跟踪训练（一）1.如图，已知两条直线被三条平行线所截，截得的线段长度如图所示，则x= .2.如图，直线l 1 ∥l 2 ∥ l 3 ，另两条直线分别交l 1 ，l 2 ， l 3于点A ，B ，C 及点D ，E ，F ，且AB=3，DE=4，EF=2，则BC= .【版权所有：第1题 第2题21·cn ·jy处理方式：学生独立完成这两个习题，小组内的同学相互批改. 设计意图：借助这两个小题检测学生对定理的理解，发现定理只对“平行”和“对应”有限制，而与被截直线的位置无关.同时借助于比例式，求线段的长. 活动四、合作探究（二）7 x4 3 CBFEDAl 1 l 2l 3提出问题：1.将直线l 5向左平移，使其与l 4相交于A 点（如左图），则上述比例还成立吗？2. 将直线l 5继续向左平移，使其与l 4相交于B 点（如右图），则上述比例还成立吗？3.平行线分线段成比例定理与两直线的位置有关系吗？4.（擦掉多余直线），观察这两个图形，上述比例式还成立吗？你发现了什么？5.推论： 三角形一边的直线与其它两边相交， .6. ∵ ，∴ .处理方式：学生分组讨论，完成自学提出的问题.师参与学生的讨论，并给出适当的点拨.学生在讨论时指出对应线段，各小组l 5 A BCE Fl 1 l 2l 3l 4l 5 AB CD Fl 1 l 2l 3l 4l 5 A BC EFl 1l 2l 3l 4l 5AB CD Fl 1 l 2l 3l 4派代表将符号语言板书在黑板上. 三、例题解析，应用新知例：如图，在△ABC 中，E 、F 分别是AB 和AC 上的点，且EF ∥BC.（1）如果AE=7，EB=5，FC=4，那么AF 的长是多少？（2）如果AB=10，AE=6，AF=5，那么FC 的长是多少？处理方式：生思考2分钟，然后试着写出求解过程，生主动去黑板上板演，小组内的其他同学主动订正，最后师进行评价，给出规范的板书.设计意图：通过本题的解答，让学生感悟到平行线分线段成比例定理的推论的应用，选择恰当的比例式，并以此为例，给出规范书写.跟踪训练（二）如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 和AC 上的点，且DE ∥BC.（1）如果AD=15，AB=40，AC=28，那么AE= .（2）如果AB=5，AD=3，AC=4，那么EC= . 处理方式：两生板演，生分组训练，互相批改.教师及时表扬鼓励.ABC EF ABC DE设计意图：学生已经对例题学习完毕，是否会根据条件和结论写出合适的比例对学生来说是个挑战，教师也借这两题看看学生对定理的灵活应用情况，及时获得反馈信息，解决学生学习中的问题.四、拓展应用，答疑解惑提出问题：现在你能解决将绳子分为2:3两根这个问题吗？处理方式：生分组讨论，师巡视，参与小组讨论，倾听他们的见解，并给与启发性点拨，搜集不同小组的不同答案，待会进行展示.设计意图：解决课堂开始时的疑问，感受数学在生活中的应用，并会设计n等分线段的方法.五、回顾反思，提炼升华“学而不思则罔”，本节课你有哪些收获和疑问，谈谈你的看法. 处理方式：鼓励学生大胆回答畅谈，说出自己所学到的知识及解题技巧和问题解决中的突破口，让全体同学在知识上，方法上，技巧上均有收获.设计意图：通过学生总结收获，对本节课的学习内容强化记忆，在解题中形成技巧.六、达标检测，反馈提高A组：如图，已知直线l1∥l2∥l3，（1）在图（1）中，AB=5，BC=7，EF=4，那么DE= . （2）在图（2）中，DE=6，AB=5，EF=7，那么AC= .（1） （2）考查知识点：平行线分线段成比例定理的基本应用2.如图，已知DE ∥BC ，如果AB=10，AD=6，AE=5，那么EC= .考查知识点：平行线分线段成比例定理的推论 B 组：如图，已知在△ABC 中，点E 、D 、F 分别在AB 、AC 和BC 上，DE∥BC，DF∥AB，试判断成AE BF EBFC立吗？考查知识点：平行线分线段成比例定理的应用及转化处理方式：学生独立完成，然后教师将一生的答案投出来，同学们积极发表见解，进行批改订正.设计意图：通过这三个小题，检测学生对本节课的学习情况，及时反馈，查缺补漏. 板书设计l 1 l 2ll l CB FE D A l 4 E l 5A B CD Fl 1 l 2 l 3ABC DE FABCD E§4.2平行线分线段成比例跟踪训练（二）学生展示区定理：推论推导区：推论：例题跟踪训练（二）学生展示区。

第四章图形的相似2平行线分线段成比例（续表）冋顾回答下列问题：（1）什么是成比例线段？（2）如图4-2-9,你能不通过测量快速将一根绳子分成两部分，使得这两部分的比是2:3吗？图4一2—9第（1）小题主要复习成比例线段的内容，为学生能够更好地探究平行线分线段成比例基本事实做铺垫.第（2）小题活动—b: 创设情境导入新课【课堂引入】如图4—2—10,—组等距离的平行线截直线AC所得到的线段相等，那么在直线"C Z上所截得的线段有什么关系呢？图4一2—10运用印有等距离平行线的作业纸和刻度尺做让学生通过试验来体会——如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么这组平行线在r βi∙ττ∙rπ∙ijr -r∏D7-r∙rτττ∙rττ-r^∣:illll ⅜K 卜題IlIlIlIllqIIr><IlIlIIBaH--*-*--¾y∣-H-+-K-I11I ∣∖^I>2fI」F 」■ 」■」∙L∙JJ∙∙l.L∙LJ■丄・LΛ%4^x.uj 4IIllllIIalllII^tnI>IIII>IIIIII>I图4一2—12(3)在平面上任意作三条平行线，用它们截两条直线，截得的线段成比例吗？ 【探究2】(1)如何理解“对应线段”？(2) 平行线分线段成比例基本事实的符号语言如何表示？(3) “对应线段”成比例都有哪些表达形式？ ①②图4一2—13 【探究3】如果把图4一2—14①中l ɪ,L 两条直线相交，交点A 刚好落到I 上，如图②，其中有哪些成比例线段？依据是什 图4—2—14 活动三：开放训练体现应用【应用举例】 如图4一2—15所示，在厶ABCψ,E,F 分别是AB 和AC 上的点，且EF//BC ・ (1) 如果ΛE=7,EB=5,FC=4,那么AF 的长是多少?(2) 如果AB=10,AE=6,AF=5,那么FC 的长是多少？ 图4—2—15 ［变式题1］如图4—2—16所示，已知菱形BEDF 内接于∆ABC,点E,D,F 分别在AB,AC和BC 上，若AB=15,BC=12,求菱形BEDF 的边长.其是本章前两节的探究也是通过表格中的多边形来完成的，所以学生有种熟悉感，并不感到困难.让他们在白主探索的过程中真正理解和掌握基本的数学知识、思想和方法，同时获得广泛的数学活动经验. 2.让学生在探究得出结论的基础上，对平行线分线段成比例基本事实有进一步的理解，并掌握基本事实的符号语言，进一步发展推理能力. 让学生独立完成，有利于把握学生对本节课的掌握情况.同时教师面批，有利于查缺补漏，因材施教.最后留给学生反思，将错题真正改正，落实到实处.让学生最大程度地获得新知.（续表）。

第四章图形的相似4.2 平行线分线段成比例1.了解平行线分线段成比例的基本事实,会用平行线分线段成比例定理解决实际问题.2.掌握推理证明的方法,发展演绎推理能力.掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论.平行线分线段成比例基本事实的灵活运用.回答下列问题.问题1:线段的比如何计算?问题2:线段AB,CD,EF,GH成比例是什么意思?问题3:教师展示绳子.(1)你能快速地将这根绳子分成相等的两根吗?(2)你能快速地将它分成长度比为1∶3的两根吗?(3)你能快速地将它分成长度比为2∶3的两根吗?这节课我们就来学习如何将绳子分成规定的比.·做一做在图4-2-1中,小方格的边长均为1,直线l1∥l2∥l3,分别交直线m,n于格点A1,A2,A3,B1,B2,B3.(1)计算A1A2A2A3与B1B2B2B3,A1A2A1A3与B1B2B1B3,A2A3A1A3与B2B3B1B3的值,你有什么发现?(2)将l2向下平移到如图4-2-2的位置,直线m,n与l2的交点分别为A2,B2,你在问题(1)中发现的结论还成立吗?如果将l2平移到其他位置呢?(3)在平面上任意作三条平行线,用它们截两条直线,截得的线段成比例吗?(2)成立.无论将l2平移到什么位置,上述结论都成立.(3)成比例.平行线分线段成比例的基本事实:两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.·做一做如图4-2-3,直线a∥b∥c,分别交直线m,n于点A1,A2,A3,B1,B2,B3,过点A1作直线n的平行线,分别交直线b,c于点C2,C3(如图4-2-4).图4-2-4中有哪些成比例线段?平行线分线段成比例的推论:平行于三角形一边的直线与其他两边相交,截得的对应线段成比例.·例题讲解例1如图4-2-5,在△ABC中,E,F分别是AB和AC上的点,且EF∥BC.(1)如果AE=7,EB=5,FC=4,那么AF的长是多少?(2)如果AB=10,AE=6,AF=5,那么FC的长是多少?解:(1)∵EF∥BC,∴AEEB=AFFC.∵AE=7,EB=5,FC=4,∴AF=AE·FCEB=7×45=285.(2)∵EF∥BC,∴AEAB=AFAC.∵AB=10,AE=6,AF=5,∴AC=AB·AFAE=10×56=253.∴FC=AC-AF=253-5=103.【巩固练习】教材随堂练习如图4-2-6,如果D,E,F分别在OA,OB,OC上,且DF∥AC,EF∥BC.求证:OD∶OA=OE∶OB.(学生总结,老师点评)本节课要掌握:1.平行线分线段成比例的基本事实:两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.(关键要能熟练地找出对应线段)2.平行线分线段成比例的推论:平行于三角形一边的直线与其他两边相交,截得的对应线段成比例.课本习题4.3。

4.2 平行线分线段成比例一、教学目标1．知识目标：①了解平行线分线段成比例定理②会用平行线分线段成比例定理解决实际问题2．能力目标：掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力二、教学过程分析1.复习提问（1）什么叫比例线段？答：四条线段a、b、c、d中，如果a：b=c：d，那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例的线段，简称比例线段.（2）比例的基本性质？答：如果a：b =c：d，那么ad =bc.如果ad =bc，那么a：b =c：d.如果a：b =c：d，那么(a-b)：b =(c-d)：d; (a+b)：b =(c+d)：d.2.引入新课做一做在图4-6中，小方格的边长均为1，直线l1∥l2∥l3，分别交直线m，n与格点A1，A2，A3，B1，B2，B3.图4-6（1）计算 的值，你有什么发现？（2）将2l 向下平移到如图3-7的位置，直线m,n 与2l 的交点分别为21,B A 你在问题（1）中发现结论还成立吗？如果将2l 平移到其它位置呢？（3）在平面上任意作三条平行线，用它们截两条直线，截得的线段成比例吗？3.分组讨论，得出结论平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.4.想一想（一）如果把图1中l 1 , l 2两条直线相交，交点A 刚落到l 3上，如图2所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？（二）如果把图1中l 1 , l 2两条直线相交，交点A 刚落到l 4上，如图2（2）所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？12122323B B B B A A A A 与得出结论：（推论）平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，截得的对应线段成比例.5. 例题学习例1如图，在△ABC中，E，F分别是AB和AC上的点，且EF∥BC。

（1）如果AE=7 ，EB=5，FC=4.那么AF的长是多少？（2）如果AB=10 ，AE=6，A F=5.那么FC的长是多少？例2 如图所示，如果D，E，F分别在OA，OB，OC上，且DF∥AC，EF∥BC．求证：OD∶OA＝OE∶OB6.课时小结平行线分线段成比例定理：(1)两直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例（关键要能熟练地找出对应线段）(2)平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，截得的对应线段成比例.7.课后作业习题4.3 知识技能第1，2题。

4.2 平行线分线段成比例1.了解平行线分线段成比例的基本事实及其推论；（重点）2.会用平行线分线段成比例及其推论解决相关问题.（难点）一、情景导入梯子是我们生活中常见的工具.如图是一个生产过程中不合格的左右不对称的梯子的简图，经测量，AB ＝BC ＝CD ，AA 1∥BB 1∥CC 1∥DD 1，那么A 1B 1和B 1C 1相等吗？二、合作探究探究点一：平行线分线段成比例如图，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC分别交这三条直线于点A ，B ，C ，直线DF 分别交这三条直线于点D ，E ，F ，若AB ＝3，DE ＝72，EF ＝4，求BC 的长.解：∵直线l 1∥l 2∥l 3，且AB ＝3，DE ＝72，EF ＝4，∴根据平行线分线段成比例可得AB BC＝DE EF， 即BC ＝EF DE ·AB ＝4 72 ×3＝247.方法总结：利用平行线分线段成比例求线段长的方法：先确定图中的平行线，由此联想到线段之间的比例关系，结合待求线段和已知线段写出一个含有它们的比例关系式，构造出方程，解方程求出待求线段长.如图所示，直线l 1∥l 2∥l 3，下列比例式中成立的是（ ）A.AD DF ＝CE BCB.AD BE ＝BC AFC.CE DF ＝AD BCD.AF DF ＝BE CE解析：由平分线分线段成比例可知AD DF ＝BC CE ，故A 选项不成立；由AD BC ＝AF BE可知B 选项不成立；由CE DF ＝BCAD 可知C 选项不成立；D 选项成立.故选D.方法总结：应用平行线分线段成比例得到的比例式中，四条线段与两条直线的交点位置无关，关键是线段的对应，可简记为：“上下＝上下，上全＝上全，下全＝下全”或“上上＝下下＝全全”. 探究点二：平行线分线段成比例的推论如图所示，在△ABC 中，点D ，E分别在AB ，AC 边上，DE ∥BC ，若AD ：AB ＝3∶4，AE ＝6，则AC 等于（ ）A.3B.4C.6D.8解析：由DE ∥BC 可得AD AB ＝AEAC，即34＝6AC，∴AC ＝8.故选D. 易错提醒：在由平行线推出成比例线段的比例式时，要注意它们的相互位置关系，比例式不能写错，要把对应的线段写在对应的位置上.如图，在△ABC 的边AB 上取一点D ，在AC 上取一点E ，使得AD ＝AE ，直线DE 和BC 的延长线相交于P ，求证：BPCP ＝BD CE. 解析：本题无法直接证明，分析所要求证的等式中，有BP ：CP ，又含有BD ，故可考虑过点C 作PD 的平行线CF ，便可以构造出BP CP ＝BDDF，此时只需证得CE ＝DF 即可.证明：如图，过点C 作CF ∥PD 交AB 于点F ，则BP CP ＝BD DF ，AD DF ＝AECE.∵AD ＝AE ，∴DF ＝CE ，∴BP CP ＝BDCE .方法总结：证明四条线段成比例时，如果图形中有平行线，则可以直接应用平行线分线段成比例的基本事实以及推论得到相关比例式.如果图中没有平行线，则需构造辅助线创造平行条件，再应用平行线分线段成比例的基本事实及其推论得到相关比例式.三、板书设计平行线分线段成比例⎩⎪⎨⎪⎧基本事实：两条直线被一组平行线所截， 所得的对应线段成比例推论：平行于三角形一边的直线与其他 两边相交，截得的对应线段成比例通过教学，培养学生的观察、分析、概括能力，了解特殊与一般的辩证关系.再次锻炼类比的数学思想，能把一个复杂的图形分成几个基本图形，通过应用锻炼识图能力和推理论证能力.在探索过程中，积累数学活动的经验，体验探索结论的方法和过程，发展学生的合情推理能力和有条理的说理表达能力.。

第四章图形的相似2．平行线分线段成比例一、学生知识状况分析学生在本章前两课时的学习中，通过对相似图形的直观感知，体会到可以用对应线段长度的比来描述两个形状相同的平面图形的大小关系。

从而认识了线段的比，成比例线段。

通过对方格纸中成比例线段的探究，了解了合比性质与等比性质，并在探究活动中积累了一定的合作交流的经验，培养了提出问题与解决问题的能力。

同时学生通过对合比性质与等比性质的演绎证明，也进一步发展了逻辑推理能力。

二、教学任务分析本节课依旧采用前两节在方格纸中探究的方式，引导学生得出平行线分线段成比例及其推论。

平行线分线段成比例定理是研究相似形的最重要和最基本的理论，是《课程标准》图形的性质及其证明中列出的九个基本事实之一。

在知识技能方面，要求学生理解并掌握平行线分线段成比例定理及其推论，并会灵活应用。

学生经历运用平行线分线段成比例及其推论解决问题的过程，在观察、计算、讨论、推理等活动获取知识。

让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”的数学思想，并体会数形结合和特殊到一般的思想方法。

进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力；进一步体会数学与现实生活的紧密联系。

教学目标：（一）知识目标理解并掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论，并会灵活应用。

（二）能力目标通过应用，培养识图能力和推理论证能力。

（三）情感与价值观目标（1）、培养学生积极的思考、动手、观察的能力，使学生感悟几何知识在生活中的价值。

（2）、在进行探索的活动过程中发展学生的探索发现归纳意识并养成合作交流的习惯。

教学重点：平行线分线段成比例定理和推论及其应用。

教学难点：平行线分线段成比例定理及推论的灵活应用，平行线分线段成比例定理的变式。

三、教学过程分析本节课设计了五个教学环节：第一环节：复习设疑，引入新课；第二环节：探索发现平行线分线段成比例定理及其推论；第三环节：平行线分线段成比例定理及其推论的简单应用；第四环节：课堂小结；第五环节：布置作业．第一环节：复习设疑，引入新课内容：教师提问：（1）什么是成比例线段？（2）你能不通过测量快速将一根绳子分成两部分，使得这两部分的比是2:3？目的：（1）复习成比例线段的内容，回顾上节课通过方格纸探究成比例线段性质的过程。

4.2 平行线分线段成比例教学设计一、学生知识状况分析学生在本章学习了成比例线段后，认识了线段的比，成比例线段. 通过对方格纸中成比例线段的探究，了解了平行线分线段成比例的基本事实及其推论，并在探究平行线分线段成比例的基本事实及其推论活动中积累了一定的合作交流的经验，培养了提出问题与解决问题的能力. 同时学生通过验证，也进一步发展了类比的数学思想能力.二、教材分析本节课采用在方格纸中探究的方式，引导学生得出平行线分线段成比例及其推论. 平行线分线段成比例定理是研究相似形的最重要和最基本的理论，是《课程标准》图形的性质证明中列出的九个基本事实之一. 在知识技能方面，要求学生理解并掌握平行线分线段成比例定理及其推论，并会灵活应用. 学生经历运用平行线分线段成比例及其推论解决问题的过程，在观察、计算、讨论、推理等活动获取知识.让学生经历“观察--猜想--归纳--验证”的数学思想，并体会数形结合和特殊到一般的思想方法. 进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力；进步体会数学与现实生活的紧密联系.教学目标：1.理解平行线分线段成比例的基本事实及其推论.2.熟悉平行线分线段成比例的基本事实的应用.3.通过观察、计算、讨论、推理等数学活动，体会从特殊到一般的思想方法.教学重点与难点：重点：理解平行线分线段成比例的基本事实及其推论.难点：成比例线段中对应线段的确认.课前准备：多媒体课件，线绳，三角板.教学过程：一、情境引入活动内容：教师拿出一根绳子，提出问题.这里有一根绳子，不通过测量，你能否快速地将这根绳子分成两部分，并且使这两部分的比是1：1吗？如果是2：3呢？处理方式：学生畅所欲言，发表自己的看法，对于合理的作法教师要给予肯定.最后教师给出提示：如果是1：1，对折就可以得到，如果是2：3的话，对折这个方法就实现不了，选用什么方法呢，引导：只要一组平行线就可以把绳子分成2：3的两部分. 找两个学生拿着线绳到台上展示一下，寻找2：3的分界点在哪儿，然后多举几个例子，如1：4的分界点在哪儿，然后4：1呢？3：2呢？让学生多试几次，总结方法.设计意图：利用学生感兴趣的生活问题引入新课，可以提高学生的学习兴趣，利用平行线分绳子也和本节课的内容很贴切，让学生在动手操作中展开本节课的学习.二、探究新知活动内容1：（多媒体出示）在图1中，小方格的边长均为1，直线l 1∥l 2∥l 3分别交直线m ，n 于点A 1，A 2，A 3，B 1，B 2，B 3，问题1：计算232312121212232313131313,,A A B B A A B B A A B B A A B B A A B B A A B B 与与与的值，你有什么发现？处理方式：学生以小组为单位，解决上述问题，教师收集各个小组得到的结论.然后师生共同总结得出：上述几组比值分别相等. 所以在这个图形中我们得到了三组成比例线段. 设计意图：这两个问题涉及的计算较多，计算量较大，以小组的方式展开合作可以分解计算任务，让小组中每名同学都有事情可做，经过合作、交流、探索得到结论. 同时结合上节课的内容发现上图中的两条直线被截出三组成比例线段.活动内容2：如果改变平行线的位置，上面活动内容1的问题2得到的结论还成立吗？（多媒体出示）问题1：将l 2向下平移到如图2的位置，直线m ，n 与l 2的交点分别为A 2，B 2，活动内容1的问题2得到的结论还成立吗？请你试着算一算，如果将12平移到其他位置呢？问题2：如果没有方格纸做背景，在平面上任意作三条平行线，用它们截两条直线，截得的线段成比例吗？处理方式：以小组为单位，进一步验证活动内容1的问题1提到的线段中是否有成比例线段，并通过结论猜想改变其他两条平行线的位置结论是否还成立.如果没有方格纸的辅助，进一步归纳出平行线分线段成比例这个基本事实.设计意图：利用方格纸的辅助，学生可以通过计算来发现成比例线段，如果在平面内用三条平行线去截两条直线，结论是否还成立是学生通过猜想归纳判断的.这里体现了数学中由特殊到一般的归纳思想.得出结论：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.3,a b c 几何语言：如图，∥∥,,.AB DE AB DE BC EF BC EF AC DF AC DF∴=== =上上下下 =上上全全 =下下全全处理方式：平行线分线段成比例是一个定理，由于初中阶段无法证明，所以这里作为一个基本事实，无须证明，课堂上教师可以向学生讲清楚. 学生需要掌握的还是几何语言，为了便于学生理解，可以用 “上、下、全” 等文字来替代.设计意图：平行线分线段成比例的基本事实，是研究相似形最重要、最基本的工具. 在归纳出结论后，主要还是让学生理解图形和几何语言，通过 “上、下、全” 这些便于理解的文字帮助学生掌握三组常用的成比例线段，为下面的深入探究做铺垫.巩固练习1已知两条直线被三条平行线所截，截得的线段长度如图4所示，你能求出x 的值吗？参考答案：由已知条件，得347x =，所以214x =. 设计意图：本题是平行线分线段成比例的基本事实的直接应用，目的是让学生通过图形找到适当的成比例线段，并掌握书写的基本步骤.三、深入探究活动内容1：如果改变被截直线的位置，这些成比例线段还成立吗？（多媒体出示）如图5①，直线a ∥b ∥c ，分别交直线m ，n 于点A 1，A 2，A 3；B 1，B 2，B 3过点A 1作直线n 的平行线，与直线b ，c 分别交于点C 2，C 3（如图4-2-15②），图4-2-15②中有哪些成比例线段？处理方式：学生以小组为单位合作交流，教师选择部分小组代表展示小组合作交流的成果，最后师生共同归纳得到结论.活动内容2：图5②中的成比例线段有：232312121212232313131313,,.A A C C A A AC A A AC A A C C A A AC A A AC === 问题1：上面三组成比例线段你是如何得到的？问题2：这些成比例线段来自什么图形？如果把这个图形单独拿出来，这些成比例线段还成立吗？处理方式：让学生回答问题1，师生共同总结. 利用图5②中出现的平行四边形，替换图5①中的成比例线段就可以得到上面的结论. 问题2可以让学生大胆猜想，将△A 1A 3C 3单独拿出来，这些成比例线段依然成立.得出结论：推论 平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，截得的对应线段成比例.6,DE BC 几何语言：如图，∥ ,,.AD AE AD AE BD CE BD CE AB AC AB AC∴====上上下下 =上上全全 =下下全全设计意图：通过作平行线构造三角形，将平行线分线段成比例的基本事实特殊化，得到了一个推论，这个推论是后面证明相似三角形判定定理的基础，这个图形在以后学习相似三角形时比较常用，所以需要学生熟记图形和结论，这里采用了和上面一样的简便记法，是为了让学生轻松掌握这些成比例线段.四、例题解析例 如图7，在△ABC 中，E ，F 分别是AB 和AC 上的点，且EF ∥BC .（1）如果AE =7，EB =5，FC =4，那么AF 的长是多少？（2）如果AB =10，AE =6，AF =5，那么FC 的长是多少？(1).7,5,47428.55(2)EF ,.10,6,5,10525,6325105.33AE AF EF BC EB FCAE EB FC AE FC AF EB AE AF BC AB ACAB AE AF AB AF AC AE FC AC AF ∴====⋅⨯∴===∴====⋅⨯∴===∴=-=-=解：∥，，∥ 处理方式：学生分析要想求出上面两个题中线段的长，需要选用什么类型的成比例线段，然后由教师板书解题过程，学生通过观察教师的板书，掌握此类题目解题的基本步骤.设计意图：本例是平行线分线段成比例基本事实的推论的直接应用，一方面是为了巩固对推论的理解，另一方面是为后面证明相似三角形的判定定理做铺垫. 解题的关键是选好适当的成比例线段.例题改编如图，在△ABC 中，E 、F 分别是AB 和AC 上的点，且EF ∥BC ，FD ∥AB , ()()2,12=20,3AE BD BC cm BD BE BC=求：；若求的长.处理方式：让4名学生上台板书，完成后集体讲解，规范步骤，纠正错误.设计意图：这道练习题与例题的类型相似，是想让全体学生掌握利用推论求线段长度的基本题目类型. 通过让更多的学生板书可以暴露一些学生在书写上的问题，然后共同纠正，力求达到全体学生都能学会的目的.五、回顾反思活动内容1：通过这节课的学习，你有哪些收获？有何感想？学会了哪些方法？先想一想，再分享给大家.学生畅谈自己的收获，教师给予总结指导.六、达标检测如图4-2-19，△ABC中，DE∥BC，AD=5，BD=10，AE=3，则CE的长为（）A.9B.6C.3D.42.如图4-2-21，已知在△ABC中，D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DE ∥BC，EF∥AB，且AD:BD=3:5，那么CF:BC等于（）A.5:8B.3:8C.3:5D.2:53.如图4-2-22，两条直线被三条平行线所截.（1）在图①中，AB=5，BC=7，EF=4，求DE的长；（2）在图②中，DE=6，EF=7，AB=5，求AC的长.处理方式：题目比较基础，学生需要在课堂上独立完成，教师批改部分学生的作业，通过批改发现问题，纠正错误. 设计意图：当堂检测及时获知学生对所学知识的掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高.分层次设计题目也是为了因材施教，让基础较好的学生可以提高解题能力.七、布置作业课本P84习题4.3中的T1、T2、T3、T4.板书设计。

第四章图形的相似4.2 平行线分线段成比例一、教学目标1.探索并掌握基本事实“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”及其推论.2.会用平行线分线段成比例的事实和推论解决相关的计算和证明问题.3.进一步体会由特殊到一般的归纳推理的思想和方法.4.培养学生积极的思考、动手、观察的能力，使学生感悟几何知识在生活中的价值.二、教学重难点重点：理解并掌握基本事实“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”及其推论.难点：学会用平行线分线段成比例的事实和推论解决相关的计算和证明问题.三、教学用具电脑、多媒体、课件、教学用具等.四、教学过程设计【情景引入】教师活动：展示常见的梯子图片，提出几何问题：如图是一架梯子的示意图，由生活常识可以知道AD，BE，CF互相平行，若AB=BC，你能猜想出什么结果呢？预设答案：DE=EF.教师活动：进一步说明这是一个常识性问题，肯定同学们的回答正确，进一步提出问题，如何对这一问题进行几何证明，引入本节课内【合作探究】教师活动：提出平行线分线段有关问题，让学生思考并通过计算完成下面几个题目：在下图中，小方格的边长均为1，直线l 1∥l 2∥l 3，分别交直线m ，n 于格点A 1， A 2，A 3，B 1，B 2，B 3.问题（1）：计算1223A A A A 与1223B B B B ，1213A AA A 与1213B B B B ，23231313A A B B A A B B 与的值，你有什么发现？教师活动：引导学生用勾股定理计算各条线段的长度再求比值.计算步骤如下： 先计算线段的长：222212*********A A A A =+==+=，， 222212231254845B B B B =+==+=，，1313525 5.A AB B ==，再计算比值：121223232151444245A A B B ,,A A B B ====121213132151555255A A B B ,,A A B B ====23231313424454555255A A B B ,.A A B B ====你发现了什么？232312121212232313131313A AB B A A B B A A B B ,,.A A B B A A B B A A B B === 问题（2）：将l 2向下平移到如图所示的位置，直线m ，n 与l 2的交点分别为A 2，B 2，你在问题（1）中发现的结论还成立吗？如果将l 2平移到其他位置呢？预设答案：同样方法先计算各线段的长，12231332225 2.A A A A A A ===，， 12231335255 5.B B B B B B ===，，经计算232312121212232313131313A AB B A A B B A A B B ,,.A A B B A A B B A A B B ===第（1）小问结论仍然成立.问题（3）：在平面上任意作三条平行线，用它们截两条直线，截得的线段成比例吗？教师活动：播放平行线位置变化时，截取线段长度的变化及对应比值变化情况的动画.指导学生注意观察对应线段的比值是否相等.预设答案：得出结论：截得的对应线段成比例.【归纳】教师活动：对上面三个题目内容进行抽象总结，归纳出平行线分线段成比例定理的内容.平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.符号语言：当l 1∥l 2∥l 3，则有： ABDE BC EF AB DEAC DF BC EF.AC DF AB BC DEEF，， 可以对应记忆为.上上上上下下左左，，下下全全全全右右【拓展】教师活动：讲解说明定理的内容，强调定理涉及的图形情况有多种，展示适用的图形情况：定理适用的几种基本图形【做一做】如图1，直线a ∥b ∥c ，分别交直线m ，n 于 A 1，A 2，A 3，B 1，B 2，B 3 .过点A 1作直线n 的平行线，分别交直线b ，c 于点C 2，C 3(如图2 ），图2中有哪些成比例线段？了教师活动：提示两组平行线所夹的图形为平行四边形，平行四边形的对边对应相等.预设答案：依题意知，四边形A 1B 1B 2C 2、A 1B 1B 3C 3、C 2B 2B 3C 3均为平行四边形.故有：A 1C 2=B 1B 2、A 1C 3=B 1B 3、C 2C 3=B 2B 3，则：232312121212232313131313A A C C A A AC A A AC A A C C A A AC A A AC 、、、 【延伸】教师活动：将图2中的三角形标注出来并抽离，提出问题：将题目中的三角形单独拿出来，它反映了什么样的几何问题？预设答案： 1332233A A C A C A C 中，，则有： 232312121212232313131313A A C C A A AC A A AC A A C C A A AC A A AC 、、、 【归纳】教师活动：对上面三角形中涉及的几何内容进行归纳总结，给出平行线分线段成比例定理的推论.平行线分线段成比例定理推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例.符号语言：△ABC 中，MN ∥BC ，分别交AB 、AC 于点M 、N ，则有：AM AN MB NC AM AN AB AC MB NC.AB AC、、【拓展】教师活动：提出问题：平行于三角形一边的直线截其他两边的延长线，所得的对应线段成比例吗？将问题转换成几何问题展示：如图，已知△ABC ，MN ∥BC ，分别与△ABC 的两边BA 、CA 的延长线于点M 、N ，求证：AM AN.ABAC提示：做出辅助线，使用平行线分线段成比例定理.预设答案：证明：过A 点做MN 的平行线l ，由平行线分线段成比例定理可得：AMAN.ABAC【归纳】教师活动：对上面三角形中涉及的几何内容进行归纳总结，给出平行线分线段成比例定理的推论的第二种形式.平行线分线段成比例定理推论：平行于三角形一边的直线与其他两边的延长线相交，截得的对应线段成比例.符号语言：MN ∥BC ，分别与△ABC 的两边BA 、CA 的延长线于点M 、N ，则有：AM AN.ABAC【典型例题】 教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.例：如图，在△ABC 中，E ，F 分别是AB 和AC 上的点，且EF ∥BC .（1）如果AE =7，EB =5，FC =4.那么AF 的长是多少？（2）如果AB =10，AE =6，AF =5.那么FC 的长是多少？教师分析：依题意知，EF ∥BC ，可以使用平行线分线段成比例定理的推论: （1）已知AE 、EB 、FC ，直接套用比例关系式可求出AF 的长.（2）已知AB 、AE 、AF ，可先求出AC 的长，再由AC 与AF 的差求出FC .展示完整解题过程： 解：（1）∵ EF //BC ， ∴.AE AFEB FC33教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.1.如图，已知l 1∥l 2∥l 3，下列比例式错误的是（ ）A.AC BD CE DF =B.AC BDAE BF= C.CE DF AE BF = D.AE BDBF AC= 2.如图，已知l 1∥l 2∥l 3，下列比例式成立的是（ ）A.AD CE DF BC = B. AD BCBE AF = C.AF BE DF CE = D. CE ADDF BC= 3.如图，BC ∥DE ，AB =15，AC =9，BD = 10，AE =______.4.如图，DE∥BC，AB=6，AC=9，AD=2则EC=______.答案：1.D2.C3.解：因为BC∥DE，由平行线分线段成比例定理的推论，得AB ACBD CE=，又AB=15，AC=9，BD = 10，解得：CE = 6.所以AE =AC+CE =15.4. 解：因为DE∥BC，由平行线分线段成比例定理的推论，得AB ADAC AE=，又AB=6，AC=9，AD=2，解得：AE = 3.所以EC =AC+AE =12.思维导图的形式呈现本节课的主要内容：教科书第84、85页习题4.3第2、3题.。

2023-2024学年北师大版九年级数学上册教案：4.2 平行线分线段成比例一. 教材分析《2023-2024学年北师大版九年级数学上册》第4.2节“平行线分线段成比例”主要介绍了平行线分线段成比例的性质。

通过这一节的学习，学生能够理解并掌握平行线分线段成比例的定理，并能够运用该定理解决实际问题。

本节内容是初中数学的重要知识点，对于学生来说具有较高的难度，需要通过大量的练习来巩固。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了平行线的性质，对于线段的比例也有一定的理解。

但是，将平行线与线段的比例联系起来，对于他们来说还有一定的难度。

因此，在教学过程中，需要通过具体的实例，引导学生理解并掌握平行线分线段成比例的性质。

三. 教学目标1.了解平行线分线段成比例的定理，并能够运用该定理解决实际问题。

2.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

3.提高学生的数学素养，使他们在数学学习上有所突破。

四. 教学重难点1.平行线分线段成比例的定理的理解和运用。

2.如何将平行线与线段的比例联系起来，形成系统性的认识。

五. 教学方法采用问题驱动的教学方法，通过具体的实例，引导学生发现并总结平行线分线段成比例的定理。

同时，结合小组讨论和练习，巩固所学知识，提高学生的实际应用能力。

六. 教学准备1.准备相关的教学材料，如PPT、实例等。

2.准备练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生思考平行线与线段的比例之间的关系。

例如，假设有一块土地，被两条平行线和一条横线分成四个部分，如何求出每个部分的面积比例。

2.呈现（10分钟）通过具体的实例，呈现平行线分线段成比例的定理。

引导学生发现并总结定理的内容。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，运用平行线分线段成比例的定理解决实际问题。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）给出一些练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。

教师选取部分题目进行讲解，分析解题思路。

4.2 平行线分线段成比例教案教学目标：1.经历平行线分线段成比例基本事实及推论的探索过程，掌握这两个定理.2.会应用定理及推论求线段的长度或证明线段间的关系.教学重、难点：重点：平行线分线段成比例定理及推论的掌握与应用.难点：熟练运用平行线分线段成比例定理及其推论进行计算.教学过程：一、创设情境，引入新课活动内容：回答下列问题.问题1.线段的比如何计算？问题2.线段AB、CD、EF、GH成比例是什么意思？问题3：教师展示绳子（1）你能快速的将这根绳子分成相等的两根吗？（2）你能快速的将它分成长度比为1:3的两根吗？（3）你能快速的将它分成长度比为2:3的两根吗？处理方式：问题1、2由学生口答完成.（教师注意学生回答问题1时对长度的叙述，回答问题2时四条线段的顺序性是否正确）.问题3由学生自告奋勇动手分一分试一试，一学生操作，其他同学进行判断.设计意图：本环节通过对线段的比及成比例线段的复习，为这节课的探究活动做铺垫.设计问题3，学生对前两种分法都很轻松，到了第3中将会产生疑问或分的不准确，提出这个问题是为了让学生感受到数学对解决生活中问题的必要性.为本节课的学习设下悬念，激发学生的学习兴趣. 二、探究学习，感悟新知 活动一：自主学习 自学指导：1.学习内容：课本82页全部内容.2.学习时间：约5分钟.3.学法指导：（1）小组内同学分工计算下列各组线段的比1223A A A A= ，1223B B B B = ，1213A A A A= ，1213B B B B = ， 2313A A A A = ，2313B B B B = .（2）观察各组线段的比，你们发现了成比例线段吗？ （3）若将l 2平移后，成比例线段改变了吗？ （4）撤掉方格纸，成比例线段会改变吗？（5）由此得到了结论：两条 被 所截，所得的 成比例 .处理方式：生分组自学，分工计算，完成导学案上的学法指导.师巡视参与小组学习，随时点拨计算中出现的问题，提示学生记住这个定理.设计意图：本环节为了适应学生自学，将课本上的问题更细化，让学生知道怎么学，学什么，从而一步一步按照指导得出定理. 活动二、自学检测1.展示导学案上的学法指导部分答2.如图：∵l1∥l2∥l3∴AB= ，BCAB= ，ACAB.DE= ，= .等处理方式：将一位同学导学案上的学法指导部分的答案借助实物投影投出，全体同学进行批改订正，形成结论.第二问由学生将比例写在黑板上.多名同学相互补充，感受对应线段成比例的不同表示方法.活动三、合作探究（一）1.你认为定理中的关键词是？2.在找出“对应线段”时你有什么好方法与同学们分享？处理方式：师将平行和对应线段画出来，以示本定理的关键.同时强调这是使用本定理的条件和书写比例时必须注意的问题.各小组各抒己见，说出找对应线段的技巧及比例的书写技巧设计意图：本环节主要是深化学生对平行线分线段成比例定理的理解，预防学生在解决问题时只写比例式而忽略了平行线这个条件，再者让学生明确无论是上下比还是左右比，都必须对应.跟踪训练（一）1.如图，已知两条直线被三条平行线所截，截得的线段长度如图所示，则x= .2.如图，直线l1∥l2∥l3，另两条直线分别交l1，l2，l3于点A，B，C及点D，E，F，且. 版第1题第2题21·cn·jy处理方式：学生独立完成这两个习题，小组内的同学相互批改. 设计意图：借助这两个小题检测学生对定理的理解，发现定理只对“平行”和“对应”有限制，而与被截直线的位置无关.同时借助于比例式，求线段的长.活动四、合作探究（二）提出问题：1.将直线l 5向左平移，使其与l 4相交于A 点（如左图），则上述比例还成立吗？2. 将直线l 5继续向左平移，使其与l 4相交于B 点（如右图），则上述比例还成立吗？3.平行线分线段成比例定理与两直线的位置有关系吗？4.（擦掉多余直线），观察这两个图形，上述比例式还成立吗？你发现了什么？5.推论： 三角形一边的直线与其它两边相交， .6. ∵ ，∴ .处理方式：学生分组讨论，完成自学提出的问题.师参与学生的讨论，并给出适当的点拨.学生在讨论时指出对应线段，各小组派代表将符号语言板书在黑板上. 三、例题解析，应用新知例：如图，在△ABC 中，E 、F 分别是AB 和AC 上的点，且EF ∥BC.（1）如果AE=7，EB=5，FC=4，那么AF 的长是多少？（2）如果AB=10，AE=6，AF=5，那么FC 的长是多少？处理方式：生思考2分钟，然后试着写出求解过程，生主动去黑板上板演，小组内的其他同学主动订正，最后师进行评价，给出规范的板书.设计意图：通过本题的解答，让学生感悟到平行线分线段成比例定理的推论的应用，选择恰当的比例式，并以此为例，给出规范书写.跟踪训练（二）如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 和AC 上的点，且DE ∥BC.（1）如果AD=15，AB=40，AC=28，那么AE= .（2）如果AB=5，AD=3，AC=4，那么EC= .处理方式：两生板演，生分组训练，互相批改.教师及时表扬鼓励. 设计意图：学生已经对例题学习完毕，是否会根据条件和结论写出合适的比例对学生来说是个挑战，教师也借这两题看看学生对定理的灵活应用情况，及时获得反馈信息，解决学生学习中的问题.四、拓展应用，答疑解惑提出问题：现在你能解决将绳子分为2:3两根这个问题吗？处理方式：生分组讨论，师巡视，参与小组讨论，倾听他们的见解，并给与启发性点拨，搜集不同小组的不同答案，待会进行展示.设计意图：解决课堂开始时的疑问，感受数学在生活中的应用，并会设计n等分线段的方法.五、回顾反思，提炼升华“学而不思则罔”，本节课你有哪些收获和疑问，谈谈你的看法. 处理方式：鼓励学生大胆回答畅谈，说出自己所学到的知识及解题技巧和问题解决中的突破口，让全体同学在知识上，方法上，技巧上均有收获.设计意图：通过学生总结收获，对本节课的学习内容强化记忆，在解题中形成技巧.六、达标检测，反馈提高A组：如图，已知直线l1∥l2∥l3，（1）在图（1）中，AB=5，BC=7，EF=4，那么DE= . （2）在图（2）中，DE=6，AB=5，EF=7，那么AC= .（1） （2）考查知识点：平行线分线段成比例定理的基本应用2.如图，已知DE ∥BC ，如果AB=10，AD=6，AE=5，那么EC= .考查知识点：平行线分线段成比例定理的推论 B 组：如图，已知在△ABC 中，点E 、D 、F 分别在AB 、AC 和BC试判断成AE BF EBFC立吗？考查知识点：平行线分线段成比例定理的应用及转化处理方式：学生独立完成，然后教师将一生的答案投出来，同学们积极发表见解，进行批改订正.设计意图：通过这三个小题，检测学生对本节课的学习情况，及时反馈，查缺补漏. 板书设计。

4.2 平行线分线段成比例一、教学目标1．知识目标：①了解平行线分线段成比例定理②会用平行线分线段成比例定理解决实际问题2．能力目标：掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力二、教学过程分析1.复习提问（1）什么叫比例线段？答：四条线段a、b、c、d中，如果a：b=c：d，那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例的线段，简称比例线段.（2）比例的基本性质？答：如果a：b =c：d，那么ad =bc.如果ad =bc，那么a：b =c：d.如果a：b =c：d，那么(a-b)：b =(c-d)：d; (a+b)：b =(c+d)：d.2.引入新课做一做在图4-6中，小方格的边长均为1，直线l1∥ l2∥ l3，分别交直线m，n与格点A1，A2，A3，B1，B2，B3.图4-6（1）计算 的值，你有什么发现？（2）将2l 向下平移到如图3-7的位置，直线m,n 与2l 的交点分别为21,B A 你在问题（1）中发现结论还成立吗？如果将2l 平移到其它位置呢？（3）在平面上任意作三条平行线，用它们截两条直线，截得的线段成比例吗？3.分组讨论，得出结论平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.4.想一想（一）如果把图1中l 1 , l 2两条直线相交，交点A 刚落到l 3上，如图2所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？12122323B B B B A A A A 与（二）如果把图1中l1 , l2两条直线相交，交点A刚落到l4上，如图2（2）所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？得出结论：（推论）平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，截得的对应线段成比例.5. 例题学习例1如图，在△ABC中，E，F分别是AB和AC上的点，且EF∥BC。

（1）如果AE=7 ，EB=5，FC=4.那么AF的长是多少？（2）如果AB=10 ，AE=6，A F=5.那么FC的长是多少？例2 如图所示，如果D ，E ，F 分别在OA ，OB ，OC 上，且DF ∥AC ，EF ∥BC ．求证：OD ∶OA ＝OE ∶OB6.课时小结平行线分线段成比例定理：(1)两直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例（关键要能熟练地找出对应线段）(2)平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，截得的对应线段成比例.7.课后作业习题4.3 知识技能第1，2题。

4.2平行线分线段成比例◇教学目标◇【知识与技能】理解掌握平行线分线段成比例定理及其推论.【过程与方法】探索并掌握基本事实‘两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例’及其推论.【情感、态度与价值观】进一步体会由特殊到一般的归纳推理的思想和方法.◇教学重难点◇【教学重点】理解掌握平行线分线段成比例定理及其推论.【教学难点】正确理解平行线分线段成比例定理.◇教学过程◇一、情境导入如图,任意画两条直线l1,l2,再画三条与l1,l2相交的平行线l3,l4,l5,分别度量l3,l4,l5在l1上截得的两条线段AB,BC和在l2上截得的两条线段DE,EF的长度,AB∶BC与DE∶EF相等吗?任意平移l5,再度量AB,BC,DE,EF的长度,AB∶BC与DE∶EF相等吗?二、合作探究探究点1平行线分线段成比例定理典例1如图,直线l1∥l2∥l3,若AB=3,BC=4,则DEDF的值是()A.73B.37C.43D.47[解析]因为l1∥l2∥l3,且AB=3,BC=4,所以DEDF =ABAC=ABAB+BC=37.[答案] B如图,F是▱ABCD的边CD上一点,直线BF交AD的延长线于点E,则下列结论错误的是()A.EDEA =DFABB.DEBC=EFFBC.BCDE =BFBED.BFBE=BCAE[答案] C探究点2平行线分线段成比例定理的推论典例2如图,在△ABC中,点D在边AB上,BD=2AD,DE∥BC交AC于点E,若线段DE=5,则线段BC的长为()A.7.5B.10C.15D.20[解析]∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴ADAB =DEBC.∵BD=2AD,∴ADAB=13.∵DE=5,∴5BC=13,∴BC=15.[答案] C在△ABC中,AB=24,AC=18,D是AC上一点,AD=12,在AB上取一点E,使以A,D,E 三点为顶点的三角形与△ABC相似,则AE的长为()A.16B.14C.16或14D.16或9[答案] D三、板书设计平行线分线段成比例1.平行线分线段成比例定理2.平行线分线段成比例的推论◇教学反思◇通过本节课的学习,学生做到了以下几个方面:首先,探索并掌握基本定理“两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例”及其推论;其次,会应用该性质及其推论进行简单的推理计算并且进一步体会由特殊到一般的归纳推理的思想和方法.。

2 平行线分线段成比例定理【教学目标】知识与技能1．使学生在理解的基础上掌握平行线分线段成比例定理及其推论，并会灵活应用.使学生掌握三角形一边平行线的判定定理.过程与方法通过应用，培养识图能力和推理论证能力.情感、态度与价值观通过定理的教学，进一步培养学生类比的数学思想.【教学重难点】教学重点：是平行线分线段成比例定理和推论及其应用．教学难点：是平行线分线段成比例定理的正确性的说明及推论应用．【导学过程】【创设情景，引入新课】1. 什么是平行线等分线段定理？2.如图（1）中，AD∥BE∥CF,且AB=BC,则的比值是多少？【自主探究】三条距离不相等的平行线截两条直线会有什么结果?？那么32若==EFDE，,BCAB由上面例题我们可以得到：1.平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例说明：（1）画出定理的各种基本图形，对照图形写出相应的结论。

（2）写出其它的对应线段成比例的情况。

对应线段成比例可用下面的语言形象表示：等等。

（3）由下面的定理的基本图形（1）和（2）得出推论2．推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例定理的基本图形和结论：3.例例：如图：在△ABC中E,F分别是AB和CD上的两点且EF//BC, （1）如果AE=7，EB=5，FC=4那么AF的长是多少？（2）如果AB=10,AE=6,AF=5那么BE的长是多少？【当堂训练】（1）已知线段PQ，在PQ上求一点D，使PD：PQ=4：1；（2）已知线段PQ，在PQ上求一点D，使PQ：DQ=4： 1 （4）（3）。

2023-2024学年北师大版九年级数学上册教学设计：4.2 平行线分线段成比例一. 教材分析平行线分线段成比例是北师大版九年级数学上册的教学内容，本节课主要通过探究平行线分线段成比例的定理，让学生理解并掌握平行线分线段成比例的性质及应用。

教材通过丰富的例题和练习，引导学生探究并发现平行线分线段成比例的规律，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了平行线的性质，对图形的变换和推理已经有了初步的认识。

但是，对于平行线分线段成比例的定理，他们可能还比较陌生，需要通过实例和练习来逐步理解和掌握。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知基础，通过引导和激励，激发学生的学习兴趣和积极性。

三. 教学目标1.理解平行线分线段成比例的定理及证明过程。

2.能够运用平行线分线段成比例的定理解决实际问题。

3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.教学重点：平行线分线段成比例的定理及证明过程。

2.教学难点：理解平行线分线段成比例的证明方法。

五. 教学方法1.引导探究法：通过引导学生观察、思考、讨论，让学生自主发现平行线分线段成比例的规律。

2.实例教学法：通过丰富的例题和练习，让学生理解和掌握平行线分线段成比例的定理。

3.问题解决法：引导学生运用平行线分线段成比例的定理解决实际问题，培养学生的应用能力。

六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示平行线分线段成比例的例题和练习。

2.教学素材：准备相关的例题和练习题，用于巩固和拓展学生的知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示实际问题，引导学生思考平行线分线段成比例的现象，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）教师通过课件展示平行线分线段成比例的例题，引导学生观察和分析，让学生自主发现平行线分线段成比例的规律。

3.操练（10分钟）教师给出相关的练习题，让学生独立完成，巩固对平行线分线段成比例的理解。

4.巩固（10分钟）教师通过课件讲解平行线分线段成比例的证明过程，让学生理解和掌握定理。