平行线分线段成比例复习过程

平行线分线段成比例教案
教案：平行线分线段成比例
教学目标：
1. 了解平行线的定义；
2. 掌握利用平行线分线段成比例的方法。

教学准备：
1. 板书：平行线的定义；
2. 构建平行线的示意图；
3. 一些练习题。

教学过程：
一、导入（5分钟）
1. 打开学生的思维，提问：你们知道什么是平行线吗？请举例说明。

2. 引导学生回答，然后板书平行线的定义。

二、讲解（10分钟）
1. 准备一个平行线的示意图，让学生观察图中的平行线，并请他们描
述平行线的性质。

2. 引导学生总结，平行线之间的性质是什么？
3. 说明平行线分线段成比例的方法：如果一条直线与两条平行线相交，那么这条直线所分割的平行线段与这两条平行线的相应线段成比例。

三、练习（25分钟）
1. 学生独立完成练习题。

2. 收作业并进行讲解。

四、拓展（5分钟）
1. 引导学生思考：如何应用平行线分线段成比例的方法解决生活中的
实际问题？
2. 引导学生举例说明，并进行讨论。

五、总结归纳（5分钟）
1. 总结平行线的定义和性质。

2. 总结平行线分线段成比例的方法。

六、作业布置（5分钟）
1. 布置练习题作业，要求学生运用平行线分线段成比例的方法解答问题。

教学反思：
通过上述教学过程，学生可以积极参与讨论，理解了平行线的定义和性质，并掌握了平行线分线段成比例的方法。

希望学生能够通过课后的练习巩固所学内容，并能运用到实际问题中。

一、复习导入什么是相似多边形？对应角分别相等，对应边成比例的两个多边形．二、共同探究，获取新知师：我们知道两条平行线之间的距离是相等的．如果有三条直线l3∥l4∥l5，任意两直线l1和l2与它们相交且截得的线段AB＝BC.我们会得到DE＝EF, 即ABBC＝DEEF＝1. 如果ABBC≠1，那么DEEF和ABBC还相等吗？,引导学生按要求画图，测量操作后，讨论．可以发现，当l3∥l4∥l5时，总有AB BC ＝DE EF ，BC AB ＝EF DE ，BC AC ＝EF DF等． 一般地，我们有平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．师：把平行线分线段成比例的基本事实应用到三角形中，会出现什么样的情况呢？ 可以发现，当l 3∥l 4∥l 5时，总有AB BC ＝DE EF ，BC AB ＝EF DE ，BC AC ＝EF DF等． 一般地，我们有平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．师：把平行线分线段成比例的基本事实应用到三角形中，会出现什么样的情况呢？ 生：思考、画图． 图(1)中把l 4看成平行于△ABC 的边BC 的直线，图(2)中把l 3看成平行于△ABC 的边BC 的直线，可以得到结论： 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例． 二、 例题讲解 例 如图，在△ABC 中，E ，F 分别是AB 和AC 上的点，且EF ∥BC. (1)如果AE ＝7，EB ＝5，FC ＝4，那么AF 的长是多少？(2)如果AB ＝10，AE ＝6，AF ＝5，那么FC 的长是多少？作业：科书P31：1。

冀教版数学九年级上册25.2《平行线分线段成比例》教学设计一. 教材分析冀教版数学九年级上册25.2《平行线分线段成比例》是本册教材中的一个重要内容，主要讲述了利用平行线的性质，判断两条线段是否成比例的方法。

本节课的内容在学生的认知发展过程中，起着承上启下的作用，为后续学习几何中的其他内容奠定基础。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了平行线的性质，线段的性质等基础知识，具备一定的逻辑思维能力。

但在解决实际问题时，还需要进一步引导他们将理论知识与实际问题相结合，提高解决问题的能力。

三. 教学目标1.理解平行线分线段成比例的定义及判定方法。

2.学会运用平行线分线段成比例的性质解决实际问题。

3.培养学生的逻辑思维能力，提高解决问题的能力。

四. 教学重难点1.重点：平行线分线段成比例的定义及判定方法。

2.难点：如何运用平行线分线段成比例的性质解决实际问题。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、小组合作法等教学方法，引导学生主动探究、合作交流，培养学生的动手操作能力和解决问题的能力。

六. 教学准备1.教学PPT：包含教材中的重点知识点、案例分析、练习题等。

2.教学素材：相关案例、图片等。

3.教学工具：黑板、粉笔、直尺等。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用一个实际问题引入本节课的主题，如：“在一条直线上有A、B、C三点，且AB//CD，AE=CF，求证：BE/ED=AF/FD。

”通过引导学生思考、讨论，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）呈现教材中的案例，引导学生分析、总结平行线分线段成比例的定义及判定方法。

如：当两条平行线被一条横穿线段分成的两段线段成比例时，这两条平行线分线段成比例。

3.操练（10分钟）让学生通过实际操作，运用平行线分线段成比例的性质解决一些简单问题。

如：给出一条直线和一些点，让学生判断这些点是否满足平行线分线段成比例的性质。

4.巩固（10分钟）通过一些练习题，巩固学生对平行线分线段成比例的理解。

平行线分线段成比例定理数学教案
标题：平行线分线段成比例定理
一、教学目标：
1. 学生能理解并掌握平行线分线段成比例定理。

2. 学生能运用该定理解决实际问题。

3. 提高学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

二、教学内容：
平行线分线段成比例定理：如果一条直线截两条平行线，所得的对应线段成比例。

三、教学步骤：
1. 导入新课
通过复习以前学过的关于平行线的知识，引导学生进入新课的学习。

2. 讲解新课
(1) 介绍平行线分线段成比例定理，并解释其含义。

(2) 利用教具或多媒体进行演示，帮助学生理解这个定理。

(3) 引导学生自己画图，尝试证明这个定理。

3. 巩固练习
设计一些习题让学生做，以此来检验他们是否真正理解了这个定理。

4. 拓展应用
引导学生将这个定理应用到实际生活中，或者解决其他数学问题。

四、教学反思：
在教学过程中，教师应关注学生的学习状态，适时调整教学策略，以达到最佳的教学效果。

同时，教师也应鼓励学生积极思考，培养他们的创新精神和实践能力。

五、作业布置：
设计一些与本节课内容相关的习题作为家庭作业，以便学生巩固所学知识。

六、教学评估：
通过课堂观察、作业批改以及测试等方式，对学生的学习情况进行评估，及时反馈学习效果，为下一步的教学提供参考。

2平行线分线段成比率【知识与技术】在理解的基础上掌握平行线分线段成比率定理和三角形一边平行线的性质与判断定理，并会灵巧应用 .会作已知线段成已知比的作图题.【过程与方法】经过学习定理再次锻炼类比的数学思想，能把一个稍复杂的图形分红几个基本图形，经过应用锻炼识图能力和推理论证能力.【感情态度】经过定理的学习知道认识事物的一般规律是从特别到一般，并能赏识数学表达式的对称美 .【教课要点】定理的应用 .【教课难点】定理的推导证明 .一、情境导入 ,初步认识1.求出以下各式中的x∶y.（1）3x=5y；（ 2） x=23y；（3）3∶2=y∶ x；（4）3∶x=5∶ y.2.已知 x/y=7/2，求 x/（ x+y）.3.已知 x/2=y/3=z/4 ，求 (x+y+z)/(2x+3y-z).【教课说明】此中第 1 题以学生口答、共同查对的方式进行；第2、3 题以学生各自解答，指定 2 人板演，尔后共同查对板演所述，并追问理论依据的方式进行.二、思虑研究，获得新知..1.在四边形一章里，我们学过平行线均分线段定理，今日，在此基础上，我们来研究平行线均分线段成比率定理.第一复习一下平行线均分线段定理，如图（1）：∵AD ∥ BE∥ CF ，且 AB=BC ，则 DE=EF.问题 1：图（ 1）中若 AD ∥BE∥CF，则AB DE建立吗？BC EF解：因为AB=BC,DE=EF, 故AB DE=1. BC EF问题 2：假如将 CF 向下平移到如图（ 2）的地点，则 AB/BC=DE/EF 仍建立吗？解：若 AD ∥ BE∥ CF，则AB DE=2/3. BC EF【教课说明】学生之间互相沟通，商讨得出结论.问题 3：在一般状况下，如图，若AD ∥BE∥CF，AB DE这个结论吗？BC EF【教课说明】学生能够着手量一量，算一算.得出结论 .【概括总结】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比率.【教课说明】这里不要让学存亡记硬背，要让学生会看图，达到依据图作出正确的比率即可 .2.在如下图的三个图形中，DE∥BC，以上获得的那些比率能否建立？谈谈你的理由.与上图对照，经过增添一组平行线，获得平行线分线段成比率定理的基本图形，进而获得比率线段 .在图（ 1）中，因为平行于BC 的直线 DE 与△ ABC 的两边 AB 、AC 订交与 D、 E，在图（ 2）中，因为平行于BC 的直线 DE 与△ ABC 的两边 AB 、AC 的反向延伸线相交于 D、E，【概括结论】平行于三角形一边的直线与三角形的两边或两边的延伸线订交，所截得的对应线段成比率 .【教课说明】指引学生初步总结出平行线分线段成比率定理及推论，而后师生共同归纳得出定理并板书定理 .三、运用新知，深入理解2.如图，在△ ABC 中，若 BD ∶ DC=CE∶ EA=2 ∶1，AD 和 BE 交于 F，则 AF ∶FD=________.解答：过点 D 作 DH∥BE 交 AC 于 H，∴EH BD =2HC DC∴EH= 2CE 3∵BD ∶ DC=CE∶EA=2 ∶ 1∴AE= 1CE=3EH 2 4∴AF AE 3.FDEH43.如图，在△ ABC 中，D、E 分别在 BC、AC 上，且 DC∶BD=1∶ 3，AE∶ EC=2∶1，AD 与 BE 交于 F，则 AF ∶FD=________.解答：过点 D 作 DH∥BE 交 AC 于 H，∴EH BD =3HC DC∴EH= 3CE 4∵AE ∶ EC=2∶1∴AE=2CE∴AF AE 8.FDEH3【教课说明】经过此题剖析使学生进一步理解定理.四、师生互动，讲堂小结今日我们学习了平行线分线段成比率定理，当两线段的比是 1 时，即为平行线均分线段定理，可见平行线均分线段定理是平行线分线段成比率定理的特别状况，平行线分线段成比率定理是平行线均分线段定理的推行 .1、部署作业：教材“习题 3.3”中第 1、2 题.2、达成创优作业中本课时“课时作业”部分.关于本节课的学习，学生仍是要以研究概括，着手练习为主.既要复习知识点，更重要的是要在复习的过程中不停提升学生用数学解决问题的能力.。

平行线分线段成比例定理（一）教学目标1.理解平行线分线段成比例定理，并能初步应用它进行简单的计算。

2.培养学生类比联想及用运动的思维方式看待问题的能力。

教学重点和难点平行线分线段成比例定理及应用。

教学过程设计一、类比联想、发现定理1.复习平行线等分线段定理的内容及数学表达式，如图5-13。

教学启发学生思考：在图5-13中，∵l1∥l2∥l3∥l4,AB=BC=CD,那么还有类似比例式成立吗？学生可从图中看出，猜想推广应成立。

4.举例进一步验证猜想。

教师可再举出图5-14中，等于其它更一般的实数的两个例子，来进一步验证猜想。

5.（选）用面积法证明猜想对于学生程度较好的班级，教师可用三角形面积公式来严格证明猜想成立，具体做法见设计说明。

6.运用比例的性质得到对应线段成比例的其它结论。

二、用运动的观点深刻认识定理的内容1.让学生归纳以上情况，并用语言准确叙述定理内容，以及画图写出部分表达式。

2.教师强调“对应”的含义，并介绍结合图形形象记忆的方法，如：3.用运动的观点识别定理的各种变式图形中的比例线段。

（见图5-15，不断平移DF）强调由平行线分线段成比例定理所得比例式中，四条线段与平行直线和被截两直线的交点位置无关，尤其是图5-15(a)中的M点，图5-15(c)的N点。

三、应用举例、变式练习例1 已知：如图5-16,l1∥l2∥l3。

（1）AB=3,DE=2,EF=4,求BC;（2）AC=8,DE=2,EF=3,求AB.分析：（1）根据题目中的已知和所求线段，寻找有关的比例式，注意选择合理简捷的方法，如第(2)问，有以下两种解法：四、师生共同小结1.平行线分线段成比例定理的内容、条件（平行线组截两条直线）以及结论中“对应”的含义。

2.定理的形象记忆方法3.定理的作用：在平行条件下，换比——将一条直线上两条线段的比转移成另一直线上另两条线段的比。

4.研究问题的方法：从特殊到一般再到特殊，类比联想。

五、作业课本第218页第2,3题。

平行线分线段成比例【教学目标】1．知识与技能：掌握平行线分线段成比例的基本定理及推论，并能用其解题；2．过程与方法：掌握基本定理的推导过程并能以之解题；3．情感态度和价值观：培养认识事物从一般到特殊的认知过程，培养欣赏数学表达式的对称美。

【教学重难点】1．重点：平行线分线段成比例定理、推论及应用；2．难点：定理的推导证明。

【教学准备】普通教室、多媒体计算机、三角板。

【教学方法】讲练结合法。

【教学过程】活动一：复习旧课成比例线段：1．概念，强调顺序性：(比例式：a ∶b=c ∶d ，等积式：ad=bc) 2．比例的性质：基本性质：合比性质：分比性质：合分比性质：等比性质：活动二：创设情境，引入新课问题1：一组等距离的平行线截得直线m 所得的线段相等，那么在直线n 上所截得的线段a cad bcbd =⇔=a b c dbd++=a b c dbd--=a b c da bc d++=--123123123123123(0)k kk k ka a a a a a a ab b b b b b b b b b b b ++++=====++++≠++++l1l2l3m nFEDCBA 有什么关系呢？即：已知l 1∥l 2∥l 3AB=BC求DE 与EF 的关系（DE=EF ）推导见右图（引导得）结论：一组等距离的平行线在直线m 上所截得的线段相等，那么在直线n 所截得的线段也相等（平行线等分线段定理）。

那如果所截得的线段不等呢？这就是我们今天要研究的内容；平行线分线段成比例定理。

活动三：分析探索，新知学习问题2：已知l 1∥l 2∥l 3∥l 4 AB=BC=CD ，可知EF=FG=GH ，那么去掉其中1条如l 3后有何结论？1．板书：，→2．仿上可得：板书：，→（引导结论）：三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等。

↓平行线分线段成比例定理：两条线段被一组平行线所截，所得的对应线段成比例（简称“平行线分线段成比例”）理解：①一组：3条及以上，通常为3条②对应：上对上，下对下，全对全即：（反比性质亦成立）例1：（强化“对应”的记忆）432112AB BD=12EFFH=12AB EF BD FH ==13AB AD =13EF EH =13AB EF AD EH =====上上上上下下，下下全全全全l1l2l3m nm'C'(B')A'FE DCBA421如图l 1∥l 2∥l 3根据图形写出成比例线段解：例2：（根据基本定理求线段的长）如图，已知直线a ∥b ∥c ，直线m ，n 与直线a ，b ，c 分别交与点A ，C ，E ，B ，D ，F ，AC=4，CE=6，BD=3，求BF 的长。

2023-2024学年北师大版九年级数学上册教案：4.2 平行线分线段成比例一. 教材分析《2023-2024学年北师大版九年级数学上册》第4.2节“平行线分线段成比例”主要介绍了平行线分线段成比例的性质。

通过这一节的学习，学生能够理解并掌握平行线分线段成比例的定理，并能够运用该定理解决实际问题。

本节内容是初中数学的重要知识点，对于学生来说具有较高的难度，需要通过大量的练习来巩固。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了平行线的性质，对于线段的比例也有一定的理解。

但是，将平行线与线段的比例联系起来，对于他们来说还有一定的难度。

因此，在教学过程中，需要通过具体的实例，引导学生理解并掌握平行线分线段成比例的性质。

三. 教学目标1.了解平行线分线段成比例的定理，并能够运用该定理解决实际问题。

2.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

3.提高学生的数学素养，使他们在数学学习上有所突破。

四. 教学重难点1.平行线分线段成比例的定理的理解和运用。

2.如何将平行线与线段的比例联系起来，形成系统性的认识。

五. 教学方法采用问题驱动的教学方法，通过具体的实例，引导学生发现并总结平行线分线段成比例的定理。

同时，结合小组讨论和练习，巩固所学知识，提高学生的实际应用能力。

六. 教学准备1.准备相关的教学材料，如PPT、实例等。

2.准备练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生思考平行线与线段的比例之间的关系。

例如，假设有一块土地，被两条平行线和一条横线分成四个部分，如何求出每个部分的面积比例。

2.呈现（10分钟）通过具体的实例，呈现平行线分线段成比例的定理。

引导学生发现并总结定理的内容。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，运用平行线分线段成比例的定理解决实际问题。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）给出一些练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。

教师选取部分题目进行讲解，分析解题思路。

平行线分线段成比例说课稿（一）教材分析本节内容是继平行线等分线段成比例定理之后的内容。

也是本章的重点。

它是研究相似三角形的最重要和最基本的理论，它一方面可以直接判定线段成比例，另一方面，当不能直接证明要证的比例成立时，常用这个定理把两条线段的比“转移”成另两条线段的比来证明。

（二）教学的目标和要求1．知识目标：了解平行线分线段成比例定理的证明，掌握定理的内容。

能应用定理证明线段成比例、平行等问题，并会进行有关的计算。

2．能力目标：培养学生探索新知识、提高分析问题和解决问题的能力，提高学生的识图能力和发散思维能力，以及现有知识向新知识迁移的能力。

3.情感目标：加强学生对新知识探究的兴趣。

（三）教学的重点和难点1.重点:平行线分线段成比例定理及其理解。

2.难点:平行线分线段成比例定理及其应用。

（四）教法与学法采用直观、类比、分组讨论的方法，为学生创造合作学习的环境，提供探索问题的方法，以多媒体手段辅助教学，引导学生理解教材内容，启发学生发现问题、思考问题，培养学生的自学能力和逻辑思维能力。

逐步设疑，引导学生积极参与讨论，提高学生学习的兴趣和学习的积极性。

（五）．教学过程分析本节课准备分四个步骤进行：先复习平行线等分线段定理，创设问题情景，提出问题，引导学生解决问题最终得出平行线分线成比例定理。

利用比例性质对学生进行比例式的变式训练。

教学过程设计：活动一.创设情景,引入新课问题：一组等距离的平行线截直线a 所得的线段相等，那么在直线b 上所截的线段有什么关系呢？（请同学们观看课件中的验证过程）引导学生回答后教师作如下总结：一组等距离的平行线在直线a 所截得的线段相等，那么在直线b 上所截得的线段也相等.这就是我们前面所学的平行线等分线段定理，他讨论的是平行线截直线相等的情况，那么如果截的线段不相等呢？这就是我们今天要学习的内容：平行线分线段成比例定理.活动二.分析探索,新知学习1.三条平行直线L 1//L 2//L 3截直线AE 上的线段AC 、CE 长度之间（除相等外）存在着什么关系呢？同样截直线BF 上的线段BD 、DF 长度之间存在着什么关系呢？ 板书：由L 1//L 2//L 3可得：32=CE AC ；32=DF BD 所以：32==DF BD CE AC 2.彷上分析得：板书：由L 1//L 2//L 3可得：53=CE AC ；53=DF BD 所以：53==DF BD CE AC 3.引导学生初步总结出平行线分线段成比例定理，然后师生共同归纳得出定理并板书定理.平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。

九 年 级 数 学 导 学 案年级 九 班级学科 数 学 课题 平行线分线段成比例 第 1 课时 总 1 课时 编制人 审核人课型 新授课 使用者 教 学 内 容学习目标1.理解并掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论，并会灵活应用.2.通过运用，能灵活应用性质及推论。

学习过程一. 复习回顾：（1）什么叫比例线段？（2）比例的基本性质？二.新课学习：导读：内容：如图（1）小方格的边长都是1，直线a ∥b ∥ c ,分别交直线m,n 于 A 1，A 2，A 3，B 1，B 2，B 3 。

（１）计算12122323,A A B B A A B B 的比值，你有什么发现？（２）将ｂ向下平移到如下图2的位置，直线ｍ，ｎ与直线ｂ的交点分别为A 2，B 2 。

你在问题（１）中发现的结论还成立吗？如果将ｂ平移到其他位置呢？（3）在平面上任意作三条平行线，用它们截两条直线，截得的线段成比例吗？归纳：平行线分线段成比例定理：平行线分线段定理推论：内容：如下图，直线a ∥b ∥ c ，分别交直线m,n 于 A 1，A 2，A 3，B 1，B 2，B 3 。

过点A 1作直线n 的平行线，分别交直线b ，c 于点C 2，C 3。

（如图4 ），图4中有哪些成比例线段？（图3） (图4）推论：_____________________________________.例1 如图，在△ABC中，E，F分别是AB和AC上的点，且EF∥BC。

（1）如果AE=7 ，EB=5，FC=4.那么AF的长是多少？（2）如果AB=10 ，AE=6，A F=5.那么FC的长是多少？三.尝试应用：1如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1、l2、l3于点A、B、C，直线DF 分别交l1、l2、l3于点D、E、F，AC与DF相交于点H，且AH=1，HB=2，BC=5，则= ．1题图 2题图2.如图，已知AD、BC相交于点O，AB∥CD∥EF，如果CE=2，EB=4，FD=1.5，那么AD= ．四.自主总结：1平行线分线段成比例定理：(1)两直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例（关键要能熟练地找出对应线段）(2)平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，截得的对应线段成比例.五.达标测试三、解答题：8. 如图，四边形ABCD中，AB∥CD，E为AD的中点，若EF∥AB．求证：BF=CF教后反思。

第四章 图形的相似4.2 平行线分线段成比例一、教学目标1．探索并掌握基本事实“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”及其推理．2．进一步体会由特殊到一般的归纳推理的思想和方法．二、教学重点及难点重点：理解平行线分线段成比例的基本事实及其推论． 难点：成比例的线段中对应线段的确认．三、教学用具多媒体课件、直尺或三角板．四、相关资源《复习成比例线段》动画五、教学过程【复习引入】上节课我们学习了成比例线段，那么请同学们回忆一下，什么是成比例线段？ 师生活动：教师出示问题，学生回忆，教师找学生代表回答． 答：在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即a cb d，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段．本节课我们在成比例线段的基础上，继续探究平行线分线段中的成比例问题． 设计意图：通过复习为本节课的探究新知做好知识准备． 【探究新知】想一想 下图中，小方格的边长均为1，直线l 1∥l 2∥l 3，分别交直线m ，n 于格点A 1，A 2，A 3，B 1，B 2，B 3．（1）计算1223A A A A 与1223B B B B ，1213A A A A 与1213B BB B ，2313A A A A 与2313B B B B 的值，你有什么发现？（2）将l 2向下平移到如下图的位置，直线m ，n 与l 2的交点分别为A 2，B 2，你在问题（1）中发现的结论还成立吗？如果将l 2平移到其他位置呢？（3）在平面上任意作三条平行线，用它们截两条直线，截得的线段成比例吗？ 师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论，教师引导．解：（1）由题图可得A 1A 2=A 2A 3=A 1A 3=，B 1B 2=，B 2B 3=B 1B 3=所以122314A A A A ==，122314B B B B ==，121315A A A A ==，121315B B B B ==，231345A A A A ==，231345B B B B ==． 发现：1223A A A A =1223B B B B ，1213A A A A =1213B BB B ，2313A A A A =2313B B B B ．（2）将l 2平移到如图的位置时，发现的结论仍然成立；将l 2平移到其他位置时，发现的结论也仍然成立．（3）由（1）（2）可以猜想出：在平面上任意作三条平行线，用它们截两条直线，截得的线段成比例．归纳 一般地，有如下基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．设计意图：引导学生经历由特殊到一般的探索过程，得出平行线分线段成比例的基本事实．此图片是动画缩略图，本资源为《平行线分线段成比例》知识探究，通过交互式动画的方式，运用了本资源，可以吸引学生的学习兴趣，适用于平行线分线段成比例的教学.若需使用，请插入【数学探究】平行线分线段成比例.做一做 如图，直线a ∥b ∥c ，分别交直线m ，n 于点A 1，A 2，A 3，B 1，B 2，B 3，过点A 1作直线n 的平行线，分别交直线b ，c 于点C 2，C 3（如下，右图所示）．如下，右图中有哪些成比例线段？师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论，教师引导． 解：12122323A A A C A A C C =，12122323A A B B A A B B =，12121313A A A C A A A C =，12121313A A B BA AB B =，13132323A AB B A A B B =，13132323A A AC A A C C =，12122323A C B B C C B B =，12121313A C B BA CB B =，13132323A CB BC C B B =． 教师引导学生归纳得出：推论 平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，截得的对应线段成比例．用几何语言表示如下：如图①②③所示，若DE ∥BC ，则有AD AE AB AC =，AD AE DB EC =，DB ECAB AC=．设计意图：通过作平行线构造三角形，将平行线分线段成比例的基本事实特殊化，从而得到它的一个推论．此图片是动画缩略图，本资源为《平行线分线段成比例推论》知识探究，通过交互式动画的方式，运用了本资源，可以吸引学生的学习兴趣，适用于平行线分线段成比例推论的教学.若需使用，请插入【数学探究】平行线分线段成比例推论.【典例精析】例 如图，在△ABC 中，E ，F 分别是AB 和AC 上的点，且EF ∥BC ． （1）如果AE =7，EB =5，FC =4，那么AF 的长是多少？ （2）如果AB =10，AE =6，AF =5，那么FC 的长是多少？EA BCDE ABCDED CBA ③②①师生活动：教师出示例题，学生尝试完成，教师给出规范的解题过程．解：（1）∵EF∥BC，∴AE AF EB FC=．∵AE=7，EB=5，FC=4，∴742855AE FCAFEB⨯===．（2）∵EF∥BC，∴AE AF AB AC=．∵AB=10，AE=6，AF=5，∴1052563AB AFACAE⨯===．∴FC=AC-AF=2510533-=．设计意图：让学生进一步加深对平行线分线段成比例的基本事实的理解，培养学生分析问题、解决问题的意识和能力．本图片是微课的首页截图，本微课资源讲解了平行线分线段成比例定理及推论，并通过讲解实例巩固所讲知识，有利于启发教师教学或学生预习或复习使用.若需使用，请插入微课【知识点解析】平行线分线段成比例.【课堂练习】1．如图，l 1∥l 2∥l 3，下列说法中错误的是（ ）．A ．由AB =BC 可得FG =GH B ．由AB =BC 可得OB =OGC ．由CE =2CD 可得CA =2BC D ．由GH =12FH 可得CD =DE 2．如图，已知在△ABC 中，点D ，E ，F 分别是边AB ，AC ，BC 上的点，DE ∥BC ，EF ∥AB ，且AD ∶DB =3∶5，那么CF ∶CB 等于（ ）．A ．5∶8B ．3∶8C ．3∶5D ．2∶53．如图，已知DE ∥BC ，EF ∥AB ，下列结论正确的是（ ）．A ．=AD DE DB BC B ．EF DE AB BC = C ．AE BF EC FC =D ．AB CEAD AC=4．如图，AB ∥CD ∥EF ，且AD =DF ，则BC =_________．5．在△ABC 中，AB =6，AC =9，点D 在边AB 所在的直线上，且AD =2，过点D 作DE ∥BC 交边AC 所在的直线于点E ，则CE 的长为__________．6．如图，AB ∥DC ，AE =DE ，EF ∥BC ，EF =12 cm ，则BC =_________cm ．7．如图，在△ABC 中，AB =AC ，点E 是AC 的中点，EF ⊥BC 于点F ，若CF =1.2 cm ，那么BC =______cm ．8．如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，DE ∥BC ，若34AD AE =，BD =2，试求EC 的值．师生活动：教师找几名学生板演，讲解出现的问题．参考答案1．B．2．A．3．C．4．EC．5．6或12．6．24．7．4.8．8．解：∵DE∥BC，∴34 BD ADEC AE==．又∵BD=2，∴83 EC=．设计意图：让学生巩固所学知识．六、课堂小结1．平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．2．平行线分线段成比例的基本事实的推论：平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，截得的对应线段成比例．师生活动：教师引导学生归纳、总结本节课所学内容．设计意图：帮助学生养成系统整理知识的学习习惯，加深认识，深化提高，形成学生自己的知识体系．七、板书设计4.2 平行线分线段成比例1．平行线分线段成比例的基本事实2．平行线分线段成比例的基本事实的推论。

一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解平行线分线段成比例的概念。

（2）学会运用平行线分线段成比例定理证明两条线段成比例。

（3）能够运用平行线分线段成比例定理解决实际问题。

2. 过程与方法：（1）通过观察、实验、猜想、验证等过程，发现平行线分线段成比例的规律。

（2）培养学生的逻辑思维能力和证明能力。

3. 情感、态度与价值观：（1）培养学生对数学的兴趣和好奇心。

（2）培养学生的团队合作精神。

二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）平行线分线段成比例的概念。

（2）平行线分线段成比例定理的证明。

（3）平行线分线段成比例定理的应用。

2. 教学难点：（1）平行线分线段成比例定理的证明。

（2）解决实际问题时，如何运用平行线分线段成比例定理。

三、教学方法1. 情境创设：通过生活实例引入平行线分线段成比例的概念。

2. 自主探究：引导学生观察、实验、猜想、验证平行线分线段成比例的规律。

3. 小组合作：分组讨论，共同完成平行线分线段成比例定理的证明。

4. 案例分析：分析实际问题，引导学生运用平行线分线段成比例定理解决问题。

四、教学准备1. 教具：黑板、粉笔、多媒体设备。

2. 学具：直尺、三角板、笔记本。

五、教学过程1. 导入新课：（1）复习相关知识：回顾线段、射线、直线的基本概念。

（2）生活实例：展示两幅画面，一幅是铁路交叉处，另一幅是桥梁结构，引导学生观察并思考其中的平行线分线段成比例现象。

2. 自主探究：（1）引导学生观察教室内的直线、射线、线段，鼓励学生发现平行线分线段成比例的实例。

（2）学生分组实验，用量角器和直尺测量不同角度的平行线分线段，记录数据，分析规律。

3. 小组合作：（1）分组讨论，引导学生总结平行线分线段成比例的规律。

（2）每组派代表进行汇报，全班交流、总结。

4. 知识讲解：（1）讲解平行线分线段成比例的概念。

（2）引导学生理解平行线分线段成比例定理的证明过程。

5. 案例分析：（1）出示实际问题，引导学生运用平行线分线段成比例定理解决问题。

平行线分线段成比例定理证明过程平行线分线段成比例定理是一个经典的几何定理，它是几何学中的基础知识之一。

本文将对平行线分线段成比例定理的证明过程进行深入探讨，并以简单易懂的方式解释这一定理的含义和应用。

1. 引言初步了解平行线的性质对于理解平行线分线段成比例定理至关重要。

我们知道，平行线是在同一个平面上且不相交的两条直线。

根据平行线的性质，我们可以推导出许多有用的几何定理，其中之一就是平行线分线段成比例定理。

2. 平行线分线段成比例定理的描述平行线分线段成比例定理是指：若有一条直线与两条平行线相交，那么这两条平行线上的任意两个截线段的比值，等于它们与这条相交直线上对应截线段的比值。

3. 证明过程为了证明平行线分线段成比例定理，我们可以使用一些基本的几何知识和定理。

我们假设有两条平行线l和m，它们与一条直线n相交于点A和点B。

我们再在l和m上分别取两个点C和D，通过这两个点作出CD的直线段。

接下来，我们需要证明线段AC/AB = BD/AD。

根据几何的平行线性质，我们知道∠ACB = ∠ADB，因为l和m是平行线，所以它们与直线n相交时形成的对应角是相等的。

我们可以利用角的性质来推导出各个线段的比例关系。

根据三角形的相似性质，我们可以得出下面的等式:△ACB ∼ △ADB根据相似三角形的性质，我们可以推导出线段的比例关系:AC/AB = CB/DB同样地，我们可以得出:BD/AD = CB/AC通过移项和替换，我们可以得到所需的结果:AC/AB = BD/AD这样，我们就证明了平行线分线段成比例定理。

4. 理解和应用平行线分线段成比例定理在几何学中有着广泛的应用。

在解决三角形的相似性问题时，我们可以利用这一定理来求解未知线段的比值。

它也可以应用于实际生活中的测量和建模问题，例如在建筑设计、地图制作和工程规划等领域。

个人观点和理解：平行线分线段成比例定理是几何学中一个基础而又重要的定理。

它不仅能够帮助我们理解平行线的性质，还能引导我们分析和解决更复杂的几何问题。

平行线分线段成比率教课目的【知识与技术】1.使学生在理解的基础上掌握平行线分线段成比率定理及其推论, 并会灵巧应用 .2.使学生掌握三角形一边的平行线的判断定理 .【过程与方法】经过学习定理再次锻炼类比的数学思想 , 能把一个稍复杂的图形分红几个基本图形 , 经过应用锻炼识图能力和推理论证能力 .【感情、态度与价值观】经过定理的学习知道认识事物的一般规律是从特别到一般 , 并能赏识数学表达式的对称美 , 提升学习数学的兴趣 .要点难点【要点】平行线分线段成比率定理和推论及其应用.【难点】平行线分线段成比率定理的正确性的说明及推论应用.教课过程一、复习引入教师多媒体课件出示 :1.求以下各式中 x∶y 的值 .(1)3x=7y; (2)y=x;(3)y∶x=4∶7.2. 已知 x∶2=y∶3=z∶ 6, 求(x+y-z)∶(4x+6y+z).教师找两位学生疏别板演1、2 题, 其余同学在下边做, 教师巡视 , 而后集体订正 .二、共同研究 , 获得新知师: 平行于三角形一边的直线, 在此外两边上截得的线段是如何的呢?生:教师多媒体课件出示 :已知 : 如图 , 过△ ABC的 AB边上随意一点 D作直线 DE平行于 BC,交 AC于点 E, 求证 :=.师: 你能证明这个问题吗 ?学生思虑、议论 .教师边操作边解说 : 我们能够作协助线 , 连结 BE、 CD,再过点 E 作 AB上的垂线段 h.师: 此刻你能猜出能够转变为哪两个三角形的面积之比吗?学生思虑后回答 : 能, 能够转变为△ ADE和△ BDE的面积之比 .师: 你是如何获得的呢 ?生: △ADE的面积等于 AD与 h 乘积的一半 , △BDE的面积等于 BD与 h 乘积一半, 因此 ==.师: 你回答得太好了 ! 我们要证的是 =, 我们把 AD与 DB的比转变为了两个三角形的面积之比 . 再证出什么就能获得结论了 ?学生思虑后回答 : 再证出 =.师: 对, 你们太聪了然 ! 你怎么证明这个相等关系呢?生: 过点 D 向 AC边作垂线 , 与前方同理可证出这个相等关系.师: 很好 ! 这样我们就证出 =.由这个比率式 , 你能推出哪些线段也是成比率的?还有哪些比率式也是建立的呢 ?学生思虑 , 教师提示 .生甲 :=.生乙 :=.师: 对! 上边的图形 , 也可看作是直线 BC平行于△ ADE的一边与此外两边的延伸线订交而获得的 . 于是我们能获得一个定理 .教师提示大家读出版上的推论, 并板书 :定理平行于三角形一边的直线与其余两边订交, 截得的对应线段成比率.师: 这个定理可推行成一般的形式.教师多媒体课件出示 :已知 : 如图 , 直线 l 1∥ l 2∥l 3, 直线 AC、DF被这三条直线分别截于点A、 B、 C 和 D、E、F, 求证 :=.师: 直线 AC、DF被这三条直线所截 , 不只一种结果 . 由于不一样状况下的证明方法不一样 , 因此我们要对截得的结果分类 , 被截的情况有哪几种呢 ?学生思虑、议论 .生甲 :AC 与 DF平行 .生乙 :AC 与 DF不平行 , 但它们在 l 1与 l 2间不订交 .生丙 :AC 与 DF订交在 l 1或 l 3上 .生丁 :AC 与 DF订交在两条平行线间 .师: 下边我们分别就这几种状况进行议论. 先看平行时 , 怎么证明这个结论呢 ?生: 依据夹在两条平行线间的平行线段相等获得 AB=DE,BC=EF,因此 AB∶BC=DE∶EF.师: 很好 ! 假如 AC与 DF不平行且在 l 1与 l 2间不订交时 , 又该如何证明呢 ?学生思虑 , 议论后教师找一世板演 , 其余同学在下边做 , 而后集体校正 .证明 : 过点 A 作 DF的平行线 , 分别交 l 2、l 3于点 E' 、 F'.这时有 =, 而四边形 AE'ED和四边形 E'F'FE 都是平行四边形 , 因此AE'=DE,E'F'=EF, 因此可得 =.其余两种状况近似可证 .师: 于是我们获得以下定理 :( 教师板书 )平行线分线段成比率定理两条直线被一组平行线所截, 所得的对应线段成比率 .三、持续研究 , 层层推动师: 在这个定理中 , 当 =1时 , 有=1, 即当 AB=BC时, 有 DE=EF,由此你能获得什么结论 ?学生口述 , 教师板书 :平行线平分线段定理两条直线被三条平行线所截 , 假如在此中一条上截得的线段相等 , 那么在另一条上截得的线段也相等 .四、例题解说【例】如图,在△ ABC中,E、F分别是AB和AC上的点,且EF∥ BC.(1)假如 AE=7,EB=5,FC=4,那么 AF的长是多少 ?(2)假如 AB=10,AE=6,AF=5,那么 FC的长是多少 ?解:(1) ∵EF∥BC,∴=,∵A E=7,EB=5,FC=4,∴A F===.(2) ∵EF∥BC,∴=.∵A B=10,AE=6,AF=5,∴AC===,∴FC=AC-AF=-5=.五、稳固练习师: 同学们 , 我们今日学习了许多知识 , 你们都掌握了吗 ?此刻我来出几道题目帮助大家消化一下 .1. 如图 , 已知 AB∥CD∥ EF,那么以下结论正确的选项是 ( )A.=B.=C.=D.=【答案】 A2. 如图 ,DE∥BC,AB∶ DB=3∶ 1, 则 AE∶AC= .【答案】 2∶3第2题图第3题图3. 如图 ,DE∥BC,若 AB=8,AE∶ EC=2∶ 3, 则 AD=.【答案】4.如图 ,DE 是△ ABC的中位线 ,F 是 DE的中点 ,BF 的延伸线交 AC于点 H,则AH∶HE=.【答案】 2∶1第4题图第5题图5.如图 , 在△ ABC中 ,DE∥BC,AD=4,DB=8,AE=3.(1) 求的值 ;(2) 求 AC的长 .【答案】 (1)===;(2) ∵DE∥BC,∴==.又∵ AE=3,∴AC=9.六、讲堂小结师: 今日你学习了哪些定理 ?学生口述定理 .。

平行线分线段成比例定理(一)一、学习目标1．在理解的基础上掌握平行线分线段成比例定理，并会灵活应用。

2．通过学习定理，再一次培养同学们类比的数学思想。

3．渗透理解从特殊到一般的辩证唯物主义观点。

二、重点、难点、疑点及解析1．重点是平行线分线段成比例定理及其应用。

2．难点是平行线分线段成比例定理的正确性的说明。

3．疑点是由定理可得到六个比例，如图5－5而言，与横线段无关，这里要知道。

定理中“能得的对应线段成比例”，是“被截得的”，要分清是谁截谁。

三、学习过程(一)复习自己叙述平行线等分线段定理。

(二)讲解新课在四边形一章里，我们学过平行线等分线段定理，今天，在此基础上，我们来研究平行线平分线段成比例定理。

首先复习一下平行线等分线段定理，如图5-5：∵l1∥l2∥l3，且AB=BC，∴DE=EF。

自己可以画三条平行线，并作出两条直线分别与这些平行线相交，用尺子进行测量并计算。

(该定理是用举例的方法引入的，没有给出证明，严格的证明要用到我们还未学到的知识，通过测量计算可以得到比例仍成立)由比例性质，还可得到：平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

平行线等分线段定理可看作是这个定理的特例。

根据此定理，我们可以写出六个比例，为了便于应用，在以后的论证和计算中，可根据情况选用其中任何一个参见图5-6～图5-7。

∵l1∥l2∥l3，其中图5-8，图5-9两种情况仍然成立，下一节我们会学习这部分更具体的内容。

例1已知：如图5-6，l1∥l2∥l3，若A B=3，DE=2，EF=4，求：BC。

解：自己来完成。

注：在列比例式求某线段长时，尽可能将要求的线段写成比例的第一项，以减少错误，如例1可列比例式为：自己来完成。

提示：设DE=m，EF=n。

小结：(1)熟练掌握由定理得出的六个比例式。

(2)灵活运用定理解决问题。

平行线分线段成比例定理(二)一、学习目标1．在巩固平行线等分线段定理的基础上掌握其推论及推论的应用。