比例的基本性质 平行线分线段成比例

平行线分线段成比例定理简介平行线分线段成比例定理（Parallelogram Proportion Theorem）是几何学中关于平行线与线段相交的一个重要定理。

该定理表明，如果在两条平行线上，有一条直线与这两条平行线相交，那么它所截取的线段与平行线的对应线段成比例。

定理描述设有两条平行线l和m，直线n与这两条平行线相交。

如果直线n依次截取了线段AB和CD，那么这两条线段的比例等于与AB和CD平行的线段的比例，即：AB/CD = AE/CF其中，A、B分别是直线n与l的交点，C、D分别是直线n与m的交点，E、F分别是直线n与l和m的另外两个交点。

证明过程为了证明平行线分线段成比例定理，我们可以使用类似于相似三角形的方法来进行证明。

步骤1：构造辅助线段首先，我们在直线n上任意取一点G，然后通过G分别作l和m的垂线GH和GK。

此时，我们得到了一个平行四边形AGHK。

通过平行线的性质，我们可以知道AG和HK是平行的，并且两条平行线之间的距离是相等的。

步骤2：证明三角形AFB与三角形CGD相似由于AGHK是一个平行四边形，所以我们可以得到以下结论：∠KGD = ∠HAG （对顶角）∠KDG = ∠GAH （对顶角）因此，根据AA相似性质，我们可以得出三角形AFB与三角形CGD相似。

步骤3：证明AE/CF = AB/CD在步骤2中，我们已经得到了三角形AFB与三角形CGD相似的结论。

根据相似三角形的基本性质，我们知道相似的三角形中，对应边的比例是相等的。

由于三角形AFB与三角形CGD相似，根据相似三角形的性质，我们可以得到以下比例等式：AB/CD = AF/CG而AF和CG分别是线段AE和线段CF在相似三角形中对应的边。

因此，我们可以得出以下结论：AB/CD = AE/CF步骤4：证明结论由于步骤3中得出的结论，我们证明了平行线分线段成比例定理。

应用举例平行线分线段成比例定理在解决几何问题中起着重要的作用。

初中数学“平行线分线段成比例”知识点全解析一、引言平行线分线段成比例是初中数学中的一个重要知识点，它涉及到平行线、线段比例等多个概念。

掌握这一知识点，不仅有助于学生理解几何图形的性质，还能提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

本文将详细解析平行线分线段成比例的概念、性质、定理以及应用，帮助学生更好地理解和掌握这一知识点。

二、平行线分线段成比例的概念1.平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。

2.线段比例：如果两条线段的长度之比等于另外两条线段的长度之比，那么这四条线段是成比例的。

3.平行线分线段成比例：如果一条直线与另外两条平行线相交，且截得的线段之比相等，那么这条直线将这两条平行线分成的线段是成比例的。

三、平行线分线段成比例的性质1.基本性质：如果一条直线与两条平行线相交，那么这条直线截得的两条线段之比是恒定的，与直线的位置无关。

2.等比性质：如果两条平行线被一条横线截得的线段之比等于另外两条平行线被同一条横线截得的线段之比，那么这四条线段是成比例的。

3.交叉相乘性质：如果两条平行线被一条横线截得的两组线段是成比例的，那么这两组线段的交叉相乘结果相等。

四、平行线分线段成比例的定理1.梅内劳斯定理：如果一条直线与一个三角形的两边相交，且截得的线段之比相等，那么这条直线也必将与三角形的第三边相交，并截得相应的成比例线段。

2.塞瓦定理：如果三条直线交于一点，且分别截得三条线段的比是相同的，那么这三条直线所在的平面内的任何一条经过该点的直线都将这三条线段分成成比例的两组。

五、平行线分线段成比例的应用1.几何证明：在几何证明中，平行线分线段成比例的性质和定理可以作为证明的依据，帮助学生理解和解决复杂的几何问题。

2.实际问题解决：在实际生活中，许多问题可以通过建立数学模型并运用平行线分线段成比例的知识进行解决。

例如，在建筑设计中，可以利用这一知识点计算建筑物的各部分尺寸和比例。

3.数学竞赛：在数学竞赛中，平行线分线段成比例的知识点经常作为难题的考点出现。

数学辅导11： 比例的根本性质一、知识点：1. 成比例线段：线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即dc b a =，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段.2. 比例的性质：〔1如果d c b a =，那么bc ad =；如果bc ad =(a ，b ，c ，d 都不为0)，那么d c b a =.〔2如果d c ba=，那么c d a b =.〔3如果d c ba =，那么dbc a =.〔4如果d c b a =，那么d d c b b a +=+，d d c b b a -=-,d c d c b a b a +-=+-.〔5如果)0(≠+++===n d b n m d c ba ，那么b a n d b mc a =++++++ . 二、典型例题： 〔1〕71=-a b a ，那么b a 38=+y y x ，那么y x =_______________. 32=b a ，那么=+b b a _________，bb a -=______________. 〔2〕)0(53≠+==d b dc b a ，那么db c a ++的值为____________. 572c b a ==，那么ac b a -+=______________. 75==d c b a ，那么db c a 3232--=_____________. 〔3〕在△ABC 与△DEF 中，假设43===FD CA EF BC DE AB ，且△ABC 的周长为36cm ，那么△DEF 的周长为______.〔4〕543c b a ==，且6=-+c b a ，那么a =__________. 〔5〕如果d c b a =〔0≠+b a ，0≠+d c 〕，那么cd c a b a +=+成立吗？请说明理由. 〔6〕a ，b ，c ，d 是成比例线段，其中cm a 3=，cm b 2=，cm c 6=，那么线段d =___________. 〔7〕2:4:3::=c b a ，且182=-+c b a ，求c b a 23+-的值.练习1．以下各组中的四条线段成比例的是( )A.a =2，b =3，c =2，d =3B.a =4，b =6，c =5，d =10C.a =2，b =5，c =23，d =15D.a =2，b =3，c =4，d =12. 线段a 、b 、c 、d 满足ab =cd ，把它改写成比例式，错误的选项是( )A.a ∶d =c ∶bB.a ∶b =c ∶dC.d ∶a =b ∶cD.a ∶c =d ∶b3. 假设ac =bd ，那么以下各式一定成立的是( ) A.d c b a = B.c c b dd a +=+ C.c d b a =22 D.d a cd ab = 4．如果bc ad =，那么以下比例中错误的选项是〔 〕A 、d b c a =B 、b a d c =C 、b d c a =D 、c d a b =5．假设5:6:=y x ，那么以下等式中，不正确的选项是〔 〕A 、511=+y y xB 、51=-y y xC 、6=-y x xD 、5=-x y y6．假设2:1:::===d c c b b a ，那么=d a :〔 〕A 、1:2B 、1:4C 、1:6D 、1:87．假设3:2:1::=c b a ，那么c b a cb a +---的值为〔 〕A 、-2B 、2C 、3D 、-38．875c b a ==，且20=++c b a ，那么=-+c b a 2〔 〕 A 、11 B 、12 C 、314D 、99．假设4:3:2::=c b a ，且5=-+c b a ，那么b a -的值是〔 〕A 、5B 、-5C 、20D 、-2010.在比例尺为1∶500000的地图上，A 、B 两地的距离是64 cm ，那么这两地间的实际距离是______11.假设a =2,b =3,c =33,那么a 、b 、c 的第四比例项d 为________12.在一张地图上，甲、乙两地的图上距离是3 cm,而两地的实际距离为1500 m ，那么这张地图的比例尺为________.14．35=y x ，那么=-+)(:)(y x y x 15．如果32=b a ，且3,2≠≠b a ，那么=-++-51b a b a16．a b a 3)(7=-，那么=b a17．〔1〕b a a b b a x +=+=+=222，求x 的值〔2〕524232x z z y y x -=-=-，求y x z y x -++2的值18. 如果线段a ，b ，c 的长度之和是32cm ，且457a c c b b a +=+=+，那么这三条线段能否围成一个三角形？数学辅导12： 平行线分线段成比例如图1，∵L 1∥L 2∥L 3，∴EF BC =；如图2，∵L 1∥L 2∥L 3，∴EFDE BC =.如图3，∵DE ∥BC ，∴EC；如图4，∵AB ∥CD ，∴=. 二、典型习题：1. 如图1，L 1∥L 2∥L 3，且AB=5，BC=7，EF=4，那么DE=________________.2. 如图2，L 1∥L 2∥L 3，且AB=6，BC=7，DE=5，那么DF=________________.3. 如图3，DE ∥BC ，且，，，那么EC=____________cm.4. 如图4，AB ∥CD ，且OC=7，OD=5，OA=2，那么OB=________________.5. 如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB 和BC 上的点，且DE ∥AC ，EC AC BE AB =，35=AC AB ，求BD AB .6. 如图，在在△ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，ACBC 上的点，且DE BC=20cm ，求BF 的长.。

比例线段；平行线分线段成比例定理二. 重点、难点：重点：比例的基本性质、合比性质、等比性质；黄金分割点的性质；平行线分线段成比例定理、推论。

难点：比例的性质的应用，黄金分割点的性质，平行线分线段成比例定理、推论的应用。

三. 知识结构：1. 比例线段：2. 比例中的项：a ：b a —比的前项，b —比的后项a b c d = a b c d 、、、——比例的项a b c d ：：比的内项↓=↓ d ——比的第四比例项比的外项3. 比例中项：若a b b c ：：=，则b 叫a 、c 的比例中项。

4. 比的性质：比的基本性质：a b c d ad bc a b b c b ac ：：：：=⇔==⇔=⎫⎬⎭2内项之积＝外项之积 比的合比性质：a b c d a b b c d d =⇒±=±（注意：在分子上加分母） 比的等比性质：a b c dm n b d n a c m b d n a b ===+++≠⇒++++++=…………()0 5. 黄金分割点A C B若AC 是AB 、BC 的比例中项，点C 叫做线段AB 的黄金分割点。

AC AB BC AB AC AC BCAC AB BC AC 20618=⋅==≈⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪.6. 平行线分线段成比例定理：A A’ l 1B B’ l 2C C’ l 3l 4 l 5三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

AB BC A B B C AB AC A B A C AB A B BC B C ===⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪''''''''''''7. 平行线分线段成比例定理的推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得到的对应线段成比例。

A D E AAD EB CB C B C D E（1） （2） （3）【典型例题】例1. 已知x y a b c d ===23，求（1）x a c y b d ++++（2）x a cy b d -+-+22解：（1）由合比性质x a c y b d++++=23 （2）x y a b c d ==，∴=--==x y a b c d 2223∴-+-+=x a c y b d 2223例2. 已知a b c 234==，求a b c a b c ++++232。

平行线分线段成比例定理推论平行线分线段成比例定理推论引言：平行线分线段成比例定理是中学数学中的一个基本定理，它是解决平面几何问题的重要工具之一。

本文将从该定理的定义、证明以及推论三个方面进行详细介绍。

一、平行线分线段成比例定理的定义平行线分线段成比例定理是指：如果在两条平行直线上，有一条直线与其中一条直线相交，则这条交线所截取的另一条直线上的两个部分，与其在另一条直线上所截取的两个部分之比相等。

二、平行线分线段成比例定理的证明1. 假设有两条平行直线AB和CD，其中有一条直线EF与CD相交于点G。

2. 作AG和BG两条射线，以及CG和DG两条射线。

3. 根据角度对应原理可知∠AGE=∠BGF，∠CGF=∠DGE。

4. 又因为AB和CD是平行的，所以∠AGE+∠CGF=180°，∠BGF+∠DGE=180°。

5. 将以上等式联立得到：∠AGE+∠BGF+∠CGF+∠DGE=360°。

6. 四个角构成一个完整的圆周角，所以∠AGE+∠BGF+∠CGF+∠DGE=360°=2π。

7. 根据圆周角的性质可知：∠AGE/∠CGF=AG/CG，∠BGF/∠DGE=BG/DG。

8. 将以上两个比例式联立得到：AG/BG=CG/DG。

9. 因此，平行线分线段成比例定理得证。

三、平行线分线段成比例定理的推论1. 推论一：如果在两条平行直线上，有一条直线与其中一条直线相交，则这条交线所截取的另一条直线上的两个部分之和等于这条交线所截取的另一条直线长度。

证明：设在两条平行直线AB和CD上，有一条直线EF与CD相交于点G。

则根据平行线分线段成比例定理可知：AG/BG=CG/DG因此，AG/BG+1=CG/DG+1即(AG+BG)/BG=(CG+DG)/DG化简得到：AB/BG=CD/DG因此，AB/BG×BG+CD/DG×DG=AB+CD即AB×BG/BD+CD×DG/BD=AB+CD因此，(BD-BG)×AB/BD+(BD-DG)×CD/BD=AB+CD 即(BD-GB)×AB+(BD-GD)×CD=BD×(AB+CD)因为BG=GD，所以：BD×AB=AD×BGBD×CD=DC×GD将以上式子代入上式得到：AD×BG+(DC-GD)×BG=BD×(AB+CD)AD+DC=BD因此，推论一得证。

平行线分线段成比例定理1. 问题介绍在平面几何学中，平行线分线段成比例定理是一个重要的定理，它描述了平行线所分割的线段之间的比例关系。

本文将介绍平行线分线段成比例定理的定义、原理、证明以及应用。

2. 定理定义给定一条直线上的两个点A、B，以及与该直线平行的另外一条直线CD，如果直线CD与直线AB相交于点E，那么线段AE与线段EB的比例等于线段CE与线段ED的比例，即：AB / CD = AE / CE = BE / ED其中，AB代表线段AB的长度，CD代表线段CD的长度，AE代表线段AE的长度，CE代表线段CE的长度，BE代表线段BE的长度，ED代表线段ED的长度。

3. 定理原理平行线分线段成比例定理的原理可以通过平行线的性质来进行推导。

根据平行线的性质，我们知道平行线分割两条平行线之间的线段时，这些线段之间的比例关系是不变的。

在给定的情况下，我们可以得到以下等式：∠ADE = ∠CDE （对应角）∠AED = ∠CED （对应角）根据三角形内角和定理，我们知道：∠ADE + ∠AED = 180°∠CDE + ∠CED = 180°因此，我们可以得到以下等式：∠ADE + ∠AED = ∠CDE + ∠CED根据等式的基本性质，我们可以得到：∠ADE = ∠CDE∠AED = ∠CED根据角度对应定理，我们知道∠DAE与∠DCE相等。

由此，我们可以得到以下相似三角形关系：△DAE ~ △DCE （相似三角形）△BDE ~ △BEC （相似三角形）根据相似三角形的性质，我们可以得到以下比例关系：AE / CE = DE / DE = AE / DE （对应边）BE / CE = DE / DE = BE / DE （对应边）由此，我们可以得到以下等式：AB / CD = AE / CE = BE / DE这就是平行线分线段成比例定理的原理。

4. 定理证明平行线分线段成比例定理的证明可以通过几何推理和相似三角形的性质来完成。

两条平行线分线段成比例定理以两条平行线分线段成比例定理为标题的文章两条平行线分线段成比例定理，是几何学中的基本定理之一，它描述了两条平行线在与它们相交的第三条线上所分割线段的比例关系。

本文将详细介绍这一定理的定义、证明方法以及应用场景。

让我们来看一下这个定理的定义。

在平面几何中，如果两条平行线l和m被一条与它们相交的线n分割成多个线段，那么这些线段的比例相等。

具体来说，如果线段AB与线段CD之间的比例等于线段EF与线段GH之间的比例，那么可以得出以下结论：线段AB:线段CD = 线段EF:线段GH接下来，我们将探讨这个定理的证明方法。

首先，我们需要了解一些基本概念和性质。

在平行线与一条横切线相交的情况下，我们可以得到一些重要的对应角相等的关系，如同位角相等、内错角相等等。

利用这些性质，我们可以进行如下的证明过程：假设线段AB与线段CD之间的比例等于线段EF与线段GH之间的比例，即AB/CD = EF/GH。

接下来，我们可以利用同位角相等的性质，找出一对同位角。

在这个例子中，我们可以找到同位角ACE和BDF。

然后，根据同位角相等的性质，我们可以得出角ACE与角BDF相等。

接着，我们需要利用内错角相等的性质，找出一对内错角。

在这个例子中，我们可以找到内错角AED和BFC。

根据内错角相等的性质，我们可以得出角AED与角BFC相等。

我们可以利用相等角的性质，得出线段AB与线段CD之间的比例等于线段EF与线段GH之间的比例。

证毕。

除了理论证明，这个定理还可以应用于实际问题中。

例如，在建筑设计中，我们经常会遇到需要进行比例放大或缩小的情况。

如果我们已知某一线段的长度，而另一线段的长度未知，但我们知道两条平行线与这两个线段的夹角，那么我们就可以利用两条平行线分线段成比例定理，通过比例关系求解未知线段的长度。

这对于设计师来说非常有用。

在地图制作中，我们也经常会使用这个定理。

当我们需要绘制一个比例尺较大的地图时，如果我们已知某一距离在实际地理中的长度，而另一距离在地图上的长度未知，但我们知道两条平行线在地理和地图上的夹角，那么我们就可以利用两条平行线分线段成比例定理，通过比例关系求解未知距离在地图上的长度。