下载文档原格式
1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积一．教学目标：1．知识目标：掌握直棱柱，正棱锥，正棱台表面积公式，会求它们的全面积。
2．能力目标：通过对直棱柱，正棱锥，正棱台表面积公式的探究，体会三维空间与二维空间的转化，进一步理解空间问题转化为平面问题的数学思想方法，培养学生的空间想象能力。
通过公式的实际应用，培养学生用代数方法解决几何问题的能力，加强学生逻辑思维能力和推理能力的培养。
通过公式的比较，培养学生类比的思想方法。
通过学生自己动手折叠几何模型，通过不同形式的自主学习和探究活动，体验数学发现和创造的历程，提高抽象概括，分析总结，数学表达等基本数学思维能力。
3．德育目标：体验公式的推导过程，形成学生的体验性认识，在数学与实际问题的密切联系中，激发学生的学习欲望和探索精神。
通过师生互动、生生互动的教学过程，体会成功的喜悦，提高学生学习数学的兴趣，树立学好数学的信心。
课堂的学习中，学生既有思考又有合作讨论，有目的地培养学生自主学习的良好习惯，锲而不舍的钻研精神以及协作共进的团队精神。
二．教学的重点与难点：重点是棱柱、棱锥、棱台的表面积公式的推导方法，进一步加强空间问题与平面问题的相互转化的思想方法的应用。
难点是棱柱、棱锥、棱台的表面积公式的应用。
三．教学方法与教学手段：教学方法：本节课的课型为“新授课”，采用“问题探究式”的教学法。
通过不同形式的探究过程，让学生积极主动地参与到教学活动中来，并且始终处于积极地动手操作、问题探究和辨析思考的学习气氛之中。
教学手段：采用多媒体辅助教学，增强直观性。
四．教学过程：五、板书设计。
1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积1.理解棱柱、棱锥、棱台和球的表面积的概念，了解它们的侧面展开图.(重点)2.掌握直棱柱、正棱锥、正棱台的表面积公式，并会求它们的表面积.(重点)3.了解球的表面积公式，会运用公式求球的表面积.(重点)4.组合体的表面积计算.(难点)[基础·初探]教材整理1 棱柱、棱锥、棱台的表面积阅读教材P25～P26“倒数第5行”以上内容，完成下列问题.棱柱、棱锥、棱台是由多个平面图形围成的多面体，它们的表面积就是各个面的面积和.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)多面体的表面积等于各个面的面积之和.( )(2)棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的.( )(3)沿不同的棱将多面体展开，得到的展开图相同，表面积相等.( )【解析】(1)正确.多面体的表面积等于侧面积与底面积之和.(2)错误.棱台的侧面展开图是由若干个梯形组成的，不一定是等腰梯形.(3)错误.由于剪开的棱不同，同一个几何体的表面展开图可能不是全等形.但是，不论怎么剪，同一个多面体表面展开图的面积是一样的.【答案】(1)√(2)×(3)×教材整理2 圆柱、圆锥、圆台和球的表面积阅读教材P26“倒数第3行”～P27“例1”以上内容，完成下列问题.1.圆柱、圆锥、圆台的表面积公式几何体侧面展开图表面积公式圆柱S圆柱＝2πr(r＋l)，r为底面半径，l为侧面母线长圆锥S圆锥＝πr(r＋l)，r为底面半径，l为侧面母线长圆台S圆台＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)，r′为上底面半径，r为下底面半径，l为侧面母线长2.球的表面积球的表面积公式S球＝4πR2.1.将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是( )A.4πB.3πC.2πD.π【解析】所得旋转体为圆柱，圆柱的底面圆半径为1，高为1，侧面积S＝2πrh＝2π×1×1＝2π.故选C.【答案】 C2.已知两个球的半径之比为1∶2，则这两个球的表面积之比为( )A.1∶2B.1∶4C.1∶6D.1∶8【解析】S1S2＝4πR214πR22＝⎝⎛⎭⎪⎫R1R22＝⎝⎛⎭⎪⎫122＝14.【答案】 B[小组合作型]求棱柱、棱锥、棱台的表面积已知正四棱锥底面边长为4，高与斜高夹角为30°.求它的侧面积和表面积. 【精彩点拨】 根据多面体的侧面积公式，可以先求出相应多面体的底面边长和各侧面的斜高，进而由公式求解.【自主解答】 如图所示，设正四棱锥的高为PO ，斜高为PE ，底面边心距为OE ，它们组成一个直角三角形POE .∵OE ＝42＝2，∠OPE ＝30°，∴PE ＝OE sin 30°＝212＝4.∴S 正四棱锥侧＝12ch ′＝12×(4×4)×4＝32，S 表面积＝42＋32＝48.即该正四棱锥的侧面积是32，表面积是48.1.要求锥体的侧面积及表面积，要利用已知条件寻求公式中所需的条件，一般用锥体的高、斜高、底面边心距等量组成的直角三角形求解相应的量.2.空间几何体的表面积运算，一般是转化为平面几何图形的运算，往往通过解三角形来完成.[再练一题]1.某几何体的三视图如图1188所示，则该几何体的表面积为( )图1188A.180B.200C.220D.240【解析】 由三视图知识知该几何体是底面为等腰梯形的直四棱柱.等腰梯形的上底长为2，下底长为8，高为4，腰长为5，直四棱柱的高为10，所以S 底＝12×(8＋2)×4×2＝40，S 侧＝10×8＋10×2＋2×10×5＝200，S 表＝40＋200＝240，故选D.【答案】 D求圆柱、圆锥、圆台的表面积如图1189所示，已知直角梯形ABCD ，BC ∥AD ，∠ABC ＝90°，AB ＝5 cm ，BC＝16 cm ，AD ＝4 cm.求以AB 所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积.【导学号：45722026】图1189【精彩点拨】 分析几何体的形状―――――――→选择表面积公式求表面积【自主解答】 以AB 所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆台，其上底半径是4 cm ，下底半径是16 cm ，母线DC ＝52＋16－42＝13 (cm).∴该几何体的表面积为π(4＋16)×13＋π×42＋π×162＝532π(cm 2).1.圆柱、圆锥、圆台的相关几何量都集中体现在轴截面上，因此准确把握轴截面中的相关量是求解旋转体表面积的关键.2.棱锥及棱台的表面积计算常借助斜高、侧棱及其在底面的射影与高、底面边长等构成的直角三角形(或梯形)求解.[再练一题]2.在本例题题设条件不变的情况下，求以BC 所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积.【解】 以BC 所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆柱和圆锥的组合体，如图所示：其中圆锥的高为16－4＝12(cm)，圆柱的母线长为AD ＝4 cm ，故该几何体的表面积为： 2π×5×4＋π×52＋π×5×13＝130π(cm 2).球的表面积问题有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比.【精彩点拨】 本题是求三个球的表面积之比，解题的关键是得出半径之比，可在各几何体内做出截面，找到球心，易求半径.【自主解答】 设正方体的棱长为a .(1)正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面正方形的中心，经过四个切点及球心作截面，如图①，所以有2r 1＝a ，r 1＝a2，所以S 1＝4πr 21＝πa 2.(2)球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面，如图②，2r 2＝2a ，r 2＝22a ，所以S 2＝4πr 22＝2πa 2. (3)正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，如图③，所以有2r 3＝3a ，r 3＝32a ，所以S 3＝4πr 23＝3πa 2.综上可得S 1∶S 2∶S 3＝1∶2∶3.1.在处理球和长方体的组合问题时，通常先作出过球心且过长方体对角面的截面图，然后通过已知条件求解.2.球的表面积的考查常以外接球的形式出现，可利用几何体的结构特征构造熟悉的正方体，长方体等，通过彼此关系建立关于球的半径的等式求解.[再练一题]3.一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图1190所示，则该三棱锥的外接球的表面积为( )图1190A.29πB.28πC.25πD.26π【解析】由三视图得直观图如图，三棱锥OABC中OA，OB，OC两两垂直，OA＝3，OC ＝4，OB＝2，可看作是长方体从同一顶点出发的三条棱长，长方体的对角线，即为球的直径，长为32＋42＋22，故外接球半径为292，外接球的表面积S球＝4π⎝⎛⎭⎪⎫2922＝29π.【答案】 A[探究共研型]与三视图有关的表面积探究1 .图1191【提示】 由所给三视图可知该几何体为一个三棱柱，且底面为直角三角形. 探究2 试根据图中数据求该几何体的表面积.【提示】 三棱柱底面三角形的直角边长分别为3和4，斜边长为5，三棱柱的高为5，如图所示，所以表面积为2⎝ ⎛⎭⎪⎫12×3×4＋(3＋4＋5)×5＝72.探究3 已知几何体的三视图，如何求几何体的表面积？【提示】 首先根据三视图确定几何体的形状及其结构特征，再根据相应的表面积公式计算.已知某几何体的三视图如图1192(单位：cm). (1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)； (2)求这个几何体的表面积.【导学号：45722027】图1192【精彩点拨】由三视图确定几何体的形状→选择表面积公式求解【自主解答】 (1)这个几何体的直观图如图所示.(2)这个几何体可看成是正方体AC 1及三棱柱B 1C 1Q —A 1D 1P 的组合体. 由PA 1＝PD 1＝2，A 1D 1＝AD ＝2， 可得PA 1⊥PD 1. 故所求几何体的表面积S ＝5×22＋2×12×2×2＋2×2×2＝22＋42(cm 2).1.由三视图转化为直观图在解题中起到关键作用，在转化过程中注意图中各个数据的对应关系.2.在求几何体的表面积时，要搞清几何体的结构特征，注意分割、拼补的技巧，注意转化与化归思想应用.[再练一题]4.某几何体的三视图如图1193所示，它的表面积为( )图1193A.32πB.48πC.33πD.24π【解析】由三视图可知，该几何体是一个半球和一个圆锥的组合体S＝2π×32＋π·3·5＝33π.【答案】 C1.一个几何体的三视图如图1194所示，该几何体的表面积是( )图1194A.372B.360C.292D.280【解析】该几何体由两个长方体组合而成，其表面积等于下面长方体的全面积与上面长方体的四个侧面积之和.S＝2(10×8＋10×2＋8×2)＋2(6×8＋8×2)＝360.故选B.【答案】 B2.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积之比为( )A.1＋2π2π B.1＋4π4π C.1＋2ππD.1＋4π2π【解析】 设圆柱的底面半径为r ，高为h ，则有h ＝2πr ，所以表面积与侧面积的比为2π(r 2＋rh )∶2πrh ＝(r ＋h )∶h ＝(2π＋1)∶2π.【答案】 A3.一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a 的正方形和正三角形，则它们的表面积之比为________.【解析】 S 圆柱＝2·π⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋2π·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2·a ＝32πa 2，S 圆锥＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋π·a 2·a ＝34πa 2，∴S 圆柱∶S 圆锥＝2∶1.【答案】 2∶14.如图1195所示，圆台的上、下底半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的侧面积为________.图1195【解析】 设圆台的上底半径为r ，则下底半径为4r ，高为4r . 由母线长为10可知10＝3r2＋4r2＝5r ，∴r ＝2.故圆台的上、下底面半径和高分别为2,8,8. 所以圆台的侧面积为π(2＋8)×10＝100π. 【答案】 100π5.已知一圆锥的侧面展开图为半圆，且面积为S ，求圆锥的底面面积.【导学号：45722028】【解】 如图，设圆锥底面半径为r ，母线长为l ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ π2l 2＝S ，πl ＝2πr .解得r ＝S2π，所以底面积为πr 2＝π×S 2π＝S2. ∴圆锥的底面面积为S 2.。
1.1.6棱柱、棱锥、棱台和球的表面积（第一课时）教案
【课题】棱柱、棱锥、棱台和球的表面积
【课时】第一课时
【课型】新授课
【教学目标】1.让学生亲自经历几何体的侧面展开的过程，理解直棱柱、正棱锥、正棱台表面积公式推导过程，培养学生数学直观想象和逻辑
推理的核心素养。
2.让学生能熟练运用公式进行计算，培养数学计算的核心素养。
【教学重点】直棱柱、正棱锥、正棱台表面积公式的推导与应用
【教学难点】直棱柱、正棱锥、正棱台表面积公式的应用.
【学情分析】
【教学方法】合作探究、问题探究、展示点评
【教学用具】学案、课件（PPT）、投影仪
【教学过程】。
棱柱、棱锥、棱台和球的表面积1高一数学必修二第一章1.1.6一、学习目标1.理解棱柱、棱锥、棱台和球的表面积概念，了解它们的侧面展开图．2.掌握直棱柱、正棱锥、正棱台的表面积公式，并会求它们的表面积．3.掌握球的表面积公式并会求球的表面积．二、自主学习1．直棱柱的表面积直棱柱的侧面展开图是_________，由矩形的面积公式可得直棱柱的侧面积公式为S直棱柱侧＝ch，其中棱柱的高为h，底面多边形的周长为c.(1)语言叙述：直棱柱的侧面积等于它的底面周长和高的乘积．(2)直棱柱的表面积等于侧面积与上、下底面积的和．2．正棱锥的表面积正棱锥的侧面展开图是一些_________________，底面是正多边形，如果设它的底面边长为a，底面周长为c，斜高为h′，则正n棱锥的侧面积计算公式为________________________.(1)语言叙述:正棱锥的侧面积等于它底面的周长和斜高乘积的一半.(2)正棱锥的表面积等于侧面积与底面积的和.3．正棱台的表面积正棱台的侧面展开图是________________，底面是正多边形，如果设棱台下底面边长为a，周长为c，上底面边长为a′，周长为c′，斜高为h′，则正n棱台的侧面积公式为S＝_____________________________.正棱台侧(1)正棱台的侧面积公式亦可由两个棱锥侧面积之差得出．(2)正棱台的表面积(全面积)等于正棱台的侧面积与两底面积的和．4．球的表面积公式：S＝______________，其中R为球半径．语言叙述：球面面积等于它的大圆面积的4倍．5．圆柱、圆锥、圆台的表面积公式(1)圆柱的侧面展开图为__________，因此侧面积公式为S圆柱侧＝__________.(其中R为底面圆半径，h为圆柱的高)(2)圆锥的侧面展开图为________，因此侧面积公式为S圆锥侧＝_____________.(其中c为圆锥底面圆周长，l为母线长，R为底面圆半径) (3)圆台的侧面展开图为扇环，因此侧面积公式为S圆台侧＝______________.(其中r、r2分别为上、下底面圆半径，c1、c2分别为上、下底面圆周长，l为圆台的母1线) Array(4)表面积为侧面积与底面积的和．三、典例分析例1、已知正四棱锥底面正方形的边长为4cm,为30o。
1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积1.1.7 柱、锥、台和球的体积典题精讲例1表面积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为( )A. B.π C. D.π思路解析：此正八面体是每个面的边长均为a的正三角形，所以由8×,知a=1，则此球的直径为，故选 A.答案：A绿色通道：球与正方体或长方体的接与切问题是高考中最常见的一种题型.若长方体内接于一个球,那么其对角线长等于球的直径.对于正方体来说,恰有球的直径等于正方体棱长的3倍.变式训练 1 已知正方体外接球的体积是π，那么正方体的棱长等于( )A. B. C. D.思路解析：正方体外接球的体积是π，则外接球的半径R=2，正方体的体对角线的长为4，棱长等于，选 D.答案：D例2正四棱台AC1的高是17 cm,两底面的边长分别是 4 cm和16 cm,求这个棱台的侧棱长和斜高.思路分析：棱台中有关量的计算通常是归结到某个梯形内进行,而正棱台则是在直角梯形内进行.图11-(6,7)-1解：设棱台两底面的中心分别是O1和O,B1C1和BC的中点分别是E1和E,如图11-(6,7)-1所示,连结O1O、E1E、OB、O1B1、OE、O1E1,则OBB1O1和OEE1O1都是直角梯形.∵Ａ1B1=4 cm,AB=16 cm,∴Ｏ1E1=2 cm,OE=8 cm,O1B1=cm,OB=cm.因此BB1==19(cm),EE1=(cm),即这个棱台的侧棱长是19 cm,斜高是cm.绿色通道：正棱台的侧面积与斜高有一定的关系,而斜高的求解一般归结到一个梯形中,利用梯形的性质进行求解.变式训练2棱台的两底面都是矩形，两底面对角线交点的连线是棱台的高且长为12 cm，上底的周长为112 cm，下底的长和宽分别为54 cm和30 cm.求棱台的侧面积.思路解析：首先可以根据平行成比例求出上底长和宽,再求侧面积.解：设上底面的长为x cm，宽为(56-x) cm，把棱台恢复成棱锥以后小棱锥的高为h cm. 则,∴x=36,56-x=20.设侧面梯形的高分别为y cm，z cm.则y==15,z==13.∴Ｓ侧=(54+36)·13+(30+20)·15=1 170+750=1 920.答：棱台的侧面积是 1 920 cm2.例3如图11-(6,7)-2，有一圆柱内接于底面半径为4、高为3的圆锥内，求此圆柱的侧面积的最大值.图11-(6,7)-2思路分析：本题圆柱的底面半径和母线长都在变，设圆柱的底面半径为r，通过轴截面中三角形的相似，可以找到圆柱的底面半径r和母线长l的关系，从而使l能用r来表示，利用圆柱的侧面积公式，最终把问题转化为求函数最大值的问题.解：如题图所示，设圆柱的底面半径为r，母线长为l,则CO=r，A′C=l，AO=4，SO=3.在△SAO中，∵A′C∥SO,，∴.∴l=.根据圆柱的侧面积公式S侧=2πr·r(12-3r)=［-3(r-2)2+24］,当r=2时，S侧最大，此时圆柱的侧面积的最大值为12π．绿色通道：求圆柱的侧面积的关键是求圆柱的底面半径和母线长，本题中使l能用r来表示，把问题转化为求函数最大值的问题是常见的题型.变式训练3直四棱柱的底面是矩形，且底面对角线的夹角为60°，对角面的面积为S，求此直四棱柱的侧面积.思路分析：此题应可以将对角线大胆的设元，目的是方便列方程，将对角线设出，但设而不解.因此，底面两条边以及对角线全部用母线长l来表示，在最后进行侧面积的计算时，刚好约去l.解：如图所示，设底面两边分别为a、b，侧棱长为l，图11-(6,7)-3底面对角线长为t，则AC=BD=t，设AC与BD相交于O点，则∠AOD=60°，∠AOB=120°，∴△AOD是等边三角形.∴AD=OA=AC=t.∴△AOB是顶角为120°的等腰三角形，AB=OA=t.又∵对角面的面积为S，S=t·l，∴t=.∴AD=t=，AB=t=.∴Ｓ侧=c·l=2(AD+AB)l=(+)l=(+1)S.问题探究问题球与长方体、正方体的切、接问题较复杂,一般将球转化为平面问题解决.如下例: 棱长为 2 cm的正方体容器盛满了水，把半径为 1 cm的铜球放入水中，铜球刚好被淹没.现向正方体内放入一个铁球，使它淹没在水中，要使流出来的水量最多，这个铁球的半径应该为多少？导思:铜球放入正方体容器刚好被淹没，相当于球内切于正方体，再放入一个铁球，要使流出的水量最多，就是使铁球与水面相切，画出过正方体的对角面的截面图，转化为平面问题求解.探究：图11-(6,7)-4是正方体的对角面的截面图.AC1=，AO=，AS=AO-OS=-1.设铁球的半径为r，tan∠Ｃ1AC=.图11-(6,7)-4在△AO1D中，AO1=r，∴AS=AO1+O1S=r+r.又AS=-1，∴r+r=-1,r==(2-) cm.故铁球的半径为(2-) cm.单独说球很简单，因为球有多方位对称性，但是当球被平面所截，特别是与多面体切接时，问题的难度就大大增加了.要充分发挥空间想象力，把有关球的问题转化为平面问题，熟记一些常见的球与多面体组成的组合体的截面图，将有利于解题.。
