2018年高考理科数学第一轮复习教案6 二次函数与幂函数

第六节二次函数与幂函数[知识能否忆起]一、常用幂函数的图象与性质函数特征性质y＝x y＝x2y＝x3y＝x12y＝x－1图象定义域R R R{x|x≥0}{x|x≠0} 值域R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0} 奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增(－∞，0]减(0，＋∞)增增增(－∞，0)和(0，＋∞)减公共点(1,1)二、二次函数1．二次函数的定义形如f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数叫做二次函数．2．二次函数解析式的三种形式(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)；(3)零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．3．二次函数的图象和性质a>0a<0 图象图象特点①对称轴：x＝－b2a；②顶点：⎝⎛⎭⎫－b2a，4ac－b24a性质定义域 x ∈R值域y ∈⎣⎡4ac －b 24a ，＋∞y ∈⎝⎛⎦⎤－∞，4ac －b 24a 奇偶性b ＝0时为偶函数，b ≠0时既非奇函数也非偶函数单调性x ∈－∞，⎦⎤－b 2a 时递减，x ∈－b2a，＋∞时递增x ∈⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 时递增，x ∈⎣⎡⎭⎫－b 2a ，＋∞时递减[小题能否全取]1．若f (x )既是幂函数又是二次函数，则f (x )可以是( ) A ．f (x )＝x 2－1 B ．f (x )＝5x 2 C ．f (x )＝－x 2D ．f (x )＝x 2解析：选D 形如f (x )＝x α的函数是幂函数，其中α是常数．2．(教材习题改编)设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α值为( )A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,3解析：选A 在函数y ＝x －1，y ＝x ，y ＝x 12，y ＝x 3中，只有函数y ＝x 和y ＝x 3的定义域是R ，且是奇函数，故α＝1,3.3．(教材习题改编)已知函数f (x )＝ax 2＋x ＋5的图象在x 轴上方，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，120B.⎝⎛⎭⎫－∞，－120 C.⎝⎛⎭⎫120，＋∞D.⎝⎛⎭⎫－120，0 解析：选C 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，1－20a <0得a >120.4．(教材习题改编)已知点M ⎝⎛⎭⎫33，3在幂函数f (x )的图象上，则f (x )的表达式为________．解析：设幂函数的解析式为y ＝x α，则3＝⎝⎛⎭⎫33α，得α＝－2.故y ＝x －2. 答案：y ＝x －25．如果函数f (x )＝x 2＋(a ＋2)x ＋b (x ∈[a ，b ])的图象关于直线x ＝1对称，则函数f (x )的最小值为________．解析：由题意知⎩⎨⎧－a ＋22＝1，a ＋b ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝6.则f (x )＝x 2－2x ＋6＝(x －1)2＋5≥5. 答案：51.幂函数图象的特点(1)幂函数的图象一定会经过第一象限，一定不会经过第四象限，是否经过第二、三象限，要看函数的奇偶性；(2)幂函数的图象最多只能经过两个象限内；(3)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点． 2．与二次函数有关的不等式恒成立问题 (1)ax 2＋bx ＋c >0，a ≠0恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b 2－4ac <0.(2)ax 2＋bx ＋c <0，a ≠0恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，b 2－4ac <0.[注意] 当题目条件中未说明a ≠0时，就要讨论a ＝0和a ≠0两种情况．幂函数的图象与性质典题导入[例1] 已知幂函数f (x )＝(m 2－m －1)x－5m －3在(0，＋∞)上是增函数，则m ＝________.[自主解答] ∵函数f (x )＝(m 2－m －1)x －5m －3是幂函数， ∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1.当m ＝2时，－5m －3＝－13，函数y ＝x －13在(0，＋∞)上是减函数； 当m ＝－1时，－5m －3＝2，函数y ＝x 2在(0，＋∞)上是增函数． ∴m ＝－1. [答案] －1由题悟法1．幂函数y ＝x α的图象与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查： (1)α的正负：α>0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升；α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降．(2)曲线在第一象限的凹凸性：α>1时，曲线下凸； 0<α<1时，曲线上凸；α<0时，曲线下凸．2．在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数．借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．以题试法1．(1)如图给出4个幂函数大致的图象，则图象与函数对应正确的是( )A ．①y ＝x 13，②y ＝x 2，③y ＝x 12，④y ＝x －1B ．①y ＝x 3，②y ＝x 2，③y ＝x 12，④y ＝x －1C ．①y ＝x 2，②y ＝x 3，③y ＝x 12，④y ＝x －1D ．①y ＝x 13，②y ＝x 12，③y ＝x 2，④y ＝x －1解析：选B 由图①知，该图象对应的函数为奇函数且定义域为R ，当x >0时，图象是向下凸的，结合选项知选B.(2)(·淄博模拟)若a <0，则下列不等式成立的是( ) A ．2a >⎝⎛⎭⎫12a>(0.2)aB ．(0.2)a >⎝⎛⎭⎫12a>2aC.⎝⎛⎭⎫12a>(0.2)a>2aD ．2a >(0.2)a >⎝⎛⎭⎫12a解析：选B 若a <0，则幂函数y ＝x a 在(0，＋∞)上是减函数，所以(0.2)a >⎝⎛⎭⎫12a>0.所以(0.2)a >⎝⎛⎭⎫12a>2a .求二次函数的解析式典题导入[例2] 已知二次函数f (x )有两个零点0和－2，且它有最小值－1. (1)求f (x )解析式；(2)若g (x )与f (x )图象关于原点对称，求g (x )解析式． [自主解答] (1)由于f (x )有两个零点0和－2， 所以可设f (x )＝ax (x ＋2)(a ≠0)， 这时f (x )＝ax (x ＋2)＝a (x ＋1)2－a ， 由于f (x )有最小值－1，所以必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，－a ＝－1，解得a ＝1.因此f (x )的解析式是f (x )＝x (x ＋2)＝x 2＋2x .(2)设点P (x ，y )是函数g (x )图象上任一点，它关于原点对称的点P ′(－x ，－y )必在f (x )图象上，所以－y ＝(－x )2＋2(－x )， 即－y ＝x 2－2x ， y ＝－x 2＋2x ， 故g (x )＝－x 2＋2x .由题悟法求二次函数的解析式常用待定系数法．合理选择解析式的形式，并根据已知条件正确地列出含有待定系数的等式，把问题转化为方程(组)求解是解决此类问题的基本方法．以题试法2．设f (x )是定义在R 上的偶函数，当0≤x ≤2时，y ＝x ，当x >2时，y ＝f (x )的图象是顶点为P (3,4)，且过点A (2,2)的抛物线的一部分．(1)求函数f (x )在(－∞，－2)上的解析式；(2)在下面的直角坐标系中直接画出函数f (x )的草图； (3)写出函数f (x )的值域．解：(1)设顶点为P(3,4)且过点A(2,2)的抛物线的方程为y＝a(x－3)2＋4，将(2,2)代入可得a＝－2，则y＝－2(x－3)2＋4，即x>2时，f(x)＝－2x2＋12x－14.当x<－2时，即－x>2.又f(x)为偶函数，f(x)＝f(－x)＝－2×(－x)2－12x－14，即f(x)＝－2x2－12x－14.所以函数f(x)在(－∞，－2)上的解析式为f(x)＝－2x2－12x－14.(2)函数f(x)的图象如图，(3)由图象可知，函数f(x)的值域为(－∞，4]．二次函数的图象与性质典题导入[例3]已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数．[自主解答](1)当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，由于x∈[－4,6]．所以f(x)在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，故f(x)的最小值是f(2)＝－1，又f(－4)＝35，f(6)＝15，故f(x)的最大值是35.(2)由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f(x)在[－4,6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4.故a 的取值范围为(－∞，－6]∪[4，＋∞)．本例条件不变，求当a ＝1时，f (|x |)的单调区间． 解：当a ＝1时，f (x )＝x 2＋2x ＋3，则f (|x |)＝x 2＋2|x |＋3，此时定义域为x ∈[－6,6]，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋3，x ∈(0，6]，x 2－2x ＋3，x ∈[－6，0]，故f (|x |)的单调递增区间是(0,6]， 单调递减区间是[－6,0]．由题悟法解决二次函数图象与性质问题时要注意：(1)抛物线的开口，对称轴位置，定义区间三者相互制约，常见的题型中这三者有两定一不定，要注意分类讨论．(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上二次函数最值问题的求法．以题试法3．(·泰安调研)已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]时有最大值2，则a 的值为________．解析：f (x )＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1， 当a >1时，y max ＝a ；当0≤a ≤1时，y max ＝a 2－a ＋1； 当a ＜0时，y max ＝1－a .根据已知条件⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞1，a ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤a ≤1，a 2－a ＋1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，1－a ＝2，解得a ＝2或a ＝－1. 答案：2或－1二次函数的综合问题[例4] (·衡水月考)已知函数f (x )＝x 2，g (x )＝x －1. (1)若存在x ∈R 使f (x )<b ·g (x )，求实数b 的取值范围；(2)设F (x )＝f (x )－mg (x )＋1－m －m 2，且|F (x )|在[0,1]上单调递增，求实数m 的取值范围．[自主解答] (1)∃x ∈R ，f (x )<bg (x )⇒∃x ∈R ， x 2－bx ＋b <0⇒(－b )2－4b >0⇒b <0或b >4. 故b 的取值范围为(－∞，0)∪(4，＋∞)． (2)F (x )＝x 2－mx ＋1－m 2， Δ＝m 2－4(1－m 2)＝5m 2－4. ①当Δ≤0，即－255≤m ≤255时，则必需⎩⎨⎧m2≤0，－255≤m ≤255⇒－255≤m ≤0.②当Δ>0，即m <－255或m >255时，设方程F (x )＝0的根为x 1，x 2(x 1<x 2)．若m2≥1，则x 1≤0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ m 2≥1，F (0)＝1－m 2≤0⇒m ≥2； 若m2≤0，则x 2≤0， 即⎩⎪⎨⎪⎧m 2≤0，F (0)＝1－m 2≥0⇒－1≤m ≤－255.综上所述，m 的取值范围为[－1,0]∪[2，＋∞)．由题悟法二次函数与二次方程、二次不等式统称“三个二次”，它们之间有着密切的联系，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体．因此，有关“三个二次”的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．4．若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式；(2)若在区间[－1,1]上，不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)由f (0)＝1，得c ＝1.即f (x )＝ax 2＋bx ＋1. 又f (x ＋1)－f (x )＝2x ，则a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x ， 即2ax ＋a ＋b ＝2x ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2，a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1.因此，f (x )＝x 2－x ＋1.(2)f (x )>2x ＋m 等价于x 2－x ＋1>2x ＋m ，即x 2－3x ＋1－m >0，要使此不等式在[－1,1]上恒成立，只需使函数g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上的最小值大于0即可．∵g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上单调递减， ∴g (x )min ＝g (1)＝－m －1， 由－m －1>0得，m <－1.因此满足条件的实数m 的取值范围是(－∞，－1)．1．已知幂函数f (x )＝x α的部分对应值如下表：x 1 12 f (x )122则不等式f (|x |)≤2的解集是(A ．{x |0<x ≤2} B ．{x |0≤x ≤4} C ．{x |－2≤x ≤2}D ．{x |－4≤x ≤4}解析：选D 由f ⎝⎛⎭⎫12＝22⇒α＝12，即f (x )＝x 12，故f (|x |)≤2⇒|x |12≤2⇒|x |≤4，故其解集为{x |－4≤x ≤4}．2．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象可能是( )解析：选D ∵a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0， ∴a >0，c <0.∴图象开口向上与y 轴交于负半轴．3．已知f (x )＝x 12，若0<a <b <1，则下列各式中正确的是( )A ．f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1a <f ⎝⎛⎭⎫1b B ．f ⎝⎛⎭⎫1a <f ⎝⎛⎭⎫1b <f (b )<f (a ) C ．f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f ⎝⎛⎭⎫1a D ．f ⎝⎛⎭⎫1a <f (a )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f (b ) 解析：选C 因为函数f (x )＝x 12在(0，＋∞)上是增函数，又0<a <b <1b <1a ，故f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f ⎝⎛⎭⎫1a .4．已知f (x )＝x 2＋bx ＋c 且f (－1)＝f (3)，则( ) A ．f (－3)<c <f ⎝⎛⎭⎫52 B ．f ⎝⎛⎭⎫52<c <f (－3) C ．f ⎝⎛⎭⎫52<f (－3)<cD ．c <f ⎝⎛⎭⎫52<f (－3)解析：选D 由已知可得二次函数图象关于直线x ＝1对称，则f (－3)＝f (5)，c ＝f (0)＝f (2)，二次函数在区间(1，＋∞)上单调递增，故有f (－3)＝f (5)>f ⎝⎛⎭⎫52>f (2)＝f (0)＝c .5．设二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，且f (m )≤f (0)，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．[2，＋∞)C ．(－∞，0]∪[2，＋∞)D ．[0,2]解析：选D 二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，则a ≠0，f ′(x )＝2a (x －1)≤0，x ∈[0,1]，所以a >0，即函数图象的开口向上，对称轴是直线x ＝1. 所以f (0)＝f (2)，则当f (m )≤f (0)时，有0≤m ≤2.6．若方程x 2－2mx ＋4＝0的两根满足一根大于1，一根小于1，则m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，－52B.⎝⎛⎭⎫52，＋∞ C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D.⎝⎛⎭⎫－52，＋∞ 解析：选B 设f (x )＝x 2－2mx ＋4，则题设条件等价于f (1)<0，即1－2m ＋4<0，解得m >52. 7．对于函数y ＝x 2，y ＝x 12有下列说法：①两个函数都是幂函数；②两个函数在第一象限内都单调递增； ③它们的图象关于直线y ＝x 对称； ④两个函数都是偶函数； ⑤两个函数都经过点(0,0)、(1,1)； ⑥两个函数的图象都是抛物线型． 其中正确的有________．解析：从两个函数的定义域、奇偶性、单调性等性质去进行比较． 答案：①②⑤⑥8．(·北京西城二模)已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋1是R 上的偶函数，则实数b ＝________，不等式f (x －1)<x 的解集为________．解析：因为f (x )＝x 2＋bx ＋1是R 上的偶函数，所以b ＝0，则f (x )＝x 2＋1，解不等式(x －1)2＋1<x ，即x 2－3x ＋2<0得1<x <2.答案：0 {x |1<x <2}9．若x ≥0，y ≥0，且x ＋2y ＝1，那么2x ＋3y 2的最小值为________． 解析：由x ≥0，y ≥0，x ＝1－2y ≥0知0≤y ≤12，令t ＝2x ＋3y 2＝3y 2－4y ＋2， 则t ＝3⎝⎛⎭⎫y －232＋23. 在⎣⎡⎦⎤0，12上递减，当y ＝12时，t 取到最小值，t min ＝34.答案：3410．如果幂函数f (x )＝x －12p 2＋p ＋32(p ∈Z)是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数．求p的值，并写出相应的函数f (x )的解析式．解：∵f (x )在(0，＋∞)上是增函数， ∴－12p 2＋p ＋32>0，即p 2－2p －3<0.∴－1<p <3.又∵f (x )是偶函数且p ∈Z ， ∴p ＝1，故f (x )＝x 2.11．已知二次函数f (x )的图象过点A (－1,0)、B (3,0)、C (1，－8)． (1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在x ∈[0,3]上的最值； (3)求不等式f (x )≥0的解集．解：(1)由题意可设f (x )＝a (x ＋1)(x －3)， 将C (1，－8)代入得－8＝a (1＋1)(1－3)，得a ＝2. 即f (x )＝2(x ＋1)(x －3)＝2x 2－4x －6. (2)f (x )＝2(x －1)2－8，当x ∈[0,3]时，由二次函数图象知， f (x )min ＝f (1)＝－8，f (x )max ＝f (3)＝0. (3)f (x )≥0的解集为{x |x ≤－1，或x ≥3}．12．已知函数f (x )＝ax 2－2ax ＋2＋b (a ≠0)，若f (x )在区间[2,3]上有最大值5，最小值2. (1)求a ，b 的值；(2)若b <1，g (x )＝f (x )－m ·x 在[2,4]上单调，求m 的取值范围． 解：(1)f (x )＝a (x －1)2＋2＋b －a . 当a >0时，f (x )在[2,3]上为增函数，故⎩⎪⎨⎪⎧ f (3)＝5，f (2)＝2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 9a －6a ＋2＋b ＝5，4a －4a ＋2＋b ＝2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0. 当a <0时，f (x )在[2,3]上为减函数，故⎩⎪⎨⎪⎧ f (3)＝2，f (2)＝5，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 9a －6a ＋2＋b ＝2，4a －4a ＋2＋b ＝5，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.(2)∵b <1，∴a ＝1，b ＝0，即f (x )＝x 2－2x ＋2. g (x )＝x 2－2x ＋2－mx ＝x 2－(2＋m )x ＋2， ∵g (x )在[2,4]上单调，∴2＋m 2≤2或m ＋22≥4.∴m ≤2或m ≥6.1．已知y ＝f (x )是偶函数，当x >0时，f (x )＝(x －1)2，若当x ∈⎣⎡⎦⎤－2，－12时，n ≤f (x )≤m 恒成立，则m －n 的最小值为( )A.13 B.12 C.34D ．1解析：选D 当x <0时，－x >0，f (x )＝f (－x )＝(x ＋1)2， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤－2，－12， ∴f (x )min ＝f (－1)＝0，f (x )max ＝f (－2)＝1， ∴m ≥1，n ≤0，m －n ≥1.2．(·青岛质检)设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈[a ，b ]上有两个不同的零点，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“关联函数”，区间[a ，b ]称为“关联区间”．若f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在[0,3]上是“关联函数”，则m 的取值范围为________．解析：由题意知，y ＝f (x )－g (x )＝x 2－5x ＋4－m 在[0,3]上有两个不同的零点．在同一坐标系下作出函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图象如图所示，结合图象可知，当x ∈[2,3]时，y ＝x 2－5x ＋4∈⎣⎡⎦⎤－94，－2，故当m ∈⎝⎛⎦⎤－94，－2时，函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图象有两个交点．答案：⎝⎛⎦⎤－94，－2 3．(·滨州模拟)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0，b ∈R ，c ∈R)．(1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x >0，－f (x )，x <0，求F (2)＋F (－2)的值；(2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b 的取值范围． 解：(1)由已知得c ＝1，a －b ＋c ＝0，－b2a ＝－1，解得a ＝1，b ＝2.则f (x )＝(x ＋1)2.则F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)2，x >0，－(x ＋1)2，x <0.故F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.(2)由题意得f (x )＝x 2＋bx ，原命题等价于－1≤x 2＋bx ≤1在(0,1]上恒成立，即b ≤1x －x且b ≥－1x－x 在(0,1]上恒成立．又当x ∈(0,1]时，1x －x 的最小值为0，－1x －x 的最大值为－2，故－2≤b ≤0.1．比较下列各组中数值的大小． (1)30.8,30.7；(2)0.213,0.233；(3)4.125，3.8－25，(－1.4)35；(4)0.20.5,0.40.3.解：(1)函数y ＝3x 是增函数，故30.8>30.7. (2)y ＝x 3是增函数，故0.213<0.233.(3)4.125>1,0<3.8－25<1，而(－1.4)35<0，故4.125>3.8－25>(－1.4)35.(4)先比较0.20.5与0.20.3，再比较0.20.3与0.40.3，y ＝0.2x 是减函数，故0.20.5<0.20.3；y ＝x 0.3在(0，＋∞)上是增函数，故0.20.3<0.40.3.则0.20.5<0.40.3.2．设abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )解析：选D 当－b2a <0时，ab >0，从而c >0，可排除A ，C ；当－b2a >0时，ab <0，从而c <0，可排除B ，选D.3．已知函数f (x )＝ax 2－2x ＋1. (1)试讨论函数f (x )的单调性；(2)若13≤a ≤1，且f (x )在[1,3]上的最大值为M (a )，最小值为N (a )，令g (a )＝M (a )－N (a )，求g (a )的表达式；(3)在(2)的条件下，求证：g (a )≥12.解：(1)当a ＝0时，函数f (x )＝－2x ＋1在(－∞，＋∞)上为减函数； 当a >0时，抛物线f (x )＝ax 2－2x ＋1开口向上，对称轴为x ＝1a ，故函数f (x )在⎝⎛⎦⎤－∞，1a 上为减函数，在⎣⎡⎭⎫1a ，＋∞上为增函数； 当a <0时，抛物线f (x )＝ax 2－2x ＋1开口向下，对称轴为x ＝1a ，故函数f (x )在⎝⎛⎦⎤－∞，1a 上为增函数，在⎣⎡⎭⎫1a ，＋∞上为减函数． (2)∵f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －1a 2＋1－1a， 由13≤a ≤1得1≤1a ≤3，∴N (a )＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝1－1a . 当1≤1a <2，即12<a ≤1时，M (a )＝f (3)＝9a －5，故g (a )＝9a ＋1a－6；当2≤1a ≤3，即13≤a ≤12时，M (a )＝f (1)＝a －1，故g (a )＝a ＋1a－2.∴g (a )＝⎩⎨⎧a ＋1a－2，a ∈⎣⎡⎦⎤13，12，9a ＋1a －6，a ∈⎝⎛⎦⎤12，1.(3)证明：当a ∈⎣⎡⎦⎤13，12时，g ′(a )＝1－1a 2<0， ∴函数g (a )在⎣⎡⎦⎤13，12上为减函数； 当a ∈⎝⎛⎦⎤12，1时，g ′(a )＝9－1a 2>0， ∴函数g (a )在⎝⎛⎦⎤12，1上为增函数，∴当a ＝12时，g (a )取最小值，g (a )min ＝g ⎝⎛⎭⎫12＝12. 故g (a )≥12.。

第四节二次函数与幕函数［考纲传真］(教师用书独具)1.(1) 了解幕函数的概念；(2)结合函数y= x, y = x2,13 1y = x , y = x2, y = -的图像，了解它们的变化情况2理解二次函数的图像和性质，x能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.双基自主测评I 梳理自測巩固基础知识(对应学生用书第16页)［基础知识填充］1. 二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f (x) = ax + bx+ c(0)；2顶点式：f (x) = a(x- h) + k(a z0)，顶点坐标为(h, k)；零点式：f (x) = a( x—x"( x —X2)( a^ 0), X1, X2为f (x)的零点.(2)二次函数的图像与性质函数2y = ax + bx+ c( a> 0)2y= ax 十bx+ c(a< 0)J1图像Xu/g 1:定义域R值域；4ac —b2)+ 8 i1 4a，十丿4ac—b2]—4a 一I ,在！-m,—上减在在!一OO,--坯上增，在单调性-b V —若十^广增7 b r方,十8上减对称性函数的图像关于x=—-2对称2a2. 幕函数(1) 定义：如果一个函数，底数是自变量x，指数是常量a，即y = x a，这样的函数称为幕函数.(2) 五种常见幕函数的图像与性质特\函、/ \数y = x2y = x3y= x 1 y = x2—1y= x4.200[知识拓展] 若f (x ) = ax + bx + c (a ^0)，则当*时，恒有f (x ) >0;当*A V 0 △ v 0时，恒有f (x ) V 0.［基本能力自测］(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“V”，错误的打“X”) 二次函数y = ax 2+ bx + c , x € R 不可能是偶函数.()24ac — b二次函数y = ax + bx + c , x €［a , b ］的最值一定是 .(4a幕函数的图像一定经过点 (1,1)和点(0,0).( )当n >0时，幕函数y = x 在(0 ,+^)上是增函数.( )［答案］X (2) X (3) X (4) V2. 2y =x , y =y = 4x 2, y = x 5 + 1, y = (x — 1)2, y = x , y = a x ( a > 1)，上述函数是幕函1.(1)(1)4.数的有( B. 1个D. 3个i a >0，得 a >-0.]1 — 20a v 0,20若f (x ) = (x + a )( x — 4)为偶函数，则实数a = _________ .24 [f (x ) = x + (a — 4)x — 4a ,由 f (x )是偶函数知 a — 4 = 0,所以 a = 4.]A. 0个 C. 2个 3.C ［只有已知函数f (x ) = ax + x + 5的图像在x 轴上方，则 y = x 是幕函数，故选 C.］a 的取值范围是(A. 0， 20B.一oo,C. 20D.20'C [由题意知,a >0，I A V 0,< 0.)1• f (x ) = x 2.故选 C.2(2) a = 23 = 43, b = 33, c = 253 = 53. 2••• y = x 3在第一象限内为增函数，又 5> 4 > 3,••• c > a > b.]［规律方法］(1)幕函数的形式是y = x a( a € R),其中只有一个参数 a ,因此只需一个条件 即可确定其解析式•⑵若幕函数y = x a( a € R)是偶函数，则 a 必为偶数•当a 是分数时，一般先将其化为根式，再判断•5.(教材改编)已知幕函数y = f (x )的图像过点2, '则此函数的解析式为区间上递减.y = x2 (0,+口 [设 f (x ) = x a ,则 2a 韦,11 --所以a =- 2,即幕函数的解析式为y = x 2,单调减区间为(0，+m ).］题型(对应学生用书第17页)幕函数的图像与性质(1)幕函数y = f (x )的图像过点(4,2)，则幕函数y = f (x )的图像是( )⑵(2016 •全国卷川)已知b = 33,c = 253,则()A. b v a < cB. a < b < cC. b < c < aD. c < a < b(1)C (2)A [(1)令 f (x ) = x，由41 2,⑶若幕函数y = x a在(0，+m )上单调递增，则a > 0，若在(0，+m )上单调递减，则a［跟踪训练］(1)已知幕函数2f (x ) = ( n + 2 !n —2) • x n 一3n( n € Z)在(0 , +^)上是减函数,贝U n 的值为()A. — 3B. 1C. 2D. 1 或 21 1(2)若(a + 1)2v (3 — 2a )2，则实数a 的取值范围是 ________________ .(1)B (2) — 1, I )［⑴ 由于f (x )为幕函数，所以n 2+ 2n — 2= 1,解得n = 1或n =— -2118I.当 n = 1 时，f (x ) = x = x 在(0,+^)上是减函数；当 n = — I 时，f (x ) = x 在(0 , X+ ^)上是增函数•故 n = 1符合题意，应选 B.(2)易知函数y = x 2的定义域为［0 ,+^)，在定义域内为增函数， a+1> 0, I2所以 \3-2a >0,解得一 1w a v |.]^a +1 v 3 — 2a ?创二次函数的解析式•【导学号：79140037】［解］法一(利用一般式)： 设 f (x ) = ax 2+ bx + c (0).4a + 2b + c =— 1a —b +c =— 1, 4ac — b 2=8,a=— 4,解得」b = 4,•••所求二次函数为 f (x ) = — 4x 2 + 4x + 7.■C = 7. 法二(利用顶点式)：2设 f (x ) = a (x —m ) + n .••• f(2) = f( — 1),由题意得 4a• m ^2.又根据题意函数有最大值 8,二n = 8.•-y = f (x ) = a x -2 | + 8.••• f(2) =- 1 ,• a 2-2 + 8=- 1,解得 a =-4, • f (x ) =- 4 x - 2 + 8=- 4x 2+ 4x + 7. 法三(利用零点式)：由已知f (x ) + 1 = 0的两根为x i = 2, X 2=- 1,故可设 f (x ) + 1= a (x -2)( x + 1), 即 f (x ) = ax - ax -2a - 1.24a ( 一 2a - 1) 一 ( 一 a )又函数的最大值是 8,即 ---------- 厂」一 =8,解得a =-4, •所求函数的解析式为 f (x ) =- 4x 2 + 4x + 7. ［规律方法］用待定系数法求二次函数的解析式，关键是灵活选取二次函数解析式的形式, 选法如下：［跟踪训练］已知二次函数f (x )的图像经过点(4,3)，它在x 轴上截得的线段长为2,并且对任意x € R ,都有f (2 - x ) = f (2 + x )，求f (x )的解析式. ［解］•/ f (2 -x ) = f (2 + x )对 x € R 恒成立， • f (x )的对称轴为x = 2.又••• f (x )的图像被x 轴截得的线段长为 2,• f (x ) = 0的两根为1和3.设 f (x )的解析式为 f (x ) = a (x - 1)( x - 3)( a M 0). 又••• f (x )的图像过点(4,3), • 3 a = 3, a = 1.•所求f (x )的解析式为f (x ) = (x - 1)( x -3), 即 f (x ) = x 2- 4x + 3.•••抛物线的图像的对称轴为x = 2 +( - 1)1 2.9. 设abc > 0,则二次函数f (x ) = ax 2 + bx + c 的图像可能是()A(2017 •广州十六中月考)若函数f (x ) = x 2— 2x +1在区间［a , a + 2］上的最小值为仅已知函数 f (x ) = x 2 + bx + c ( b , c € R)，对任意的 x € R ,恒有 f '(x ) w f (x ).◎角度1二次函数图像的识别及应用D [由 A , C, D 知，f (0) = c v 0.T abc > 0,「. ab v 0,二对称轴x =— 2a > 0,知AC 错误，D 符合要求.由B 知f (0) v 0, B 错误.]b=c > 0 ,二 ab > 0 ,二 x =—— 2a◎角度2二次函数的最值问题 4，则a 的取值集合为(C [f (x ) = x 2— 2x + 1 = (x — 1)2，图像的对称轴是 x = 1.因为f (x )在区间［a , a +2］上的最小值为 4,所以当 1 w a 时，y min = f ( a ) = (a — 1) 2= 4，解得 a =— 1(舍去)或 a = 3；当 a + 2w 1,即卩 a w — 1 时，y min = f (a + 2) = (a +1)2= 4，解得 a = 1(舍去)或 a =— 3；当a v 1 v a + 2,即一1v a v 1时，y min = f (1) = 0工4,不符合题意，故 a 的取值集合为{ — 3,3}.]◎角度3二次函数中的恒成立问题 2(1)证明：当 X 》0 时，f ( x ) w(x + c )；2 2⑵ 若对满足题设条件的任意 b , c ,不等式f (c ) — f (b ) w Me — b )恒成立，求 M 的最小值.[解](1)证明：易知 f '(x ) = 2x + b . 由题设，对任意的 x € R,2x + b w x 2+ bx + c ,2即x + (b — 2)x + c — b 》0恒成立,2b 2所以△= (b — 2) — 4( c — b ) w 0,从而 c > — + 1.b ；x 1= |b |,是 01,且 02A. [ — 3,3]B. [ —1,3]C. { — 3,3}D. { — 1,— 3,3}二次函数的图像与性质当且仅当b =±2时等号成立. 因此 2c — b = c + (c — b ) >0.2当 x 》0 时，有(x + c ) — f (x ) = (2 c — b )x + c (c — 1) >0.2故当 x 》0 时,f (x ) w(x + c ).(2)由(1)知，c >1 b |，则 当c > | b |时，有f (c ) — f (b ) c 2— b 2 + bc — b 2 c + 2b M >2 ---------- 2=2 ---------- 2=c — bc — b b + c .而函数 g (t ) = 2—1-+^( — 1 <t < 1)的值域为 i —g, 3 , -3\因此，当c > | b |时，M 的取值范围为g,+s .当 c = | b | 时，由(1)知，b =± 2, c = 2. 此时 f (c ) — f (b ) =— 8 或 0，且 c 2 — b 2= 0, 从而 f (c ) — f (b ) w Me 2— b 2)恒成立. 3综上所述，M 的最小值为2.［规律方法］ 1.二次函数的最值问题的类型及求解方法1类型：①对称轴、区间都是给定的；②对称轴动、区间固定；③对称轴定、区间变动•2求解方法：抓住“三点一轴”进行数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指 的是对称轴，具体方法是利用配方法、函数的单调性及分类讨论的思想求解 2.二次函数中恒成立问题的求解思路由不等式恒成立求参数的取值范围，常用分离参数法，转化为求函数最值问题，其依据是a > f x ? a > f x max , a < f x ? a < f x min .［跟踪训练］ ⑴ 已知函数f (x ) = ax 2— 2x + 2，若对一切x € I 1, 2 !, f (x ) >0都成立，则实C. [ — 4, +m) D. ( — 4,+^)2(2)已知函数f (x ) = x + mx- 1,若对于任意x €[m , m + 1]，都有f (x ) <0成立，则 实数m 的取值范围是 _________________ .令t = c 则—1<t <1，士b = 2—丄b +c 1 +1数a 的取值范围为()【导学号：79140038】B.⑵ 因为函数f (x ) = x 2+ mx- 1的图像是开口向上的抛物线，要使对于任意x €[m m f (m v o ,+ 1]，都有f (x ) v 0,则有＜f (m+ 1) v 0,广 2 2 . —|— m + m - 1 v 0, .[2所以实数m 的取值范围是f (x ) > 0都成立，所以当x € 即㈣ 1)2+ nW 1) - 1 v 0, (1)B ⑵ ［⑴因为对一切x € 则实数a 的取值范围为。

1．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．(2)二次函数的图象和性质(－∞，＋∞)(－∞，＋∞)2.幂函数(1)定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)幂函数的图象比较(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②幂函数的图象过定点(1,1)；③当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ④当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减． 【知识拓展】 1．若f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则当⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0时恒有f (x )>0，当⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0时，恒有f (x )<0.2．幂函数的图象和性质(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性．(2)幂函数的图象过定点(1,1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈[a ，b ]的最值一定是4ac －b 24a.( × ) (2)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈R 不可能是偶函数．( × )(3)在y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中，a 决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．( √ ) (4)函数122y x =是幂函数．( × )(5)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．( √ ) (6)当n <0时，幂函数y ＝x n 是定义域上的减函数．( × )1．(教材改编)已知函数f (x )＝x 2＋4ax 在区间(－∞，6)内单调递减，则a 的取值范围是( ) A ．a ≥3 B ．a ≤3 C ．a ＜－3 D ．a ≤－3答案 D解析 函数f (x )＝x 2＋4ax 的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是x ＝－2a ，由函数在区间(－∞，6)内单调递减可知，区间(－∞，6)应在直线x ＝－2a 的左侧， ∴－2a ≥6，解得a ≤－3，故选D.2．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象可能是( )答案 D解析 由a ＋b ＋c ＝0和a >b >c 知a >0，c <0， 由c <0，排除A ，B ，又a >0，排除C. 3．幂函数()21023a a f x x－＋＝(a ∈Z )为偶函数，且f (x )在区间(0，＋∞)上是减函数，则a 等于( )A ．3B ．4C ．5D ．6 答案 C解析 因为a 2－10a ＋23＝(a －5)2－2，()2(5)2a f x x －－＝(a ∈Z )为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是减函数， 所以(a －5)2－2<0，从而a ＝4,5,6，又(a －5)2－2为偶数，所以只能是a ＝5，故选C.4．已知函数y ＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围为________． 答案 [1,2]解析 如图，由图象可知m 的取值范围是[1,2]．5．(教材改编)已知幂函数y ＝f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫2，22，则此函数的解析式为________；在区间________上递减． 答案 12y x-= (0，＋∞)解析 设f (x )＝x a ，则2a ＝22，∴a ＝－12，即幂函数的解析式为12y x -=，单调减区间为(0，＋∞)．题型一 求二次函数的解析式例1 (1)(2016·太原模拟)已知二次函数f (x )与x 轴的两个交点坐标为(0,0)和(－2,0)且有最小值－1，则f (x )＝________. 答案 x 2＋2x解析 设函数的解析式为f (x )＝ax (x ＋2)， 所以f (x )＝ax 2＋2ax ，由4a ×0－4a 24a＝－1， 得a ＝1，所以f (x )＝x 2＋2x .(2)已知二次函数f (x )的图象经过点(4,3)，它在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，求f (x )的解析式．解 ∵f (2＋x )＝f (2－x )对任意x ∈R 恒成立， ∴f (x )的对称轴为x ＝2.又∵f (x )的图象被x 轴截得的线段长为2， ∴f (x )＝0的两根为1和3.设f (x )的解析式为f (x )＝a (x －1)(x －3)(a ≠0)， 又f (x )的图象过点(4,3)， ∴3a ＝3，a ＝1，∴所求f (x )的解析式为f (x )＝(x －1)(x －3)， 即f (x )＝x 2－4x ＋3.思维升华 求二次函数解析式的方法(1)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R )，x ∈R ，若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，则f (x )＝________.(2)若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(常数a ，b ∈R )是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f (x )＝________.答案 (1)x 2＋2x ＋1 (2)－2x 2＋4解析 (1)设函数f (x )的解析式为f (x )＝a (x ＋1)2＝ax 2＋2ax ＋a ， 由已知f (x )＝ax 2＋bx ＋1，∴a ＝1， 故f (x )＝x 2＋2x ＋1.(2)由f (x )是偶函数知f (x )图象关于y 轴对称， ∴－a ＝－(－2ab )，即b ＝－2，∴f (x )＝－2x 2＋2a 2，又f (x )的值域为(－∞，4]， ∴2a 2＝4，故f (x )＝－2x 2＋4. 题型二 二次函数的图象和性质 命题点1 二次函数的单调性例2 函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－3,0) B ．(－∞，－3] C ．[－2,0] D ．[－3,0]答案 D解析 当a ＝0时，f (x )＝－3x ＋1在[－1，＋∞)上递减，满足条件． 当a ≠0时，f (x )的对称轴为x ＝3－a2a ，由f (x )在[－1，＋∞)上递减知⎩⎪⎨⎪⎧a <0，3－a 2a ≤－1，解得－3≤a ＜0.综上，a 的取值范围为[－3,0]． 引申探究若函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1的单调减区间是[－1，＋∞)，则a ＝________. 答案 －3解析 由题意知a <0， 又3－a2a＝－1，∴a ＝－3. 命题点2 二次函数的最值例3 已知函数f (x )＝ax 2－2x (0≤x ≤1)，求函数f (x )的最小值． 解 (1)当a ＝0时，f (x )＝－2x 在[0,1]上单调递减， ∴f (x )min ＝f (1)＝－2.(2)当a >0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象开口向上 且对称轴为x ＝1a.①当0<1a≤1，即a ≥1时，f (x )＝ax 2－2x 的对称轴在[0,1]内，∴f (x )在[0，1a ]上单调递减，在[1a ，1]上单调递增．∴f (x )min ＝f (1a )＝1a －2a ＝－1a.②当1a >1，即0<a <1时，f (x )＝ax 2－2x 的对称轴在[0,1]的右侧，∴f (x )在[0,1]上单调递减． ∴f (x )min ＝f (1)＝a －2.(3)当a <0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象开口向下 且对称轴x ＝1a <0，在y 轴的左侧，∴f (x )＝ax 2－2x 在[0,1]上单调递减， ∴f (x )min ＝f (1)＝a －2.综上所述，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2，a <1，－1a ，a ≥1.命题点3 二次函数中的恒成立问题例4 (1)已知函数f (x )＝x 2－x ＋1，在区间[－1,1]上不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，则实数m 的取值范围是________________．(2)已知a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3在x ∈[－1,1]上恒小于零，则实数a 的取值范围为________． 答案 (1)(－∞，－1) (2)⎝⎛⎭⎫－∞，12 解析 (1)f (x )>2x ＋m 等价于x 2－x ＋1>2x ＋m ，即x 2－3x ＋1－m >0， 令g (x )＝x 2－3x ＋1－m ，要使g (x )＝x 2－3x ＋1－m >0在[－1,1]上恒成立，只需使函数g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上的最小值大于0即可． ∵g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上单调递减， ∴g (x )min ＝g (1)＝－m －1. 由－m －1>0，得m <－1.因此满足条件的实数m 的取值范围是(－∞，－1)． (2)2ax 2＋2x －3<0在[－1,1]上恒成立． 当x ＝0时，－3<0，成立；当x ≠0时，a <32⎝⎛⎭⎫1x －132－16，因为1x ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，当x ＝1时，右边取最小值12，所以a <12. 综上，实数a 的取值范围是 ⎝⎛⎭⎫－∞，12.思维升华 (1)二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成． (2)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键①一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．②两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是：a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ，a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min .(1)设函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，对于满足1<x <4的一切x 值都有f (x )>0，则实数a 的取值范围为________． 答案 ⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 解析 由题意得a >2x －2x 2对1<x <4恒成立，又2x －2x 2＝－2⎝⎛⎭⎫1x －122＋12，14<1x <1， ∴⎝⎛⎭⎫2x －2x 2max ＝12，∴a >12. (2)已知函数f (x )＝x 2－2x ，若x ∈[－2，a ]，求f (x )的最小值． 解 ∵函数f (x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1， ∴对称轴为直线x ＝1，∵x ＝1不一定在区间[－2，a ]内，∴应进行讨论，当－2<a ≤1时，函数在[－2，a ]上单调递减，则当x ＝a 时，f (x )取得最小值，即f (x )min ＝a 2－2a ；当a >1时，函数在[－2,1]上单调递减，在[1，a ]上单调递增，则当x ＝1时，f (x )取得最小值， 即f (x )min ＝－1.综上，当－2<a ≤1时，f (x )min ＝a 2－2a ， 当a >1时，f (x )min ＝－1. 题型三 幂函数的图象和性质例5 (1)(2016·济南诊断测试)已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，则k ＋α等于( )A.12 B ．1 C.32D ．2 (2)若11222(21)(1)m m m >＋＋－，则实数m 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－5－12B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5－12，＋∞C ．(－1,2) D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5－12，2答案 (1)C (2)D解析 (1)由幂函数的定义知k ＝1.又f ⎝⎛⎭⎫12＝22， 所以⎝⎛⎭⎫12α＝22，解得α＝12，从而k ＋α＝32. (2)因为函数12y x =的定义域为[0，＋∞) 且在定义域内为增函数，所以不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋1≥0，m 2＋m －1≥0，2m ＋1>m 2＋m －1，解2m ＋1≥0，得m ≥－12；解m 2＋m －1≥0，得m ≤－5－12或m ≥5－12；解2m ＋1>m 2＋m －1，得－1<m <2， 综上所述，m 的取值范围是5－12≤m <2. 思维升华 (1)幂函数的形式是y ＝x α(α∈R )，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式． (2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x 轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x 轴．(2016·昆明模拟)幂函数的图象经过点(4,2)，若0<a <b <1，则下列各式正确的是( )A ．f (a )<f (b )<f (1a )<f (1b )B ．f (1a )<f (1b )<f (b )<f (a )C ．f (a )<f (b )<f (1b )<f (1a )D ．f (1a )<f (a )<f (1b)<f (b )答案 C解析 设幂函数为f (x )＝x α，将(4,2)代入得α＝12，所以12(),f x x =该函数在(0，＋∞)上为增函数， 又0<a <b <1，所以1a >1b >1，即a <b <1b <1a，所以f (a )<f (b )<f (1b )<f (1a )．3．分类讨论思想在二次函数最值中的应用典例 (10分)已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－1,2]上有最大值4，求实数a 的值． 思想方法指导 已知函数f (x )的最值，而f (x )图象的对称轴确定，要讨论a 的符号． 规范解答解 f (x )＝a (x ＋1)2＋1－a .[1分](1)当a ＝0时，函数f (x )在区间[－1,2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；[3分](2)当a >0时，函数f (x )在区间[－1,2]上是增函数，最大值为f (2)＝8a ＋1＝4，解得a ＝38；[6分](3)当a <0时，函数f (x )在区间[－1,2]上是减函数，最大值为f (－1)＝1－a ＝4，解得a ＝－3.[9分] 综上可知，a 的值为38或－3.[10分]1．函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[－2，＋∞)时，f (x )是增函数，当x ∈(－∞，－2]时，f (x )是减函数，则f (1)的值为( )A ．－3B ．13C ．7D ．5 答案 B解析 函数f (x )的图象关于直线x ＝－2对称， ∴m ＝－8，∴f (1)＝2＋8＋3＝13. 2．幂函数24m my x－＝(m ∈Z )的图象如图所示，则m 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 C 解析 ∵24m my x－＝(m ∈Z )的图象与坐标轴没有交点，∴m 2－4m <0，即0<m <4.又∵函数的图象关于y 轴对称且m ∈Z ， ∴m 2－4m 为偶数，因此m ＝2.3．已知二次函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，且f (x )在[0,2]上是增函数，若f (a )≥f (0)，则实数a 的取值范围是( ) A ．[0，＋∞) B ．(－∞，0]C ．[0,4]D ．(－∞，0]∪[4，＋∞)答案 C解析 由题意可知函数f (x )的图象开口向下，对称轴为x ＝2(如图)，若f (a )≥f (0)，从图象观察可知0≤a ≤4.4．若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m ]，值域为[－254，－4]，则m 的取值范围是( ) A ．[0,4] B ．[32，4]C ．[32，＋∞)D ．[32，3]答案 D解析 二次函数图象的对称轴为x ＝32且f (32)＝－254，f (3)＝f (0)＝－4，由图得m ∈[32，3]．5．若函数f (x )＝x 2－ax －a 在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a 等于( ) A ．－1 B ．1 C ．2 D ．－2答案 B解析 ∵函数f (x )＝x 2－ax －a 的图象为开口向上的抛物线， ∴函数的最大值在区间的端点处取得， ∵f (0)＝－a ，f (2)＝4－3a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －a ≥4－3a ，－a ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧－a ≤4－3a ，4－3a ＝1，解得a ＝1. 6．已知二次函数f (x )＝2ax 2－ax ＋1(a <0)，若x 1<x 2，x 1＋x 2＝0，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系为( ) A ．f (x 1)＝f (x 2) B ．f (x 1)>f (x 2) C ．f (x 1)<f (x 2) D ．与a 值有关答案 C解析 该二次函数图象的开口向下，对称轴为直线x ＝14，又依题意，得x 1<0，x 2>0，又x 1＋x 2＝0， 则14－x 1>x 2－14，故f (x 1)<f (x 2)． 7．(2016·烟台模拟)已知幂函数()12f x x －＝，若f (a ＋1)<f (10－2a )，则a 的取值范围为________．答案 (3,5)解析 ∵幂函数()12f x x－＝单调递减，定义域为(0，＋∞)，∴由f (a ＋1)<f (10－2a )，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1>0，10－2a >0，a ＋1>10－2a ，解得3<a <5.8．当0<x <1时，函数f (x )＝x 1.1，g (x )＝x 0.9，h (x )＝x －2的大小关系是________________．答案 h (x )>g (x )>f (x )解析 如图所示为函数f (x )，g (x )，h (x )在(0,1)上的图象，由此可知，h (x )>g (x )>f (x )．9．当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是________． 答案 (－∞，－5]解析 方法一 ∵不等式x 2＋mx ＋4<0对x ∈(1,2)恒成立， ∴mx <－x 2－4对x ∈(1,2)恒成立， 即m <－(x ＋4x)对x ∈(1,2)恒成立，令y ＝x ＋4x ，则函数y ＝x ＋4x 在x ∈(1,2)上是减函数．∴4<y <5，∴－5<－(x ＋4x )<－4，∴m ≤－5.方法二 设f (x )＝x 2＋mx ＋4，当x ∈(1,2)时，f (x )<0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)≤0，f (2)≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ≤－5，m ≤－4⇒m ≤－5.*10.若函数f (x )＝x 2－a |x －1|在[0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是________． 答案 [0,2]解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－ax ＋a ，x ∈[1，＋∞)，x 2＋ax －a ，x ∈(－∞，1)，x ∈[1，＋∞)时，f (x )＝x 2－ax ＋a ＝(x －a 2)2＋a －a 24，x ∈(－∞，1)时，f (x )＝x 2＋ax －a ＝(x ＋a 2)2－a －a 24.①当a 2>1，即a >2时，f (x )在[1，a 2)上单调递减，在(a2，＋∞)上单调递增，不合题意；②当0≤a2≤1，即0≤a ≤2时，符合题意；③当a2<0，即a <0时，不符合题意．综上，a 的取值范围是[0,2]．11．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5,5]． (1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最大值和最小值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数． 解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[－5,5]． ∵f (x )的对称轴为x ＝1， ∴当x ＝1时，f (x )取最小值1； 当x ＝－5时，f (x )取最大值37.(2)f (x )＝x 2＋2ax ＋2＝(x ＋a )2＋2－a 2的对称轴为x ＝－a ， ∵f (x )在[－5,5]上是单调函数，∴－a ≤－5或－a ≥5，即a ≤－5或a ≥5. 故实数a 的取值范围为a ≤－5或a ≥5. 12．已知幂函数()21()m m f x x－＋＝(m ∈N *)．(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若函数f (x )的图象经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围． 解 (1)因为m 2＋m ＝m (m ＋1)(m ∈N *)，而m 与m ＋1中必有一个为偶数，所以m 2＋m 为偶数， 所以函数()21()m m f x x－＋＝(m ∈N *)的定义域为[0，＋∞)，并且该函数在[0，＋∞)上为增函数．(2)因为函数f (x )的图象经过点(2，2)，21()2m m －＋，即211()222m m －＋＝，所以m 2＋m ＝2，解得m ＝1或m ＝－2. 又因为m ∈N *，所以m ＝1，12(),f x x = 又因为f (2－a )>f (a －1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2－a ≥0，a －1≥0，2－a ＞a －1，解得1≤a ＜32，故函数f (x )的图象经过点(2，2)时，m ＝1.满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围为[1，32)．13．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，若x ∈[－2,2]时，f (x )≥0恒成立，求a 的取值范围． 解 要使f (x )≥0恒成立，则函数在区间[－2,2]上的最小值不小于0，设f (x )的最小值为g (a )． (1)当－a 2<－2，即a >4时，g (a )＝f (－2)＝7－3a ≥0，得a ≤73，故此时a 不存在；(2)当－a 2∈[－2,2]，即－4≤a ≤4时，g (a )＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝3－a －a 24≥0，得－6≤a ≤2， 又－4≤a ≤4，故－4≤a ≤2；(3)当－a2>2，即a <－4时，g (a )＝f (2)＝7＋a ≥0，得a ≥－7，又a <－4，故－7≤a <－4， 综上得－7≤a ≤2.第6讲 幂函数与二次函数一、选择题1．已知幂函数y ＝f (x )的图像经过点⎝⎛⎭⎪⎫4，12，则f (2)＝( )A.14 B ．4 C.22D. 2解析 设f (x )＝x α，因为图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12，代入解析式得：α＝－12，∴f (2)＝2－12＝22.答案 C2．若函数f (x )是幂函数，且满足f4f 2＝3，则f (12)的值为( )A ．－3B ．－13C ．3D.13解析 设f (x )＝x α，则由f 4f2＝3，得4α2α＝3.∴2α＝3，∴f (12)＝(12)α＝12α＝13.答案 D3．已知函数f (x )＝e x －1，g (x )＝－x 2＋4x －3，若有f (a )＝g (b )，则b 的取值范围为( )．A ．[2－2，2＋2]B ．(2－2，2＋2)C ．[1,3]D ．(1,3)解析 f (a )＝g (b )⇔e a －1＝－b 2＋4b －3⇔e a ＝－b 2＋4b －2成立，故－b 2＋4b －2>0，解得2－2<b <2＋ 2.答案 B4．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ，x >0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于 ( )．A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析 f (a )＋f (1)＝0⇔f (a )＋2＝0⇔⎩⎨⎧ a >0，2a ＋2＝0或⎩⎨⎧a ≤0，a ＋1＋2＝0，解得a ＝ －3. 答案 A5 .函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象关于直线x ＝－b2a对称．据此可推测，对任意的非零实数a ，b ，c ，m ，n ，p ，关于x 的方程m [f (x )]2＋nf (x )＋p ＝0的解集都不可能是( )． A ．{1,2} B ．{1,4} C ．{1,2,3,4} D ．{1,4,16,64}解析 设关于f (x )的方程m [f (x )]2＋nf (x )＋p ＝0有两根，即f (x )＝t 1或f (x )＝t 2.而f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象关于x ＝－b2a对称，因而f (x )＝t 1或f (x )＝t 2的两根也关于x＝－b2a 对称．而选项D 中4＋162≠1＋642. 答案 D6．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，a 为正整数，c ≥1，a ＋b ＋c ≥1，方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个小于1的不等正根，则a 的最小值是( )．A ．3B ．4C ．5D ．6解析 由题意得f (0)＝c ≥1，f (1)＝a ＋b ＋c ≥1.当a 越大，y ＝f (x )的开口越小，当a 越小，y ＝f (x )的开口越大，而y ＝f (x )的开口最大时，y ＝f (x )过(0,1)，(1,1)，则c ＝1，a ＋b ＋c ＝1.a ＋b ＝0，a ＝－b ，－b 2a ＝12，又b 2－4ac >0，a (a －4)>0，a >4，由于a 为正整数，即a 的最小值为5. 答案 C 二、填空题7．对于函数y ＝x 2，y ＝x 有下列说法：①两个函数都是幂函数；②两个函数在第一象限内都12单调递增；③它们的图像关于直线y ＝x 对称；④两个函数都是偶函数；⑤两个函数都经过点(0,0)、(1,1)；⑥两个函数的图像都是抛物线型． 其中正确的有________．解析 从两个函数的定义域、奇偶性、单调性等性质去进行比较． 答案 ①②⑤⑥8．若二次函数f (x )＝ax 2－4x ＋c 的值域为[0，＋∞)，则a ，c 满足的条件是________． 解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，4ac －164a ＝0⇒⎩⎨⎧a >0，ac －4＝0.答案 a >0，ac ＝49．方程x 2－mx ＋1＝0的两根为α、β，且α＞0,1＜β＜2，则实数m 的取值范围是________．解析 ∵⎩⎨⎧α＋β＝m ，α·β＝1，∴m ＝β＋1β.∵β∈(1,2)且函数m ＝β＋1β在(1,2)上是增函数，∴1＋1＜m ＜2＋12，即m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2，52.答案 ⎝⎛⎭⎪⎫2，5210．已知f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)，g (x )＝2x －2.若同时满足条件： ①∀x ∈R ，f (x )<0或g (x )<0； ②∃x ∈(－∞，－4)，f (x )g (x )<0， 则m 的取值范围是________．解析 当x <1时，g (x )<0，当x >1时，g (x )>0，当x ＝1时，g (x )＝0，m ＝0不符合要求；当m >0时，根据函数f (x )和函数g (x )的单调性，一定存在区间[a ，＋∞)使f (x )≥0且g (x )≥0，故m >0时不符合第①条的要求；当m <0时，如图所示，如果符合①的要求，则函数f (x )的两个零点都得小于1，如果符合第②条要求，则函数f (x )至少有一个零点小于－4，问题等价于函数f (x )有两个不相等的零点，其中较大的零点小于1，较小的零点小于－4，函数f (x )的两个零点是2m ，－(m ＋3)，故m 满足错误!或⎩⎨⎧m <0，－(m ＋3)<2m ，2m <1，－(m ＋3)<－4，解第一个不等式组得－4<m <－2，第二个不等式组无解，故所求m 的取值范围是(－4，－2)．答案 (－4，－2) 三、解答题11．设f (x )是定义在R 上以2为最小正周期的周期函数．当－1≤x <1时，y ＝f (x )的表达式是幂函数，且经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，18.求函数在[2k －1,2k ＋1)(k ∈Z )上的表达式．解 设在[－1,1)上，f (x )＝x n ，由点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，18在函数图象上，求得n ＝3.令x ∈[2k －1,2k ＋1)，则x －2k ∈[－1,1)， ∴f (x －2k )＝(x －2k )3.又f (x )周期为2，∴f (x )＝f (x －2k )＝(x －2k )3.即f (x )＝(x －2k )3(k ∈Z )． 12．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4, 6]．(1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数； (3)[理]当a ＝1时，求f (|x |)的单调区间．解 (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1， 由于x ∈[－4,6]，∴f (x )在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增， ∴f (x )的最小值是f (2)＝－1，又f (－4)＝35，f (6)＝15，故f (x )的最大值是35. (2)由于函数f (x )的图像开口向上，对称轴是x ＝－a ，所以要使f (x )在[－4,6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6 或a ≥4. (3)当a ＝1时，f (x )＝x 2＋2x ＋3，∴f (|x |)＝x 2＋2|x |＋3，此时定义域为x ∈[－6,6]，且f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ＋3，x ∈0，6]x 2－2x ＋3，x ∈[－6，0]，∴f (|x |)的单调递增区间是(0,6]，单调递减区间是[－6,0]．13．设函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，对于满足1<x <4的一切x 值都有f (x )>0，求实数a 的取值范围．解 不等式ax 2－2x ＋2>0等价于a >2x －2x 2，设g (x )＝2x －2x 2，x ∈(1,4)，则 g ′(x )＝2x 2－2x －22x x 4＝－2x 2＋4xx 4＝－2xx －2x 4，当1<x <2时，g ′(x )>0，当2<x <4时，g ′(x )<0，g (x )≤g (2)＝12， 由已知条件a >12，因此实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.14．已知函数f (x )＝x －k 2＋k ＋2(k ∈Z )满足f (2)<f (3)． (1)求k 的值并求出相应的f (x )的解析式；(2)对于(1)中得到的函数f (x )，试判断是否存在q >0，使函数g (x )＝1－qf (x )＋(2q －1)x 在区间[－1,2]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4，178？若存在，求出q ；若不存在，请说明理由．解 (1)∵f (2)<f (3)，∴f (x )在第一象限是增函数． 故－k 2＋k ＋2>0，解得－1<k <2. 又∵k ∈Z ，∴k ＝0或k ＝1.当k ＝0或k ＝1时，－k 2＋k ＋2＝2，∴f (x )＝x 2. (2)假设存在q >0满足题设，由(1)知 g (x )＝－qx 2＋(2q －1)x ＋1，x ∈[－1,2]．∵g (2)＝－1，∴两个最值点只能在端点(－1，g (－1))和顶点⎝ ⎛⎭⎪⎫2q －12q ，4q 2＋14q 处取得．而4q 2＋14q －g (－1)＝4q 2＋14q －(2－3q )＝(4q －1)24q ≥0，∴g (x )max ＝4q 2＋14q ＝178，g(x)min＝g(－1)＝2－3q＝－4.解得q＝2，∴存在q＝2满足题意．。

芯衣州星海市涌泉学校高三数学一轮复习二次函数与幂函数1教案教材分析：二次函数是高考中常见的函数，常在求复合函数的单调性，不等式的求解，求参数等综合应用题中出现。

幂函数是根本初等函数之一，在高考中出现的频率不高。

学情分析：初中就二次函数的解析式三种形式作过详细的讲述，高中那么是用函数的观点来研究它的性质，学生对概念理解，但应用才能可能比较欠缺。

教学目的：1.掌握二次函数的图象与性质; 2.理解的概念幂函数;3.结合函数21132,,,,xy x y x y x y x y =====-的图象,理解它们的变化情况.教学重点、难点：二次函数与幂函数的图象与性质 教学流程：一、课堂提问——知识回忆1. 二次函数的解析式C〔1〕一般式c bx ax x f ++=2)(，〔0≠a 〕 〔2〕顶点式ab ac a b x a x f 44)2()(22-++=，〔0≠a 〕〔3〕两点式))(()(21x x x x a x f --=，〔0≠a 〕 2. 二次函数的性质C二、课堂练习——习题讲练 C 例1．画出以下函数的图象：〔1〕1)(2-=x x f 〔2〕12)(2+-=x x x f 〔3〕22)(2++=x x x fC 练习1.画出以下函数的图象：〔1〕21)(x x f -= 〔2〕12)(2-+-=x x x f 〔3〕22)(2---=x x x fB 练习2.设abc>0,二次函数的图象可能是〔〕 AB CDC 例2．函数1)(2++=mx x x f 的图象关于直线x=1对称，求m 的值. B 练习3.函数32)1()(2++-=mx x m x f 为偶函数，求〔1〕m 的值;〔2〕函数的单调增区间，函数的单调减区间; 〔3〕函数在区间[-5，-3]上，[3，5]上的单调性.C 例3．二次函数y=f(x)的图象是以原点为顶点，且过点〔1，1〕，求f(x)解析式.B/A 练习4.关于x 的二次函数t x t x x f 21)12()(2-+-+=，求证：对于任意R t ∈，方程f(x)=1必有实数根. 三、小结1．二次函数的解析式 2．二次函数的图象与性质 四、作业布置C1.假设a x x x f +-=2)(0)(<-m f ,求〔1〕)1(+m f 值；〔2〕比较)1(+m f 与0的大小. B/A2.函数⎩⎨⎧<-≥+=.0,4,0,4)(22x x x x x x x f 假设)()2(2a f a f >-，务实数a 的取值范围. 五、板书设计。