【优化方案】2014-2015学年高中数学 第一章 统计案例(第2课时)课时作业 新人教A版选修1-2

1．1.1集合的含义与表示[读教材·填要点]1．元素与集合(1)元素与集合的定义：一般地，把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)．(2)集合中元素的性质：①确定性：即给定的集合，它的元素是确定的．②互异性：即给定集合的元素是互不相同的．③无序性．(3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的．(4)元素与集合的关系：a是集合A的元素，记作a∈A，a不是集合A的元素，记作a∉A.2．集合的表示方法除了用自然语言表示集合外，还可以用列举法和描述法表示集合．(1)列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法．(2)描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法．3．常用数集及其记法1．著名数学家能否构成一个集合？提示：不能，没有一定的评定标准，故著名数学家是不确定的对象，所以不能构成集合．2．一个集合能表示成{s，k，t，k}吗？提示：不能，集合中的元素是互不相同的，任何两个相同的对象在同一个集合中，只能算作这个集合的一个元素．3．集合{－5，－8}和{(－5，－8)}是同一集合吗？提示：不是同一集合．集合{－5，－8}中元素有2个，为数．而集合{(－5，－8)}中有一个元素为坐标(－5，－8)．[例1](1)某校2013年在校的所有高个子同学；(2)不超过20的非负数；(3)帅哥；(4)直角坐标系平面内第一象限的一些点；(5)3的近似值的全体．[自主解答]“高个子”没有明确的标准，因此(1)不能构成集合．(2)任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x>20或x<0”，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合；(3)“帅哥”没有一个明确的标准，不能构成集合；(4)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；(6)“3的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以(5)不能构成集合．——————————————————判断指定的对象能不能构成集合，关键在于能否找到一个明确标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素，同时还要注意集合中元素的互异性、无序性．————————————————————————————————————————1．下列能构成集合的是()A．中央电视台著名节目主持人B．2013年沈阳全运会比赛的所有项目C．2010年上海世博园中所有漂亮的展馆D．世界上的高楼答案：B[例2]已知集合A＝{a[自主解答]若a＋2＝1，则a＝－1，所以A＝{1,0,1}，与集合中元素的互异性矛盾，应舍去；若(a＋1)2＝1，则a＝0或a＝－2，当a＝0时，A＝{2,1,3}，满足题意．当a＝－2时，A＝{0,1,1}，与集合中元素的互异性矛盾，舍去；若a2＋3a＋3＝1，则a＝－1或a＝－2(均舍去)．综上可知，a＝0.例2中1∈A改为4∈A，则结果如何？解：若a＋2＝4，则a＝2.∴A＝{4,9,13}满足题意．若(a＋1)2＝4，则a＝1或a＝－3.当a＝1时，A＝{3,4,7}，满足题意．当a＝－3时，A＝{－1,3,4，}满足题意．若a 2＋3a ＋3＝4，则a ＝－3±132，代入后都满足题意，故a 的值为a ＝1，a ＝2，或a ＝－3或a ＝－3±132.——————————————————1.这类问题既要用元素的确定性，又要利用互异性检验解的正确与否.初学者解题时易忽略元素的互异性，学习中要高度重视.另外，本类问题往往涉及分类讨论的数学思想.2.一个集合中，元素之间没有先后顺序，只要构成两个集合的元素是一样的，这两个集合就是同一个集合. ————————————————————————————————————————2．含有两个实数的集合A 可以表示为{a －3,2a －1}，求实数a 的取值范围． 解：∵A ＝{a －3,2a －1}，∴由集合中元素的互异性可得a －3≠2a －1. ∴a ≠－2.∴a 的取值范围为a ≠－2.[例3] (1)方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3x －y ＝5的解集；(2)不等式2x －3>5的解集．[自主解答] (1)集合用描述法表示为{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝3x －y ＝5}．解方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－1故集合用列举法表示为{(4，－1)}．(2)由2x －3>5可得x >4，所以不等式2x －3>5的解集为{x |x >4，x ∈R }． ——————————————————1．一个集合可以用不同的方法表示，需根据题意选择适当的方法，同时注意列举法和描述法的适用范围． 2．方程(或方程组)的解的个数较少，因此方程(或方程组)的解集一般用列举法表示；不等式(或不等式组)的解集一般用描述法表示．注意，当题目中要求求出“…的解集”或写出“…的集合”时，一定要将最终结果写成集合的形式．————————————————————————————————————————3．有下面六种表示方法①{x ＝－1，y ＝2} ②⎩⎨⎧(x ，y )⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ＝－1，y ＝2.③{－1,2} ④(－1,2) ⑤{(－1,2)} ⑥{x ，y |x ＝－1，或y ＝2}．其中，能正确表示方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，x －y ＋3＝0的解集的是________(把所有正确答案的序号填在空格上)．解析：[错解] ∵x 3∈A ，故x 3＝0或x 3＝1或x 3＝x ， 若x 3＝0，则x ＝0； 若x 3＝1，则x ＝1； 若x 3＝x ，则x ＝1或x ＝0. 综上所述：所求x 的值为0或1.[错因] 本题错误的原因有两个，一是没有考虑到元素的互异性，解出来的结果没有代入检验，得出了错误结果；二是解x 2＝x 时漏掉了x ＝－1这个答案，也导致了错误的结果．[正解] ∵x 3∈A ， ∴x 3是集合A 中的元素．又∵集合A 中含有3个元素，∴需分情况讨论：①若x 3＝0，则x ＝0，此时集合A 中有两个元素0，不符合集合中元素的互异性，舍去； ②若x 3＝1，则x ＝1，此时集合A 中有两个元素1，不符合集合中元素的互异性，舍去；③若x 3＝x ，则x ＝0、x ＝－1或x ＝1，当x ＝0、x ＝1时不符合集合中元素的互异性，都舍去．当x ＝－1时，此时集合A 中有三个元素1,0，－1，符合集合中元素的互异性；综上可知，x ＝－1. 1．有下列各组对象： ①接近于0的数的全体； ②比较小的正整数的全体；③平面上到点O 的距离等于1的点的全体； ④正三角形的全体．其中能构成集合的个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：①不能构成集合，“接近”的概念模糊，无明确标准．②不能构成集合，“比较小”也是不明确的，多小算小没明确标准．③④均可构成集合，因为任取一个元素是否是此集合的元素有明确的标准可依．答案：A2．下面几个命题中正确命题的个数是( ) ①集合N *中最小的数是1； ②若－a ∉N *，则a ∈N *；③若a ∈N *，b ∈N *，则a ＋b 最小值是2； ④x 2＋4＝4x 的解集是{2,2}． A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：N *是正整数集，最小的正整数是1，故①正确；当a ＝0时，－a ∉N *，且a ∉N *，故②错；若a ∈N *，则a 的最小值是1，又b ∈N *，b 的最小值也是1，当a 和b 都取最小值时，a ＋b 取最小值2，故③正确；由集合元素的互异性知④是错误的．故①③正确．答案：C3．已知集合M ＝{3，m ＋1}，且4∈M ，则实数m 等于( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．1解析：∵4∈M ，∴4＝m ＋1，∴m ＝3. 答案：B4．已知①5∈R ②13∈Q ③0＝{0} ④0∉N⑤π∈Q ⑥－3∈Z .正确的个数为________． 解析：①②⑥是正确的；③④⑤是错误的． 答案：35．用适当的符号填空：已知A ＝{x |x ＝3k ＋2，k ∈Z }，B ＝{x |x ＝6m －1，m ∈Z }，则有：17______A ；－5______A ；17________B .解析：令3k ＋2＝17得，k ＝5∈Z . 所以17∈A .令3k ＋2＝－5得，k ＝－73∉Z .所以－5∉A .令6m －1＝17得，m ＝3∈Z ， 所以17∈β. 答案：∈，∉，∈6．用适当的方法表示下列集合： (1)一年中有31天的月份的全体； (2)大于－3.5小于12.8的整数的全体； (3)梯形的全体构成的集合； (4)所有非负偶数的集合； (5)所有能被3整除的数的集合； (6)方程(x －1)(x －2)＝0的解集； (7)不等式2x －1>5的解集．解：(1){1月，3月，5月，7月，8月，10月，12月}． (2){－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}． (3){x |x 是梯形}或{梯形}． (4){0,2,4,6,8，…}． (5){x |x ＝3n ，n ∈Z }． (6){1,2}． (7){x |2x －1>5}． 一、选择题1．下列给出的对象中，能组成集合的是( ) A ．一切很大的数 B ．高中数学的所有难题 C ．美丽的小女孩D ．方程x 2－1＝0的实数根解析：选项A ，B ，C 中的对象都没有明确的判断标准，不满足集合中元素的确定性，故A ，B ，C 中的对象都不能组成集合．答案：D2．下列命题不．正确的有( )①很小的实数可以构成集合；②集合{y |y ＝x 2－1}与集合{(x ，y )|y ＝x 2－1}是同一个集合； ③1，32，64，⎪⎪⎪⎪－12，0.5这些数组成的集合有5个元素； ④集合{(x ，y )|xy ≤0，x ，y ∈R }是指第二和第四象限内的点集． A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：①错的原因是元素不确定；②前者是数集，而后者是点集，种类不同；③32＝64，⎪⎪⎪⎪－12＝0.5，有重复的元素，应该是3个元素；④该集合还包括坐标轴上的点．答案：D3．已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A }，则B 中所含元素的个数为( ) A ．3 B ．6 C ．8D ．10解析：列举得集合B ＝{(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(4,3)，(5,3)，(5,4)}，共含有10个元素．答案：D4．定义集合运算：A *B ＝{z |z ＝xy ，x ∈A ，y ∈B }．设A ＝{1,2}，B ＝(0,2)，则集合A *B 的所有元素之和为( ) A ．0 B ．2 C ．3D ．6解析：依题意，A *B ＝{0,2,4}，其所有元素之和为6. 答案：D 二、填空题5．集合A ＝{(2，－2)，(2,2)}中含有________个元素． 解析：∵(2，－2)，(2,2)是两个点，∴有2个元素． 答案：26.已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝2x ＋1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x ＋3}，a ∈A 且a ∈B ，则a 为________． 解析：∵a ∈A 且a ∈B ，∴a 是方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋1y ＝x ＋3的解．解方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝5，∴a 为(2,5)． 答案：(2,5)7．用描述法表示方程x <－x －3的解集为________． 解析：∵x <－x －3， ∴x <－32.∴解集为{x |x <－32}．答案：{x |x <－32}8．{(x ，y )|(x ＋2)2＋|y －3|＝0，x ，y ∈R }＝________.解析：由(x ＋2)2＋|y －3|＝0，又(x ＋2)2≥0，|y －3|≥0，所以(x ＋2)2＝0，|y －3|＝0，所以x ＝－2，y ＝3，所以{(x ，y )|(x ＋2)2＋|y －3|＝0，x ，y ∈R }＝{(－2，3)}．答案：{(－2,3)} 三、解答题9．已知集合A 含有两个元素a －3和2a －1， (1)若－3∈A ，试求实数a 的值． (2)若a ∈A ，试求实数a 的值． 解：(1)因为－3∈A ，所以－3＝a －3或－3＝2a －1. 若－3＝a －3，则a ＝0.此时集合A 含有两个元素－3，－1，符合题意． 若－3＝2a －1， 则a ＝－1.此时集合A 含有两个元素－4，－3，符合题意， 综上所述，满足题意的实数a 的值为0或－1. (2)因为a ∈A ，所以a ＝a －3或a ＝2a －1.当a ＝a －3时，有0＝－3，不成立．当a ＝2a －1时，有a ＝1，此时A 中有两个元素－2,1，符合题意．综上知a ＝1.10．已知集合A ＝{x |kx 2－8x ＋16＝0}只有一个元素，试求实数k 的值，并用列举法表示集合A . 解：当k ＝0时，原方程变为－8x ＋16＝0， 所以x ＝2，此时集合A ＝{2}；当k ≠0时，要使一元二次方程kx 2－8x ＋16＝0有两个相等实根，需Δ＝64－64k ＝0，即k ＝1.此时方程的解为x1＝x2＝4，集合A＝{4}．1．1.2集合间的基本关系[读教材·填要点]1．子集的概念2.A B(或B A)3.(1)定义：不含任何元素的集合叫做空集．(2)用符号表示为：∅.(3)规定：空集是任何集合的子集．4．子集的有关性质(1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A.(2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C.[小问题·大思维]1．若A B，则A⊆B且A≠B，对吗？提示：对．∵A B，首先A⊆B，其中B中至少有一个元素不属于A，即A≠B.2．任何集合都有真子集吗？提示：不是，空集∅就没有真子集．3．{0}和∅表示同一集合吗？它们之间有什么关系？提示：{0}和∅不是同一个集合．{0}表示含有一个元素0的集合，∅是不含任何元素的集合，且∅{0}．[例1]写出集合A＝[自主解答]由0个元素构成的子集：∅；由1个元素构成的子集：{1}，{2}，{3}；由2个元素构成的子集：{1,2}，{1,3}，{2,3}；由3个元素构成的子集：{1,2,3}．由此得集合A的所有子集为∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}．在上述子集中，除去集合A本身，即{1,2,3}，剩下的都是A的真子集．——————————————————1.求解有限集合的子集问题，关键有三点：(1)确定所求集合；(2)合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出；(3)注意两个特殊的集合，即空集和集合本身.2.一般地，若集合A中有n个元素，则其子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个. ————————————————————————————————————————1．已知集合M满足{2,3}⊆M⊆{1,2,3,4,5}，求集合M及其个数．解：当M中含有两个元素时，M为{2,3}；当M中含有三个元素时，M为{2,3,1}，{2,3,4}，{2,3,5}；当M中含有四个元素时，M为{2,3,1,4}，{2,3,1,5}，{2,3,4,5}；当M中含有五个元素时，M为{2,3,1,4,5}．所以满足条件的集合M为{2,3}，{2,3,1}，{2,3,4}，{2,3,5}，{2,3,1,4}，{2,3,1,5}，{2,3,4,5}，{2,3,1,4,5}，集合M的个数为8.[例2]下列各式正确的是(1){a}⊆{a}；(2){1,2,3}＝{3,1,2}；(3)0⊆{0}；(4){1}{x|x≤5}；(5){1,3}{3,4}．[自主解答]∵1<5，∴1∈{x|x≤5}．∴{1}⊆{x|x≤5}．又∵{1}≠{x|x≤5}，∴{1}{x|x≤5}．∵1∈{1,3}，但1∉{3,4}，∴{1,3}{3,4}．“”是“真包含于”的意思[——————————————————集合间关系的判定的步骤：首先，判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B，若是，则A⊆B，否则A B；,其次，判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A，若是，则B⊆A，否则B A；,最后，下结论：若A⊆B，B⊆A，则A ＝B ；若A ⊆B ，B A ，则A B ；若A B ，B ⊆A ，则B A ；若上述三种情况都不成立，则A B ，B A .[注意] 有时一个集合可以看成另一个集合的元素，如{1}可以看成集合{{1}，1，2，3}中的元素，也可以看成子集，因此{1}∈{{1}，1，2，3}与{1}⊆{{1}，1，2，3}都正确.————————————————————————————————————————2．集合M ＝{x |x 2＋x －6＝0}，N ＝{x |2x ＋7＞0}，试判断集合M 和N 的关系． 解：M ＝{－3,2}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >－72.∵－3>－72，2>－72，∴－3∈N,2∈N .∴M ⊆N . 又0∈N ，但0∉M ，∴M N .[例3] 已知集合A ＝{x |－3m 的取值范围． [自主解答] ∵B ⊆A ，(1)当B ＝∅时，m ＋1≤2m －1，解得m ≥2. (2)当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧－3≤2m －1，m ＋1≤4，2m －1<m ＋1解得－1≤m <2， 综上得m ≥－1. ——————————————————(1)利用集合之间的关系时，首先要分析、简化每个集合.(2)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“＝”用实点表示，不含“＝”用虚点表示.(3)此类问题还应注意“空集”这一“陷阱”，尤其是集合中含有字母参数时，初学者会想当然认为非空集合而丢解，因此分类讨论是必须的.————————————————————————————————————————3．设集合A ＝{1,3，a }，B ＝{1，a 2－a ＋1}，且A ⊇B ，求a 的值． 解：∵A ⊇B ，而a 2－a ＋1∈B ，∴a 2－a ＋1∈A . ∴a 2－a ＋1＝3或a 2－a ＋1＝a . 当a 2－a ＋1＝3时，a ＝2或a ＝－1.(1)a ＝2时，A ＝{1,3,2}，B ＝{1,3}，这时满足条件A ⊇B ； (2)a ＝－1时，A ＝{1,3，－1}，B ＝{1,3}，这时也满足条件A ⊇B .当a 2－a ＋1＝a 时，a ＝1，此时A ＝{1,3,1}，B ＝{1,1}，根据集合中元素的互异性，故舍去a ＝1. ∴a 的值为2或－1.[错解] ∵M ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}＝{1,2}，(1)当N ＝{1}时，有⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋1＝2，1×1＝a ，∴a ＝1.(2)当N ＝{2}时，有⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋2＝2，2×2＝a ，不成立．(3)当N ＝{1,2}时，有⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＝2，1×2＝a ，不成立．所以，a ＝1.[错因] 空集是一个特殊的集合，是任何集合的子集，在解决集合关系问题时极易忽略∅，错解中没有考虑集合N 为∅的情况．[正解] ∵M ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}＝{1,2}，又N ⊆M ，∴N ＝∅，或N ＝{1}，或N ＝{2}，或N ＝{1,2}． (1)当N ＝∅时，方程x 2－2x ＋a ＝0的判别式Δ＝4－4a <0，即a >1.(2)当N ＝{1}时，有⎩⎪⎨⎪⎧1＋1＝2，1×1＝a ，∴a ＝1.(3)当N ＝{2}时，有⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋2＝2，2×2＝a ，不成立．(4)当N ＝{1,2}时，有⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＝2，1×2＝a ，不成立．综上可知实数a 的取值范围是a ≥1. 1．下列命题中，正确的有( ) ①空集是任何集合的真子集； ②若A B ，B C ，则A C ；③任何一个集合必有两个或两个以上的真子集； ④如果不属于B 的元素也不属于A ，则A ⊆B . A ．①② B ．②③ C ．②④D ．③④解析：①空集只是空集的子集而非真子集，故①错；②真子集具有传递性，故②正确；③若一个集合是空集，则没有真子集，故③错；④由韦恩(Venn)图易知④正确．答案：C2．设集合M ＝{x |x >－2}，则下列选项正确的是( ) A ．{0}⊆M B ．{0}∈M C ．∅∈MD ．0⊆M解析：选项B 、C 中均是集合之间的关系，符号错误；选项D 中是元素与集合之间的关系，符号错误． 答案：A3．已知集合A ＝{x |x 是平行四边形}，B ＝{x |x 是矩形}，C ＝{x |x 是正方形}，D ＝{x |x 是菱形}，则( ) A ．A ⊆B B ．C ⊆B C ．D ⊆CD ．A ⊆D解析：选项A 错，应当是B ⊆A .选项B 对，正方形一定是矩形，但矩形不一定是正方形．选项C 错，正方形一定是菱形，但菱形不一定是正方形．选项D 错，应当是D ⊆A .答案：B 4．已知∅{x |x 2－x ＋a ＝0}，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵∅{x |x 2－x ＋a ＝0}．∴{x |x 2－x ＋a ＝0}≠∅. 即x 2－x ＋a ＝0有实根． ∴Δ＝(－1)2－4a ≥0，得a ≤14.答案：a ≤145．若{a,0,1}＝{c ，1b ，－1}，则a ＝________，b ＝________，c ＝________.解析：∵1b ≠0，∴c ＝0，∴a ＝－1，1b ＝1.∴a ＝－1，b ＝1.答案：－1 1 06．已知集合A ＝{－1,3,2m －1}，集合B ＝{3，m 2}，若B ⊆A ，求实数m 的值．解：∵B ⊆A ，∴m 2＝－1，或m 2＝2m －1，当m 2＝－1时，显然无实数根；当m 2＝2m －1时，m ＝1.∴实数m ＝1.一、选择题1．已知集合M ＝{x ∈Z |－3<x ≤1}，则它的真子集的个数为( ) A ．12 B ．14 C ．15D ．16解析：∵M ＝{x ∈Z |－3<x ≤1}＝{－2，－1,0,1}共有4个元素，∴它的真子集共有24－1＝15个． 答案：C2．定义集合A *B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }，若A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{2,4,5}，则A *B 的子集个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：由题意知A *B ＝{1,3}， ∴A *B 的子集个数为22＝4个． 答案：D3．已知集合M ＝{x |－5<x <3，x ∈Z }，则下列集合中为集合M 子集的是( ) A ．P ＝{－3,0,1} B ．Q ＝{－1,0,1,2}C ．R ＝{y |－π<y <－1，y ∈Z }D ．S ＝{x ||x |≤3，x ∈N }解析：先用列举法表示集合，再观察元素与集合的关系．集合M ＝{－2，－1,0,1}，集合R ＝{－3，－2}，S ＝{0,1}，不难发现集合P 中的元素－3∉M ，集合Q 中的元素2∉M ，集合R 中的元素－3∉M ，而S ＝{0,1}中的任意一个元素都在集合M 中，所以S ⊆M ，且S M .答案：D4．已知集合A ⊆{0,1,2}，且集合A 中至少含有一个偶数，则这样的集合A 的个数为( ) A ．6 B ．5 C ．4D ．3解析：集合{0,1,2}的子集为：∅，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}，其中含有偶数的集合有6个．答案：A 二、填空题5．已知集合A ＝{x |a －1≤x ≤a ＋2}，B ＝{x |3<x <5}，则能使A ⊇B 成立的实数a 的取值范围是________．解析：∵A ⊇B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1≤3，a ＋2≥5，∴3≤a ≤4. 答案：3≤a ≤46．设a ，b ∈R ，集合{0，ba，b }＝{1，a ＋b ，a }，则b －a ＝________.解析：由题意可知a ≠0，则a ＋b ＝0，a ＝－b ，所以ba ＝－1，则a ＝－1，b ＝1，故b －a ＝2.答案：27．下列关系中正确的是________．①∅∈{0}； ②∅{0}； ③{0,1}⊆{(0,1)}； ④{(a ，b )}＝{(b ，a )}．解析：∵∅{0}，∴①错误；空集是任何非空集合的真子集，②正确，{(0,1)}是含有一个元素的点集，③错误；{(a ，b )}与{(b ，a )}是两个不等的点集，④错误，故正确的是②.答案：②8．已知集合P ＝{1,2}，那么满足Q ⊆P 的集合的个数是________． 解析：∵P ＝{1,2}，Q ⊆P ，∴集合Q 可以是∅或{1}或{2}或{1,2}． 答案：4 三、解答题9．由“2，a ，b ”三个元素构成的集合与由“2a,2，b 2”三个元素构成的集合是同一个集合，求a ，b 的值． 解：根据集合相等，有⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2a ，b ＝b 2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b 2，b ＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0或⎩⎨⎧a ＝14，b ＝12.再根据集合元素的互异性，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1或⎩⎨⎧a ＝14，b ＝12.10．设集合A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}，B ＝{x |x 2－(2a ＋1)x ＋a 2＋a ＝0}，若B ⊆A ，求a 的值．解：法一：A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}，由B ⊆A 得，B ＝∅，或B ＝{2}，或B ＝{3}，或B ＝{2,3}，由于Δ＝(2a ＋1)2－4a 2－4a ＝1>0，∴B ≠∅，且B 含有两个不同元素．∴B ＝{2,3}，需2a ＋1＝5和a 2＋a ＝6同时成立， ∴a ＝2.综上所述：a ＝2.法二：A＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2,3}，B＝{x|x2－(2a＋1)x＋a2＋a＝0}＝{x|(x－a)·(x－a－1)＝0}＝{a，a＋1}，∵a≠a＋1，∴当B⊆A时，只有a＝2且a＋1＝3.∴a＝2.1．1.3集合的基本运算第一课时并集与交集[读教材·填要点]1．集合的并集与交集的定义21．若A＝{1,2,3}，B＝{3,4,5}，那么A∪B＝{1,2,3,3,4,5}对吗？如何表示A∪B和A∩B?提示：A∪B＝{1,2,3,3,4,5}是不对的，因为不符合元素的互异性；A∪B＝{1,2,3,4,5}，A∩B＝{3}．2．你认为并集概念中的“或”与我们日常生活中“或”意义一致吗？有什么区别？提示：并集中的“或”与生活中“或”是不一样的．生活用语中的“或”是“或此”“或彼”只取其一，如“老师让张明或李红去开会”，意思是张明去也可以，李红去也可以，但不包括张明和李红一起去这种情况；而并集中的“或”则是“或此”“或彼”“或彼此”．3．若集合A与集合B没有公共元素，能否说集合A与集合B没有关系？提示：当两集合A与B没有公共元素时，不能说集合A与B没有关系，而是A∩B＝∅.[例1] 已知集合A ＝{x |(x ∪B 是( ) A ．{－1,2,3} B ．{－1，－2,3} C ．{1，－2,3}D ．{1，－2，－3}[自主解答] A ＝{x |(x －1)(x ＋2)＝0}＝{1，－2}；B ＝{x |(x ＋2)(x －3)＝0}＝{－2,3}， ∴A ∪B ＝{1，－2}∪{－2,3}＝{－2,1,3}． [答案] C ——————————————————解决此类问题首先应看清集合中元素的范围，简化集合，若是用列举法表示的数集，可以根据交集、并集的定义直接观察或用Venn 图表示出集合运算的结果；若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示.————————————————————————————————————————1．已知集合A ＝{x |－1＜x ≤3}，B ＝{x |x ≤0，或x ≥52}，求A ∩B ，A ∪B .解：∵A ＝{x |－1＜x ≤3}，B ＝{x |x ≤0，或x ≥52}，把集合A 与B 表示在数轴上，如图． ∴A ∩B ＝{x |－1＜x ≤3}∩{x |x ≤0或x ≥52}＝{x |－1＜x ≤0或52≤x ≤3}；A ∪B ＝{x |－1＜x ≤3}∪{x |x ≤0或x ≥52}＝R .[例2] 已知集合A ＝x 的值． [自主解答] ∵A ∪B ＝{1,3，x }，A ＝{1,3，x }，B ＝{1，x 2}， ∴A ∪B ＝A ，即B ⊆A ， ∴x 2＝3或x 2＝x .①当x 2＝3时，得x ＝±3.若x ＝3，则A ＝{1,3，3}，B ＝{1,3}，符合题意； 若x ＝－3，则A ＝{1,3，－3}，B ＝{1,3}，符合题意． ②当x 2＝x 时，则x ＝0或x ＝1.若x ＝0，则A ＝{1,3,0}，B ＝{1,0}，符合题意； 若x ＝1，则A ＝{1,3,1}，B ＝{1,1}，不成立，舍去；综上可知，x ＝±3或x ＝0. ——————————————————(1)在利用集合的交集、并集性质解题时，常常会遇到A ∩B ＝A ，A ∪B ＝B 等这类问题，解答时常借助于交、并集的定义及上节学习的集合间的关系去分析，如A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ，A ∪B ＝B ⇔A ⊆B 等，解答时应灵活处理.(2)对于含有参数的问题要分类讨论，同时要检验，利用好集合中元素的互异性. ————————————————————————————————————————2．已知集合A ＝{4,6}，B ＝{2，m }，A ∪B ＝{2,4,6}，则m 的值为________． 解析：∵A ＝{4,6}，B ＝{2，m }， 而A ∪B ＝{2,4,6}， ∴m ＝4或m ＝6. 答案：4或6(1) 若A ∩B ＝A ∪B ，求a 的值； (2)若∅A ∩B ，A ∩C ＝∅，求a 的值．[巧思] (1)A ∩B ＝A ∪B ⇔A ＝B ；(2)∅A ∩B ⇔A ∩B ≠∅. [妙解] 由已知，得B ＝{2,3}，C ＝{2，－4}．(1)∵A ∩B ＝A ∪B ，∴A ＝B .于是2,3是一元二次方程x 2－ax ＋a 2－19＝0的两个根，由根与系数之间的关系知：⎩⎪⎨⎪⎧2＋3＝a ，2×3＝a 2－19解之得a ＝5.(2)由A ∩B ∅⇒A ∩B ≠∅，又A ∩C ＝∅，得3∈A,2∉A ，－4∉A . 由3∈A 得32－3a ＋a 2－19＝0， 解得a ＝5或a ＝－2.当a ＝5时，A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}，与2∉A 矛盾； 当a ＝－2时，A ＝{x |x 2＋2x －15＝0}＝{3，－5}，符合题意． ∴a ＝－2.1．已知集合M ＝{1,2,3,4}，N ＝{－2,2}，下列结论成立的是( ) A ．N ⊆M B ．M ∪N ＝M C ．M ∩N ＝ND ．M ∩N ＝{2}解析：因为－2∉M ，可排除A ；M ∪N ＝{－2,1,2,3,4}，可排除B ；M ∩N ＝{2}．答案：D2．设A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则如图中阴影部分表示的集合为()A．{2} B．{3}C．{－3,2} D．{－2,3}解析：注意到集合A中的元素为自然数，因此易知A＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，而直接解集合B中的方程可知B＝{－3,2}，因此阴影部分显然表示的是A∩B＝{2}．答案：A3．设集合M＝{x|－3≤x<7}，N＝{x|2x＋k≤0}，若M∩N≠∅，则k的取值范围是()A．k≤3 B．k≥－3C．k>6 D．k≤6解析：因为N＝{x|2x＋k≤0}＝{x|x≤－k2}，且M∩N≠∅，所以－k2≥－3⇒k≤6.答案：D4．已知集合A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是矩形}，则A∩B∩C＝________. 解析：∵A∩B＝{x|x是菱形}∴A∩B∩C＝{x|x是正方形}．答案：{x|x是正方形}5．已知集合M＝{0,1,2}，N＝{x|x＝2a，a∈M}，则集合M∩N＝________.解析：由M＝{0,1,2}，知N＝{0,2,4}，M∩N＝{0,2}．答案：{0,2}6．设集合A＝{a2，a＋1，－3}，B＝{a－3,2a－1，a2＋1}，A∩B＝{－3}，求实数a.解：∵A∩B＝{－3}，∴－3∈B.∵a2＋1≠－3，∴①若a－3＝－3，则a＝0，此时A＝{0,1，－3}，B＝{－3，－1,1}，但由于A∩B＝{1，－3}与已知A∩B＝{－3}矛盾，∴a≠0.②若2a－1＝－3，则a＝－1，此时A＝{1,0，－3}，B＝{－4，－3,2}，A∩B＝{－3}，综上可知a＝－1.一、选择题1．已知集合A ＝{x |x ≥0}，B ＝{x |－1≤x ≤2}，则A ∪B ＝( ) A ．{x |x ≥－1} B ．{x |x ≤2} C ．{x |0<x ≤2}D ．{x |1≤x ≤2}解析：结合数轴得A ∪B ＝{x |x ≥－1}． 答案：A2．设集合M ＝{x |－3<x <2}，N ＝{x |1≤x ≤3}，则M ∩N ＝( ) A ．{x |1≤x <2} B ．{x |1≤x ≤2} C ．{x |2<x ≤3}D ．{x |2≤x ≤3} 解析：∵M ＝{x |－3<x <2}且N ＝{x |1≤x ≤3}， ∴M ∩N ＝{x |1≤x <2}． 答案：A3．设A ＝{x |－3≤x ≤3}，B ＝{y |y ＝－x 2＋t }．若A ∩B ＝∅，则实数t 的取值范围是( ) A ．t <－3 B ．t ≤－3 C ．t >3D ．t ≥3解析：B ＝{y |y ≤t }，结合数轴可知t <－3. 答案：A4．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1＜x ＜2m －1}，且B ≠∅，若A ∪B ＝A ，则( ) A ．－3≤m ≤4 B ．－3＜m ＜4 C ．2＜m ＜4D ．2＜m ≤4解析：∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A .又B ≠∅， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7m ＋1＜2m －1即2＜m ≤4.答案：D 二、填空题5．已知集合A ＝{1,2,4}，B ＝{2,4,6}，则A ∪B ＝________. 解析：集合A ，B 都是以列举法的形式给出，易得A ∪B ＝{1,2,4,6}． 答案：{1,2,4,6}6．已知集合A ＝{x |x ≥5}，集合B ＝{x |x ≤m }，且A ∩B ＝{x |5≤x ≤6}，则实数m ＝________. 解析：用数轴表示集合A 、B 如图所示， 由于A ∩B ＝{x |5≤x ≤6}， 则m ＝6. 答案：67．已知集合A ＝{x |x ≤1}，B ＝{x |x ≥a }，且A ∪B ＝R ，则实数a 的取值范围是________． 解析：如图所示，若A ∪B ＝R ，则a ≤1. 答案：a ≤18．已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝ax ＋3}，B ＝{(x ，y )|y ＝3x ＋b }，A ∩B ＝{(2,5)}，则a ＝________，b ＝________. 解析：∵A ∩B ＝{(2,5)}． ∴5＝2a ＋3.∴a ＝1. ∴5＝6＋b .∴b ＝－1. 答案：1 －1 三、解答题9．已知集合A ＝{x |－1≤x ＜3}，B ＝{x |2x －4≥x －2}． (1)求A ∩B ；(2)若集合C ＝{x |2x ＋a ＞0}，满足B ∪C ＝C ，求实数a 的取值范围． 解：(1)∵B ＝{x |x ≥2}，A ＝{x |－1≤x ＜3}， ∴A ∩B ＝{x |2≤x ＜3}．(2)∵C ＝{x |x ＞－a2}，B ∪C ＝C ⇔B ⊆C ，∴a ＞－4.10．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ 3－x >0，3x ＋6>0，集合B ＝{m |3>2m －1}，求A ∩B ，A ∪B . 解：解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3－x >0，3x ＋6>0，得－2<x <3，则A ＝{x |－2<x <3}，解不等式3>2m －1，得m <2，则B ＝{m |m <2}． 用数轴表示集合A 和B ，如图所示， 则A ∩B ＝{x |－2<x <2}，A ∪B ＝{x |x <3}．第二课时 补集及集合运算综合问题[读教材·填要点]1．全集(1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么称这个集合为全集． (2)符号表示：通常记作U . 2．补集1．已知集合A、∁U A(U为全集)，则A∩(∁U A)与A∪(∁U A)各有什么特点？提示：A∩(∁U A)＝∅，A∪(∁U A)＝U.2．设U为全集，则∁U∅、∁U U、∁U(∁U A)分别表示什么集合？提示：∁U∅＝U，∁U U＝∅.∁U(∁U A)＝A.3．判断∁U(A∩B)＝(∁U A)∩∁U B，∁U(A∪B)＝(∁U A)∪(∁U B)是否正确．提示：不对．结合韦恩图可知∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)．[例1]设全集U＝{0,1,2,3}U m的值．[自主解答]如图，∵U＝{0,1,2,3}，∁U A＝{1,2}，∴A＝{0,3}．∴方程x2＋mx＝0的两根为x1＝0，x2＝3，∴0＋3＝－m.即m＝－3.——————————————————(1)根据补集定义，借助Venn图，可直观地求出全集，此类问题，当集合中元素离散时，可借助V enn图；当集合中元素连续时，可借助数轴，利用数轴分析法求解．(2)解题时要注意使用补集的几个性质：∁U U＝∅，∁U∅＝U，A∪(∁U A)＝U. ————————————————————————————————————————1．已知全集U，集合A＝{1,3,5,7,9}，∁U A＝{2,4,6,8}，∁U B＝{1,4,6,8,9}，求集合B.解：借助Venn，如右图所示，得U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，∵∁U B＝{1,4,6,8,9}，∴B＝{2,3,5,7}.[例2]设U＝{x∈N|x(∁U A)∩(∁U B)，(∁U A)∪(∁U B)．[自主解答]∵U＝{x∈N|x<10}＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，A＝{1,5,7,8}，B＝{3,4,5,6,9}，∴A∩B＝{1,5,7,8}∩{3,4,5,6,9}＝{5}，A ∪B ＝{1,5,7,8}∪{3,4,5,6,9}＝{1,3,4,5,6,7,8,9}． ∵∁U A ＝{0,2,3,4,6,9}，∁U B ＝{0,1,2,7,8}，∴(∁U A )∩(∁U B )＝{0,2}，(∁U A )∪(∁U B )＝{0,1,2,3,4,6,7,8,9}． ——————————————————1.解决集合的混合运算时，一般先运算括号内的部分，如求∁U (A ∪B )时，先求出A ∪B ，再求补集.2.当集合是用列举法表示时，如数集，可以通过列举集合的元素分别得到所求的集合；当集合是用描述法表示时，如不等式形式表示的集合，则可借助数轴求解.————————————————————————————————————————2．已知U ＝R ，A ＝{x |x >0}，B ＝{x |x ≤－1}，则[A ∩(∁U B )]∪[B ∩(∁U A )]＝( ) A ．∅ B ．{x |x ≤0}C ．{x |x >－1}D ．{x |x >0，或x ≤－1}解析：∵B ＝{x |x ≤－1}，∴∁U B ＝{x |x >－1}． 又∵A ＝{x |x >0}，∴A ∩(∁U B )＝{x |x >0}． 又∵∁U A ＝{x |x ≤0}． ∴B ∩(∁U A )＝{x |x ≤－1}．∴[A ∩(∁U B )]∪[B ∩(∁U A )]＝{x |x >0，或x ≤－1}． 答案：D[例3] 设全集U ＝R ，U a 的取值范围． [自主解答]∁U P ＝{x |x ＜－2或x ＞1}， ∵M ∁U P ，∴分M ＝∅，M ≠∅，两种情况讨论． (1)M ≠∅时，如图可得或⎩⎪⎨⎪⎧3a ＜2a ＋5，3a ≥1，∴a ≤－72，或13≤a ＜5.(2)M ＝∅时，应有3a ≥2a ＋5⇒a ≥5. 综上可知，a ≤－72，或a ≥13.——————————————————1.M⊆N，一般分两种情况讨论：①M＝∅，②M≠∅.2.解用不等式表示的数集间的集合运算时，一般要借助于数轴求解，此法的特点是简单直观，同时要注意各个端点的画法. ————————————————————————————————————————3．已知集合A＝{x|－4≤x≤－2}，集合B＝{x|x－a≥0}．(1)若A⊆B，求a的取值范围；(2)若全集U＝R，且A⊆(∁U B)，求a的取值范围．解：∵A＝{x|－4≤x≤－2}，B＝{x|x≥a}，(1)由A⊆B，结合数轴(如图所示)可知a的范围为a≤－4.(2)∵U＝R，∴∁U B＝{x|x＜a}，要使A⊆∁U B，须a＞－2.动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．[巧思]先将文字语言转化为集合语言，设U为全班学生组成的集合，A、B分别表示喜爱篮球运动的学生组成的集合、喜爱乒乓球运动的学生组成的集合，再利用Venn图可直观得出答案．[妙解]设全集U＝{全班30名学生}，A＝{喜爱篮球运动的学生}，B＝{喜爱乒乓球运动的学生}，画出Venn图如图所示．设既喜欢篮球运动又喜欢乒乓球运动的人数为x，则(15－x)＋x＋(10－x)＝30－8，解得x＝3，所以喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为12.[答案]121．设全集为R，A＝{x|x<3，或x>5}，B＝{x|－3<x<3}，则()A．∁R(A∪B)＝R B．A∪(∁R B)＝RC．(∁R A)∪(∁R B)＝R D．A∪B＝R解析：∵∁R A＝{x|3≤x≤5}，∁R B＝{x|x≤－3，或x≥3}，逐个验证知B正确．答案：B2.(2013·临沂一模)已知全集U＝Z，集合A＝{0,1}，B＝{－1,0,1,2}，则图中阴影部分所表示的集合为()A．{－1,2} B．{－1,0}C．{0,1} D．{1,2}解析：图中阴影部分表示的集合为(∁U A)∩B，因为A＝{0,1}，B＝{－1,0,1,2}，所以(∁U A)∩B＝{－1,2}．答案：A3．已知全集U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A＝{0,1,3,5,8}，集合B＝{2,4,5,6,8}，则(∁U A)∩(∁U B)＝() A．{5,8} B．{7,9}C．{0,1,3} D．{2,4,6}解析：因为A∪B＝{0,1,2,3,4,5,6,8}，所以(∁U A)∩(∁U B)＝∁U(A∪B)＝{7,9}．答案：B4．已知全集U＝{2,3，a2－a－1}，A＝{2,3}，若∁U A＝{1}，则实数a的值是________．解析：∵U＝{2,3，a2－a－1}，A＝{2,3}，∁U A＝{1}，∴a2－a－1＝1，即a2－a－2＝0，∴a＝－1或a＝2.答案：－1或25．已知集合A＝{x|0≤x≤5}，B＝{x|2≤x＜5}，则∁A B＝________.解析：如图：由数轴可知：∁A B＝{x|0≤x<2，或x＝5}．答案：{x|0≤x<2，或x＝5}6．设全集U＝{x|0<x<10，x∈N}，若A∩B＝{3}，A∩(∁U B)＝{1,5,7}，(∁U A)∩(∁U B)＝{9}，求集合A，B.解：U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，由题意画出Venn图，∴A＝{1,3,5,7}，B＝{2,3,4,6,8}．一、选择题1．设U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x>1}，则A∩(∁U B)＝()A．{x|0≤x<1} B．{x|0<x≤1}C．{x|x<0} D．{x|x>1}解析：画出数轴，如图所示，∁U B＝{x|x≤1}，则A∩(∁U B)＝{x|0<x≤1}．答案：B2．已知全集U＝A∪B中有m个元素，(∁U A)∪(∁U B)中有n个元素．若A∩B是非空集合，则A∩B的元素个数为()A．mn B．m＋nC．n－m D．m－n解析：画出Venn图，如图．∵U＝A∪B中有m个元素，(∁U A)∪(∁U B)＝∁U(A∩B)中有n个元素，∴A∩B中有m－n个元素．答案：D3．已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x|x<2}，且A∪(∁R B)＝R，则a满足()A．a≥2 B．a>2C．a<2 D．a≤2解析：∁R B＝{x|x≥2}，则由A∪(∁R B)＝R得a≥2.答案：A4．设S为全集，则下列几种说法中，错误的个数是()①若A∩B＝∅，则(∁S A)∪(∁S B)＝S；②若A∪B＝S，则(∁S A)∩(∁S B)＝∅；③若A∪B＝∅，则A＝B.A．0 B．1C．2 D．3解析：①如图，(∁S A)∪(∁S B)＝S，正确．②若A∪B＝S，则(∁S A)∩(∁S B)＝∁S(A∪B)＝∅，故成立．③若A∪B＝∅，则A＝B＝∅.答案：A二、填空题5．已知集合A＝{1,3,5,7,9}，B＝{0,3,6,9,12}，则A∩B＝________，A∩(∁N B)＝________.解析：因为集合A与集合B都有元素3和9，所以A∩B＝{3,9}，结合Venn图(如图所示)，易得A∩(∁N B)＝{1,5,7}．答案：{3,9}{1,5,7}6．设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2<x<4}，全集U＝R，且(∁U A)∩B＝∅，则实数m的取值范围是________．解析：∵A＝{x|x≥－m}，∴∁U A＝{x|x<－m}．又∵(∁U A)∩B＝∅，－m≤－2.∴m≥2.答案：m≥27．设全集U＝{a，b，c，d}，集合A＝{a，b}，B＝{b，c，d}，则(∁U A)∪(∁U B)＝________.解析：依题意得知，∁U A＝{c，d}，∁U B＝{a}，(∁U A)∪(∁U B)＝{a，c，d}．答案：{a，c，d}8．已知全集U(U≠∅)和集合A、B、D，且A＝∁U B，B＝∁U D，则A与D的关系是________．解析：A＝∁U B＝∁U(∁U D)＝D.答案：A＝D三、解答题9．已知全集U＝{x|－1≤x≤4}，A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0＜x≤3}，求∁U A，(∁U B)∩A.解：∵U＝{x|－1≤x≤4}，A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0＜x≤3}，结合数轴(如图)．可知∁U A＝{x|1＜x≤4}，∁U B＝{x|3＜x≤4，或－1≤x≤0}．结合数轴(如图)．可知(∁U B)∩A＝{x|－1≤x≤0}．10．2011年8月世界大学生运动会在深圳举行，大运村的50名志愿者中，会讲英语的有36人，会讲日语的有20人，既会讲英语又会讲日语的有14人，问既不会讲英语又不会讲日语的有多少人？解：设全集U＝{50名志愿者}，A＝{会讲英语的志愿者}，B＝{会讲日语的志愿者}，A∩B＝{既会讲英语又会讲日语的志愿者}，画出Venn图，如图，则由Venn图知，既不会讲英语又不会讲日语的志愿者有50－22－14－6＝8(人)．1．2.1函数的概念[读教材·填要点]1．函数的概念(1)函数的定义：设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.(2)函数的定义域与值域：函数y＝f(x)中，x叫自变量，x的取值范围叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．2．区间概念(a，b为实数，且a＜b)3.1．从函数的定义看，它的定义域和值域能否为空集？提示：因为定义中的A、B是非空数集，所以函数的定义域和值域都不能为空集．2．所有的数集都能用区间表示吗？提示：区间是数集的另一种表示方法，但并不是所有数集都能用区间表示，如{1,2,3,4}就不能用区间表示．3．如何用区间表示下列数集？(1){x|x≥1}；(2){x|2＜x≤3}；(3){x|x＞1且x≠2}．提示：(1)[1，＋∞)(2)(2,3](3)(1,2)∪(2，＋∞)[例1]设M＝{x|0≤x≤2}M到集合N的函数关系的有()A．0个B．1个C．2个D．3个[自主解答][答案] B——————————————————判断所给对应是否是函数，首先观察两个集合A、B是否是非空数集，其次验证对应关系下，集合A中数x 的任意性，集合B中数y的唯一性. ————————————————————————————————————————1．图中(1)(2)(3)(4)四个图象各表示两个变量x，y的对应关系，其中表示y是x的函数关系的有________．解析：由函数定义可知，任意作一条直线x＝a，则与函数的图象至多有一个交点，对于本题而言，当－1≤a≤1时，直线x＝a与函数的图象仅有一个交点，当a>1或a<－1时，直线x＝a与函数的图象没有交点．从而表示y 是x的函数关系的有(2)(3)．答案：(2)(3)[例2](1)f (x )＝3x ＋2；(2)f (x )＝3－x1－x －1.[自主解答] (1)使根式3x ＋2有意义的实数x 的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≥－23，从而函数f (x )＝3x ＋2的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≥－23.(2)要使3－x1－x －1有意义，只要⎩⎨⎧x －1≥0，3－x ≥0，x ≠2.因此函数f (x )＝3－x1－x －1的定义域为{x |1≤x ≤3且x ≠2}． ——————————————————求函数定义域的方法及注意事项：(1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y ＝x 0要求x ≠0.(2)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．————————————————————————————————————————2．求下列函数的定义域： (1)y ＝(x ＋1)0|x |－x ；(2)y ＝2x ＋3－12－x ＋1x. 解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1≠0，|x |－x ≠0得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠－1，|x |≠x ，∴x <0且x ≠－1，∴原函数的定义域为{x |x <0且x ≠－1}．(2)要使函数有意义，需⎩⎨⎧2x ＋3≥0，2－x >0，x ≠0.解得－32≤x <2且x ≠0，所以函数y ＝2x ＋3－12－x＋1x 的定义域为⎣⎡⎭⎫－32，0∪(0,2).[例3] (1)f (x )＝(x )2，g (x )＝x 2； (2)f (x )＝x 2－2x －1，g (t )＝t 2－2t －1.[自主解答] (1)由于函数f (x )＝(x )2的定义域为{x |x ≥0}，而g (x )＝x 2的定义域为{x |x ∈R }，它们的定义域不同，所以它们不表示同一函数．(2)两个函数的定义域和对应关系都相同，所以它们表示同一函数． ——————————————————判断两个函数f (x )和g (x )是否是相等函数的步骤是：①先求函数f (x )和g (x )的定义域，如果定义域不同，那么它们不相等，如果定义域相同，再执行下一步；②化简函数的解析式，如果化简后的函数解析式相同，那么它们相等，否则它们不相等.————————————————————————————————————————3．下列各组函数中，f (x )与g (x )表示同一函数的是( ) A ．f (x )＝x －1与g (x )＝x 2－2x ＋1 B ．f (x )＝x 与g (x )＝x 2xC ．f (x )＝x 与g (x )＝3x 3 D ．f (x )＝x 2－4x －2与g (x )＝x ＋2解析：A 选项中，f (x )与g (x )的对应关系不同，它们不表示同一函数；B ，D 选项中，f (x )与g (x )的定义域不同，它们不表示同一函数．答案：C求函数y ＝(x －2)(x ＋1)(x －2)(x ＋3)的定义域．[错解] 要使函数y ＝(x －2)(x ＋1)(x －2)(x ＋3)＝x ＋1x ＋3有意义，则x ≠－3.故所求函数的定义域为{x |x ≠－3}．[错因] 约分扩大了自变量的取值范围．由于同时约去了函数中分子、分母的公因式“x －2”，使原函数变形为y ＝x ＋1x ＋3，从而改变了原函数的自变量x 的取值范围，也就是说，函数y ＝(x －2)(x ＋1)(x －2)(x ＋3)与函数y ＝x ＋1x ＋3不相等． [正解] 要使函数有意义，必须使(x －2)(x ＋3)≠0， 即x －2≠0且x ＋3≠0， 解得x ≠2且x ≠－3，。

、【优化方案】数学人教A版必修1第1章第二课时知能优化训练1．函数f(x)＝9－ax2(a＞0)在[0,3]上的最大值为()A．9B．9(1－a)C．9－a D．9－a2剖析：选A.x∈[0,3]时f(x)为减函数，f(x)max＝f(0)＝9.2．函数y＝x＋1－x－1的值域为() A．(－∞，2]B．(0，2] C．[2，＋∞)D．[0，＋∞)剖析：选B.y＝x＋1≥0 x＋1－x－1，∴，x－1≥0∴x≥1.∵y＝2为[1，＋∞)上的减函数，x－1x＋1＋∴f(x)max＝f(1)＝2且y＞0.3．函数f(x)＝x2－2ax＋a＋2在[0，a]上获取最大值3，最小值2，则实数a为() A．0或1B．1C．2D．以上都不对剖析：选B.因为函数f(x)＝x2－2ax＋a＋2＝(x－a)2－a2＋a＋2,对称轴为x＝a，开口方向向上，所以f(x)在[0，a]上单调递减，其最大值、最小值分别在两个端点处获取，f即f(x)max＝f(0)＝a＋2＝3，(x)min＝f(a)＝－a2＋a＋2＝2.故a＝1.4．(2020年高考山东卷)已知x，y∈R＋，且满足x y＋＝1.则3 4xy的最大值为________．yx x剖析：＝1－，∴0＜1－＜1,0＜x＜3.4 3 3432而xy＝x·4(1－3)＝－3(x－2)＋3.x当x＝3，y＝2时，xy最大值为3.2答案：31．函数f(x)＝x2在[0,1]上的最小值是()A．1B．01C.4D．不存在剖析：选B.由函数f(x)＝x2在[0,1]上的图象(图略)知，f(x)＝x2在[0,1]上单调递加，故最小值为f(0)＝0.2．函数f(x)＝2x＋6，x∈[1，2]，则f(x)的最大值、最小值分别为() x＋7，x∈[－1，1]A．10,6B．10,8 C．8,6D．以上都不对剖析：选A.f(x)在x∈[－1,2]上为增函数，f(x)max＝f(2)＝10，f(x)min＝f(－1)＝6.3．函数y ＝－2＋2在[1,2]上的最大值为() x xA．1B．2 C．－1D．不存在剖析：选A.因为函数y＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1.对称轴为x＝1，张口向下，故在[1,2]上为单调递减函数，所以y＝－1＋2＝1.max14．函数y＝x－1在[2,3]上的最小值为()A．21 B. 211C.3D．－211剖析：选B.函数y＝x－1在[2,3] 上为减函数，1ymin＝3－1＝2.5．某公司在甲乙两地同时销售一种品牌车，收益(单位：万元)分别为1＝－x2＋21x和L2＝2x，其中销售量(单位：辆)．若该公司在两地共销售L15辆，则能获取的最大收益为()A．90万元B．60万元C．120万元D．万元剖析：选C.设公司在甲地销售x辆(0≤x≤15，x为正整数)，则在乙地销售(15－x)辆，∴公司获取收益L＝－x2＋21x＋2(15－x)＝－x2＋19x＋30.∴当x＝9或10时，L最大为120万元，应选C.6．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为()A．－1B．0C．1D．2剖析：选C.f(x)＝－(x2－4x＋4)＋a＋4＝－(x－2)2＋4＋a.∴函数f(x)图象的对称轴为x＝2，f(x)在[0,1]上单调递加．又∵f(x)min＝－2，f(0)＝－2，即a＝－2.f(x)max＝f(1)＝－1＋4－2＝1.2 *7．函数y＝2x＋2，x∈N的最小值是________．*2剖析：∵x∈N，∴x≥1，即y＝2x2＋2在x∈N*上的最小值为4，此时x＝1.答案：48．已知函数f(x)＝x2－6x＋8，x∈[1，a]，并且f(x)的最小值为f(a)，则实数a的取值范围是________．剖析：由题意知f(x)在[1，a]上是单调递减的，又∵f(x)的单调减区间为(－∞，3]，∴1<a≤3.答案：(1,3]x9．函数f(x)＝x＋2在区间[2,4]上的最大值为________；最小值为________．x＝x＋2－22剖析：∵f(x)＝＝1－，x＋2x＋2x＋2∴函数f(x)在[2,4]上是增函数，214∴f(x)min＝f(2)＝＝，2f(x)max＝f(4)＝4＋2＝3.21答案：32x2－1≤x≤110．已知函数f(x)＝2，11＜x≤2x求f(x)的最大、最小值．解：当－1≤x≤1时，由f(x)＝x2，得f(x)最大值为f(1)＝1，最小值为f(0)＝0；21当1＜x≤2时，由f(x)＝x，得f(2)≤f(x)＜f(1)，1即2≤f(x)＜1.综上f(x)＝1，f(x)min ＝0.max11．某租借公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每个月需要保护费150元，未租出的车每辆每个月需要保护费50元．(2)当每辆车的月租金为3600元时，能租出多少辆车？当每辆车的月租金为多少元时，租借公司的月收益最大？最大月收益是多少？解：(1)当每辆车的月租金为3600元时，未租出的车辆数为3600－300050＝12.所以这时租出了88辆车．x－3000(2)设每辆车的月租金为x元．则租借公司的月收益为f(x)＝(100－)(x－150) 50－x－3000×50，50整理得x212f(x)＝－50＋162x－21000＝－50(x－4050)＋307050.所以，当x＝4050时，f(x)最大，最大值为f(4050)＝307050.即当每辆车的月租金为4050元时，租借公司的月收益最大．最大月收益为307050元．12．求f(x)＝x2－2ax－1在区间[0,2]上的最大值和最小值．解：f(x)＝(x－a)2－1－a2，对称轴为x＝a.①当a＜0时，由图①可知，ff(x)min ＝f(0)＝－1， (x)max ＝f(2)＝3－4a. ②当0≤a ＜1时，由图②可知，(x)min ＝f(a)＝－1－a 2，f(x)max ＝f(2)＝3－4a. ③当1≤a ≤2时，由图③可知，(x)min ＝f(a)＝－1－a 2，f(x)max ＝f(0)＝－1. f④当a ＞2时，由图④可知，(x)min ＝f(2)＝3－4a ，f(x)max ＝f(0)＝－1.综上所述，当 ＜0时， f ( )min ＝－1， ( )max ＝3－4；a xf x a当0≤a ＜1时，f(x)min ＝－1－a 2，f(x)max ＝3－4a ；当1≤a ≤2时，f(x)min ＝－1－a 2，f(x)max ＝－1；当a ＞2时，f(x)min ＝3－4a ，f(x)max ＝－1.。

2014—2015学年度第一学期高一数学（必修1、必修4）教学工作计划黄飞班级：高一（7）、（8）班由于初中的基础参差不齐，班级学生的整体水平不高；部分学生学习习惯不好，很多学生不能正确评价自己，这给教学工作带来了一定的难度，为把本学期教学工作做好，制定如下教学工作计划。

一、指导思想：1、获得必要的数学基础知识和基本技能，理解基本的数学概念、数学结论的本质，了解概念、结论等产生的背景、应用，体会其中所蕴涵的数学思想和方法，以及它们在后续学习中的作用。

2、提高空间想像、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力，以及分析和解决问题的能力、数学表达和交流的能力、发展独立获取数学知识的能力。

3、发展数学应用意识和创新意识，提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度。

二、教材特点：我们所使用的教材是人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学》，本期教学内容：数学必修1、必修4。

它在坚持我国数学教育优良传统的前提下，认真处理继承、借签、发展、创新之间的关系，具体有如下特点：1．“亲和力”：以生动活泼的呈现方式，激发兴趣和美感，引发学习激情。

2．“问题性”：以恰时恰点的问题引导数学活动，培养问题意识，孕育创新精神。

3．“科学性”与“思想性”：通过不同数学内容的联系与启发，强调类比，推广，特殊化，化归等思想方法的运用，学习数学地思考问题的方式，提高数学思维能力，培育理性精神。

4．“时代性”与“应用性”：以具有时代性和现实感的素材创设情境，加强数学活动，发展应用意识。

三、教法分析：1、选取与内容密切相关的，典型的，丰富的和学生熟悉的素材，用生动活泼的语言，创设能够体现数学的概念和结论，数学的思想和方法，以及数学应用的学习情境，使学生产生对数学的亲切感，以达到培养其兴趣的目的。

2、通过“观察”，“思考”，“探究”等栏目，引发学生的思考和探索活动，切实改进学生的学习方式。

人教版高中数学《统计》第一章教案【教学目标】1. 了解统计学的基本概念和作用，理解统计数据的收集、整理和分析过程。

2. 掌握频数、频率的概念，学会使用图表来表示数据分布。

3. 学会计算众数、中位数、平均数等统计量，理解它们在数据分析中的作用。

【教学内容】1. 统计学的基本概念和作用2. 数据的收集和整理3. 频数和频率的概念4. 条形图、折线图和饼图的绘制5. 众数、中位数、平均数的计算和应用【教学步骤】一、导入（5分钟）1. 引入统计学的基本概念和作用，让学生了解统计学在实际生活中的应用。

2. 举例说明数据的收集和整理过程，引导学生思考如何有效地表示和分析数据。

二、新课导入（15分钟）1. 讲解频数和频率的概念，让学生理解它们在数据分析中的重要性。

2. 介绍条形图、折线图和饼图的绘制方法，让学生学会用图表来表示数据分布。

三、案例分析（15分钟）1. 以具体案例为例，让学生实践计算众数、中位数、平均数等统计量。

2. 引导学生分析统计量在数据分析中的作用，加深对统计概念的理解。

四、课堂练习（15分钟）1. 布置练习题，让学生巩固所学内容。

2. 引导学生通过练习题，学会运用统计方法解决实际问题。

五、总结与拓展（5分钟）1. 对本节课的内容进行总结，让学生掌握统计学的基本概念和方法。

2. 布置课后作业，让学生进一步巩固所学知识。

【教学评价】1. 课后收集学生的练习作业，评估学生对统计学基本概念和方法的掌握程度。

2. 在下一节课开始时，让学生分享自己的课后作业成果，互相学习和交流。

人教版高中数学《统计》第二章教案【教学目标】1. 了解概率的基本概念和计算方法，理解随机事件和必然事件的关系。

2. 学会使用树状图和列表法来计算事件的概率。

3. 掌握条件概率和独立事件的定义，学会计算条件概率和独立事件的概率。

【教学内容】1. 概率的基本概念和计算方法2. 随机事件和必然事件的关系3. 树状图和列表法计算事件概率4. 条件概率和独立事件的定义及计算方法【教学步骤】一、导入（5分钟）1. 引入概率的基本概念，让学生了解概率在数学和实际生活中的应用。

【优化方案】高中数学 第一章1.3.1第2课时知能演练轻松闯关 新人教A 版必修11．设函数f (x )＝2x －1(x <0)，则f (x )( ) A ．有最大值 B ．有最小值 C ．是增函数 D ．是减函数 解析：选 C.画出函数f (x )＝2x －1(x <0)的图象，如右图中实线部分所示．由图象可知，函数f (x )＝2x －1(x <0)是增函数，无最大值及最小值．故选C.2．函数y ＝1x －1在[2,3]上的最小值为( )A ．2 B.12 C.13 D ．－12解析：选B.函数y ＝1x －1在[2,3]上为减函数，∴y min ＝13－1＝12.3．函数f (x )＝1x 在[1，b ](b >1)上的最小值是14，则b ＝________.解析：∵f (x )在[1，b ]上是减函数，∴f (x )在[1，b ]上的最小值为f (b )＝1b ＝14，∴b ＝4. 答案：44．函数y ＝2x 2＋2，x ∈N *的最小值是________．解析：∵x ∈N *，∴x 2≥1，∴y ＝2x 2＋2≥4，即y ＝2x 2＋2在x ∈N *上的最小值为4，此时x ＝1. 答案：4[A 级 基础达标]1．函数f (x )＝x 2－4x ＋3，x ∈[1,4]，则f (x )的最大值为( ) A ．－1 B ．0 C ．3 D ．－2解析：选C.∵f (x )在[1,2]上是减函数，在[2,4]上是增函数，又f (1)＝0，f (4)＝3. ∴f (x )的最大值是3.2．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋6，x ∈[1，2]x ＋7，x ∈[－1，1]，则f (x )的最大值、最小值分别为( )A ．10、6B ．10、8C ．8、6D ．以上都不对解析：选A.f (x )在x ∈[－1,2]上为增函数，f (x )max ＝f (2)＝10，f (x )min ＝f (－1)＝6.3．函数f (x )＝9－ax 2(a ＞0)在[0,3]上的最大值为( ) A ．9 B ．9(1－a ) C ．9－aD ．9－a 2解析：选A.x ∈[0,3]时f (x )为减函数，f (x )max ＝f (0)＝9. 4．函数f (x )＝x －2，x ∈{0,1,2,4}的最大值为________．解析：函数f (x )自变量的取值是几个孤立的数，用观察法即得它的最大值为f (4)＝2. 答案：25．函数f (x )＝x 2＋bx ＋1的最小值是0，则实数b ＝________. 解析：f (x )是二次函数，二次项系数1>0，则最小值为f (－b 2)＝b 24－b 22＋1＝0，解得b ＝±2. 答案：±26．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－12≤x ≤11x1＜x ≤2，求f (x )的最大、最小值．解析：当－12≤x ≤1时，由f (x )＝x 2，得f (x )的最大值为f (1)＝1，最小值为f (0)＝0；当1＜x ≤2时，由f (x )＝1x，得f (2)≤f (x )＜f (1)，即12≤f (x )＜1. 综上f (x )max ＝1，f (x )min ＝0. [B 级 能力提升]7．已知函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a ，x ∈[0,1]，若f (x )的最小值为－2，则f (x )的最大值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2解析：选C.因为f (x )＝－(x －2)2＋4＋a ，由x ∈[0,1]可知当x ＝0时，f (x )取得最小值，及－4＋4＋a ＝－2，所以a ＝－2，所以f (x )＝－(x －2)2＋2，当x ＝1时，f (x )取得最大值为－1＋2＝1.故选C.8．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝－x 2＋21x 和L 2＝2x ，其中销售量单位：辆．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为( ) A ．90万元 B ．60万元 C ．120万元 D ．120.25万元解析：选C.设公司在甲地销售x 辆，则在乙地销售15－x 辆，公司获利为 L ＝－x 2＋21x ＋2(15－x )＝－x 2＋19x ＋30＝－(x －192)2＋30＋1924，∴当x ＝9或10时，L 最大为120万元．9．函数y ＝ax ＋1在区间[1,3]上的最大值为4，则a ＝______.解析：若a <0，则函数y ＝ax ＋1在区间[1,3]上是减函数，并且在区间的左端点处取得最大值，即a ＋1＝4，解得a ＝3，不满足a <0，舍去；若a >0，则函数y ＝ax ＋1在区间[1,3]上是增函数，当x ＝3时，y ＝4，∴3a ＋1＝4，∴a ＝1. 综上：a ＝1. 答案：110．已知函数f (x )＝1a －1x(a >0)．(1)证明f (x )在(0，＋∞)上单调递增；(2)若f (x )的定义域、值域都是[12，2]，求实数a 的值．解：(1)证明：设x 2>x 1>0，则f (x 2)－f (x 1)＝(1a －1x 2)－(1a －1x 1)＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2.∵x 2>x 1>0，∴x 2－x 1>0， ∴x 2－x 1x 1x 2>0，即f (x 2)>f (x 1)． ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增．(2)∵f (x )在(0，＋∞)上单调递增，且定义域和值域均为[12，2]，∴⎩⎪⎨⎪⎧f 12＝1a －2＝12，f2＝1a －12＝2，∴a ＝25.11.如图所示，动物园要建造一面靠墙的两间一样大小的长方形动物笼舍，可供建造围墙的材料总长为30 m ，问每间笼舍的宽度x 为多少m 时，才能使得每间笼舍面积y 达到最大？每间最大面积为多少？ 解：设总长为b ， 由题意知b ＝30－3x ，可得y ＝12xb ，即y ＝12x (30－3x )＝－32(x －5)2＋37.5，x ∈(0,10)．当x ＝5时，y 取得最大值37.5，即每间笼舍的宽度为5 m 时，每间笼舍面积y 达到最大，最大面积为37.5 m 2.。

2．1 条件概率与独立事件条件概率100件产品中有93件产品的长度合格，90件产品的质量合格，85件产品的长度、质量都合格．令A ＝{产品的长度合格}，B ＝{产品的质量合格}，A ∩B ＝{产品的长度、质量都合格}． 问题1：试求P (A )，P (B )，P (A ∩B )． 提示：P (A )＝93100，P (B )＝90100，P (A ∩B )＝85100.问题2：任取一件产品，已知其质量合格(即B 发生)，求它的长度(即A 发生)也合格的概率．提示：若用A |B 表示上述事件，则A |B 发生相当于从90件产品中任取1件长度合格，其概率为P (A |B )＝8590.问题3：如何理解问题2?提示：在质量合格的情况下，长度又合格，即事件B 发生的条件下事件A 发生． 问题4：试探求P (B )，P (A ∩B )，P (A |B )间的关系． 提示：P (A |B )＝P A ∩BP B.条件概率 (1)概念事件B 发生的条件下，A 发生的概率，称为B 发生时A 发生的条件概率，记为P (A |B )． (2)公式P (A |B )＝P A ∩BP B(其中，A ∩B 也可记成AB )．(3)当P (A )>0时，A 发生时B 发生的条件概率为P (B |A )＝P ABP A.独立事件2个白球、2个黑球，从这两个箱子里分别摸出1个球，记事件A ＝{从甲箱里摸出白球}，B ＝{从乙箱里摸出白球}．问题1：事件A 发生会影响事件B 发生的概率吗？ 提示：不影响．问题2：试求P (A )，P (B )，P (AB )．提示：P (A )＝35，P (B )＝12，P (AB )＝3×25×4＝310.问题3：P (AB )与P (A )，P (B )有什么关系？ 提示：P (AB )＝P (A )P (B )＝35×12＝310.问题4：P (B |A )与P (B )相等吗？ 提示：相等，由P (B |A )＝P AB P A ＝12，可得P (B |A )＝P (B )． 独立事件(1)概念：对两个事件A ，B ，如果P (AB )＝P (A )P (B )，则称A ，B 相互独立． (2)推广：若A 与B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立． (3)拓展：若A 1，A 2，…，A n 相互独立，则有P (A 1A 2…A n )＝P (A 1)P (A 2)…P (A n )．1．由条件概率的定义知，P (B |A )与P (A |B )是不同的；另外，在事件A 发生的前提下，事件B 发生的概率为P (B |A )，其值不一定等于P (B )．2．事件A 与B 相互独立就是事件A 的发生不影响事件B 发生的概率，事件B 的发生不影响事件A 发生的概率．条件概率[例1] 一只口袋内装有2个白球和2个黑球，那么： (1)先摸出1个白球不放回，再摸出1个白球的概率是多少？ (2)先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率是多少？[思路点拨] 先摸出1个白球后放回或不放回，影响到后面取到白球的概率，应注意两个事件同时发生的概率的不同．[精解详析] (1)设“先摸出1个白球不放回”为事件A ，“再摸出1个白球”为事件B ，则“先后两次摸到白球”为AB ，先摸1球不放回，再摸1球共有4×3种结果．∴P (A )＝2×34×3＝12，P (AB )＝2×14×3＝16.∴P (B |A )＝P AB P A ＝13.(2)设“先摸出1个白球放回”为事件A 1，“再摸出1个白球”为事件B 1，两次都摸到白球为事件A 1B 1.∴P (A 1)＝2×44×4＝12，P (A 1B 1)＝2×24×4＝14.∴P (B 1|A 1)＝P A 1B 1P A 1＝1412＝12.故先摸1个白球不放回，再摸出1个白球的概率为13；先摸1个白球后放回，再摸出1个白球的概率为12.[一点通] 求条件概率一般有两种方法：一是对于古典概型类题目，可采用缩减基本事件总数的办法来计算，P (B |A )＝n ABn A，其中n (AB )表示事件AB 包含的基本事件个数，n (A )表示事件A 包含的基本事件个数．二是直接根据定义计算，P (B |A )＝P ABP A，特别要注意P (AB )的求法．1．袋中装有标号为1,2,3的三个小球，从中任取一个，记下它的号码，放回袋中，这样连续做三次．若抽到各球的机会均等，事件A 为“三次抽到的号码之和为6”，事件B 为“三次抽到的号码都是2”，则P (B |A )＝( )A.17B ．27C.16D.727解析：选A 用列举法将所有情况全部列出(略)，可知共有27种情况，其中事件A 有(1,2,3)，(1,3,2)，(2,1,3)，(2,2,2)，(2,3,1)，(3,1,2)，(3,2,1)，共7种情况，事件B 有(2,2,2)，共1种情况，所以P (A )＝727，P (AB )＝P (B )＝127，根据条件概率公式P (B |A )＝P ABP A ＝127727＝17. 2．甲、乙二人参加一项测试，已知甲通过该项测试的概率为35，他们同时通过该项测试的概率为47.若甲先参加并顺利通过测试，则乙也通过测试的概率是________．解析：设“甲通过测试”为事件A ，“乙通过测试”为事件B .则所求概率为P (B |A )＝P ABP A ＝4735＝2021.答案：20213．甲、乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象记录，知道甲、乙两地一年中雨天所占的比例分别为20%和18%，两地同时下雨的比例为12%，问：(1)乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是多少？(2)甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是多少？解：设“甲地为雨天”为事件A ，“乙地为雨天”为事件B ，由题意，得P (A )＝0.20，P (B )＝0.18，P (AB )＝0.12.(1)乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是P (A |B )＝P AB P B ＝0.120.18≈0.67.(2)甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是P (B |A )＝P AB P A ＝0.120.2＝0.60.独立事件的判断[例2] }，B ＝{硬币乙出现正面}，验证事件A ，B 是相互独立的．[思路点拨] 判定两个复杂事件是否独立应借助定义判断，即判断P (AB )＝P (A )P (B )是否成立，再作出结论．[精解详析] 掷甲、乙两枚硬币的所有可能情形为Ω＝{(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}．事件A 中含2个基本事件，事件B 中含2个基本事件，事件AB 中含1个基本事件． ∴P (A )＝24＝12，P (B )＝24＝12，P (AB )＝14.∴P (AB )＝P (A )P (B )．∴事件A ，B 是相互独立的．[一点通] (1)利用相互独立事件的定义(即P (AB )＝P (A )·P (B ))可以准确地判定两个事件是否相互独立，这是用定量计算方法判断，因此我们必须熟练掌握．(2)判别两个事件是否为相互独立事件也可以从定性的角度进行分析，也就是看一个事件的发生对另一个事件的发生是否有影响．没有影响就是相互独立事件，有影响就不是相互独立事件．4．甲、乙二人分别对一目标进行一次射击，记“甲击中目标为事件A ，乙击中目标为事件B ，则A 与B ，A 与B ，A 与B ，A 与B ”中，满足相互独立的有( )A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对解析：选D 由于A 与B 是两个相互独立事件，所以根据相互独立事件的性质可知，A 与B ，A 与B ，A 与B 也是相互独立事件，故有4对相互独立事件．5．从一副扑克牌(52张)中任抽一张，设A ＝“抽得老K”，B ＝“抽得红牌”，判断事件A 与B 是否相互独立．解：抽到老K 的概率为P (A )＝452＝113，抽到红牌的概率P (B )＝2652＝12，故P (A )P (B )＝113×12＝126，事件AB 即为“既抽得老K 又抽得红牌”，亦即“抽得红桃老K 或方块老K”，故P (AB )＝252＝126，从而有P (A )P (B )＝P (AB )，因此A 与B 互为独立事件.独立事件的概率[例3] 100 m 跑(互不影响)的成绩在13 s 内(称为合格)的概率分别为25，34，13，若对这三名短跑运动员的100 m 跑的成绩进行一次检测，求：(1)三人都合格的概率； (2)三人都不合格的概率； (3)出现几人合格的概率最大？[思路点拨] 若用A ，B ，C 表示甲、乙、丙三人100米跑的成绩合格，则事件A ，B ，C 相互独立．[精解详析] 记“甲、乙、丙三人100米跑成绩合格”分别为事件A ，B ，C ，显然事件A ，B ，C 相互独立，则P (A )＝25，P (B )＝34，P (C )＝13.设恰有k 人合格的概率为P k (k ＝0,1,2,3)． (1)三人都合格的概率：P 3＝P (ABC )＝P (A )P (B )P (C )＝25×34×13＝110. (2)三人都不合格的概率：P 0＝P (A －B －C －)＝P (A －)P (B －)P (C －)＝35×14×23＝110. (3)恰有两人合格的概率：P 2＝P (AB C －)＋P (A B －C )＋P (A －BC )＝25×34×23＋25×14×13＋35×34×13 ＝2360.恰有一人合格的概率：P 1＝1－P 0－P 2－P 3＝1－110－2360－110＝2560＝512.结合(1)(2)可知P 1最大．所以出现恰有1人合格的概率最大．[一点通] (1)公式P (AB )＝P (A )P (B )可以推广到一般情形：如果事件A 1，A 2，…，A n相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P (A 1A 2…A n )＝P (A 1)P (A 2)…P (A n )．(2)求相互独立事件同时发生的概率的程序：①首先确定各事件之间是相互独立的；②确定这些事件可以同时发生；③求出每个事件发生的概率，再求其积．6．甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为12和P ，且乙投球2次均未命中的概率为116.求：(1)乙投球的命中率P ；(2)甲投球2次，至少命中1次的概率．解：设“甲投球一次命中”为事件A ，“乙投球一次命中”为事件B ，则A ，B 相互独立． (1)法一：由题意，得(1－P (B ))2＝(1－P )2＝116.解得P ＝34或P ＝54(舍去)．∴乙投球的命中率为34.法二：由题意，得P (B )·P (B )＝116.∴P (B )＝14或P (B )＝－14(舍去)，∴P (B )＝1－P (B )＝1－14＝34.即乙投球的命中率为34.(2)由题意知，P (A )＝12，P (A )＝12.法一：甲投球两次，至少命中一次的概率为 1－P (A ·A )＝1－P (A )P (A )＝1－12×12＝34.法二：甲投球两次，至少命中一次的概率为P (A A ＋A A ＋AA )＝P (A A )＋P (A A )＋P (AA )＝12×12＋12×12＋12×12＝34. 7．某选修课的考试按A 级、B 级依次进行，只有当A 级成绩合格时，才可继续参加B 级的考试．已知每级考试允许有一次补考机会，两个级别的成绩均合格方可获得该选修课的合格证书．现某人参加这个选修课的考试，他A 级考试成绩合格的概率为23，B 级考试合格的概率为12.假设各级考试成绩合格与否均互不影响．(1)求他不需要补考就可获得该选修课的合格证书的概率；(2)在这个考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，求他一共参加3次考试的概率． 解：设“A 级第一次考试合格”为事件A 1，“A 级补考合格”为事件A 2；“B 级第一次考试合格”为事件B 1，“B 级补考合格”为事件B 2.(1)不需要补考就获得合格证书的事件为A 1B 1，注意到A 1与B 1相互独立， 则P (A 1B 1)＝P (A 1)×P (B 1)＝23×12＝13.即该考生不需要补考就获得合格证书的概率为13.(2)设“该考生一共参加3次考试”为事件C ，则C ＝A 1B 1B 2＋A 1B 1 B 2＋A 1A 2B 2， 注意到各事件之间的独立性与互斥性，可得P (C )＝P (A 1B 1B 2＋A 1B 1B 2＋A 1A 2B 2)＝P (A 1B 1B 2)＋P (A 1B 1 B 2)＋P (A 1A 2B 2) ＝23×12×12＋23×12×12＋13×23×12 ＝16＋16＋19＝49. 即该考生一共参加3次考试的概率为49.1．计算条件概率要明确：(1)准确理解条件概率的概念，条件概率中的两个事件是互相影响的，其结果受两个条件的概率的制约；(2)要正确求出条件概率，必须首先弄清楚“事件A 发生”“事件A 发生并且事件B 也发生”“事件B 在事件A 发生的条件下发生”的概率之间的关系．2．互斥事件、对立事件、相互独立事件的区别与联系：名称 区别 联系定义事件个数 互斥 事件 在一次试验中不能同时发生的事件两个或两个以上 ①两事件互斥，但不一定对立；反之一定成立；②两事件独立，则不一定互斥(或对立)；③两事件互斥(或对立)，则不相互独立对立事件 在一次试验中不能同时发生但必有一个发生的事件 两个独立事件一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响两个或两个以上1．抛掷一颗骰子一次，A 表示事件：“出现偶数点”，B 表示事件：“出现3点或6点”，则事件A 与B 的关系是( )A ．相互互斥事件B ．相互独立事件C ．既相互互斥又相互独立事件D ．既不互斥又不独立事件解析：选B A ＝{2,4,6}，B ＝{3,6}，A ∩B ＝{6}，所以P (A )＝12，P (B )＝13，P (AB )＝16＝12×13，所以A 与B 是相互独立事件． 2．把一枚硬币抛掷两次，事件A ＝“第一次出现正面”，事件B ＝“第二次出现反面”，则P (B |A )的值为( )A.12 B ．14 C.13D ．1解析：选A P (B )＝P (A )＝12，P (AB )＝14，P (B |A )＝P ABP A ＝1412＝12.3．某农业科技站对一批新水稻种子进行试验，已知这批水稻种子的发芽率为0.8，出芽后的幼苗成活率为0.9，在这批水稻种子中，随机地取出一粒，则这粒水稻种子发芽能成长为幼苗的概率为( )A ．0.02B ．0.08C ．0.18D ．0.72解析：选D 设“这粒水稻种子发芽”为事件A ，“这粒水稻种子发芽又成长为幼苗”为事件AB ，“这粒种子能成长为幼苗”为事件B |A ，则P (A )＝0.8，P (B |A )＝0.9，由条件概率公式，得P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝0.9×0.8＝0.72.4．甲射手击中靶心的概率为13，乙射手击中靶心的概率为12，甲、乙两人各射击一次，那么56等于( )A ．甲、乙都击中靶心的概率B ．甲、乙恰好有一人击中靶心的概率C ．甲、乙至少有一人击中靶心的概率D ．甲、乙不全击中靶心的概率解析：选D 设“甲、乙都击中靶心”为事件A ，则P (A )＝13×12＝16，甲、乙不全击中靶心的概率为P (A )＝1－P (A )＝1－16＝56.5．有一个数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是12，乙能解决的概率是13，两人试图独立地在半小时内解决它，则两人都未解决的概率为________，问题得到解决的概率为________．解析：甲、乙两人都未能解决为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝12×23＝13，问题得到解决就是至少有1 人能解决问题． ∴P ＝1－13＝23.答案：13 236．盒中装有10只乒乓球，其中6只新球，4只旧球，不放回地依次取出2个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为________．解析：法一：设A ＝{第一次取到新球}，B ＝{第二次取到新球}，则n (A )＝6×9＝54，n (AB )＝6×5＝30，∴P (B |A )＝n AB n A ＝3054＝59.法二：在第一次取到新球的条件下，盒中装有9只乒乓球，其中5只新球，则第二次也取到新球的概率为P ＝59.答案：597．红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A ，B ，C 进行围棋比赛，甲对A 、乙对B 、丙对C 各一盘．已知甲胜A 、乙胜B 、丙胜C 的概率分别为0.6，0.5，0.5.假设各盘比赛结果相互独立．求红队至少两名队员获胜的概率．解：设甲胜A 的事件为D ，乙胜B 的事件为E ，丙胜C 的事件为F ，则D ，E ，F 分别表示甲不胜A 、乙不胜B 、丙不胜C 的事件．因为P (D )＝0.6，P (E )＝0.5，P (F )＝0.5， 由对立事件的概率公式知，P (D )＝0.4，P (E )＝0.5，P (F )＝0.5.红队至少两人获胜的事件有DE F ，D E F ，D EF ，DEF .由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为P ＝P (DE F )＋P (D E F )＋P (D EF )＋P (DEF )＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55.8．设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．(1)求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率； (2)求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率．解：设“只购买甲种商品”为事件A ，“只购买乙种商品”为事件B ，“购买甲、乙两种商品中的一种”为事件C ，“至少购买甲、乙两种商品中的一种”为事件D .(1)因为C ＝(A B )＋(A B )，所以P (C )＝P (A B )＋P (A B )＝P (A )P (B )＋P (A )P (B ) ＝0.5×(1－0.6)＋(1－0.5)×0.6＝0.5. (2)因为D ＝A B ，所以P (D )＝P (A B )＝P (A )P (B )＝0.5×0.4＝0.2. 所以P (D )＝1－P (D )＝1－0.2＝0.8.9．2018年某中学对参加“社会实践活动”的全体志愿者进行学分考核，因该批志愿者表现良好，学校决定考核只有合格和优秀两个等次．若某志愿者考核为合格，授予1个学分；考核为优秀，授予2个学分，假设该校志愿者甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为45，23，23，他们考核所得的等次相互独立．(1)求在这次考核中，志愿者甲、乙、丙三人中至少有一名考核为优秀的概率； (2)求在这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和至多为4分的概率．解：(1)记“甲考核为优秀”为事件A ，“乙考核为优秀”为事件B ，“丙考核为优秀”为事件C ，“甲、乙、丙至少有一名考核为优秀”为事件D .则P (D )＝1－P (A B C )＝1－P (A )P (B )P (C )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－45×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝4445. (2)由题意，得在这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为3分的概率为P (A B C )＝P (A )P (B )P (C )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－45×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝145， 在这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为4分的概率为P (A B C )＋P (A B C )＋P (A B C )＝45×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－45×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－45×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×23＝845. 所以在这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和至多为4分的概率为145＋845＝15.。

1.1集合1．1.1集合的含义与表示[读教材·填要点]1．元素与集合(1)元素与集合的定义：一般地，把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)．(2)集合中元素的性质：①确定性：即给定的集合，它的元素是确定的．②互异性：即给定集合的元素是互不相同的．③无序性．(3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的．(4)元素与集合的关系：a是集合A的元素，记作a∈A，a不是集合A的元素，记作a∉A.2．集合的表示方法除了用自然语言表示集合外，还可以用列举法和描述法表示集合．(1)列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法．(2)描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法．3．常用数集及其记法[小问题·大思维]1．著名数学家能否构成一个集合？提示：不能，没有一定的评定标准，故著名数学家是不确定的对象，所以不能构成集合．2．一个集合能表示成{s，k，t，k}吗？提示：不能，集合中的元素是互不相同的，任何两个相同的对象在同一个集合中，只能算作这个集合的一个元素．3．集合{－5，－8}和{(－5，－8)}是同一集合吗？提示：不是同一集合．集合{－5，－8}中元素有2个，为数．而集合{(－5，－8)}中有一个元素为坐标(－5，－8)．[例1]下列每组对象能否构成一个集合：(1)某校2013年在校的所有高个子同学；(2)不超过20的非负数；(3)帅哥；(4)直角坐标系平面内第一象限的一些点；(5)3的近似值的全体．[自主解答]“高个子”没有明确的标准，因此(1)不能构成集合．(2)任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x>20或x<0”，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合；(3)“帅哥”没有一个明确的标准，不能构成集合；(4)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；(6)“3的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以(5)不能构成集合．——————————————————判断指定的对象能不能构成集合，关键在于能否找到一个明确标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素，同时还要注意集合中元素的互异性、无序性．————————————————————————————————————————1．下列能构成集合的是()A．中央电视台著名节目主持人B．2013年沈阳全运会比赛的所有项目C．2010年上海世博园中所有漂亮的展馆D．世界上的高楼答案：B[例2] 已知集合A ＝{a ＋2，(a ＋1)2，a 2＋3a ＋3}，若1∈A ，求实数a 的值． [自主解答] 若a ＋2＝1，则a ＝－1，所以A ＝{1,0,1}，与集合中元素的互异性矛盾，应舍去；若(a ＋1)2＝1，则a ＝0或a ＝－2， 当a ＝0时，A ＝{2,1,3}，满足题意． 当a ＝－2时，A ＝{0,1,1}， 与集合中元素的互异性矛盾，舍去；若a 2＋3a ＋3＝1，则a ＝－1或a ＝－2(均舍去)． 综上可知，a ＝0.例2中1∈A 改为4∈A ，则结果如何？ 解：若a ＋2＝4，则a ＝2. ∴A ＝{4,9,13}满足题意． 若(a ＋1)2＝4，则a ＝1或a ＝－3. 当a ＝1时，A ＝{3,4,7}，满足题意． 当a ＝－3时，A ＝{－1,3,4，}满足题意． 若a 2＋3a ＋3＝4，则a ＝－3±132，代入后都满足题意，故a 的值为a ＝1，a ＝2，或a ＝－3或a ＝－3±132.——————————————————1.这类问题既要用元素的确定性，又要利用互异性检验解的正确与否.初学者解题时易忽略元素的互异性，学习中要高度重视.另外，本类问题往往涉及分类讨论的数学思想.2.一个集合中，元素之间没有先后顺序，只要构成两个集合的元素是一样的，这两个集合就是同一个集合.————————————————————————————————————————2．含有两个实数的集合A 可以表示为{a －3,2a －1}，求实数a 的取值范围． 解：∵A ＝{a －3,2a －1}，∴由集合中元素的互异性可得a －3≠2a －1. ∴a ≠－2.∴a 的取值范围为a ≠－2.[例3] 用适当的方法表示下列集合：(1)方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3x －y ＝5的解集；(2)不等式2x －3>5的解集．[自主解答] (1)集合用描述法表示为{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝3x －y ＝5}．解方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－1故集合用列举法表示为{(4，－1)}．(2)由2x －3>5可得x >4，所以不等式2x －3>5的解集为{x |x >4，x ∈R }． ——————————————————1．一个集合可以用不同的方法表示，需根据题意选择适当的方法，同时注意列举法和描述法的适用范围．2．方程(或方程组)的解的个数较少，因此方程(或方程组)的解集一般用列举法表示；不等式(或不等式组)的解集一般用描述法表示．注意，当题目中要求求出“…的解集”或写出“…的集合”时，一定要将最终结果写成集合的形式．————————————————————————————————————————3．有下面六种表示方法①{x ＝－1，y ＝2} ②⎩⎨⎧(x ，y )⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ＝－1，y ＝2.③{－1,2} ④(－1,2) ⑤{(－1,2)} ⑥{x ，y |x ＝－1，或y ＝2}．其中，能正确表示方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，x －y ＋3＝0的解集的是________(把所有正确答案的序号填在空格上)．解析：答案：②⑤已知集合A中含有三个元素，1,0，x，若x3∈A，求实数x的值．[错解]∵x3∈A，故x3＝0或x3＝1或x3＝x，若x3＝0，则x＝0；若x3＝1，则x＝1；若x3＝x，则x＝1或x＝0.综上所述：所求x的值为0或1.[错因]本题错误的原因有两个，一是没有考虑到元素的互异性，解出来的结果没有代入检验，得出了错误结果；二是解x2＝x时漏掉了x＝－1这个答案，也导致了错误的结果．[正解]∵x3∈A，∴x3是集合A中的元素．又∵集合A中含有3个元素，∴需分情况讨论：①若x3＝0，则x＝0，此时集合A中有两个元素0，不符合集合中元素的互异性，舍去；②若x3＝1，则x＝1，此时集合A中有两个元素1，不符合集合中元素的互异性，舍去；③若x3＝x，则x＝0、x＝－1或x＝1，当x＝0、x＝1时不符合集合中元素的互异性，都舍去．当x＝－1时，此时集合A中有三个元素1,0，－1，符合集合中元素的互异性；综上可知，x＝－1.1．有下列各组对象：①接近于0的数的全体；②比较小的正整数的全体；③平面上到点O的距离等于1的点的全体；④正三角形的全体．其中能构成集合的个数是()A ．2B ．3C ．4D ．5解析：①不能构成集合，“接近”的概念模糊，无明确标准．②不能构成集合，“比较小”也是不明确的，多小算小没明确标准．③④均可构成集合，因为任取一个元素是否是此集合的元素有明确的标准可依．答案：A2．下面几个命题中正确命题的个数是( ) ①集合N *中最小的数是1； ②若－a ∉N *，则a ∈N *；③若a ∈N *，b ∈N *，则a ＋b 最小值是2； ④x 2＋4＝4x 的解集是{2,2}． A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：N *是正整数集，最小的正整数是1，故①正确；当a ＝0时，－a ∉N *，且a ∉N *，故②错；若a ∈N *，则a 的最小值是1，又b ∈N *，b 的最小值也是1，当a 和b 都取最小值时，a ＋b 取最小值2，故③正确；由集合元素的互异性知④是错误的．故①③正确．答案：C3．已知集合M ＝{3，m ＋1}，且4∈M ，则实数m 等于( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．1解析：∵4∈M ，∴4＝m ＋1，∴m ＝3. 答案：B4．已知①5∈R ②13∈Q ③0＝{0} ④0∉N⑤π∈Q ⑥－3∈Z .正确的个数为________． 解析：①②⑥是正确的；③④⑤是错误的． 答案：35．用适当的符号填空：已知A ＝{x |x ＝3k ＋2，k ∈Z }，B ＝{x |x ＝6m －1，m ∈Z }，则有：17______A ；－5______A ；17________B .解析：令3k ＋2＝17得，k ＝5∈Z . 所以17∈A .令3k ＋2＝－5得，k ＝－73∉Z .所以－5∉A .令6m －1＝17得，m ＝3∈Z ， 所以17∈β. 答案：∈，∉，∈6．用适当的方法表示下列集合： (1)一年中有31天的月份的全体； (2)大于－3.5小于12.8的整数的全体； (3)梯形的全体构成的集合； (4)所有非负偶数的集合； (5)所有能被3整除的数的集合； (6)方程(x －1)(x －2)＝0的解集； (7)不等式2x －1>5的解集．解：(1){1月，3月，5月，7月，8月，10月，12月}． (2){－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}． (3){x |x 是梯形}或{梯形}． (4){0,2,4,6,8，…}． (5){x |x ＝3n ，n ∈Z }． (6){1,2}． (7){x |2x －1>5}．一、选择题1．下列给出的对象中，能组成集合的是( ) A ．一切很大的数 B ．高中数学的所有难题 C ．美丽的小女孩D ．方程x 2－1＝0的实数根解析：选项A ，B ，C 中的对象都没有明确的判断标准，不满足集合中元素的确定性，故A ，B ，C 中的对象都不能组成集合．答案：D2．下列命题不．正确的有( ) ①很小的实数可以构成集合；②集合{y |y ＝x 2－1}与集合{(x ，y )|y ＝x 2－1}是同一个集合； ③1，32，64，⎪⎪⎪⎪－12，0.5这些数组成的集合有5个元素； ④集合{(x ，y )|xy ≤0，x ，y ∈R }是指第二和第四象限内的点集． A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：①错的原因是元素不确定；②前者是数集，而后者是点集，种类不同；③32＝64，⎪⎪⎪⎪－12＝0.5，有重复的元素，应该是3个元素；④该集合还包括坐标轴上的点．答案：D3．已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A }，则B 中所含元素的个数为( )A ．3B ．6C ．8D ．10解析：列举得集合B ＝{(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(4,3)，(5,3)，(5,4)}，共含有10个元素．答案：D4．定义集合运算：A *B ＝{z |z ＝xy ，x ∈A ，y ∈B }．设A ＝{1,2}，B ＝(0,2)，则集合A *B 的所有元素之和为( )A ．0B ．2C ．3D ．6解析：依题意，A *B ＝{0,2,4}，其所有元素之和为6. 答案：D 二、填空题5．集合A ＝{(2，－2)，(2,2)}中含有________个元素． 解析：∵(2，－2)，(2,2)是两个点，∴有2个元素． 答案：26.已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝2x ＋1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x ＋3}，a ∈A 且a ∈B ，则a 为________． 解析：∵a ∈A 且a ∈B ，∴a 是方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋1y ＝x ＋3的解．解方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝5，∴a 为(2,5)． 答案：(2,5)7．用描述法表示方程x <－x －3的解集为________． 解析：∵x <－x －3， ∴x <－32.∴解集为{x |x <－32}．答案：{x|x<－3 2}8．{(x，y)|(x＋2)2＋|y－3|＝0，x，y∈R}＝________.解析：由(x＋2)2＋|y－3|＝0，又(x＋2)2≥0，|y－3|≥0，所以(x＋2)2＝0，|y－3|＝0，所以x＝－2，y＝3，所以{(x，y)|(x＋2)2＋|y－3|＝0，x，y∈R}＝{(－2，3)}．答案：{(－2,3)}三、解答题9．已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，(1)若－3∈A，试求实数a的值．(2)若a∈A，试求实数a的值．解：(1)因为－3∈A，所以－3＝a－3或－3＝2a－1.若－3＝a－3，则a＝0.此时集合A含有两个元素－3，－1，符合题意．若－3＝2a－1，则a＝－1.此时集合A含有两个元素－4，－3，符合题意，综上所述，满足题意的实数a的值为0或－1.(2)因为a∈A，所以a＝a－3或a＝2a－1.当a＝a－3时，有0＝－3，不成立．当a＝2a－1时，有a＝1，此时A中有两个元素－2,1，符合题意．综上知a＝1.10．已知集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A.解：当k＝0时，原方程变为－8x＋16＝0，所以x＝2，此时集合A＝{2}；当k≠0时，要使一元二次方程kx2－8x＋16＝0有两个相等实根，需Δ＝64－64k＝0，即k＝1.此时方程的解为x1＝x2＝4，集合A＝{4}．1．1.2集合间的基本关系[读教材·填要点]1．子集的概念A B(或B A)3.空集(1)定义：不含任何元素的集合叫做空集．(2)用符号表示为：∅.(3)规定：空集是任何集合的子集．4．子集的有关性质(1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A.(2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C.[小问题·大思维]1．若A B，则A⊆B且A≠B，对吗？提示：对．∵A B，首先A⊆B，其中B中至少有一个元素不属于A，即A≠B.2．任何集合都有真子集吗？提示：不是，空集∅就没有真子集．3．{0}和∅表示同一集合吗？它们之间有什么关系？提示：{0}和∅不是同一个集合．{0}表示含有一个元素0的集合，∅是不含任何元素的集合，且∅{0}．[例1]写出集合A＝{1,2,3}的所有子集和真子集．[自主解答]由0个元素构成的子集：∅；由1个元素构成的子集：{1}，{2}，{3}；由2个元素构成的子集：{1,2}，{1,3}，{2,3}；由3个元素构成的子集：{1,2,3}．由此得集合A的所有子集为∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}．在上述子集中，除去集合A本身，即{1,2,3}，剩下的都是A的真子集．——————————————————1.求解有限集合的子集问题，关键有三点：(1)确定所求集合；(2)合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出；(3)注意两个特殊的集合，即空集和集合本身.2.一般地，若集合A中有n个元素，则其子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个. ————————————————————————————————————————1．已知集合M满足{2,3}⊆M⊆{1,2,3,4,5}，求集合M及其个数．解：当M中含有两个元素时，M为{2,3}；当M中含有三个元素时，M为{2,3,1}，{2,3,4}，{2,3,5}；当M中含有四个元素时，M为{2,3,1,4}，{2,3,1,5}，{2,3,4,5}；当M中含有五个元素时，M为{2,3,1,4,5}．所以满足条件的集合M为{2,3}，{2,3,1}，{2,3,4}，{2,3,5}，{2,3,1,4}，{2,3,1,5}，{2,3,4,5}，{2,3,1,4,5}，集合M的个数为8.[例2]下列各式正确的是________．(1){a}⊆{a}；(2){1,2,3}＝{3,1,2}；(3)0⊆{0}；(4){1}{x|x≤5}；(5){1,3}{3,4}．[自主解答]∵1<5，∴1∈{x|x≤5}．∴{1}⊆{x|x≤5}．又∵{1}≠{x|x≤5}，∴{1}{x|x≤5}．∵1∈{1,3}，但1∉{3,4}，∴{1,3}{3,4}．“”是“真包含于”的意思[答案] (1)(2)(4) ——————————————————集合间关系的判定的步骤：首先，判断一个集合A 中的任意元素是否属于另一集合B ，若是，则A ⊆B ，否则A B ；,其次，判断另一个集合B 中的任意元素是否属于第一个集合A ，若是，则B ⊆A ，否则B A ；,最后，下结论：若A ⊆B ，B ⊆A ，则A ＝B ；若A ⊆B ，B A ，则A B ；若AB ，B ⊆A ，则B A ；若上述三种情况都不成立，则AB ，BA .[注意] 有时一个集合可以看成另一个集合的元素，如{1}可以看成集合{{1}，1，2，3}中的元素，也可以看成子集，因此{1}∈{{1}，1，2，3}与{1}⊆{{1}，1，2，3}都正确. ————————————————————————————————————————2．集合M ＝{x |x 2＋x －6＝0}，N ＝{x |2x ＋7＞0}，试判断集合M 和N 的关系． 解：M ＝{－3,2}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >－72.∵－3>－72，2>－72，∴－3∈N,2∈N .∴M ⊆N . 又0∈N ，但0∉M ，∴M N .[例3] 已知集合A ＝{x |－3≤x ≤4}，B ＝{x |2m －1<x <m ＋1}，且B ⊆A .求实数m 的取值范围．[自主解答] ∵B ⊆A ，(1)当B ＝∅时，m ＋1≤2m －1，解得m ≥2. (2)当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧－3≤2m －1，m ＋1≤4，2m －1<m ＋1解得－1≤m <2， 综上得m ≥－1. ——————————————————(1)利用集合之间的关系时，首先要分析、简化每个集合.(2)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“＝”用实点表示，不含“＝”用虚点表示.(3)此类问题还应注意“空集”这一“陷阱”，尤其是集合中含有字母参数时，初学者会想当然认为非空集合而丢解，因此分类讨论是必须的.————————————————————————————————————————3．设集合A ＝{1,3，a }，B ＝{1，a 2－a ＋1}，且A ⊇B ，求a 的值． 解：∵A ⊇B ，而a 2－a ＋1∈B ，∴a 2－a ＋1∈A . ∴a 2－a ＋1＝3或a 2－a ＋1＝a . 当a 2－a ＋1＝3时，a ＝2或a ＝－1.(1)a ＝2时，A ＝{1,3,2}，B ＝{1,3}，这时满足条件A ⊇B ； (2)a ＝－1时，A ＝{1,3，－1}，B ＝{1,3}，这时也满足条件A ⊇B .当a 2－a ＋1＝a 时，a ＝1，此时A ＝{1,3,1}，B ＝{1,1}，根据集合中元素的互异性，故舍去a ＝1.∴a 的值为2或－1.高手否走出迷宫！已知M ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，N ＝{x |x 2－2x ＋a ＝0}，若N ⊆M ，求实数a 的取值范围． [错解] ∵M ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}＝{1,2}，(1)当N ＝{1}时，有⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋1＝2，1×1＝a ，∴a ＝1.(2)当N ＝{2}时，有⎩⎪⎨⎪⎧2＋2＝2，2×2＝a ，不成立．(3)当N ＝{1,2}时，有⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＝2，1×2＝a ，不成立．所以，a ＝1.[错因] 空集是一个特殊的集合，是任何集合的子集，在解决集合关系问题时极易忽略∅，错解中没有考虑集合N 为∅的情况．[正解] ∵M ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}＝{1,2}，又N ⊆M ，∴N ＝∅，或N ＝{1}，或N ＝{2}，或N ＝{1,2}． (1)当N ＝∅时，方程x 2－2x ＋a ＝0的判别式Δ＝4－4a <0，即a >1.(2)当N ＝{1}时，有⎩⎪⎨⎪⎧1＋1＝2，1×1＝a ，∴a ＝1.(3)当N ＝{2}时，有⎩⎪⎨⎪⎧2＋2＝2，2×2＝a ，不成立．(4)当N ＝{1,2}时，有⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＝2，1×2＝a ，不成立．综上可知实数a 的取值范围是a ≥1.1．下列命题中，正确的有( ) ①空集是任何集合的真子集； ②若A B ，B C ，则A C ；③任何一个集合必有两个或两个以上的真子集； ④如果不属于B 的元素也不属于A ，则A ⊆B . A ．①② B ．②③ C ．②④D ．③④解析：①空集只是空集的子集而非真子集，故①错；②真子集具有传递性，故②正确；③若一个集合是空集，则没有真子集，故③错；④由韦恩(Venn)图易知④正确．答案：C2．设集合M ＝{x |x >－2}，则下列选项正确的是( ) A ．{0}⊆M B ．{0}∈M C ．∅∈MD ．0⊆M解析：选项B 、C 中均是集合之间的关系，符号错误；选项D 中是元素与集合之间的关系，符号错误．答案：A3．已知集合A ＝{x |x 是平行四边形}，B ＝{x |x 是矩形}，C ＝{x |x 是正方形}，D ＝{x |x 是菱形}，则( )A ．A ⊆B B ．C ⊆B C ．D ⊆CD ．A ⊆D解析：选项A 错，应当是B ⊆A .选项B 对，正方形一定是矩形，但矩形不一定是正方形．选项C 错，正方形一定是菱形，但菱形不一定是正方形．选项D 错，应当是D ⊆A .答案：B 4．已知∅{x |x 2－x ＋a ＝0}，则实数a 的取值范围是________．解析：∵∅{x |x 2－x ＋a ＝0}． ∴{x |x 2－x ＋a ＝0}≠∅.即x 2－x ＋a ＝0有实根． ∴Δ＝(－1)2－4a ≥0，得a ≤14.答案：a ≤145．若{a,0,1}＝{c ，1b ，－1}，则a ＝________，b ＝________，c ＝________.解析：∵1b ≠0，∴c ＝0，∴a ＝－1，1b ＝1.∴a ＝－1，b ＝1.答案：－1 1 06．已知集合A ＝{－1,3,2m －1}，集合B ＝{3，m 2}，若B ⊆A ，求实数m 的值． 解：∵B ⊆A ，∴m 2＝－1，或m 2＝2m －1，当m 2＝－1时，显然无实数根；当m 2＝2m －1时，m ＝1.∴实数m ＝1.一、选择题1．已知集合M ＝{x ∈Z |－3<x ≤1}，则它的真子集的个数为( ) A ．12 B ．14 C ．15D ．16解析：∵M ＝{x ∈Z |－3<x ≤1}＝{－2，－1,0,1}共有4个元素，∴它的真子集共有24－1＝15个．答案：C2．定义集合A *B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }，若A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{2,4,5}，则A *B 的子集个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：由题意知A *B ＝{1,3}， ∴A *B 的子集个数为22＝4个． 答案：D3．已知集合M ＝{x |－5<x <3，x ∈Z }，则下列集合中为集合M 子集的是( ) A ．P ＝{－3,0,1} B ．Q ＝{－1,0,1,2}C ．R ＝{y |－π<y <－1，y ∈Z }D ．S ＝{x ||x |≤3，x ∈N }解析：先用列举法表示集合，再观察元素与集合的关系．集合M ＝{－2，－1,0,1}，集合R ＝{－3，－2}，S ＝{0,1}，不难发现集合P 中的元素－3∉M ，集合Q 中的元素2∉M ，集合R 中的元素－3∉M ，而S ＝{0,1}中的任意一个元素都在集合M 中，所以S ⊆M ，且S M .答案：D4．已知集合A ⊆{0,1,2}，且集合A 中至少含有一个偶数，则这样的集合A 的个数为( ) A ．6 B ．5 C ．4D ．3解析：集合{0,1,2}的子集为：∅，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}，其中含有偶数的集合有6个．答案：A 二、填空题5．已知集合A ＝{x |a －1≤x ≤a ＋2}，B ＝{x |3<x <5}，则能使A ⊇B 成立的实数a 的取值范围是________．解析：∵A ⊇B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1≤3，a ＋2≥5，∴3≤a ≤4. 答案：3≤a ≤46．设a ，b ∈R ，集合{0，ba，b }＝{1，a ＋b ，a }，则b －a ＝________.解析：由题意可知a ≠0，则a ＋b ＝0，a ＝－b ，所以ba ＝－1，则a ＝－1，b ＝1，故b －a＝2.答案：27．下列关系中正确的是________．①∅∈{0}； ②∅{0}； ③{0,1}⊆{(0,1)}； ④{(a ，b )}＝{(b ，a )}．解析：∵∅{0}，∴①错误；空集是任何非空集合的真子集，②正确，{(0,1)}是含有一个元素的点集，③错误；{(a ，b )}与{(b ，a )}是两个不等的点集，④错误，故正确的是②.答案：②8．已知集合P ＝{1,2}，那么满足Q ⊆P 的集合的个数是________． 解析：∵P ＝{1,2}，Q ⊆P ，∴集合Q 可以是∅或{1}或{2}或{1,2}． 答案：4 三、解答题9．由“2，a ，b ”三个元素构成的集合与由“2a,2，b 2”三个元素构成的集合是同一个集合，求a ，b 的值．解：根据集合相等，有⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2a ，b ＝b 2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b 2，b ＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0或⎩⎨⎧a ＝14，b ＝12.再根据集合元素的互异性，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1或⎩⎨⎧a ＝14，b ＝12.10．设集合A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}，B ＝{x |x 2－(2a ＋1)x ＋a 2＋a ＝0}，若B ⊆A ，求a 的值． 解：法一：A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}，由B ⊆A 得，B ＝∅，或B ＝{2}，或B ＝{3}，或B ＝{2,3}，由于Δ＝(2a ＋1)2－4a 2－4a ＝1>0，∴B ≠∅，且B 含有两个不同元素．∴B ＝{2,3}，需2a ＋1＝5和a 2＋a ＝6同时成立， ∴a ＝2. 综上所述：a ＝2.法二：A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}， B ＝{x |x 2－(2a ＋1)x ＋a 2＋a ＝0}＝{x |(x －a )· (x －a －1)＝0}＝{a ，a ＋1}， ∵a ≠a ＋1，∴当B ⊆A 时，只有a ＝2且a ＋1＝3. ∴a ＝2.1．1.3 集合的基本运算 第一课时 并集与交集[读教材·填要点]1． 集合的并集与交集的定义2．并集与交集的运算性质1．若A＝{1,2,3}，B＝{3,4,5}，那么A∪B＝{1,2,3,3,4,5}对吗？如何表示A∪B和A∩B?提示：A∪B＝{1,2,3,3,4,5}是不对的，因为不符合元素的互异性；A∪B＝{1,2,3,4,5}，A∩B ＝{3}．2．你认为并集概念中的“或”与我们日常生活中“或”意义一致吗？有什么区别？提示：并集中的“或”与生活中“或”是不一样的．生活用语中的“或”是“或此”“或彼”只取其一，如“老师让张明或李红去开会”，意思是张明去也可以，李红去也可以，但不包括张明和李红一起去这种情况；而并集中的“或”则是“或此”“或彼”“或彼此”．3．若集合A与集合B没有公共元素，能否说集合A与集合B没有关系？提示：当两集合A与B没有公共元素时，不能说集合A与B没有关系，而是A∩B＝∅.[例1]已知集合A＝{x|(x－1)(x＋2)＝0}，B＝{x|(x＋2)(x－3)＝0}，则集合A∪B是() A．{－1,2,3}B．{－1，－2,3}C．{1，－2,3} D．{1，－2，－3}[自主解答]A＝{x|(x－1)(x＋2)＝0}＝{1，－2}；B＝{x|(x＋2)(x－3)＝0}＝{－2,3}，∴A∪B＝{1，－2}∪{－2,3}＝{－2,1,3}．[答案] C——————————————————解决此类问题首先应看清集合中元素的范围，简化集合，若是用列举法表示的数集，可以根据交集、并集的定义直接观察或用Venn 图表示出集合运算的结果；若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示. ————————————————————————————————————————1．已知集合A ＝{x |－1＜x ≤3}，B ＝{x |x ≤0，或x ≥52}，求A ∩B ，A ∪B .解：∵A ＝{x |－1＜x ≤3}，B ＝{x |x ≤0，或x ≥52}，把集合A 与B 表示在数轴上，如图．∴A ∩B ＝{x |－1＜x ≤3}∩{x |x ≤0或x ≥52}＝{x |－1＜x ≤0或52≤x ≤3}；A ∪B ＝{x |－1＜x ≤3}∪{x |x ≤0或x ≥52}＝R .[例2] 已知集合A ＝{1,3，x }，B ＝{1，x 2}，A ∪B ＝{1,3，x }，求满足条件的实数x 的值．[自主解答] ∵A ∪B ＝{1,3，x }，A ＝{1,3，x }，B ＝{1，x 2}， ∴A ∪B ＝A ，即B ⊆A ， ∴x 2＝3或x 2＝x .①当x 2＝3时，得x ＝±3.若x ＝3，则A ＝{1,3，3}，B ＝{1,3}，符合题意； 若x ＝－3，则A ＝{1,3，－3}，B ＝{1,3}，符合题意． ②当x 2＝x 时，则x ＝0或x ＝1.若x ＝0，则A ＝{1,3,0}，B ＝{1,0}，符合题意； 若x ＝1，则A ＝{1,3,1}，B ＝{1,1}，不成立，舍去； 综上可知，x ＝±3或x ＝0. ——————————————————(1)在利用集合的交集、并集性质解题时，常常会遇到A ∩B ＝A ，A ∪B ＝B 等这类问题，解答时常借助于交、并集的定义及上节学习的集合间的关系去分析，如A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ，A ∪B ＝B ⇔A ⊆B 等，解答时应灵活处理.(2)对于含有参数的问题要分类讨论，同时要检验，利用好集合中元素的互异性. ————————————————————————————————————————2．已知集合A ＝{4,6}，B ＝{2，m }，A ∪B ＝{2,4,6}，则m 的值为________． 解析：∵A ＝{4,6}，B ＝{2，m }， 而A ∪B ＝{2,4,6}， ∴m ＝4或m ＝6. 答案：4或6 高手妙解题 同样的结果，不一样的过程，节省解题时间，也是得分！集合A ＝{x |x 2－ax ＋a 2－19＝0}，B ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}，C ＝{x |x 2＋2x －8＝0}． (1) 若A ∩B ＝A ∪B ，求a 的值； (2)若∅A ∩B ，A ∩C ＝∅，求a 的值．[巧思] (1)A ∩B ＝A ∪B ⇔A ＝B ；(2)∅A ∩B ⇔A ∩B ≠∅. [妙解] 由已知，得B ＝{2,3}，C ＝{2，－4}．(1)∵A ∩B ＝A ∪B ，∴A ＝B .于是2,3是一元二次方程x 2－ax ＋a 2－19＝0的两个根，由根与系数之间的关系知：⎩⎪⎨⎪⎧2＋3＝a ，2×3＝a 2－19解之得a ＝5. (2)由A ∩B ∅⇒A ∩B ≠∅，又A ∩C ＝∅，得3∈A,2∉A ，－4∉A . 由3∈A 得32－3a ＋a 2－19＝0， 解得a ＝5或a ＝－2.当a ＝5时，A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}，与2∉A 矛盾； 当a ＝－2时，A ＝{x |x 2＋2x －15＝0}＝{3，－5}，符合题意． ∴a ＝－2.1．已知集合M ＝{1,2,3,4}，N ＝{－2,2}，下列结论成立的是( ) A ．N ⊆MB ．M ∪N ＝MC．M∩N＝N D．M∩N＝{2}解析：因为－2∉M，可排除A；M∪N＝{－2,1,2,3,4}，可排除B；M∩N＝{2}．答案：D2．设A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则如图中阴影部分表示的集合为()A．{2} B．{3}C．{－3,2} D．{－2,3}解析：注意到集合A中的元素为自然数，因此易知A＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，而直接解集合B中的方程可知B＝{－3,2}，因此阴影部分显然表示的是A∩B＝{2}．答案：A3．设集合M＝{x|－3≤x<7}，N＝{x|2x＋k≤0}，若M∩N≠∅，则k的取值范围是() A．k≤3 B．k≥－3C．k>6 D．k≤6解析：因为N＝{x|2x＋k≤0}＝{x|x≤－k2}，且M∩N≠∅，所以－k2≥－3⇒k≤6.答案：D4．已知集合A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是矩形}，则A∩B∩C ＝________.解析：∵A∩B＝{x|x是菱形}∴A∩B∩C＝{x|x是正方形}．答案：{x|x是正方形}5．已知集合M＝{0,1,2}，N＝{x|x＝2a，a∈M}，则集合M∩N＝________.解析：由M＝{0,1,2}，知N＝{0,2,4}，M∩N＝{0,2}．答案：{0,2}6．设集合A＝{a2，a＋1，－3}，B＝{a－3,2a－1，a2＋1}，A∩B＝{－3}，求实数a.解：∵A∩B＝{－3}，∴－3∈B.∵a2＋1≠－3，∴①若a－3＝－3，则a＝0，此时A＝{0,1，－3}，B＝{－3，－1,1}，但由于A∩B＝{1，－3}与已知A∩B＝{－3}矛盾，∴a≠0.②若2a－1＝－3，则a＝－1，此时A＝{1,0，－3}，B＝{－4，－3,2}，A∩B＝{－3}，综上可知a＝－1.一、选择题1．已知集合A＝{x|x≥0}，B＝{x|－1≤x≤2}，则A∪B＝()A．{x|x≥－1} B．{x|x≤2}C．{x|0<x≤2} D．{x|1≤x≤2}解析：结合数轴得A∪B＝{x|x≥－1}．答案：A2．设集合M＝{x|－3<x<2}，N＝{x|1≤x≤3}，则M∩N＝()A．{x|1≤x<2} B．{x|1≤x≤2}C．{x|2<x≤3} D．{x|2≤x≤3}解析：∵M＝{x|－3<x<2}且N＝{x|1≤x≤3}，∴M∩N＝{x|1≤x<2}．答案：A3．设A＝{x|－3≤x≤3}，B＝{y|y＝－x2＋t}．若A∩B＝∅，则实数t的取值范围是() A．t<－3 B．t≤－3C．t>3 D．t≥3解析：B＝{y|y≤t}，结合数轴可知t<－3.答案：A4．已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}，且B≠∅，若A∪B＝A，则() A．－3≤m≤4 B．－3＜m＜4C．2＜m＜4 D．2＜m≤4解析：∵A∪B＝A，∴B⊆A.又B≠∅，∴⎩⎨⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7m ＋1＜2m －1即2＜m ≤4.答案：D 二、填空题5．已知集合A ＝{1,2,4}，B ＝{2,4,6}，则A ∪B ＝________.解析：集合A ，B 都是以列举法的形式给出，易得A ∪B ＝{1,2,4,6}． 答案：{1,2,4,6}6．已知集合A ＝{x |x ≥5}，集合B ＝{x |x ≤m }，且A ∩B ＝{x |5≤x ≤6}，则实数m ＝________. 解析：用数轴表示集合A 、B 如图所示，由于A ∩B ＝{x |5≤x ≤6}， 则m ＝6. 答案：67．已知集合A ＝{x |x ≤1}，B ＝{x |x ≥a }，且A ∪B ＝R ，则实数a 的取值范围是________． 解析：如图所示，若A ∪B ＝R ，则a ≤1.答案：a ≤18．已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝ax ＋3}，B ＝{(x ，y )|y ＝3x ＋b }，A ∩B ＝{(2,5)}，则a ＝________，b ＝________.解析：∵A ∩B ＝{(2,5)}． ∴5＝2a ＋3.∴a ＝1. ∴5＝6＋b .∴b ＝－1. 答案：1 －1 三、解答题9．已知集合A ＝{x |－1≤x ＜3}，B ＝{x |2x －4≥x －2}． (1)求A ∩B ；(2)若集合C ＝{x |2x ＋a ＞0}，满足B ∪C ＝C ，求实数a 的取值范围． 解：(1)∵B ＝{x |x ≥2}，A ＝{x |－1≤x ＜3}， ∴A ∩B ＝{x |2≤x ＜3}．(2)∵C ＝{x |x ＞－a2}，B ∪C ＝C ⇔B ⊆C ，∴a ＞－4.10．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ 3－x >0，3x ＋6>0，集合B ＝{m |3>2m －1}，求A ∩B ，A ∪B . 解：解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3－x >0，3x ＋6>0，得－2<x <3，则A ＝{x |－2<x <3}，解不等式3>2m －1，得m <2，则B ＝{m |m <2}． 用数轴表示集合A 和B ，如图所示，则A ∩B ＝{x |－2<x <2}，A ∪B ＝{x |x <3}．第二课时 补集及集合运算综合问题[读教材·填要点]1．全集(1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么称这个集合为全集． (2)符号表示：通常记作U . 2．补集[小问题·大思维]1．已知集合A 、∁U A (U 为全集)，则A ∩(∁U A )与A ∪(∁U A )各有什么特点？ 提示：A ∩(∁U A )＝∅，A ∪(∁U A )＝U .2．设U 为全集，则∁U ∅、∁U U 、∁U (∁U A )分别表示什么集合？ 提示：∁U ∅＝U ，∁U U ＝∅. ∁U (∁U A )＝A .3．判断∁U (A ∩B )＝(∁U A )∩∁U B ，∁U (A ∪B )＝(∁U A )∪(∁U B )是否正确． 提示：不对．结合韦恩图可知∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)．[例1]设全集U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若∁U A＝{1,2}，求实数m的值．[自主解答]如图，∵U＝{0,1,2,3}，∁U A＝{1,2}，∴A＝{0,3}．∴方程x2＋mx＝0的两根为x1＝0，x2＝3，∴0＋3＝－m.即m＝－3.——————————————————(1)根据补集定义，借助Venn图，可直观地求出全集，此类问题，当集合中元素离散时，可借助Venn图；当集合中元素连续时，可借助数轴，利用数轴分析法求解．(2)解题时要注意使用补集的几个性质：∁U U＝∅，∁U∅＝U，A∪(∁U A)＝U. ————————————————————————————————————————1．已知全集U，集合A＝{1,3,5,7,9}，∁U A＝{2,4,6,8}，∁U B＝{1,4,6,8,9}，求集合B.解：借助Venn，如右图所示，得U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，∵∁U B＝{1,4,6,8,9}，∴B＝{2,3,5,7}.[例2]设U＝{x∈N|x<10}，A＝{1,5,7,8}，B＝{3,4，5,6,9}，求A∩B，A∪B，(∁U A)∩(∁B)，(∁U A)∪(∁U B)．U[自主解答]∵U＝{x∈N|x<10}＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，A＝{1,5,7,8}，B＝{3,4,5,6,9}，∴A∩B＝{1,5,7,8}∩{3,4,5,6,9}＝{5}，A∪B＝{1,5,7,8}∪{3,4,5,6,9}＝{1,3,4,5,6,7,8,9}．∵∁U A＝{0,2,3,4,6,9}，∁U B＝{0,1,2,7,8}，∴(∁U A)∩(∁U B)＝{0,2}，(∁U A)∪(∁U B)＝{0,1,2,3,4,6,7,8,9}．——————————————————1.解决集合的混合运算时，一般先运算括号内的部分，如求∁U (A ∪B )时，先求出A ∪B ，再求补集.2.当集合是用列举法表示时，如数集，可以通过列举集合的元素分别得到所求的集合；当集合是用描述法表示时，如不等式形式表示的集合，则可借助数轴求解.————————————————————————————————————————2．已知U ＝R ，A ＝{x |x >0}，B ＝{x |x ≤－1}，则[A ∩(∁U B )]∪[B ∩(∁U A )]＝( ) A ．∅ B ．{x |x ≤0}C ．{x |x >－1}D ．{x |x >0，或x ≤－1}解析：∵B ＝{x |x ≤－1}，∴∁U B ＝{x |x >－1}． 又∵A ＝{x |x >0}，∴A ∩(∁U B )＝{x |x >0}． 又∵∁U A ＝{x |x ≤0}． ∴B ∩(∁U A )＝{x |x ≤－1}．∴[A ∩(∁U B )]∪[B ∩(∁U A )]＝{x |x >0，或x ≤－1}． 答案：D[例3] 设全集U ＝R ，M ＝{x |3a ＜x ＜2a ＋5}，P ＝{x |－2≤x ≤1}，若M ∁U P ，求实数a 的取值范围．[自主解答]∁U P ＝{x |x ＜－2或x ＞1}， ∵M ∁U P ，∴分M ＝∅，M ≠∅，两种情况讨论． (1)M ≠∅时，如图可得⎩⎪⎨⎪⎧3a ＜2a ＋5，2a ＋5≤－2， 或⎩⎪⎨⎪⎧3a ＜2a ＋5，3a ≥1，∴a ≤－72，或13≤a ＜5.(2)M ＝∅时，应有3a ≥2a ＋5⇒a ≥5. 综上可知，a ≤－72，或a ≥13.——————————————————1.M ⊆N ，一般分两种情况讨论：①M ＝∅，②M ≠∅.2.解用不等式表示的数集间的集合运算时，一般要借助于数轴求解，此法的特点是简单直观，同时要注意各个端点的画法.————————————————————————————————————————3．已知集合A ＝{x |－4≤x ≤－2}，集合B ＝{x |x －a ≥0}． (1)若A ⊆B ，求a 的取值范围；(2)若全集U ＝R ，且A ⊆(∁U B )，求a 的取值范围． 解：∵A ＝{x |－4≤x ≤－2}，B ＝{x |x ≥a }， (1)由A ⊆B ，结合数轴(如图所示)可知a 的范围为a ≤－4.(2)∵U ＝R ，∴∁U B ＝{x |x ＜a }，要使A ⊆∁U B ， 须a ＞－2.高手妙解题 同样的结果，不一样的过程，节省解题时间，也是得分！某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．[巧思] 先将文字语言转化为集合语言，设U 为全班学生组成的集合，A 、B 分别表示喜爱篮球运动的学生组成的集合、喜爱乒乓球运动的学生组成的集合，再利用Venn 图可直观得出答案．[妙解] 设全集U ＝{全班30名学生}，A ＝{喜爱篮球运动的学生}，B＝{喜爱乒乓球运动的学生}，画出Venn 图如图所示．设既喜欢篮球运动又喜欢乒乓球运动的人数为x ，则(15－x )＋x ＋(10－x )＝30－8，解得x ＝3，所以喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为12.[答案] 121．设全集为R，A＝{x|x<3，或x>5}，B＝{x|－3<x<3}，则()A．∁R(A∪B)＝R B．A∪(∁R B)＝RC．(∁R A)∪(∁R B)＝R D．A∪B＝R解析：∵∁R A＝{x|3≤x≤5}，∁R B＝{x|x≤－3，或x≥3}，逐个验证知B正确．答案：B2.(2013·临沂一模)已知全集U＝Z，集合A＝{0,1}，B＝{－1,0,1,2}，则图中阴影部分所表示的集合为()A．{－1,2} B．{－1,0}C．{0,1} D．{1,2}解析：图中阴影部分表示的集合为(∁U A)∩B，因为A＝{0,1}，B＝{－1,0,1,2}，所以(∁A)∩B＝{－1,2}．U答案：A3．已知全集U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A＝{0,1,3,5,8}，集合B＝{2,4,5,6,8}，则(∁A)∩(∁U B)＝()UA．{5,8} B．{7,9}C．{0,1,3} D．{2,4,6}解析：因为A∪B＝{0,1,2,3,4,5,6,8}，所以(∁U A)∩(∁U B)＝∁U(A∪B)＝{7,9}．答案：B4．已知全集U＝{2,3，a2－a－1}，A＝{2,3}，若∁U A＝{1}，则实数a的值是________．解析：∵U＝{2,3，a2－a－1}，A＝{2,3}，∁U A＝{1}，∴a2－a－1＝1，即a2－a－2＝0，∴a＝－1或a＝2.答案：－1或25．已知集合A＝{x|0≤x≤5}，B＝{x|2≤x＜5}，则∁A B＝________.解析：如图：由数轴可知：∁A B＝{x|0≤x<2，或x＝5}．答案：{x|0≤x<2，或x＝5}6．设全集U＝{x|0<x<10，x∈N}，若A∩B＝{3}，A∩(∁U B)＝{1,5,7}，(∁U A)∩(∁U B)＝{9}，求集合A，B.解：U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，由题意画出Venn图，∴A＝{1,3,5,7}，B＝{2,3,4,6,8}．一、选择题1．设U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x>1}，则A∩(∁U B)＝()A．{x|0≤x<1} B．{x|0<x≤1}C．{x|x<0} D．{x|x>1}解析：画出数轴，如图所示，∁U B＝{x|x≤1}，则A∩(∁U B)＝{x|0<x≤1}．答案：B2．已知全集U＝A∪B中有m个元素，(∁U A)∪(∁U B)中有n个元素．若A∩B是非空集合，则A∩B的元素个数为()A．mn B．m＋nC．n－m D．m－n解析：画出Venn图，如图．∵U＝A∪B中有m个元素，(∁U A)∪(∁U B)＝∁U(A∩B)中有n个元素，∴A∩B中有m－n个元素．答案：D3．已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x|x<2}，且A∪(∁R B)＝R，则a满足()A．a≥2 B．a>2C．a<2 D．a≤2解析：∁R B＝{x|x≥2}，则由A∪(∁R B)＝R得a≥2.答案：A4．设S为全集，则下列几种说法中，错误的个数是()①若A∩B＝∅，则(∁S A)∪(∁S B)＝S；②若A∪B＝S，则(∁S A)∩(∁S B)＝∅；③若A∪B＝∅，则A＝B.A．0 B．1C．2 D．3解析：①如图，(∁S A)∪(∁S B)＝S，正确．②若A∪B＝S，则(∁S A)∩(∁S B)＝∁S(A∪B)＝∅，故成立．③若A∪B＝∅，则A＝B＝∅.答案：A二、填空题5．已知集合A＝{1,3,5,7,9}，B＝{0,3,6,9,12}，则A∩B＝________，A∩(∁N B)＝________.解析：因为集合A与集合B都有元素3和9，所以A∩B＝{3,9}，结合Venn图(如图所示)，易得A∩(∁N B)＝{1,5,7}．答案：{3,9}{1,5,7}6．设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2<x<4}，全集U＝R，且(∁U A)∩B＝∅，则实数m 的取值范围是________．解析：∵A＝{x|x≥－m}，∴∁U A＝{x|x<－m}．又∵(∁U A)∩B＝∅，－m≤－2.∴m≥2.答案：m≥27．设全集U＝{a，b，c，d}，集合A＝{a，b}，B＝{b，c，d}，则(∁U A)∪(∁U B)＝________.解析：依题意得知，∁U A＝{c，d}，∁U B＝{a}，(∁U A)∪(∁U B)＝{a，c，d}．答案：{a，c，d}8．已知全集U(U≠∅)和集合A、B、D，且A＝∁U B，B＝∁U D，则A与D的关系是________．解析：A＝∁U B＝∁U(∁U D)＝D.答案：A＝D三、解答题9．已知全集U＝{x|－1≤x≤4}，A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0＜x≤3}，求∁U A，(∁U B)∩A.解：∵U＝{x|－1≤x≤4}，A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0＜x≤3}，结合数轴(如图)．可知∁U A＝{x|1＜x≤4}，∁U B＝{x|3＜x≤4，或－1≤x≤0}．结合数轴(如图)．可知(∁U B)∩A＝{x|－1≤x≤0}．10．2011年8月世界大学生运动会在深圳举行，大运村的50名志愿者中，会讲英语的有36人，会讲日语的有20人，既会讲英语又会讲日语的有14人，问既不会讲英语又不会讲日语的有多少人？解：设全集U＝{50名志愿者}，A＝{会讲英语的志愿者}，B＝{会讲日语的志愿者}，A∩B＝{既会讲英语又会讲日语的志愿者}，画出Venn图，如图，则由Venn图知，既不会讲英语又不会讲日语的志愿者有50－22－14－6＝8(人)．1.2函数及其表示1．2.1函数的概念[读教材·填要点]1．函数的概念(1)函数的定义：设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.(2)函数的定义域与值域：函数y＝f(x)中，x叫自变量，x的取值范围叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．2．区间概念(a，b为实数，且a＜b)1．从函数的定义看，它的定义域和值域能否为空集？提示：因为定义中的A、B是非空数集，所以函数的定义域和值域都不能为空集．2．所有的数集都能用区间表示吗？提示：区间是数集的另一种表示方法，但并不是所有数集都能用区间表示，如{1,2,3,4}就不能用区间表示．3．如何用区间表示下列数集？(1){x|x≥1}；(2){x|2＜x≤3}；(3){x|x＞1且x≠2}．提示：(1)[1，＋∞)(2)(2,3](3)(1,2)∪(2，＋∞)[例1]设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M 到集合N的函数关系的有()A．0个B．1个C．2个D．3个[自主解答][答案] B——————————————————判断所给对应是否是函数，首先观察两个集合A 、B 是否是非空数集，其次验证对应关系下，集合A 中数x 的任意性，集合B 中数y 的唯一性.————————————————————————————————————————1．图中(1)(2)(3)(4)四个图象各表示两个变量x ，y 的对应关系，其中表示y 是x 的函数关系的有________．解析：由函数定义可知，任意作一条直线x ＝a ，则与函数的图象至多有一个交点，对于本题而言，当－1≤a ≤1时，直线x ＝a 与函数的图象仅有一个交点，当a >1或a <－1时，直线x ＝a 与函数的图象没有交点．从而表示y 是x 的函数关系的有(2)(3)．答案：(2)(3)[例2] 求下列函数的定义域． (1)f (x )＝3x ＋2；(2)f (x )＝3－x1－x －1.[自主解答] (1)使根式3x ＋2有意义的实数x 的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≥－23，从而函数f (x )＝3x ＋2的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≥－23. (2)要使3－x1－x －1有意义，只要⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，3－x ≥0，x ≠2.因此函数f (x )＝3－x 1－x －1的定义域为{x |1≤x ≤3且x ≠2}．——————————————————求函数定义域的方法及注意事项：(1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分。