2016-2017学年高中数学 第三章 统计案例 3.1 第2课时 残差分析及回归模型的选择学案 新

残差分析课程设计案例一、教学目标本节课的教学目标是使学生掌握残差分析的基本概念、方法和应用。

知识目标包括：理解残差的定义和性质，掌握残差分析的基本方法和步骤，了解残差分析在实际应用中的重要性。

技能目标包括：能够运用残差分析方法解决实际问题，能够正确地进行残差分析并解释分析结果。

情感态度价值观目标包括：培养学生对数据分析的兴趣和热情，培养学生勇于探索、严谨求实的科学态度。

二、教学内容本节课的教学内容主要包括残差分析的基本概念、方法和应用。

首先，介绍残差的概念和性质，让学生了解残差分析的基本对象。

其次，讲解残差分析的方法和步骤，包括残差的计算、残差图的绘制和残差分析的判断标准。

最后，通过实际案例介绍残差分析在实际应用中的重要性，如线性回归模型的评价和修正。

三、教学方法为了达到本节课的教学目标，将采用多种教学方法进行教学。

首先，采用讲授法，系统地讲解残差分析的基本概念、方法和应用。

其次，采用案例分析法，通过分析实际案例使学生更好地理解和掌握残差分析的方法和步骤。

此外，还采用讨论法，鼓励学生积极参与课堂讨论，培养学生的思考能力和团队协作精神。

四、教学资源为了支持本节课的教学内容和教学方法的实施，将准备以下教学资源。

教材：《统计学原理》，其中涉及残差分析的相关内容。

参考书：《线性回归分析与应用》，供学生课后进一步学习残差分析的详细知识。

多媒体资料：制作课件和残差图的演示，帮助学生更好地理解和掌握残差分析的方法和步骤。

实验设备：计算机和投影仪，用于展示多媒体资料和进行课堂讨论。

五、教学评估本节课的评估方式将包括平时表现、作业和考试三个部分。

平时表现主要评估学生在课堂上的参与程度、提问和回答问题的积极性等。

作业主要评估学生对课堂所学知识的掌握程度，包括残差分析的计算和案例分析等。

考试则是对学生全面掌握残差分析知识的评估，包括理论知识和实际应用能力的考察。

评估方式将力求客观、公正，全面反映学生的学习成果。

六、教学安排本节课的教学安排将分为五个课时，每个课时45分钟。

残差分析的相关概念辨析及应用在研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关，是否可以用线性回归模型来拟合数据．然后，可以通过残差^^2^1,,,n e e e 来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据．这方面的分析工作称为残差分析.残差分析一般有两种方法:(1)作残差图；（2）利用相关指数R 2来刻画回归效果..,,2,1,^^^^n i a x b y y y e i i i i i =--=-= ^i e 称为相应于点(x i ，y i )的残差．类比样本方差估计总体方差的思想，可以用)2)(,(2121^^1^2^2>-=-=∑=n b a Q n e n n i i σ 作为σ2的估计量，其中^a 和^b 由公式x b y a ^^-=, ∑∑==---=ni ini i ix xy y x xb 121^)())((给出，Q(^a ，^b )称为残差平方和.可以用^2σ衡量回归方程的预报精度．通常，^2σ越小，预报精度越高．例1．设变量x,y 具有线性相关关系，试验采集了5组数据，下列几个点对应数据的采集可能有错误的是( )A 点A B.点B C.点C D.点E思路与技巧 由散点图判断出，点A,B,C,D,F 呈线性分布，E 点远离这个区域，说明点E 数据有问题． 解答D评析 可以用Excel 画散点图，样本的散点图可以形象的展示两个变量的关系，画散点图的目的是用来确定回归模型的形式，若散点图呈条状分布，则x 与y 有较好的线性相关关系，散点图除了条状分布，还有其他形状的分布．例2．为研究重量x(单位：克)对弹簧长度y(单位：厘米)的影响，对不同重量的6根弹簧进行测量，得如下数据：(1)画出散点图．(2)如果散点图中的各点大致分布在一条直线的附近，求y 与x 之间的回归直线方程． (3)求出残差，进行残差分析．思路与技巧 可以用Excel 画散点图，由散点图发现x 与y 是否呈线性分布，由此判断x 与y 之间是否有较好的线性相关关系，若有，求出线性回归方程，再画出残差图，进行残差分析．解答 (1)由Excel表格画散点图如图(2)设yˆ=bx+a是线性回归直线方程，以重量为横坐标，以残差为纵坐标画残差图如图由残差图看出，这些样本点的残差对应点均匀地落在水平带状区域内，宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程预报精度越高．评析回归模型中，残差变量不能被直接观测到，必须通过模型拟合后计算得到．画残差散点图的目的就是直观观测残差图，发现观测数据中可能出现的错误及所用模型是否恰当，若样本点残差较大，需确认这个点在采集过程中是否存在错误，若有，需重新采集数据，重新利用数据拟合．若采集数据没有错误，就另找原因．若残差点比较均匀地落在水平带状区域内，说明选用模型较合适，带状区域宽度越窄，模型拟合精度越高，回归方程预报精度越高．同学们学习残差时应明确以下几点：（1）误差e受许多条件的影响，也受所选用的线性模型的影响，因此线性模型往往只是一种近似的模型.（2）作残差图有时不够精确，也难于认定拟合程度的好坏，因而多数情况下，选用计算相关指数R2来说明拟合效果.（3）可以对某组数据采用几种不同的回归方程进行分析，也可以比较几个R2的值，选择R2大的模型作为这组数据的回归模型.（4）回归方程只适用于我们所研究的样本的总体;建立的回归方程一般都有时间性;样本取值的范围会影响回归方程的适用范围,一般不能超过这个范围，否则没有实用价值;不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值，它是预报变量的可能取值的平均值。

3.1回归分析的基本思想及其初步应用第2课时 残差分析【学习目标】1.了解残差平方和、相关指数2R 的概念；2.了解回归分析的基本步骤；3.会用残差平方和与相关指数对回归模型拟合度进行评判； 【重点难点】重点：了解残差平方和、相关指数2R 的概念,会用残差平方和与相关指数对回归模型拟合度进行评判。

难点：了解回归分析的基本步骤, 【学习过程】 一.课前预习阅读课本P 82—86，记下困惑处并完成下列问题1、`线性回归模型，e ）b a e a bx y 中为模型的未知参数和(++=是y （真实值）与a bx +之间的误差。

通常e 是随机变量，称为。

2.残差对于样本点11(,)x y ，22(,)x y ，…，(,)n n x y ，它们的随机误差i i i e y bx a =--，1i =，2，…，n ，其估计值为i e =i i y bx a =--，i e 称为相应于点(,)i i x y 的.温馨提示：正确理解随机误差：随机误差是客观存在的，主要原因是：（1）所用的函数不恰当引起误差；（2）除了两个变量之间的影响之外，还会受到其他因素的影响；（3）由于观测方面的原因出现的误差. 3.残差图及相关指数（1）残差图：我们可以利用图形来分析残差特征，作图时纵坐标为，横坐标可以选为，或解释变量或预报变量等，这样作出的图形称为.（2）相关指数：计算公式是2R =，其中残差平方和为，总偏差平方和为.2R 越大说明残差平方和越小，也就是说模型的拟合效果越好，2R 表示解释变量对于预报变量变化的，2R越接近于，表示回归的效果越好.温馨提示：相关指数的计算公式中，分子是残差平方和，分母是总偏差平方和，计算时不要弄错，同时要清楚2R的大小与拟合效果的关系.二.课堂学习与研讨类型1 线性回归分析【典例1】为研究重量x（单位：克）对弹簧长度y（单位：厘米）的影响，对不同重量的6个物体进行测量，数据如下表所示：（2）求相关指数2R，并判断模型的拟合效果；（3）进行残差分析．(6212275iix==∑，611076.2i yix y==∑)【归纳升华】一般地，求出回归直线方程后，通常可以计算处残差的平方和以及相关指数2R 的值来对回归模型的好坏作出评判，由2R的计算公式知，残差平方和越小，2R就越大，拟合效果就越好；残差平方和越大，2R就越小，拟合效果就越差..假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y（万元），有如下表的统计资料：试求：（1）线性回归方程y bx a=+的回归系数a、b；（2）求残差平方和；（3）求相关指数2R类型2线性回归模型拟合的效果 例2、关于x 与y 有如下数据：为了对x 、y 两个变量进行统计分析，现有以下两种线性模型：5.175.6ˆ+=x y ， 177ˆ+=x y，试比较哪一个模型拟合的效果更好。

第三章统计案例3.1 回归分析的基本思想及其初步应用第2课时残差分析A级基础巩固一、选择题1．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A，B两变量的线性相关性做实验，并用回归分析方法分别求得相关系数r与残差平方和m如下表所示：()A．甲B．乙C．丙D．丁解析：r越接近1，相关性越强，残差平方和m越小，相关性越强，所以选D正确．答案：D2．为了表示n个点与相应直线在整体上的接近程度，我们常用的表示法为()解析：由回归直线方程可知，为一个量的估计值，而y i 为它的实际值，在最小二乘估计中（y i－a－bx i）2，即（y i－）2.答案：C3.甲、乙、丙、丁4位同学各自对A，B两变量进行回归分析，分别得到散点图与残差平方和如下表所示：高（）A.甲B.乙C.丙D.丁解析：根据线性相关的知识，散点图中各样本点条状分布越均匀，同时保持残差平方和越小（对于已经获取的样本数据，R2的表达式中为确定的数，则残差平方和越小，R2越大)，由回归分析建立的线性回归模型的拟合效果越好，由试验结果知丁要好些．答案：D4．通过残差图我们发现在采集样本点过程中，样本点数据不准确的是()A．第四个B．第五个C．第六个D．第八个解析：由题图可知，第六个的数据偏差最大，所以第六个数据不准确．答案：C5．如图所示，5个(x，y)数据，去掉D(3，10)后，下列说法错误的是()A．相关系数r变大B．残差平方和变大C．相关指数R2变大D．解释变量x与预报变量y的相关性变强解析：由散点图知，去掉D后，x与y的相关性变强，且为正相关，所以r变大，R2变大，残差平方和变小．答案：B二、填空题6．若一组观测值(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)之间满足y i＝bx i ＋a＋e i(i＝1，2，…，n)，且e i恒为0，则R2为________．解析：由e i 恒为0，知y i ＝y ^i ，即y i －y ^i ＝0，答案：17．x ，y 满足如下表的关系：解析：通过数据发现y 的值与x 的平方值比较接近，所以x ，y 之间的函数模型为y ＝x 2.答案：y ＝x 28．关于x 与y ，有如下数据：有如下的两个模型：(1)y ＝6.5x ＋17.5；(2)y ＝7x ＋17.通过残差分析发现第(1)个线性回归模型比第(2)个拟合效果好．则R 21________R 22，Q 1________Q 2(用大于，小于号填空，R ，Q 分别是相关指数和残差平方和)．解析：根据相关指数和残差平方和的意义知R 21＞R 22，Q 1＜Q 2.答案：＞ ＜ 三、解答题9．在实验中得到变量y 与x 的数据如下表所示：由经验知，y 与1x 之间具有线性相关关系，试求y 与x 之间的回归曲线方程，并预测x 0＝0.038时，y 0的值．解：令u ＝1x ，由题目所给数据可得下表所示的数据：计算得b ＝0.29，a ＝34.32. 所以y ^＝34.32＋0.29u .所以试求回归曲线方程为y ^＝34.32＋0.29x .当x 0＝0.038时，y 0＝34.32＋0.290.38 ≈41.95.10．关于x 与y 有以下数据：已知x 与y 线性相关，由最小二乘法得b ＝6.5. (1)求y 与x 的线性回归方程；。

江苏省苏州市高中数学第三章统计案例3.1 回归分析的基本思想及其初步应用教学设计1 新人教A版选修2-3编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（江苏省苏州市高中数学第三章统计案例3.1 回归分析的基本思想及其初步应用教学设计1 新人教A版选修2-3）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为江苏省苏州市高中数学第三章统计案例3.1 回归分析的基本思想及其初步应用教学设计1 新人教A版选修2-3的全部内容。

回归分析的基本思想及其初步应用【教学目标】在《数学③（必修）》之后,学生已经学习了两个变量之间的相关关系，包括画散点图,最小二乘法求回归直线方程等内容。

在人教A版选修1-2第一章第一节“回归分析的基本思想及其初步应用”这一节中进一步介绍回归分析的基本思想及其初步应用。

这部分内容《教师用书》共计4课时，第一课时：介绍线性回归模型的数学表达式,解释随机误差项产生的原因，使学生能正确理解回归方程的预报结果，并能从残差分析角度讨论回归模型的拟合效果；第二课时:从相关系数、相关指数角度探讨回归模型的拟合效果，以及建立回归模型的基本步骤；第三课时：介绍两个变量非线性相关关系；第四课时:回归分析的应用。

本节课是第一课时的内容。

1、知识目标认识随机误差;认识残差2、能力目标(1)会使用电脑画散点图、求回归直线方程；(2)能正确理解回归方程的预报结果.3、情感目标通过本节课的学习,加强数学与现实生活的联系，以科学的态度评价两个变量的相关性，理解处理问题的方法,形成严谨的治学态度和锲而不舍的求学精神。

培养学生运用所学知识，解决实际问题的能力。

2016-2017学年高中数学第三章统计案例3.2 回归分析学案苏教版选修2-3编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学第三章统计案例3.2 回归分析学案苏教版选修2-3）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2016-2017学年高中数学第三章统计案例3.2 回归分析学案苏教版选修2-3的全部内容。

3。

2 回归分析1．会作出两个有关联变量的散点图，并利用散点图认识变量间的相关关系．2．了解线性回归模型,能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程．(重点、难点)3．了解回归分析的基本思想、方法及简单应用．［基础·初探]教材整理1 线性回归模型阅读教材P100~P103“例1”以上部分，完成下列问题．1．线性回归模型的概念：将y＝a＋bx＋ε称为线性回归模型，其中a＋bx是确定性函数,ε称为随机误差．2．线性回归方程：直线错误!＝错误!＋错误!x称为线性回归方程，其中错误!称为回归截距，错误!称为回归系数，错误!称为回归值，其中错误!其中错误!＝错误!错误!x i，错误!＝错误!错误!y i.设某大学生的女生体重y（单位：kg）与身高x(单位:cm)具有线性相关关系．根据一组样本数据(x i，y i)(i＝1，2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为错误!＝0。

85x－85。

71，则下列结论中正确的是________(填序号）．（1)y与x具有正的线性相关关系;（2)回归直线过样本点的中心(错误!,错误!）；(3）若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg；(4）若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为58。

高中数学 第三章 统计案例 回归分析课堂导学 苏教版选修2-3三点剖析一、线性回归 【例1】 一个车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了10次试验,测得的数据如下: 零件数x (个) 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 加工时间y (分)626875818995102108115122(1)y 与x 是否具有线性相关关系?(2)如果y 与x 具有线性相关关系,求回归直线方程. 解析：(1)列出下表: i1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x i 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 y i 62 6875818995102108115122x i y i6201 3602 2503 2404 4505 700 7 140 8 640 10 350 12 200∴x =55,y =,∑=ni ix12=38 500,∑=ni iy12=87 777,∑=ni ii yx 1=55 950.因此,r =∑∑∑===---ni ni i i ni ii y y x yx yx 112221)10)(10(10=)7.911087777()551038500(7.9155105595022⨯-⨯⨯-⨯⨯-≈ 8.由于r = 8^,因此x 与y 之间具有很强的线性相关关系,因而可求回归直线方程. (2)设所求的回归直线方程为y ^=b ^x +a ^,则有b ^=212215510385007.915510559501010⨯-⨯⨯-=--∑∑==ni i ni iixx yx yx ≈,a ^=y -b ^x =因此,所求的回归直线方程为y ^=+. 二、非线性回归【例2】 在彩色显像中,根据经验,形成染料光学密度y 与析出银的光学密度x 之间有下面类型的关系式:y =xb aey -=,其中b ^0.现对y 及x 同时作11次观察,获得11组数据如下表: 编 号 x iy i1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11求出y 与x 之间的回归方程.解析:令y ′=l ny ,x ′=x1,则x bae y -=变换为y ′=l na -bx ′, 设a ^′=l na ,b ^′=-b ,将观察的数据(x i ,y i )转化为(x i ′,y i ′)如下表:编号 x i ′y i ′x i ′2x i ′y i ′1 20 40023 -214 10 10056 5 257 4 0 16 089 10 11 ∑1∴x '=∑='111111i i x =1x i ′≈,y ' = ∑='111111i i y =,b ^′=∑∑=='-'''-''111221111111i i i i ix x y x y x≈.40632.59-=,a ^′=y ' -b ^′x '≈.∴线性回归方程为y ^′=由于b ^=-b ^′=,a ^=a e '=,∴y 与x 之间的回归曲线方程为y ^=xe146.073.1-.三、相关检验【例3】 一只红铃虫的产卵数y 和温度x 有关,现收集了7组观测数据列成下表,试建立y 与x 之间的回归方程. 温度x /℃ 21 23 25 27 29 32 35 产卵数y /个711212466115325解析:根据收集的数据,作散点图,如图.从图中可以看出,样本点并没有分布在某个带状区域内,因此两个变量不呈线性相关关系,所以不能直接利用线性回归方程来建立两个变量之间的关系,根据已有的函数知识,可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线y =c 1e c 2x的附近,其中c 1、c 2为待定的参数.我们可以通过对数变换把指数关系变为线性关系,令z=l n y ,则变换后样本点分布在直线z=bx +a (a =l n c 1,b =c 2)的附近,这样可以利用线性回归建立y 与x 的非线性回归方程了.变换的样本点分布在一条直线的附近,因此可以用线性回归方程来拟合. 由上表中的数据可得到变换的样本数据表,如下表:x21 23 25 27 29 32 35 z可以求得线性回归直线方程为z^=因此红铃虫的产卵数对温度的非线性回归方程为y ^=另一方面,可以认为图中的样本点集中在某二次曲线y =c 3x 2+c 4的附近,其中c 3,c 4为待定参数,因此可以对温度变量进行变换,即令t=x 2,然后建立y 与t 之间的线性回归方程,从而得到y 与x 之间的非线性回归方程.下表是红铃虫的产卵数和对应的温度的平方的线性回归模型拟合表,作出相应的散点图,如图:t 441 529 625 729 841 1 024 1 225 y711212466115325从图中可以看出,y 与t 的散点图并不分布在一条直线的周围,因此不宜用线性回归方程来拟合它,即不宜用二次函数y=c3x2+c4来拟合x与y之间的关系,因此利用y^=来拟合效果较好. 各个击破类题演练 1弹簧长度y(c m)随所挂物体质量x(g)不同而变化的情况如下:物体质量x 5 10 15 20 25 30弹簧长度y(1)画出散点图；(2)求y对x的回归直线方程.解析:(1)(2)采用列表的方法计算a与回归系数b.序号x y x2x y1234565101520253025100225400625900198274354 ∑105 2 275 1x=61×105=,y=61×≈,b^=25.176227550.95.1761077⨯-⨯⨯-≈,a^=对x的回归直线方程为y^=+ x.类题演练 2某种图书每册的成本费y(元)与印刷册数x(千册)有关,经统计得到数据如下: x 1 2 3 5 10 20 30 50 100 200 y检验每册书的成本费y与印刷册数的倒数x1之间是否具有线性相关关系?如有,求出y对x 的回归方程.思路分析:本题与前面的问题有所不同,y与x之间不具有线性回归关系,因而是非线性回归分析问题,不妨设变量u=x1,题意要求对u与y作相关性检验,如果它们具有线性相关关系,就可以进一步求出y对u的回归直线方程,这时再回代u=x1,就得到了y对x的回归曲线方程.解:首先作变量置换u=x1,题目所给数据变成如下表所示的数据:u i 1 y iu i y i可以求得r=∑∑∑===----ni ni i ini i iy y x xy y x x11221)()())(( = 8,由r= 8＞,因此,变量y 与u 之间具有较强的线性相关关系,并且b ^=,a ^=y-b ^x =,最后回代a =x 1可得y^=+x973.8, 因此y 与x 的回归方程为y^=+x973.8.类题演练 3为了研究三月下旬的平均气温x (单位:℃)与四月二十号前棉花害虫化蛹高峰日y 的关系,某地区观察了2000年至2005年间的情况,得到下面的数据表: 年份 2000 2001 2002 2003 2004 2005x y19611018(1)根据规律推断,该地区2006年三月下旬平均气温为27℃,试估计2006年四月化蛹高峰日为哪一天?(2)对变量x 、y 进行相关性检验. 解析:(1)x =61++…+≈, y=61(19+6+…+8)=, ∑x i 2=+…+=5 ,∑y i 2=192+…+82=563,∑x i y i =×19+…+×8=1 222, ∴b ^=212.29601.512512.295.761222⨯-⨯⨯-≈,a ^=y -b x =+×=.回归直线方程为y^=+. 当x =27时,y^=×27+=.据此估计该地区2006年4月12日或13日为化蛹高峰日.(2)r=∑∑∑===---6161222261)6)(6(6i i i i i iiy y x x yx yx = 3,由于|r|接近于1,故变量y 与x 存在很强的线性相关关系.变式提升在钢线碳含量对于电阻的效应研究中,得到如下数据表: 碳含量 (x /%) 20℃时电阻(y /Ω)1518192126求y 对x 的线性回归方程,并检验回归方程中的显著性.解析:由已知数据x =71∑=71i i x ≈,y=71×≈,∑=712i i x =,∑=712i i y = 3 ,∑=71i i i y x =, ∴b ^≈2)543.0(7595.274.20543.0745.85⨯-⨯⨯-≈. ∴a ^=回归直线方程为y^=+. 利用相关系数检验是否显著,∑=71i ii yx -7x y =××≈,∑=712i ix-5x 2=×2≈,∑=712i i y -5y 2=3 ×2=,∴r=982.943121.162.6⨯≈.由于r 接近于0,故钢线碳含量对电阻的效应线性相关关系不显著.。