西安交通大学材料力学ppt第3章

Sy
3
c
1 D 2 z
I z I z1 I z 2
D D D 15 15 D ( )4 64 64 2 64 16 1024
2 2 4 2
4
4
4
2 I yc I yc1 I yc 2 I y A1 zc I y 2 A2 ( D 4 D 12)2
n
n
y
A1
A2
A
An Ai
组合图形的形心坐标为：
Sz yc A
z
Ai
i 1 n i 1
n
o
yc i
Ai
zc
Sy A

A i zc i
i 1
n
Ai
i 1
n
例A-2 试确定图示截面的形心的位置。
y 10
120
1
解：将截面看成由两个矩形1和2组成，选 参考坐标系如图所示，矩形1和2的面 积及形心位置分别为: A1=10120=1200 mm2
80
5.333 10
100 20
mm4
100
I z ( I z )1 ( I z )2
100
y 2 100dy
0
y 2 20dy
30.933 106 mm4
A-3 平行移轴公式
I zc Iz
yc
A
2 yc dA
C（b，a）
y b
z C a
zc
A
A
dA
dx
Mn Ip
Mn 极惯性矩Ip: Ip
Ip
实心圆轴: 空心圆轴:
D 4 Ip 32
A
2dA
Mn
4 D Ip D4 d 4 1 4 32 32 d D




Mn
3.3.2 圆轴扭转的强度条件
Mn Mn max R Ip Wp
主惯轴： 惯性积Iyz＝0的这一对坐标轴y、z称为主惯轴 主惯矩： 图形对主惯轴的惯性矩称为主惯矩 形心主惯轴： 通过截面形心的主惯轴 形心主惯轴矩
今日作业 A-4 A-5 A-6
第 3 章
3-1 概述
扭转（Torsion）
钻 杆
螺丝刀刀杆
多轴攻丝器
气动攻丝机
传 动 轴
扭转的概念：受扭转杆件的力学模型为:
附录A
A.1
截面图形的几何性质
y
静矩和形心
z
dA y
z
A.1.1 静矩的定义 静矩的性质： o ●同一截面对不同坐标轴的静矩不同；
●静矩的数值可为正，可为负，可为零； ●静矩的量纲为[长度] , 单位为m ，cm ，mm
S z、 S z1 、 Sz2 例A-1 已知图示截面，求：
y h/2 h/2 b
例A-4 试用平行移轴公式计算例A-3 。
bh3 解：利用公式： I z 12 I zc ( I zc )1 ( I zc )2
20
y 100 1 * 100 2 20 80 z zc
100 203 ( 302 100 20) 12 20 1003 ( 302 20 100) 12 5.333 106 mm4
Wp
Ip R
抗扭截面系数Wp :
D 3 Wp 16 D 3 Wp 1 4 16


Mn 强度条件： max W p
y
hb 3 12
h/2
b/2 b/2
z
y z D
实心
D
z
空心 d
D4 Ip 32 I p D4 I y Iz 2 64
d D4 4 Ip (1 ) D 32 D4 I y Iz (1 4 ) 64
组合截面的惯性矩： I z
Izi

S y1 S y 2
A-2 惯性矩和惯性积
定义：
Ip
y
截面图形面积A对坐标原 点的极惯性矩； I y z 2dA 截面图形面积A对y轴的 A o 惯性矩； I z y 2dA 截面图形面积A对z轴的惯性矩； A
A
2dA
z
dA
y
z
Iyz
性积； 同一截面对不同坐标轴的Ip 、 Iy 、 Iz 、 Iyz 不同； Ip 、 Iy 、 Iz 恒为正值, Iyz 可为正,可为负,也可为零； Ip 、 Iy 、 Iz 、 Iyz 的单位均为m4、 cm4、 mm4 ；
T

T
受力特点：杆件两端作用一对大小相等、转向相反、 作用面垂直于杆轴线的力偶。 变形特点：杆件的任意两个横截面绕杆轴线发生 相对转动。 具有上述特征的变形称为扭转变形。 扭转角 : 扭转时杆件两个横截面相对转动的角度 工程上，以扭转变形为主的杆件称为轴（Shaft）。
3.2 外力偶矩的计算、扭矩和扭矩图 3.2.1 功率、转速和外力偶矩之间的关系
Ip
A yzdA截面图形面积A对正交坐标轴y、z的惯
A
2dA

( y 2 z 2 )dA I z I y A
若有一个轴为对称轴，则 Iyz＝0
矩形截面对形心轴的惯性矩:
Iz bh3 12 Iy
y
h/2
惯性矩＝(与所对轴平行的边长)(与所 对轴垂直的边长)3 / 12 圆形截面对形心轴的惯性矩:
2
80
10
z
A2=1070=700 mm2 yc1 =120/2=60 mm zc1 =10/2=5 mm
A1 zc1 A2 zc 2 19.7 mm A1 A2
yc2 =10/2=5 mm，zc2 =10＋70/2=45 mm
zc Sy A A1 A2 S z S z1 S z 2 A1 yc1 A2 yc 2 yc 39.7 mm A A1 A2 A1 A2
I z ( I z )1 ( I z )2
3 100 203 20 100 ( 1102 100 20) ( 502 20 100) 12 12
30.933 106 mm4
1 3 I bh 例A-5 图示三角形截面， z ，试求I z1 。 12
解： （1）求过形心轴的轴惯矩
h 2 1 I z I zc ( ) bh 3 2 1 1 1 3 3 I zc bh bh bh3 12 18 36
h * b
z1
zc z
（2）再次利用平行移轴公式求Iz1 2 2 1 1 3 I z1 I zc ( h) ( hb) bh 3 2 4 错误：
Sz Sy
A ydA yc A A zdA zc A
yc S z A zc S y A
y
z
zc yc
dA
C y z
结论：
o
1、截面对某轴的静矩为零, 则该轴必通过截面的形心; 2、截面图形对通过截面形心的轴的静矩必等于零。 利用上式： 1、若已知截面面积和形心坐标，可以计算截面对坐标 轴的静矩； 2、若已知截面面积及其对坐标轴的静矩，可以确定截 面的形心坐标。
D D D D D D 64 4 144 64 2 16 3 119 D 4 9216
4
2
A-4 转轴公式、主惯轴和主惯矩 y y1 转轴公式： y1 y cos z sin
z1 z cos y sin
3 3 3 3
A ydA S y zdA A
Sz
z2 dy z1 y z
1 2 ydyb bh S ydA 解： z A 0 2

h
1 2 ydyb bh S z1 ydyb 0 S z 2 h h / 2 2

h/ 2

0
A.1.2 形心的计算
扭转内力：扭矩Mn
Mn ＝ T
T
T
T Mn （ +） n
M（ n +） n
T
扭矩的正负号符号规则 : 按右手螺旋法则，扭 矩的矢量方向与横截面外 T 法线方向一致时为正。反 之为负。 扭矩图：
T
Mn （ -） n （ -） Mn n T
T
例3-1 图示轮C为主动轮,
A
B
n
C
D
A、B、D轮为从动轮,转 速为n,TA＝351N•m, TB＝ TA 351N•m, TC＝1170N•m, TD＝468N•m,试作传动轴 的扭矩图。 解：1. 截面法求扭矩 TA Mn1＋TA＝0 Mn1 ＝－TA＝－ 351N•m Mn2 ＋TA ＋TB ＝0 Mn2 ＝－TA － TB ＝ －702N•m TA Mn3 －TD＝0 Mn3 ＝TD＝468N•m 2. 绘扭矩图 Mnmax=702 N•m Mn(N•m) 讨论：若交换主动轮和从动 轮的位置，试问主动轮放在 -351 哪一位置最合理？
2 I z1 y1 dA
z z1
dA y1
y

z1
z
cos2 y 2dA 2 cos sin yzdA sin2 z 2dA Iz I y Iz I y cos2 I y z sin2 I 2 2 Iz I y Iz I y I y1 cos 2 I y z sin2 I 90 2 2 Iz I y I y1 I z1 I y I z C I z1 y1 sin2 I y z cos2 2
TB M n1
TC
n
TD
n TB n
Mn2
M n3
468
TD
（＋）