解斜三角形的应用

直角三角形与斜三角形的应用题解题方法直角三角形和斜三角形是在几何学中常见的两种三角形形态。

它们在解决实际问题中有着广泛的应用。

本文将重点介绍直角三角形和斜三角形的应用题解题方法，并给出几个实例来加深理解。

一、直角三角形的应用题解题方法直角三角形是指其中一个角为90度的三角形。

以下是一些常见的直角三角形应用题解题方法：1. 利用正弦、余弦和正切函数三角函数是解决直角三角形问题的关键工具。

可以利用正弦、余弦和正切函数来计算三角形的各边长和角度。

例如，若已知一个直角三角形的两条边长，可以使用正弦函数来计算夹角的度数。

同样地，可以使用余弦函数或正切函数来计算其他未知数。

2. 使用勾股定理勾股定理是解决直角三角形边长关系的基本原理。

根据勾股定理，直角三角形中两个直角边的平方和等于斜边的平方。

在解题时，如果已知两个边长，可以通过勾股定理计算第三边的长度；反之，如果已知斜边和一个直角边的长度，可以通过勾股定理求解未知的直角边长。

3. 利用特殊直角三角形的性质特殊直角三角形如45° - 45° - 90°和30° - 60° - 90°三角形有一些独特的性质，可以方便地解决与它们相关的问题。

例如，在一个45° - 45° - 90°三角形中，两条直角边的长度相等，斜边的长度等于直角边的长度乘以√2。

如果已知一个角度为45°的直角三角形的某条边长，可以轻松地求解其他未知边长。

二、斜三角形的应用题解题方法斜三角形是指没有直角的三角形。

由于缺少直角特性，应用题解题方法与直角三角形有所不同。

以下是一些常见的斜三角形应用题解题方法：1. 使用正弦、余弦和正切函数与直角三角形类似，正弦、余弦和正切函数在解决斜三角形问题中也起到关键作用。

可以使用这些函数计算三角形的边长和角度。

需要注意的是，由于斜三角形没有固定的90°角，所以需要根据已知信息选择合适的三角函数。

高一平面向量7（解斜三角形应用举例）
1、为测量建造中的上海东方明珠电视塔已到达的高度，李明在学校操场的某一直线上选择A 、B 、C 三点，60==BC AB 米，且在A 、B 、C 三点观察塔的最高点，测得仰角分别为45°，54.2°，60°．已知李明身高1.5米，试问建造中的电视塔已到达的高度（结果保留一位小数）．
2．在一个很大的湖岸边（可视湖岸为直线）停放着一只小船，由于缆绳突然断开，小
船被风刮跑，其方向与河岸成15°，速度为 2.5km/h ．同时岸
上有一人，从同一地点开始追赶小船，已知他在岸上跑的速度
为 4km/h ，在水中游的速度为 2km/h ．问此人能否追上小船？
若小船速度改变，则小船能被人追上的最大速度是多少？
3．如图所示，在斜度一定的山坡上的一点A 测得山顶上一建筑物顶端C 对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100米后，又从B 点测得斜度为45°，设建筑物的高为50米．求此山对于地平面的斜度的倾斜角θ．
4、某部队行军中遇到一条河，河的两岸平行．现有米尺和︒60、︒45测角仪．如何才能测量计算出河宽？
5．如图，某城市有一条公路从正西方OA 能过市中心O 后转向东北方OB L ，L 在OA 上设一站A ，在OB 上设一站B ，铁路在AB 部分为直线段现要求市中心O 与AB 的距离为10公里，问把B A 、分别设在公路上距中心O 多远处才能使AB 最短，并求其最短距离（不要求作近似计
算） B
O A 45︒15︒A
B
D E C。

解斜三角形的应用题目1. 已知直角三角形中，一个锐角为30度，斜边长为10，求另一个锐角的度数。

2. 已知直角三角形中，两个锐角分别为45度和45度，斜边长为5，求此三角形的两条直角边长。

3. 已知直角三角形中，一条直角边长为3，斜边长为5，求另一条直角边的长。

4. 已知直角三角形中，斜边长为10，一条直角边长为5，求另一条直角边的长。

5. 已知直角三角形中，一个锐角为60度，斜边长为8，求另一条直角边的长。

6. 已知直角三角形中，两条直角边长分别为3和4，求斜边长。

7. 已知直角三角形中，一条直角边长为5，斜边长为13，求另一条直角边的长。

8. 已知直角三角形中，一个锐角为30度，斜边长为10，求另一条直角边的长。

9. 已知直角三角形中，一条直角边长为6，斜边长为8，求另一条直角边的长。

10. 已知直角三角形中，一个锐角为45度，斜边长为5，求另一条直角边的长。

11. 已知直角三角形中，一条直角边长为3，斜边长为4，求另一条直角边的长。

12. 已知直角三角形中，一个锐角为60度，斜边长为8，求另一条直角边的长。

13. 已知直角三角形中，一条直角边长为4，斜边长为7，求另一条直角边的长。

14. 已知直角三角形中，一个锐角为45度，斜边长为5，求另一条直角边的长。

15. 已知直角三角形中，一条直角边长为5，斜边长为12，求另一条直角边的长。

16. 已知直角三角形中，一个锐角为30度，斜边长为10，求另一条直角边的长。

17. 已知直角三角形中，一条直角边长为6，斜边长为8，求另一条直角边的长。

18. 已知直角三角形中，一个锐角为45度，斜边长为5，求另一条直角边的长。

19. 已知直角三角形中，一条直角边长为3，斜边长为4，求另一条直角边的长。

20. 已知直角三角形中，一个锐角为60度，斜边长为8，求另一条直角边的长。

21. 已知直角三角形中，一条直角边长为4，斜边长为7，求另一条直角边的长。

22. 已知直角三角形中，一个锐角为45度，斜边长为5，求另一条直角边的长。

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考点13 解斜三角形及应用举例1.（2010·湖北高考理科·Ｔ3）在△ABC 中，a =15，b=10, ∠A=60，则cos B =( ) （A）3-（B）3 （C（D）-【命题立意】本题主要考查解三角形时正、余弦定理的应用，以及三角形边角的性质.【思路点拨】先由正弦定理求出sinB ，再结合三角形“大边对大角”的性质判断角B 的范围，最后利用平方关系求出cosB.【规范解答】选C.由正弦定理知sin sin a b A B = 知sin sin b AB a=10215==32<，又a b >，故A B >，从而()0,60B ∈(0,)3π,6cos 3B =. 【方法技巧】利用“大边对大角”判断出∠B 是锐角是本题解题关键.2.（2010·上海高考理科·Ｔ１8）某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为111,,13115， 则此人能（ ）（A ）不能作出这样的三角形 （B ）作出一个锐角三角形 （C ）作出一个直角三角形 （D ）作出一个钝角三角形【命题立意】本题主要考查三角形的有关性质及用余弦定理判定三角形形状的应用． 【思路点拨】先由高转化到边长，再由余弦定理判定最大边所对的角的余弦值的正负． 【规范解答】选D.设三角形的面积为S ，则S a =⨯13121，所以S a 26=，同理可得另两边长S b 22=，S c 10=，由余弦定理，所以A 为钝角．所以能作出一个钝角三角形.【方法技巧】由三边长判定三角形是锐角、直角、还是钝角三角形时，一般只要由余弦定理求出最大边所对角的余弦值即可．若余弦值为负，则三角形为钝角三角形；若余弦值为0，则三角形为直角三角形；若余弦值为正，则三角形为锐角三角形．3.（2010·上海高考文科·Ｔ１8）若△ABC 的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =， 则△ABC （ ）（A ）一定是锐角三角形 （B ）一定是直角三角形（C ）一定是钝角三角形 (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形【命题立意】本题主要考查三角形的有关性质、正弦定理及余弦定理判定三角形形状等有关知识． 【思路点拨】由余弦定理判定最大边所对的角的余弦值的正负．【规范解答】选 C .由正弦定理可得13:11:5::=c b a ，设t a 5=，则t b 11=，t c 13=，由余弦定理得110231152)13()11()5(2cos 222222-=⨯⨯-+=-+=t t t t t ab c b a C ，所以C 为钝角． 【方法技巧】由三边长判定三角形是锐角、直角、还是钝角三角形时，一般只要由余弦定理求出最大边所对角的余弦值即可．若余弦值为负，则三角形为钝角三角形；若余弦值为0，则三角形为直角三角形；若余弦值为正，则三角形为锐角三角形．4.（2010·全国高考卷Ⅱ文科·Ｔ17）ABC ∆中，D 为边BC 上的一点，33BD =，5sin 13B =，3cos 5ADC ∠=，求AD . 【命题立意】本题考查了正弦定理、两角和的正弦公式及解三角形知识.【思路点拨】由已知可得cosB ，利用两角和的正弦公式可得sin ∠BAD 。

例谈求解斜三角形的几种常见题型
例谈求解斜三角形的几种常见题型
斜三角形是数学当中一个重要的概念，也是数学应用中最重要的基本形式之一，有着重要的实际意义。

斜三角形的求解是数学中的一个重要问题，可以按其力学性质分为内角和外角的求解，也可以根据对斜边的不同求解包括斜边长、角度、面积等。

首先，根据对斜边的求解，我们可以分为两种情况：斜边长的求解和角度的求解。

斜边长的求解可以利用直角三角形的勾股定理（三角形两条直角边的平方和等于最后一边的平方），利用已知两条直角边及夹角角度，可以求得斜边长。

角度的求解可以利用余弦定理（三角形两边夹角的余弦值等于其对边除以斜边），利用已知两条直角边及夹角的余弦值，可以求得夹角角度。

其次，我们还可以针对斜边面积的求解。

斜三角形的面积的求解，利用的是斜
三角形面积公式，利用已知三条边可以计算出其面积大小。

最后，还有内角和外角的求解。

内角的求解可以利用三角形内角和定理（所有
三角形内角的总和等于180度），利用已知三个角的大小可以求得其剩余角的大小。

而外角的求解，利用的是外角伸展公式（被伸展的角度和正角的和等于与正閉路），利用已知的外角只需求出全部正角的和，就可以求出剩余的正角的大小。

总的来说，斜三角形的求解可以分为斜边长、角度、面积、内角和外角的求解，求解方法也有不同，但是利用三角形的勾股定理、余弦定理、内角和定理以及外角伸展公式都可以解决我们的实际问题。

解斜三角形的题型解法例析湖北省孝感高级中学 韩松桥 ４３２１００正弦定理和余弦定理的每一个等式中都包含三角形的四个元素，如果其中三个元素是已知的，那么这个三角形一定可解．关于斜三角形的解法，根据所给的条件及适用的定理可以归纳为如下四种类型：(1)已知两角及一条边．如已知A 、B 、a 解ΔＡＢＣ．解法：①根据A+B+C=π，求出角C ； ②根据B b A a sin sin =及Cc A a sin sin =，求b ，c ； 例１ 在ΔＡＢＣ中，已知c=10，A=045，C=030，求a 、b 、B ．解：由A+B+C=π，得Ｂ＝π－（A+C ）＝0105； 由C c A a sin sin =得21030sin 45sin 10sin sin 0===C A c a ； 由B b A a sin sin =得)26(545sin 105sin 210sin sin 00+===A B a b ．(2)已知两边和它们的夹角．如已知ａ、ｂ、Ｃ，解ΔＡＢＣ． 解法：①根据C ab b a c cos 2222-+=，求出边ｃ； ②根据bca cb A 2cos 222-+=，求出角Ａ； ③由Ｂ＝π－（Ａ＋Ｃ），求出角Ｂ．例２在ΔＡＢＣ中，已知ｂ＝８，ｃ＝３，Ａ＝060，求ａ、Ｂ、Ｃ． 解：由A bc c b a cos 2222-+=得 4960cos 382380222=⨯⨯-+=a 7=∴a ．7142649492cos 222-=-+=-+=∴ac b c a B ，71arccos -=∴πB ； 14131********cos 222=-+=-+=∴ab c b a C ，1413arccos =∴C ．(3)已知三边ａ、ｂ、ｃ，解ΔＡＢＣ．解法： ①根据bca cb A 2cos 222-+=，求出角Ａ； ②根据acb c a B 2cos 222-+=，求出Ｂ； ③由Ｃ＝π －（Ａ＋Ｂ），求出Ｃ．例３ 在ΔＡＢＣ中，已知62=a ，326+=b ，34=c ，求Ａ、Ｂ、Ｃ．解：由已知ａ＜ｃ＜ｂ，Ｂ最大．由余弦定理得23)326(3422448)32448(2cos 222=+⨯⨯-++=-+=bc a c b A 030=∴A22)326(62248)32448(242cos 222=+⨯⨯-++=-+=ab c b a C 045=∴C于是Ｂ＝π－（Ａ＋Ｃ）＝0105． .45,105,30000===∴C B A(4)已知两边及其中一条边所对的角，如已知ａ、ｂ、Ａ，解ΔＡＢＣ． 解法：①根据Bb A a sin sin =，经过讨论求出角Ｂ；②由Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝π，求出角Ｃ； ③由Cc A a sin sin =，求出边ｃ． 或 ①根据A bc c b a cos 2222-+=，求出边ｃ； ②由acb c a B 2cos 222-+=，求出角Ｂ； ③由Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝π，求出角Ｃ；例４ 在ΔＡＢＣ中，已知22=a ，32=b ，045=A ，求ｃ、Ｂ、Ｃ． 解法一：由B b A a sin sin =得23222232sin sin =⨯==a A b B ． A b sin ＜ａ＜ｂ∴ 这个三角形有两组解．0012060==∴B B 或．由Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝π得当060=B 时，Ｃ＝075)(=+-B A π，由C c A a s i n s i n =得 2645sin 75sin 22sin sin 0+===A C a c ； 当0120=B 时，Ｃ＝015)(=+-B A π，由C c A a s i n s i n =得 2645sin 15sin 22sin sin 00-===A C a c ； 故26,75,6000+===c C B ；或26,15,12000-===c C B ．解法二：由A bc c b a cos 2222-+=得 022245cos 322)32()22(⨯⨯-+=c c 即04622=+-c c ， 解得 261+=c ，262-=c ． 当261+=c 时，426)32222)348(1282cos 2221-=⨯⨯+-+=-+=ab c b a C ， 故0175=C ．0160=B同理可求得 当262-=c 时，0202120,15==B C ．。

三角函数（2）解斜三角形（正余弦定理应用）1.正弦定理：A a sin =B b sin =Ccsin =2R.（关键点“比”,用法：边角转化） 利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题. （1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.（从而进一步求出其他的边和角） 2.余弦定理：a 2=b 2+c 2－2bccosA ； cos B =cab ac 2222-+；在余弦定理中，令C =90°，这时cos C =0，所以c 2=a 2+b 2. 利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知三边，求三个角； （2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角. 可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来理解”.题型一、判断三角形的形状：1.在△ABC 中，若2cos B sin A =sin C ，则△ABC 的形状一定是（ ） 答案：CA.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形2.下列条件中，△ABC 是锐角三角形的是（ ） A.sin A +cos A =51B.AB ·BC ＞0C.tan A +tan B +tan C ＞0D.b =3，c =33，B =30° 答案：C解析：由sin A +cos A =51 得2sin A cos A =－2524＜0，∴A 为钝角. 由AB ·BC ＞0，得BA ·BC ＜0，∴cos 〈BA ，BC 〉＜0.∴B 为钝角.由tan A +tan B +tan C ＞0，得tan （A +B ）·（1－tan A tan B ）+tan C ＞0. ∴tan A tan B tan C ＞0，A 、B 、C 都为锐角.由B b sin =C c sin ，得sin C =23，∴C =3π或3π2.3.在△ABC 中，sin A =CB CB cos cos sin sin ++，判断这个三角形的形状.解：△ABC 是直角三角形. 题型二、解斜三角形（求角度和长度）4.已知（a +b +c ）（b +c －a ）=3bc ，则∠A =_______. 解析：由已知得（b +c ）2－a 2=3bc ，∴b 2+c 2－a2=bc .∴bc a c b 2222-+=21.∴∠A =3π. 答案：3π5.在△ABC 中，“A ＞30°”是“sin A ＞21”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件解析：在△ABC 中，A ＞30°⇒0＜sin A ＜1 sin A ＞21；sin A ＞21⇒30°＜A ＜150°⇒A ＞30°答案：B6.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若三角形的面积S =41（a 2+b 2－c 2），则∠C 的度数是_______.解析：由S =41（a 2+b 2－c 2）得21ab sin C =41·2ab cos C .∴tan C =1.∴C =4π. 答案：45° 7.△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，如果a 2=b （b +c ），求证：A =2B . 证明：用正弦定理，a =2R sin A ，b =2R sin B ，c =2R sin C ，代入a 2=b （b +c ）中，得sin 2A =sin B （sin B +sin C ）⇒sin 2A －sin 2B =sin B sin C ⇒22cos 1A -－22cos 1B- =sin B sin （A +B ）⇒21（cos2B －cos2A ）=sin B sin （A +B ） ⇒sin （A +B ）sin （A －B ）=sin B sin （A +B ）， 因为A 、B 、C 为三角形的三内角，所以sin （A +B ）≠0.所以sin （A －B ）=sin B .所以只能有A －B =B ，即A =2B .该题若用余弦定理如何解决?解：利用余弦定理，由a 2=b （b +c ），得cos A =bc a c b 2222-+=bc c b b c b 222）（）（+-+=b bc 2-，cos2B =2cos 2B －1=2（ac b c a 2222-+）2－1=2222cc b b c c b ）（）（++－1=b b c 2-. 所以cos A =cos2B .因为A 、B 是△ABC 的内角，所以A =2B .评述：高考题中，涉及到三角形的题目，重点考查正弦、余弦定理，考查的侧重点还在于三角转换.这是命题者的初衷.8.△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，如果a 、b 、c 成等差数列，∠B =30°，△ABC 的面积为23，那么b 等于（ ）A.231+ B.1+3 C.232+ D.2+3答案：B9.已知锐角△ABC 中，sin （A +B ）=53，sin （A －B ）=51. （1）求证：tan A =2tan B ； （2）设AB =3，求AB 边上的高. （1）证明：∵sin （A +B ）=53，sin （A －B ）=51，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+51sin cos cos sin 53sin cos cos sin B A B A B A B A B A B A B A tan tan 51sin cos 52cos sin ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒=2. ∴tan A =2tan B . （2）解：2π＜A +B ＜π，∴sin （A +B ）=53. ∴tan （A +B ）=－43， 即BA BA tan tan 1tan tan -+=－43.将tan A =2tanB 代入上式整理得2tan 2B －4tan B －1=0，解得tan B =262±（负值舍去）.得tan B =262+，∴tan A =2tan B =2+6. 设AB边上的高为CD ，则AB =AD +DB =A CD tan +B CDtan =623+CD .由AB =3得CD =2+6，所以AB 边上的高为2+6.10.在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边长，已知a 、b 、c 成等比数列，且a 2－c 2=ac －bc ，求∠A 的大小及cBb sin 的值. 解cBb sin =sin A =23.11.在△ABC 中，若∠C =60°，则ca bc b a +++=_______. 解析：c a bc b a +++=））（（c a c b bc b ac a +++++22 =222c bc ac ab bc ac b a ++++++. （*）∵∠C =60°，∴a 2+b 2－c 2=2ab cos C =ab . ∴a 2+b 2=ab +c 2. 代入（*）式得222cbc ac ab bc ac b a ++++++=1. 答案：1题型三、取值范围题目12.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，依次成等比数列，求y =BB Bcos sin 2sin 1++的取值范围.解：∵b2=ac ，∴cos B =ac b c a 2222-+=ac ac c a 222-+=21（c a +a c ）－21≥21. ∴0＜B ≤3π，y =BB B cos sin 2sin 1++=B B B B cos sin cos sin 2++）（=sin B +cos B =2sin （B +4π）.∵4π＜B +4π≤12π7， ∴22＜sin （B +4π）≤1. 故1＜y ≤2.13.已知△ABC 中，22（sin 2A －sin 2C ）=（a －b ）sin B ，外接圆半径为2. （1）求∠C ； （2）求△ABC 面积的最大值.解：（1）由22（sin 2A －sin 2C ）=（a －b ）·sin B 得22（224R a －224R c ）=（a －b ）Rb2. 又∵R =2，∴a 2－c 2=ab －b 2.∴a 2+b 2－c2=ab . ∴cos C =ab c b a 2222-+=21.又∵0°＜C＜180°，∴C =60°. （2）S =21ab sin C =21×23ab =23sin A sin B =23sin A sin （120°－A ）=23sin A（sin120°cos A －cos120°sin A ）=3sin A cos A +3sin 2A =23sin2A －23sin2A cos2A +23=3sin （2A －30°）+23. ∴当2A =120°，即A =60°时，S max =233. 14.在锐角△ABC 中，边长a =1，b =2，则边长c 的取值范围是_______.解析：若c 是最大边，则cos C ＞0.∴abc b a 2222-+＞0，∴c ＜5.又c ＞b －a =1， ∴1＜c ＜5.●思悟小结1.在△ABC 中，∵A +B +C =π，∴sin2B A +=cos 2C ，cos 2B A +=sin 2C2.∠A 、∠B 、∠C 成等差数列的充分必要条件是∠B =60°.3.在非直角三角形中，tan A +tan B +tan C =tan A ·tan B ·tan C .。