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第二章：化学键与晶体形成在固体物理发展的早期阶段，人们从化学的角度来研究固体，所以化很大的精力去计算各种固体的结合能(binding energy)，并依此对固体进行粗略的分类。
后来在原子物理和量子力学发展以后，人们依据电子在实空间的分布来对固体进行分类，也就是化学键或者是晶体的键合(crystal binding)的理论。
最精确的固体分类是在能带理论发展以后才实现的。
原子物理研究了单个原子中的电子能级.首先,考虑一个电子,单个电子是以一定的几率在原子核周围的空间中分布,几率分布的密度()()2r r ψ=ρ(()r ψ是单个电子的波函数). 根据量子力学,三维空间中单个电子的波函数),()()( φθ=ψlm n Y r R r 是能量E,轨道角动量2L和分量z L 三个算符的共同本征函数,其量子数分别为n, l, m(221n E n -=,n=n ’+l+1),一组量子数确定电子的一个轨道.在考虑一个原子中的多个电子的时候,忽略了电子之间很强的库仑排斥作用(很奇怪和大胆的近似,但误差不大),认为多个电子根据泡利不相容原理(Pauli ’s exclusion principle)以及洪特规则(Hund ’s rule)依次排入单个电子的轨道.这就分别形成了（1s,2s,2p,3s,3p,3d,...）等电子壳层和亚壳层.在原子结合成为固体的过程中，内部满壳层的电子(core electrons)基本保持稳定，价电子(valence electrons)在实空间会随着原子之间的相互作用重新分布。
按化学家的语言说，就是在原子之间形成了化学键(Chemical bond)。
不同的固体拥有不同的化学键。
晶体：原子、离子或分子呈空间周期性排列的固体，以区别于内部不具有周期性的非晶体。
原子间引力：一般来说，晶体比自由原子的空间混乱集合稳定，这意味着原子之间存在等效的相互吸引力(本质是库仑相互作用加上量子效应)，从而构成晶体。
3.4 倒易点阵与布里渊区(Reciprocal Lattice and Brillouin Zone) 在晶格振动理论中原子的振动以机械波的形式在晶体中传播，在能带理论中电子的几率分布用波函数的形式描述,是在整个晶体中分布的几率波。
上述两种波都受制于晶格的周期性。
倒易空间就是定义在晶格上的波()r ψ的波矢k 的空间.从数学上讲,倒易点阵和Bravais 点阵互相是对应的傅里叶空间。
倒易点阵基矢(Reciprocal Basis)与晶格基矢正交归一： a a i j ij *⋅=2πδ。
倒易点阵基矢：()()()()a a a a a a a a a a a a ccc c 123231123312222***,=⨯=⨯=⋅⨯=⨯πππΩΩΩΩ即原胞体积。
倒易格矢量：*3*2*1a l a k a h G hkl ++=，其中h, k, l 为任意整数.构成倒易点阵。
Bravais 点阵的倒易点阵也是Bravais 点阵，在绝大多数情况傅里叶变换并不改变点阵的晶格结构.普遍而言倒易点阵属于点阵同一晶系.(1) 面心立方与体心立方互为正、倒易点阵。
例子：面心---体心互换。
)ˆˆˆ(2),ˆˆˆ(2),ˆˆˆ(2321z y x a a z y x a a z y x a a -+=+-=++-= (2) 体心四方变成面心四方,也就是回到体心四方.)ˆˆˆ(21),ˆˆˆ(21),ˆˆˆ(21321z c y a x a a z c y a x a a z c y a x a a -+=+-=++-= (3) 底心正交还是变成体心正交.z c a y a x a a y b x a a ˆ),ˆˆ(21),ˆˆ(21321=-=+= 倒易点阵在晶体学中的应用：晶面的定量描述。
倒格矢G ha ka la hkl =++123***垂直于()hkl 晶面。
面间距d G hkl hkl =2π/。
第三章：晶体结构(Crystal Structures)3.1 晶格的几何描述(Geometrical description of crystals) （略）严格地讲，由于表面、原子振动、杂质(最小浓度为10-12cm-3)等的存在,没有完美的晶体.“完美”晶体的讨论基于表面、振动、杂质等缺陷对要讨论的晶体性质的影响可忽略不计。
晶体的非完美性本身大多是很有意义的课题：例如原子振动之于电阻、杂质之于半导体等.晶格(Crystal lattice)：用位于原子平衡位置的几何点替代每一个原子，结果得到一个与晶体几何特征相同、但无任何物理实质的几何图形（区分不同原子）.处于原子平衡位置的几何点被称为格点(Lattice site).基矢(Basis)：在Bravais点阵中,人为选取的与晶格维数同样多的一组矢量,使得晶格中任意两个格点间的位移矢量(即格矢量,position vectors)可以表达为该组矢量的整数线性组合.基矢的选取不唯一。
在三维布拉伐晶格中, 格矢量R na mb lc=++，其中a b c,,为一组基矢。
二维布拉伐晶格中格矢量R na mb=+，其中a b,为一组基矢。
原胞(Primitive unit cell)：产生完全平移覆盖的晶格最小单元。
不唯一，以方便为准。
同一晶格中的各种原胞选择之间体积大小相同.Bravais点阵的原胞只含一个原子,非Bravais点阵的原胞含多个原子。
Wigner-Seitz原胞由Bravais点阵中以一个格点为中心的最短和次短的格矢量的中垂面围合而成。
原胞与基矢的围合不一定一样(变形虫可以满铺二维空间).例子：三角晶格，计算面积。
单胞(Conventional unit cell)：为更好显示晶格的旋转和镜像反射对称性而选的一倍或几倍于原胞的晶格单位. 注意单胞的定义与非Bravais点阵无关.晶格常数a通常指单胞的边长。
例子：三角晶格。
晶向(Direction)：晶向的概念是以格点组成互相平行的直线，再构成晶体。
固体力学1.课程概述22.张量分析基础3.运动与变形4.应力与平衡55.固体材料的本构关系6.弹性力学的基本理论7.弹塑性力学问题88.固体力学专题7.弹塑性力学问题7.1 引言7.2 经典弹塑性本构关系727.3 Mises流动理论（J2流动理论）7.4 Mises形变理论（J2形变理论）7.5 Tresca流动理论（混合硬化）75Tresca7.6 塑性力学基本假设7.7 弹塑性力学问题的求解方法简介7.8 弹塑性力学问题的简单实例782Mises形变理论(deformation theory of plasticity) Mises流动理论属于增量型理论，它所建立的是应力增Mi流动理论属于增量型理论它所建立的是应力增量（应力率）与变形增量（变形率）之间的关系。
本节的Mises形变理论则属于全量理论，它所建立的是直Mi形变理论则属于全量理论它所建立的是直接应力与变形本身之间的关系。
限于各向同性硬化情况讨论讨论。
关于比例加载的考虑…Hencky(1924)，不考虑弹性变形与强化；Nadai(1938)不考虑弹性变形但考虑强化Nadai(1938),不考虑弹性变形但考虑强化；Ilyushin(1943),考虑弹性变形与强化。
222 Mises形变理论屈服条件与加载准则条件与加载准则以单向拉伸的为例：2 Mises 形变理论形变论Mises 形变理论若材料处于卸载状态，它一定是若材料处于卸载状态，它定是由Mises 等效应力σeq 为历史上最大值的应力状态卸载而得到的。
所以相应的弹性本构关系为：(σ*，ε*) —Mises 等效应力σeq 为历史上最大值时所对应的():−=−ε*εT σ*σq 应力张量与应变张量（出发点）。
)—(σ，ε) 则当前的应力张量与应变张量。
2 Mises 形变理论Mi Mises 形变理论若材料处于加载状态：e pε=ε+εe ?p ε=ε=T :σ问题的关键是如何得到εPMises 若材料处于加载状态则形变理论假定：（1）若材料处于加载状态，则应力σ与应变ε之间存在函数关系；（2）塑性应变εP ′平行即′的方向与应力偏量σ′平行，即εP ⁄⁄σ′。
固体力学1.课程概述2.张量分析基础3.运动与变形4.应力与平衡5.固体材料的本构关系弹性力学的基本6.弹性力学的基本理论7.弹塑性力学问题88.固体力学专题6.弹性力学的基本理论6.1 线性弹性理论的基本方程6.2 线性弹性理论的基本原理线性弹性的基本解法6.3 线性弹性理论的基本解法6.4 线性弹性理论位移方程的一般解6.5 线性弹性理论的若干经典解析解线性弹性的变分原及应用6.6 线性弹性理论的变分原理及应用最小势能原理强制边界条件、欧拉方程和自然边界条件的概念。
强制边界条件欧拉方程和自然边界条件的概念对于势能泛函的自变函数只需具有的一阶偏导数且平方可积，还要满足给定位移边界上的边界条件即可。
如果要能导出相应的欧拉方程，则还需进一步要求存在连续的二阶偏导数，即为C2 类函数。
弱解与强解的概念。
变分原理给弹性力学问题的求解带来了一种全新的求解策略：代替找为挑。
解策略：代替“找”为“挑”。
虚力原理最小余能原理()回顾虚位移原理的建立：何能场满足何关系和位移边界条件δ场函数分家：几何场＋静力场,iiju ε()ijσ几何可能场：满足几何关系和位移边界条件的位移、应变场()i ij u δδε静力可能场：满足平衡方程和力边界条件的应力场ij δσ引入虚位移的目的考察平衡的真实性引入虚位移的目的：考察平衡的真实性…有针对的、有分寸的、含蓄的虚…最小余能原理虚力原理引入虚力的目的：考察位移和应变的的真实性…有针对的、有分寸的、含蓄的虚…虚力：是虚设的、在待求状态平衡力系邻近的、平衡条件许可的、任意的、微小的改变。
虚力原理：虚力在真实位移上所作的功，即虚余功必等虚力原理虚力在真实位移上所作的功即虚余功于零。
若虚力在任意一组位移上所作的虚余功为零，则这组位移在几何上是协调的。
这组位移在几何上是协调的广义变分原理在经典变分原理中要求自变函数满足强制方程和强制边界条件，如：最小势能原理中位移必须是变形可能的，最小余能原理中应力必须是静力可能的最小余能原理中应力必须是静力可能的。
固体力学1.课程概述2.张量分析基础3.运动与变形4.应力与平衡5.固体材料的本构关系弹性力学的基本6.弹性力学的基本理论7.弹塑性力学问题88.固体力学专题6.弹性力学的基本理论6.1 线性弹性理论的基本方程6.2 线性弹性理论的基本原理线性弹性论的基本原6.3 线性弹性理论的基本解法6.4 线性弹性理论位移方程的一般解6.5 线性弹性理论的若干经典解析解线性弹性论的若经典解析解6.6 线性弹性理论的变分原理及应用定理对于个无旋的矢量场即满足 标量势与矢量势定理：对于一个无旋的矢量场A ，即满足则该矢量场可以表示为一个标量场的梯度，即∇×=A 0A =∇φ∇—φ称为该矢量场A 的标量势。
对于一个无散的矢量场即满足∇⋅=A 0对于个无散的矢量场A ，即满足则该矢量场可以表示为一个矢量场的旋度，即A =∇×ψ—ψ称为该矢量场A 的矢量势。
将位移场表示为将位移场表示为：φ=∇+∇×u ψ无限弹性体内一点受集中力作用的Kelvin解Kelvin问题：K l i问题设集中力P 沿OZ方向作用在坐标原点O。
边界条件：在无穷远处所有应力分量均趋于零。
z )2r ν⎤)53rz R ⎥+⎥⎦（2）建立三维问题的边界积分方程。
半无限弹性体边界上一点作用切向力的Cerruti解Cerruti问题：假设切向力P作用在半无限体边界上的坐标原点，并且沿着Ox轴的方向。
自由面边界条件….轴的方向自由面边界条件常数可以由自由表面处的边界条件，以及在距表面深方向的合力与作用相平衡的条件来确定。
定出的常数为定出的常数为⎤⎞⎟⎥⎟⎥⎟⎟⎠⎥⎦半无限弹性体边界上一点作用垂直力的Boussinesq解Boussinesq问题：设集中力P 沿OZ方向作用在坐标原点O。
自由面边界条件….可以根据自由面上的条件和水平面力和作用的集中力平衡的条件来确定截面上的垂直面力和作用的集中力平衡的条件来确定。
)νP z R −−⎡⎤2πR R R z +⎣⎢⎦⎥220z θσ==解在土木工程中的应用….以上介绍的这些一般解，都是上个世纪的研究成果，利用这些一般解可以得到了一系列典型弹性果利用这些般解可以得到了系列典型弹性力学问题的解答。
清华大学固体物理：第六章晶格动力学6.1固体物理性质的变化依赖于他们的晶格动力学行为：红外、拉曼和中子散射谱；比热，热膨胀和热导；和电声子相互作用相关的现象如金属电阻，超导电性和光谱的温度依赖关系是其中的一部分。
事实上，借助于声子对这些问题的了解最令人信服地说明了目前固体的量子力学图像是正确的。
晶格动力学的基础理论建立于30年代，玻恩和黄昆1954年的专题论文至今仍然是这个领域的参考教科书。
这些早期的系统而确切地陈述主要建立了动力学矩阵的一般性质，他们的对称和解析性质，没有考虑到和电子性质的联系，而实际上正是电子性质决定了他们。
直到1970年才系统地研究了这些联系。
一个系统电子的性质和晶格动力学之间的联系的重要性不仅在原理方面，主要在于通过使用这些关系，才有可能计算特殊系统的晶格动力学性质。
现在用ab initio 量子力学技术，只要输入材料化学成分的信息，理论凝聚态物理和计算材料科学就可以计算特殊材料的特殊性质。
在晶格动力学性质的特殊情况下，基于晶格振动的线性响应理论，大量的ab initio 计算在过去十年中通过发展密度泛函理论已经成为可能。
密度泛函微扰理论是在密度泛函理论的理论框架之内研究晶格振动线性响应。
感谢这些理论和算法的进步，现在已经可以在整个布里渊区的精细格子上精确计算出声子色散关系，直接可以和中子衍射数据相比。
由此系统的一些物理性质（如比热、熱膨胀系数、能带隙的温度依赖关系等等）可以计算。
1从固体电子自由度分离出振动的基本近似是Born-Oppenhermer (1927) 的绝热近似。
在这个近似中，系统的晶格动力学性质由以下薛定谔方程的本征值,R和本征函数决定。
,22ERRR,,, (6.1.1) 22MRIII这里RRER是第I个原子核的坐标，是相应原子核的质量，是所有原子核坐标的集合，是RMIII系统的系统的限位离子能量，常常称为Born-Oppenhermer能量表面。
固体力学1.课程概述2.张量分析基础3.运动与变形4.应力与平衡5.固体材料的本构关系弹性力学的基本6.弹性力学的基本理论7.弹塑性力学问题88.固体力学专题6.弹性力学的基本理论6.1 线性弹性理论的基本方程6.2 线性弹性理论的基本原理626.3 线性弹性理论的基本解法6.4 线性弹性理论位移方程的一般解66.5 线性弹性理论的若干经典解析解6.6 线性弹性理论的变分原理及应用6.1 线性弹性理论的基本方程另外除去给定位移或面力边界条件外还有另一 线弹性理论的边界条件另外，除去给定位移或面力边界条件外，还有另种线性边界条件—弹性约束条件。
用这个条件可以取代给定位移或给定面力的条件其形式如下取代给定位移或给定面力的条件。
其形式如下utiS∈∀x t K u c i ij i+=—为约束弹性常数；ij K j j i c —为与初始位移有关的参数。
另外对于包含两种不同材料交界面的弹性问题在 线弹性理论的边界条件另外，对于包含两种不同材料交界面的弹性问题，在交界面上还要提出连续条件，包括位移连续条件和面(1)(2)(1)(1)(1)(2)(2)(2)iii ijjji iju u, n ttn σσ===−=−力连续条件*x S∈∀数目问题……..对于动力问题，方程要作简单修改：在平衡方程中加入惯性项；并且加上适当的初始条件。
考虑同一弹性体的两组载荷情况 叠加原理考虑同弹性体的两组载荷情况f tu i i i ij ij ()()()()(),,,11111 ⇒εσf tu i iiijij()()()()(),,,22222 ⇒εσ若两组载荷同时作用⇒+=+=)()()()(2121ttt u σε,iii iii f f f u u u=+=+=+()()()()()()121212 εεεσσσijij i ,,i iiij ijijij ijij则叠加原理证明：以平衡方程为例。
σσij jiij jif f V()()()(),,112200+=+=∀∈ x σσj ijij ijin tn tS()()()()1122==∀∈x ()σσijijjii f f V ()()()()((((,12120+++=∀∈ x 另外几何方程物理方程位移边界条件等也同样()σσjijijiin ttS))))1212+=+∀∈ x 另外，几何方程、物理方程、位移边界条件等也同样可以得到证明，所以叠加原理成立叠加原理是线性问题所特有的性质对于任何非线性 叠加原理叠加原理是线性问题所特有的性质，对于任何非线性问题叠加原理就不再成立（非线性模态的趣话）。
