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清华大学计算固体力学第五次课件_本构模型解析

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5.本构模型-UMAT-JC模型

5.本构模型-UMAT-JC模型

UMAT 中的应力矩阵、应变矩阵以及矩阵 DDSDDE ， DDSDDT ， DRPLDE 等，都是直接分量存储在前，剪切分量存储在后。直接 分量有 NDI个，剪切分量有 NSHR 个。各分量之间的顺序根据单 元自由度的不同有一些差异，所以编写UMAT时要考虑到所使用单 元的类别。
DDSDDE NTENS , NTENS
STATEV NSTATEV
用于存储状态变量的矩阵，在增量步开始时将数值传递到UMAT中。 也可在子程序USDFLD或UEXPAN中先更新数据，然后在增量步开始 时将更新后的数据传递到UMAT中。在增量步结束时必须更新状态 变量矩阵中的数据。 和应力张量矩阵不同的是：对于有限应变问题，除了材料本 构行为引起的数据更新以外，状态变量矩阵 NSTATEV 中的任何矢 量或者张量都必须通过旋转来考虑材料的刚体运动。
300 250 200 150
应 变 率 (s-1)
100 80 60 40
0.03
应 变
0.02
100 20 0 0.000 50 0 0.045
0.01
0.005
0.010
0.015
0.020
0.025
0.030
0.035
0.040
0.00 0.0000
0.0001
0.0002
0.0003
0.0004
RETURN END
变量介绍 STRAN(NTENS)：应变矩阵 DSTRAN(NTENS)：应变增量矩阵 DTIME：增量步的时间增量 NDI：直接应力分量的个数 NSHR：剪切应力分量的个数 NTENS：总应力分量的个数 SSE,SPD,SCD 分别定义每一增量步的弹性应变能，塑性耗散和蠕变 耗散。它们对计算结果没有影响，仅仅作为能量输出。

5.本构模型-UMAT-JC模型概述

5.本构模型-UMAT-JC模型概述

ABAQUS用户子程序
使用方法 要在模型中包含用户子程序，可以利用 ABAQUS 执行 程序，在执行程序中应用user选项指明包含这些子程序的 FORTRAN源程序或者目标程序的名字。 ABAQUS 的输入文件除了可以通过 ABAQUS/CAE 的作业 模块提交运行外，还可以在 ABAQUS Command 窗口中输入 (MPa)
0 -50 -100 -150 -200 0.0000
0.0001
0.0002
0.0003
0.0004
0.0005
时 间 (s)
压杆上的应力输出（实际输出）
0.05
应变
有限元模拟SHPB实验
应 变
0.04
E22 单元671 单元680 单元690
0.03
0.02
0.01
0.00 0.0000
0.0002
0.0003
0.0004
0.0005
应 变 率 (s-1)
从试件各点的应力-应变分布上看， 图中应变、应力及应变率历史曲 线基本重合，同一横截面内各点 的变化历史基本一致
时
间 (s)
(b) 应 力 历 史
400
300
应 变 率 SR22 单元671 单元680 单元690
200
100
0
-100 0.0000
1-6
泊松比
塑性耗散比
7-12 塑性应变
A
B
n
13
C
M
弹性应变
等效塑性应变
UMAT 流程图
3 SHPB实验
分离式 Hopkinson 压杆（ Split Hopkinson Pressure Bar ， 简称 SHPB ）实验是从经典 Hopkinson 实验基础之上发展而来的一 种实验技术，用来测量材料的动态应力 - 应变行为。该实验技术 的理论基础是一维应力波理论，通过测量两根压杆上的应变来推 导试件上的应力-应变关系。

固体力学5-2_512909043

固体力学5-2_512909043

固体力学1.课程概述2.张量分析基础3.运动与变形4.应力与平衡5.固体材料的本构关系弹性力学的基本6.弹性力学的基本理论7.弹塑性力学问题88.固体力学专题5.固体材料的本构关系5.1 引言5.2 些经典的材料试验现象52一些经典的材料试验现象5.3 研究本构关系的公理化方法5.4 线弹性材料的本构关系5.5 大变形弹性本构关系5.6 粘弹性材料的本构关系应变能函数此时系统变成了可逆的热力学过程并且热力学第此时，系统变成了可逆的热力学过程，并且热力学第一定律和第二定律均简化为Ε::e ρ∗∗=σε 0L::eρ=σξ几种典型的各向异性线弹性材料的本构关系:=σE εij ijkl klE σε=1112131415161111a a a a a a σε⎡⎤⎧⎫⎧⎫将本构关系写成矩阵形式222324252633343536a a a a a a a a a a σεσε22223333⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪=⎢⎥⎨⎬⎨⎬444546232355563131a a a a σεσε⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪对称66a σε1212⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭⎣⎦由此出发，讨论几种典型的各向异性弹性材料的本构关系。

几种典型的各向异性线弹性材料的本构关系(1)具有一个材料对称面的各向异性材料例如单斜晶体结构的正长石。

设材料的对称面为平面，此时当轴反向时弹性系数矩阵的相应分量应保持不变，所以有21x x 3x 1112131415161112131415161111a a a a a a a a a a a a σεε−−⎡⎤⎧⎫⎧⎫⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎪11ε⎡⎤⎧⎫⎢⎥⎪⎪222324252622232333435364445462323a a a a a a a a a a a a a a a σσεσε22223333−⎢⎥⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪==⎢⎥⎨⎬⎨⎬−−425263334353644454623a a a a a a a a a εεε2233−⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎪⎪−−⎪⎪⎢⎥⎨⎬−−5556313166a a a 对称σεσε1212⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪−−⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭⎣⎦55563166a a a 对称εε12⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎪⎪−⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎩⎭⎣⎦几种典型的各向异性线弹性材料的本构关系(1)具有一个材料对称面的各向异性材料由此得到14151100022002a a ε⎡⎤⎧⎫⎧⎫⎢⎥⎪⎪⎪⎪24253435000200002200002202a a a a a a εεεσ2233⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎪⎪=⎢⎥⎨⎬⎨⎬00444523235455313164650022020002200a a a a εσε12⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪0⎩⎭⎩⎭⎣⎦142434640a a a a ====152535650a a a a ====几种典型的各向异性线弹性材料的本构关系(1)具有一个材料对称面的各向异性材料⎧111213161111222326000000a a a a a a a σεσε2222⎡⎤⎫⎧⎫⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪3336444523230a a a a 对称σεσε3333⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪=⎢⎥⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪553131660a a σεσε1212⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭⎣⎦所以对于具有一个材料对称面的情况，独立弹性常数为13个。

计算固体力学中的重要研究领域PPT课件

计算固体力学中的重要研究领域PPT课件
第2页/共9页
在这一研究趋势下，计算固体力学算法研究的若干重要问题可列举如下:
（a） 计算细观力学. 为深入研究材料的本构和破坏行为，提出了多种细观的离散模型，例如 分子动力学模拟、缺陷和裂纹的损伤演化模拟等。
（b） 解析法与数值法的结合. 采用数值法并不就是这种结合的产物。对于旋转体或多种对称的结构可用群论方法求解。这类 有效算法应当集成到通用有限元程序中。
第7页/共9页
Thank you
第8页/共9页
谢谢您的观看！
第9页/共9页
结构的主动控制是大型结构抗风、抗震的发展趋势。应当认真研究数据采集，参数识别，控制反 作用（actuate）的全套过程，用算法与程序系统贯通起来。
应用中不可避免地要处理不确定的因素，例如制造误差与环境因素等。随机振动在工程中有广泛 的应用，目前对于平衡或非平稳，多点同相位或异相位激励的快速计算方面都已取得突破性进展。应 当大力提倡这方面的应用研究。
第6页/共9页
⑤ 结构优化. 结构优化是应用中的重大课题。近年来已从结构尺寸优化发展到结构形状和拓 扑的优化。与优化相关联的反问题是许多应用课题中的基础，应大力予以研究。在优化与反问题 中，可应用序列线性规划与序列二次规划法。
结构优化分析反过来对于力学基础理论也作出了重要推动。在板的优化研究深入之际，已发 现传统的连续体并不是最优的，真实的优化解应当是由无限密肋组成的板结构形式。这个结构影 响深远，由此启发出微结构材料设计这一尖端领域。一般的结构优化问题中未知量是连续变化的， 而拓扑优化则是离散的，而且改变着区域的拓扑性质，所以拓扑优化的非线性性质更高出一个层 次; 至于设计方案、总体布局等问题，甚至都无法找到恰当的数学模型来进行表达，这一类非线 性只能用人工智能、专家系统的手段来处理。

清华大学计算固体力学全套课件

清华大学计算固体力学全套课件
清华大学计算固体力学
TSINGHUA UNIVERSITY
全套课件
计算固体力学
TSINGHUA UNIVERSITY
第1章 绪论
计算固体力学课程体系
TSINGHUA UNIVERSITY
全面介绍非线性有限元的前沿性内容，使学习 者能进入这一领域的前沿，应用非线性有限元方法 求解弹塑性材料、几何大变形和接触碰撞这些非线 性力学的主要问题，增强工程结构中非线性计算和 虚拟仿真的能力，提高非线性有限元的教学和科研 水平。
TSINGHUA UNIVERSITY
计算固体力学课程体系
教学内容：
1. 绪论：非线性有限元的基本概念，发展历史，工程应用， 标记方法，网格表述和偏微分方程的分类。（2） 2. 一维L有限元：TL和UL格式的控制方程。E有限元：E公式 的控制方程，弱形式与强形式。（4） 3. 连续介质力学：变形和运动，应力－应变的度量，守恒 方程，框架不变性。（4） 4. L网格：UL有限元离散，编制程序，旋转公式。（4） 5. 材料本构模型：一维弹性，非线性弹性，如次弹性和超 弹性。一维塑性，多轴塑性，超弹－塑性（橡胶和泡沫 模型），粘弹性（蠕变和松弛等），经验本构模型，如 J-C方程等。应变硬化和软化。（4） 6. 求解方法：应力更新算法，平衡解答和隐式时间积分 （N-R求解等），显示时间积分（中心差分等） ，波的 传播问题。（4） TSINGHUA UNIVERSITY
Engineering Science- is the systematic acquisition of knowledge for the purpose of applying it to the solution of problems effecting the needs and well-being of human kind. SBES- engineering science and science that employs the principles and methods of modeling and computer simulation to acquire and apply knowledge for the benefit of human kind.

5.本构模型-应力更新专题-UMAT和VUMAT

5.本构模型-应力更新专题-UMAT和VUMAT
0
t
2.几种客观率
Truesdell率：
SE S C :E
S F 1 Jσ F T
F Jσ F T F 1 Jσ F T F 1 Jσ F T S
1
前推
× FT = ( Js )- L × ( Js ) - ( Js ) × LT F×S
横观各向同性
y
C
x
sG
ˆ : ˆD s (RRRR) : C
如何处理各向异性材料？
2.几种客观率的关系
什么时候可以不区分几种客观率？
vs L s s LT s T s
Assume F ≈ R, ignoring the stretch component of F
Lagrangian矢量dX和Eulerian矢量dx定义的二阶张量
可以由后拉和前推运算给出E-L张量之间映射的统一描述。 例如，L矢量dX由F前推到当前构形给出E矢量dx
dx F dX * dX
Eulerian-Lagrangian 前推运算
1 E矢量dx由 F 后拉到参考构形给出L矢量dX
假设 Csˆ D 已知：
ˆ
σ
G
ˆ : ˆD s (RRRR) : C : D
C
sG
ˆ : ˆD s (RRRR) : C
如何处理各向异性材料？
2.几种客观率的关系
CSE : E S
ˆ ˆD s ˆ ˆ C :D σ
如何得到正确的结果？
PK2和共轴旋转应力
SE Ct T FFFF : :C
计算固体力学
应力更新专题
柳占立 庄茁 liuzhanli@

清华大学计算固体力学第五次课件_本构模型

清华大学计算固体力学第五次课件_本构模型

4 非线性弹性
对于有限应变有许多不同的应力和变形度量，同样的本构 关系可以写成几种不同的形式，总是可能从一种形式的本构关 系转换到另一种形式。 大应变弹性本构模型首先表述成 Kirchhoff材料的一种特殊 形式，由线弹性直接生成到大变形。满足路径无关、可逆和无 能量耗散。因此，路径无关的程度可以视为材料模型弹性的度 量。 次弹性材料是路径无关程度最弱的材料，遵从 Cauchy 弹性， 其应力是路径无关的，但是其能量不是路径无关的。 超弹性材料或者Green弹性，它是路径无关和完全可逆的， 应力由应变势能导出。
应力张量和应变张量均为对称张量（次对称性），即
Sij S ji , Eij E ji
再利用模量的主对称性使独立弹性常数的数目减少，由36个常数减少为
21个，为各向异性材料。
Cijkl Cklij C jikl Cijlk
4 非线性弹性
写成矩阵形式为（可以是上或下三角矩阵）
S11 C11 S 22 S 33 S 23 S13 S12 C12 C 22 C13 C 23 C33 Sym C14 C 24 C34 C 44 C15 C 25 C35 C 45 C55 C16 E11 C 26 E 22 C36 E33 C 46 2 E 23 C56 2 E13 C 66 2 E 12
计算固体力学
非线性有限元
第5章 本构模型
第5章 本构模型
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
引言 应力-应变曲线 一维弹性 非线性弹性（超弹性） 一维塑性 多轴塑性 超弹－塑性模型 粘弹性 应力更新算法 连续介质力学与本构模型

固体力学SMF05

固体力学SMF05

对于适定问题，即不仅要求保证解存在唯一，而且有较好的稳定性。当载荷或边界 条件给定值有微小摄动时，应能保证问题解的变化也是微小的。对于边界条件的提法就
1
4
线弹性理论基本问题和一般解
有严格的要求。即要求：
S ui U S ti = S
σij = λε kk δij + 2Gεij ε ij =
3
4
线弹性理论基本问题和一般解
离心力等），因此非齐次方程的特解比较容易求得，整个求解问题就主要归结为求解齐 次方程解的问题。 任何非线性问题，叠加原理就不再成立。因此，叠加原理是线性问题所特有的性质。 l 解的唯一性定理 因为物理上对弹性体施加载荷就会产生变形， 数学上已经证明对于线弹性问题的适 定提法解一定是存在的。本课程的重点不在数学弹性理论，因此对于解的存在性就不加 证明了。 对于解的唯一性，即 Ｋｉｒｃｈｈｏｆｆ 唯一性定理的证明可用反证法。 假如在一组载荷 f i , t i 作用下产生了两组变形状态： ui , εij , σ ij ; ui , εij , σ ij 。则 利用叠加原理可知： ui = ui 程，其中包括
1)
位移解法
对于弹性理论问题以位移作为基本未知量，在基本方程中如下消去应变和应力，可
以得到位移基本方程。通过求解位移基本方程首先求得位移，然后再按要求确定变形状 态其它变量的解法，称为弹性理论的位移解法。 由平衡方程出发
∇⋅ σ + f = 0
代入应力应变关系，得
∇ ⋅ [λ ( ε: I ) I + 2Gε ] + f = 0
《固体力学基础》
4
l
线弹性理论基本问题和一般解
前面三章分别讨论了运动与变形、应力与平衡，以及固体材料的本构关系，对于 线性弹性理论，它们分别归结为线性的几何方程、平衡方程，以及广义胡克定律。 本章把这些方程综合起来讨论线弹性理论的定解问题。

5.本构模型-UMAT-JC模型解析

5.本构模型-UMAT-JC模型解析

是一个NTENS维方阵，称为雅克比矩阵，即 σ / ε ，切线模量。 是表示增量步结束时第 J 个应变分量的改变引起的 第 I 个应力分量的变化。通常雅可比是一个对称矩阵。
UMAT 中的应力矩阵、应变矩阵以及矩阵 DDSDDE ， DDSDDT ， DRPLDE 等，都是直接分量存储在前，剪切分量存储在后。直接 分量有 NDI个，剪切分量有 NSHR 个。各分量之间的顺序根据单 元自由度的不同有一些差异，所以编写UMAT时要考虑到所使用单 元的类别。
DDSDDE NTENS , NTENS
A B n 1 C ln 1

*m 1 T 0
A, B, n, C, m 五个参数，需要通过实验来确定。A 为材料的静态屈 服应力，T* 为无量纲温度
T* T Tr Tm Tr
Tr 为室温， Tm 为材料熔点。 JC 模型在温度从室温到材料熔点温
度的范围内都模型
高应变率的变形经常伴有温升现象，这是因为材料变形过程 中塑性功转化为热量。对于大多数金属，90-100％的塑性变形将 耗散为热量。所以JC模型中温度的变化可以用如下的公式计算：
T
d c
ΔT 为温度的增量；α为塑性耗散比，表示塑性功转化为热量的 比例；C 为材料的比热；ρ为材料密度；上式是一个绝热过程， 即认为温度的升高完全起因于塑性耗散。 JC本构模型考虑率相关塑性，采用过应力模型；塑性变形是 关联的，即塑性流动沿着屈服面的法线方向，并采用 Mises 屈服 面，类似于J2流动理论。
计算固体力学
第5章 本构模型
-ABAQUS的UMAT -JC模型和SHPB实验
2018年10月12日
1 Johnson-Cook模型 2 ABAQUS的UMAT

清华大学土木工程系土力学第五章讲义_121302362

清华大学土木工程系土力学第五章讲义_121302362
i
第五章
土的抗剪强度
第六节
四、 峰值抗剪强度指标和残余抗剪强度指标 ...........................................41 五、 抗剪强度指标的选用 ...........................................................................43 土的动强度与砂土的振动液化 .......................................................................47 一、 冲击荷载作用下土的动强度 ...............................................................47 二、 周期荷载作用下土的强度 ...................................................................49 （一）动强度的测试方法 .......................................................................49 （二）破坏标准 .......................................................................................51 （三）动强度曲线 ...................................................................................52 （四）土的动强度指标 ...........................................................................53 三、 不规则荷载作用下土的强度 ...............................................................54 （－）不规则荷载的等价循环周数 .......................................................55 （二）地震的等价震次 ...........................................................................55 四、 砂土的振动液化 ...................................................................................56 （一）液化的基本概念 ...........................................................................56 （二）振动孔隙水压力的发展 ...............................................................57 （三）影响土液化的主要因素 ...............................................................58 （四）土单元体的液化可能性判别 .......................................................59

固体力学概论PPT学习教案

固体力学概论PPT学习教案
方向以及新的学科分类）。
第10页/共94页
9. 专有名词的翻译
1. 材料力学：strength of materials, mechanics of materials 2. 弹性力学： theory of elasticity, elasticity, (elastic mechanics 错误); 3. 塑性力学：theory of plasticity, plasticity, (plastic mechanics 错误); 4. 介观力学：mesomechanics； 细观力学，可是，在专著
外力
内力
内力
第7页/共94页
6. 任务
固体力学的发展主要动力是社会实
践：
任务是研究工程结构在服役条件下的安全性、可靠 性; 就是强度问题(应力值不超过许用值) 、刚度问 题(变形不太大)、稳定性问题、振动问题. 工程结构 包括: 飞机、火箭、船舶、车辆、桥梁、房屋、水 坝、反应堆、坦克等等.
第8页/共94页
《 》 Micromechanics of defects in solids , T Mura，
“micromechanics” 可翻译为细观力学,不翻成微观力学。 5. 宏（微）观力学；macromechanics, micromechanics
这里，英语书籍里“micromechanics”包含介观尺度问题。 6. 经典力学：Classic mechanics, （牛顿力学） 7 理论力学：theoretical mechanics.
“Theory of Elastic Stability” 、“Theory of Plates and Shells”与符拉索夫 (薄壁杆件).
中国东汉(127~200)郑玄提出线性弹性关系; 宋代李诫《营造法式》；隋代

清华大学版土力学课件ppt

清华大学版土力学课件ppt
1）土的密度、重度 2）土粒的比重 3）土的饱和度 4）土的含水量 5）土的孔隙比和空隙率
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神, 充分发 挥中小 学图书 室育人 功能
土的结构与构造
（1）单粒结构；（2）蜂窝结构；（3）絮 状结构
量为各层沉降量之和：
SSi
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神, 充分发 挥中小 学图书 室育人 功能
计算步骤
(a)计算原地基中自重应力分布 (b)基底附加压力p0 (c)确定地基中附加应力分布
地面
(d)确定计算深度zn
自重应力
(e)地基分层Hi
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土的工程特性
（1）压缩性高； （2）强度低； （3） 透水性大
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孔压系数
土体在不排水和不排气条件下，由外荷载 引起的孔隙压力增量与应力增最的比值。
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固结过程孔压系数的变化
外荷载 附加应力σz
土骨架：有效应力
孔隙水：孔隙水压力
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土的抗剪强度

固体物理第五章 课件

固体物理第五章 课件

3、布里渊区的特点 布里渊区的特点 （1）空间点阵相同 ） 倒格子点阵相同 布里渊区形状相同 （2）在同一倒格子点阵中，各布里渊区 ）在同一倒格子点阵中， 的形状不同， 体积”相同， 的形状不同，但“体积”相同，都 等 于倒格子元胞的体积。 于倒格子元胞的体积。
正格子） 一、二维正方格子(正格子） 正格子
禁带宽度为
Eg = 2 Vn
晶体能带结构的特点
（1）在周期性势场中，电子有带状结 构的能 ）在周期性势场中， 允带与禁带交替排列； 带，允带与禁带交替排列； (2) E 是 K 的偶函数 E(K) = E(-K)； ； （3）能量越高，允带越宽； ）能量越高，允带越宽； （4）禁带宽度为 Eg = 2 Vn ； ） （5）能量是波矢的周期函数 ）
i
ik Rn
a i k xi +k y j +kz k i k 2 i k xi +k y j +kz k
=e
a i (kx kz ) 2 i a (kx kz ) 2
ik Rn
) a (i k ) 2
=e
①②③④
∑ e
ik Rn
=e
i
a (kx +kz ) 2
+e
i
a (kx +kz ) 2
例：一维周期势场为 1 mW 2 [b 2 ( x na ) 2 ] 当na b ≤ x ≤ na + b V ( x) = 2 0 当( n 1)a b ≤ x ≤ na b 如图， 求第一， 如图，其中 a = 4b, 求第一，第二禁带宽度 。
V ( x)
o b
a
2a
3a
x
En = 2 Vn 1 Vn = ∫ V ( x) e a a/2 Eg1 = 2 V 1 1 mW2 2 2 i 2π n x =2 [b x ]e a dx ∫ 4b b 2
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对于任意应变，不管如能量耗散，在弹性材料中， 储存在物体中的能量全部消耗在变形中，卸载后材料恢复。
w( x ) x d x
0
x
对于一维弹性材料，可逆、路径无关、无能量耗散是等价的特征。 对于二维和三维弹性，以及超弹性材料，也类似。
2 应力-应变曲线
材料应力－应变行为的许多基本特征可以从一维应力状态 (单轴 应力或者剪切)的一组应力-应变曲线中获得，多轴状态的本构方程常 常基于在试验中观察到的一维行为而简单生成。 定义伸长
x L L0
名义应力（工程应力）给出为
px
工程应变定义为
T A0
L L0 x x1 L0 L0
3 一维弹性
1 2 2 应变能一般是应变的凸函数，例如， (w( 1 x ) w ( x ))( x x ) 0
当
2 1 x x
公式的等号成立。
凸应变能函数的一个例子如图所示。在这种情况下，函数 是单调递增的，如果w 是非凸函数，则 s 先增后减，材料应变 软化，这是非稳定的材料反应， ds d x 0 如右下图。
载荷－位移曲线
2 应力-应变曲线
以每单位当前长度应变的增量随长度 的变化得到另一种应变度量 对数应变（也称为真实应变） L dL ex ln( L L0 ) ln x L L
0
工程应力－应变曲线
对材料时间求导，表达式为 一维情况，上式为变形率
x x Dx e x
率无关和率相关材料的一维反应
2 应力-应变曲线
对于弹性材料，应力－应变的 卸载曲线简单地沿加载曲线返回， 直到完全卸载，材料返回到了它的 初始未伸长状态。然而，对于弹－ 塑性材料，卸载曲线区别于加载曲 线，卸载曲线的斜率是典型的应力 －应变弹性（初始）段的斜率，卸 载后产生永久应变。其它材料的行 为介于这两种极端之间。由于在加 载过程中微裂纹的形成材料已经损 伤，脆性材料的卸载行为，当荷载 移去后微裂纹闭合，弹性应变得到 恢复。卸载曲线的初始斜率给出形 成微裂纹损伤程度的信息。
(a)凸应变能函数 (b)应力应变曲线
(a)非凸应变能函数(b)相应的应力应变曲线
3 一维弹性
大应变
从弹性推广到大应变，只要选择应变度量和定义应力（功共 轭）的弹性势能。势能的存在是默认了可逆、路径无关和无能量 耗散。如
Sx w E x
在弹性应力-应变关系中，从应变的势函数可以获得应力为 超弹性。如一维大应变问题，以Green应变的二次函数表示
x E ln x
x
d x 1 E ln x d x d x
这是与路径无关的超弹性关系。对于多轴问题，一般次弹性 关系不能转换到超弹性，它仅在一维情况下是严格路径无关的。 然而，如果是弹性小应变，其行为足以接近路径无关的弹性行为。 因为次弹性的简单性，公式(5.3.11)的多轴一般形式常常应用在 有限元软件中，以模拟大应变弹塑性的弹性反应。
当前面积的表达式给出为
A J A0 L0 L J A0 x
真实应力－应变曲线
Cauchy（或者真实）应力表示为
x
T T x x J 1 p x A JA0
2 应力-应变曲线
考虑一种不可压缩材料(J＝1)，名义应力和工程应变的 关系为
px s0 ( x )
x
L L0 x1 L0 L0
真实应力(对于不可压缩材料)
x x s0 ( x ) s(x )
s(x ) x s0 (x 1)
说明了对于本构行为应用不同泛函表达式的区别，对于同样材 料取决于采用何种应力和变形的度量。 应力－应变曲线的显著特征之一是非线性的度。材料线弹性行 为的范围小于应变的百分之几，就可以采用小应变理论描述。
2 应力-应变曲线
应力－应变反应与变形率无关的材料称为率无关；否则， 称为率相关。名义应变率定义为
L x 0
因为
L 和
x x
L L L 0 0 x
即名义应变率等于伸长率，例如 可以看出，对于 率无关材料的应力－ 应变曲线是应变率独 立的，而对于率相关 材料的应力－应变曲 线，当应变率提高时 是上升的；而当温度 升高时是下降的。
w 1 SE 2 E Ex 2
S x E SE Ex
对于小应变问题，即为胡克定律。
3 一维弹性
大应变
一种材料的Cauchy应力率与变形率相关，称为次弹性。这 种关系一般是非线性的，给出为
x f ( x , Dx )
x EDx E x x
一个特殊的线性次弹性关系给出为 对上式的关系积分，得到
计算固体力学
非线性有限元
第5章 本构模型
第5章 本构模型
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引言 应力-应变曲线 一维弹性 非线性弹性（超弹性） 一维塑性 多轴塑性 超弹－塑性模型 粘弹性 应力更新算法 连续介质力学与本构模型
1 引言
为了进行分析，选择材料模型是很重要，往往又不是很明确， 仅有的信息可能是一般性的知识和经验，即可能是材料行为的几条 应力－应变曲线。 在有限元软件库中选择合适的本构模型，如果没有合适的本构 模型，要开发用户材料子程序。重要的是理解本构模型的关键特征， 创建模型的假设，材料、荷载和变形域、以及程序中的数值问题是 否适合模型。 本构方程率形式的积分算法称为应力更新算法（也称为本构更新 算法），包括： 径向返回算法的一类图形返回算法， 算法模量与基本应力更新方案一致的概念， 大变形问题的增量客观应力更新方案， 基于弹性响应的应力更新方案，自动满足客观性的超弹性势能。
(a)弹性,(b)弹-塑性,(c)弹性含损伤
3 一维弹性
弹性材料的基本性能是应力仅依赖于应变的当前水平。这意 味着加载和卸载的应力-应变曲线是一致的，当卸载结束时材料恢 复到初始状态。称这种应变是可逆的。而且，弹性材料是率无关 的(与应变率无关)。弹性材料的应力和应变是一一对应的。
小应变
x s( x )