C.[1，＋∞)
D.[0，＋∞)
【解析】当x≤1时，f(x)≤2化为21－x≤2，解得 0≤x≤1；
当x>1时，f(x)＝1－log2x<1<2恒成立， 故x的取值范围是[0，＋∞)，故选D.
3.不等式2xx－＋11≤0的解集为( A )
A.－12，1 B.－12，1 C.－∞，－12∪[1，＋∞) D.－∞，－12∪[1，＋∞)
一、一元二次不等式的解法及应用
例1(1)不等式－2x2＋x＋3<0的解集是( D )
A.{x|x<－1}
3 B .xx>2
C.x－1<x<32
D.xx<－1或x>32
(2)已知一元二次不等式f(x)<0的解集为
xx<－1或x>12，则f(10x)>0的解集为 {x|x<－lg 2} .
例2
4.已知函数y＝f(x)的图象如图， 则不等式f(3x－x2)<0的解集为
( A) A.{x|1<x<2} B.{x|0<x<3} C.{x|x<1或x>2} D.{x|x<0或x>3}
【解析】由图象可知，当x>2时，f(x)<0，所以 由f(3x－x2)<0，得3x－x2>2，解得1<x<2，即解集为 {x|1<x<2}.
【解析】∵ x＞1⇒log 1 (x＋2)＜0，log 1 (x＋2)＜
2
2
0⇒x＋2＞1⇒x＞－1，∴ x＞1是log1(x＋2)＜0的充分 2
而不必要条件.
2.(2015江苏)不等式2x2－x＜4的解集为 {x|－1＜x＜2}(或(－1，2)) .
【解析】∵ 2x2－x＜4，∴ 2x2－x＜22， ∴ x2－x＜2，即x2－x－2＜0，∴ －1＜x＜2.
4.定义区间长度m为这样的一个量：m的大小为 区间右端点的值减去左端点的值.若关于x的不等式x2 －x－6a<0有解，且解集的区间长度不超过5个单位长 度，则实数a的取值范围是( A )
A.－214，1 B.－∞，－214∪[1，＋∞) C.(0，1] D.[－24，1)
ex1x 1,
5.设函数f(x)＝
二、简单指数、对数不等式的解法
时，例ax＞3 1，(1则)已f知1－f(1xx)＞＝1lo的ga解x(集a＞是0，a1≠，11)－，1 a且 当. x＜0
(2)函数f(x)＝
x3－8（x≥0） ex－9（x<0）
，g(x)＝3x－1，则
不等式f[g(x)]≥0的解集为( A )
A.[1，＋∞)
B.[ln 3，＋∞)
当0＜x≤1时，1－x2≥0，2x＞0，
f(1－x2)＞f(2x)⇔(1－x2)2＋1＞(2x)2＋1， 即1－x2＞2x，即(x＋1)2＜2，∴0＜x＜ 2－1， 当1－x2＜0时，无解. 综上知－1＜x＜ 2－1.
1.(2015重庆)“x＞1”是“log1(x＋2)＜0”的 2
( B) A.充要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
C.[1，ln 3]
D.[log32，＋∞)
〔备选题〕
例5
已知函数f(x)＝
x2＋1 （x≥0）
1
（x＜0）
，则满足不等式f(1－x2)＞f(2x)的
x的取值范围是 (－1， 2 －1) .
【解析】当x＝－1时，无解. 当－1＜x≤0时，1－x2＞0；
f(1－x2)＞f(2x)⇔(1－x2)2＋1＞1恒成立.
Байду номын сангаас
1>0的解集是实数集R”的充分而不必要条件.
3.已知关于x的不等式
x＋1 x＋a
<2的解集为P.若1∉P，
则实数a的取值范围为( B )
A.(－∞，0]∪[1，＋∞) B.[－1，0]
C.(－∞，－1)∪(0，＋∞) D.(－1，0]
【解析】1∉P有两种情形，一种是11＋＋1a≥2，另一 种是x＝1使分母为0，即1＋a＝0，解得－1≤a≤0.
第38讲 简单不等式的解法
【基础检测】
1.不等式－x2－x＋2≥0的解集是 {x|－2≤x≤1}
.
【解析】原不等式化为x2＋x－2≤0，故所求解集为 {x|－2≤x≤1}.
2.设函数f(x)＝
21－x，x≤1 1－log2x，x>1
，则满足f(x)≤2的
x的取值范围是( D )
A.[－1，2]
B.[0，2]
1.设a>0，不等式－c<ax＋b<c的解集是{x|－
2<x<1}，则a∶b∶c＝( B )
A.1∶2∶3
B.2∶1∶3
C.3∶1∶2
D.3∶2∶1
【解析】∵－c<ax＋b<c，又a>0， ∴－b＋a c<x<c－a b. ∵不等式的解集为{x|－2<x<1}， ∴c－－abb＋a＝c＝1，－2，∴cb＝＝32a2a，， ∴a∶b∶c＝a∶a2∶32a＝2∶1∶3.
2.“0<a<1”是“ax2＋2ax＋1>0的解集是实数集 R”的( A )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】当a＝0时，1>0，显然成立；当a≠0
时，
a>0，
Δ＝4a2－4a<0.
故ax2＋2ax＋1>0的解集是实数
集R等价于0≤a<1.因此，“0<a<1”是“ax2＋2ax＋
(1)若一元二次不等式2kx2＋kx－
3 8
<0对一切
实数x都成立，则k的取值范围为( D )
A.(－3，0]
B.[－3，0)
C.[－3，0]
D.(－3，0)
(2)设a为常数，∀x∈R，ax2＋ax＋1＞0，则a的
取值范围是( B ) A.(0，4) C.(0，＋∞)
B.[0，4) D.(－∞，4)
1 x3 x
1,
则使得f(x)≤2成立的x的
取值范围是 (－∞，8] .
【解析】当x<1时，x－1<0，ex－1<e0＝1≤2，∴ 当x<1时满足f(x)≤2.
1 当x≥1时，x3≤2，x≤23＝8，∴1≤x≤8. 综上可知x∈(－∞，8].
6.已知y＝f(x)是偶函数，当x>0时，f(x)＝(x－ 1)2；若当x∈ －2，－12 时，n≤f(x)≤m恒成立，则m －n的最小值为__1__.
【解析】当x<0时，－x>0，f(x)＝f(－x)＝(x＋1)2， ∵x∈－2，－12， ∴f(x)min＝f(－1)＝0， f(x)max＝f(－2)＝1， ∴m－n的最小值为f(x)max－f(x)min＝1.
7.不等式|x(x－2)|>x(x－2)的解集是 {x|0<x<2} .
【解析】不等式|x(x－2)|>x(x－2)的解集即x(x－ 2)<0的解集，解得0<x<2.
