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二元一次不等式解法 ppt课件

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【数学课件】二元一次不等式

【数学课件】二元一次不等式
若C≠0，则直线定界,原点定域
特殊点(0,0)
画出下列不等式表示的平面区 域：
(1) x-y+1<0 ;
(2) x+ y>0；
(3) 2x+5y-10≥0 ;
（1）x-y+1<0
y x-y+1=0
1
-1
o
取(0,0) 0-0+1>0
x
（2）x+ y>0
y
1
o
直线过（0，0）
取（0，1）
0+1>0
Y
x+y-1>0
x+y-1<10XO Nhomakorabea1
l
点集{(x,y)|x+y-1>0}表示直线x+y-1=0右上方平面区域 点集{(x,y)|x+y-1<0}表示直线x+y-1=0左下方平面区域
（1）Ax+By+C>0在平面直角坐标系中 表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域。
（2）在确定区域时，在直线的某一侧取一个特殊点
－１ Ｄ
l 右上方的点(x,y), x+y-1>0成立
l 左下方的点(x,y), x+y-1<成立
证明:如图,设M(x,y)为 l
右上方区域内任一点
P YM
过M作MP平行于x轴交 l
于点P (x0 , y0 )
则 x x0 , y y0
x y x0 y0
1
X
O1
l
x+y-1=0
问3 在平面直角坐标系下作出A(1,1),B(1,2),

二元一次不等式

二元一次不等式

值为14万元.
3
线性规划的相关概念
例子中，利润函数z=2x+3y是关于x，y的目标函 数，其中x，y满足的平面区域的条件常称为约束条件， 由于都是由二元一次不等式组构成的,所以又称为线 性约束条件；如：
x 2y 8 4x 16 4 y 12 x 0, y 0
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小 值的问题，统称为线性规划问题．
值，使式中x、y满足下列条件：
2x 3y 24
xy

y 6

7
x 0
y 0
8y
D(0,6)
C(3,6) y=6
x-y=7
B(9,2)
O
A(7,0) 12 x
2x+3y=24
解：平面区域如图所示，可行解区域为多边形 OABCD，其中A(7,0),B(9,2),C(3,6),D(0,6).
二元一次不等式表示的平面区域
例1 画出不等式x+4y<4表示的平面区域.
解：先作出边界直线x+4y=4, 并画成虚线.
取原点（0，0）代入x+4y4，因为 0+40-4=-4<0
所以原点（0，0）在x+4y4<0表示的平面区域内，不等 式x+4y<4表示的区域如图所示 （在直线x+4y=4的左下方）
线性规划
可行解 ：满足线性约 束条件的解(x，y)叫可 行解； 如（1，2）、 （4，2）等. 可行域 ：由所有可行解 组成的集合叫做可行域； 如图中阴影部分中的整数 点坐标的集合
y
x+2y=8
4 3
0
y=3
x
4
8

二元一次方程组-图课件

二元一次方程组-图课件

解二元一次方程组时，可以通过消元 法、代入法等方法得到不同的解。
二元一次方程组的拓展
多元一次方程组
除了二元外，还可以扩展 到更多未知数的多元一次 方程组。
分式方程组
将一次方程组的未知数次 数降低，可以得到分式方 程组。
高次方程组
将一次方程组的未知数次 数提高，可以得到高次方 程组。
二元一次方程组与其他数学知识的结合
二元一次方程组可以表示为平面上的两条直线， 这两条直线的交点就是解。解的几何意义是两条 直线的交点坐标，即两条直线的公共点。
02
二元一次方程组的图解法
直线交点法
总结词
通过作图找到两条直线的交点，该交点即为方程组的解 。
详细描述
首先，将二元一次方程组中的两个方程分别表示为两条 直线的方程。然后，在坐标系上画出这两条直线。最后 ，找到这两条直线的交点，该交点的坐标即为方程组的 解。
02 代数问题
在代数中，二元一次方程组是基本的问题类型之 一，需要掌握其解法。
03 概率统计问题
在概率统计中，经常需要计算两个事件同时发生 的概率或两个变量的相关性。
科学中的二元一次方程组问题
01
02
03
物理问题
在物理学中，经常需要解 决与速度、力和加速度相 关的二元一次方程组问题 。
化学问题
在化学中，二元一次方程 组可以用来描述化学反应 中两种物质的反应速率和 反应条件。
进阶习题2
解方程组$begin{cases}x + 2y = 6 2x + y = 4end{cases}$
进阶习题3
解方程组$begin{cases}5x - y = 11 x + 2y = 7end{cases}$

二元一次不等式组

二元一次不等式组

15，18，27块，用数学关系式和图形表示上述要求. y 解:设需截第一种钢板x张,第二种钢板y张,得
15
规格类型
10钢板类型 A规格 B规格 C规格 8 2 1 1 第一种钢板 6 1 2 3 4 第二种钢板 2 18 0 2 4 6 8 12 27 x+2y=18
2x+y=15
2 x y 5, x 2 y 18, x 3 y 27, x 0, y 0.
在平面直角坐标系中， 不等式x-y<6表示直线x-y=6 左上方的平面区域；如图。
二元一次不等式x-y>6表示直线x-y=6 右下方的区域；如图。 直线叫做这两个区域的边界
（3）结论：
二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标 系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成 的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线） 3．二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法 对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点,把它的坐标 （x,y)代入Ax+By+C，所得的符号都相同，所以只需
在此直线的同一侧取一特殊点（x0,y0)，从
Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C＞0表示直线哪 一侧的平面区域.（特殊地，当C≠0时，常把原点作为
此特殊点）
例4 一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮 甲种肥料的主要原料是磷酸盐18t,硝酸盐；生产1车皮 乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t,硝酸盐15t,现库 存磷酸盐10t、硝酸盐66t，在此基础上生产两种混合 肥料。列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应 的平面区域。 解：设x,y分别为计划生产甲乙两种混合肥料的车皮数 于是满足以下条件：

2020版人教A数学必修5 课件：3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域

2020版人教A数学必修5 课件：3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域

即时训练3-1:某家具厂制造甲、乙两种型号的桌子,每张桌子需木工和 漆工两道工序完成.已知木工做一张甲、乙型号的桌子分别需要1 h和 2 h,漆工油漆一张甲、乙型号的桌子分别需要3 h和1 h.又木工、漆工 每天工作分别不得超过8 h和9 h.请列出满足生产条件的数学关系式,并 画出相应的平面区域.
3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划 问题
3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域
[目标导航]
1.知道什么是二元一次不等式及二元一次不等式组. 2.了解二元一次不等式的几何意义,并会画其表示的平面 课标要求 区域. 3.能从实际情境中抽象出二元一次不等式组,并能用平面 区域表示二元一次不等式组的解.
x y 2 1 0,
x ky k 0
(2)将图中阴影部分表示的平面区域,用不等式表示出来.
(2)解:由图(1)可知,其边界所在的直线在 x 轴和 y 轴上的截距均为 1,故边界所在的直线 方程为 x+y-1=0, 将原点(0,0)代入直线方程 x+y-1=0 的左边,得 0+0-1<0, 故所求的不等式为 x+y-1≤0;
思考1:不等式2x-3y>0是二元一次不等式吗? 答案:是,符合二元一次不等式的两个特征. 2.二元一次不等式表示的平面区域
表示直线 Ax+By+C=0
某一侧
二元一次不等式Ax+By+C>0 所有点组成的平面区域,我们把直线画 成 虚线 ,以表示区域 不包括 边界
表示直线 Ax+By+C=0
某一侧

y
1)

0,
表示的平面区
域的面积等于( )

系统复习--方程和不等式,第2课时二元一次方程组,课件

系统复习--方程和不等式,第2课时二元一次方程组,课件
[
典型例题
3x－y＝5， ① 例1、解方程组 5x＋2y＝23. ②
方法二：用代入消元法解方程组． 由①得 y＝3x－5，③ 把③代入②得 5x＋2(3x－5)＝23，即 11x＝33，解得 x＝3.把 x＝3 代入③得 y＝4.所以原方程 x＝3， 组的解为 y＝4.
典型例题
回顾与思考
用代入法解方程组的步骤是什么？
主要步骤：
变形
代入
求解
写解
用一个未知数的代数式 表示另一个未知数 消去一个元 分别求出两个未知数的值 写出方程组的解
回顾与思考
用加减法解方程组的步骤是什么？
主要步骤： 变形 加减 求解 写解 同一个未知数的系数 相同或互为相反数 消去一个元
求出两个未知数的值
3、（2013聊城）夏季来临，天气逐渐炎热起来，某商店将某种碳 酸饮料每瓶的价格上调了10%，将某种果汁饮料每瓶的价格下调了 5%。已知调价前买这两种饮料各一瓶共花费7元，调价后买上述碳 酸饮料3瓶和果汁饮料2瓶共花费17.5元，问这两种饮料在调价前每 瓶各多少元？
答：A 饮料生产了 30 瓶，B 饮料生产了 70 瓶
方法总结 对于含多个未知数的实际问题，利用列方程组来解，一般要 比列一元一次方程解容易．列二元一次方程组，首先要对具体的问题进 行具体分析，从中抽取两个等量关系，再根据相应的等量关系列出方程
巩固练习
D
1 x 4 2．已知方程x－2y＝8，用含x的式子表示y，则y =________ ，用含y的式子表 2
1、解二元一次方程组的思路
消元 二元一次方程组 一元一次方程 代入法或加减法
2、用二元一次方程组解决问题时， 要把问题转化为方程组来求解。 3、从这节课中我们能体会到怎样的数学思想方法？ 转化思想（化归思想）

二元一次不等式(组)的解法与平面区域

二元一次不等式(组)的解法与平面区域

y
x–y=6 x
O
横坐标 x
–3
–2 -8
–1 -7
0 -6
1 -5
2 -4
3 -3
点 P 的纵坐标 y1 - 9
点 A 的纵坐标 y2 - 8
-6
-5
-3
6
4
0
横坐标 x 点 P 的纵坐标 y1 点 A 的纵坐标 y2
–3 -9 -8
–2
–1
0
1
y
2
x3 –y=6
-8
-6
-7
-5
-6
-3
-56-4x-2 y+2=0
x y 0 x 2 y 4 0 y 2 0
课堂小结：
⑴ 二元一次不等式表示平面区域：
直线某一侧所有点组成的平面区域。
⑵ 判定方法： 直线定界，特殊点定域。 ⑶ 二元一次不等式组表示平面区域： 各个不等式所表示平面区域的公共部分。
（4）口诀：上大下小斜截式 上正下负一般式 （B>0）
强调：若B<0时则恰好结论相反;若B=0则最易判断。
例题2:根据下列各图中的平面区域用不等式 表示出来（图１包含y轴）
6x+5y=22
３ y=x
１
1
－４
练习:
(1)画出不等式 4x―3y≤12 表示的平面区域
y
4x―3y-12=0 x x
(2)画出不等式x≥1 表示的平面区域
y
x=1
例题
例2、用平面区域表示不等式组 y < -3x+12 的解集。 x<2y
直线把平面内所有点分成三类:
a)在直线x – y = 6上的点
b)在直线x – y = 6左上方区域内的点 c)在直线x – y = 6右下方区域内

3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域(2)

3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域(2)
所以AD=3,AB=2,BC=5 故所求区域的面积为 1 S= 3 5 2 8 2
y
5
C x-y+5=0
D
2A -5
B
2
y=2
o
x
x=2
x-y+5≥0
变式1 若二元一次不等式组 y≥a
0≤x≤2
所表示的平面区域是一个三角形， 求a的取值范围
变式训练 x-y+5≥0
变式： 若二元一次不等式组 y≥a
解：设x , y分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮 数，于是满足以下条件
4x+y≤10
18x+15y ≤66 x≥0，X∈N y ≥0,y∈N
y
10
5
4x+y=10
0
1
2 3 4 18x+15y =66
x
x-y+5≥0
例4、 求二元一次不等式组 y≥2
0≤x≤2
所表示的平面区域的面积
解析： 如图，平面区域为直角梯形,易得 A(0,2),B(2,2),C(2,7),D(0,5)
3.3.1 二元一次不等式 （组）与平面区域（2）
y
o
x
复习
⑴ 二元一次不等式表示平面区域： 直线某一侧所有点组成的平面区域。画图时
应非常准确，否则将得不到正确结果。
⑵ 判定方法： 直线定界，特殊点定域。
------若不等式中不含有等号时，则边界应画成虚线，
⑶ 二元一次不等式组表示平面区域： 各个不等式所表示平面区域的公共部分。
例2、要将两种大小不同的钢板截成Ａ．Ｂ．Ｃ三种规格，每张钢板 可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：
第一种钢板 第二种钢板

第六章 第三节 二元一次不等式组与简单的线性规划问题

第六章 第三节 二元一次不等式组与简单的线性规划问题

答案：A
x＋2y≤4， 2．(2010· 陕西高考)设 x，y 满足约束条件x－y≤1， x＋2≥0， 目标函数 z＝3x－y 的最大值为________．
则
x＋2y≤4， 解析：如图，首先画出线性约束条件x－y≤1， x＋2≥0
的可行
域，是一个三角形，然后在可行域内平行移动目标函数 z ＝3x－y， 当经过 x＋2y＝4 与 x－y＝1 的交点(2,1)时， 目标 函数取得最大值 z＝3×2－1＝5.
4 线 y＝kx＋ 分为面积相等的两部分，则 k 的值是( 3 7 A. 3 4 C. 3 3 B. 7 3 D. 4
)
(2)如图，△ABC中，A(0,1)，B(－2,2)，C(2,6)，写出
△ABC区域所表示的二元一次不等式组．
解析：(1)由图可知，线性规划区域为△ 4 4 ABC 边界及内部，y＝kx＋ 恰过 A(0， )， 3 3 4 y＝kx＋ 将区域平均分成面积相等 3 1 5 5 1 4 7 两部分，故过 BC 的中点 D( ， )， ＝k× ＋ ，k＝ . 2 2 2 2 3 3 (2)由两点式得直线 AB、BC、CA 的方程并化简为： 直线 AB：x＋2y－2＝0，
答案：5
x＋y－3≥0， 3．已知实数 x，y 满足x－y＋1≥0， x≤2， (1)若 z＝2x＋y，求 z 的最大值和最小值； y (2)若 z＝x，求 z 的最大值和最小值．
x＋y－3≥0， 解：不等式组x－y＋1≥0， x≤2
所示． 中阴影部分即为可行域．
x＋y－3＝0， 由 x－y＋1＝0， x＝1， 得 y＝2，
1 1 y (2)∵kOA＝2，kOB＝ ，∴ ≤x≤2， 2 2 1 所以 z 的最大值为 2，z 的最小值为 . 2

二元一次不等式-课件

二元一次不等式-课件

探究（一）：线性规划的实例分析
p
1 2
t 5730
【背景材料】某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个 A配件耗时1h；每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h.该厂每天最多可从配件厂获得 16个A配件和12个B配件，每天工作时间按8h计算.
思考1：设每天分别生产甲、乙两种产品x、y件，则该厂所有可能的日生产安排应满 足的基本条件是什么？
y P(x,y)
y＞y0
O
x
A(x,y0) x－y－6＜0
x－y－6＝0
思考3：如果点P（x，y）的坐标满足x－y－6＜0，那么点P一定在直线x－y－6＝0左上方 的平面区域吗？为什么？
y
P(x,y) x－y－6＜0
O
x
A(x,y0)
x－y－6＝0
思考4：不等式x＋y－6＜0表示的平面区域是直线x＋y－6＝0的左下方区域？还是右上方 区域？你有什么简单的判断办法吗？
x≥0，y≥0 思考4：根据上述分析，银行信贷部分配资金应满足的条件是什么？
x y 2500 6x 5y 150 x 0, y 0
思考5:不等式x＋y≤2500与6x+5y≥150叫什么名称？其基本含义如何？
二元一次不等式:含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式.
思考6:二元一次不等式的一般形式如何？怎样理解二元一次不等式组？
x 0, y 0
思考4：按实际要求， x、y应满足不等式组，
如何画出该不等式组表示的平面区域？
2x y 15 x+2y 18 x+3y 27 x 0, y 0
y
2x＋y＝15
x＋3y＝27
2x y 15

届高考数学一轮复习讲义课件：二元一次不等式与简单的线性规划问题(共59张PPT)

届高考数学一轮复习讲义课件：二元一次不等式与简单的线性规划问题(共59张PPT)
考点串串讲
1．二元一次不等式表示平面区域 (1)一般地，二元一次不等式 Ax＋By＋C＞0 在平面直角坐标系 中表示直线 Ax＋By＋C＝0 某一侧所有点组成的平面区域．我们把 直线画成虚线，以表示区域不包括边界直线．当我们在坐标系中画 不等式 Ax＋By＋C≥0 所表示的平面区域时，此区域应包括边界直 线，则把边界直线画成实线． (2)用二元一次不等式表示平面区域，常有一定的规律性，大致 可分为以下四种情况(如图所示)．
点评 线性目标函数的最优解一般在可行域的顶点或边界上取 得，具体方法是：将表示目标函数的直线平行移动，最先(或最后) 通过的区域内的点便是最优解．特别地，当表示线性目标函数的直 线与可行域的某边重合时，其最优解可能有无数个 .
变式迁移 2
设 z＝2y－2x＋4，式中 x、y 满足条件00≤≤xy≤ ≤21， ， 2y－x≥1.
2．简单的线性规划问题 (1)求线性目标函数在约束条件下的最值问题的求解步骤是： ①作图：画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的 平行直线系中的任意一条直线 l. ②平移：将直线 l 平行移动，以确定最优解所对应的点的位置． ③求值：解有关的方程组求出最优解，再代入目标函数，求出 目标函数的最值． (2)关于线性规划的几点说明： ①最优解有时唯一，有时不唯一，甚至是无穷多． ②对于二元一次不等式组所表示的区域，如果存在使线性目标 函数达到最大或最小的点，那么最值一定是在该区域的顶点或边界 上达到．
所以，原不等式组表示的区域如图所示．
题型二 线性目标函数的最值问题
例 2.已知 x，y 满足条件
35xx＋ ＋83yy＋ －16≤ 5≥00，， 2x－5y＋10≥0，
则 z＝x－y 的取值范围是________．
解析 先画出约束条件的可行域，如图所示，

二元一次不等式(组)与平面区域 课件

二元一次不等式(组)与平面区域 课件
[提示] 一一对应．
4．二元一次不等式表示的平面区域及确定 (1)直线 l：ax＋by＋c＝0 把直角坐标平面分成了三个部分： ①直线 l 上的点(x，y)的坐标满足 ax＋by＋c＝0 . ②直线 l 一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足 ax＋by＋c>0，另一侧 平面区域内的点(x，y)的坐标满足 ax＋by＋c<0 .
3．二元一次不等式(组)的解集概念 满足二元一次不等式(组)的 x 和 y 的取值构成一个有序数对(x，y)，称为 二元一次不等式(组)的一个 解，所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二 元一次不等式(组)的 解集 . 思考：把二元一次不等式的解看作有序数对，它与平面内的点之间有什 么关系？
同理得 B(－1,1)，C(3，－1)．
∴|AC|＝ 22＋－42＝2 5，
而点
B
到直线
2x＋y－5＝0
的距离为
d＝|－2＋51－5|＝
6， 5
∴S△ABC＝12|AC|·d＝12×2 5× 65＝6.
x>0 2．若将例题中的条件“y>0
4x＋3y≤12
”变为“y|x≤|≤2y≤|x|＋1 ”求所
标． (1)求区域面积时，要先确定好平面区域的形状，注意与坐标轴垂直的直 线及区域端点的坐标，这样易求底与高．必要时分割区域为特殊图形． (2)整点是横纵坐标都是整数的点，求整点坐标时要注意虚线上的点和靠 近直线的点，以免出现错误．
x＋y>2， 2．不等式组x－y>0， 表示的区域是什么图形，你能求出它的面积吗？
x<4
该图形若是不规则图形，如何求其面积？
提示：不等式组表示的平面区域如图阴影部分 △ABC，该三角形的面积为 S△ABC＝12×6×3＝9.若 该图形不是规则的图形．我们可以采取“割补”的 方法，将平面区域分为几个规则图形求解．

不等式的解法

不等式的解法

例3、（1）若ax2+abx+b>0的解集为区间（1，2） 求①a,b的值。②bx2－abx+a<0的解集 （2）若
的解集为R，求m的取值范围 解：（1）由已知得a<0且1，2是方程ax2+abx+a=0的根， 所以
则所求解之不等式为 ∴解集为
即2x2+3x+1>0
（2）若 的解集为R，求m的取值范围 解：（2）∵x2－2x+3=(x－1)2+2>0 ∴由已知得 的解集为R 则①当m=2时，不等式蜕化为－1<0，恒真 ②当m≠2时，应有
目标 △=b2-4ac的值 ax2+bx+c=0 (a>0)的解集 y=ax2+bx+c (a>0)的图象 ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 ax2+bx+c<0 (a>0)的解集
△>0 {x|x<x1或x>x2} 两根之外 {x|x1<x<x2} 两根之间
△=0 φ
△<0
φ
R
φ
例子讲解：
• 例1、解关于x的不等式 mx－2>x－3m • 分析：显然应该先标准化，再分类讨论得解。 • 解：原不等式可化为 （m－1）x>2－3m 当m>1时 解集为 当m=1时 得 x>－1解集为R 当m<1时 解集为
∴m&不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|0<α<χ<β}试用表 示α、β不等式cx2-bx+a>0的解集。
课外作业
后记
例2、解关于x的不等式（1）2－x>2x－x2 （2）2a－ax>2x－x2

二元一次不等式解法

二元一次不等式解法
选择一个变量并消去它
2 步骤二
将消元后的方程代入原方程，解决其他变量
3 步骤三
将解代入原方程，验证是否满足不等式
解二元一次不等式的步骤
步骤一
将不等式化为标准形式，确保系数为正
步骤三
确定不等式范围内的有效区域
步骤二
绘制不等式的实线或虚线，表示不等式的范围
步骤四
通过图像或代数方法找到解的具体值
绘制不等式实线和虚线
在图像中，实线表示包含等于号的关系，虚线表示不包含等于号的关系。这有助于理解不等式中数字的 相对大小。
用图像找到解的方法
1
方法一
绘制坐标轴，并标出不等式的直线边界
2
方法二
确定图像与坐标轴形成的交点，这些点即为不等式虚线上的点
用代数法求解二元一次不等式
代数法通过代入不等式中的变量来求解。我们将会学习如何解决这些方程以 得到变量的具体值。
消元法
1 步骤一
二元一次不等式解法
在这个演示中，我们将学习如何解决二元一次不等式，包括确定范围、绘制 图像、代数法、消元法等不同的解题方法。
什么是二元一次不等式？
二元一次不等式是具有两个变量和一次方程的不等式，例如 2x + 3y < 7。它 是解决实际问题中的数学模型的重要工具。
二元一次不等式的一般形式
一般形式为 ax + by < c，其中 a、b、c 是实数，且 a 和 b 不同时为 0。

含参二元一次不等式的解法

含参二元一次不等式的解法

含参二元一次不等式的解法引言含参二元一次不等式是数学中常见的问题之一。

解决这类不等式可以帮助我们找到变量的取值范围，从而更准确地描述问题的解空间。

本文将介绍含参二元一次不等式的解法。

解法概述解决含参二元一次不等式的方法可以分为以下几步：1. 将不等式转化为标准形式；2. 求解不等式中的参数；3. 根据参数的取值范围，确定不等式的解集。

步骤详解步骤一：将不等式转化为标准形式例如，将含参二元一次不等式 $ax + by > c$ 转化为标准形式，可通过以下方式：1. 将参数 $a$ 和 $b$ 提取出来，即将不等式变为$a(x+b\frac{c}{b}) + by > c$；2. 化简不等式，得到 $ax + ab\frac{c}{b} + by > c$；3. 将不等于符号 $>$ 改为等于符号 $=$，得到 $ax +ab\frac{c}{b} + by = c$。

步骤二：求解不等式中的参数在标准形式的基础上，解不等式中的参数有助于确定解集的取值范围。

通过对参数进行分析和运算，可以得到参数的取值范围，进而确定不等式的解集。

步骤三：确定不等式的解集根据参数的取值范围，可以确定不等式的解集。

根据参数的限制条件，可以得到不等式的解集是一个或多个区间，或者是特定的取值。

结论含参二元一次不等式的解法可以通过将不等式转化为标准形式并求解参数的方法来实现。

这种解法能够帮助我们更准确地描述变量的取值范围，从而更好地分析问题的解空间。

注意：本文所提供的解法仅适用于简单的含参二元一次不等式，对于涉及复杂的法律问题的不等式，需要进行更深入的研究和分析。

请在使用本文提供的解法时，根据具体情况谨慎使用，并确保所引用的内容经过确认。

二元一次不等式的解法与应用

二元一次不等式的解法与应用

二元一次不等式的解法与应用一、不等式的定义和性质在数学中，不等式是用于表示两个数或两个代数表达式之间大小关系的数学语句。

二元一次不等式是由两个变量和一个常数构成的不等式，可以表示为ax + by > c 或ax + by ≤ c 的形式，其中 a、b 和 c 是实数，且 a 和 b 不同时为零。

二元一次不等式的解法主要有以下几种方法：1. 图解法：可以将二元一次不等式转化为二维平面上的区域图形，通过观察图形的位置来确定不等式的解集。

例如，当不等式为 ax + by > c 时，可以先将不等式转化为相应的等式 ax + by = c，然后绘制直线 ax + by = c，并根据不等式符号确定直线的上方还是下方为解集。

2. 代数法：利用代数的性质和技巧来解决不等式。

例如，可以使用加减法、乘除法等运算对不等式进行变形，使得变量的系数或者常数项发生变化，从而得到更简单的形式。

同时也需要注意对不等式进行等价变形时，要保持不等式的方向不变。

3. 区间法：分别对两个变量进行讨论，将二元一次不等式分解成两个一元不等式，并求解每个一元不等式的解集，然后根据两个一元不等式的解集确定原二元一次不等式的解集。

这种方法适用于不等式的系数较大，难以进行图解和代数变形的情况。

二、二元一次不等式的应用二元一次不等式在实际问题中有着广泛的应用，尤其是在经济学、管理学、工程学等领域。

以下是几个常见的二元一次不等式应用的例子：1. 经济学：二元一次不等式可以用于描述供求关系、利润问题等经济学中的基本概念。

例如，对于一个公司来说，成本收入模型可以表示为成本不超过收入的二元一次不等式，通过解不等式可以确定最小成本或最大收入点。

2. 管理学：在管理学中，二元一次不等式可以用来优化资源分配问题。

例如，对于一个生产部门来说，生产成本和产量之间存在着一定的关系，可以通过解不等式确定最佳的生产成本范围。

3. 工程学：在工程学中，二元一次不等式可以用来优化生产效率、资源利用率等问题。

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注:如果熟练了可简化成序轴标根法,直接快速写出解集
解一元二次不等式或分式不等式的方 法步骤是：
方法2 序轴标根法
步骤：（1）化成因式相乘或相除的形式， 且每个因式中x的最高次数为1，系数 必须是正数
（2）求出对应方程的根并在序轴上表 示出来，用穿针引线标出各部分正负
（3）根据序轴写出解集
作业:
1.解不等式 (1)4x2-4x+1>0
一元二次不等式的解法(1)
复习提问：
（1）如何解一元二次方程?
ax2+bx+c=0(a0)
（2）二次函数 y=ax2+bx+c(a0)的图象是 什么曲线？
（3）一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)
的解与二次函数 y=ax2+bx+c(a0) 的图象 有什么联系？
一元二次方程a2xb xc0(a0)的解实
5 x
{x│ x ≤－3 或x ≥5}。
设y=ax2+bx+c (a＞0),且设方程y=0在 △＞0时的两个根分别是x1、x2，且x1＜ x2。
下面我们一起来看下表：
△＝b2－4ac
△＞0
△＝0
△＜0
二次函数
y
y
y
y ax2 bx c
(a 0 )的 图 像
x O x1 x2
O
xO
x＝－b／2a
(3)2x2-3x-2>0
(2)-x2+2x-3>0 (4)-5x2+6x>1
2. 试解下列不等式: ⑴ x 1 3x 2 ⑵ (x 3)(x 2)(x 1) 0
⑶ (3x 2)(3 x) ≤ 0 x2
二、二次不等式的简单应用
例3： 解不等式 x2－2│xx│－－151≥50≥0
分析1：不同于x2－2x－15≥0的根本点在于不 等式中含│x│，由于│x│ 2 = x2 ，则可以通过换 元令│x│ =t，将不等式转化为t 2－2 t －15≥0求解。
解不等式: 3x2 7x 10 ≤0
(可用同解变形法)
解:∵ 3x2 7x 10 ≤0 (3x 10)(x 1) ≤ 0
3x 10 x 1
≤0 ≥0
(Ⅰ)
或
3x 10≥0 x 1 ≤0
(Ⅱ)
由(Ⅰ)解得
1≤
x
≤
10 3
;由(Ⅱ)解得
x
不存在.
∴原不等式的解集为
x
1≤
x
其实质是符号规律,见下表:
解法2：当x＞0时， 原不等式可化为x2 －2x－15≥0
则不等式的解为x≥5或 x≤－3 ∵x＞0 ∴ 不等式的解集为{x│x≥5 }
当x ≤0时， 原不等式可化为x2 ＋2x－15≥0 则不等式的解为x≥3或x ≤－5 ∵x≤0 ∴ 不等式的解集为{x│x≤－5 } 由以上可知原不等式的解为{x│x≥5或x≤－5 }。
x
y＞0的解集
xxx2或 xx1
xR x
b 2a
R
y＜0的解集 xx1xx2
y ≥0的解 集
xxx2或 xx1
R
R
y ≤0的解-4x+1>0
解： ∵ △=0，方程4x2-4x+1=0的
解是x1= x2=1/2
∴不等式的解是 x≠1/2
1/2
X
练习2.解不等式-x2+2x-3>0
∴a = －12 b = －2
∴不等式2x2 + bx + a＜0
即2x2 －2x －12 ＜0其解集为{x | －2＜x＜3}。
4a－2b+6＝0
9a＋3b+6＝0 a＝－1
解方程组得： b＝1
则a－b＝－2
练习:已知不等式ax2 + bx + 2＞0
的解为 1 x 1 求2x2 + bx + a<0的解. 23
由题1意 ,1是方a程 2xbx20的两 , 根 23
则a0
1 2 1 2
1 3 1 3
b a
b a
∵ 6 /a ＝ －2× 3＝ －6 ∴ a＝－1 ∵ b /a ＝ －2＋3＝1 ∴ b＝1 则a－b＝－2
例4 . 已知一元二次不等式a x2 ＋bx+6>0 的解集为{x │－ 2 ＜x＜3}, 求a－b的值.
另解：由条件可知 ： 方程 a x2 ＋bx+6＝0的根－2、3 ，
代入方程可得：
≤ 10 3
.
代数式
x 1 3x 10 (3x 10)(x 1)
x 1
1 x 10 3
x 10 3
零点分段 判断符号 情况
例 2，解分式不等式: x 3 0 x7
解:分析符号规律:零点 3,-7 把数轴分成三段
代数式 x 7 7 x 3 x 3
x7
x3
x3
x7
∴由上面分析可知原不等式的解集为 x x 7 或 x 3
解：整理得x2-2x+3<0
X
∵ △<0，方程x2-2x+3=0 无实解，
∴原不等式无实解。
练习3.解不等式2x2-3x-2>0
解：∵ △>0，方程2x2-3x-2=0的
解是 x1=-1/2 , x2=2
∴不等式的解集是
-1/2
{x|x<-1/2,或x>2}
2X
练习4.解不等式-5x2+6x>1
解：整理得，5x2-6x+1<0
1/5
1 X ∵ △>0，方程5x2-6x+1=0
的解是x1=1/5 , x2=1
∴原不等式的解集是{x|1/5<x<1}
解一元二次不等式的方法步骤是： 方法1：数形结合 步骤：（1）化成标准形式 (a>0)：
ax2+bx+c>0 或 ax2+bx+c<0
（2）求 ，解方程，画图象；
（3）根据图象写出解集
际上就是二次函数 ya2xb xc(a0)
与x轴交点的横坐标。
下面我们来研究如何应用二次函数的图象 来解一元二次不等式。
例1：解不等式: x2－2x－15≥0
解：∵ ⊿=b2-4ac= 22 +4× 15 > 0
方程x2－2x－15＝0
y
的两根为:
x＝－3，或x＝5
。。
∴ 不等式的解集为:
-3 0
例4 . 已知一元二次不等式a x2 ＋bx+6>0 的解集为{x │－ 2 ＜x＜3}, 求a－b的值.
分析:二次不等式的解是通过二次方程的 根来确定的，由此可以理解为 a x2 ＋bx+6＝0 的根为－2，3。
解：由条件可知 ： 方程a x2 ＋bx+6＝0的根－2，3 又解在两根之间; ∴a＜0
解法1：(换元法） 设│x│ =t,则t ≥ 0原不等式可化为
t2 －2t－15≥0 由例1 可知解为t≥5或t≤－3 ∵t ≥ 0 ∴ 不等式的解集为{t│t≥5 }
∴ │x│≥5 ∴原不等式的解为{x│x≥5或x≤－5 }。
例3：解不等式: x2－2│x│－15≥0
分析2：也可用绝对值定义去掉绝对值 将不等式转化为不含绝对值的求解。