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第十四讲：不等式恒成立问题1．()()()f x g a ≥或≤，求参（1）若x ∀∈R ，不等式2121222x x a a -++++≥恒成立，则a ∈_________．（2）已知函数()2,011sin ,13236x x x f x x x ππ⎧-+<⎪=⎨⎛⎫-< ⎪⎪⎝⎭⎩≤≤，若x ∀∈R ，不等式()212f x m m -≤恒成立， 则实数m 的取值范围是_________．（3）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()222f x f x +=-，当(]0,2x ∈时，()()[]2,0,11,1,2x x x f x x x⎧-∈⎪=⎨∈⎪⎩．若(]0,4x ∀∈，不等式()2732t t f x t --≤≤恒成立，则t ∈________．1．若x ∀∈R ，不等式2412log x x a -+-≥恒成立，则a ∈_________．2．已知函数()233,11,12xx x x f x x ⎧++-⎪=⎨⎛⎫<-⎪ ⎪⎝⎭⎩≥，若x ∀∈R ，不等式()2f x m m >-恒成立，则实数m的取值范围是_________．3．已知函数()()2,01,0x a x f x x a x x ⎧-⎪=⎨++>⎪⎩≤，若x ∀∈R ，不等式()()0f x f ≥恒成立，则实数a 的取值范围是_________．4．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()22f x f x +=，当[)0,2x ∈时，()[)[)2 1.5,0,11,1,22x x x x f x x -⎧-∈⎪=⎨⎛⎫-∈⎪ ⎪⎝⎭⎩，若[)4,2x ∀∈--，不等式()142t f x t -≥成立，则t ∈________．2．参变分离【示例1】已知()21f x x =-，不等式()()()2414x f m f x f x f m m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭≤在区间上3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭恒成立，则实数m 的取值范围是_________．【例2】（1）已知()1,x ∀∈+∞，不等式2201x m x ++>-恒成立，则m 的取值范围是__________．（2）若()0,x ∀∈+∞，不等式2211110a x x a x x ⎛⎫⎛⎫+-++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，则a ∈_________．（3）已知()2f x x =，若()()()22431a f x a f x f x ⋅++≤在区间[)1,+∞上恒成立，则实数a 的取值范围是__________．（4）已知函数()()2x f x x =∈R ，可以表示为一个奇函数()g x 和一个偶函数()h x 之和，若[]2,3x ∀∈，不等式()()20a g x h x ⋅+≥恒成立，则实数a 的取值范围是_________．（选讲）练习2：1．若(]0,2x ∀∈，不等式2210x ax -+≥恒成立，则实数a 的取值范围是_________．2．若[]2,6x ∀∈，不等式()23110ax a x +-+≥恒成立，则实数a 的取值范围是_________．3．关于x 的不等式144x x a+>在区间[]1,2上恒成立，则a ∈_________．4．已知()()232,2log 1,2x x f x x x -⎧<⎪=⎨-⎪⎩≥，若x ∀∈R ，不等式()()241a f x f x ⋅-≥恒成立，则实数a的最小值是_________．5．已知函数()1f x x x=-，若(]0,1x ∀∈，不等式()221x x t f ⋅-≥恒成立，则实数t 的取值范围是_________．（选做）【示例2】已知a ∈R ，函数()2222,022,0x x a x f x x x a x ⎧++-⎪=⎨-+->⎪⎩≤，若[)3,x ∀∈-+∞，若不等式()f x x ≤在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是__________．【例3】已知函数()204,0x f x x x x >=-⎪⎩≤，若不等式()1f x ax -≥恒成立，则a ∈_________．练习3：1．已知函数()011,1x f x x x⎧⎪=⎨>⎪⎩≤≤，若关于x 的不等式()14f x x a -+≥在区间[)0,+∞上恒成立，则实数a 的取值范围是__________．2．若x ∀∈R ，不等式23324x ax x --≥恒成立，则实数a 的取值范围是_________．3．已知a ∈R ，设函数()222,1ln ,1x ax a x f x x a x x ⎧-+=⎨->⎩≤．若关于x 的不等式()0f x ≥在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是__________．2．含参讨论2.1 单调函数【例4】（1）若[]1,2x ∀∈-，不等式20ax +>恒成立，则实数a 的取值范围是__________．（2）已知[]1,1a ∀∈-，不等式()24240x a x a +--+>恒成立，则x ∈__________．（3）若函数()()()2log 20,1a f x x x a a =+>≠在区间()0,a 上恒有()0f x >成立，则实数a 的取值范围是__________． 练习4：1．已知1,42a ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，不等式2log 10a x a +->恒成立，则x 的取值范围是_________．2．若1,32m ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，不等式2424x mx m x ++>+恒成立，则x 的取值范围是__________．3．若[]1,1a∀∈-，不等式221x ax a->-恒成立，则实数x的取值范围是_________．4．若10,3x⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，不等式32log1xax+≤恒成立，则实数a的取值范围是_________．（选做）2.2 非单调函数【例5】（2）已知函数()21f x x x =+-，若x ∀∈R ，不等式()()21f x m x +-≥恒成立，则实数m 的取值范围是_________．（2）已知()f x 是R 上的奇函数，当0x <时，()()297a f x x a x=++∈R ，当[)0,x ∈+∞时，不等式()1f x a +≥恒成立，则实数a 的取值范围是_________．（选讲） 练习5：1．若()0,x ∀∈+∞，不等式22944a x a x+-≥恒成立，则a ∈_________．2．已知函数()()f x x x a a a =--∈R ，若[]3,5x ∀∈，()0f x ≥恒成立，则实数a 的取值范围是_________．3．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，若当0x >时，()21m f x x x=+-，若(],0x ∀∈-∞，不等式()2f x m -≤恒成立，则实数m 的取值范围是_________．（选做）3．任意与存在问题 3.1 1x A ∀∈，2x D ∃∈ 展现条件 示例图形 不等式转化()()12f x g x ≥()()()1min min f x g x f x c →≥≥()()12f x g x ≤()()()2max max f x g x f x c →≤≤()()12f x g x =()()()()()()1min min 2max max f x g x f x c f x g x f x c ⎧⎧⎪⎪→⎨⎨⎪⎪⎩⎩≥≥≤≤ 答题步骤①．分析()f x 和()g x 之间最值的关系；当()()12f x g x =时，需分析值域之间的关系； ②．转化为不等式恒成立问题处理．问题难点 ①．求确定函数的最值； ②．处理不等式恒成立问题【例6】（1）已知函数()43f x x x=+-，()2g x kx =+，若()11,4x ∀∈，[]21,2x ∃∈-． ①．若()()12g x f x >，则k ∈__________． ②．若()()12g x f x <，则k ∈__________．（2）已知函数()2124,0,411log 3,,124x x f x x x ⎧⎡⎤-∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎛⎤⎪-∈ ⎥⎪⎝⎦⎩，()2232g x x a x a =--，若[]10,1x ∀∈，[]20,1x ∃∈，使得()()21f x g x =成立，则a 的最大值为_________．（3）已知函数()221xf x x =+，()()520g x ax a a =+->，若1x ∀∈R ，[]20,1x ∃∈，使得方程()()12f x g x =成立，则实数a 的取值范围是_________．练习6：1．已知函数()12f x x k =-，()13g x x x =-+-．若[]10,2x ∀∈，[]22,4x ∃∈，使得()()12g x f x =成立，则实数k 的取值范围是_________．2．已知函数()21f x x =-，()232g x ax a =-+．若[]10,1x ∀∈，21,22x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使得不等式()()12f x g x ≥成立，则实数a 的取值范围是__________．3．已知函数()[)1,2,112,1,211,,22x x x f x x x x x ⎧+∈--⎪⎪⎪⎡⎫=-∈-⎨⎪⎢⎣⎭⎪⎪⎡⎤-∈⎪⎢⎥⎣⎦⎩，设函数()2g x ax =-，若[]12,2x ∀∈-，[]02,2x ∃∈-，使得()()01g x f x =成立，则a ∈__________．4．已知函数()11f x x x =-+，()224g x x ax =-+，若[]10,1x ∀∈，[]21,2x ∃∈，使得不等式()()12f x g x ≥成立，则实数a 的取值范围是_________．3.2 双任意及双存在问题 I ．1x A ∀∈，2x D ∀∈展现条件 示例图形 不等式转化()()12f x g x ≥()()()1min max f x g x f x c →≥≥()()12f x g x ≤()()()2max min f x g x f x c →≤≤()()12f x g x =()()()()()()1min min 2max max f x g x f x c f x g x f x c =⎧⎧=⎪⎪→⎨⎨==⎪⎪⎩⎩II ．1x A ∃∈，2x D ∃∈展现条件 示例图形 不等式转化 ()()12f x g x ≥()()max min f x g x ≥()()12f x g x ≤()()min max f x g x ≤()()12f x g x =()()()()max minminmax f x g x f x g x ⎧⎪⎨⎪⎩≥≤（交集非空） 【例7】（1）已知函数()213,1log ,1x x x f x x x ⎧-+⎪=⎨>⎪⎩≤，()1g x x k x =-+-，若12x x ∀∈R 、，不等式()()12f x g x ≤恒成立，则实数k 的取值范围是_________．（2）已知函数()()sin2336f x a x a a π=-+>，()222xg x x x =++，若存在[]120,1x x ∈、，使得()()12f x g x =成立，则实数a 的取值范围是_________．（3）已知函数()2,137,1x ax x f x ax x ⎧-+=⎨->⎩≤，若存在12x x ∈R 、且12x x ≠，使()()12f x f x =成立，则实数a 的取值范围是_________．（4）已知函数()f x 的定义域为D ，若c D ∃∈，使得12x x D ∀∈、，c =称()f x 为D 上的“c 平均函数”，已知()[]3,1,2f x x x =∈，若()f x 是区间[]1,2上的“c 平均函数”，则实数c 的值为_________．（5）已知函数()[]2ln ,0,1x f x a x x a x =+-∈，若[]120,1x x ∀∈、，不等式()()121f x f x a --≤恒成立，则实数a 的取值范围是_________．4．运用图像解含参不等式问题描述 已知()0f x ≥（解析式中含参数a ），将不等式分离为()()g x h x ≥（其中一个含参，另一个不含参），则()g x 的图像在()h x 图像的上方．为了便于讨论，下面所有的讲解中，()h x 含参数，()g x 不含参数．分离函数 I ．()()()h x kx bh x kx b h x k x b⎧=+⎪=+⎨⎪=+⎩（一次函数模型）II ．()()h x g x a =±（左右平移模型）备注 在处理这种问题时，需保证两点：①．将不等式分离成一个含参及一个不含参的函数；②．需保证不含参函数的图像比较“好画”．4.1 一次函数模型问题问题描述 所分离的含参函数()h x 为一次函数或含绝对值的一次式，求参数取值范围图形变换I ．()h x 过定点，旋转变换（k 未知） II ．()h x 平移变换（b 未知）答题步骤①．不等式分离成()()()g x h x ≥或≤，注意()h x 需分离成含参一次函数； ②．画出()g x （确定函数）的图像；③．旋转（或平移）()h x ，确定临界情况（一般为相切时）； ④．求出临界值（求导或用0∆=），写出参数取值范围．【示例3】已知函数()ln f x x =，若(]0,x e ∀∈，不等式()()()11f x f c x --≥恒成立，则实数c 的取值范围是_________．解：()10f =，则()()1f x c x -≥可得()f x 的图像在()()1g x c x =-图像的上方I ．确定函数及其图像高低关系．()g x 过点()1,0旋转．画出()()[]ln ,0,1ln ,1,x x f x x x e ⎧-∈⎪=⎨∈⎪⎩的图像，且()g x 恒过()1,0点 II ．画出()f x 图像，旋转()g x 找临界．①．若()y g x =在()0,1上满足()()g x f x ≤恒成立，则临界情况为()g x 与()f x 相切于点()1,0； 此时()1f x x'=-，则()11c f '==-；∴当()0,1x ∈时，()()g x f x ≤可得1c -≥；②．若()y g x =在[]1,e 上满足()()g x f x ≤恒成立，则临界情况为11c e =- ∴当[]1,x e ∈时，()()g x f x ≤可得11c e -≤ III ．分段分析临界情况，并分别求出对应的c 的取值范围．综上，11,1c e ⎡⎤∈-⎢⎥-⎣⎦IV ．求出c 的范围【例8】（1）已知()1f x x =-，若x ∀∈R ，不等式()1f x ax -≥恒成立，则a ∈_________．（2）若x ∀∈R ，不等式()24a x x x ++≥恒成立，则实数a 的取值范围是_________．（3）已知函数()1,12,1x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨+⎪⎩≥．设a ∈R ，若关于x 的不等式()2x f x a +≥在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是__________．（4）已知函数()()121x f x x e mx +=++，若有且仅有两个整数使得()0f x ≤，则实数m 的取值范围是__________．（选讲） 练习8：1．已知函数()()22log 1,02,0x x f x x x x ⎧+>⎪=⎨-+⎪⎩≤，若x ∀∈R ，不等式()f x mx ≥恒成立，则实数m 的取值范围是_________．2．已知函数()2,04,0x f x x x x ⎧>⎪=⎨-⎪⎩≤，若x ∀∈R ，不等式()1f x ax -≥恒成立，则a ∈______．3．已知()23,032,0x x f x x x ⎧-=⎨->⎩≤，若[]1,1x ∀∈-，不等式()f x ax >恒成立，则实数a 的取值范围是_________．4．若[)0,x ∃∈+∞，使得不等式242x x m --≤成立，则实数m 的取值范围是_________．5．已知(]0,1x ∀∈，函数()2f x x x a =--的值恒为负值，则实数a 的取值范围是_______．6．已知函数()23,12,1x x x f x x x x ⎧-+⎪=⎨+>⎪⎩≤．设a ∈R ，若关于x 的不等式()2x f x a +≥在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是__________．7．若关于x 的不等式20x xe ax a -+<的非空解集中无整数解，则a ∈_________．4.2 原函数平移问题（选讲） 问题描述 不等式()()()f x t f x +≤或≥在指定区间A 上恒成立，求参数取值范围．需要注意的是，参数即有可能在解析式中，也有可能为平移幅度（即t ）示例图像核心思想 这类问题解决的关键在于找“特定点”．图像平移，图形形态不变．只需找出平移的临界点及其坐标（一般为横坐标）即可求解．核心步骤 ①．画出原函数()f x 的图像，并确定平移方向；②．将()f x 平移至满足()()()f x t f x +≤或≥；③．确认临界点，并求出该点横坐标；④．求出参数取值范围．【例9】（1）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()()2221232f x x a x a a =-+--，若x ∀∈R ，不等式()()1f x f x -≤，则实数a 的取值范围是_________．（2）已知函数()()1f x x a x =+. 设关于x 的不等式()()f x a f x +< 的解集为A ，若 11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦, 则实数a 的取值范围是_________．（选讲）练习9：1．定义在R 上的偶函数()f x ，当0x ≥时，()()32ln 1x f x e x x =+++，若()1,x ∀∈-+∞， 不等式()()f x t f x +>恒成立，则实数t 的取值范围是_________．2．设函数()f x 的定义域为D ，若存在非零实数t ，使得()x M M D ∀∈⊆，都有x t D +∈且()()f x t f x +≥，则称()f x 为M 上的“t 高调函数”，若()()()210f x x x =-≥是[)0,+∞上的“m 高调函数”，则实数m 的取值范围是_________．3．已知函数()2,0,0x x f x ax x x -⎧=⎨+>⎩≤，若x ∀∈R ，不等式()()1f x f x -≥恒成立，则实数a 的取值范围是_________．。
第七讲 不等式恒成立问题基本类型及常用解法类型1：设f(x)=ax+bf(x) ＞0在x ∈[]n m ,上恒成立⇔ ⎩⎨⎧0)(0)( n f m ff(x) ＜0在x ∈[]n m ,上恒成立⇔⎩⎨⎧0)(0)( n f m f .例1. 设y=(log 2x)2+(t-2)log 2x-t+1,若t 在[-2,2]上变化，y 恒取正值，求实数x 的取值范围。
例2. 对于 -1≤a ≤1,求使不等式(21)ax x +2<(21)12-+a x 恒成立的x 的取值范围。
类型2：设f(x)=ax 2+bx+c (a ≠0)f(x) ＞0在x ∈R 上恒成立⇔a ＞0 且△＜0;f(x) ＜0在x ∈R 上恒成立⇔a ＜0 且△＜0. 说明：①.只适用于一元二次不等式②.若未指明二次项系数不等于0，注意分类讨论.例3.不等式3642222++++x x mmx x ＜1对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围。
类型3：设f(x)=ax 2+bx+c (a ≠0) （1） 当a ＞0时① f(x) ＞0在x ∈[]n m ,上恒成立⇔⎪⎩⎪⎨⎧≤-0)(2 m f m a b 或⎪⎩⎪⎨⎧∆-o n a b m 2或⎪⎩⎪⎨⎧≥-0)(2 n f n ab⇔⎪⎩⎪⎨⎧≤-0)(2 m f m ab 或△＜0或⎪⎩⎪⎨⎧≥-)(2 n f n a b. ② f(x) ＜0在x ∈[]n m ,上恒成立⇔⎩⎨⎧0)(0)( n f m f .（2） 当a ＜0时① f(x) ＞0在x ∈[]n m ,上恒成立⇔ ⎩⎨⎧0)(0)( n f m f② f(x) ＜0在x ∈[]n m ,上恒成立⇔⎪⎩⎪⎨⎧≤-0)(2 m f m a b 或⎪⎩⎪⎨⎧∆-o n a b m 2或⎪⎩⎪⎨⎧≥-0)(2 n f n ab⇔⎪⎩⎪⎨⎧≤-0)(2 m f m ab 或△＜0或⎪⎩⎪⎨⎧≥-)(2 n f n a b. 说明：只适用于一元二次不等式.类型4：a ＞f(x) 恒成立对x ∈D 恒成立⇔a ＞f(x)max ，a ＜f(x)对x ∈D 恒成立⇔ a ＜f(x)min .说明：①. f(x) 可以是任意函数②.这种思路是：首先是---分离变量，其次用---极端值原理。
不等式“恒成立”问题的解法
解决不等式“恒成立”的问题需要采用不等式的性质和规则进行推导和证明。
首先，可以使用分析法来解决不等式“恒成立”的问题。
分析法要求对不等式进行分析和推导，找出其中的规律和特点，从而得出结论。
其次，可以运用数学归纳法来解决不等式“恒成立”的问题。
数学归纳法是通过给出一些特例，然后从其中推导出结论的方法。
另外，可以使用反证法来证明不等式“恒成立”。
反证法是指假设不等式不成立，然后通过推导出矛盾的结论，证明假设的不等式是错误的，从而得出不等式“恒成立”的结论。
最后，可以使用代数法来解决不等式“恒成立”的问题。
代数法是通过对不等式进行变形，转化为“等式”的形式来解决问题。
例如，可以将一个不等式两边分别加上或减去相同的数，或者将不等式两边同时乘以或除以一个正数，从而得出不等式“恒成立”的结论。
