1.用薄钢板制造一体积5m 3，长度不小于4m ，无上盖的货箱，要求钢板耗量最小。确定货箱的长x 1、宽x 2和高x 3。试列出问题的数学模型。
解：min 32312122x x x x x x z ++= s.t 5321=x x x 41≥x 0,,321≥x x x
2.将下面的线性规划问题表示为标准型并用单纯形法求解
max f=x 1+2x 2+x 3
s ．t ．2x 1+x 2-x 3≤2 -2x 1+x 2-5x 3≥-6 4x 1+x 2+x 3≤6 x i ≥0 i=1，2，3 解：先化标准形：
Min 321x x x z -+=
224321=+-+x x x x 6525321=++-x x x x
646321=+++x x x x
列成表格：
1
2
1
610011460105122001112-----
可见此表已具备1°，2°，3°三个特点，可采用单纯形法。首先从底行中选元素-1，由2/2,6/2,6/4最小者决定选第一行第一列的元素2，标以记号，迭代一次得
1
2
1
2102310401162010021212
11--------
再从底行中选元素-2/3，和第二列正元素1/2，迭代一次得
1
2
12
32
30
210231040116201002121211-
------
再从底行中选元素-3，和第二列正元素2，迭代一次得
4
2
3
3
410120280114042001112---
再迭代一次得
10
2
30
2
10
6
221023
1010213000421021013--
选取最优解：
01=x 42=x 23=x
3. 试用DFP 变尺度法求解下列无约束优化问题。
min f （X ）=4（x 1-5）2+（x 2-6）2
取初始点X=（8，9）T ，梯度精度ε=0.01。 解：取I
H
=0
,初始点
()
T
X 9,8=
2
22
1)6()5(4)(-+-=x x x f
⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡--=∇122408)(2
1
x x x f
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=∇624)()
0(x
f
T
x f d )
6,24()()
0()
0(--=-∇=
)
0(0)
0()
1(d
x
x
α+=
T
)
69,248(00αα--=
]
)669()5248(4min[)(min 2
02
0)
0(0)
0(--+--⨯=+αααd
x
f 0
)6()63(2)24()2458(8)
(00)
0(0)
0(=-⨯-+-⨯--=+ααα
αd d x
df
13077
.0130
170≈=
α
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⨯+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21538
.886153.46
2413077.098)
1(x
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=∇43077.410784.1)()
1(x
f
进行第二次迭代：
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--=-=78463.013848.31)
0()
1(x
x
δ
⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡--=∇-∇=56924.110783.25)()(1)
0()
1(x
f x
f γ
1
010
1101
1
101γ
γγγγδδδH H
H H H T
T
T
T
-
+
=
03172
.8011=γδT
86614
.6321101==γγγγH T
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣⎡=61561.046249
.246249.285005.911T
δδ
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣⎡==46249.240022
.3940022.3940363.630110
110T
T
H
H γγγγ
所以：
⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛--=0038.103149
.003149.012695.01H
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-⨯⎪⎪⎭⎫
⎝⎛---=∇-=43076.410784
.10038.103149.003149.012695.0)()
1(1)
1(x
f H d
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=48248
.428018.0
令 )
1(1)
1()
2(d
x x α+=
利用
)
()
1()
1(=+α
αd d
x
df ，求得49423.01=α，所以
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=+=21538.213848.021538.886152.449423.0)
1()
1()
2(d
x
x
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=65
因
)()
2(=∇x
f ，于是停，)
2(x 即为最优解。
