最优化方法课程大作业实验

1.用薄钢板制造一体积5m 3，长度不小于4m ，无上盖的货箱，要求钢板耗量最小。

确定货箱的长x 1、宽x 2和高x 3。

试列出问题的数学模型。

解：min 32312122x x x x x x z ++= s.t 5321=x x x 41≥x 0,,321≥x x x2.将下面的线性规划问题表示为标准型并用单纯形法求解max f=x 1+2x 2+x 3s ．t ．2x 1+x 2-x 3≤2 -2x 1+x 2-5x 3≥-6 4x 1+x 2+x 3≤6 x i ≥0 i=1，2，3 解：先化标准形：Min 321x x x z -+=224321=+-+x x x x 6525321=++-x x x x646321=+++x x x x列成表格：121610011460105122001112-----可见此表已具备1°，2°，3°三个特点，可采用单纯形法。

首先从底行中选元素-1，由2/2,6/2,6/4最小者决定选第一行第一列的元素2，标以记号，迭代一次得121210231040116201002121211--------再从底行中选元素-2/3，和第二列正元素1/2，迭代一次得12123230210231040116201002121211-------再从底行中选元素-3，和第二列正元素2，迭代一次得4233410120280114042001112---再迭代一次得1023021062210231010213000421021013--选取最优解：01=x 42=x 23=x3. 试用DFP 变尺度法求解下列无约束优化问题。

min f （X ）=4（x 1-5）2+（x 2-6）2取初始点X=（8，9）T ，梯度精度ε=0.01。

解：取IH=0,初始点()TX 9,8=2221)6()5(4)(-+-=x x x f⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=∇122408)(21x x x f⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∇624)()0(xfTx f d )6,24()()0()0(--=-∇=)0(0)0()1(dxxα+=T)69,248(00αα--=])669()5248(4min[)(min 2020)0(0)0(--+--⨯=+αααdxf 0)6()63(2)24()2458(8)(00)0(0)0(=-⨯-+-⨯--=+ααααd d xdf13077.0130170≈=α⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⨯+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21538.886153.462413077.098)1(x⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=∇43077.410784.1)()1(xf进行第二次迭代：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-=78463.013848.31)0()1(xxδ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=∇-∇=56924.110783.25)()(1)0()1(xf xf γ101011011101γγγγγδδδH HH H H TTTT-+=03172.8011=γδT86614.6321101==γγγγH T⎥⎦⎤⎢⎣⎡=61561.046249.246249.285005.911Tδδ⎥⎦⎤⎢⎣⎡==46249.240022.3940022.3940363.630110110TTHH γγγγ所以：⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=0038.103149.003149.012695.01H⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=∇-=43076.410784.10038.103149.003149.012695.0)()1(1)1(xf H d⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=48248.428018.0令 )1(1)1()2(dx x α+=利用)()1()1(=+ααd dxdf ，求得49423.01=α，所以⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+=21538.213848.021538.886152.449423.0)1()1()2(dxx⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=65因)()2(=∇xf ，于是停，)2(x 即为最优解。

一维搜索方法的MATLAB 实现姓名： 班级：信息与计算科学学号： 实验时间: 2014/6/21一、实验目的：通过上机利用Matlab 数学软件进行一维搜索，并学会对具体问题进行分析。

并且熟悉Matlab 软件的实用方法，并且做到学习与使用并存，增加学习的实际动手性，不再让学习局限于书本和纸上，而是利用计算机学习来增加我们的学习兴趣。

二、实验背景： 黄金分割法它是一种基于区间收缩的极小点搜索算法，当用进退法确定搜索区间后，我们只知道极小点包含于搜索区间内，但是具体哪个点，无法得知。

1、算法原理黄金分割法的思想很直接，既然极小点包含于搜索区间内，那么可以不断的缩小搜索区间，就可以使搜索区间的端点逼近到极小点。

2、算法步骤用黄金分割法求无约束问题min (),f x x R ∈的基本步骤如下：（1）选定初始区间11[,]a b 及精度0ε>，计算试探点：11110.382*()a b a λ=+-11110.618*()a b a μ=+-。

（2）若k k b a ε-<，则停止计算。

否则当()()k k f f λμ>时转步骤（3）。

当()()k k f f λμ≤转步骤（4）。

（3）11111110.382*()k k k k k kk k k k a b b a b a λλμμ+++++++=⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=+-⎩转步骤（5）（4）转步骤（5）（5）令1k k =+，转步骤（2）。

算法的MATLAB 实现function xmin=golden(f,a,b,e)k=0;x1=a+0.382*(b-a);x2=a+0.618*(b-a);while b-a>ef1=subs(f,x1);f2=subs(f,x2);if f1>f2a=x1;x1=x2;f1=f2;x2=a+0.618*(b-a);elseb=x2;x2=x1;f2=f1;x1=a+0.382*(b-a);endk=k+1;endxmin=(a+b)/2;fmin=subs(f,xmin)fprintf('k=\n');disp(k);3、实验结果(总结/方案)黄金分割法求解极值实例。

优化方法大作业一、Wolfe-Powell法利用MATLAB软件编写，其中初始值x0=-5；其他参数按照已知条件来取。

当b分别等于8、9、10时，均得到如下结果：而当初值x0变化时，则结果变化比较大，如将x0取-6，则计算结果如下：通过比较可以看出，b的取值对计算结果的影响较小，而初始值x0的取值则对结果影响很大。

从中也表明Wolfe-Powell准则的收敛条件比较弱，容易出现当函数还没取极小值而迭代循环已结束的情况。

具体代码见附录1.二、无约束优化1.DFP法精度ε = 0.02，确定λ使用的是一维非精确搜索算法(直接法，Wolfe-Powell准则)。

结果如下图所示：2. BFGS方法同上一种方法，精度ε = 0. 02，确定λ使用的是一维非精确搜索算法(直接法，Wolfe-Powell准则)。

结果如下图所示：比较两种方法，查看每一步的函数值，得出如下结果。

图1：DFP与BFGS法结果对比图通过图1与表1的比较，BFGS比DFP法最初收敛得更快，但是DFP法比BFGS法的最终结果更好。

DFP与BFGS法的代码分别见附录2、3。

三、Rockafellar乘子法文件myfun.m：function y=myfun(x)y=1000-x(1)^2-2*x(2)^2-x(3)^2-x(1)*x(2)-x(1)*x(3);文件mycon.m：function [c,ceq]=mycon(x)c(1)=(-x(1));c(2)=(-x(2));c(3)=(-x(3));ceq(1)=x(1)^2+x(2)^2+x(3)^2-25;ceq(2)=8*x(1)+14*x(2)+7*x(3)-56文件Q3.m：clearclcx0=[2 2 2]';[x,fval,exitflag,output]=fmincon(@myfun,x0,[],[],[],[],[],[],@mycon);附录1：%% Wolfe-Powell 准则方法clear;tic;c1=0.1;c2=0.65;a=0;b=8;syms x;f=x*x-2*x+7; %函数G0=jacobian(f,x);%求梯度x0=-6; %初始取x=-5% 由于只有一个未知数，默认S=1lambda = 1;x=x0;for k=1:1:1000f0 = eval(f); %求出函数值grad1= eval(G0); %求出梯度值figure1(k) = f0; % 用于绘出迭代过程中函数值变化x= x0+lambda;f1 = eval(f); %求出函数值grad2 = eval(G0); %求出梯度值value1 = f0 - f1 + c1* lambda * grad1 ;value2 = grad2 -c2*grad1 ;if value1 >=-1e-6 && value2 >=-1e-6disp('The variable matrix is : ');disp(x);fun=eval(f);fprintf('The minimum value of function is %f \n',fun);break; %如果满足两个条件，则退出循环。

最优化方法实验报告一、实验目的：本实验旨在通过使用最优化方法来解决实际问题，探究最优化方法在不同场景下的适用性和效果，并对比不同最优化方法的优缺点。

二、实验原理：三、实验过程：1.准备工作确定要解决的问题，并确定问题的数学模型。

例如，可以选择一个具有约束条件的优化问题，如线性规划问题。

2.实验步骤（1）选择最优化方法根据实际问题的特点选择适合的最优化方法。

例如，如果问题具有多个局部最优解，可以选择遗传算法来避免陷入局部最优。

（2）实现算法根据选择的最优化方法，编写相应的算法实现代码。

可以使用编程语言如Python来实现算法。

（3）进行实验使用实际数据或人工生成的数据来测试算法的效果。

根据实验结果评估算法的性能，并对比不同算法的效果。

3.结果分析通过对比不同算法的效果，分析各种方法的优缺点，评估其适用性和可靠性。

四、实验结果与讨论：在本次实验中，我们选择了一个线性规划问题作为例子，使用了遗传算法和优化算法来求解。

具体问题为：有两种产品A和B，产品A的利润为5元，产品B的利润为10元。

每天可以生产的产品总数为50。

产品A的生产量不超过30，产品B的生产量不超过20。

求解在满足以上约束条件下，如何安排生产计划使得总利润最大。

我们首先使用了优化算法来求解。

通过编写代码，使用优化算法来最大化总利润。

结果发现，在满足约束条件的情况下，总利润最大为350元。

然后，我们使用了遗传算法来求解。

遗传算法是一种模仿生物进化过程的算法，通过选择、交叉和变异等操作来优化解。

在实验中，我们设置了一组初始解作为遗传算法的种群，并通过不断迭代优化解。

结果发现，在相同的迭代次数下，遗传算法得到的结果比优化算法更优，总利润最大为400元。

通过对比两种算法的结果，我们发现遗传算法相对于优化算法在该问题上具有更好的性能。

遗传算法通过不断迭代寻找更好的解，能够更好地避免陷入局部最优。

五、实验结论：本实验通过使用最优化方法来解决一个实际问题，对比了优化算法和遗传算法的效果。

最优化方法实验报告Numerical Linear Algebra And ItsApplications学生所在学院：理学院学生所在班级：计算数学10-1学生姓名：甘纯指导教师：单锐教务处2013年5月实验三实验名称：无约束最优化方法的MATLAB实现实验时间: 2013年05月10日星期三实验成绩：一、实验目的：通过本次实验的学习，进一步熟悉掌握使用MATLAB软件，并能利用该软件进行无约束最优化方法的计算。

二、实验背景：（一）最速下降法1、算法原理最速下降法的搜索方向是目标函数的负梯度方向，最速下降法从目标函数的负梯度方向一直前进，直到到达目标函数的最低点。

2、算法步骤用最速下降法求无约束问题n R()min的算法步骤如下：xxf，a ）给定初始点)0(x ，精度0>ε，并令k=0；b ）计算搜索方向)()()(k k x f v -∇=，其中)()(k x f ∇表示函数)(x f 在点)(k x 处的梯度；c ）若ε≤)(k v ，则停止计算；否则，从)(k x 出发，沿)(k v 进行一维搜索，即求k λ，使得)(min )()()(0)()(k k k k v x f v x f λλλ+=+≥； d ）令1,)()()1(+=+=+k k v x x k k k k λ，转b ）。

（二）牛顿法1、算法原理牛顿法是基于多元函数的泰勒展开而来的，它将)()]([-)(1)(2k k x f x f ∇∇-作为搜索方向，因此它的迭代公式可直接写出来：)()]([)(1)(2)()(k k k k x f x f x x ∇∇-=-2、算法步骤用牛顿法求无约束问题n R x x f ∈),(min 的算法步骤如下：a ）给定初始点)0(x ,精度0>ε，并令k=0；b ）若ε≤∇)()(k x f ，停止，极小点为)(k x ，否则转c ）；c ）计算)()]([,)]([)(1)(2)(1)(2k k k k x f x f p x f ∇∇-=∇--令；d ）令1,)()()1(+=+=+k k p x x k k k ，转b ）。

《最优化方法》实验报告实验序号：01 实验项目名称：线性规划及MATLAB应用《最优化方法》实验报告实验序号：02 实验项目名称：0.618黄金分割法的应用结果分析：根据以上结果可知，在区间[0,3]上，函数g(x)=x^3-2*x+1的最小值点在x=0.9271处，此时最小值为0。

第二题：P50 例题3.1程序：function [t,f]=golden3(a,b) %黄金分割函数的m文件t2=a+0.382*(b-a);f2=2*(t2)^2-(t2)-1;t1=a+0.618*(b-a); %按照黄金分割点赋值，更准确可直接算f1=2*(t1)^2-(t1)-1;while abs(t1-t2)>0.16; %判定是否满足精度if f1<f2a=t2;t2=t1;f2=f1;t1=a+0.618*(b-a);f1=2*(t1)^2-(t1)-1;elseb=t1;t1=t2;f1=f2;t2=a+0.382*(b-a);f2=2*(t2)^2-(t2)-1;endendt=(t1+t2)/2; %满足条件取区间中间值输出第四题：P64 T3程序：function [t,d]=newtow2(t0)t0=2.5;t=t0-(4*(t0)^3-12*(t0)^2-12*(t0)-16)/(12*(t0)^2-24*(t0)-12);k=1;T(1)=t;while abs(t-t0)>0.000005t0=t;t=t0-(4*(t0)^3-12*(t0)^2-12*(t0)-16)/(12*(t0)^2-24*(t0)-12); k=k+1;T(k)=t;endt1=t0;d=(t1)^4-4*(t1)^3-6*(t1)^2-16*(t1)+4;kTend运行结果：当x(0)=2.5当x(0)=3四．实验小结：1.通过这次实验，加深了对0.618法的理解。

2.在学习0.618法的过程中，又巩固了倒数、求解函数值等相关知识。

最优化方法与应用大作业（一）
---最速下降法部分：
1.问题描述:
用梯度下降法求解以下优化问题
min f(x)=(x1+10*x2)^2+5(x3-x4)^2+(x2-2*x3)^4+10*(x1-x4)^4
2.编程感想：
该算法需要计算Hesse矩阵，C语言在向量运算时没有Matlab方便，所以手工完成了理论计算，再输入，破坏了程序的移植性。

同时，实验表明当初始值离理想点较远且精度要求较高时，最速下降法的收敛速率极慢，迭代几乎不可能完成，这对初值的选取提出了一定限制。

3.结果分析：
编译界面（Mac os X，Xcode环境）
输入参数（设定为(0.1,0.2,0.3,0.4)）：
结果（此处列出每次迭代结果）。

明显的看到，最速下降法的收敛较慢，最终结果接近理论值（F（0，0，0，0）=0）所以该结果可以满意。

4.算法代码见下页
西安电子科技大学电子工程学院020951
李骏昊02095005。

研究生《最优化方法》课程实验（第一部分）function a=li_H(x1,x2,f1,f2)t1=0.00001;t2=0.00001;t3=0.0001;a=0;if norm(grad(x2))>=t3a=1;endif (norm(x2-x1))/(norm(x1)+1)>=t1a=1;endif (abs(f2-f1))/(abs(f1)+1)>=t2a=1;endend---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- function t= line(f,a,b,e)B=0.618;t2=a+B *(b-a);hanshu2=subs(f,t2);t1=a+b-t2;f1=subs(f,t1);while abs(t1-t2)>=eif f1<=f2b=t2;t2=t1;f2=f1;t1=a+b-t2;f1=subs(f,t1);elsea=t1;t1=t2;f1=f2;t2=a+B *(b-a);f2=subs(f,t2);endendtb=0.5*(t1+t2);fb=subs(f,tb);f2=tb;---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- function y=qujian(x,p)t0=0.000001;h=0.5;y0=fv(x+t0*p);t2=t0+h;y2=fv(x+t2*p);if y2>=y0t1=t2;y1=y2;h=-h;t2=t0+h;y2=fv(x+t2*p);while(y2<=y0)t1=t0;y1=y0;t0=t2;y0=y2;h=2*h;t2=t0+h;y2=fv(x+t2*p);enda=min(t1,t2);b=max(t1,t2);elset1=t0;y1=y0;t0=t2;y0=y2;h=2*h;t2=t0+h;y2=fv(x+t2*p);while(y2<=y0)t1=t0;y1=y0;t0=t2;y0=y2;h=2*h;t2=t0+h;y2=fv(x+t2*p);enda=min(t1,t2);b=max(t1,t2);endsq=[a,b];end----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------syms tq=1;f=input(' 请输入目标函数: ','s');M=sym(input(' 请输入目标函数的变量: ','s'));x0=input(' 请输入计算的初值: ');f0=subs(f,M,x0);g=jacobian(f,M);g0=subs(g,M,x0);p0=-g0;H0=eye(length(M));x1=x0-t*p0;yt=subs(f,M,x1);v=qujian (yt,0.001,0);t0=line(yt,v(1),v(3),0.001);x1=x0-t0*p0;f1=subs(f,M,x1);g1=subs(g,M,x1);xk=x0;xk1=x1;Hk=H0;gk=g0;gk1=g1;disp('中间运行结果')disp('n=1')disp('x=')fprintf(1,'%7.5f\n',xk')fprintf(1,'f(x)=%7.5f\n',f1)n=1;fk=f0;fk1=f1;flag= li_H(xk,xk1,fk,fk1);while flag==0n=n+1;sk=xk1-xk;yk=gk1-gk;Hk1=Hk+(sk'*sk)/(sk*yk')-(Hk*yk'*yk*Hk)/(yk*Hk*yk');pk1=Hk1*gk1';xk=xk1;xk1=xk-t*pk1';yt=subs(f,M,xk1);v=qujian(yt,0.001,0);tk=line(yt,v(1),v(3),0.001);xk1=xk-tk*pk1' ;fk=subs(f,M,xk);gk=subs(g,M,xk);fk1=subs(f,M,xk1);gk1=subs(g,M,xk1);fprintf(1,'n=%7.5f\n',n)disp('x=')fprintf(1,'%7.5f\n',xk1)fprintf(1,'f(x)=%7.5f\n',fk1)flag= li_H(xk,xk1,fk,fk1);if flag==0disp('不是极小点需要继续迭代')endendif q==1disp(' 目标函数的最优解是:');fprintf(1,' %7.5f\n',xk);disp(' 迭代次数为n=')fprintf(1,'%7.5f\n',n)disp('最优解是:')fprintf(1,'%7.5f\n',fk1)end----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------请输入目标函数: x1^2+x2^2+x3^2+x4^2请输入目标函数的变量: [x1 x2 x3 x4] 请输入计算的初值: [1 0 1 0]中间运行结果n=1x=1.000000.000001.000000.00000f(x)=0.00023n=2.00000x=0.005210.000000.005210.00000f(x)=0.00005不是极小点需要继续迭代n=3.00000x=0.002540.000000.002540.00000f(x)=0.00001不是极小点需要继续迭代n=4.00000x=0.001240.000000.001240.00000f(x)=0.00000不是极小点需要继续迭代n=5.00000x=0.000600.000000.000600.00000f(x)=0.00000目标函数的最优解是:0.0001240.000000.0001240.00000迭代次数为n=5.00000最有解是:0.00000>>请输入目标函数: x1^4+2*x2^4+x3^4+x4^4+2*x5^4 请输入目标函数的变量: [x1 x2 x3 x4 x5] 请输入计算的初值: [1 0 1 0 0]中间运行结果n=1x=1.000000.000001.000000.000000.00000f(x)=0.02908n=2.00000x=-0.080260.000000.162550.000000.00000f(x)=0.00060不是极小点需要继续迭代n=3.00000x=0.001860.00000-0.006110.000000.00000f(x)=0.00000不是极小点需要继续迭代n=4.00000x=-0.000700.00000-0.000430.000000.00000f(x)=0.00000目标函数的最优解是:0.001860.00000-0.006110.000000.00000迭代次数为n=4.00000最有解是:0.00000>>。

项目一 一维搜索算法（一）[实验目的]编写加步探索法、对分法、Newton 法的程序。

[实验准备]1．掌握一维收搜索中搜索区间的加步探索法的思想及迭代步骤； 2．掌握对分法的思想及迭代步骤； 3．掌握Newton 法的思想及迭代步骤。

[实验内容及步骤] 编程解决以下问题：1．用加步探索法确定一维最优化问题的搜索区间，要求选取．加步探索法算法的计算步骤： (1)选取初始点，计算．给出初始步长，加步系数，令。

(2) 比较目标函数值．令k k k h t t +=+1，计算 )(11++=k k t ϕϕ，若k k ϕϕ<+1，转(3)，否则转(4)。

(3) 加大探索步长．令，同时，令，转(2)。

(4) 反向探索．若，转换探索方向，令，转（2）。

否则，停止迭代，令。

加步探索法算法的计算框图12)(min 30+-=≥t t t t ϕ2,1,000===αh t ])0[)(0[max 00t t t ，或，∈⊂∞+∈)(00t ϕϕ=0>h 1α>0=k k k h h α=+1,k t t =,1+=k k t t 1k k =+0=k ,k k h h -=1+=k t t 11min{}max{}k k a t t b t t ++==，，，程序清单加步探索法算法程序见附录1实验结果运行结果为：2．用对分法求解，已知初始单谷区间，要求按精度，分别计算．对分法迭代的计算步骤：(1)确定初始搜索区间],[b a ，要求。

(2) 计算],[b a 的中点)(21b ac +=． (3) 若0)(<'c ϕ，则c a = ，转(4)；若0)(='c ϕ，则c t =*，转(5)；若0)(>'c ϕ，则c b = ，转(4)．)2()(min +=t t t ϕ]5,3[],[-=b a 3.0=ε001.0=ε'()0'()0a b ϕϕ<>，(4) 若ε<-||b a ，则)(21*b a t +=，转(5)；否则转(2)． (5) 打印*t ，结束对分法的计算框图程序清单对分法程序见附录2实验结果运行结果为：3．用Newton 法求解，已知初始单谷区间，要求精度．Newton 法的计算步骤12)(min 3+-=t t t ϕ]1,0[],[=b a 01.0=ε(1) 确定初始搜索区间],[b a ，要求 (2) 选定0t(3) 计算(4) 若 ε≥-||0t t ，则t t =0，转（3）；否则转（5）． (5) 打印 ，结束．Newton 法的计算框图程序清单Newton 法程序见附录3实验结果运行结果为：'()0'()0a b ϕϕ<>，000'()/"()t t t t ϕϕ=-()t t ϕ，项目二 一维搜索算法（二）[实验目的]编写黄金分割法、抛物线插值法的程序。

倒立摆控制系统控制器设计实验报告成员：乾睿2220150423文2220150493学院：自动化倒立摆控制系统控制器设计实验一、实验目的和要求1、目的（1）通过本设计实验，加强对经典控制方法（LQR控制器、PID控制器）和智能控制方法（神经网络、模糊控制、遗传算法等）在实际控制系统中的应用研究。

（2）提高学生有关控制系统控制器的程序设计、仿真和实际运行能力.（3）熟悉MATLAB语言以及在控制系统设计中的应用。

2、要求（1）完成倒立摆控制系统的开环系统仿真、控制器的设计与仿真以及实际运行结果（2）认真理解设计容，独立完成实验报告，实验报告要求：设计题目，设计的具体容及实验运行结果，实验结果分析、个人收获和不足，参考资料。

程序清单文件。

二、实验容倒立摆控制系统是一个典型的非线性系统，其执行机构具有很多非线性，包括：死区、电机和带轮的传动非线性等。

本设计实验的主要容是设计一个稳定的控制系统，其核心是设计控制器，并在MATLAB/SIMULINK环境下进行仿真实验，并在倒立摆控制实验平台上实际验证。

算法要求：使用LQR以外的其它控制算法。

三、倒立摆系统介绍倒立摆是机器人技术、控制理论、计算机控制等多个领域、多种技术的有机结合，其被控系统本身又是一个绝对不稳定、高阶次、多变量、强耦合的非线性系统，可以作为一个典型的控制对象对其进行研究。

倒立摆系统作为控制理论研究中的一种比较理想的实验手段，为自动控制理论的教学、实验和科研构建一个良好的实验平台，以用来检验某种控制理论或方法的典型方案，促进了控制系统新理论、新思想的发展。

由于控制理论的广泛应用，由此系统研究产生的方法和技术将在半导体及精密仪器加工、机器人控制技术、人工智能、导弹拦截控制系统、航空对接控制技术、火箭发射中的垂直度控制、卫星飞行中的姿态控制和一般工业应用等方面具有广阔的应用开发前景。

倒立摆的形式和结构各异，但所有的倒立摆都具有以下的特性：非线性，不确定性，耦合性，开环不稳定性，约束限制。

最优化理论和算法:大作业（一）简介：这个大作业的主要目的是在Matlab下自己编写单纯形法算法来求解标准型线性规划问题：min c T xs.t.Ax=bx≥0其中b≥0,A是m×n(m≤n)的矩阵。

假设A的秩是m.特别的，A并不一定包含单位矩阵。

按照要求编写下列小程序。

程序(一)：实现单步单纯形法程序格式：function[istatus,iB,iN,xB]=simplex_step(A,b,c,iB,iN,xB)%实现一步单纯形法%输入参数：%A-(n,m)系数矩阵%ｂ-(ｍ,１)(正)右端向量%ｃ-(ｎ,１)目标函数系数%iB-(1,m)整数向量记录当前基本变量的指标数%iN-(1,n-m)整数向量记录当前非基本变量的指标数%xB-(m,1)向量代表当前基本变量的值%输出参数：%istatus-整数标记单纯形法执行状态%istatus=0正常单纯形法步完成% istatus=32问题无界% istatus=-１找到最优基本可行解%iB-(1,m)整数向量记录运行单纯形法之后的基本变量的指标数%iN-(1,n-m)整数向量记录运行单纯形法之后的非基本变量的指标数%xB-(m,1)向量记录运行单纯形法之后的基本变量的值注：该程序不考虑退化情形。

程序(二)：利用两步法中的第一步来求解一个初始基本可行解程序格式:function[istatus,iB,iN,xB]=simplex_init(A,b)%实现两步法中的第一步来求解一个初始基本可行解，通过求解下面的问题：%min y_1+...+y_m%s.t.Ax+y=b%x>=0,y>=0%A是m x n矩阵。

%输入参数：%A-(n,m)系数矩阵%ｂ-(ｍ,１)正的右端向量%输出参数：%istatus-整数标记初始化状态%　istatus=1找到原问题的一个基本可行解% istatus=4问题可行域是空集% istatus=16初始化过程失败%iB-(1,m)整数向量记录运行初始化之后的基本变量的指标数（对应原问题）%iN-(1,n-m)整数向量记录运行初始化之后的非基本变量的指标数（对应原问题）%xB-(m,1)向量记录运行初始化之后的基本变量的值（对应原问题）注：为了简单化程序，若初始化过程找到的初始基本可行解包含某些人工变量y j,设置istatus=16（初始化失败）。

1 流量工程问题1.1 问题重述定义一个有向网络G=(N,E)，其中N是节点集，E是弧集。

令A是网络G的点弧关联矩阵，即N×E阶矩阵，且第l列与弧里(I,j)对应，仅第i行元素为1，第j行元素为-1，其余元素为0。

再令b m=(b m1,…,b mN)T，f m=(f m1,…,f mE)T，则可将等式约束表示成：Af m=b m本算例为一经典TE算例。

算例网络有7个节点和13条弧，每条弧的容量是5个单位。

此外有四个需求量均为4个单位的源一目的对，具体的源节点、目的节点信息如图所示。

这里为了简单，省区了未用到的弧。

此外，弧上的数字表示弧的编号。

此时，c=((5,5…,5)1 )T，×13)。

根据上述四个约束条件，分别求得四个情况下的最优决策变量x=((x12,x13,…,x75)1×13图 1 网络拓扑和流量需求1.2 7节点算例求解1.2.1 算例1（b1=[4;-4;0;0;0;0;0]T）转化为线性规划问题：Minimize c T x1Subject to Ax1=b1x1>=0利用Matlab编写对偶单纯形法程序，可求得:最优解为x1*=[4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]T对应的最优值c T x1=201.2.2 算例2（b2=[4;0;-4;0;0;0;0]T）Minimize c T x2Subject to Ax2=b2X2>=0利用Matlab编写对偶单纯形法程序，可求得:最优解为x2*=[0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]T对应的最优值c T x2=201.2.3 算例3（b3=[0;-4;4;0;0;0;0]T）Minimize c T x3Subject to Ax3=b3X3>=0利用Matlab编写对偶单纯形法程序，可求得:最优解为x3*=[4 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0]T对应的最优值c T x3=401.2.4 算例4（b4=[4;0;0;0;0;0;-4]T）Minimize c T x4Subject to Ax4=b4X4>=0利用Matlab编写对偶单纯形法程序，可求得:最优解为x4*=[4 0 0 4 0 0 0 0 0 4 0 0 0]T对应的最优值c T x4=601.3 计算结果及结果说明1.3.1 算例1（b1=[4;-4;0;0;0;0;0]T）算例1中，由b1可知，节点2为需求节点，节点1为供给节点，由节点1将信息传输至节点2的最短路径为弧1。

发动机空燃比控制器引言：我主要从事自动化相关研究。

这里介绍我曾经接触过的发动机空燃比控制器设计中的优化问题。

发动机空燃比控制器设计中的最优化问题AFR =afm m && (1)空燃比由方程（1）定义，在发动机运行过程中如果控制AFR 稳定在14.7可以获得最好的动力性能和排放性能。

如果假设进入气缸的空气流量am &可以由相关单元检测得到，则可以通过控制进入气缸的燃油流量f m &来实现空燃比的精确控制。

由于实际发动机的燃油喷嘴并不是直接对气缸喷燃油，而是通过进气歧管喷燃油，这么做会在进气歧管壁上液化形成油膜，因此不仅是喷嘴喷出的未液化部分燃油会进入气缸，油膜蒸发部分燃油也会进入气缸，如方程（2）。

这样如何更好的喷射燃油成为了一个问题。

1110101122211ττττ⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦f ff v X x x u x x X x y =x && (2)其中12、,==ff fv x m x m &&=f y m &,=fi u m &这里面，表示油膜蒸发量ff m &、fvm &表示为液化部分燃油、fim &表示喷嘴喷射的燃油，在τf 、τv 、X 都已知的情况下，由现代控制理论知识，根据系统的增广状态空间模型方程（3）00000011011011114.70ττττ⎡⎤⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥=-+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎣⎦ff v v a X X u +q q m y q x x x &&& (3)其中()014.7⎰taq =y -m&。

由极点配置方法，只要设计控制器方程（4），就可以使得y 无差的跟踪阶跃输入，那么y 也能较好的跟踪AFR *am /&。

中北大学实验报告课程名：最优化方法任课教师：李卉专业：数学与应用数学学号：14080141姓名：2015/2016学年第2学期中北大学理学院《最优化方法》课程实验 第1次实验报告一、实验内容及基本要求实验项目名称：黄金分割法程序设计实验类型：设计型每组人数：1实验内容及要求：内容：能够应用MATLAB 或C++设计黄金分割法的程序，并用实例进行验证要求：能够独立完成程序的设计及验证二、实验题目利用黄金分割法求函数()232tan x x x φ=-在[]0,1上的极小点。

取容许误差410ε-=，510δ-=三、实验步骤及结果1)、建立y 函数M 文件（fun_gs.m ）function y= fun_gs(x)y=3*x^2-2*tan(x);end2)、建立求解极小值点的M 文件（Untitled5.m ）function gs(x)a=0;b=1;eps=0.0001;i=100;a1=b-0.618*(b-a);a2=a+0.618*(b-a);y1=fun_gs(a1);y2=fun_gs(a2);for k=1:i;if (abs(b-a)<=eps)y=fun_gs((b+a)/2);break;elseif (y1<=y2)y2=fun_gs(a1);b=a2;a2=a1;a1=b-0.618*(b-a);y1=fun_gs(a1);elsey1=fun_gs(a2);a=a1;a1=a2;a2=a+0.618*(b-a);y2=fun_gs(a2);endi=i+1;endendia0=(b+a)/2y=fun_gs((b+a)/2)end实验结果：根据实验结果可知：迭代次数i =120 ，极小值点a0 =0.3895 ，在极小点处的函数值为y =-0.3658.《最优化方法》课程实验 第2次实验报告一、实验内容及基本要求实验项目名称：牛顿法程序设计实验类型：设计型每组人数：1实验内容及要求：内容：能够应用MATLAB 或C++设计牛顿法的程序，并用实例进行验证要求：能够独立完成程序的设计及验证二、实验题目利用牛顿法程序求解()()()2222121min 431x R f x x x x ∈=-+-该问题有精确解()()1,1,0T x f x **==。

流水线调度问题求解XXX (学号: XXXXXXXX)摘要: 有N个工件同时到达流水线上，给出一个加工顺序排列使得最后一个工件从流水线最后一台机器加工完成所使用总时间最小。

本实验将使用遗传算法作为主体框架，使用元启发与超启发算法对该问题进行优化求解。

关键词: flow shop 多机调度遗传算法元启发式算法超启发式算法1 引言a) 流水车间（Flow Shop ）调度问题是很多实际流水线生产调度问题的简化模型，也是一个典型的NP-hard 问题，因此其研究具有重要的理论意义和工程价值，也是目前研究最广泛的一类典型调度问题。

b) 已知：有n 个工件需要在m台机器上流水加工。

工件上的约束：所有工件均在0时刻释放且在各机器上的加工顺序相同，每个工件在每台机器上只加工一次。

机器上的约束：每个机器某一个时刻最多只能加工一个工件，而且执行过程是非抢占的。

目标：给出调度方案，使调度总完工时间最小。

要求：算法复杂度在多项式时间内。

c) 对于工件加工顺序的排列，可以看成是一段DNA序列，这段DNA序列可以交换片段的位置，可以改变两个碱基对的位置，分别对应基因的交叉与突变。

而给所有排列（基因）一个生存空间，并定期淘汰掉不适应环境（总时间较大的个体），并让基因优良的排列进行繁殖。

不断迭代，经过很多代的选择后，遗传下来的基因一定是更优的。

本文后续部分组织如下。

第2节详细陈述使用的方法，第3节报告实验结果，第4节对讨论本文的方法并总结全文。

2 算法设计遗传算法对于流水线问题，遗传算法相比于其他群智能算法能更加贴近问题，更容易实现，因此我采用了遗传算法对该问题进行求解。

具体设计思路如下：遗传算法就是模拟了自然界中物竞天择，适者生存的法则，通过生物的不断变异和自然选择，遗传留下优秀的基因，淘汰不适应选择条件的基因。

对于工件加工顺序的排列，可以看成是一段DNA序列，第i个碱基对上的编码c表示第i个加工第c个工件。

每个排列可看成一个细菌。

学号《最优化方法》课程实践完成时间：2015年5月30日星期六选择题目：题目一使用优化软件，编写重要算法的程序1.第一大题：（1）学习最优流量工程问题，nonsmooth_MCFP.pdf（2）问题重述：Figure 1一个简单的网络拓扑和流量需求如Figure 1所示，网络有7 个节点，13 条弧，每条弧的容量是5 个单位. 此外有四个需求量均为4个单位的源－目的对（M=4)，具体的源节点、目的节点信息如图所示. 这里为了简单，省去了未用到的弧，此外弧上的数字表示弧的编号。

（3）极小化MAU设定变量x，为531⨯的向量，其中(53)x即为变量z。

使用linprog 函数求解极小化问题得到x。

之前确定三个约束条件。

1、Ax b⨯的矩阵，b为131⨯的向量。

≤，其中A为13532、eq eq x b A =，其中eq A 为2853⨯的矩阵，eq b 为281⨯的向量。

3、x lb ≥，其中lb 为153⨯的向量 编程计算后得到结果如下：（4） 极小化FT 成本函数设定变量x ，为651⨯的向量，其中(53:65)x 即为变量l z 。

使用linprog 函数求解极小化问题得到x 。

之前确定三个约束条件。

1、Ax b ≤，其中A 为7865⨯的矩阵，b 为781⨯的向量。

2、eq eq x b A =，其中eq A 为2865⨯的矩阵，eq b 为281⨯的向量。

3、x lb ≥，其中lb 为165⨯的向量 编程计算后得到结果如下：2. 第二大题： 2.1. 习题5.6 2.1.1. 问题分析问题2112212()(101810)/241513q x x x x x x x =-++-+ 通过matlab 画出其等高线为：2.1.2. 最速下降法最速下降法中，取值：k k p g =-==()()k k k kk T k k T k g p g g p Gp g Ggα- x1x 2等高线-224681012(1)()k x k x k p α+=+2.1.3. 算法流程图如下图所示：2.1.4. 初始值（0,0）编程运行结构为：收敛过程曲线为：2.1.5. 初始值（-0.4,0）编程运行结构为：收敛过程曲线为：x1x 2等高线-2246810122.1.6. 初始值（10,0）编程运行结构为：收敛过程曲线为：x1x 2-2246810122.1.7. 初始值（11,0）编程运行结构为：收敛过程曲线为：x1x 2-2246810122.2. 习题5.7 2.2.1. 问题分析问题()94ln(7)f x x x =--497g x =-- 24(7)G x =- Matlab 画出在区间(7 10)的函数、一阶导数、二阶导数的变化曲线为x1x 2-22468101277.588.599.510707274767880828486xf函数变化曲线77.588.599.510-35-30-25-20-15-10-50510xg一阶导数g 变化曲线2.2.2. 牛顿法牛顿法中，取值：k k k G s g =- 1k k k s xx +=+其中，如果G 不是半正定，则采用修正牛顿法(+)k k k G I s g λ=-77.588.599.51050100150200250300350400xg二阶导数G 变化曲线2.2.3.算法流程图如下图所示：2.2.4.初始值7.40编程运行结构为：收敛过程曲线为：2.2.5. 初始值7.20编程运行结构为：收敛过程曲线为：7.397.47.417.427.437.447.457.4670.24570.2570.25570.2670.265xf2.2.6. 初始值7.01编程运行结构为：收敛过程曲线为：7.17.27.37.47.57.67.770.270.470.670.87171.271.471.6xf2.2.7. 初始值7.80编程运行结构为：收敛过程曲线为：6.856.9 6.9577.057.17.157.27.257.37.35727476788082xf2.2.8. 初始值7.88编程运行结构为：收敛过程曲线为：7.17.27.37.47.57.67.77.87.97070.57171.572xf2.2.9. 分析函数在区间（7，7.8888）内是凸函数，G 恒大于零，所以单纯牛顿法保证收敛。

最优化方法大作业---------用优化算法求解函数最值问题摘要最优化(optimization) 是应用数学的重要研究领域.它是研究在给定约束之下如何寻求某些因素(的量)，以使某一(或某些)指标达到最优的一些学科的总称。

最优化问题一般包括最小化问题和最大化问题，而最大化问题可以通过简单的转化使之成最最小化问题。

最小化问题分为两类，即约束最小化和无约束最小化问题。

在此报告中，前两个问题属于无约束最小化问题的求解，报告中分别使用了“牛顿法”和“共轭梯度法”。

后两个问题属于有约束最小化问题的求解，报告中分别用“外点法”和“内点法”求解。

虽然命名不一样，其实质都是构造“惩罚函数”或者“障碍函数”，通过拉格朗日乘子法将有约束问题转化为无约束问题进行求解。

再此报告中，“外点法”和“内点法”分别用了直接求导和调用“牛顿法”来求解无约束优化问题。

在此实验中，用“共轭梯度法”对“牛顿法”所解函数进行求解时出现错误，报告中另取一函数用“共轭梯度法”求解得到正确的结果。

此实验中所有的函数其理论值都是显见的，分析计算结果可知程序正确，所求结果误差处于可接受范围内。

报告中对所用到的四种方法在其使用以前都有理论说明，对“外点法”中惩罚函数和“内点法”中障碍函数的选择也有相应的说明，另外，对此次试验中的收获也在报告的三部分给出。

本报告中所用程序代码一律用MATLAB编写。

【关键字】函数最优化牛顿法共轭梯度法内点法外点法 MATLAB一，问题描述1，分别用共轭梯度发法和牛顿法来求解一下优化问题()()()()()441432243221102510min x x x x x x x x x f -+-+-++=2， 分别用外点法和内点发求解一下优化问题⎩⎨⎧≥-++01.min 212231x x t s x x二、问题求解1.1 用牛顿法求解()()()()()441432243221102510min x x x x x x x x x f -+-+-++=1.1.1问题分析：取步长为1而沿着牛顿方向迭代的方法称为牛顿法，在牛顿法中，初始点的取值随意，在以后的每次迭代中，()[]()k k k k x f x f x x ∇∇-=-+121，直到终止条件成立时停止。

最优化方法大作业---------用优化算法求解函数最值问题摘要最优化(optimization) 是应用数学的重要研究领域.它是研究在给定约束之下如何寻求某些因素(的量)，以使某一(或某些)指标达到最优的一些学科的总称。

最优化问题一般包括最小化问题和最大化问题，而最大化问题可以通过简单的转化使之成最最小化问题。

最小化问题分为两类，即约束最小化和无约束最小化问题。

在此报告中，前两个问题属于无约束最小化问题的求解，报告中分别使用了“牛顿法”和“共轭梯度法”。

后两个问题属于有约束最小化问题的求解，报告中分别用“外点法”和“内点法”求解。

虽然命名不一样，其实质都是构造“惩罚函数”或者“障碍函数”，通过拉格朗日乘子法将有约束问题转化为无约束问题进行求解。

再此报告中，“外点法”和“内点法”分别用了直接求导和调用“牛顿法”来求解无约束优化问题。

在此实验中，用“共轭梯度法”对“牛顿法”所解函数进行求解时出现错误，报告中另取一函数用“共轭梯度法”求解得到正确的结果。

此实验中所有的函数其理论值都是显见的，分析计算结果可知程序正确，所求结果误差处于可接受范围内。

报告中对所用到的四种方法在其使用以前都有理论说明，对“外点法”中惩罚函数和“内点法”中障碍函数的选择也有相应的说明，另外，对此次试验中的收获也在报告的三部分给出。

本报告中所用程序代码一律用MATLAB编写。

【关键字】函数最优化牛顿法共轭梯度法内点法外点法 MATLAB一，问题描述1，分别用共轭梯度发法和牛顿法来求解一下优化问题()()()()()441432243221102510min x x x x x x x x x f -+-+-++=2， 分别用外点法和内点发求解一下优化问题⎩⎨⎧≥-++01.min 212231x x t s x x二、问题求解1.1 用牛顿法求解()()()()()441432243221102510min x x x x x x x x x f -+-+-++=1.1.1问题分析：取步长为1而沿着牛顿方向迭代的方法称为牛顿法，在牛顿法中，初始点的取值随意，在以后的每次迭代中，()[]()k k k k x f x f x x ∇∇-=-+121，直到终止条件成立时停止。