§10.6-7旋度与斯托克斯公式(1)

第七节 斯托克斯公式与旋度格林公式揭示了平面上的二重积分与第二类曲线积分之间的关系，下面我们再介绍一个公式，它揭示了空间中第二类曲面积分与第二类曲线积分的关系，是格林公式的推广．一、 斯托克斯（S.G.G.Stokes ）公式设∑是具有边界曲线的定向曲面，我们规定其边界曲线∑∂的正向与定向曲面的∑法向量符合右手法则．记作+∂∑．比如，若∑是上半球面221y x z --=的上侧，则+∂∑是xOy 面上逆时针走向的单位圆周．定理1（斯托克斯公式） 设∑是一张光滑或分片光滑的定向曲面，∑的正向边界+∂∑为光滑或分段光滑的闭曲线．如果函数),,(z y x P 、),,(z y x Q 、),,(z y x R 在曲面∑上具有一阶连续偏导数，则有dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q yR ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂⎰⎰∑ ⎰+∂++=∑Rdz Qdy Pdx为便于记忆斯托克斯公式可以用如下形式表示⎰⎰⎰∂∂∂∂∂∂=++∑RQ P z y x dxdy dzdx dydz Rdz Qdy Pdx L 显然格林公式是斯托克斯公式的特殊情况．和平面上的曲线积分与路径无关的条件一样，有如下定理定理2 设G 是空间的一个一维单连通区域，z y x R z y x Q z y x P z y x ),,(),,(),,(),,(++=则),,(z y x F沿G 内定向曲线的积分与路径无关的充分且必要条件是yPx Q x R z P z Q y R ∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂,, 则曲线积分⎰++LRdz Qdy Pdx 与路径无关，只与起、终点有关．例1 计算⎰++++Lz y x ydzxdy zdx ，其中L 为平面1=++z y x 被坐标面所截下的三角形的整个边界，正向与三角形上侧的法向量之间符合右手规则．解 由曲面积分定义可知⎰⎰++=++++LL ydz xdy zdx z y x ydzxdy zdx利用斯托克斯公式2333===++=∂∂∂∂∂∂=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰xyD L dxdy dxdy dxdy dzdx dydz y x z z y x dxdy dzdx dydz ydz xdy zdx ∑∑∑例2 计算dz y x dy x z dx z y I )()()(222222-+-+-=⎰Γ其中Γ是用平面23=++z y x 截立方体]1,0[]1,0[]1,0[⨯⨯的表面所得的截痕，若从z 轴的正向看去，Γ取逆时针方向．解 取∑为平面23=++z y x 的上侧被Γ所围的部分，∑的单位向量)31,31,31(=n e ，由斯托克斯公式及第二类曲面积分的定义得dS y x x z z y z y x y x x z z y z y x dxdy dzdx dydz I ⎰⎰⎰⎰---∂∂∂∂∂∂=---∂∂∂∂∂∂=∑∑222222222222313131 29)(63322334)(34-=-=-=-=++-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑的面积xy D D d dS dS z y x xyσ例3 求⎰-+-+-Ldz xy z dy zx y dx yz x )()()(222，L 为螺旋线)20( ,sin ,cos πθθθθ≤≤===b z a y a x ，θ增大的方向为正向．解 由于在3R 中，有x z Q y R -=∂∂=∂∂，y xRz P -=∂∂=∂∂，z y P x Q -=∂∂=∂∂ 该积分与路径无关，可取积分路径为直线AB ，其中)0,0,(a A ，)2,0,(b a B π，所以AB ：⎪⎩⎪⎨⎧===⇒==-tz y ax t z y a x 000 38)()()(33202222b dt t dz xy z dy zx y dx yz xb Lππ==-+-+-⎰⎰ 二、 旋度 对于)1(C向量场k z y x R j z y x Q i z y x P z y x F ),,(),,(),,(),,(++=称下述向量y P x Q x R z P z Q y R ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂Q y ∂∂= 为向量场F 的旋度（rotation ）记为rot ，即Q y rot ∂∂=有了旋度的概念，斯托克斯公式可以写为⎰⎰⎰⋅=⋅Ld d rot ∑当=rot 时，⎰⋅Ld 与路径无关．下面解释一下旋度的物理意义．第二类曲线积分⎰⋅=Ld Γ称为向量场)(M F 沿L 正向的环流量．为了说明环流量的意义，我们以河流中的旋涡这样一个特殊的流速场)(M F 为例，⎰⋅Ld M ∆)(表示沿曲线L ∆正向的速度的环流量．为形象起见，不妨设L ∆是一个圆，我们设想作一个与该圆同样大小的小圆叶轮，叶轮的轴的方向与小圆正向符合右手规则，若将此叶轮放至旋涡中某点M 处，叶轮开始转动，根据经验，转动的快慢与轴的方向和叶轮大小有关，即与转动的快慢取决于曲线积分⎰⎰⋅=⋅=LLds r d ∆τ∆∆Γ的大小，当轴垂直于旋涡表面（此时e 的方向与V 一致）时，转动较快，当轴与旋涡表面有倾角时，叶轮转动较慢，可见环流量⎰⋅=Ld ∆∆Γ表示叶轮沿周界L ∆正向转动趋势的大小．这个量表示了速度场)(M F 相对于有向闭曲线L ∆的一种总体形态，但是不能反映出场内某点处的转动趋势的大小．为此，作∆Γ与小圆叶轮面积S ∆（也表示叶轮面）之比，称为环流量平均面密度⎰⋅=Ld S S ∆∆∆∆Γ1当S ∆缩向点M 时，若极限⎰⋅=→→LM S M S d S S ∆∆∆∆∆∆Γ1lim lim存在，该极限值表示位于点M 处的小水滴沿叶轮轴的方向转动趋势的大小，这就是环流量面密度的概念根据积分中值定理，存在S M ∆∈*，使得nM n MS M S M S rot rot dS e rot S d rot S dS d =⋅=⋅=⋅=→→→⎰⎰⎰⎰*][lim 1lim 1lim ∆∆∑∆∆∑∆∆∆Γ． 一个旋度处处为零的向量场称为无旋场，无旋无源场称为调和场，调和场是物理学中一类重要的场，这种场和调和函数间有着密切的联系．本章的几个主要公式都是微积分学基本公式在二维和三维空间中的推广．微积分基本公式⎰-=ba a Fb F dx x F )()()('曲线积分基本公式))(())((a r f b r f d f -=⋅∇⎰Γ格林公式⎰⎰⎰+∂+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂D DQdy Pdx dxdy y P x Q 斯托克斯公式⎰⎰⎰+∂⋅=⋅∑∑r d F S d F rot高斯公式S d F dV F div ⎰⎰⎰⎰⎰+∂⋅=ΩΩ三、 向量微分算子为方便记，在场论中经常运用一个运算符号，它称为∇（Nabla ）算子，其定义为k zj x i y ∂∂+∂∂+∂∂=∇ 这个算子可以作用到数量值函数上，也可以像通常的向量一样，与向量值函数作数量积和向量积，从而得出新的函数，其规定如下：1）设),,(z y x u u =，则u zux u y u u grad =∂∂+∂∂+∂∂=∇ 2）设k z y x R j z y x Q i z y x P z y x F ),,(),,(),,(),,(++=，则。

§10.6 旋度与斯托克斯公式10.6.1环量与环量面密度河流中有没有旋涡，大气中有没有气旋，这是很重要的问题。

因此在向量场中，要考虑这种旋转性质。

这种旋转性质是由于速度不均匀产生的。

比如一块木板飘在河面，由于流速不均匀就会旋转。

这种旋转性质不是由一点或几点上的速度决定的，而是由整个一圈上速度的总和决定的，确切地说是由环量决定的。

一、环量定义设有向量场)},,(),,,(),,,({z y x R z y x Q z y x P A =，称的沿有向闭曲线C A 曲线积分⎰⎰++=⋅=ΓCCRdz Qdy Pdx ds A为的沿有向闭曲线向量场 C A 环量。

下面以平面流速场来说明环量与旋转性质的关系。

设流速场v的流线如图分布，可明显看到有旋涡。

取封闭的流线作为积分曲线C ，因流线上每一点的流速都在该点的切线上，即v 与ds 同向，所以ds v ⋅总是正的，因而0 >⋅=Γ⎰Cds A，这表明环量不为零反映了C 所包围的区域内有旋。

向量场A 沿有向闭曲线C 的环量表示了C 所包围的区域内的“平均”旋转情况，但它不能表示向量场A在一点处的旋转情况。

二、环量面密度定义中的一点为向量场设 A M ，n M处取一个方向在点，∆∑ 作一小曲面过点M ，使其在 n M的法向量为点。

小曲面的S ∆面积记为，其边界为分段l ∆光滑曲线，n l与∆的关系按右手法则确定，向量场与正向的环量沿 ∆Γ∆l A 曲面面积S ∆之比⎰∆⋅∆=∆∆Γl ds A SS 1称为向量场n l M A 绕向量沿曲线在点∆的平均环量面密度。

y21=+y x如果不论曲面∆∑的形状如何，∆∑ 只要曲面无限收缩M 于点，而在点n M的法向量保持不变时，平均环量面密度的极限存在，则称此极限为向量场沿在点 M A 的向量 n 环量面密度，记为A rot n ，即⎰∆→∆∑⋅∆=l M nds A SA rot1lim . （1） 10.6.2旋度定义中的一点为向量场设 A M 。

第7节 斯托克斯公式7.1 斯托克斯公式斯托克斯公式是格林公式的推广，这一公式给出了在曲面块上的第二类曲面积分与其边界曲线上的第二类曲线积分之间的关系．有向曲面S 的正向边界S ：一人站在S 侧沿S 走时S 在他的左边（图7.1）。

给了可导的向量函数(,,)(,,),(,,),(,,)F x y z P x y z Q x y z R x y z ，我们有一个新的向量函数 (,,),,Q QRP R ProtF x y z yz zx xy称为(,,)F x y z 的旋度。

定理7.1 设(,,)(,,),(,,),(,,)F x y z P x y z Q x y z R x y z 在有界曲面S 上有连续可导（没有奇点），则有:d d d (,,)SSP x Q y R zrotF x y z dS d d d d d d SQQ R P RPy z z x x y yzzxxy(7.1) 注 ①S 不必要求单连通；②上述公式可用行列式表示：d d d d d d d d d SSy zz x x y P x Q y R zx y z PQR右端行列式按第一行展开，并把x与Q 的乘积理解为Qx等． 公式(7.1)称为斯托克斯(Stokes)公式，特别地，当S 是xOy 平面上的简单闭曲线，S 是S 在xOy 平面上所围成的区域，则斯托克斯公式便成为格林公离 散数 学式，所以斯托克斯公式是格林公式的推广．斯托克斯公式的意义：一般地，右边的偏导函数比左边的原函数简单。

注意到：在斯托克斯公式中，固定曲线S 后，S 可以自由选择。

我们先给两例说明它的应用．【例7.1】 利用斯托克斯公式计算曲线积分d d d I z x x y y z ，其中为平面1xy z 被三个坐标面所截的三角形边界，它的正向与这个三角形上侧的法向量之间符合右手螺旋法则(如图7.2)．解 由斯托克斯公式有(10)d d (10)d d (10)d d SIy z z x x yd d d d d d Sy zz xx y由被积函数（都为1）与S 的对称性得33d d 3d d 2xySD Ix y x y． 其中xy D 为S 在xOy 面上的投影．【例7.2】计算()d ()d ()d Iy z x z x y x y z ，其中是圆柱面222x y a 和平面1,(,0)x z a cac的交线，方向为从z 轴正向看去为逆时针方向(如图7.3所示)．解 平面法向量11{,0,}a cn，2222{,0,}n c a acace ，有图7.2图7.3第1章集 合(11)d d (11)d d (11)d d SIy z z x x y2d d d d d d Sy z z x x y2(coscoscos )d SS （这里(cos ,cos ,cos )ne ） 222222d 21()d d xySD c a a c c S x y aa c a c 22222212()a c c a a a c aac*定理7.1的证明：首先证明d d d d d SSPPP xz x x y z y(7.2) 证明的思路是等式两边化为同一个二重积分．如图7.4，不妨设与xOy 面垂直的直线与S 至多交于一点，S 取上侧，S 在xOy 面上的投影为xy D ，设S 的方程为:(,)zz x y , (,)xy x y D ，因为S在S 上，所以S 的方程可设为:(),(),((),())x x t y y t z z x ty t ， S 的方向对应t 从到，则xy D 的方程为:(),(),xx t y y t t 从变到，由格林公式，有(,,)d [(),(),((),())]()d SP x y z xP x t y t z x t y t x t t =(,,(,))d xyD P x y z x y x(,,(,))d d xyD P x y z x y x y y(,,(,))(,,(,))[]d d xyD P x y z x y P x y z x y zx y yz y(7.3)另一方面，由第二类曲面积分的计算方法，有d d d d ()d d d d SSPPP zPz x x y x y x y zy z y y=(,,(,))(,,(,))(())d d XYD P x y z x y P x y z x y z x y zyy(7.4)由(7.3)(7.4)式得(7.2)式成立．若S 与垂直于xOy 的平面的直线的交点多于一个时，可通过分割的方法，将S 分成图7.4xy离 散数 学几部分，使每一部分与垂直于xOy 的平面的直线的交点至多一个，则在每一片上，(7.2)式成立．各片上的(7.2)式相加，可得在S 上(7.2)式仍成立．用类似的方法可证得：d d d d d SSQQQ yx y y z x z(7.5) d d d d d SSRRR zy z z x yx(7.6) 将(7.2)，(7.5)，(7.6)相加即得斯托克斯公式(7.1)成立．证毕．*7.2 空间曲线积分与路径无关的条件与平面曲线积分与路径无关的相关结论类似，有定理7.2 设V 为空间一维单连通区域，若函数(,,),(,,),(,,)P x y z Q x y z R x y z在V 上连续，且有一阶连续偏导数，则以下四个条件等价：(1)对于V 内任一分段光滑的封闭曲线有d d d 0P x Q y Rz ．(2)对于V 内任一分段光滑的曲线，曲线积分d d d P x Q y R z 与路径无关．(3)d d d P x Q y R z 在V 内是某一函数的全微分，即存在(,,)u x y z ，使得d d d d uP xQ yR z 在V 内每一点成立．(4),,Q Q P R R Py x zy xz在V 内每点成立． 定理的证明与平面的情形相仿，不再重复．【例7.3】 验证积分()d ()d ()d yz xzx yxy z与路径无关，并求被积函数的原函数(,,)u x y z ．解 P y z ，Q z x ，R x y 1,1,1.Q Q PR R P yxzyxz所以积分与路径无关．取积分路径如图7.5所示，有 0(,,)d d d M M u x y z P xQ yR z 12012d d d M M M M M M P xQ yR z000()d ()d ()d x y z x y z y z x z x y x y z图7.50)第1章集 合000000()()()()()()y z x x z x yy xy zz离 散数 学习题11－7A 类1．利用斯托克斯公式，计算下列曲线积分：(1)d d d y x z y x z ，其中为圆周2222,0x y z a xy z ，若从x 轴正向看去，取逆时针方向； *(2)222222()d ()d ()d Ly z xx z yx y z ，其中L 为1xy z 与三坐标面的交线，它的方向与法向量{1,1,1}n符合右手螺旋法则； (3)()d ()d ()d Lz y x x z yyx z ，其中L 为以(,0,0),(0,,0),(0,0,)A a B a C a 为顶点的三角形沿ABCA 的方向． *2．利用斯托克斯公式把曲面积分(cos (1)cos cos )d Sy z S 化为曲线积分，并计算积分值，S 为立方体{(,,)|02,02,02}x y z x y z 的表面外侧去掉xOy面上的那个底面，{cos ,cos ,cos }n是S 的单位法向量．B 类1．若L 是平面cos cos cos 0x y z p 上的闭曲线，它所包围区域的面积为S ，求d d d cos cos cos Lxy z xyz其中L 依正向进行．。

斯托克斯公式旋度形式斯托克斯公式是向量分析中的一个重要定理，用于计算一个曲面上的矢量场沿闭合曲线的环路积分。

其旋度形式的表达方式更为简洁，能够更直观地揭示矢量场的旋转特性。

本文将围绕斯托克斯公式旋度形式展开讨论，介绍其基本原理以及应用场景。

我们来了解一下斯托克斯公式的旋度形式。

斯托克斯公式描述了一个曲面上的矢量场F沿着曲线C的环路积分与曲面S的旋度之间的关系。

其旋度形式如下：∮C F·dr = ∬S (rotF)·dS其中，∮C表示沿曲线C的环路积分，F为矢量场，dr表示沿曲线C 的微元矢量，∬S表示对曲面S的面积分，rotF表示矢量场F的旋度，dS表示曲面S的微元面积。

斯托克斯公式旋度形式的推导过程较为复杂，这里不做详细阐述。

我们直接来看一下它的应用。

斯托克斯公式旋度形式在物理学和工程学中有着广泛的应用。

首先，它可以用来计算一个闭合回路上的环流，即沿着闭合曲线的矢量场的绕圈流动情况。

例如，在电磁学中，斯托克斯公式可以用来计算磁场沿闭合回路的环路积分，从而得到磁场的旋度。

这对于理解电磁感应现象以及设计电磁设备具有重要意义。

斯托克斯公式旋度形式还可以用于计算流体力学中的涡量。

涡量描述了流体流动中的旋转情况，通过斯托克斯公式可以将涡量与曲面上的环流联系起来，从而更好地理解和分析流体力学问题。

斯托克斯公式旋度形式还可以应用于电路分析中。

在电路理论中，电流可以看作是电荷的流动，而电流线可以看作是电荷流动的路径。

通过斯托克斯公式旋度形式，可以将电流沿闭合回路的环路积分与电流线圈围的面积分联系起来，从而可以更方便地计算电路中的电流分布情况。

斯托克斯公式旋度形式是向量分析中的重要工具，它能够帮助我们更好地理解和分析矢量场的旋转特性。

在物理学、工程学以及电路分析等领域中都有着广泛的应用。

通过斯托克斯公式旋度形式，我们可以计算闭合曲线上的环路积分，并将其与曲面上的面积分联系起来，从而更全面地了解矢量场的性质和行为。

旋度斯托克斯定理
哎呀，说起旋度斯托克斯定理，这可是数学界的一大宝贝，听起来就像是数学界的“麻辣烫”——又辣又烫，但味道十足。

咱们今天就来给它降降温，用点幽默的口语，让大家伙儿轻松消化这个高深的专业名词。

话说这旋度斯托克斯定理，它老人家可是向量微积分中的VIP，简单来说，就是告诉我们怎么把一个在平面上的小圈圈（嗯，专业点叫“闭合曲线”）绕啊绕的，变成一个覆盖在大面积上的玩意儿（也就是“曲面”）。

这个过程，就像是把一碗面条，从碗里捞出来，摊开成一张大饼。

用点专业词汇，那就是：旋度斯托克斯定理描述了向量场在闭合曲线上的线积分与其在边界曲面上的旋度之间的关系。

听起来是不是有点头晕？别急，咱用大白话解释一下。

想象你手里有一根水管，水在里面转啊转，这旋度就是看水转得有多欢快。

而斯托克斯定理呢，就是告诉你，水管出口处水的旋转情况，其实跟水管里面的水流路径有关。

幽默一下，这就好比你在公园里跑步，跑了一圈，发现起点和终点竟然是同一个地方。

这斯托克斯定理就像是你的跑步教练，告诉你：“小子，你这一圈跑得怎么样，我看看你脚下的草地就知道了。

”是不是有点意思？
再来说说这定理的“幽默”之处。

它告诉我们，有时候，你不需要亲自去绕那个大圈，看看边界上的情况，就能知道中间发生了什么。

这就好比，你不需要吃完整碗面，看看碗边剩下的调料，就能猜到这碗面的味道。

总之，旋度斯托克斯定理，虽然听起来高大上，但其实就跟我们的生活息息相关。

它教会我们，世界上的事儿，有时候得换个角度看，你会发现，原来复杂的数学问题，也能变得如此有趣。

下次遇到难题，不妨想想旋度斯托克斯定理，没准儿你就找到了解题的新门道呢！。