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第七节 斯托克斯公式11-7

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斯托克斯公式公式

斯托克斯公式公式

斯托克斯公式
斯托克斯公式(Stokes' formula)是一种用于计算物体在流体中的沉降速度的公式。

这个公式常用于计算圆柱形物体、球体或椭圆体在流体中的沉降速度。

斯托克斯公式的通常形式是：
v = gd^2(ρs - ρf)/18μ
其中：
v是物体的沉降速度(m/s)；
g是重力加速度(9.8 m/s^2)；
d是物体的直径(m)；
ρs是物体的密度(kg/m^3)；
ρf是流体的密度(kg/m^3)；
μ是流体的粘度(Pa·s)。

注意：斯托克斯公式仅适用于流体的流动是静态的、流动是匀速的、流体的流动是无流速场的情况。

例如，如果有一个圆柱形物体直径为0.1 m，密度为800 kg/m^3，流体密度为1000 kg/m^3，粘度为0.001 Pa·s，则其沉降速度为约0.15 m/s。

斯托克斯公式

斯托克斯公式
∂ ∂y
d xd y
∂ ∂z
∫ zd x + xd y + yd z =
Γ ∑
∫∫
Σ
∂ ∂x
= ∫∫ d y d z + d z d x + d x d y
z
x
y
利用轮换对称性
= 3 ∫∫ d x d y
Σ
3 = 3 ∫∫ d x d y = . 2 D
xy
例2 利用斯托克斯公式计算曲线积分
I = ∫ ( y 2 − z 2 )dx + ( z 2 − x 2 )dy + ( x 2 − y 2 )dz
3 其中Γ 是用平面 x + y + z = 截立方体 : 2 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1 的表面所得的截痕 , 若从 Ox轴的正向看去 , 取逆时 针方向. 3 解 取Σ为平面 x + y + z = 的上侧被 Γ 所围的部分， 2
Γ
1 {1, 1, 1}, Σ的单位法向量 n = 3 1 即 cosα = cos β = cos γ = 3 1 1 1 3 3 3
∂ ∂P ∂P Q P [ x , y , f ( x , y )] = + ⋅ fy ∂y ∂y ∂z
∂P ⎞ ∂P ⎞ ⎛ ∂P ⎛ ∂P 左边 = − ∫∫ ⎜ fy + fy + ⎟ cos γdS = − ∫∫ ⎜ ⎟ d xd y ∂y ⎠ ∂y ⎠ ⎝ ∂z ⎝ ∂z Σ ∑ ∂P ∂P ∂ Q P [ x , y , f ( x , y )] = + ⋅ fy ∂y ∂y ∂z ∂ = − ∫∫ P [ x , y , f ( x , y )] dxdy = ∫ P [ x , y , f ( x , y )] dx ∂y c ∂P ∂P ∴ ∫∫ dzdx − dxdy = ∫ P [ x , y , f ( x , y )] dx 成立 ∂y ∂z c

微积分II课件——11-7 斯托克斯公式stokes公式 环流量与旋度

微积分II课件——11-7 斯托克斯公式stokes公式 环流量与旋度

PQR
2. 旋度的定义:
i j k 称向量 ∂ ∂ ∂ 为向量场的旋度 (rotA ) .
∂x ∂y ∂z PQR
i j k 旋度 rotA = ∂ ∂ ∂
∂x ∂y ∂z PQR
= (∂R − ∂Q)i + (∂P − ∂R) j + (∂Q − ∂P )k. ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y
Γ的单位切向量为 t = cosλ i + cos µ j + cosν k
斯托克斯公式的向量形式
∫∫ rotA ⋅ ndS = ∫ΓA ⋅ tds 或∫∫ (rotA )n dS = ∫Γ Atds
Σ
Σ
其中
(rotA )n = rotA ⋅ n
= (∂R − ∂Q)cosα + (∂P − ∂R)cos β + (∂Q − ∂P )cosγ
四、小结
cos α cosβ cos γ
斯托克斯公式
∫∫
Σ
∂ ∂x
∂ ∂y
∂ ds = ∂z
PQR
dydz dzdx dxdy
∫∫
Σ
∂ ∂x
∂ ∂y
∂ ∂z
= ∫Γ Pdx + Qdy + Rdz
P Q R = ∫∫ rotA ⋅ ndS = ∫ΓA ⋅ tds
Σ
斯托克斯公式成立的条件
斯托克斯公式的物理意义
∫∫
Σ
∂P ∂z
dzdx
−
∂P dxdy ∂y
=
−
∫∫
Σ
(
∂P ∂y
+
∂P ∂z
f y )cosγds
即
∫∫
Σ
∂P ∂z

第七节：斯托克斯公式

第七节：斯托克斯公式

（3）若 是 xoy 面上的平面区域 D， 则
z 0, cos cos 0, cos 1
0 Pdx Qdy x P 0 y Q 1 Q P dS ( ) dxdy z y D x R
dydz dzdx dxdy Pdx Qdy Rdz x y z P Q R cos Pdx Qdy Rdz x P cos y Q cos dS z R

Pdx Qdy Rdz
该等式称为斯托克斯公式
R Q P R ( )dydz ( )dzdx ( Q P )dxdy z z x x y y
（1）在公式中， 的侧向与 的方向要符合右手规则 （2）为帮助记忆，引入如下行列式记号



P 由格林公式 P[ x , y , f ( x , y )]dx (0 )dxdy y D xy C
C
( Py Pz z y )dxdy
D xy

P ( x , y , z )dx ( Py Pz z y )dxdy
D xy
在 xoy 面上的投影区域记为 Dxy
相应地， 在 xoy 面上的投影为 C C 的方向为逆时针方向。
x
0 C

y
Dxy
（1） 取上侧。 首先，可以证明 P ( x , y , z )dx P[ x , y , f ( x , y )]dx 因为若 ( x , y ) C , ( x , y , z ) 是 上对应的点， 则必有 P ( x , y , z ) P[ x , y , f ( x , y )] 且对于 上的一个小弧段 ds 它在 xoy 面上的投影记为 ds 则 ds C , ds 和 ds 在 x 轴上的投影 完全一样，都为 d x 所以上面等式两边的被积表达 式相等。

经典高等数学课件D11-7斯托克斯公式

经典高等数学课件D11-7斯托克斯公式
19
斯托克斯公式的又一种形式:
R Q P R Q P [( y z )cos ( z x )cos ( x y )cos ]dS
( P cos Q cos R cos )ds 其中: 的单位法向量为:n cos i cos j cos k , 的单位切向量为: cos i cos j cos k .
D D
14
*三、 环流量与旋度
1. 环流量的定义: 设向量场A( x, y, z) P( x, y, z)i Q( x, y, z ) j R( x, y, z )k 则沿场A中某一封闭的有向曲线上的曲线积分
称为向量场A沿有向闭曲线的环流量.


A ds Pdx Qdy Rdz
复 习
1.高斯公式 （条件：封闭性，有向性，连续性）
P Q R ( x y z )dv Pdydz Qdzdx Rdxdy. 外
2.高斯公式的应用 （1）简化计算面积分 （2）物理意义 通量
Pdydz Qdzdx Rdxdy
Q P 即 dxdy P ( x , y )dx Q( x , y )dy ---格林公式 x y D
故格林公式是斯托克斯公式的特殊情况.
8
3.记忆方法：
dydz dzdx dxdy

Pdx Qdy Rdz

4.另一种形式：
z R
o
1
x
Dx y


3 dydz dzdx dxdy (1,1,1) n dxdy 3 d .

第七节 斯托克斯公式与旋度

第七节 斯托克斯公式与旋度
第七节 斯托克斯公式与旋度
一、斯托克斯(stokes)公式 二、物理意义 -- 环流量与旋度 三、空间定向曲线积分与路径无关条件
一、斯托克斯(stokes)公式
1、定向曲面∑的正向边界曲线： 设定向曲面∑ 的边界曲线为，规定 的正向 如下：当人站立于定向曲面的一侧上，并沿 行走时，邻近处的 始终位于他的左方. 带有正向的边界曲线 称作定向曲面 的正向边界 曲线，记作 + .
Stokes公式的实质: 表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线 上的曲线积分之间的关系.
(当Σ是xoy面的平面闭区域,且R(x,y,z)=0
斯托克斯公式
特殊情形
格林公式
z
例 1 计算 zdx xdy ydz , 其中 是平面 x y z 1 被 三坐标面所截成的三角形的 整个边界,取逆时针方向.
称为向量场 F 沿曲线 按所取方向的环流量 .
环流量

F dr Pdx Qdy Rdz



F dr

i x P
j y Q
k dS z R
P ( x , y , z ) i Q ( x , y , z ) j R( x , y , z ) k i j k 称向量 x y z P Q R R Q P R Q P ( )i ( ) j ( )k . y z z x x y 为F在点( x , y, z )处的旋度(rotation), 记为rotF .
设空间区域G, 如果G内任一闭曲面所围成 的区域全属于G, 则称G是空间二维单连通域;
如果G内任一闭曲线总可以张一片完全属于 G的曲面, 则称G为空间一维单连通区域.

D11_7斯托克斯公式

D11_7斯托克斯公式

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其中为平面 x+ y+ z = 1 被三坐标面所截三角形的整个
边界, 方向如图所示.
z

解: 记三角形域为, 取上侧, 则
d ydz dzdx dxd y

x
y
z
z
x
y
o
1y
1
x
Dxy
d y d z d z d x d x d y 3
dxd y 3
第七节
第十一章
斯托克斯公式
*环流量与旋度
一、斯托克斯公式 *二、空间曲线积分与路径无关的条件 *三、环流量与旋度
*四、向量微分算子
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一、 斯托克斯( Stokes ) 公式
定理1. 设光滑曲面 的边界 是分段光滑曲线, 的
侧与 的正向符合右手法则,
在包含 在内的一

利用对称性Dx y
2
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内容小结
1. 斯托克斯公式
d yd z
P d x Q d y R d z
x

P
dzdx
y
Q
dxd y
z
R
作业
cos

x
P
cos
y
Q
cos
z
dS
R
习题11-7（P245） 提高题：1

x
y

z P d x Q d y R d z
P
Q
R
或用第一类曲面积分表示:
cos cos cos

第七节斯托克斯公式散度与旋度

第七节斯托克斯公式散度与旋度

1
3
I
x
y2 z2
3
y z2 x2
3 dS z
x2 y2
高等数学
x y3
Dxy
2
x y1 2
4
3
(
x
y z)dS
(在上x
y z 3) 2
43
3
2
dS
2
3
Dxy
3dxdy 9 . 2
高等数学
{ 例3 求C
是曲线

(z
x2
y)dx
y2 1,
(
x z)dy ( x y)dz, 其中C 从z轴正向往z轴负向看, C的
高等数学
第七 节 斯托克斯公式 散度与旋度
一. 斯托克斯公式 二. 应 用 三. 环流量与旋度
重点：斯托克斯公式的应用 难点：三度、斯托克斯公式
高等数学
一、斯托克斯(Stokes)公式
定理 设为分段光滑的空间有向闭曲线,是以
为边界的分片光滑的有向曲面, 的正向与 的侧符合右手规则, 函数 P( x, y, z),Q( x, y, z),
其中n
P
{cos ,cos
Q
,cos
R
}
Stokes公式的实质:
高等数学
表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线 上的曲线积分之间的关系.
斯托克斯公式 特殊情形
格林公式
如果 是 xOy 面上的一块平面区域, 则斯托克斯
公式就是格林公式, 故格林公式是斯托克斯公式的特例.
P d x Q d y R d z
二、应用
高等数学
例 1 计算曲线积分 zdx xdy ydz ,
其中是平面 x y z 1被三坐标面所截成的

《高等数学》1(2)高等数学(同济大学)课件下第11_7斯托克斯公式

《高等数学》1(2)高等数学(同济大学)课件下第11_7斯托克斯公式
与路径无关
(3) 在G内存在某一函数 u, 使 d u P d x Q d y R d z
(4) 在G内处处有
P y
Q x
,
Q z
R y
,
R x
P z
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证: (4) (1) 由斯托克斯公式可知结论成立; (1) (2) (自证)
(2) (3) 设函数
u(x, y, z) (x, y,z) P d x Q d y R d z (x0 , y0 ,z0 )
fy
cos cos
定理1 目录 上页 下页 返回 结束
因此
P
d
x
P y
P z
cos cos
cos d S
P z
cos
P cos
y
d S
P z
d
z
d
x
P y
d
x
d
y
同理可证
Q d
y
Q x
d
x
d
y
Q d z
yd
zRdxFra bibliotekR y
d
y
d
z
R x
d
zd
x
三式相加, 即得斯托克斯公式 ;
定理1 目录 上页 下页 返回 结束
则 P d x C P(x, y, z(x, y))d x
Dx
y
y
P(
x,
y,
z
(
x,
y))
d
x
d
y
Dx y
P P z y z y
d xd
y
(利用格林公式)
n
z
P y

高等数学11.7斯托克斯(stokes)公式

高等数学11.7斯托克斯(stokes)公式

Pdx Qdy Rdz

P P dzdx dxdy y z
P P f y ) cos dS P161 ( y z
P P f y )dxdy ( z y z
n
P P 即 dzdx dxdy z y
有一阶连续偏导数, 则有公式 Q P R Q P R )dxdy ( )dydz ( )dzdx ( x y y z z x
Pdx Qdy Rdz

斯托克斯公式
一、斯托克斯公式 R Q P R Q P ) dydz ( ) dzdx ( ) dxdy ( y z z x x y Pdx Qdy Rdz 斯托克斯公式



cos cos cos ds Pdx Qdy Rdz x y z P Q R 其中n {cos , cos , cos }

一、斯托克斯公式
R Q P R Q P )dxdy ( )dydz ( )dzdx ( y z z x x y
:
f ( x, y )

R R o D dydz dzdx R ( x , y , z ) dz C x y x R Q P R Q P ( )dydz ( )dzdx ( )dxdy y z z x x y
Pdx Qdy Rdz

思路
曲面积分
P P dxdy dzdx y z
1
二重积分
2
曲线积分
P P ( cos cos )dS z y
z f ( x , y ) 法向量为： ( f x , f y , 1)

斯托克斯公式

斯托克斯公式

为了方便记忆，斯托克斯公式可写为：
Γ
∫ Pdx + Qdy + Rdz
∂R ∂Q ∂P ∂R ∂ Q ∂P − )dydz + ( − )dzdx + ( − )dxdy = ∫∫ ( ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y Σ ∂y
dydz dzdx dxdy
= ∫∫ ∂ Σ ∂x
∂ ∂y Q
∂ ∂z R
∵ Σ 取上侧 ∴ cos γ > 0
∴ n
0=
1 − − − （ − 1， 1， 1） 3
1 1 1 = ( , ) , 3 3 3
= (cos α , cos β , cos γ )
1 1 1 ∴ cos α = , cos β = , cos γ = 3 3 3
∴ 由斯托克斯公式，得
Γ
( y 2 − z 2 )dx + ( z 2 − x 2 )dy + ( x 2 − y 2 )dz ∫
Γ Γ
(1) (2) (3)
∂R ∂R ∫ Rdz = ∫∫ ∂y dydz − ∂x dzdx Σ
先证: (1)式成立。
1、简单情形 设 Σ 与平行于 z 轴的直线至多交于一点。
z
n Σ
Γ
Σ : z = z( x , y )
( i ) Σ 取上侧
±（ z x ，z y ， 1） −
y
1 + zx + z y
Γ
1
y
x
D xy
例2 利用斯托克斯公式计算
Γ
( y 2 − z 2 )dx + ( z 2 − x 2 )dy + ( x 2 − y 2 )dz ∫
3 其中 Γ 为平面 x + y + z = 2 截立方体：

斯托克斯公式及其应用

斯托克斯公式及其应用

O Dxy
y
x
C
所以 P[ x, y, f ( x, y)]dx P( x, y, z)dx.
C
故
P z
dzdx
P y
dxdy
P(
x,
y,
z)dx.
如果取下侧,等式两边同时变号,上式仍然成立.
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如果曲面与平行于z 轴的直线的交点多于一个, 则可作辅助曲线把曲面分成几部分, 运用公式再 相加, 因为沿辅助曲线而方向相反的两个曲线积 分相加时正好抵消, 所以公式仍成立.
2 3 dS
2 3
1
z
2 x
z
2 y
d
Dxy
2 3 3d
Dxy
6 (Dxy的面积)
9. 2
y
1
x y 1.5
0.5 Dxy
x y 0.5
O 0.5 1 x
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例4. 为柱面 轴正向看为顺时针, 计算
与平面 y = z 的交线,从 z
解: 设为平面 z = y 上被 所围椭圆域 , 且取下侧,
C
所以
P z
dzdx
P y
dxdy
C
P[ x,
y,
f
(
x,
y)]dx.
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因为函数 P[ x, y, f ( x, y)]在曲线C z n
上点( x, y)处的值与函数P( x, y, z)
在曲线 上对应点( x, y, z)处的值
一样,并且两曲线上的对应小弧段
在 x 轴上的投影也一样,
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一、由微分运算决定的三个量
i
j

117斯托克斯公式 PPT资料共36页

117斯托克斯公式 PPT资料共36页
英国数学物理学家. 他是19世纪英国 数学物理学派的重要代表人物之一, 其 主要兴趣在于寻求解重要数学物理问题 的有效且一般的新方法, 在1845年他导 出了著名的粘性流体运动方程 ( 后称之 为纳维 – 斯托克斯方程 ), 1847年先于 柯西提出了一致收敛的概念. 他提出的斯托克斯公式 是向量分析的基本公式. 他一生的工作先后分 五卷 出版 .
1、流量（通量）
p Q R
A d s P d Q d y z R d dz G d x x a ( x d u y y s z s ) d
场论 表达 d式 iA vdv
物理定义：左端是流速为 A 在单位时间内流出闭曲面
y
x y y z zx
x (x,y,0)
定理2
*三、 环流量与旋度
斯托克斯公式
PdxQ dyRdz
设曲面 的法向量为 n (c,c oo s ,cso ) s 曲线 的单位切向量为 (c ,c o o s ,cs o ) s
则斯托克斯公式可写为
x y z
x y Z
A( x, y,z ) 是矢量场，但 div A 却是数量场。
i jk
A（点乘）
3、旋度： rot A A
x y z
这里 A （叉乘）
PQR
都是以微分运算决定的量， 可依矢量代数及微分的规律建立若干个运算公式。
二、由积分运算决定的量 (n {c ,c o o ,c s s o }d , s{r d,d x ,d y }d z , n s d)
三、场
设f(x,y,z)及
A ( x , y , z ) p ( x , y , z ) i Q ( x , y , z ) j R ( x , y , z ) k

斯托克斯公式

斯托克斯公式

Pdx Qdy Rdz

斯托克 斯公式
R Q P R Q P ( ) dydz ( ) dzdx ( ) dxdy y z z x x y
或
将斯托克斯公式分为三式
P P (1) dzdx dxdy P ( x , y , z )dx z y
en
1 (rot F e n ) dS A
取下侧, 则其法线方向余弦
z


I


cos α cos β cos γ x y z d S y2 x y xz
o x
2
0.
y
(方法2) 将：
z

y
o x
参数化：
2
[(1 sin t )2 ( sin t ) 2 cos t (1 sin t ) cos t ]d t
第十章
第七节 斯托克斯(Stokes)公式 环量与旋度
一、斯托克斯公式
二、环量与旋度
★
三、空间曲线积分与路径无关的条件
一、斯托克斯公式
有向曲面的正向边界曲线： 的正向与的侧符合右手法则，如图.
n

右手法则

是有向曲面的 正向边界曲线
定理10.8 设Σ是光滑或分片光滑的有向曲面, 如果函数 一阶连续偏导数, 则
2π
0
[(1 sin t )2 ( sin t ) 2 cos t (1 sin t ) cos t ]d t
2π
0
( 3 sin 3 t 4 sin 2 t sin t 2) d t
in 3 ( π u) 4 sin 2 ( π u) sin( π u) 2]( d u)

斯托克斯公式

斯托克斯公式

斯托克斯公式斯托克斯公式是电磁场理论中的一个重要公式，由英国物理学家George Gabriel Stokes于1852年首次提出。

该公式描述了一个封闭曲面上的矢量场的环路积分与该曲面内部的曲面积分的关系，是电磁学中的基本公式之一。

斯托克斯公式的数学表达如下：∮_C (F · ds) = ∫∫_S (curl F · dS)其中，∮_C表示沿着封闭曲线C的环路积分，F为矢量场，ds表示曲线元素，∫∫_S表示曲面S上的面积分，curl F表示矢量场F的旋度，dS表示曲面元素。

斯托克斯公式的物理意义是将一个封闭曲面上的环路积分与该曲面内部的面积分建立了联系。

这种联系可以反映出某个矢量场的环路积分与该场在封闭曲面内部的变化情况。

斯托克斯公式的应用非常广泛，在电磁学、流体力学、数学物理等领域都有重要的作用。

在电磁学中，斯托克斯公式与麦克斯韦方程组密切相关。

根据麦克斯韦方程组，电场E和磁场B在自由空间内满足以下关系：∇ × E = - (∂B/∂t)∇ × B = μ0ε0 (∂E/∂t) + μ0J其中，∇为向量微分算子，∇ × E和∇ × B分别表示电场和磁场的旋度，μ0为真空中的磁导率，ε0为真空中的电介质常数，J为电流密度。

根据这两个方程，可以推导出斯托克斯公式的具体形式。

由于电场E和磁场B都是矢量场，可以将斯托克斯公式应用于这两个矢量场。

斯托克斯公式在电磁学中的应用非常广泛。

例如，可以使用斯托克斯公式来计算闭合导线上的电流。

根据安培定理，闭合导线上的电流可以通过磁场的环路积分来求得。

通过斯托克斯公式，可以将环路积分转化为面积分，从而简化计算过程。

此外，斯托克斯公式还可以用于推导电磁感应定律。

根据法拉第定律，磁场的变化产生感应电场。

通过斯托克斯公式，可以将感应电场与磁场的变化率建立联系，进而推导出电磁感应定律。

斯托克斯公式不仅在电磁学中有重要应用，还在流体力学中发挥着重要的作用。

11-7 斯托克斯(stokes)公式

11-7 斯托克斯(stokes)公式

D xy
P[ x , y , f ( x , y )]dxdy , y
n
:z

f ( x, y )

xy
根据Green 公式
P[ x, y, f ( x, y)]dx
c
o
y
D xy
x
C



P ( x , y, z )dx
平面有向曲线
空间有向曲线 只证
Pdx

返回
一、斯托克斯(stokes)公式
定理 设 为分段光滑的空间有向闭曲线, 是以
为边界的分片光滑的有向曲面, 的正向与
的侧符合右手规则, 函数 P ( x , y , z ) ,Q ( x , y , z ) ,
R( x , y , z ) 在包含曲面 在内的一个空间区域内具

其中 ( rotA)n rotA n R Q P R Q P ( ) cos ( ) cos ( ) cos y z z x x y
At A n P cos Q cos R cos
x
o
y
D xy
C
(当Σ 是 xoy 面的平面闭区域时)斯托Βιβλιοθήκη 斯公式特殊情形格林公式
返回
R Q P R Q P ( y z )dydz ( z x )dzdx ( x y )dxdy

Pdx Qdy Rdz
.
---- 斯托克斯公式
解
按斯托克斯公式, 有
1
n
y
返回
zdx xdy ydz 3 3 dS 2

0

G11_7斯托克斯公式

G11_7斯托克斯公式

ω = (0, 0, ω), r = (x, y, z)
点 M 的线速度为
i j k v =ω × r = 0 0 ω = (− y, ωx, 0) ω x y z
M o r y x
l
∂ ∂ ∂ ω rot v = ∂x ∂y ∂z = (0, 0, 2 ) = 2ω −ωy ωx 0 (此即“旋度”一词的来源)
7
例2. Γ 为柱面 轴正向看为顺时针, 计算
与平面 y = z 的交线,从 z
解: 设∑为平面 z = y 上被 Γ 所围椭圆域 , 且取下侧, 则其法线方向余弦
z
Γ
Σ
y
利用斯托克斯公式得
cosα cos β cosγ
I = ∫∫
∑
o x
dS
2
y
∂ ∂x 2
∂ ∂y
∂ ∂z
=0
8
xy
xz
*二、空间曲线积分与路径无关的条件 二
5
= ∫ Pd x +Qd y + Rd z (斯托克斯公式 斯托克斯公式) 斯托克斯公式 Γ
为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作: d yd z d z d x d xd y ∂ ∂ ∂ = Pd x +Qd y + Rd z ∫∫ ∂x ∂y ∂z ∫Γ ∑ P Q R 或用第一类曲面积分表示: cosα cos β cosλ ∂ ∂ ∂ ∫∫ ∂x ∂y ∂z dS = ∫ΓPd x +Qd y + Rd z ∑ P Q R 6
(3) 在G内存在某一函数 u, 使 du = Pd x +Qd y + Rd z (4) 在G内处处有
∂P = ∂Q, ∂Q = ∂R, ∂R = ∂P ∂y ∂x ∂z ∂y ∂x ∂z
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二、 环流量与旋度
斯托克斯公式
P d x Q d y R d z
设曲面 的法向量为 n (cos, cos , cos ) 曲线 的单位切向量为 (cos , cos , cos )
则斯托克斯公式可写为
(P cos Q cos R cos ) d s
z l M
o
r y
x
xy z
i jk
rot v
x
y
z
(0, 0, 2) 2
y x 0 (此即“旋度”一词的来源)
斯托克斯公式①的物理意义:
(rot A)n d S A d s 为向量场 A 沿
向量场 A 产生的旋度场
的环流量
穿过 的通量
dS
xz

o x
2y
0
例题3 计算曲线积分
Ñ z y dx x z dy x y dz,
L
其中L是曲线

x2

y2
1
, 从z轴正向
x y z 2
往z轴负向看L的方向是顺时针的。
例题4 计算曲线积分Ñ xydx z2dy zxdz, L

R )dzdx x

(Q x

P y
)dxdy
Pdx Qdy Rdz 注意: 如果 是 xoy 面上的一块平面区域,则斯托克斯
公式就是格林公式,故格林公式是斯托克斯公式的特例.
斯托克斯公式 特殊情形
格林公式
利用斯托克斯公式可以把对坐标的空间曲线积分化为 以此曲线为边界的空间曲面的曲面积分，然后利用高斯 公式可化为三重积分或直接化二重积分计算，关键是根据 给出的空间曲线适当的选取以此曲线为边界的曲面，大部 分情况下可选空间的平面的一部分，要注意的是使曲面的 侧和曲线的方向符合右手规则。
dxd y 3

利用对称性Dx y
2
例2. 为柱面 轴正向看为顺时针, 计算
与平面 y = z 的交线,从 z
解: 设为平面 z = y 上被 所围椭圆域 , 且取下侧,
则其法线方向余弦
z
利用斯托克斯公式得
cos cos cos
I


x y
y2 xy
z
其中L是锥面z x2 y2与柱面x2 y2 2ax
a 0的交线以z轴看逆时针方向。
例题5
计算曲线积分Ñ
L
x

1
dx y 1
x2 y2 z
dy
2

zdz
,
其中L是平面x y z 0与球面x2 y2 z2 1
的交线, 从oz轴正向往下看为逆时针方向。
第七节 斯托克斯公式
教学内容
1 斯托克斯公式； 2 环流量与旋度；
本节考研要求
1 会用斯托克斯公式计算曲线积分；
2 了解旋度的概念，并会计算。
一、 斯托克斯( Stokes ) 公式
定理1. 设光滑曲面 的边界 是分段光滑曲线, 的
侧与 的正向符合右手法则,
在包含 在内的一
个空间域内具有连续一阶偏导数, 则有
x

P
dzdx
y
Q
dxd y
z
R
cos

x
P
cos
y
Q
cos
z
dS
R
2. 场论中的三个重要概念

设 u u (x, y, z),
A

(P,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱQ,
R),



x
,
y
,
z
,
则
梯度:
gradu
u x
,

u y
,
u z
令 A (P, Q, R), 引进一个向量
记作 rot A
于是得斯托克斯公式的向量形式 :
i jk

x
y
z
PQR
rot A n d S A d s
或
(rot A)n d S A d s ①
定义: P d x Q d y R d z A d s 称为向量场A

u
散度:
div
A

P x

Q y

R z


A
i jk
旋度:
rot A
x
y
z
A
PQR
cos cos cos


x
y
z
d S P d x Q d y R d z
PQR
Stokes公式的实质:
表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线积分 之间的关系.
(当Σ是 xOy 面上的闭区域时)


(R y

Q )dydz z

(P z
例1. 利用斯托克斯公式计算积分
其中为平面 x+ y+ z = 1 被三坐标面所截三角形的整个
边界, 方向如图所示.
z
1
解: 记三角形域为, 取上侧, 则
d ydz dzdx dxd y

x
y
z
z
x
y
o
1y
1
x
Dxy
d y d z d z d x d x d y 3
注意 与 的方向形成右手系!
例4.
求电场强度
E

q r3
r
的旋度 .
i jk
解:
rot E
x
y
z
(0, 0, 0) (除原点外)
qx qy qz
r3 r3 r3
这说明, 在除点电荷所在原点外, 整个电场无旋.
内容小结
1. 斯托克斯公式
d yd z
P d x Q d y R d z
P d x Q d y R d z (斯托克斯公式)
n
右手法则

是有向曲面 的

正向边界曲线
为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作:
d ydz dzdx dxd y

x
y

z P d x Q d y R d z
P
Q
R
或用第一类曲面积分表示:
沿有向闭曲线 的环流量. 向量 rot A 称为向量场 A 的 旋度 .
旋度的力学意义:
设某刚体绕定轴 l 转动,角速度为 , M为刚体上任一
点, 建立坐标系如图,则
(0, 0, ), r (x, y, z)
点 M 的线速度为 i jk
v r 0 0 ( y, x, 0)