第七节 斯托克斯公式 环流量与旋度
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[理学]第七节 Stokes 公式 环流量与旋度
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曲线L复杂时，
注意：是封闭曲线
曲线的方向与曲面的侧成右手系
二、简单的应用
例 1 计算曲线积分 zdx xdy ydz ,
其中 是平面 x y z 1 被三坐标面所截成的 三角形的整个边界, 它的正向与这个三角形上侧 的法向量之间符合右手规则. z
解
1
n
y
X z, Y x, Z y
S
z
平面方程为：
S
平面 S 的法向量
n (0,1, 1)
zy
因此
I
( z cos y cos ) d S
S
S
1 ( y z) d S 0 2
三、物理意义---环流量与旋度
1. 环流量的定义:
设向量场 A( x, y, z ) X ( x, y, z )i Y ( x, y, z ) j Z ( x, y, z )k 则沿场A中某一封闭的有向曲线 C上的曲线积分 A ds Xdx Ydy Zdz C C 称为向量场A沿曲线C按所取方向的环流量.
第七节 Stokes 公式： 环流量与旋度
• • • • Stokes公式（斯托克斯公式） 简单的应用 物理意义：环流量与旋度 小结
一、斯托克斯(stokes)公式
定理 设 为分段光滑的空间有向闭曲线, 是以
为边界的分片光滑的有向曲面, 的正向与
的侧符合右手规则, 函数 X ( x, y, z ) , Y ( x, y, z ) ,
Dxy
x y 1 2 x y 3 2
I
4 ( x y z )dS 3
3 ( 在上x y z ) 2
87斯托克斯公式与旋度汇总
Pdx Qdy Rdz
R Q P R Q P rotF ( )i ( ) j ( )k y z z x x y
旋度
设 r x2 y2 z 2 , 则 2 div (grad r ) r ; rot(grad r ) 0 . x y z 提示: grad r , , r r r x 2 2 x r x ( y) r y ( ) r r 2 x2 , 3 3 2 y x r r r r r ( z ) r2 z2 三式相加即得 div (grad r ) z r r3 i j k
3 2 A ( x z ) i ( x yz ) j 3 xy k 沿闭曲 五、求向量场
2 2 z 2 x y ,z0 为圆 线 周 (从 z 轴 正向看 依逆 时针方向)的环流量 .
六、 设
u u( x , y , z )
具有二阶连续偏导数,求
rot ( gradu )
设空间区域G, 如果G内任一闭曲面所围成 的区域全属于G, 则称G是空间二维单连通域;
如果G内任一闭曲线总可以张一片完全属于 G的曲面, 则称G为空间一维单连通区域.
G
G
G
一维单连通
二维单连通
一维单连通
二维不连通
一维不连通
二维单连通
三、空间定向曲线积分与路径无关的充要条件
定理 设 G 是空间的一个一维单连通区域, F ( x , y , z ) P ( x , y , z ) i Q ( x , y , z ) j R( x , y , z ) k C ( 则 F ( x , y , z ) 沿 G 内定向曲线的积分与路径无关的 rot F 0 充分且必要条件是
第七节 Stokes 公式 环流量与旋度
= ∫∫ − zdzdx − ydxdy
S
I = ∫∫ − zdzdx − ydxdy
S
z
平面方程为： 平面方程为：
Γ
S
平面 S 的法向量
n = (0,1, −1)
z=y
法方向的方向余弦为
o x
2
y
因此
I = ∫∫ (− z ⋅ cos β − y cos γ ) d S
S
= ∫∫
S
1 ( y − z) d S = 0 2
n
∑
右手法则
Γ是有向曲面 Σ 的
Γ
正向边界曲线
证明
∂Z ∂Y ∂X ∂Z ∂Y ∂X ∫∫( ∂y − ∂z )dydz + ( ∂z − ∂x )dzdx + ( ∂x − ∂y )dxdy Σ
= ∫ Xdx +Ydy + Zdz
Γ
思路
曲面积分 1 二重积分 2
曲线积分
便于记忆形式
dydz dzdx dxdy ∂ ∂ ∂ ∫∫ ∂x ∂y ∂z = ∫Γ Xdx +Ydy + Zdz Σ X Y Z
Γ
y 2 dx + z 2 dy + x 2 dz , 其 中 Γ 是 球 面
四、利用斯托克斯公式把曲面积分 ∫∫ rot A ⋅ nds 化成曲
∑
线积分,并计算积分值, 分别如下: 线积分,并计算积分值,其中 A ,∑ 及n 分别如下: A = y 2 i + xy j + xz k ,∑ 为上半个球面 的上侧, 的单位法向量. z = 1 − x 2 − y 2 的上侧, n 是∑ 的单位法向量. 五、求向量场 A = ( x − z )i + ( x 3 + yz ) j − 3 xy 2 k 沿闭曲 线Γ 为圆 周 z = 2 − x 2 + y 2 , z = 0 时针方向) (从 z 轴 正向看Γ 依逆 时针方向)的环流量 . 设 具有二阶连续偏导数, 六、 u = u( x , y , z ) 具有二阶连续偏导数,求rot ( gradu) .
S
I = ∫∫ − zdzdx − ydxdy
S
z
平面方程为： 平面方程为：
Γ
S
平面 S 的法向量
n = (0,1, −1)
z=y
法方向的方向余弦为
o x
2
y
因此
I = ∫∫ (− z ⋅ cos β − y cos γ ) d S
S
= ∫∫
S
1 ( y − z) d S = 0 2
n
∑
右手法则
Γ是有向曲面 Σ 的
Γ
正向边界曲线
证明
∂Z ∂Y ∂X ∂Z ∂Y ∂X ∫∫( ∂y − ∂z )dydz + ( ∂z − ∂x )dzdx + ( ∂x − ∂y )dxdy Σ
= ∫ Xdx +Ydy + Zdz
Γ
思路
曲面积分 1 二重积分 2
曲线积分
便于记忆形式
dydz dzdx dxdy ∂ ∂ ∂ ∫∫ ∂x ∂y ∂z = ∫Γ Xdx +Ydy + Zdz Σ X Y Z
Γ
y 2 dx + z 2 dy + x 2 dz , 其 中 Γ 是 球 面
四、利用斯托克斯公式把曲面积分 ∫∫ rot A ⋅ nds 化成曲
∑
线积分,并计算积分值, 分别如下: 线积分,并计算积分值,其中 A ,∑ 及n 分别如下: A = y 2 i + xy j + xz k ,∑ 为上半个球面 的上侧, 的单位法向量. z = 1 − x 2 − y 2 的上侧, n 是∑ 的单位法向量. 五、求向量场 A = ( x − z )i + ( x 3 + yz ) j − 3 xy 2 k 沿闭曲 线Γ 为圆 周 z = 2 − x 2 + y 2 , z = 0 时针方向) (从 z 轴 正向看Γ 依逆 时针方向)的环流量 . 设 具有二阶连续偏导数, 六、 u = u( x , y , z ) 具有二阶连续偏导数,求rot ( gradu) .
环流量与旋度
i
解:
j
y
k
z 2
rot A x
(0 , 0 , 1)
2y
3x
z
I cos d S
8
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结束
*四、向量微分算子
定义向量微分算子:
x i y j z k 它又称为▽( Nabla )算子, 或哈密顿( Hamilton ) 算子.
i
j
k
于是得斯托克斯公式的向量形式 :
或
rot A n d S A d s (rot A) n d S A d s
①
定义:
P d x Q d y R d z A d s 称为向量场A
沿有向闭曲线 的环流量. 向量 rot A 称为向量场 A 的 旋度 .
A
P Q R x y z
div A
k
i x A P
j
y
z
rot A
Q
R
高斯公式与斯托克斯公式可写成:
A d v An d S ( A ) n d S A d s
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曲线 的单位切向量为
则斯托克斯公式可写为
(cos , cos , cos )
( P cos Q cos R cos ) d s
机动 目录 上页 下页 返回 结束
令 A ( P, Q, R) , 引进一个向量
记作
rot A
x y z P Q R
个空间域内具有连续一阶偏导数, 则有
第七节斯托克斯公式散度与旋度
1
3
I
x
y2 z2
3
y z2 x2
3 dS z
x2 y2
高等数学
x y3
Dxy
2
x y1 2
4
3
(
x
y z)dS
(在上x
y z 3) 2
43
3
2
dS
2
3
Dxy
3dxdy 9 . 2
高等数学
{ 例3 求C
是曲线
(z
x2
y)dx
y2 1,
(
x z)dy ( x y)dz, 其中C 从z轴正向往z轴负向看, C的
高等数学
第七 节 斯托克斯公式 散度与旋度
一. 斯托克斯公式 二. 应 用 三. 环流量与旋度
重点：斯托克斯公式的应用 难点：三度、斯托克斯公式
高等数学
一、斯托克斯(Stokes)公式
定理 设为分段光滑的空间有向闭曲线,是以
为边界的分片光滑的有向曲面, 的正向与 的侧符合右手规则, 函数 P( x, y, z),Q( x, y, z),
其中n
P
{cos ,cos
Q
,cos
R
}
Stokes公式的实质:
高等数学
表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线 上的曲线积分之间的关系.
斯托克斯公式 特殊情形
格林公式
如果 是 xOy 面上的一块平面区域, 则斯托克斯
公式就是格林公式, 故格林公式是斯托克斯公式的特例.
P d x Q d y R d z
二、应用
高等数学
例 1 计算曲线积分 zdx xdy ydz ,
其中是平面 x y z 1被三坐标面所截成的
10-7 斯托克斯公式环流量与旋度要点
一、斯托克斯( Stokes )公式定理1. 右手法则(斯托克斯公式)证:情形1(利用格林公式) ∂P∂P=-⎰⎰[+fy]cosγdS∑∂y∂z情形2 证毕注意:⎰⎰∑dydzdzdxdxdy∂∂∂∂x∂y∂zPQRcosαcosβcosλ∂∂∂dS⎰⎰∂x∂y∂z∑PQR例1.解:利用对称性=3⎰⎰dxdyDxy 例2.解:*二、空间曲线积分与路径无关的条件定理2. ⎰ΓPdx+Qdy+Rdz=0Γ⎰Pdx+Qdy+Rdzdu=Pdx+Qdy+Rdz证:(4)⇒(1)(1)⇒(2)(2)⇒(3)(x,y,z)Pdx+Qdy+Rdz(x0,y0,z0)u(x,y,z)=⎰∂u∂x=P(x,y,z)du=Pdx+Qdy+Rdz(3)⇒(4)证毕例3.解:P=y+z,Q=z+x,R=x+y三、环流量与旋度n=(cosα,cosβ,cosγ)τ=(cosλ,cosμ,cosν)记作rotA⎰⎰∑(rotA)ndS=⎰ΓAτds定义: 环流量旋度旋度的力学意义:=2ω(此即“旋度”一词的来源)斯托克斯公式①的物理意义:注意∑与Γ的方向形成右手系!例4.解:例5.解:*四、向量微分算子=gradu=divA=rotA内容小结1. 斯托克斯公式2. 空间曲线积分与路径无关的充要条件∂Q∂R∂R∂P∂P∂Q==,=,∂y∂x∂z∂y∂x∂zrot(P,Q,R)==03. 场论中的三个重要概念梯度:散度:旋度:2r0提示:思考与练习作业。
9-7斯托克斯公式旋度
2
x
3 x y z
2 2
dS
2
x y
3 2
z x
x y
2
D xy
x y 1 2
4
( x 3
y z ) dS
( 在 上 x y z 9
3 2
)
4 3
3
dS 2 3 3dxdy . 2
D xy
2
8
三、物理意义---环流量与旋度 1. 环流量
第七节 斯托克斯(stokes)公式
一、斯托克斯(stokes)公式 二、简单的应用 三、物理意义---环流量与旋度
1
一、斯托克斯(stokes)公式
定理 设 为分段光滑的空间有向闭曲线,
是以 为边界的分片光滑的有向曲面, 的正向与 的侧符合右手规则,
函数 P ( x , y , z ) ,Q ( x , y , z ) , R( x , y , z ) 在包含曲面 在内的 一个空间区域内具有一阶连续偏导数, 则有公式
At A n P cos Q cos R cos
环流量 rotA d S
At ds
14
Stokes公式的物理解释:
向量场 A 沿有向闭曲线 的环流量等于向量场 A 的旋度场通过 所张的曲面的通量.( 的 正向与 的侧符合右手法则)
A t ds 或 ( rotA)n dS At ds
其中 ( rot A ) n rot A n ( R y Q z ) cos ( P z R x ) cos ( Q x P y ) cos
x
3 x y z
2 2
dS
2
x y
3 2
z x
x y
2
D xy
x y 1 2
4
( x 3
y z ) dS
( 在 上 x y z 9
3 2
)
4 3
3
dS 2 3 3dxdy . 2
D xy
2
8
三、物理意义---环流量与旋度 1. 环流量
第七节 斯托克斯(stokes)公式
一、斯托克斯(stokes)公式 二、简单的应用 三、物理意义---环流量与旋度
1
一、斯托克斯(stokes)公式
定理 设 为分段光滑的空间有向闭曲线,
是以 为边界的分片光滑的有向曲面, 的正向与 的侧符合右手规则,
函数 P ( x , y , z ) ,Q ( x , y , z ) , R( x , y , z ) 在包含曲面 在内的 一个空间区域内具有一阶连续偏导数, 则有公式
At A n P cos Q cos R cos
环流量 rotA d S
At ds
14
Stokes公式的物理解释:
向量场 A 沿有向闭曲线 的环流量等于向量场 A 的旋度场通过 所张的曲面的通量.( 的 正向与 的侧符合右手法则)
A t ds 或 ( rotA)n dS At ds
其中 ( rot A ) n rot A n ( R y Q z ) cos ( P z R x ) cos ( Q x P y ) cos
第七节%20%20斯托克斯(stokes)公式%20%20环流量与旋度ppt
解 1 2 3 4 其中1：z 0, 2：x 0, 3：y 0, 4：z 1 x y
ds 1 则 dxdy 2 2 1(1+x+y) Dxy (1+x+y) 1 1 x 1 1 dx dy ln 2 2 0 0 (1+x+y) 2
j y Q
k z R
x P
因此，stokes公式可以写成向量形式 rot A nds A ds(3) 或 (rot A ） n ds A ds 公式（3）可叙述为：向量场 A沿有向闭曲线的环流量等于 向量场 A的旋度场通过所张的曲面的通量。
设向量常 A( x, y, z ) P( x, y, z )i Q( x, y, z ) j R( x, y, z )k , 则
i R Q P R Q P 1)rot A { , , } y z z x x y 称为向量场 A的旋度。 2) ( P cos Q cos R cos )ds 称为向量场 A沿闭曲线的环流量。
第七节 斯托克斯（stokes）公式 环流量与旋度
一 斯托克斯公式
stokes公式是Green公式的推广，它将曲面上的曲面 积分与沿的边界曲线积分联系起来。 定理1
设为分段光滑的空间有向闭曲线， 是以为边界的分片光滑的有向曲 面，正向与的侧符合右手规则。 P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在 曲面(连同边界)上具有一阶连续 偏导数，则
例4 求面密度为0的均匀半球壳x 2 y 2 z 2 a 2 ( z 0) 对于z轴的转动惯量。
斯托克斯公式环流量与旋度
环流量与旋度的关系式
斯托克斯公式
∮F·dr=∫(curlF)·dS，其中∮表示线积分符 号，∫表示面积分符号，dS表示微分面积。
VS
解释
斯托克斯公式表明，矢量场中封闭曲线上 的线积分等于该曲线所围成的面积上旋度 的面积分。即，矢量场穿过封闭曲线的线 段数等于矢量场在围成该曲线的各点处的 旋转程度在面积上的积分。
证明过程
利用数学归纳法证明斯托克斯公式的正确性，通过逐 步推导和归纳，最终得出结论。
结论
斯托克斯公式可以通过数学归纳法证明，证明了其在 数学上的严谨性和正确性。
05 斯托克斯公式的扩展与推 广
适用于非牛顿流体的推广
总结词
斯托克斯公式在非牛顿流体中的推广主要考虑了流体的非线性性质，包括剪切稀化和弹 性等特性。
基于电动力学公式的推导
电动力学公式
01
描述电磁场对带电粒子的作用电动力学公式分析流体微团在
磁场中受到的作用力，从而推导出斯托克斯公式。
结论
03
斯托克斯公式可以通过电动力学公式推导得出，适用于分析粘
性流体在磁场中的运动。
基于数学归纳法的证明
数学归纳法
一种证明数学命题的方法，通过递推关系证明无限序 列的结论。
物理意义
斯托克斯公式揭示了流体的动量守恒和角动量守恒两个基本物理规律，是流体力学中的基本方程之一 。
解释
通过斯托克斯公式，我们可以理解流体在粘性力作用下的运动行为，包括旋涡的形成、流体绕过障碍 物的流动以及流体内部的剪切力等。
02 环流量与旋度的关系
环流量的定义与计算
环流量定义
环流量是矢量场中封闭曲线上的线积 分，表示矢量场中穿过封闭曲线的矢 量线段数。
详细描述
高等数学 第十章 曲线积分与曲面积分 第七节 斯托克斯公式 环流量与旋度
∑
∑
P Q R + + Gauss 公式 : ∫∫∫ ( )dV x y z = ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy ;
二,Stokes公式的简单的应用
例 1 计算曲线积分 ∫ zdx + xdy + ydz ,
Γ
其中 Γ 是平面 x + y + z = 1 被三坐标面所截成的 三角形的整个边界,它的正向与这个三角形上侧 的法向量之间符合右手规则.
§7. 斯托克斯(stokes)公式 一,斯托克斯公式
定理 设 Γ 为分段光滑的空间有向闭曲线,∑ 是以
Γ 为边界的分片光滑的有向曲面, Γ 的正向与 ∑
的侧符合右手规则, 函数 P ( x , y , z ) ,Q ( x , y , z ) ,
R( x , y , z ) 在包含曲面∑ 在内的一个空间区域内具
有一阶连续偏导数, 则有公式
Q P P R R Q ∫∫ ( y z )dydz + ( z x )dzdx + ( x y )dxdy ∑
= ∫ Pdx + Qdy + Rdz
Γ
斯托克斯公式
n
∑
右手规则
Γ 是有向曲面 ∑ 的
边界曲线
z
n
Γ
如图 设∑与平行于 z 轴的直线
相交不多于一点, 并∑取 上侧,有向曲线 C 为∑的正 向边界曲线 Γ 在 xoy 的 投 影.且所围区域 D xy .
= ∫ Pdx + Qdy + Rdz
Γ
..
故有结论成立.
Q P P R R Q ∫∫ ( y z )dydz + ( z x )dzdx + ( x y )dxdy ∑
斯托克斯公式
解:按斯托克斯公式：
Γ
zdx xdy ydz dydz dzdx dxdy
由于 的 法向量的三个方向余弦都为正, 又由于对称性，上式右端为: 3 d 其中Dxy为xOy面上由直线x y 1及
Dxy
两条坐标轴围成的三角形闭区域.
故
3 zdx xdy ydz 2 Γ
( P cos Q cos R cos )dS .
Γ
设有向量场 A( x,y,z ) P( x,y,z )i Q( x,y,z ) j R( x,y,z )k 在坐标轴上的投影分别为
R Q P R Q P , , y z z x x y
曲面Σ的通量，这里Γ的正向与曲面Σ的侧应 符合右手规则.
rot A 的表达式可利用行列式记号形式地表示为
i rot A x P j y Q k . z R
P P 即 : dzdx dxdy P( x, y, z )dx 成立 y Γ z (此时, Px, y, f ( x, y )在C上点( x, y )处的值与P( x, y, z ) 在Γ上对应点( x, y, z )处的值是一样的，且两曲线上的 对应小弧段在x轴上的投影也一样.)
第七节 斯托克斯公式
一、斯托克斯公式 二、环流量与旋度
一、斯托克斯公式
定理1 设Γ为分段光滑的空间有向闭曲线， 是以Γ为
边界的分片光滑的有向曲面，Γ的正向与 的侧符合 右手规则，函数P( x, y, z )、Q( x, y, z )、R( x, y, z )在曲面
(连同边界Γ )上具有在一阶连续偏导数，则有：
注意：
斯托克斯公式 若 是xoy面上的一平面闭区域，
斯托克斯公式
Pdx Qdy Rdz
斯托克 斯公式
R Q P R Q P ( ) dydz ( ) dzdx ( ) dxdy y z z x x y
或
将斯托克斯公式分为三式
P P (1) dzdx dxdy P ( x , y , z )dx z y
en
1 (rot F e n ) dS A
取下侧, 则其法线方向余弦
z
I
cos α cos β cos γ x y z d S y2 x y xz
o x
2
0.
y
(方法2) 将：
z
y
o x
参数化：
2
[(1 sin t )2 ( sin t ) 2 cos t (1 sin t ) cos t ]d t
第十章
第七节 斯托克斯(Stokes)公式 环量与旋度
一、斯托克斯公式
二、环量与旋度
★
三、空间曲线积分与路径无关的条件
一、斯托克斯公式
有向曲面的正向边界曲线： 的正向与的侧符合右手法则，如图.
n
右手法则
是有向曲面的 正向边界曲线
定理10.8 设Σ是光滑或分片光滑的有向曲面, 如果函数 一阶连续偏导数, 则
2π
0
[(1 sin t )2 ( sin t ) 2 cos t (1 sin t ) cos t ]d t
2π
0
( 3 sin 3 t 4 sin 2 t sin t 2) d t
in 3 ( π u) 4 sin 2 ( π u) sin( π u) 2]( d u)
8.7斯托克斯公式与旋度
一阶连续偏导数, 则有公式
R Q Q P P R dydz dxdy d zd x z x y z x y
Pdx Qdy Rdz
(1)
公式(1)叫做斯托克斯公式.
1
1 1 F dr rotF dS (rotF e )dS
[rot F e ]M *
其中M * ,
由上式得：lim
1
M
上述极限就称作场F 在点 M 处沿方向e 的环量密度.
F dr lim [rotF e ]M * [rotF e ]M
练 习 题
一、 计 算 x 2 y 2 z , z 2 若从z 轴正向看去,这圆周是 逆时针方向 . 二、 计 算
y 2 dx z 2 dy x 2 dz , 其 中
2
3 ydx xzdy yz 2 dz , 其 中
是圆 周
是 球 面
x 2 y 2 z 2 a 2 和 园 柱 面 x 2 y 2 ax 的 交 线 ( a 0 , z 0) ,从 x 轴正向看去,曲线为逆时针方 向 . 三、 求向量场 A ( z sin y )i ( z x cos y ) j 的旋度 .
设空间区域G, 如果G内任一闭曲面所围成 的区域全属于G, 则称G是空间二维单连通域;
如果G内任一闭曲线总可以张一片完全属于 G的曲面, 则称G为空间一维单连通区域.
G
G
G
一维单连通
二维单连通
一维单连通
R Q Q P P R dydz dxdy d zd x z x y z x y
Pdx Qdy Rdz
(1)
公式(1)叫做斯托克斯公式.
1
1 1 F dr rotF dS (rotF e )dS
[rot F e ]M *
其中M * ,
由上式得：lim
1
M
上述极限就称作场F 在点 M 处沿方向e 的环量密度.
F dr lim [rotF e ]M * [rotF e ]M
练 习 题
一、 计 算 x 2 y 2 z , z 2 若从z 轴正向看去,这圆周是 逆时针方向 . 二、 计 算
y 2 dx z 2 dy x 2 dz , 其 中
2
3 ydx xzdy yz 2 dz , 其 中
是圆 周
是 球 面
x 2 y 2 z 2 a 2 和 园 柱 面 x 2 y 2 ax 的 交 线 ( a 0 , z 0) ,从 x 轴正向看去,曲线为逆时针方 向 . 三、 求向量场 A ( z sin y )i ( z x cos y ) j 的旋度 .
设空间区域G, 如果G内任一闭曲面所围成 的区域全属于G, 则称G是空间二维单连通域;
如果G内任一闭曲线总可以张一片完全属于 G的曲面, 则称G为空间一维单连通区域.
G
G
G
一维单连通
二维单连通
一维单连通
8-7斯托克斯公式与旋度
则沿场F中某一封闭的有向曲线C上的曲线积分
称 为C向F量 dr场 F沿C P曲dx线CQ按dy所取R方 dz 向的环流量 .
2. 旋度的定义:
称向量( R y
Q
r )i
z
(
P z
R
r )j
x
(
Q x
P )kr y
r
r
为向量场F的旋度,记为rotF .
ijk
r rotF
x
y
. z
PQR
rr 无旋场:rotA 0
二、 计 算 y 2dx z 2dy x 2dz, 其 中 是 球 面 x 2 y 2 z 2 a 2 和 园 柱 面 x 2 y 2 ax 的 交 线 (a 0 , z 0),从x 轴正向看去,曲线为逆时针方
向.
三、 求向量场 A (z sin y)i (z x cos y) j 的旋度 .
其中 是平面 x y z 1 被三坐标面所截成的
三角形的整个边界,它的正向与这个三角形上侧
的法向量之间符合右手规则.
z
解 按斯托克斯公式, 有
1
n
zdx xdy ydz
0 Dxy
y 1
dydz dzdx dxdy
1
x
由于的法向量的三个方向余 弦都为正，
dydz dzdx dxdy 3 d
四、利用斯托克斯公式把曲面积分 rot A nds 化成曲 线积分,并计算积分值,其中A , 及n分别如下: A y 2 i xy j xzk , 为上半个球面 z 1 x 2 y 2 的上侧, n是 的单位法向量.
五、求向量场 A ( x z)i ( x 3 yz) j 3 xy2 k 沿闭曲 线 为圆 周z 2 x 2 y 2 , z 0 (从z 轴 正向看 依逆 时针方向)的环流量 .
大学高数课件 8.7 第七节 斯托克斯公式与旋度
3 2 A ( x z ) i ( x yz ) j 3 xy k 沿闭曲 五、求向量场
2 2 z 2 x y ,z0 为圆 线 周 (从 z 轴 正向看 依逆 时针方向)的环流量 .
六、 设
u u( x , y , z )
具有二阶连续偏导数,求
rot ( gradu )
一个无旋无源场称为调 和场 .
调和场是物理学中的一 类重要的场 , 与调和函数有着密切联 系.
设空间区域G, 如果G内任一闭曲面所围成 的区域全属于G, 则称G是空间二维单连通域;
如果G内任一闭曲线总可以张一片完全属于 G的曲面, 则称G为空间一维单连通区域.
G G G
一维单连通
二维单连通
一维单连通
i 环流量 F dr x P
利用stokes公式, 有
j y Q
k dS z R
2. 旋度的定义: i j k 称向量 为向量场的旋度 (rot F ) . x y z P Q R
2
y 2 dx z 2 dy x 2 dz , 其 中 是 球 面
三、 求向量场 A ( z sin y )i ( z x cos y ) j 的旋度 .
四、利用斯托克斯公式把曲面积分 rot A nds 化成曲
A 线积分,并计算积分值,其中 , 及n 分别如下: 为上半个球面 A y 2 i xy j xz k , 的单位法向量. z 1 x 2 y 2 的上侧, n 是
Dxy
x y 1 2 x y 3 2
I
4 3 ( x y z )ds ( 在上x y z ) 3 2 4 3 9 ds 2 3 3dxdy . 3 2 2 D
2 2 z 2 x y ,z0 为圆 线 周 (从 z 轴 正向看 依逆 时针方向)的环流量 .
六、 设
u u( x , y , z )
具有二阶连续偏导数,求
rot ( gradu )
一个无旋无源场称为调 和场 .
调和场是物理学中的一 类重要的场 , 与调和函数有着密切联 系.
设空间区域G, 如果G内任一闭曲面所围成 的区域全属于G, 则称G是空间二维单连通域;
如果G内任一闭曲线总可以张一片完全属于 G的曲面, 则称G为空间一维单连通区域.
G G G
一维单连通
二维单连通
一维单连通
i 环流量 F dr x P
利用stokes公式, 有
j y Q
k dS z R
2. 旋度的定义: i j k 称向量 为向量场的旋度 (rot F ) . x y z P Q R
2
y 2 dx z 2 dy x 2 dz , 其 中 是 球 面
三、 求向量场 A ( z sin y )i ( z x cos y ) j 的旋度 .
四、利用斯托克斯公式把曲面积分 rot A nds 化成曲
A 线积分,并计算积分值,其中 , 及n 分别如下: 为上半个球面 A y 2 i xy j xz k , 的单位法向量. z 1 x 2 y 2 的上侧, n 是
Dxy
x y 1 2 x y 3 2
I
4 3 ( x y z )ds ( 在上x y z ) 3 2 4 3 9 ds 2 3 3dxdy . 3 2 2 D
第七节 斯托克斯公式 环流量与旋度
第七节 斯托克斯公式 环流量与旋度㈠本课的基本要求了解斯托克斯公式，了解旋度的概念，并会计算。
㈡本课的重点、难点斯托克斯公式为重点，其运用为难点㈢教学内容作为格林公式的推广，高斯公式反映了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系。
如果将格林公式在空间作另一方面的推广，即把平面曲线L 推广到空间曲线Γ，并把以L 为边界的平面区域推广到以Γ为边界的有向曲面∑，姨可得到如下的斯托克斯公式。
一．斯托克斯公式定理1 设Γ为分段光滑的有向闭曲线，∑是以Γ为边界的分片光滑的有向曲面，Γ的正向与∑的侧符合右手规则（即当右手除拇指外的四指依Γ的绕行方向时，拇指所指的方向与∑上的法向量的指向相同）。
若函数),,(),,,(),,,(z y x R z y x Q z y x P 在包含∑在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数，则⎰⎰⎰Γ∑++=∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂Rdz Qdy Pdx dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R )()()(⑴ 公式⑴叫做斯托克斯公式。
证 先假定∑与平行于z 轴的直线相交不多于一点，并设∑为曲面),(y x f z =的上侧，∑的正向边界曲线Γ在xoy 面上的投影为平面有向曲线C ，C 所围成的闭区域为xy D (如图)。
我们设法把曲面积分⎰⎰∑∂∂-∂∂dxdy y P dzdx z P 化为闭区域xy D 上的二重积分，然后通过格林公式使它与曲线积分相联系。
根据对面积的和对坐标的曲面积分间的关系，有⎰⎰⎰⎰∑∑∂∂-∂∂=∂∂-∂∂ds y P z P dxdy y P dzdx z P )cos cos (γβ ⑵ 由第八章第六节知道，有向曲面∑的法向量的方向余弦为22222211cos ,1cos ,1cos y x y x y y x xf f f f f f f f ++=++-=++-=γβα因此γβcos cos y f -=，把它代入⑵式得⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂-=∂∂-∂∂dxdy f z P y P ds f z P y P dxdy y P dzdx z P y y )(cos )(γ ⑶ 上式右端的曲面积分化为二重积分时，应把),,(z y x P 中的z 用),(y x f 来代替。