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*定理22.3设空间区域V 由分片光滑的双侧封闭曲面S 围成. V 上连续, 若函数P , Q , R 在⎛⎫∂∂∂++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰d d d V P Q R x y z x y z =⎰⎰d d +d d +d d ,(1)SP y z Q z x R x y 其中S 取外侧.(1) 式称为高斯公式.高斯公式则且有一阶连续偏导数,证下面只证∂=∂⎰⎰⎰⎰⎰d d d d d .V SRx y z R x y z d d d d d ,V S Px y z P y z x ∂=∂⎰⎰⎰⎰⎰ ∂=∂⎰⎰⎰⎰⎰d d d d d .V SQ x y z Q z x y 这些结果相加便得到高斯公式(1).先设V 是一个xy 型区域, 即其边界曲面S 由曲面证明其余两式:11():(,),(,),xy S z z x y x y D =∈读者可类似及垂直于()xy D 的柱面3S 组成(图22-7), ≤12(,)(,).z x y z x y 于是按三重积分的计算方21()(,)(,)d d d d d d xy z x y z x y V D RR x y z x y z z z ∂∂=∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰22():(,),(,),xy S z z x y x y D =∈法,有227-图xyzO2S 1S 3S ()xy D 其中()2(,,((,))d d xy D R x y z x y x y=⎰⎰=-⎰⎰⎰⎰21(,,)d d (,,)d d S S R x y z x y R x y z x y12,S S 其中都取上侧. 21(,,)d d (,,)d d ,S S R x y z x y R x y z x y -=+⎰⎰⎰⎰()21((,,((,))(,,(,)))d d xy D R x y z x y R x y z x y x y =-⎰⎰()1(,,((,))d d xy D R x y z x y x y-⎰⎰积为零, 3S xy 在平面上投影面又由于=⎰⎰3(,,)d d 0.S R x y z x y 所以从而得到21d d d d d d d V S S Rx y z R x y R x y z -∂=+∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰对于不是xy 型区域的情形, 一般可用有限个光滑曲面将它分割成若干个xy 型区域来讨论.d d .SR x y =⎰⎰3d d S R x y +⎰⎰例1 计算22()d d d d ()d d ,SI y x z y z x z x y zx x y =-+++⎰⎰其中S 是边长为a 的正立方体表面并取外侧. ()22()()()d d d V I y x z x y xz x y zx y z ⎡⎤∂∂∂=-+++⎢⎥∂∂∂⎣⎦⎰⎰⎰解应用高斯公式,201d 2aa ay a y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰000()d d d =d d (+)d a a aVy x x y z z y y x x=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰4.a =注若在高斯公式中,,,P x Q y R z ===则有d d d d d d (111)d d d .SVx y z y z x z x y x y z ++=++⎰⎰⎰⎰⎰ 于是得到应用第二型曲面积分计算空间区域V 的体积的公式:11d d d d d d .3S V x y z y z x z x y ∆=++⎰⎰解由于曲面不是封闭的, 不能直接应用高斯公式. 为了能使用高斯公式以方便计算, 可补一块平面221:4,1,S x y z +≤=并取下侧, 闭曲面.于是例2 计算22()d d d d ()d d ,Sy x z y z xz x y xz x y -+++⎰⎰S 225z x y =--1z ≥其中为曲面上的部分, 并取上侧.1S S 构成一封则122()d d d d ()d d S S y x z y z x z x y xz x y⋃-+++⎰⎰而122()d d d d ()d d S y x z y z x x z y xz x y -+++⎰⎰2()d d 4π.Dy x x y =-+=-⎰⎰因此22()d d d d ()d d Sy x z y z x z x y xz x y -+++⎰⎰()d d d Vx y x y z=+⎰⎰⎰222501d d (cos sin )d 0.r r r r r z πθθθ-=+=⎰⎰⎰4π.=q 1,S 1S 证以为球心作一半径充分小的球面使全部S q 落在所包含的区域内部, 并将坐标原点取在处. 由电学知识,在点(,,)M x y z 处的电场强度为3(),qE x i y j z k r=++ 例3 证明电学中的高斯定理: 在由点电荷q 所产生的Eq 静电场中, 电场强度向外穿过任何包含在其内S 4π.q 部的光滑封闭曲面的电通量都等于0.P Q R x y z∂∂∂++=∂∂∂所以穿过1S 的电通量为13d d d d d d S qx y z y z x z x y a ++⎰⎰ 33d d d 4π,Vqx y z q a =⋅=⎰⎰⎰1S V 1S a 其中取外侧, 是包围的半径为的球体.228-图xyzS1S qO∙其中222r x y z =++易验证(参见图22-8 ) 设3(,,),qxP x y z r=33(,,),(,,),qy qz Q x y z R x y z r r ==1d d d d d d d d d d d d SS P y z Q z x R x y P y z Q z x R x y++-++⎰⎰⎰⎰⎛⎫∂∂∂=++= ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰d d d 0,P Q R x y z xy z Ω所以穿过S 的电通量为d d d d d d SP y z Q z x R x y++⎰⎰1d d d d d d S P y z Q z x R x y =++⎰⎰4π.q =S 1S Ω在与所围的空间区域上应用高斯公式, S 1S 界的外测是的外侧和的内侧. 其边因为先对双侧曲面S 的侧与其边界曲线L 的方向作如下设有人站在S 上指定的一侧, 若沿L 行走, 指定的侧总在人的左方, 若沿L 行走, 指定的侧总在人的右方, 则人前进的方向为边界线L 的负向. 手法则, 如图22-9 所示.斯托克斯公式规定:的正向;则人前进的方向为边界线L 这个规定也称为右229图LS负向LS定理22.4设光滑曲面S 的边界L 是按段光滑的连续曲线.函数P , Q , R 在S ( 连同L ) 上连续, 且有一阶连续偏导数,其中S 的侧与L 的方向按右手法则确定.=++⎰d d d ,(2) LP x Q y R z ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎛⎫-+-+- ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰d d d d d d S R Q P R Q P y z z x x y y z z x x y 若则有斯托克斯公式如下:证先证其中曲面S 由方程确定,(,)z z x y =d d d d d ,L SP P z x x y P x z y ∂∂-=∂∂⎰⎰⎰ (3)cos cos ,.cos cos z z x y αβγγ∂∂=-=-∂∂(,,1),x y z z --向数为(cos ,cos ,cos ),αβγ方向余弦为所以它的正侧法线方若S 在xy 平面上的投影为区域(),xy D L xy 在平面上的投影为曲线.Γ公式有现由第二型曲线积分定义及格林(,,(,)),P P z P x y z x y y y z y∂∂∂∂=+⋅∂∂∂∂所以()(,,(,))d d .xy D P x y z x y x y y ∂=-∂⎰⎰因为()(,,(,))d d xy D P x y z x y x yy ∂-∂⎰⎰(,,)d (,,(,))d L P x y z x P x y z x y x Γ=⎰⎰ d d d d d ,L SP P z x x y P x z y ∂∂-=∂∂⎰⎰⎰ (3)d d .S P P z x y y z y ⎛⎫∂∂∂=-+⋅ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰d d SP P z x y y z y ⎛⎫∂∂∂-+⋅ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰d d cos cos cos S P Px y y z γβγ⎛⎫∂∂=-- ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰由于cos ,cos z y βγ∂=-∂cos cos d S P P Sy z γβ⎛⎫∂∂=-- ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰从而cos d d cos S P P x y y z βγ⎛⎫∂∂=--⋅ ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰d d d d d ,L SP P z x x y P x z y ∂∂-=∂∂⎰⎰⎰ (3)d d d d .S P P z x x y z y ∂∂=-∂∂⎰⎰∂∂-=∂∂⎰⎰⎰d d d d d ,(4) L SQ Q x y y z Q y x z ∂∂-=∂∂⎰⎰⎰d d d d d .(5)L SR R y z z x R z y x 将(3), (4), (5) 三式相加, 即得公式(2) . 如果S 不能以(,)z z x y =的形式给出, 光滑曲线把S 分割为若干小块, 综合上述结果, 便得到所要证明的(3)式.当曲面S 表示为(,),(,)x x y z y y z x ==时, 同样可证种形式来表示. 因而这时(2) 式也能成立.则可用一些使每一小块能用这为了便于记忆, 斯托克斯公式也常写成如下形式:∂∂∂=++∂∂∂⎰⎰⎰d d d d d d d d d . L Sy z z x x y P x Q y R z x y z PQR解L⎰(1S=⎰⎰132d d 2d d d d 11.22Sy z z x x y =+-=+-=⎰⎰⎰L例4 计算面的交线, 方向L x 为平面车胎状的环形区域则是非单连通的.与平面曲线积分相仿, 空间曲线积分与路线的无关性也有下面相应的定理.不经过V 以外的点而连续收缩于属于V 的一点.如: 两同心球面所界定的区域仍是单连通的; 区域V 称为单连通的, 注上述之单连通, 又称为“按曲面单连通”.义是: 对于V 内任一封闭曲线L , 均能以L 为边界, 绷起一个位于V 中的曲面.例如果V 内任一封闭曲线皆可而形如其意d d d LP x Q y R z++⎰与路线无关;d d d 0;LP x Q y R z ++=⎰ (i) 对于内任一按段光滑的封闭曲线L 有Ω(ii) 对于内任一按段光滑的封闭曲线L ,曲线积分Ω等价的:上连续, 且有一阶连续偏导数,设3R Ω⊂为空间单连通区域. 若函数P ,Q , R 在Ω则以下四个条件是例5验证曲线积分()d ()d ()d Ly z z z x y x y z+++++⎰与路线无关, 并求被积表达式的原函数(,,).u x y z 这个定理的证明与定理21.12 相仿, 这里不重复了.在内处处成立. ,(iv),P Q Q R R Py x z y x z∂∂∂∂∂∂===∂∂∂∂∂∂Ω(iii) d d d P x Q y R z Ω++是内某一函数u 的全微分,即d d d d ;(6)u P x Q y R z =++xyOz2211图-(,,M x y z 0000(,,)M x y z 210(,,)()d ()d ()d .M Mu x y z y z x z x y x y z =+++++⎰ 0M M 0M 取如图22-11, 从沿平行于x 轴的直线到所以曲线积分与路线无关.1,P Q Q R R P y x z y x z∂∂∂∂∂∂======∂∂∂∂∂∂解对于,,P y z Q z x =+=+显然有,R x y =+现在求原函数:0;c =0M 为原点, 则得若取为任意点, 则为一任c 意常数.000000()c x y x z y z =-++其中是一个常数. 0()(),x y z z xy xz yz c ++-=+++0000(,,)()d ()d ()d yxzx y z u x y z y z s z x t x y r=+++++⎰⎰⎰00000()()()()y z x x z x y y =+-++-100(,,),M x y z 再沿平行于20(,,),M x y z y 轴的直线到最后沿平行于z 轴的直线到(,,).M x y z 于是0M 若取。
