简单逻辑连接词
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一轮复习简单逻辑连接词全称命题特称命题(含答案)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词最新考纲 1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义;2.理解全称量词与存在量词的意义;3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.知识梳理1.简单的逻辑联结词(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词.(2)命题p且q、p或q、非p的真假判断p q p且q p或q非p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2.(1)全称量词:短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,用“”表示;含有全称量词的命题叫做全称命题.(2)存在量词:短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,用“”表示;含有存在量词的命题叫做特称命题.3.含有一个量词的命题的否定命题命题的否定x∈M,p(x)x0∈M,p(x0)x0∈M,p(x0)x∈M,p(x)1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT展示(1)命题p∧q为假命题,则命题p,q都是假命题.(×)(2)若命题p,q至少有一个是真命题,则p∨q是真命题.(√)(3)已知命题p:n0∈N,2n0>1 000,则p:n0∈N,2n0≤1 000.(×)(4)命题“x∈R,x2≥0”的否定是“x∈R,x2<0”.(×)2.(2014·重庆卷)已知命题p :对任意x ∈R ,总有|x |≥0; q :x =1是方程x +2=0的根.则下列命题为真命题的是( ) A .p ∧q B .p ∧q C .p ∧qD .p ∧q 解析 由题意知,命题p 为真命题,命题q 为假命题,故q 为真命题,所以p ∧q 为真命题.答案 A3.(2014·湖南卷)设命题p :x ∈R ,x 2+1>0,则p 为( ) A .x 0∈R ,x 20+1>0 B .x 0∈R ,x 20+1≤0C .x 0∈R ,x 20+1<0D .x ∈R ,x 2+1≤0解析 “x ∈R ,x 2+1>0”的否定为“x 0∈ R ,x 20+1≤0”,故选B. 答案 B4.若命题“x ∈R ,ax 2-ax -2≤0”是真命题,则实数a 的取值范围是________.解析 当a =0时,不等式显然成立;当a ≠0时,由题意知⎩⎨⎧a <0,Δ=a 2+8a ≤0,得-8≤a <0.综上,-8≤a ≤0. 答案 [-8,0]5.(人教A 选修1-1P26A3改编)给出下列命题: ①x ∈N ,x 3>x 2;②所有可以被5整除的整数,末位数字都是0; ③x 0∈R ,x 20-x 0+1≤0;④存在一个四边形,它的对角线互相垂直. 则以上命题的否定中,真命题的序号为________. 答案 ①②③考点一含有逻辑联结词的命题及其真假判断【例1】(1)(2014·辽宁卷)设a,b,c是非零向量.已知命题p:若a·b=0,b·c=0,则a·c=0;命题q:若a∥b,b∥c,则a∥c.则下列命题中真命题是()A.p∨q B.p∧qC.(p)∧(q) D.p∨(q)(2)在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次.设命题p是“甲降落在指定范围”,q是“乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为()A.(p)∨(q) B.p∨(q)C.(p)∧(q) D.p∨q解析(1)由于a,b,c都是非零向量,∵a·b=0,∴a⊥b.∵b·c=0,∴b⊥c.如图,则可能a∥c,∴a·c≠0,∴命题p是假命题,∴p是真命题.命题q中,a∥b,则a与b方向相同或相反;b∥c,则b与c方向相同或相反.故a与c方向相同或相反,∴a∥c,即q是真命题,则q是假命题,故p∨q是真命题,p∧q,(p)∧(q),p∨(q)都是假命题.(2)命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包含以下三种情况:“甲、乙均没有降落在指定范围”“甲降落在指定范围,乙没有降落在指定范围”“乙降落在指定范围,甲没有降落在指定范围”.选 A.或者,命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”等价于命题“甲、乙均降落在指定范围”的否命题,即“p∧q”的否定.选A.答案(1)A(2)A规律方法若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假,需先判断构成这个命题的每个简单命题的真假,再依据“或”——一真即真,“且”——一假即假,“非”——真假相反,做出判断即可.【训练1】 (1)若命题p:函数y=x2-2x的单调递增区间是[1,+∞),命题q:函数y=x-1x的单调递增区间是[1,+∞),则()A.p∧q是真命题B.p∨q是假命题C.p是真命题D.q是真命题(2)“p∨q”为真命题是“p∧q”为真命题的________条件.解析(1)因为函数y=x2-2x的单调递增区间是[1,+∞),所以p是真命题;因为函数y=x-1x的单调递增区间(-∞,0)和(0,+∞),所以q是假命题.所以p∧q为假命题,p∨q为真命题,p为假命题,q为真命题,故选D.(2)若命题“p∨q”为真命题,则p,q中至少有一个为真命题.若命题“p∧q”为真命题,则p,q都为真命题,因此“p∨q”为真命题是“p∧q”为真命题的必要不充分条件.答案(1)D(2)必要不充分考点二全(特)称命题的否定及其真假判定【例2】 (1)(2014·安徽卷)命题“x∈R,|x|+x2≥0”的否定是()A.x∈R,|x|+x2<0 B.x∈R,|x|+x2≤0C.x0∈R,|x0|+x20<0 D.x0∈R,|x0|+x20≥0(2)(2014·沈阳质量监测)下列命题中,真命题的是()A.x∈R,x2>0 B.x∈R,-1<sin x<1C.x0∈R,2x0<0 D.x0∈R,tan x0=2解析 (1)全称命题的否定是特称命题,即命题“x ∈R ,|x |+x 2≥0”的否定为“x 0∈R ,|x 0|+x 20<0”.故选C.(2)x ∈R ,x 2≥0,故A 错;x ∈R ,-1≤sin x ≤1,故B 错;x ∈R,2x >0,故C 错,故选D.答案 (1)C (2)D规律方法 (1)对全(特)称命题进行否定的方法有:①找到命题所含的量词,没有量词的要结合命题的含义加上量词,再进行否定;②对原命题的结论进行否定.(2)判定全称命题“x ∈M ,p (x )”是真命题,需要对集合M 中的每个元素x ,证明p (x )成立;要判断特称命题是真命题,只要在限定集合内至少能找到一个x =x 0,使p (x 0)成立.【训练2】 命题“存在实数x ,使x >1”的否定是( ) A .对任意实数x ,都有x >1 B .不存在实数x ,使x ≤1 C .对任意实数x ,都有x ≤1 D .存在实数x ,使x ≤1解析 “存在实数x ,使x >1”的否定是“对任意实数x ,都有x ≤1”.故选C. 答案 C考点三 与逻辑联结词、全(特)称命题有关的参数问题【例3】 已知p :x ∈R ,mx 2+1≤0,q :x ∈R ,x 2+mx +1>0,若p ∨q 为假命题,则实数m 的取值范围是( )A .[2,+∞)B .(-∞,-2]C .(-∞,-2]∪[2,+∞)D .[-2,2]解析 依题意知,p ,q 均为假命题.当p 是假命题时,mx 2+1>0恒成立,则有m ≥0;当q 是假命题时,则有Δ=m 2-4≥0,m ≤-2或m ≥2.因此由p ,q 均为假命题得⎩⎨⎧m ≥0,m ≤-2或m ≥2,即m ≥2.答案 A规律方法 以命题真假为依据求参数的取值范围时,首先要对两个简单命题进行化简,然后依据“p ∨q ”“p ∧q ”“p ”形式命题的真假,列出含有参数的不等式(组)求解即可.【训练3】已知命题p:“x∈[0,1],a≥e x”;命题q:“x∈R,使得x2+4x+a =0”.若命题“p∧q”是真命题,则实数a的取值范围是________.解析若命题“p∧q”是真命题,那么命题p,q都是真命题.由x∈[0,1],a≥e x,得a≥e;由x∈R,使x2+4x+a=0,知Δ=16-4a≥0,a≤4,因此e≤a≤4.答案[e,4]微型专题利用逻辑关系判断命题真假2014年高考试题新课标全国Ⅰ卷中考查了一道实际问题的逻辑推理题,这也是今后高考命题的新趋向,大家应加以重视,解决问题的关键是弄清实际问题的含义,结合数学的逻辑关系进行转化.【例4 (1)(2014·新课标全国Ⅰ卷)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市;乙说:我没去过C城市;丙说:我们三人去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为________.(2)对于中国足球参与的某次大型赛事,有三名观众对结果作如下猜测:甲:中国非第一名,也非第二名;乙:中国非第一名,而是第三名;丙:中国非第三名,而是第一名.竞赛结束后发现,一人全猜对,一人猜对一半,一人全猜错,则中国足球队得了第________名.点拨找出符合命题的形式,根据逻辑分析去判断真假.解析(1)由题意可推断:甲没去过B城市,但比乙去的城市多,而丙说“三人去过同一城市”,说明甲去过A,C城市,而乙“没去过C城市”,说明乙去过城市A,由此可知,乙去过的城市为A.(2)由上可知:甲、乙、丙均为“p且q”形式,所以猜对一半者也说了错误“命题”,即只有一个为真,所以可知丙是真命题,因此中国足球队得了第一名.答案(1)A(2)一点评在一些逻辑问题中,当字面上并未出现“或”“且”“非”字样时,应从语句的陈述中搞清含义,并根据题目进行逻辑分析,找出各个命题之间的内在联系,从而解决问题.[思想方法]1.把握含逻辑联结词的命题的形式,特别是字面上未出现“或”、“且”、“非”字眼,要结合语句的含义理解.2.含有逻辑联结词的命题真假判断口诀:p∨q→见真即真,p∧q→见假即假,p与?p→真假相反.3.要写一个命题的否定,需先分清其是全称命题还是特称命题,对照否定结构去写,否定的规律是“改量词,否结论”.[易错防范]1.命题的否定与否命题“否命题”是对原命题“若p,则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题,它既否定其条件,又否定其结论;“命题的否定”即“非p”,只是否定命题p 的结论.2.命题的否定包括:(1)对“若p,则q”形式命题的否定;(2)对含有逻辑联结词命题的否定;(3)对全称命题和特称命题的否定,要特别注意下表中常见词语的否定.词语词语的否定等于不等于大于不大于(或小于等于)小于不小于(或大于等于)是不是一定是不一定是都是不都是(至少有一个不是)必有一个一个也没有任意的某一个且或或且至多有一个至少有两个基础巩固题组(建议用时:30分钟)一、选择题1.(2014·湖北卷)命题“?x∈R,x2≠x”的否定是()A.?x?R,x2≠x B.?x∈R,x2=x C.?x?R,x2≠x D.?x∈R,x2=x 解析原命题的否定为“?x∈R,x2=x”.答案D2.(2014·天津卷)已知命题p:?x>0,总有(x+1)e x>1,则?p为()A.?x0≤0,使得(x0+1)e x0≤1B.?x0>0,使得(x0+1)e x0≤1C.?x>0,总有(x+1)e x≤1D.?x≤0,总有(x+1)e x≤1解析命题p为全称命题,所以?p:?x0>0,使得(x0+1)e x0≤1.答案B3.(2015·海淀区模拟)已知命题p:?x∈R,x2+x-1<0,则?p为()A.?x∈R,x2+x-1>0 B.?x∈R,x2+x -1≥0C.?x?R,x2+x-1≥0D.?x?R,x2+x -1>0解析含有存在量词的命题的否定,需将存在量词改为全称量词,并将结论否定,即?p:?x∈R,x2+x-1≥0.答案B4.已知命题p:所有有理数都是实数;命题q:正数的对数都是负数,则下列命题中为真命题的是()A.?p∨q B.p∧qC.?p∧?q D.?p∨?q解析不难判断命题p为真命题,命题q为假命题,从而上面叙述中只有?p∨?q为真命题.答案D5.(2014·湖北七市(州)联考)已知命题p:?x∈R,cos x=54;命题q:?x∈R,x2-x+1>0,则下列结论正确的是()A.命题p∨q是假命题B.命题p∧q是真命题C.命题(?p)∧(?q)是真命题D.命题(?p)∨(?q)是真命题解析易判断p为假命题,q为真命题,从而只有选项D正确.答案D6.下列命题中的假命题是()A.?x0∈R,lg x0=0 B.?x0∈R,tan x0=3C.?x∈R,x3>0 D.?x∈R,2x>0解析当x=1时,lg x=0,故命题“?x0∈R,lg x0=0”是真命题;当x=π3时,tan x=3,故命题“?x0∈R,tan x0=3”是真命题;由于x=-1时,x3<0,故命题“?x∈R,x3>0”是假命题;根据指数函数的性质,对?x∈R,2x>0,故命题“?x∈R,2x>0”是真命题.答案C7.设命题p:函数y=sin 2x的最小正周期为π2;命题q:函数y=cos x的图象关于直线x=π2对称.则下列判断正确的是()A.p为真B.?q为假C.p∧q为假D.p∨q为真解析p是假命题,q是假命题,因此只有C正确.答案C8.(2015·武汉调研测试)已知命题p :?φ∈R ,使f (x )=sin(x +φ)为偶函数;命题q :?x ∈R ,cos 2x +4sin x -3<0,则下列命题中为真命题的是( )A .p ∧qB .(?p )∨qC .p ∨(?q )D .(?p )∧(?q )解析 利用排除法求解.?φ=π2,使f (x )=sin(x +φ)=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π2=cos x 是偶函数,所以p 是真命题,?p 是假命题;?x =π2,使cos 2x +4sin x -3=-1+4-3=0,所以q 是假命题,?q 是真命题.所以p ∧q ,(?p )∨q ,(?p )∧(?q )都是假命题,排除A ,B ,D ,p ∨(?q )是真命题,故选C.答案 C二、填空题9.(2014·合肥质量检测)命题p :?x ≥0,都有x 3-1≥0,则?p 是________. 答案 ?x 0≥0,有x 30-1<0.10.命题“?x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2,tan x 0>sin x 0”的否定是________. 答案 ?x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2,tan x ≤sin x 11.若命题p :关于x 的不等式ax +b >0的解集是{x |x >-b a },命题q :关于x 的不等式(x -a )(x -b )<0的解集是{x |a <x <b },则在命题“p ∧q ”、“p ∨q ”、“?p ”、“?q ”中,是真命题的有________.解析 依题意可知命题p 和q 都是假命题,所以“p ∧q ”为假、“p ∨q ”为假、“?p ”为真、“?q ”为真.答案 ?p 、?q12.下列结论:①若命题p :?x ∈R ,tan x =1;命题q :?x ∈R ,x 2-x +1>0.则命题“p ∧?q ”是假命题;②已知直线l 1:ax +3y -1=0,l 2:x +by +1=0,则l 1⊥l 2的充要条件是a b=-3;③命题“若x 2-3x +2=0,则x =1”的逆否命题:若“x ≠1,则x 2-3x +2≠0”.其中正确结论的序号为________.解析 ①中命题p 为真命题,命题q 为真命题,所以p ∧?q 为假命题,故①正确;②当b =a =0时,有l 1⊥l 2,故②不正确;③正确.所以正确结论的序号为①③.答案 ①③能力提升题组(建议用时:15分钟)13.(2014·衡水中学调研)给定命题p :函数y =ln[(1-x )(1+x )]为偶函数;命题q :函数y =e x -1e x +1为偶函数.下列说法正确的是( ) A .p ∨q 是假命题B .(?p )∧q 是假命题C .p ∧q 是真命题D .(?p )∨q 是真命题解析 对于命题p :令y =f (x )=ln[(1-x )(1+x )],由(1-x )(1+x )>0,得-1<x <1,∴函数f (x )的定义域为(-1,1),关于原点对称,又∵f (-x )=ln[(1+x )(1-x )]=f (x ),∴函数f (x )为偶函数,∴命题p 为真命题;对于命题q :令y =f (x )=e x -1e x +1,函数f (x )的定义域为R ,关于原点对称,f (-x )=e -x -1e -x +1=1e x -11e x +1=1-e x1+e x=-f (x ),∴函数f (x )为奇函数,∴命题q 为假命题,∴(?p )∧q 是假命题,故选B. 答案 B14.(2014·湖南五市十校联考)下列命题中是假命题的是( )A .?α ,β∈R ,使sin(α+β)=sin α+sin βB .?φ∈R ,函数f (x )=sin(2x +φ)都不是偶函数C .?m ∈R ,使f (x )=(m -1)·xm 2-4m +3是幂函数,且在(0,+∞)上单调递减D .?a >0,函数f (x )=ln 2 x +ln x -a 有零点解析 对于A ,当α=0时,sin(α+β)=sin α+sin β成立;对于B ,当φ=π2时,f (x )=sin(2x +φ)=cos 2x 为偶函数;对于C ,当m =2时,f (x )=(m -1)·xm 2-4m +3=x -1=1x ,满足条件;对于D ,令ln x =t ,?a >0,对于方程t 2+t -a=0,Δ=1-4(-a )>0,方程恒有解,故满足条件.综上可知,选B.答案 B15.(2014·北京海淀区测试)若命题“?x 0∈R ,使得x 20+mx 0+2m -3<0”为假命题,则实数m 的取值范围是________.解析 由已知得“?x ∈R ,x 2+mx +2m -3≥0”为真命题,则Δ=m 2-4×1×(2m -3)=m 2-8m +12≤0,解得2≤m ≤6,即实数m 的取值范围是2≤m ≤6.答案 [2,6]16.已知命题p :“?x ∈R ,?m ∈R,4x -2x +1+m =0”,若命题?p 是假命题,则实数m 的取值范围是__________.解析 若?p 是假命题,则p 是真命题,即关于x 的方程4x -2·2x +m =0有实数解,由于m =-(4x -2·2x )=-(2x -1)2+1≤1,∴m ≤1.答案 (-∞,1]17.已知c >0,设命题p :函数y =c x 为减函数.命题q :当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,2时,函数f (x )=x +1x >1c 恒成立.如果“p ∨q ”为真命题,“p ∧q ”为假命题,则c的取值范围是________.解析 由命题p 为真知,0<c <1,由命题q 为真知,2≤x +1x ≤52,要使此式恒成立,需1c <2,即c >12,若“p 或q ”为真命题,“p 且q ”为假命题,则p ,q 中必有一真一假,当p 真q 假时,c 的取值范围是0<c ≤12;当p 假q 真时,c 的取值范围是c ≥1.综上可知,c 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0,12∪[1,+∞). 答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0,12∪[1,+∞)。
1.增补(Addition)in addition, furthermore, again, also, besides, moreover, what`s more, similarly, next, finally.2.比较(Comparison)in the same way, likewise, similarly, equally, in comparison, just as3.对照(Contrast)whereas, in contrast, on the other hand, instead, however, nevertheless, unlike, even though, on the contrary, while4.因果(Cause and effect)because, because of, for, since, due to, owing to, thanks to, as a result(of), accordingly, hence, so, thus5.强调(Emphasis)certainly, above all, indeed, of course, surely, actually, as a matter of fact, chiefly, especially, primarily, in particular, undoubtedly, absolutely, most important6.让步(Concession)although, though, after all, in spite of, nevertheless, still, provided, while it is true....7.例证(Exemplification)for example, for instance, that is, namely, such as, in other words, in this case, by way of illustration.8.总结(Conclusion)to sum up, to conclude, in a word, in short, in brief, all in all, in all, to put it in a nutshell, in summary9.推断(Inference)therefore, as a result(of), consequently, accordingly, so, otherwise10.时间和空间(Time and space)afterward, after, first, later, then, soon, outside, near, beyound, above, below, on the right(left), in the middle, opposite, in front of11.启承转合1)、启A proverb says...... At present.......As the proverb says.... Currently.....Generally speaking, .... Now,....In general, ..... On the Whole....It is clear that.... Recently.....It is often said that.... Without doubt, .......2)、承First(of all), ...... Moreover, .........Firstly, ............ No one can deny that....In the first place, ......... Obviously.....To begin with, ......... Of course, .........Also, ....... Similarly,.........At the same time...... Therefore, we should realize that..... Certainly...... There is no doubt that.......In addition,..... What`s more, ..........In fact........ It can be easily proved that... Meanwhile......3)、转But... Still, ......But the problem is not so simple...There is a certain amount of truth in this, but we still have a problem with regard to.......However,....... To our surprise,..........Nevertheless, ........ Unfortunately.......On the other hand, .......Yet difference will be found and that is why I feel that........Others may find this to be true, but I do not. I think..... 4)、合Above all, In brief, ........Accordingly, ..... In conclusion, ........All in all, .......In other words, it is hard to escape the conclusion that........As a consequence, ......... In short, .........As I have shown/said/stated/.... In sum, ........In summary, ....... As has been noted, ....Obviously, ......... By so doing, .....On the whole, ..... Consequently, ........Presumably, ....... Eventually, ......... To conclude, ...... Finally, ........To sum up, ..... In a word, ......To summarize, ......。
第三节简单的逻辑连接词、全称量词与存在量词考纲分析1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义.2.理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.高频考点1. 含有一个量词的命题的否定;2. 真值表的利用数学思想与方法分类讨论思想的运用、逻辑推理能力的提高高考出题分值5分基础知识1.逻辑联结词(1)用联结词“且”联结命题p和命题q,记作p∧q,读作“p且q”.(2)用联结词“或”联结命题p和命题q,记作p∨q,读作“p或q”.(3)对一个命题p全盘否定,就得到一个新命题,记作⌝p,读作“非p”或“p的否定”.(4)命题p且q、p或q、非p的真假判断2.全称量词与存在量词1.全称量词与全称命题(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“∀”表示.(2)含有全称量词的命题,叫做全称命题.(3)全称命题“对M中任意一个x,有p(x)成立”可用符号简记为,()x M p x∀∈,读作“对任意x属于M,有p(x)成立”.2.存在量词与特称命题(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“∃”表示.(2)含有存在量词的命题,叫做特称命题.(3)特称命题“存在M中的一个x0,使p(x0)成立”可用符号简记为00,()x M p x∃∈,读作“存在M中的元素x0,使p(x0)成立”.3.全称命题与特称命题的否定(1)全称命题的否定是特称命题;特称命题的否定是全称命题.(2)“p或q”的否定为:“非p且非q”;“p且q”的否定为:“非p或非q”.(3)含有一个量词的命题的否定题型分类题型一含有逻辑联结词的命题1.【2017届山东青岛二模】已知命题,p q ,“p ⌝为假”是“p q ∨为真”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2.已知命题p :若x>y ,则-x<-y ;命题q :若x>y ,则x 2>y 2.在命题①p ∧q ;②p ∨p ;③p ∧(¬q);④(¬p)∨q 中,真命题是( ) A .①③ B .①④ C .②③ D .②④ 【领悟技法】1.逻辑联结词与集合的关系:“或、且、非”三个逻辑联结词,对应着集合运算中的“并、交、补”,因此,常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题.2.“p ∨q”“p ∧q”“⌝p”形式命题真假的判断步骤:(1)确定命题的构成形式;(2)判断其中命题p 、q 的真假;(3)确定“p ∧q”“p ∨q”“⌝p”形式命题的真假.3.含逻辑联结词命题真假的等价关系(1)p ∨q 真⇔p,q 至少一个真⇔(⌝p)∧(⌝q)假.(2)p ∨q 假⇔p,q 均假⇔(⌝p)∧(⌝q)真. (3)p ∧q 真⇔p,q 均真⇔(⌝p)∨(⌝q)假. (4)p ∧q 假⇔p,q 至少一个假⇔(⌝p)∨(⌝q)真.(5)⌝p 真⇔p 假; ⌝p 假⇔p 真.4.命题p 且q 、p 或q 、非p 的真假判断规律:p ∧q 中p 、q 有一假为假,p ∨q 有一真为真,p 与非p 必定是一真一假.题型二全称命题与特称命题的真假判断 1.【2017届安徽安庆二模】设命题()0:0,p x ∃∈+∞,013x x +>;命题q :()2,x ∀∈+∞,22xx >,则下列命题为真的是( )A. ()p q ∧⌝B. ()p q ⌝∧C. p q ∧D. ()p q ⌝∨2.已知命题2:4,log 2p x x ∀≥≥;命题:q 在ABC ∆中,若3A π>,则sin A >.则下列命题为真命题的是( )A .p q ∧B .()p q ∧⌝C .()()p q ⌝∧⌝D .()p q ⌝∨ 【领悟技法】1.全称命题真假的判断方法(1)要判断一个全称命题是真命题,必须对限定的集合M 中的每一个元素x ,证明p(x)成立; (2)要判断一个全称命题是假命题,只要能举出集合M 中的一个特殊值x =x 0,使p(x 0)不成立即可.2.特称命题真假的判断方法要判断一个特称命题是真命题,只要在限定的集合M 中,找到一个x =x 0,使p(x 0)成立即可,否则这一特称命题就是假命题.3. 不管是全称命题,还是特称命题,若其真假不容易正面判断时,可先判断其否定的真假.1.命题“所有实数的平方是非负实数”的否定是( )(A )所有实数的平方是负实数(B )不存在一个实数,它的平方是负实数 (C )存在一个实数,它的平方是负实数 (D )不存在一个实数它的平方是非负实数 2已知命题3:2,80p x x ∀>->,那么p ⌝是( )A.32,80x x ∀≤-≤ B .32,80x x ∃>-≤ C .32,80x x ∀>-≤ D .32,80x x ∃≤-≤ 【领悟技法】1.命题的否定与否命题的区别:“否命题”是对原命题“若p ,则q ”的条件和结论分别加以否定而得的命题,它既否定其条件,又否定其结论;“命题的否定”即“非p ”,只是否定命题p 的结论.命题的否定与原命题的真假总是对立的,即两者中有且只有一个为真,而原命题与否命题的真假无必然联系.2.弄清命题是全称命题还是特称命题是写出命题否定的前提.3.注意命题所含的量词,没有量词的要结合命题的含义加上量词,再进行否定.4.要判断“⌝p”命题的真假,可以直接判断,也可以判断“p”的真假,p 与⌝p 的真假相反. 5.常见词语的否定形式有: ≤ 一个也没有至少有两个1.【2017山东,文5】已知命题p :,x ∃∈R 210x x -+≥;命题q :若22a b <,则a<b.下列命题为真命题的是A .p q ∧ B.p q ∧⌝ C.p q ⌝∧ D.p q ⌝∧⌝ 模拟练习1.【2017陕西师范附属二模】若命题:p 对任意的x R ∈,都有3210x x -+<,则p ⌝为( )A. 不存在x R ∈,使得3210x x -+< B. 存在x R ∈,使得3210x x -+<C. 对任意的x R ∈,都有3210x x -+≥ D.存在x R ∈,使得3210x x -+≥2. 【1-2】【2017届安徽蚌埠二模】在射击训练中 ,某战士射击了两次 ,设命题p 是“ 第一次射击击中目标”,命题q 是“ 第二次射击击中目标 ”,则命题“两次射击中至少有一次没有击中目标”为真命题的充要条件是 ( ) A. ()()p q ⌝∨⌝ 为真命题 B. ()p q ∨⌝ 为真命题 C. ()()p q ⌝∧⌝ 为真命题D. p q ∨ 为真命题3. 【1-4】已知命题p :关于x 的方程x 2-ax +4=0有实根;命题q :关于x 的函数y =2x 2+ax +4在[3,+∞)上是增函数.若p 或q 是真命题,p 且q 是假命题,则实数a 的取值范围是( ) A .(-12,-4]∪[4,+∞) B .[-12,-4]∪[4,+∞) C .(-∞,-12)∪(-4,4) D .[-12,+∞)每日一练1、函数的定义域为 。
简单的逻辑连接词1,且定义:一般地,用逻辑连接词“且”把命题p和命题q联接起来,就得到一个新的命题,记作p∧q,读着“p且q”命题p∧q的真假:命题p 命题q p∧q (p且q)真真真真假假假真假假假假总结:一假则假,全真则真。
2.或定义:一般地,用联接词“或”把命题p和命题q联接起来就得到一个新命题,记着“p∨q”,读作“p或q”.命题p或q的真假:命题p 命题q p∨q (p或q)真真真真假真假真真假假假总结:有真则真,全假则假。
3.“非”定义:一般地,对一个命题p全盘否定,就得到一个新命题,记着﹁p,读着“非p”,“或p的否定”。
命题﹁p的真假:命题p ﹁p (非p)真假假真总结:一真一假。
典型例题例1:将下列各组命题用“且”联接成新命题,并判断真假。
(1)p:π是无理数; q: π小于4;(2)p:5是17的约数; q: 5是15的约数;(3)p: 梯形的对角线相等; q: 梯形的对角线互相平分;(4)p: 2x2+3>x-5; q: 2x2+3<x-5;例2:将下列各组命题用“或”联接成新命题,并判断真假。
(1) p: 3>4, q: 3<4;(2) p: 正数的平方大于0; q;负数的平方大于0;(3) p: π是整数; q: π是分数。
例3:写出下列命题的否定,并判断它们的真假;(1)p: y=tan x是奇函数,(2)p: π=3.1415;(3)p: 2,3都是8的约数;(4)p: 一元二次方程至多有两个解。
例4:指出下列命题的形式和结构(1)45是3和15的倍数;(2)4是合数或偶数;(3)方程x2+1=0没有有理根。
例5:写出下列命题的否定及否命题(1)面积相等三角形是全等三角形;(2)若m2+n2+x2+y2=0,则实数m,n,x,y全为零;(3)若xy=0,则x=0,y=0.例6:已知:p:方程x2+mx+1=0有两个不等的负实数根;q:方程4x2+4(m-2)x+1=0无实数根,若p∨q为真,p∧q为假,求m的取值范围。
逻辑连接词与量词【考点导读】1.了解逻辑联结词“或”,“且”,“非”的含义;能用“或”,“且”,“非”表述相关的数学内容.2.理解全称量词与存在量词的意义;能用全称量词与存在量词叙述简单的数学内容.理解对含有一个量词的命题的否定的意义;能正确地对含有一个量词的命题进行否定.【基础知识】1、简单的逻辑联结词逻辑联结词有,不含的命题是简单命题.由的命题是复合命题.复合命题的构成形式有三种:,(其中p,q都是简单命题).2、量词(1)短语“对所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词。
含有全称量词的命题,叫做全称命题。
(2)短语“存在一个”“至少一个”在逻辑中通常叫做存在量词。
含有存在量词的命题,叫做特称命题。
全称命题的否定是特称命题;特称命题的否定是全称命题。
3、真值表p q p 且q p 或q 非p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真4、全称命题及存在性命题的真假判定【基础题回顾】1.判断下列命题是全称命题:存在性命题:1)任何实数的平方都是非负数; 2)任何数与0相乘,都等于0; 3)任何一个实数都有相反数;4)△ABC的内角中有锐角.2.判断下列命题是真命题的是::1)中国的所有的江河都流入太平洋2)有的四边形既是矩形,又是菱形;3)实系数方程都有实数解; 4)有的数比它的倒数小;3.写出命题“中学生的年龄都在15以上”的否定: ;4.写出命题” x∈R,x2>x”的否定:5. 写出命题” 6是2的倍数也是4的倍数”的否命题:【典型例题】例1.分别指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题,并判断其真假.(1)相似三角形周长相等或对应角相等;(2)9的算术平方根不是3;(3)垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧.变式训练1.写出由下列各组命题构成的“p 或q ”,“p 且q ”,“非p ”形式的命题,并判断真假.(1)p :2是4的约数,q :2是6的约数; (2)p :矩形的对角线相等,q :矩形的对角线互相平分;(3)p :方程210x x -+=的两实根的符号相同,q :方程210x x -+=的两实根的绝对值相等.例2. 写出下列命题的否定:(1)所有人都晨练;(2) ∀ x ∈R,x 2+x+1>0; (3)平行四边形的对边相等;(4) ∃x ∈R,x 2-x+1=0变式训练2.写出下列命题的否定,并判断真假.(1)p :所有末位数字是0或5的整数都能被5整除;(2)p :每一个非负数的平方都是正数;(3)p :存在一个三角形,它的内角和大于180°;(4)p :有的四边形没有外接圆;(5)p :某些梯形的对角线互相平分.例 3. p:关于x 的不等式{},0|1<>x x a x的解集是q :函数2l g ()y a x x a =-+的定义域为R ,P Q a 如果和有且只有一个正确,求的取值范围。
数学逻辑连接词数学逻辑连接词:因为、所以、当且仅当、若、或者、不然、只要、除非、无论、即使因为数学逻辑连接词的存在,我们能够清晰地表达数学推理中的关系、条件和结论。
这些逻辑连接词不仅能帮助我们建立论证的逻辑链条,还能使我们的数学论述更加准确和严谨。
因为是一个常用的数学逻辑连接词。
当我们在数学问题中使用因为时,通常是为了引述已知条件或前提。
例如,在证明一个几何问题时,我们可以说:“因为三角形ABC是等边三角形,所以它的三条边相等。
”所以是一个表示推理结果的数学逻辑连接词。
当我们在数学问题中使用所以时,通常是为了得出结论或推理的结果。
例如,在证明一个数学定理时,我们可以说:“已知a=b且b=c,所以a=c。
”当且仅当是一个表示充分必要条件的数学逻辑连接词。
当我们在数学问题中使用当且仅当时,通常是为了表达两个条件是等价的。
例如,在判断一个数是偶数的充分必要条件时,我们可以说:“一个整数是偶数当且仅当它能被2整除。
”若是一个用于表示条件的数学逻辑连接词。
当我们在数学问题中使用若时,通常是为了表达一个条件或假设。
例如,在证明一个数学命题时,我们可以说:“若n是一个质数,则n不能被任何小于n的正整数整除。
”或者是一个表示选择关系的数学逻辑连接词。
当我们在数学问题中使用或者时,通常是为了表达两个或多个条件中的至少一个成立。
例如,在判断一个方程有解时,我们可以说:“方程x^2-3x+2=0有解,或者方程x^2-5x+6=0有解。
”不然是一个表示否定关系的数学逻辑连接词。
当我们在数学问题中使用不然时,通常是为了表达一个条件的否定。
例如,在证明一个数学猜想时,我们可以说:“如果存在一个正整数n,使得n^2+1是一个完全平方数,那么这个猜想是错误的。
”只要是一个表示充分条件的数学逻辑连接词。
当我们在数学问题中使用只要时,通常是为了表达一个条件的充分性。
例如,在判断一个数是质数的充分条件时,我们可以说:“只要一个整数n不能被任何小于n的正整数整除,那么n是一个质数。
授课主题简单的逻辑连接词且、或、非教学目标1.理解“且”、“或”、“非”的含义.2.会用“且”、“或”联结两个命题并判断命题的真假.3.能够判断含有逻辑联结词的命题的真假.4.掌握逻辑连接词“且”、“或”、“非”的简单应用.教学内容1.“且”“或”的概念(1)且①定义:一般地,用逻辑联结词“且”把命题p和q联结起来,就得到一个新命题,记作p q∧,读作“p且q”.逻辑联结词“且”与日常语言中的“并且”、“及”、“和”相当.可以用“且”定义集合的交集:{|()()}A B x x A x B=∈∧∈.②判断命题p q∧的真假当p q、都为真命题,p q∧就为真命题;当p q、两个命题中只要有一个命题为假命题,p q∧就为假命题.(2)或:①定义:一般地,用逻辑联结词“或”把命题p或q联结起来,就得到一个新命题,记作p q∨,读作“p或q”.逻辑联结词“或”的意义和日常语言中的“或者”相当.可以用“或”定义集合的并集:{|()()}A B x x A x B=∈∨∈.②判断命题p q∨的真假当p q、两个命题中,只要有一个命题为真命题时,p q∨为真命题;当p q、两个命题都为假命题,p q∨为假命题2.非:①定义:一般地,对命题p加以否定,得到一个新的命题,记作p⌝,读作“非p”或“p的否定”.逻辑联结词“非”(也称为“否定”)的意义是由日常语言中的“不是”“全盘否定”“问题的反面”等抽象而来.有()p p⌝⌝=成立.可以用“非”来定义集合A在全集U中的补集:{|()}{|}UA x U x A x U x A=∈⌝∈=∈∉.②判断p⌝命题的真假,p⌝和p不能同真同假,其中一个为真,另一个必定为假.3.复合命题不含逻辑联结词的命题称为简单命题,含有逻辑联结词的命题称为复合命题.复合问题的真值表:复合命题的真假,主要利用真值表来判断,步骤为:(1)确定复合命题的构成形式;(2)判断其中各简单命题的真假;(3)利用真值表判断复合命题的真假.题型一用“且”、“或”联结成新命题例1将下列命题用“且”、“或”联结成新命题.(1)p:三角形的三条中线相等;q:三角形的三条中线交于一点.(2)p:35是5的倍数;q:35是7的倍数.(3)p:方程2x2-26x+3=0的两根都是实数;q:方程2x2-26x+3=0的两根不等.解析:(1)p∧q:三角形的三条中线相等且交于一点;p∨q:三角形的三条中线相等或交于一点.(2)p∧q:35是5的倍数且是7的倍数;p∨q:35是5的倍数或是7的倍数.(3)p∧q:方程2x2-26x+3=0的两根都是实数且不相等;p∨q:方程2x2-26x+3=0的两根都是实数或不相等.巩固分别写出由下列命题构成的“p∨q”、“p∧q”形式的命题.(1)p:π是无理数;q:e不是无理数.(2)p:方程x2+2x+1=0有两个相等的实数根;q:方程x2+2x+1=0两根的绝对值相等.(3)p:三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和;q:三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角解析:(1)“p∨q”:π是无理数或e不是无理数;“p∧q”:π是无理数且e不是无理数.(2)“p∨q”:方程x2+2x+1=0有两个相等的实数根或两根的绝对值相等;“p∧q”:方程x2+2x+1=0有两个相p q p q∧p q∨p⌝真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真等的实数根且两根的绝对值相等.(3)“p∨q”:三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和或大于与它不相邻的任何一个内角;“p∧q”:三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和且大于与它不相邻的任何一个内角题型二用“且”、“或”改写命题例2用“且”、“或”改写下列命题.(1)1不是质数也不是合数;(2)2既是偶数又是质数;(3)5和7都是质数;(4)x=±3是方程|x|=3的解.解析:(1)p:1不是质数,q:1不是合数,p∧q:1不是质数且1不是合数.(2)p:2是偶数,q:2是质数,p∧q:2 是偶数且2是质数.(3)p:5是质数,q:7是质数,p∧q:5是质数且7是质数.(4)p:x=3是方程|x|=3的解,q:x=-3是方程|x|=3的解,p∨q:x=3或x=-3是方程|x|=3的解.点评:(1)当一个复合命题不是用“且”或“或”连接时,可以将其改为用“且”或“或”连接的复合命题,改写时要注意不能改变原命题的意思,这就要仔细考虑到底是用“且”还是用“或”.(2)在用“且”、“或”联结两个命题p、q时,在不引起歧义的情况下,可将p、q中的条件或结论合并,使叙述更通顺.巩固用“且”、“或”改写下列命题:(1)等腰三角形的顶角平分线平分底边,也垂直底边;(2)45既能被5整除又能被9整除;(3) x2-2=0的根是±2;(4)3≥3.解析:(1)等腰三角形的顶角平分线平分底边且垂直底边;(2)45能被5整除且能被9整除;(3)x2-2=0的根是2或-2;(4)3大于3或等于3.题型三p∨q、p∧q真假的判断例3指出下列各题中的“p或q”、“p且q”形式的复合命题的真假.(1)p:梯形有一组对边平行,q:梯形有一组对边相等;(2)p:5是17的约数,q:5是15的约数.解析:(1)p是真命题,q是假命题,∴p或q是真命题,p且q是假命题.(2)p是假命题,q是真命题,∴p或q是真命题,p且q是假命题.点评:有些命题表面上不含逻辑联结词,可以通过改写化为“p∨q”或“p∧q”形式的命题,然后通过p、q的真假判断命题的真假.或命题“p∨q”的真假特点是“一真即真,要假全假”,且命题“p∧q”的真假特点是“一假即假,要真全真”.巩固指出下列“p∨q”,“p∧q”命题的真假.(1)p: 当x∈R时,x2+1≥2x,q:当x∈R时,|x|≥0;(2)p: 相似三角形的面积相等,q:相似三角形的对应角相等;(3)p:函数y=cos x是周期函数,q:函数y=cos x是奇函数.解析:(1)因为p是真命题,q是真命题,所以“ p∨q”和“ p∧q”都是真命题.(2)因为p是假命题,q是真命题,所以“p∨q”是真命题,“ p∧q”是假命题.(3)因为p是真命题,q是假命题,所以“ p∨q”是真命题,“ p∧q”是假命题.题型四“﹁p”命题真假性的判断例4写出下列命题的否定,并判断其真假.(1)p:是有理数;(2)p:5不是75的约数;(3)p:7<8;(4)p:5+6≠11;(5)p:空集是任何非空集合的真子集.解析:(1) ﹁p:不是有理数.命题p是假命题,﹁p是真命题;(2) ﹁p:5是75的约数.命题p是假命题,﹁p是真命题;(3) ﹁p:7≥8.命题p是真命题,﹁p是假命题;(4) ﹁p:5+6=11,命题p是假命题,﹁p是真命题;(5) ﹁p:空集不是任何非空集合的真子集.命题p是真命题,﹁p是假命题.巩固写出下列命题的否定,并判断它们的真假.(1)p:函数y=tan x是奇函数;(2)q:4∈{1,2,4}.解析:(1) ﹁p:函数y=tan x不是奇函数,是假命题.(2) ﹁q:4 {1,2,4},是假命题.题型五命题的否定与否命题的辨析例5写出下列各命题的否定及其否命题,并判断它们的真假.(1)若x、y都是奇数,则x+y是偶数;(2)若xy=0,则x=0或y=0.解析:命题的否定是:(1)若x、y都是奇数,则x+y不是偶数,为假命题;(2)若xy=0,则x≠0且y≠0,为假命题;原命题的否命题是:(1)若x 、y 不都是奇数,则x +y 不是偶数,是假命题; (2)若xy ≠0,则x ≠0且y ≠0,是真命题.点评:1.要注意区别“否命题”与“命题的否定”:否命题要对命题的条件和结论都否定,而命题的否定仅对命题的结论否定.2.常用词语及其否定: 原词语 等于 大于(>) 小于(<) 是 都是 否定词语 不等于 不大于(≤)不小于(≥)不是 不都是原词语 至多有一个 至少有一个 至多有n 个 否定词语 至少有两个 一个也没有 至少有n +1个 原词语 任意的 任意两个 所有的 能 否定词语某个某两个某些不能 巩 固 写出下列命题的否定形式和否命题:(1)若abc =0,则a 、b 、c 中至少有一个为零; (2)若a =b 且b =c ,则a =c .解析:(1)否定形式:若abc =0,则a 、b 、c 全不为零. 否命题:若abc ≠0,则a 、b 、c 全不为零. (2)否定形式:若a =b 且b =c ,则a ≠c . 否命题:若a ≠b 或b ≠c ,则a ≠c . 题型六 逻辑联结词的简单运用例6 命题p :关于x 的不等式x 2+2ax +4>0对一切x ∈R 恒成立;q :函数f (x )=-(5-2a )x 是减函数.若p 或q 为真,p 且q 为假,求实数a 的取值范围.解析:设g (x )=x 2+2ax +4.因为关于x 的不等式x 2+2ax +4>0对一切x ∈R 恒成立,所以函数g (x )的图象开口向上且与x 轴没有交点,故Δ=4a 2-16<0,所以-2<a <2,所以命题p :-2<a <2.又函数f (x )=-(5-2a )x 是减函数,则有5-2a >1,即a <2.所以命题q :a <2. 由p 或q 为真,p 且q 为假,可知p 和q 一真一假.(1) 若p 真q 假,则⎩⎪⎨⎪⎧-2<a <2,a ≥2此不等式组无解.(2)若p 假q 真,则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤-2,或a ≥2,a <2,所以a ≤-2.综上,实数a 的取值范围是 (-∞,-2].点评:(1)利用逻辑联结词“且”、“或”可以将简单命题变为复合命题,利用“非”可以否定一个命题. 在解决问题时,正确理解逻辑联结词“或”“且”“非”是关键,有些命题并不一定包含“或”“且”“非”这些逻辑联结词,要结合命题的具体含义正确进行命题构成的判定.(2)对于复合命题中的参数问题,可以根据复合命题的真假,列出方程或不等式,求出参数的值或范围.巩 固 已知a >0,a ≠1.设p :函数y =log a (x +1) 在(0,+∞)内单调递减;q :曲线y =x 2+(2a -3)x +1与x 轴交于不同的两点.若p 或q 为真,p 且q 为假,求a 的取值范围.解析:当0<a <1时,函数y =log a (x +1)在(0,+∞)内单调递减.当a >1时,y =log a (x +1)在(0,+∞)内不是单调递减函数,故p 真时0<a <1.q 真等价于(2a -3)2-4>0,即a <12或a >52.又a >0,所以0<a <12或a >52.因为p 或q 为真,p 且q 为假, 所以p ,q 中必定是一个为真一个为假.(1)若p 真,q 假,则⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1,12≤a <1或1<a ≤52⇒12≤a <1,即a ∈⎣⎡⎭⎫12,1.(2)若p 假,且q 真,则⎩⎪⎨⎪⎧a >1,0<a <12或a >52⇒a >52,即a ∈⎝⎛⎭⎫52,+∞. 综上可知,a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫12,1∪⎝⎛⎭⎫52,+∞.(且、或)一、选择题1.下列命题中,是“ p ∨q ”形式的命题的是( )A .∅{0}B .-3<0C .平行四边形的对角线相等且互相平分D .能被5整除的整数的末位数不是0就是5 解析:“∅{0}”和“-3<0”是简单命题;“平行四边形的对角线相等且互相平分”是“p ∧q ”形式的命题.“能被5整除的整数的末位数不是0就是5” 是“ p ∨q ”形式的命题.故选D. 答案:D2.已知命题p :5≤5,q :5>6.则下列说法正确的是( )A .“p ∧q ”为真,“p ∨q ”为真B.“p∧q”为假,“p∨q”为假C.“p∧q”为假,“p∨q”为真D.“p∧q”为真,“p∨q”为假答案:C3.下列语句中,符合命题“p∧q”的个数是()①方程x2+5=0没有实数根;②y=sin x是周期函数也是R 上的减函数;③9是144和81的公约数;④(A∩B)⊆AA.0个B.1个C.2个D.3个解析:②、③符合命题“p∧q”的形式.故选C.答案:C4.“x不大于y”是指()A.x≠y B.x< y或x=y C.x< y D.x< y且x=y解析:“不大于”是指“小于或等于”.故选B.答案:B5.已知命题p:1∈{x|(x+2)(x-3)<0},命题q:∅={0}则下列判断正确的是()A.p假q假B.“p或q”为真C.“p且q”为真D.p假q真解析:因为{x|(x+2)(x-3)<0}={x|-2<x<3},所以1∈{x|(x+2)(x-3)<0},所以p真.因为∅≠{0},所以q 假.故“p或q”为真,“p且q”为假,故选B.答案:B6.已知命题p:点P在直线y=2x-1上;命题q:点P在直线y=-x+3上,则使命题“p或q”为真命题的一个点P(x,y)是()A.(0,-3) B.(3,2) C.(1,-1) D.(5,-2)解析:命题“p或q”为真命题的含义是这两个命题至少有一个是真命题,即点P在直线y=2x-3上,或在直线y =-3x+2上,即点P至少在其中一条直线上.检验知选项D满足条件.故选D.答案:D7.已知命题p,q,则命题“p∨q为真”是命题“p∧q为真”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:p∧q为真⇒p真且q真⇒p∨q为真;p∨q为真⇒p真或q真p∧q为真.故选B.答案:B8.若xy =0,则x =0________y =0;若xy ≠0,则x ≠0________y ≠0(填“且”或“或”).答案:或,且9.给出命题p :ax +b >0的解为x >-ba,命题q :(x -a )(x -b )<0的解为a <x <b .则p ∧q 是________命题(填“真”或“假”).解析:命题p 与q 都是假命题,所以p ∧q 是假命题. 答案:假10.若命题“p 或q ”与命题“p 且q ”都是真命题,则下列结论中正确的个数是______________.①命题q 一定是真命题;②命题q 不一定是真命题;③命题p 不一定是真命题;④命题p 与q 的真值相同. 解析:因为命题“p 或q ”与命题“p 且q ”都是真命题,所以p 、q 同真.所以①④正确. 答案:211.设命题p :y =sin ⎝⎛⎭⎫2x +π3 的最小正周期是π,q :32∉[23,+∞),则复合命题“ p ∨q ”、“p ∧q ”中真命题的是________.解析:由三角函数的性质知p 是真命题,而32∈[23,+∞),所以q 是假命题,故“p ∨q ”为真命题,“p ∧q ”为假命题.答案: p ∨q 三、解答题12.指出下列各题中的“p 或q ”、“p 且q ”形式命题的真假.(1)p :a ∈{a ,b ,c };q :{a }⊆{a ,b ,c };(2)p :x ≠y ,则sin x ≠sin y .q :如果α⊥β,l ⊂α,则l ⊥β.解析:(1)p 或q 是真命题,p 且q 是真命题;(2)p 或q 是假命题,p 且q 是假命题.13.已知p :不等式mx 2+1>0的解集是 R ;q :f (x )=log m x 是减函数.若p ∨q 为真,p ∧q 为假,求m 的取值范围.解析:因为不等式mx 2+1>0的解集是R ,所以⎩⎪⎨⎪⎧m >0,Δ<0或m =0,解得m ≥0,即p :m ≥0.又f (x )=log m x 是减函数, 所以0<m <1,即q :0<m <1,又 p ∨q 为真, p ∧q 为假,所以p 和q 一真一假.即p 为真,q 为假;或p 为假,q 为真.所以⎩⎪⎨⎪⎧ m ≥0,m ≥1或⎩⎪⎨⎪⎧m <0,0<m <1,得m ≥1. 所以m 的取值范围是m ≥1.(非)1.如果命题p或q为假命题,则()A.p、q均为真命题B.p、q中至少有一个为真命题C.p、q中至多有一个为真命题D.p、q均为假命题答案:D2.已知命题p:2+2=5,命题q:3>2,则下列判断正确的是()A.“p或q”为假,“非q”为假B.“p或q”为真,“非q”为假C.“p且q”为假,“非p”为假D.“p且q”为真,“p或q”为假解析:显然p假q真,故“p或q”为真,“p且q”为假,“非p”为真,“非q”为假,故选B.答案:B3.若命题p:x=2且y=3,则命题﹁p是()A.x≠2或y=3B.x≠2且y≠3C.x=2或y≠3 D.x≠2或y≠3答案:D4.如果命题“p∨q”与命题“﹁p”都是真命题,那么()A.命题p不一定是假命题B.命题q一定为真命题C.命题q不一定是真命题D.命题p与命题q的真假相同答案:B5.若命题p:x∈(A∩B),则﹁p为()A.x∈A且x∉BB.x∉A或x∉BC.x∉A且x∉BD.x∈(A∪B)解析:“x∈(A∩B)”是指“x∈A,且x∈B”,故﹁p:x∉A或x∉B.故选B.答案:B6.对于下述两个命题:p:对角线互相垂直的四边形是菱形,q:对角线互相平分的四边形是菱形.则命题“p∨q”、“p∧q”、“﹁p”中真命题的个数为()A.0个B.1个C .2个D .3个解析:命题 p 是假命题,命题 q 是假命题,所以“﹁p ”是真命题,命题p ∨q 和命题p ∧q 都是假命题.故选B. 答案:B7.在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次.设命题p 是“甲降落在指定范围”,q 是“乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )A .(﹁p )∨(﹁q )B .p ∨(﹁q )C .(﹁p )∧(﹁q )D .p ∨q解析:“至少有一位学生没有落在指定范围”=“甲没有落在指定范围”或“乙没有落在指定范围”=(﹁p )∨(﹁q ).故选A.答案:A8.“p 或q 是假命题”是“非p 为真命题”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件 答案:A 二、填空题9.命题“若a <b ,则2a < 2b ”的否命题为__________,命题的否定为____________.解析:命题“若a <b ,则 2a <2b ”的否命题为“若a ≥b ,则2a ≥2b ”,命题的否定为“若a <b ,则2a ≥2b ”. 答案:若 a ≥b ,则2a ≥2b 若a <b ,则2a ≥2b10.命题“对任意实数x ,ax 2-2ax -3≤0”是真命题,则实数a 的取值范围是__________.解析:当a =0时,-3≤0成立,当a ≠0时⎩⎪⎨⎪⎧a <0,Δ≤0.答案:[-3,0]11.分别用“p 或q ”“p 且q ”“非p ”填空.(1)命题“15能被3和5整除”是________形式;(2)命题“16的平方根是4或16的平方根是-4”是________形式; (3)命题“π不是有理数”是________形式. 答案:p 且q p 或q 非p 三、解答题12. 已知命题p: 1∈{x |x 2<a },命题q :2∈{x |x 2<a }.(1)若“p 或q ”为真命题,求实数a 的取值范围; (2)若“p 且q ”为真命题,求实数a 的取值范围.解析:若p 为真,则由1∈{x |x 2<a },得12<a ,即a >1; 若q 为真,则由 2∈{x |x 2<a },得a >4.11 (1)若“p 或q ”为真,则a >1或 a >4,即a >1.故实数a 的取值范围是(1,+∞).(2)若“p 且q ”为真,则 a >1且 a >4,即 a >4.故实数a 的取值范围是(4,+∞).13.已知命题p :|4-x |≤6,q :x 2-2x +1-a 2≥0(a >0),若非p 是q 的充分不必要条件,求a 的取值范围.解析:﹁p :|4-x |>6,x >10,或x <-2,x ∈A ={x |x >10,或x <-2},q :x 2-2x +1-a 2≥0,x ≥1+a ,或x ≤1-a ,记B ={x |x ≥1+a ,或x ≤1-a }.而﹁p ⇒q ,q ﹁p ,∴A B ,即⎩⎪⎨⎪⎧ 1-a ≥-2,1+a ≤10,a >0,∴0<a ≤3.∴a 的取值范围是(0,3].。
逻辑连接词1. 因果:因为:because (of), since, for, due to, 冒号所以:thus, hence, therefore结论:conclude, conclusion, conclusive, consequent, consequence, consequently介词短语:result in, result from, lead to, lie in.2. 强对比:unlike, in contrast to, on the other hand, on the contrary.时间的对比也可表示强对比。
19世纪怎么样,现在怎么样。
文中出现的对比,往往是重要的出题点。
3. 转折:Yet… 现象阐述后,对现象持负评价。
But…①出现在非首段句首,表示大转折。
当But出现第二段或者第三段句首的时候,通常是整个文章的论述方向都改变了。
往往代表新观点的出现。
②现象阐述后,对现象持负评价。
However… 可表转折,也可表递进。
“原因1,原因2,然而,还有更重要的原因。
”Nevertheless(然而,不过,虽然如此), nonetheless(尽管如此),virtually, practically, in fact, indeed, actually4. 让步转折词:although, though, while, despite, in spite of+转折do, has, may/might, may/might seem, there might be, there is some evidence [but]of course, certainly, undoubtedly, no doubt, no problem [but]It is true that, to be sure, granted, this is not to deny [but]让步转折的重点通常在后半句,即,被让步的部分的部分不是重点。
汉语逻辑连接词
1. “哎呀,我要是先写作业再玩就好了!”
- 那天放学回家,我一进门就扔下书包,叫嚷着:“我要先玩会儿游戏!”妈妈在厨房喊:“你先写作业呀!”我哪听得进去,“哎呀,等会儿嘛!”结果玩起来就忘了时间,等想起来作业还没写的时候,都快该睡觉了。
我心里那个懊悔呀,哎呀,我要是先写作业再玩就好了!
2. “然后呢,你接着说呀!”
- 在教室里,我和小伙伴们围在一起讲故事,我正讲得起劲,突然有人打断我问:“然后呢,你接着说呀!”大家都一脸期待地看着我,我清了清嗓子,继续讲下去。
3. “不但……而且……”
- 我对妈妈说:“妈妈,这次考试我不但语文考得好,而且数学也进步了呢!”妈妈笑着摸了摸我的头说:“真棒呀!”
4. “虽然……但是……”
- 我虽然很想去参加那个活动,但是那天我已经有别的安排了,真的好纠结呀!
5. “一边……一边……”
- 我一边吃着冰淇淋,一边看着电视,那感觉可太爽啦!弟弟跑过来问:“好吃吗?”我点点头,“嗯,好吃!”
6. “要么……要么……”
- 周末的时候,爸爸问我:“你要么去公园玩,要么去看电影,选一个吧。
”我想了想,“我要去公园!”
7. “既……又……”
- 我的好朋友既会唱歌又会跳舞,大家都可喜欢她啦!
8. “如果……就……”
- 我对妹妹说:“如果你乖乖听话,就给你买好吃的。
”妹妹立马点头,“我听话!”
9. “只要……就……”
- 我心里想着只要我努力学习,就一定能取得好成绩!
10. “不是……就是……”
- 这道题好难呀,我觉得答案不是这个就是那个,到底选哪个呢?哎呀!。
数学逻辑连接词数学逻辑连接词: 因果关系、充分条件、必要条件、等价、充分充要、充分非必要、必要非充分、充分非必要非、充分充要非、等价非、充分非必要非充分、必要非充分、充分充要非必要、等价非充分、充分非必要非充分非、必要非充分非、充分充要非必要非、等价非充分非、充分非必要非充分非必要非、必要非充分非必要非、等价非充分非必要非充分非必要非因果关系是数学逻辑中常见的一种连接词。
它表示两个事件或者两个命题之间的因果关系。
例如,如果A发生,那么B也会发生。
在数学推理中,我们经常使用因果关系来推导结论。
充分条件是另一种常见的逻辑连接词。
它表示如果A成立,那么B 也一定成立。
充分条件是一个充分推理的条件,它能够帮助我们得出结论。
必要条件是与充分条件相对应的逻辑连接词。
它表示如果B成立,那么A一定成立。
必要条件是一个必要推理的条件,它能够帮助我们确定前提。
等价是逻辑中常见的一种关系。
它表示两个命题具有相同的真值。
如果两个命题互为真或者互为假,那么它们是等价的。
等价关系可以帮助我们简化复杂的逻辑推理。
充分充要是充分条件与必要条件的合并。
它表示如果A成立,那么B一定成立,并且如果B成立,那么A也一定成立。
充分充要是一个同时包含充分条件和必要条件的逻辑连接词。
充分非必要是充分条件的否定。
它表示如果A成立,那么B不一定成立。
充分非必要是一个只包含充分条件的逻辑连接词。
必要非充分是必要条件的否定。
它表示如果B成立,那么A不一定成立。
必要非充分是一个只包含必要条件的逻辑连接词。
充分非必要非是充分条件和必要条件的否定。
它表示如果A成立,那么B不一定成立,并且如果B成立,那么A也不一定成立。
充分非必要非是一个同时包含充分条件和必要条件的逻辑连接词。
充分充要非是充分条件、必要条件和否定的合并。
它表示如果A成立,那么B一定成立,并且如果B成立,那么A也一定成立。
充分充要非是一个同时包含充分条件、必要条件和否定的逻辑连接词。
等价非是等价关系的否定。