13简单的逻辑连接词新

1.3简单的逻辑联结词，全称量词与存在量词
1. 逻辑连接词
（1）一般地，用联结词“且”把命题p和q联结起来，就得到一个新命题，记作p∧q，读作“p且q”
（2）一般地，用联结词“或”把命题p和q联结起来，就得到一个新命题，记作p∨q，读作“p或q”
（3）一般地，对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作¬p，读作“非p”或“p的否定”
（4）命题p∧q，p∨q，¬p的真假判断，如下表：
2.全称量词与存在量词
（1）常见的全称量词有“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等. （2）常见的存在量词有“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等.
(3)全称量词用符号“”表示；存在量词用符号“”表示.
3.全称命题与特称命题
（1）含有全称量词的命题，叫做全称命题.“对中任意一个有成立”可
用符号简记为
(2) 含有存在量词的命题，叫做特称命题. “中存在元素有成立”
可用符号简记为
4.含有一个量词的命题的否定
注意：（1）全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题
（2）命题的“否定”与命题的“否命题”是两个不同的概念.对一个命题进行否定，就是要对其结论进行否定，而否命题是既否定条件又否定结论。

授课班级文117班授课时间45分钟课型新授课课题选修1-1 第一章 1.3 简单的逻辑连接词教学目标1．通过数学实例，了解简单的逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；2．能正确地利用“或”、“且”、“非”表述相关的数学内容；3．知道命题的否定与否命题的区别．重点正确理解逻辑联结词“且”、“或”、“非”的含义，并能正确表述这“p ∧q”、“p∨q”、“⌝p”这些新命题。

难点简洁、准确地表述新命题“p∧q”、“p∨q”“⌝p”并能判断其真假性教具教学方法1.3 简单的逻辑联接词命题：可以判断真假的陈述句叫命题。

且：或：非：几种常用词的否定：教学环节教学内容教师活动学生活动设计说明复习旧知一、复习回顾命题的概念：可以判断真假的语句叫命题正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题（1）12>5（2）3是15的约数（3）0.5是整数（4）3是15的约数吗？（5） x>8 都不是命题。

[师]：上课，同学们，前面我们学习了命题，现在请观察黑板，然后告诉我这五个语句是不是命题，如果是，请判断真假。

[生]回答教师提问（1）是真命题（2）是真命题（3）是假命题（4）不是命题（5）不是命题（6）复习之前学过的有关命题的知识，为学生学习新课打下基础引入新知歌德是18世纪德国的一位著名文艺大师，一天，他与一位文艺批评家“狭路相逢”。

这位批评家生性古怪，遇到歌德走来，不仅没有相让，反而卖弄聪明，一边高傲地往前走，一边大声说道：“我从来不给傻子让路！”面对如此尴尬局面，但见歌德笑容可掬，谦恭地闪在一旁，一边有礼貌地回答道：“呵呵，我可恰恰相反。

”结果故作聪明的批评家，反倒自讨个没趣。

[师]很好，看来同学们已经掌握了知识，那接下来我们来看一则小故事。

提问：批评家的话是什么意思：（1）我不给傻子让路（2）你歌德是傻子（3）我不给你让路。

歌德的反击：（1）我给傻子让路（2）你批评家是傻子（3）我给你让路[生]一起阅读小故事并回答下列小问题。

简单的逻辑连接词1，且定义：一般地，用逻辑连接词“且”把命题ｐ和命题ｑ联接起来，就得到一个新的命题，记作ｐ∧ｑ，读着“p且q”命题p∧q的真假：命题p 命题q p∧q (p且q)真真真真假假假真假假假假总结：一假则假，全真则真。

2．或定义：一般地，用联接词“或”把命题p和命题q联接起来就得到一个新命题，记着“p∨q”,读作“p或q”.命题p或q的真假：命题p 命题q p∨q (p或q)真真真真假真假真真假假假总结：有真则真，全假则假。

3.“非”定义：一般地，对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记着﹁p,读着“非p”,“或p的否定”。

命题﹁p的真假：命题p ﹁p (非p)真假假真总结：一真一假。

典型例题例1：将下列各组命题用“且”联接成新命题，并判断真假。

（1）p:π是无理数； q: π小于4；（2）p：5是17的约数； q: 5是15的约数；（3）p: 梯形的对角线相等； q: 梯形的对角线互相平分；（4）p: 2x2+3＞x-5； q: 2x2+3＜x-5；例2：将下列各组命题用“或”联接成新命题，并判断真假。

（1） p: 3＞4, q: 3＜4；（2） p: 正数的平方大于0； q；负数的平方大于0；（3） p: π是整数； q: π是分数。

例3：写出下列命题的否定，并判断它们的真假；（1）p: y=tan x是奇函数，（2）p: π=3.1415；（3）p: 2,3都是8的约数；（4）p: 一元二次方程至多有两个解。

例4：指出下列命题的形式和结构（1）45是3和15的倍数；（2）4是合数或偶数；（3）方程x2+1=0没有有理根。

例5：写出下列命题的否定及否命题（1）面积相等三角形是全等三角形；（2）若m2+n2+x2+y2=0,则实数m,n,x,y全为零；（3）若xy=0,则x=0,y=0.例6：已知：p:方程x2+mx+1=0有两个不等的负实数根；q:方程4x2+4(m-2)x+1=0无实数根，若p∨q为真，p∧q为假，求m的取值范围。

1.3简单的逻辑联结词，全称量词与存在量词
1.常见的逻辑连接词：“或”“且”“非”.
一般地，用联结词“且”把命题p和q联结起来，得到一个新命题，记作p∧q，读作“p且q”；用联结词“或”把命题p和q联结起来，得到一个新命题，记作p∨q，读作“p或q”；对一个命题p全盘否定，得到一个新命题，记作¬p，读作“非p”或“p的否定”.
2.用来判断复合命题的真假的真值表：
3.全称量词与存在量词
（1）常见的全称量词有“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有”等. （2）常见的存在量词有“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等.
(3)全称量词用符号“”表示；存在量词用符号“”表示.
4.全称命题与特称命题
（1）含有全称量词的命题叫全称命题.
(2)含有存在量词的命题叫特称命题.
5.命题的否定
（1）全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题.
(2) p或q的否定：非p且非q；p且q的否定：非p或非q.
6.同一个全称命题、特称命题，由于自然语言的不同，可能有不同的表述方法，在实际应用中可以灵活地选择.
，都有成立
，
成立；
使。

逻辑连接词与量词【考点导读】1.了解逻辑联结词“或”，“且”，“非”的含义；能用“或”，“且”，“非”表述相关的数学内容．2.理解全称量词与存在量词的意义；能用全称量词与存在量词叙述简单的数学内容．理解对含有一个量词的命题的否定的意义；能正确地对含有一个量词的命题进行否定．【基础知识】1、简单的逻辑联结词逻辑联结词有，不含的命题是简单命题．由的命题是复合命题．复合命题的构成形式有三种：，(其中p，q都是简单命题)．2、量词（1）短语“对所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词。

含有全称量词的命题，叫做全称命题。

（2）短语“存在一个”“至少一个”在逻辑中通常叫做存在量词。

含有存在量词的命题，叫做特称命题。

全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题。

3、真值表p q p 且q p 或q 非p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真4、全称命题及存在性命题的真假判定【基础题回顾】1.判断下列命题是全称命题：存在性命题:1)任何实数的平方都是非负数; 2)任何数与0相乘,都等于0; 3)任何一个实数都有相反数;4)△ABC的内角中有锐角.2.判断下列命题是真命题的是：:1)中国的所有的江河都流入太平洋2)有的四边形既是矩形,又是菱形;3)实系数方程都有实数解; 4)有的数比它的倒数小;3.写出命题“中学生的年龄都在15以上”的否定: ;4.写出命题” x∈R,x2>x”的否定:5. 写出命题” 6是2的倍数也是4的倍数”的否命题：【典型例题】例1．分别指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题，并判断其真假．（1）相似三角形周长相等或对应角相等；（2）9的算术平方根不是3；（3）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧．变式训练1.写出由下列各组命题构成的“p 或q ”，“p 且q ”，“非p ”形式的命题，并判断真假.（1）p ：2是4的约数，q ：2是6的约数； （2）p ：矩形的对角线相等，q ：矩形的对角线互相平分；（3）p ：方程210x x -+=的两实根的符号相同，q ：方程210x x -+=的两实根的绝对值相等.例2. 写出下列命题的否定：(1)所有人都晨练;(2) ∀ x ∈R,x 2+x+1>0; (3)平行四边形的对边相等;(4) ∃x ∈R,x 2-x+1=0变式训练2.写出下列命题的否定，并判断真假.（1）p ：所有末位数字是0或5的整数都能被5整除；（2）p ：每一个非负数的平方都是正数；（3）p ：存在一个三角形，它的内角和大于180°；（4）p ：有的四边形没有外接圆；（5）p ：某些梯形的对角线互相平分.例 3. p:关于x 的不等式{},0|1<>x x a x的解集是q ：函数2l g ()y a x x a =-+的定义域为R ,P Q a 如果和有且只有一个正确，求的取值范围。

简单的逻辑联结词高二数学学案一、学习目标：1.3简单的逻辑联结词p真真假假q真假真假非p假假真真p或q真真真假p且q真假假假使用时间：2021年11月23日编印者：段会茹审定者：赵国宾1、了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；2、正确应用“或”、“且”解决问题。

3、掌握真值表并会用真值表解决问题。

二、自主学习：基本梳理1。

和(1)定义：一般地，用联结词“”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∧q.读作“．（2）当命题P和Q都是真命题时，P∧Q是真命题；当两个命题P和Q中只有一个为假时，P∧Q为假2．或(or)．（1）定义：一般来说，一个新命题是通过连接命题p和命题q与连词“”而获得的，并记录为p∨ 问：它被解读为“(2)当p，q两个命题中，只要有一个命题为真命题时，p∨q就为；当p，q两个命题都为假命题时，p∨q就为．3.不是(1)定义：一般地，对一个命题p，就得到一个新命题，记作p.读作“”或“”．（2）如果P是真命题，那么P必须是；如果P是一个假命题，那么P是。

4.复合命题真值表复合命题的真假可通过真值表加以判断：注：判断复合命题真实性的基本步骤是：（1）确定复合命题的构成形式（先找出逻辑连接词，再确定连接的简单命题）；（2）判断每个简单命题的真实性；（3）结合真值表推断复合命题的真假5．复合命题的否定．（1）命题的否定：“？P”是命题“P”的否定，与命题“P”的真或假相反。

（2）命题否定（P∧ q）：命题的否定（P∧ q）是吗∨ （3）命题的否定（P∨ q）：命题的否定（P∨ q）是吗∧? 6.常用词及其否定原词等于大于(＞)不大于(≤)小于(＜)是不是都是不都是不等于不小于(≥)至多有一个至少有两个有个至少有一至多有n个一个也没至少有n＋1个任意的任意两个所有的能不能某个某两个某些第3节简易逻辑连结词及全称存在量词1例1。

将下列命题与“and”连成一个新命题，判断其正确与否。

英语逻辑连接词-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One11) 先后次序关系：at this time（这时候、此时）; first; second; at last; next; previously（以前）;simultaneously[saiməl'teiniəsli]（同时）;eventually（最后）;last but not least（最后但并不是最不重要的）;to begin with（首先、本来）; to start with =for a start（首先）; first of all（首先，第一） ;to end with（最后）; finally（最后）; since then(从那时以来); afterwards(然后、后来);following this：following This Trend顺应这种趋势；By Following This Strategy通过采用这种策略；只要遵循这项策略following This Pattern下面这个模式；Following This Opinion由此来看following This Way沿着这条思路；Following This Thought循此思路following This Commitment根据这一承诺；Following This Example下面这位比如;preceding this（在这之前）.2) 因果关系：because; because of this; being that(既然、因为、由于); another important factor／reason of... ; since（既然、因为、由于、自…以来）; as（因为、依照、当…时、随着、虽然）; for; in that... (既然、因为、由于); owing to（由于，因为…）; due to; for the reason that...; in view of （鉴于、考虑到）; the reason seems to be obvious; for this reason; as a result of this; therefore; ...and so（因此、所以）...; consequently（所以、因此、结果）; as a result; thus; hence; so; so that...; in consequence（因此、结果）; as a consequence（因此、结果）; accordingly（因此、于是）; inevitably（不可避免地、必然地）; under these conditions(在这种情形下、在此情况时、在这些情况下); thereupon [,ðεərə'pɔn ]于是; seeing... （因为；鉴于；由于）;3) 转折关系：but; even so（虽然如此，即使如此）; however; though（可是、虽然、然而、不过）; even though（虽然、即使）; independent of（不管）; despite that（尽管、不管）; in spite of that （尽管、不管）; regardless of（不管）; yet...（然而、但是）; and yet（可是、然而）; but unless（除非）.4) 并列关系：and; also; too; as well as（也；和…一样；不但…而且）; either...，or...（不是…就是…；或者…或者…）; both...and...5) (补充)递进关系：furthermore(此外、而且); moreover(此外、而且); further（更远地；进一步地；而且）;In this way（这样）; still（但是；仍然；尽管如此）; not only...but also...; not that…but that…（不是(因为)…而是(因为)…）; in addition (to)（另外，此外（除…之外））; additionally(此外), much more interesting, more specifically（更具体地说）, next（其次；然后）, besides（而且；此外；除…之外）; as far as... （至于，就…而言）；in other words(换句话说); on the one hand...，on the other hand...(一方面，另一方面); even（甚至；即使）; as a popular saying goes...( 常言说); in order to do it...( 为了做这件事); meanwhile(同时); at the same time; accordingly(因此，于是); In the first place...(首先)，in the second place...(其次、第二); equally important(同样重要); of even greater appeal(更吸引).6) 比较关系：similarly（同样地）; in like manner（同样地）；in comparison with（与…比较）;when compared with（当和...相比时）; compared with（与...相比较）; when in fact...（而实际上；但事实上）; like...（如同）; likewise(也；同样地); apart from (doing)...( 除…之外；且不说；);... rather than...( 而不是；宁可…也不愿)；by doing so(通过这样来做); both…and...;in the same way(同样地；以同样的方式); not only...but (also)；7) 对照(不同点)：yet; still（但是；仍然；尽管如此）; notwithstanding(尽管，虽然); rather(宁可);neither ... nor(既不是…也不是…); although; though; but; however; conversely(相反地); unlike(和…不同，不像); opposed to(反对); as opposed to(与…截然相反) ; in contrast (to)(与此相反);on the contrary（正相反）; different from this; nevertheless(然而，不过); contrary to(与…相反); whereas [hwεə'æz] (反之；然而); while(而); but on the other hand(但另一方面).8) 举例关系：for example; for instance; in this case(假若这样); namely(也就是；换句话说);as you know(正如你知道的); as you may say(如你所说); like(像；如同); such as(比如；诸如);a case in point is...( 一个典型的例子); in particular(尤其，特别); put it simply(简单地说);for one thing...首先，for another...其次、第二; as an illustration(作为一个例证), I will say...;a good example (of...)would be...; It is interesting to note that...; i n this situation(在这种情况下); take…as example(以……为例); as for(关于，至于); as regards(关于，至于); as to(关于，至于);according to(根据); on this occasion(场合).9) 强调关系：in fact; especially; particularly; moreover; naturally(自然地);what is more important is that…(更重要的是); in reality(实际上；事实上); certainly(当然);of course; indeed(的确); in particular(尤其，特别); not to mention...( 更不必说);believe it or not(信不信由你); undeniably(不可否认地); other thing being equal(另一件是同等的);it is certain／sure that...; to be true(说实话); by definition(明显地); definitely(明确地，肯定地); undoubtedly(无庸置疑地); without a doubt(无疑地); in truth(事实上); in any event(不论怎样);without reservation(毫无保留地); obviously(明显地), not only.. but(also...), both... and...10) 条件关系：if; unless; lest(唯恐); provided that(倘若；假如); if it is the case(如果是这样的情况); in this sense(在这一点上，从这点来说); once...(一旦); if possible(如果可能的话);if necessary(如果必要的话); if so(如果是这样的话); if anything(如果有什么区别的话).11) 归纳总结类：in other words(也就是说); on the whole(就全体而论); in sum(总而言之); therefore;hence; in short(总之；简言之); in brief(总之); t o sum up(总之；概括地说);in conclusion(总之，综上所述); in summary(总之；概括起来);to conclude(最后);the conclusion can be drawn that... (可以得出的结论); for this reason(为此)12) 地点关系：beyond(在...较远的一边); opposite to(在…对面); adjacent to(接近); at the same place; there;over(从头到尾、在…之上); in the middle; around(在附近、在…周围); in front of; in the distance(在远处); farther(此外；更远地；更进一步地); here and there(各处，到处);above(在……之上；在上面);below(在下面；在…下面);at the right side(在右边);between(在…之间；在中间);on this side(在这边).13) 目的关系：for this purpose; in order that; in this way；since; so that; on that account（由于那个缘故）;in case万一、假使；with a view to（鉴于、由于考虑到）； for the same reason。

常用逻辑用语知识点总结逻辑是一种以证明、推理和推断为基础的理性思维方法。

在日常生活和学术研究中, 人们经常会遇到各种逻辑问题, 如何正确运用逻辑用语是非常重要的。

下面将就常用的逻辑用语进行知识点总结。

一、假言命题1. 假言命题是由“如果……，则……”的句子构成的命题。

它表示的是一种条件关系。

2. 假言命题的充分条件和必要条件。

充分条件是指如果A成立，则B必定成立；必要条件是指B成立就必定是A成立。

3. 常用逻辑连接词：如果……，就……；只要……，就……；每当……，就……。

4. 示例：如果下雨，地面就会湿。

这就是一个假言命题，如果下雨是充分条件，地面湿是必要条件。

5. 常见的假言命题推理错误：偷换充分条件与必要条件；否定假设；无中生有。

二、联言命题1. 联言命题是由“而且”、“也”、“而且还”等词连接的两个或多个简单命题构成的命题。

它表示的是多个条件同时成立的关系。

2. 常用逻辑连接词：而且、又、且、还、除此之外还。

3. 示例：他不但聪明，而且还非常勤奋。

这就是一个联言命题，表示他既聪明又勤奋。

4. 常见的联言命题推理错误：谬误的联言；与联言条件无关；由联言推出联言分解。

三、析言命题1. 析言命题是由“但是”、“除了……还有”等词连接的两个或多个简单命题构成的命题。

它表示的是两个条件相互排斥的关系。

2. 常用逻辑连接词：但是、然而、不过、相反、相反地、与……相反。

3. 示例：他很有学识，但是思维缜密不足。

这就是一个析言命题，表示他虽然有学识，但思维缜密不足。

4. 常见的析言命题推理错误：非提出人之谬误；擅自坚持；不正当引用。

四、复言命题1. 复言命题是由多个简单命题以及相应的逻辑连接词构成的复杂命题。

2. 常用逻辑连接词：如果……，就……；且；但是；不是；如果……则……；不是因为……而是因为……。

3. 示例：如果你努力学习，就一定会取得好成绩。

这就是一个复言命题，由假言命题构成。

5. 常见的复言命题推理错误：对联言的否定；混淆假言及联言；推而广之。

授课主题简单的逻辑连接词且、或、非教学目标1．理解“且”、“或”、“非”的含义．2．会用“且”、“或”联结两个命题并判断命题的真假．3．能够判断含有逻辑联结词的命题的真假．4．掌握逻辑连接词“且”、“或”、“非”的简单应用．教学内容1.“且”“或”的概念（1）且①定义：一般地，用逻辑联结词“且”把命题p和q联结起来，就得到一个新命题，记作p q∧，读作“p且q”．逻辑联结词“且”与日常语言中的“并且”、“及”、“和”相当．可以用“且”定义集合的交集：{|()()}A B x x A x B=∈∧∈．②判断命题p q∧的真假当p q、都为真命题，p q∧就为真命题；当p q、两个命题中只要有一个命题为假命题，p q∧就为假命题．（2）或：①定义：一般地，用逻辑联结词“或”把命题p或q联结起来，就得到一个新命题，记作p q∨，读作“p或q”．逻辑联结词“或”的意义和日常语言中的“或者”相当．可以用“或”定义集合的并集：{|()()}A B x x A x B=∈∨∈．②判断命题p q∨的真假当p q、两个命题中，只要有一个命题为真命题时，p q∨为真命题；当p q、两个命题都为假命题，p q∨为假命题2.非：①定义：一般地，对命题p加以否定，得到一个新的命题，记作p⌝，读作“非p”或“p的否定”．逻辑联结词“非”（也称为“否定”）的意义是由日常语言中的“不是”“全盘否定”“问题的反面”等抽象而来．有()p p⌝⌝=成立．可以用“非”来定义集合A在全集U中的补集：{|()}{|}UA x U x A x U x A=∈⌝∈=∈∉．②判断p⌝命题的真假，p⌝和p不能同真同假，其中一个为真，另一个必定为假．3.复合命题不含逻辑联结词的命题称为简单命题，含有逻辑联结词的命题称为复合命题．复合问题的真值表：复合命题的真假，主要利用真值表来判断，步骤为：(1)确定复合命题的构成形式；(2)判断其中各简单命题的真假；(3)利用真值表判断复合命题的真假．题型一用“且”、“或”联结成新命题例1将下列命题用“且”、“或”联结成新命题．(1)p：三角形的三条中线相等；q：三角形的三条中线交于一点．(2)p：35是5的倍数；q：35是7的倍数．(3)p：方程2x2－26x＋3＝0的两根都是实数；q：方程2x2－26x＋3＝0的两根不等．解析：(1)p∧q：三角形的三条中线相等且交于一点；p∨q：三角形的三条中线相等或交于一点．(2)p∧q：35是5的倍数且是7的倍数；p∨q：35是5的倍数或是7的倍数．(3)p∧q：方程2x2－26x＋3＝0的两根都是实数且不相等；p∨q：方程2x2－26x＋3＝0的两根都是实数或不相等．巩固分别写出由下列命题构成的“p∨q”、“p∧q”形式的命题．(1)p：π是无理数；q：e不是无理数．(2)p：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根；q：方程x2＋2x＋1＝0两根的绝对值相等．(3)p：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；q：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角解析：(1)“p∨q”：π是无理数或e不是无理数；“p∧q”：π是无理数且e不是无理数．(2)“p∨q”：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根或两根的绝对值相等；“p∧q”：方程x2＋2x＋1＝0有两个相p q p q∧p q∨p⌝真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真等的实数根且两根的绝对值相等．(3)“p∨q”：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和或大于与它不相邻的任何一个内角；“p∧q”：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和且大于与它不相邻的任何一个内角题型二用“且”、“或”改写命题例2用“且”、“或”改写下列命题．(1)1不是质数也不是合数；(2)2既是偶数又是质数；(3)5和7都是质数；(4)x＝±3是方程|x|＝3的解．解析：(1)p：1不是质数，q：1不是合数，p∧q：1不是质数且1不是合数．(2)p：2是偶数，q：2是质数，p∧q：2 是偶数且2是质数．(3)p：5是质数，q：7是质数，p∧q：5是质数且7是质数．(4)p：x＝3是方程|x|＝3的解，q：x＝－3是方程|x|＝3的解，p∨q：x＝3或x＝－3是方程|x|＝3的解.点评：(1)当一个复合命题不是用“且”或“或”连接时，可以将其改为用“且”或“或”连接的复合命题，改写时要注意不能改变原命题的意思，这就要仔细考虑到底是用“且”还是用“或”．(2)在用“且”、“或”联结两个命题p、q时，在不引起歧义的情况下，可将p、q中的条件或结论合并，使叙述更通顺．巩固用“且”、“或”改写下列命题：(1)等腰三角形的顶角平分线平分底边，也垂直底边；(2)45既能被5整除又能被9整除；(3) x2－2＝0的根是±2；(4)3≥3.解析：(1)等腰三角形的顶角平分线平分底边且垂直底边；(2)45能被5整除且能被9整除；(3)x2－2＝0的根是2或－2；(4)3大于3或等于3.题型三p∨q、p∧q真假的判断例3指出下列各题中的“p或q”、“p且q”形式的复合命题的真假．(1)p：梯形有一组对边平行，q：梯形有一组对边相等；(2)p：5是17的约数，q：5是15的约数．解析：(1)p是真命题，q是假命题，∴p或q是真命题，p且q是假命题．(2)p是假命题，q是真命题，∴p或q是真命题，p且q是假命题．点评：有些命题表面上不含逻辑联结词，可以通过改写化为“p∨q”或“p∧q”形式的命题，然后通过p、q的真假判断命题的真假．或命题“p∨q”的真假特点是“一真即真，要假全假”，且命题“p∧q”的真假特点是“一假即假，要真全真”．巩固指出下列“p∨q”，“p∧q”命题的真假．(1)p: 当x∈R时，x2＋1≥2x，q：当x∈R时，|x|≥0；(2)p: 相似三角形的面积相等，q：相似三角形的对应角相等；(3)p：函数y＝cos x是周期函数，q：函数y＝cos x是奇函数.解析：(1)因为p是真命题，q是真命题，所以“ p∨q”和“ p∧q”都是真命题．(2)因为p是假命题，q是真命题，所以“p∨q”是真命题，“ p∧q”是假命题．(3)因为p是真命题，q是假命题，所以“ p∨q”是真命题，“ p∧q”是假命题.题型四“﹁p”命题真假性的判断例4写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)p：是有理数；(2)p：5不是75的约数；(3)p：7＜8；(4)p：5＋6≠11；(5)p：空集是任何非空集合的真子集．解析：(1) ﹁p：不是有理数．命题p是假命题，﹁p是真命题；(2) ﹁p：5是75的约数．命题p是假命题，﹁p是真命题；(3) ﹁p：7≥8.命题p是真命题，﹁p是假命题；(4) ﹁p：5＋6＝11，命题p是假命题，﹁p是真命题；(5) ﹁p：空集不是任何非空集合的真子集．命题p是真命题，﹁p是假命题．巩固写出下列命题的否定，并判断它们的真假．(1)p：函数y＝tan x是奇函数；(2)q：4∈{1,2,4}．解析：(1) ﹁p：函数y＝tan x不是奇函数，是假命题．(2) ﹁q：4 {1,2,4}，是假命题．题型五命题的否定与否命题的辨析例5写出下列各命题的否定及其否命题，并判断它们的真假．(1)若x、y都是奇数，则x＋y是偶数；(2)若xy＝0，则x＝0或y＝0.解析：命题的否定是：(1)若x、y都是奇数，则x＋y不是偶数，为假命题；(2)若xy＝0，则x≠0且y≠0，为假命题；原命题的否命题是：(1)若x 、y 不都是奇数，则x ＋y 不是偶数，是假命题； (2)若xy ≠0，则x ≠0且y ≠0，是真命题．点评：1.要注意区别“否命题”与“命题的否定”：否命题要对命题的条件和结论都否定，而命题的否定仅对命题的结论否定．2．常用词语及其否定： 原词语 等于 大于(＞) 小于(＜) 是 都是 否定词语 不等于 不大于(≤)不小于(≥)不是 不都是原词语 至多有一个 至少有一个 至多有n 个 否定词语 至少有两个 一个也没有 至少有n ＋1个 原词语 任意的 任意两个 所有的 能 否定词语某个某两个某些不能 巩 固 写出下列命题的否定形式和否命题：(1)若abc ＝0，则a 、b 、c 中至少有一个为零； (2)若a ＝b 且b ＝c ，则a ＝c .解析：(1)否定形式：若abc ＝0，则a 、b 、c 全不为零． 否命题：若abc ≠0，则a 、b 、c 全不为零． (2)否定形式：若a ＝b 且b ＝c ，则a ≠c . 否命题：若a ≠b 或b ≠c ，则a ≠c . 题型六 逻辑联结词的简单运用例6 命题p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立；q ：函数f (x )＝－(5－2a )x 是减函数．若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围．解析：设g (x )＝x 2＋2ax ＋4.因为关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立，所以函数g (x )的图象开口向上且与x 轴没有交点，故Δ＝4a 2－16<0，所以－2<a <2，所以命题p ：－2<a <2.又函数f (x )＝－(5－2a )x 是减函数，则有5－2a >1，即a <2.所以命题q ：a <2. 由p 或q 为真，p 且q 为假，可知p 和q 一真一假．(1) 若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧－2<a <2，a ≥2此不等式组无解．(2)若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－2，或a ≥2，a <2，所以a ≤－2.综上，实数a 的取值范围是 (－∞，－2]．点评：(1)利用逻辑联结词“且”、“或”可以将简单命题变为复合命题，利用“非”可以否定一个命题. 在解决问题时，正确理解逻辑联结词“或”“且”“非”是关键，有些命题并不一定包含“或”“且”“非”这些逻辑联结词，要结合命题的具体含义正确进行命题构成的判定．(2)对于复合命题中的参数问题，可以根据复合命题的真假，列出方程或不等式，求出参数的值或范围．巩 固 已知a >0，a ≠1.设p ：函数y ＝log a (x ＋1) 在(0，＋∞)内单调递减；q ：曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同的两点．若p 或q 为真，p 且q 为假，求a 的取值范围．解析：当0<a <1时，函数y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)内单调递减．当a >1时，y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)内不是单调递减函数，故p 真时0<a <1.q 真等价于(2a －3)2－4>0，即a <12或a >52.又a >0，所以0<a <12或a >52.因为p 或q 为真，p 且q 为假， 所以p ，q 中必定是一个为真一个为假．(1)若p 真，q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1，12≤a <1或1<a ≤52⇒12≤a <1，即a ∈⎣⎡⎭⎫12，1.(2)若p 假，且q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a >1，0<a <12或a >52⇒a >52，即a ∈⎝⎛⎭⎫52，＋∞. 综上可知，a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫12，1∪⎝⎛⎭⎫52，＋∞.（且、或）一、选择题1．下列命题中，是“ p ∨q ”形式的命题的是( )A ．∅{0}B ．－3＜0C ．平行四边形的对角线相等且互相平分D ．能被5整除的整数的末位数不是0就是5 解析：“∅{0}”和“－3＜0”是简单命题；“平行四边形的对角线相等且互相平分”是“p ∧q ”形式的命题．“能被5整除的整数的末位数不是0就是5” 是“ p ∨q ”形式的命题．故选D. 答案：D2．已知命题p ：5≤5，q ：5＞6.则下列说法正确的是( )A ．“p ∧q ”为真，“p ∨q ”为真B．“p∧q”为假，“p∨q”为假C．“p∧q”为假，“p∨q”为真D．“p∧q”为真，“p∨q”为假答案：C3．下列语句中，符合命题“p∧q”的个数是()①方程x2＋5＝0没有实数根；②y＝sin x是周期函数也是R 上的减函数；③9是144和81的公约数；④(A∩B)⊆AA．0个B．1个C．2个D．3个解析：②、③符合命题“p∧q”的形式．故选C.答案：C4．“x不大于y”是指()A．x≠y B．x< y或x＝y C．x< y D．x< y且x＝y解析：“不大于”是指“小于或等于”．故选B.答案：B5．已知命题p：1∈{x|(x＋2)(x－3)＜0}，命题q：∅＝{0}则下列判断正确的是()A．p假q假B．“p或q”为真C．“p且q”为真D．p假q真解析：因为{x|(x＋2)(x－3)＜0}＝{x|－2＜x＜3}，所以1∈{x|(x＋2)(x－3)＜0}，所以p真．因为∅≠{0}，所以q 假．故“p或q”为真，“p且q”为假，故选B.答案：B6．已知命题p：点P在直线y＝2x－1上；命题q：点P在直线y＝－x＋3上，则使命题“p或q”为真命题的一个点P(x，y)是()A．(0，－3) B．(3,2) C．(1，－1) D．(5，－2)解析：命题“p或q”为真命题的含义是这两个命题至少有一个是真命题，即点P在直线y＝2x－3上，或在直线y ＝－3x＋2上，即点P至少在其中一条直线上．检验知选项D满足条件．故选D.答案：D7．已知命题p，q，则命题“p∨q为真”是命题“p∧q为真”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：p∧q为真⇒p真且q真⇒p∨q为真；p∨q为真⇒p真或q真p∧q为真．故选B.答案：B8．若xy ＝0，则x ＝0________y ＝0；若xy ≠0，则x ≠0________y ≠0(填“且”或“或”)．答案：或，且9．给出命题p ：ax ＋b >0的解为x >－ba，命题q ：(x －a )(x －b )<0的解为a <x <b .则p ∧q 是________命题(填“真”或“假”)．解析：命题p 与q 都是假命题，所以p ∧q 是假命题． 答案：假10．若命题“p 或q ”与命题“p 且q ”都是真命题，则下列结论中正确的个数是______________．①命题q 一定是真命题；②命题q 不一定是真命题；③命题p 不一定是真命题；④命题p 与q 的真值相同． 解析：因为命题“p 或q ”与命题“p 且q ”都是真命题，所以p 、q 同真．所以①④正确． 答案：211．设命题p ：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 的最小正周期是π，q ：32∉[23，＋∞)，则复合命题“ p ∨q ”、“p ∧q ”中真命题的是________．解析：由三角函数的性质知p 是真命题，而32∈[23，＋∞)，所以q 是假命题，故“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题．答案： p ∨q 三、解答题12．指出下列各题中的“p 或q ”、“p 且q ”形式命题的真假．(1)p ：a ∈{a ，b ，c }；q ：{a }⊆{a ，b ，c }；(2)p ：x ≠y ，则sin x ≠sin y ．q ：如果α⊥β，l ⊂α，则l ⊥β.解析：(1)p 或q 是真命题，p 且q 是真命题；(2)p 或q 是假命题，p 且q 是假命题．13．已知p ：不等式mx 2＋1>0的解集是 R ；q ：f (x )＝log m x 是减函数．若p ∨q 为真，p ∧q 为假，求m 的取值范围．解析：因为不等式mx 2＋1>0的解集是R ，所以⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ<0或m ＝0，解得m ≥0，即p ：m ≥0.又f (x )＝log m x 是减函数， 所以0<m <1，即q ：0<m <1，又 p ∨q 为真， p ∧q 为假，所以p 和q 一真一假．即p 为真，q 为假；或p 为假，q 为真．所以⎩⎪⎨⎪⎧ m ≥0，m ≥1或⎩⎪⎨⎪⎧m <0，0<m <1，得m ≥1. 所以m 的取值范围是m ≥1.（非）1．如果命题p或q为假命题，则()A．p、q均为真命题B．p、q中至少有一个为真命题C．p、q中至多有一个为真命题D．p、q均为假命题答案：D2．已知命题p：2＋2＝5，命题q：3>2，则下列判断正确的是()A．“p或q”为假，“非q”为假B．“p或q”为真，“非q”为假C．“p且q”为假，“非p”为假D．“p且q”为真，“p或q”为假解析：显然p假q真，故“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为真，“非q”为假，故选B.答案：B3．若命题p：x＝2且y＝3，则命题﹁p是()A．x≠2或y＝3B．x≠2且y≠3C．x＝2或y≠3 D．x≠2或y≠3答案：D4．如果命题“p∨q”与命题“﹁p”都是真命题，那么()A．命题p不一定是假命题B．命题q一定为真命题C．命题q不一定是真命题D．命题p与命题q的真假相同答案：B5．若命题p：x∈(A∩B)，则﹁p为()A．x∈A且x∉BB．x∉A或x∉BC．x∉A且x∉BD．x∈(A∪B)解析：“x∈(A∩B)”是指“x∈A，且x∈B”，故﹁p：x∉A或x∉B.故选B.答案：B6．对于下述两个命题：p：对角线互相垂直的四边形是菱形，q：对角线互相平分的四边形是菱形．则命题“p∨q”、“p∧q”、“﹁p”中真命题的个数为()A．0个B．1个C ．2个D ．3个解析：命题 p 是假命题，命题 q 是假命题，所以“﹁p ”是真命题，命题p ∨q 和命题p ∧q 都是假命题．故选B. 答案：B7．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )A ．(﹁p )∨(﹁q )B ．p ∨(﹁q )C ．(﹁p )∧(﹁q )D ．p ∨q解析：“至少有一位学生没有落在指定范围”＝“甲没有落在指定范围”或“乙没有落在指定范围”＝(﹁p )∨(﹁q )．故选A.答案：A8．“p 或q 是假命题”是“非p 为真命题”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：A 二、填空题9．命题“若a <b ，则2a < 2b ”的否命题为__________，命题的否定为____________．解析：命题“若a <b ，则 2a ＜2b ”的否命题为“若a ≥b ，则2a ≥2b ”，命题的否定为“若a <b ，则2a ≥2b ”． 答案：若 a ≥b ，则2a ≥2b 若a <b ，则2a ≥2b10．命题“对任意实数x ，ax 2－2ax －3≤0”是真命题，则实数a 的取值范围是__________．解析：当a ＝0时，－3≤0成立，当a ≠0时⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ≤0.答案：[－3,0]11．分别用“p 或q ”“p 且q ”“非p ”填空．(1)命题“15能被3和5整除”是________形式；(2)命题“16的平方根是4或16的平方根是－4”是________形式； (3)命题“π不是有理数”是________形式． 答案：p 且q p 或q 非p 三、解答题12. 已知命题p: 1∈{x |x 2＜a }，命题q ：2∈{x |x 2＜a }．(1)若“p 或q ”为真命题，求实数a 的取值范围； (2)若“p 且q ”为真命题，求实数a 的取值范围．解析：若p 为真，则由1∈{x |x 2＜a }，得12<a ，即a ＞1； 若q 为真，则由 2∈{x |x 2＜a }，得a ＞4.11 (1)若“p 或q ”为真，则a ＞1或 a ＞4，即a ＞1.故实数a 的取值范围是(1，＋∞)．(2)若“p 且q ”为真，则 a ＞1且 a ＞4，即 a ＞4.故实数a 的取值范围是(4，＋∞)．13．已知命题p ：|4－x |≤6，q ：x 2－2x ＋1－a 2≥0(a >0)，若非p 是q 的充分不必要条件，求a 的取值范围．解析：﹁p ：|4－x |>6，x >10，或x <－2，x ∈A ＝{x |x >10，或x <－2}，q ：x 2－2x ＋1－a 2≥0，x ≥1＋a ，或x ≤1－a ，记B ＝{x |x ≥1＋a ，或x ≤1－a }．而﹁p ⇒q ，q ﹁p ，∴A B ，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a ≥－2，1＋a ≤10，a >0，∴0<a ≤3.∴a 的取值范围是(0,3]．。