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三类圆锥曲线“焦半径公式”的一套记忆口诀 甘肃会宁县第五中学（７３０７００）王彩云
人教版高中数学第二册（上）第八章《圆锥曲线方 程》涉及三类圆锥曲线的统一定义，即圆锥曲线第二定 义：平面内与一定点Ｆ和它到定直线的距离的比是常数 ｅ的点的轨迹，叫圆锥曲线，点Ｆ叫做圆锥曲线的焦点， 直线Ｚ叫做圆锥曲线相应于焦点Ｆ的准线；常数ｅ叫做 离心率，这里ｅ＞０，当Ｐ＞１时轨迹是双曲线；当０＜ｅ＜１ 时轨迹是椭圆；当ｅ—ｌ时轨迹是抛物线．设动点Ｐ（ｘ。， ｙ。），焦点Ｆ，点Ｐ到相应于点Ｆ的准线￡的距离为 ，则 ｌ Ｄ ｌ 点Ｐ的轨迹满足｛Ｐ ｌ —ｅ，ｅ＞０｝，由此便产生了一 “ 个非常有用的“焦半径公式”．本文将通过推导焦半径公 式，总结出一套记忆公式的口诀，并在应用中体现公式 的价值．（注：焦半径实际是圆锥曲线上任一点Ｐ与焦点 Ｆ的距离，即ｌＰＦＩ．） 一、推导椭圆的焦半径公式 结合椭圆的几何性质及第 二定义，设动点Ｐ（ 。，ｙ。）．设 椭圆标准方设为程 十 一１ （ｎ＞ｂ＞０），Ｆ （一ｆ，０），Ｆ（Ｃ， Ｏ），ｅ—ｃ（ｃ＞Ｏ）（如图１）． 左准线ｚ ：ｚ一一 ； 右准线ｚ。： 一一了ａ２．
丽Ｉ ＰＦ１［ 丽一 丽一 ． … Ⅳ ｒＦ ｌ ０
图１
・．‘ｌ 。ｌ＜ Ｃ，因而ＩＰＭＩ一等＋ｚ。，ＩＰＮＩ一等一ｚ。． 即Ｉ ＰＦ ｌ— ‘ ａＺ＋ 。）一等×詈＋ｅｘｏ＝ａ＋ｅ 。；
ＩＰ Ｉ—Ｐ（等一 。）一 ａＺ×寺＋ 。一ｎ— 。． Ｌ Ｌ “ 不难发现：Ｉ ＰＦ ｛与ｌ ＰＦｚ』仅与“、ｅ、 。有关，符合 “左＋右一”规律． 同理可得，当椭圆标准方程为 ＋ 一１（ｎ＞６＞ｏ） 时，ｌ踢ｌ与ｌＰ ｌ仅与“ 有关，符合“下＋上一”规律． 因此，对于椭圆的两种情况而言，焦半径公式的得 到有方法：看方程得焦点。依焦点定公式．公式符合：“左 ＋右一，下＋上一”规律，左表示左焦点；右表示右焦点； 下表不下焦点；上表示上焦点． 二、双曲线和抛物线的焦半径公式 对于双曲线的两种情况而言，焦半径公式的得到有 方法：一看方程定焦点；二看动点在哪支；三依动点判长 短；四依口诀得公式．公式符合“左＋右一；下＋上一；长 正短负”规律．左表示左焦点，右表示右焦点，下表示下 焦点，上表示上焦点；然后依动点，判断ｌ ＰＦ ｌ与ｌ ＰＦ ｌ 的长短，视ａ＋ｅｘ。， 一ｅｘｏ，ａ＋ｅｙ０，ａ—ｅｙｏ为整体，依 ＩＰＦ Ｉ与ｌＰ ｌ的长短添正或负号． 对于抛物线的四种情况而言，焦半径公式的得到有 方法：看方程得焦点；依准线写公式．公式符合“左＋右 一；下＋上一”规律． 以上两组口诀请读者自行证明． 归纳三类圆锥曲线的焦半径公式，可得到统一记忆 的口诀：“左＋右一；下＋上一；遇见双曲，长正短负”． 有Ｊ，上述记忆口诀，在应用中就口Ｊ以灵沽而准确地 解决问题，现举两例加以说明． 【例１】在双曲线篙一 ５￣２＝＝＝一１的一支上有不同的
圆锥曲线焦半径公式的应用
敖华尔
【期刊名称】《《中学数学研究》》
【年(卷),期】2006(000)012
【摘 要】在高考数学中,圆锥曲线占有非常重要的位置,而熟练应用焦半径公式是解决圆锥曲线问题的一种简单快捷的方法.一、圆锥曲线的焦半径公式1.设 M（x0,y0）是椭圆x2/a2+y2/b2=1（a>b>0）上一点,F1（-c,0）、F2（c,0）是左、右焦点,e 是椭圆的离心率,则（1）|MF1|=a+ex0,|MF2|=a-ex0.设 M（x0,y0）是椭圆 x2/b2+y2/a2=1（a>b>0）上一点,F1（0,c）、F2（0,-c）是上、下焦点,e 是椭圆的离心率,则（2）|MF1
【总页数】3页(P28-30)
【作 者】敖华尔
【作者单位】江西新余市一中 330800
【正文语种】中 文
【中图分类】O1
【相关文献】
1.圆锥曲线中的焦半径公式的应用 [J], 宁利伟
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5.圆锥曲线的焦半径公式及其应用 [J], 郭海先 因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买
椭圆焦半径定比的一个性质及应用胡贵平(甘肃省白银市第一中学ꎬ甘肃白银７３０９００)摘 要:圆锥曲线焦点弦问题中涉及定比分点ꎬ常规解法是把比例关系坐标表示ꎬ计算量较大ꎬ借用定义很容易得出离心率、倾斜角与定比的一个性质ꎬ应用性质解焦点弦问题ꎬ事半功倍.关键词:椭圆ꎻ焦半径ꎻ定比中图分类号:Ｇ６３２ 文献标识码:Ａ 文章编号:１００８－０３３３(２０２３)１３－００４３－０３
收稿日期:２０２３－０２－０５作者简介:胡贵平(１９７８－)ꎬ男ꎬ甘肃省天水人ꎬ本科ꎬ中学高级教师ꎬ从事中学数学教学研究. 圆锥曲线中焦点弦是同一直线上两个焦半径之和.由于过焦点ꎬ焦点弦所在直线方程由倾斜角确定ꎬ焦点Ｆ是焦点弦ＡＢ的定比分点ꎬ若ＡＦ→＝λＦＢ→(λ>０)ꎬ则离心率ｅ、直线的倾斜角θ与定比λ之间满足ｅｃｏｓθ＝λ－１λ＋１.利用焦半径定比性质解决圆锥曲线焦点弦问题更加简捷有效.１椭圆焦半径定比性质设椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)的右焦点为点Ｆꎬ过点Ｆ的直线ｌ与椭圆相交于Ａ、Ｂ两点ꎬ直线ｌ的倾斜角为θꎬ且ＡＦ→＝λＦＢ→(λ>０)ꎬ则ｅ、θ、λ间满足ｅｃｏｓθ＝λ－１λ＋１.证明 在△ＡＦ１Ｆ中ꎬ根据椭圆的定义ꎬ有ＡＦ１＋ＡＦ＝２ａ.由余弦定理ꎬ得｜ＡＦ１｜２＝｜ＡＦ｜２＋｜Ｆ１Ｆ｜２－２ＡＦＦ１Ｆｃｏｓ(π－θ).即(２ａ－ＡＦ)２＝ＡＦ２＋(２ｃ)２＋２ＡＦ(２ｃ)ｃｏｓθ.所以ａ２－ｃ２＝ＡＦ(ａ＋ｃｃｏｓθ).即ＡＦ＝ｂ２ａ＋ｃｃｏｓθ.同理可得ＢＦ＝ｂ２ａ－ｃｃｏｓθ.因为ＡＦ→＝λＦＢ→(λ>０)ꎬ所以ｂ２ａ＋ｃｃｏｓθ＝λｂ２ａ－ｃｃｏｓθ.所以ｅｃｏｓθ＝λ－１λ＋１.推导椭圆焦半径定比性质也可以使用椭圆的第二定义ꎬ通过“将焦半径转化为到准线的距离”即可.如果以椭圆的右焦点为极点ꎬｘ轴正方向为极轴ꎬ建立极坐标系ꎬ则椭圆上任意一点(ρꎬθ)满足的极坐标方程为ρ＝ｂ２ａ＋ｃｃｏｓθ.应用公式注意ꎬ当焦点Ｆ为弦ＡＢ内分点时有ｅｃｏｓθ＝λ－１λ＋１ꎬ当焦点Ｆ为弦ＡＢ外分点时有－ｅｃｏｓθ＝λ－１λ＋１.推论 椭圆焦点弦公式ＡＢ＝ＡＦ＋ＢＦ＝ｂ２ａ＋ｃｃｏｓθ＋ｂ２ａ－ｃｃｏｓθ＝２ａｂ２ａ２－ｃ２ｃｏｓ２θ.特别地ꎬＡＢｍｉｎ＝２ｂ２ａꎬ当且仅当ｃｏｓ２θ＝０时ꎬＡＢ最小ꎬ此时焦点弦垂直于ｘ轴ꎻＡＢｍａｘ＝２ａꎬ当且仅当ｃｏｓ２θ＝１时ꎬＡＢ最大ꎬ此时焦点弦为长轴长.对于焦点在ｙ轴上时ꎬ焦半径公式将ｃｏｓθ换成ｓｉｎθ.很容易得到对于经过椭圆左焦点的弦长ꎬ此公—３４—Copyright©博看网. All Rights Reserved. 式同样适用.２椭圆焦半径定比性质应用２.１求离心率例１ 设Ｆ１、Ｆ２分别是椭圆Ｅ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)的左、右焦点ꎬ过点Ｆ１的直线交椭圆Ｅ于ＡꎬＢ两点.若ＡＦ１＝３Ｆ１ＢꎬＡＦ２⊥ｘ轴ꎬ则椭圆Ｅ的离心率为.解析 设直线ＡＢ的倾斜角为θꎬ则Ｆ１Ｆ２＝２ｃꎬＡＦ１＝ｂ２ａ.所以ｃｏｓθ＝２ｃ４ｃ２＋ｂ４/ａ２.因为ＡＦ１＝３Ｆ１Ｂꎬ由ｅｃｏｓθ＝λ－１λ＋１ꎬ得ｅ２ｃ４ｃ２＋ｂ４/ａ２＝３－１３＋１＝１２.即４ｅｃ４ｃ２＋ｂ４/ａ２＝１.所以４ｅ＝４＋ｂ４ａ２ｃ２＝４＋(１ｅ－ｅ)２.解得ｅ２＝１３(负值已舍)ꎬ所以ｅ＝３３.２.２求方程例２ (２０１９年全国Ⅰ卷理)已知椭圆Ｃ的焦点为Ｆ１(－１ꎬ０)ꎬＦ２(１ꎬ０)ꎬ过点Ｆ２的直线与Ｃ交于Ａ、Ｂ两点.若｜ＡＦ２｜＝２｜Ｆ２Ｂ｜ꎬ｜ＡＢ｜＝｜ＢＦ１｜ꎬ则Ｃ的方程为( ).Ａ.ｘ２２＋ｙ２＝１ Ｂ.ｘ２３＋ｙ２２＝１Ｃ.ｘ２４＋ｙ２３＝１Ｄ.ｘ２５＋ｙ２４＝１解析 由椭圆Ｃ的焦点为Ｆ１(－１ꎬ０)ꎬＦ２(１ꎬ０)可知ｃ＝１.设直线ＡＢ的倾斜角为θꎬ因为｜ＡＦ２｜＝２｜Ｆ２Ｂ｜ꎬ由ｅｃｏｓθ＝λ－１λ＋１ꎬ得ｅｃｏｓθ＝１３.即ｃｏｓθ＝１３ｅ.又｜ＡＢ｜＝｜ＢＦ１｜ꎬ可设｜ＢＦ２｜＝ｍꎬ则｜ＡＦ２｜＝２ｍꎬ｜ＢＦ１｜＝｜ＡＢ｜＝３
巧用焦半径公式解题
焦半径是圆锥曲线中的重要线段，巧妙地运用它解题，可以化繁为简，提高解题效率。下面以椭圆为例说明焦半径公式的运用。
椭圆的焦点为是椭圆上任一点，则，这就是椭圆的焦半径公式。
一. 计算焦半径
例1. （1998年全国高考题）
椭圆的焦点为，点P在椭圆上，如果线段的中点在y轴上，那么是的（ ）
A. 7倍 B. 5倍 C. 4倍 D. 3倍
解：的坐标为
点横坐标为3
故选A
二. 求点坐标
例2. 在椭圆上求一点P，使它与两个焦点的连线互相垂直。 解：设，则
根据已知有，代入解得，代入椭圆方程得，故P点坐标是。
三. 求变量范围
例3. （2000年全国高考题）
椭圆的焦点为，点P为其上动点，当为钝角时，点P横坐标的取值范围是__________。
解：设，则
为钝角
代入解得
四. 求最值
例4. （1996年希望杯试题）
是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的动点，求的最大值和最小值。 解：设，则
在椭圆上
的最大值为4，最小值为1
五. 求弦长
例5. 求过椭圆的左焦点，倾斜角为的弦AB的长度。
解：由已知可得，所以直线AB的方程为，代入椭圆方程得
设，则
，从而
六. 用于证明
例6. 设Q是椭圆上任意一点，求证：以为直径的圆C与以长轴为直径的圆相内切。 证明：设，圆C的半径为r
即
也就是说：两圆圆心距等于两圆半径之差。
故两圆相内切
同理可证以为直径的圆与以长轴为直径的圆相内切。
以上只是简单介绍了椭圆的一种形式的焦半径公式的应用，希望同学们能触类旁通，灵活运用焦半径公式解决其他有关问题，提高解题效率。
