圆锥曲线的焦半径巧用

圆锥曲线的焦半径巧用

圆锥曲线的焦半径概念，是圆锥曲线中的一个重要的概念．许多圆锥曲线的求解问题，往往都牵涉到它，且运用圆锥曲线的焦半径分析问题可给解题带来生机．因此，掌握它是非常重要的．

椭圆焦半径： R左 = a + x e, R右 = a- x e,

右支双曲线焦半径：R左 = x e + a，R右 = x e- a ( x > 0) ，

左支双曲线焦半径：R左 = - (x e + a)，R右 = - (x e- a) ( x < 0) ,

抛物线焦半径：R抛 = x +2P．

对于这些结论我们无须花气力去记，只要掌握相应的准线方程及标准方程的两种定义，可直接推得．如对双曲线而言：当P(x0 , y0)是双曲线b2x2 - a2y2 = a2b2 (a > 0, b > 0) 右支上的一点，F1, F2是其左右焦点．

则有 左准线方程为 cax2．

由双曲线的第二定义得，左焦半径为 aexcaxePF0201)(||;

由 |PF1|- |PF2| =2a，得 |PF2| = |PF2| - 2a = ex0 - a．( |PF2|亦可由第二定义求得)．

例1 已知F1，F2是椭圆E的左、右焦点，抛物线C以F1为顶点，F2为焦点，设P为椭圆与抛物线的一个交点，如果椭圆E的离心率e满足 |PF1| = e | PF2 |，则e的值为 (

)

22)( 33)( 32)( 22)(DCBA

解法1 设F1(- c, 0 )，F2(c , 0)，P(x0 , y0)，

于是，抛物线的方程为 y2 = 2 (4 c)(x + c) , 抛物线的准线 l：x =- 3 c，椭圆的准线 m：cax2，

设点P到两条准线的距离分别为d1 , d2．于是，由抛物线定义，得 d1 = | PF2 | , ……………………①

又由椭圆的定义得 |PF1| = ed2，而 |PF1| = e | PF2 |，………………………………②

由①②得 d2 = | PF2 |, 故 d1 = d2，从而两条准线重合．∴ 3331322eecac．故选 (C)．

解法2 由椭圆定义得 |PF1| + | PF2 | = 2a，又 |PF1| = e | PF2 |，∴ | PF2 | (1+ e) = 2a，………①

又由抛物线定义得 | PF2 | = x0 + 3c, 即 x0 = | PF2 | - 3c，……………………………②

由椭圆定义得 | PF2 | = a- ex0 , ………………………………………③

由②③ 得 | PF2 | = a- e | PF2 | + 3ec，即 | PF2 | (1+ e ) = a + 3ec， ………………… ④

由①④得 2a = a + 3ec，解得 33e，故选 (C)．

点评 结合椭圆、抛物线的定义，并充分运用焦半径是解答本题的基本思想．

例2 设椭圆E：b2x2 + a2y2 = a2b2 (a> b> 0)，的左、右焦点分别为 F1, F2，右顶点为A, 如果点M为椭圆E上的任意一点，且 |MF1|·|MF2| 的最小值为243a．

(1) 求椭圆的离心率e；

(2) 设双曲线Q：是以椭圆E的焦点为顶点，顶点为焦点，且在第一象限内任取Q上一点P，试问是否存在常数λ(λ> 0)，使得∠PAF1 =λ∠PF1A成立？试证明你的结论．

分析 对于(1)可利用焦半径公式直接求解．而 (2) 是一探索型的命题，解题应注重探索．由于在解析几何中对角的问题的求解，往往要主动联想到斜率．而∠PF1A显然是一锐角，又易知∠PAF1是(0, 120o) 内的角，且90o是斜率不存在的角．于是，抓住90o这一特殊角试探，可得解法1，若注重斜率的研究，考查所两角差的正切，可得解法2；若转变角的角度来观察，将∠PF1A变为∠PNF1，使∠PAF1变成△PNA的外角，可得解法3；若考查角平分线的性质可得解法4；若从图像与所求式的特点分析得知，所求的λ必须是大于1的正数，从常规看来可以猜想到它可能是二倍角或三倍角的关系．由此先探索一下二倍角的情形，考查角平分线定理，可得解法5；若是考查∠PF1A与∠PAF1的图形位置，直接解三角形PAF1，可得到解法6．

(1) 解 设M(x0, y0), 由椭圆的焦半径定义得

|MF1| = a + ex0，|MF2| = a- ex0，|MF1|·|MF2| = (a + ex0)(a- ex0) = a2- e2x02,

∵ |MF1|·|MF2| 的最小值为243a, 且 |x0|≤a，∴ a2- e2x02 ≥a2- e2a2 =243a，解得 21e．

(2) 解法1 由题意得 双曲线的离心率e = 2, 且双曲线的实半轴长为c ,半焦距为2c,

故 设双曲线Q的方程为 132222cycx，

假设存在适合题意的常数λ(λ> 0)，

① 考虑特殊情形的λ值．当PA⊥x轴时，点P的横坐标为2c，

从而点P的纵坐标为y = 3c，而 |AF1| = 3c,

∴ △PAF1是等腰直角三角形，即 ∠PAF1 =2 , ∠PF1A =4, 从而可得 λ= 2．

② PA不与x轴垂直时，则要证∠PAF1 = 2∠PF1A成立即可．

由于点P(x1, y1)在第一象限内，故PF1 , PA的斜率均存在，从而，有

APFcxykPF111tan1, 111tan2PAFcxykPA，且有 ))((31121cxcxy,………… ※

又∵21211121)()(2122tan11ycxycxkkAPFPFPF，

将※代入得PAkcxyycxycxAPF2)()(22tan112121111, 由此可得 tan2∠PF1A = tan∠PA F1，

∵ P在第一象限，A(2c, 0), ∴ )32,2()2,0(1PAF,

又∵ ∠PF1A为锐角，于是，由正切函数的单调性得 2∠PF1A =∠PA F1．

综合上述得，当λ= 2时，双曲线在第一象限内所有点均有∠PAF1 = 2∠PF1A成立．

解法2 由题意得 双曲线的离心率e = 2, 且双曲线的实半轴长为c , 半焦距为2c,

故 设双曲线Q的方程为 132222cycx，

由于点P(x1, y1)在第一象限内，故PF1 , PA的斜率均存在．且∠PF1A为锐角．

又∵ ))((31121cxcxy, …………………………………………………… ※

设∠PF1A =β，则 ,tan111cxykPF

设∠PAF1=λβ, λβ≠90o时, 则 tan(λβ)cxykPA211,

而 tan(λβ-β)tan)tan(1tan)tan())(2(1211111111cxycxycxycxy212121112)2(yccxxcxy

))((3))(2()2(111111cxcxcxcxcxy)()2)(()2(111111cxyxccxcxy．

∴ tan(λβ-β) = tanβ．

∵ ∠PF1A =β为锐角，又 ∠P A F1 =λβ∈)32,0(, ∴ tan(λβ-β) = tanβ > 0, 故λβ-β是锐角，

由正切函数的单调性得 λ= 2．

显然，当λβ= 90o时亦成立． 故存在λ= 2，使得双曲线在第一象限内所有点均有2∠PF1A =∠PA F1成立．

解法3 由上述①，得λ= 2，设P ′是射线PA上的一点, 其横坐标为x0 ( x0 > c)，

在x轴上取一点N (2 x0 +c , 0)，使△P′F1N为等腰三角形，

∴∠P ′F1N =∠P ′NF1．故当∠P ′AF1 = 2∠P ′F1A时，有∠P ′AF1 = 2∠P ′NA，

从而∠AP ′N =∠P ′NA, 则 |AN| = |AP ′|，

又 A(2c ,0)，于是 |AN| = |AP ′| = 2x0-c． 过P ′作P ′H垂直于准线l 于H，如图9-5．

则 |P ′H| = x0-c21． 故

22||||00cxcxHPAP = 2 = e．

故 点P ′是双曲线上的点，且与P重合．

由x0 > c的任意性得，当λ= 2时，双曲线在第一象限内所有点均有2∠PF1A =∠PAF1成立．

解法4 由题意得，设点P(x1 , y1)，

∵ 点P是双曲线在第一象限内的点，又A(2c, 0)是一焦点，

∴ |AP| = 2x1- c，|AF1| = 3c，设AD为∠F1AP的平分线， ……… ※

由角平分线性质及定比分点公式，得 222)32(23123111111ccxxcxccxcxcxccxD，

由此可得，点D在双曲线的右准线上，从而可得准线是AF1的中垂线，

故△AF1D为等腰三角形，且∠PF1A =∠DAF1，

又由※得

∠PAF1 = 2∠PAD =2∠DAF1，

∴ ∠PA F1 = 2∠PF1A，故λ＝2．

解法5 由题意得，设点P(x1 , y1)，因为点P是双曲线在第一象限内的点，

又A(2c, 0)是一焦点，于是，有|AP| = 2x1- c，|AF1| = 3c，

| PF1| 2 = (x1 + c)2 + y12 = x12 + 2 x1c+ c2 + 3 x12- 3 c2 = 4 x12 + 2 x1c- 2 c2,

在△APF1中有 21212121212122432)2(2249cosccxxccxccxxcF)2(2))(2(26)(611111cxcxcxcxccxc，

)2(32)224()2(9cos12121212cxcccxxcxcAcxxccxccxc111122)2(32)2(6，

于是，有 2()2(211cxcx)2- 1 =cxxc1122, 即 2(cos∠F1)2- 1 = cos 2∠F1 = cos∠A,

∵ ∠A、∠F1是△APF1中的内角，且∠F1是锐角，故有 2∠F1 =∠A, 即 ∠PA F1 = 2∠PNF1，

所以λ= 2时，能使得双曲线在第一象限内所有点均有 ∠PA F1 = 2∠PF1A．

解法6 设点P(x1 , y1)是双曲线第一象限的点．∵ A(2c, 0)，F1(- c, 0)，连AP，F1P，如图 9-5．

由双曲线的焦半径定义得 |AP| = 2x1- c,

又设点N是点F1关于直线x = x1的对称点，

则有 |PF1| = |PN|, 且N (2x1+ c , 0)，从而 ∠PF1N =∠PNF1．

又 |AN| = 2x1 + c- 2c = 2x1- c = |AP| , ∠APN =∠PNF1．由此可得 ∠F1AP = 2∠PNF1 ，