圆锥曲线焦半径公式

ＺＨＯＮＧＸＵＥ　ＪＩＡＯＸＵＥ　ＣＡＮＫＡＯ　复习指津　§嚣　蓦　麟　ｉ　

三类圆锥曲线“焦半径公式”的一套记忆口诀　甘肃会宁县第五中学（７３０７００）王彩云　

人教版高中数学第二册（上）第八章《圆锥曲线方　程》涉及三类圆锥曲线的统一定义，即圆锥曲线第二定　义：平面内与一定点Ｆ和它到定直线的距离的比是常数　ｅ的点的轨迹，叫圆锥曲线，点Ｆ叫做圆锥曲线的焦点，　直线Ｚ叫做圆锥曲线相应于焦点Ｆ的准线；常数ｅ叫做　离心率，这里ｅ＞０，当Ｐ＞１时轨迹是双曲线；当０＜ｅ＜１　时轨迹是椭圆；当ｅ—ｌ时轨迹是抛物线．设动点Ｐ（ｘ。，　ｙ。），焦点Ｆ，点Ｐ到相应于点Ｆ的准线￡的距离为　，则　ｌ　Ｄ　ｌ　点Ｐ的轨迹满足｛Ｐ　ｌ　—ｅ，ｅ＞０｝，由此便产生了一　“　个非常有用的“焦半径公式”．本文将通过推导焦半径公　式，总结出一套记忆公式的口诀，并在应用中体现公式　的价值．（注：焦半径实际是圆锥曲线上任一点Ｐ与焦点　Ｆ的距离，即ｌＰＦＩ．）　一、推导椭圆的焦半径公式　结合椭圆的几何性质及第　二定义，设动点Ｐ（　。，ｙ。）．设　椭圆标准方设为程　十　一１　（ｎ＞ｂ＞０），Ｆ　（一ｆ，０），Ｆ（Ｃ，　Ｏ），ｅ—ｃ（ｃ＞Ｏ）（如图１）．　左准线ｚ　：ｚ一一　；　右准线ｚ。：　一一了ａ２．　

丽Ｉ　ＰＦ１［　丽一　丽一　．　…　Ⅳ　ｒＦ　ｌ　０　

图１　

・．‘ｌ　。ｌ＜　Ｃ，因而ＩＰＭＩ一等＋ｚ。，ＩＰＮＩ一等一ｚ。．　即Ｉ　ＰＦ　ｌ—　‘　ａＺ＋　。）一等×詈＋ｅｘｏ＝ａ＋ｅ　。；　

ＩＰ　Ｉ—Ｐ（等一　。）一　ａＺ×寺＋　。一ｎ—　。．　Ｌ　Ｌ　“　不难发现：Ｉ　ＰＦ　｛与ｌ　ＰＦｚ』仅与“、ｅ、　。有关，符合　“左＋右一”规律．　同理可得，当椭圆标准方程为　＋　一１（ｎ＞６＞ｏ）　时，ｌ踢ｌ与ｌＰ　ｌ仅与“　有关，符合“下＋上一”规律．　因此，对于椭圆的两种情况而言，焦半径公式的得　到有方法：看方程得焦点。依焦点定公式．公式符合：“左　＋右一，下＋上一”规律，左表示左焦点；右表示右焦点；　下表不下焦点；上表示上焦点．　二、双曲线和抛物线的焦半径公式　对于双曲线的两种情况而言，焦半径公式的得到有　方法：一看方程定焦点；二看动点在哪支；三依动点判长　短；四依口诀得公式．公式符合“左＋右一；下＋上一；长　正短负”规律．左表示左焦点，右表示右焦点，下表示下　焦点，上表示上焦点；然后依动点，判断ｌ　ＰＦ　ｌ与ｌ　ＰＦ　ｌ　的长短，视ａ＋ｅｘ。，　一ｅｘｏ，ａ＋ｅｙ０，ａ—ｅｙｏ为整体，依　ＩＰＦ　Ｉ与ｌＰ　ｌ的长短添正或负号．　对于抛物线的四种情况而言，焦半径公式的得到有　方法：看方程得焦点；依准线写公式．公式符合“左＋右　一；下＋上一”规律．　以上两组口诀请读者自行证明．　归纳三类圆锥曲线的焦半径公式，可得到统一记忆　的口诀：“左＋右一；下＋上一；遇见双曲，长正短负”．　有Ｊ，上述记忆口诀，在应用中就口Ｊ以灵沽而准确地　解决问题，现举两例加以说明．　【例１】在双曲线篙一　５￣２＝＝＝一１的一支上有不同的　

圆锥曲线的极坐标方程

极坐标处理二次曲线问题教案

知识点精析 椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e的点的轨迹．

以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F作相应准线的垂线，垂足为K，以FK的反向延长线为极轴建立极坐标系．

椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为： cos1eep.

其中p是定点F到定直线的距离，p＞0 ．

当0＜e＜1时，方程表示椭圆；

当e＞1时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线；

当e=1时，方程表示开口向右的抛物线.

引论（1）若 1+cosepe

则0＜e＜1当时，方程表示极点在右焦点上的椭圆

当e=1时时，方程表示开口向左的抛物线

当e＞1方程表示极点在左焦点上的双曲线

（2 ）若1-sinepe

当 0＜e＜1时，方程表示极点在下焦点的椭圆

当e=1时，方程表示开口向上的抛物线 当 e＞1时!方程表示极点在上焦点的双曲线

（3）1+sinepe

当 0＜e＜1时，方程表示极点在上焦点的椭圆

当e=1时，方程表示开口向下的抛物线

当 e＞1时!方程表示极点在下焦点的双曲线

例题选编

（1）二次曲线基本量之间的互求

例1.确定方程1053cos表示曲线的离心率、焦距、长短轴长。

解法一：310253331cos1cos55

31053eP，

2332555851015103383cacaabaccc

2225155()()882b

31554e方程表示椭圆的离心率，焦距，2554长轴长，短轴长

解法二：根据极坐标的定义，对右顶点对应点的极角为0，因此只需令0，右顶点的极径，同理可得左顶点的的极径。根据左右顶点极径之和等于长轴长，便可以求出长轴。

1

第9讲 两套抛物线的焦半径与焦点弦公式

知识与方法

1.设点()

00,Pxy在抛物线上，()

11,Axy、()

22,Bxy，AB是抛物线的焦点弦，则抛物线的坐标版焦半径、焦点弦公式如下表：

标准方

程 22ypx=()0p 22ypx=()0p ()220xpyp= ()220xpyp=−

图形

焦半径

公式 02pPFx=+ 02pPFx=− 02pPFy=+ 02pPFy=− 焦点弦公式 12ABxxp=++ ()

12ABpxx=−+ 12AByyp=++ ()

12ABpyy=−+

2．如图，设抛物线22ypx=()0p的焦点为F，AB为抛物线的一条焦点弦，

AFO=．则抛物线的“角版”焦半径、焦点弦、面积公式如下： ①

1cospAF

=

+；②22

sinpAB

=；③2

2sinAOBpS

=.

典型例题

【例1】抛物线22ypx=()0p的焦点为F，点()1,Pm在抛物线上，且3PF=，则p=______.

【解析】由焦半径公式，

1

3

4

2pPFp=+==

【答案】4

变式1 抛物线24xy=−的焦点为F，点A在抛物线上，且4AF=，则点A的坐标为______.

【解析】设()

00,Axy，则()20000143122323,3AFyyxxP=−==−==−.

【答案】()23,3−

变式2 抛物线2:2Cyx=的焦点为F，过F且倾斜角为60°的直线l被抛物线C截得的弦

长为______.

【解析】解法1：由题意，1,0

2F

，设1:3

2lyx=−，代入22yx=整理得：23350

4xx−+=，

设两根为1x和2x，则125

3xx+=，故直线l被抛物线C截得的弦长1281

3Lxx=++=.

2

解法2：直线l被抛物线C截得的弦长22228

sinsin603pL

===

.

【答案】8

3

变式3 抛物线2:2Cyx=的焦点为F，过F且斜率为2的直线被抛物线C截得的弦长为

圆锥曲线的焦半径——角度式

一 椭圆的焦半径

设P是椭圆22221xyab（0ab）上任意一点，F为它的一个焦点，则PFO，则2cosbPFac

上述公式定义PFO，P是椭圆上的点，F是焦点，O为原点，主要优点是焦点在左右上下均适用，无需再单独讨论

证明：设PFm，另一个焦点为F，则PFFFFP

两边平方得：2222PFFFFFFPFP

即：222(2)44cosamccmm

得：2cosbPFac

1 过椭圆22143xy的右焦点F任作一直线交椭圆于A、B两点，若AFBF

AFBF，则的值为

2 （2002全国理）设椭圆22221xyab（0ab）的一个焦点F，过F作一条直线交椭圆于P、Q两点，求证：11PFQF为定值，并求这个定值

结论：椭圆的焦点弦所在的焦半径的倒数和为定值，即2112aAFBFb 精选文库

— 2 3（2007重庆理）在椭圆22221xyab（0ab）上任取三个不同的点1P，2P，3P，使122223321PFPPFPPFP，2F为右焦点，证明122232111PFPFPF为定值，并求此定值

结论：若过F作n条夹角相等的射线交椭圆于1P，2P，，nP，则

212111nnaPFPFPFb

4 F是椭圆2212xy的右焦点，由F引出两条相互垂直的直线a，b，直线a与椭圆交于点A、C，直线b与椭圆交于B、D，若1FAr，2FBr，

3FCr，4FDr，则下列结论一定成立的是（ ）

A 123432rrrr B 123442rrrr

C

1234111132rrrr D

1234111142rrrr