圆锥曲线焦半径公式推导

圆锥曲线焦半径公式及其应用

一、坐标形式的焦半径公式

1.椭圆的坐标形式的焦半径公式

（1）设点),(

00yxP是椭圆)0(1

22

22

ba

by

ax

上任意一点，

21,FF是其左右焦点，则



1PF

0exa，

2PF

0exa，记忆方式：长加短减

（2）设点),(

00yxP是椭圆)0(1

22

22

ba

bx

ay

上任意一点，

21,FF是其下上焦点，则



1PF

0eya，

2PF

0eya，记忆方式：长加短减

2.双曲线的坐标形式的焦半径公式

（1）设点),(

00yxP是双曲线)0,0(1

22

22

ba

by

ax

上任意一点，

21,FF是其左、右焦点，则

①当点P在右支上时，

1PFaex0，

2PFaex0，

②当点P在左支上时，

1PFaex0，

2PFaex0，记忆方式：长加短减

（2）设点),(

00yxP是双曲线)0,0(1

22

22

ba

bx

ay

上任意一点，

21,FF是其下、上焦点，则

①当点P在上支上时，

1PFaey0，

2PFaey0，

②当点P在下支上时，

1PFaey0，

2PFaey0，记忆方式：长加短减（3）若弦AB过左焦点，则ABaxxe2)(

21；若弦AB过右焦点，则

ABaxxe2)(

21

3.抛物线的坐标形式的焦半径公式

（1）设),(

00yxP是抛物线)0(22

ppxy上任意一点，F为其焦点，则PF

20p

x

（2）设),(

00yxP是抛物线)0(22

ppxy上任意一点，F为其焦点，则PF

20p

x

（3）设),(

00yxP是抛物线)0(22

ppyx上任意一点，F为其焦点，则PF

20p

y

（4）设),(

00yxP是抛物线)0(22

ppyx上任意一点，F为其焦点，则PF

20p

y

例1.（2021年新高考Ⅰ卷）已知

21,FF是椭圆C：1

4922

yx

的两个焦点，点M在C上，

则

21MFMF的最大值为（）

A.13B.12C.9D.6

- 1 - 巧用圆锥曲线的焦半径

圆锥曲线的焦半径为：二次曲线上任意一点Q到焦点的距离．

圆锥曲线的焦半径概念，是圆锥曲线中的一个重要的概念．许多圆锥曲线的求解问题，往往都牵涉到它，且运用圆锥曲线的焦半径分析问题可给解题带来生机．因此，掌握它是非常重要的．

椭圆焦半径： R左 = a + x e, R右 = a- x e,

右支双曲线焦半径：R左 = x e + a，R右 = x e- a ( x > 0) ，

左支双曲线焦半径：R左 = - (x e + a)，R右 = - (x e- a) ( x < 0) ,

抛物线焦半径：R抛 = x +2P．

对于这些结论我们无须花气力去记，只要掌握相应的准线方程及标准方程的两种定义，可直接推得．如对双曲线而言：当P(x0 , y0)是双曲线b2x2 - a2y2 = a2b2 (a > 0, b > 0) 右支上的一点，F1, F2是其左右焦点．

则有 左准线方程为 cax2．

由双曲线的第二定义得，左焦半径为 aexcaxePF0201)(||;

由 |PF1|- |PF2| =2a，得 |PF2| = |PF2| - 2a = ex0 - a．( |PF2|亦可由第二定义求得)．

例1 已知F1，F2是椭圆E的左、右焦点，抛物线C以F1为顶点，F2为焦点，设P为椭圆与抛物线的一个交点，如果椭圆E的离心率e满足 |PF1| = e | PF2 |，则e的值为 (

)

22)( 33)( 32)( 22)(DCBA

解法1 设F1(- c, 0 )，F2(c , 0)，P(x0 , y0)，

于是，抛物线的方程为 y2 = 2 (4 c)(x + c) , 抛物线的准线 l：x =- 3 c，椭圆的准线 m：cax2，

设点P到两条准线的距离分别为d1 , d2．于是，由抛物线定义，得 d1 = | PF2 | , ……………………①

圆锥曲线的焦半径公式推导如下：

圆锥曲线的焦半径公式是解决与圆锥曲线相关问题的重要工具。对于椭圆来说，如果焦点在x轴上，且设点A(x_1, y_1)在椭圆上，那么点A到左焦点F_1的焦半径为a + ex_1，到右焦点F_2的焦半径为a - ex_1。

推导过程可以基于椭圆的标准方程和定义来进行：

1. 椭圆的标准方程：对于中心在原点，半长轴为a，半短轴为b的椭圆，其标准方程通常写作：x²/(a²) + y²/(b²) = 1 (其中a > b > 0)

2. 离心率：离心率e是描述椭圆形状的一个参数，定义为c/a，其中c是椭圆的焦距。

3. 焦半径的定义：对于椭圆上的任意一点P(x, y)，到焦点的距离称为焦半径。

4. 使用相似三角形：根据圆锥曲线的第二定义，从椭圆的一个焦点出发到椭圆上一点的射线，与从另一焦点出发到同一点的射线以及与主轴的夹角θ之间存在关系。通过构建相似三角形，可以得到焦半径的计算公式。

5. 坐标式：当焦点在x轴上时，若已知椭圆上一点的横坐标x_1，则到左焦点F_1的焦半径长度可以用a + ex_1来计算，到右焦点F_2的焦半径长度用a - ex_1来计算。这里的e是椭圆的离心率。

6. 倾斜角式：利用焦半径与主轴正方向的夹角θ，可以得到更为通用的焦半径表达式，尤其适用于焦点不在坐标轴上的情况。在这种情况下，焦半径的长度与夹角θ有关，表达式为r = b²/(a±ccosθ)，这里±的选择取决于焦点的位置。

综上所述，圆锥曲线的焦半径公式有多种表达形式，可以根据具体问题的需要选择合适的公式进行计算。这些公式不仅在理论研究中有着重要作用，在解题和实际应用中也极其重要。

圆锥曲线焦半径公式的进一步推导及应用

◉浙江省诸暨市草塔中学　金铁强

椭圆、双曲线的焦点弦或焦半径的问题是解析几

何中的常规考点,很多老师在讲解的时候喜欢用“设

而不求”来解决问题．但用此法来处理焦点弦问题也有

其弊端,一是步骤过多,二是有些问题不能直接用此

法求解,必须再要用到“设而求之”才能解决．对于现在

的多变题型,已经达不到通解通法的要求,因此有必

要对圆锥曲线焦半径公式进行进一步的挖掘和整理,

才能适应当前高考题型的发展趋势,让学生能够更直

观地解题．

图１１焦点在x轴上的椭圆焦半径公式的推导及

应用

如图１,设椭圆E为x２a２＋

y２b２＝１(a＞b＞０),F１,F２为椭

圆E的焦点,PQ为椭圆E过

点F１的焦点弦．

当PQ垂直于x轴时,弦PQ为过F１的所有弦中

最短的一条,即通径,满足|PQ|＝２b２a;当PQ垂直于

y轴时,弦PQ为过F１的所有弦中最长的一条,即长

轴,满足|PQ|＝２a．除了这两条特殊的焦点弦,我们任

意作一条焦点弦,连接PF２,构成焦点三角形PF１F２,

令∠PF１F２为α,为焦点弦PQ的倾斜角．

设|PF１|＝x,则|PF２|＝２a－x．在△PF１F２中

由余弦定理得cosα＝x２＋(２c)２－(２a－x)２４xc．整理得

到x＝a２－c２a－c􀅰cosα＝b２a－c􀅰cosα,即|PF１|＝

b２a－c􀅰cosα．当α＝π２,０时,就是最短弦与最长弦．

同样地,在图１中,若我们连结QF２,构成焦点三

角形QF１F２,可得|QF１|＝b２a－c􀅰cos(π－α),即

|QF１|＝b２a＋c􀅰cosα,得到焦点弦|PQ|＝

b２a－c􀅰cosα＋b２a＋c􀅰cosα＝２ab２a２－c２􀅰cos２α．

这个公式把焦点弦分成上下两部分,每部分的焦

半径都有自己的表达式,这样对于条件运用可以更直接明了．

例１　设F１,F２分别为椭圆x２３＋y２＝１的左右焦

点,点A,B在椭圆上,若F１A→＝５F２B→,则点A的坐标是．