阿波罗尼奥斯《圆锥曲线》

乐恩特文化传播有限公司

乐恩特教育个性化教学辅导教案

校区：莲花北 编 号：8

授课教师 日期 2013.7.22 时间 14:00~16：00

学 生 年级 高 二 科目 数 学

课 题 圆锥曲线三：圆锥曲线最值问题

教学目标

要 求 使学生掌握圆锥曲线最值问题的常用方法: 利用二次函数求最大最小值、利用三角函数的有界性求最大最小值、利用均值不等式求最大最小值、利用导数求最大最小值、利用三角形不等式求几何问题的最大最小值以及利用切线性质求最大最小值。

教学重难点

分 析 解题思路与解题方法选择。

教 学 过 程

知识概述

知识要点概述

最大最小值问题贯穿了整个高中学习的阶段。不同时期，学生学习了各种最大最小值问题的知识与方法：利用二次函数求最大最小值、利用三角函数的有界性求最大最小值、利用均值不等式求最大最小值、利用导数求最大最小值、利用三角形不等式求几何问题的最大最小值以及利用切线性质求最大最小值等等。当遇到圆锥曲线最值问题时，如何根据题目题设条件，选择恰当的求最值方法成为一个难题。

求最值方法可以分为两大类：其一，代数法，代数法一般思路是引入变量，建立目标函数，然后求函数的最值。求函数最值的常用方法为利用二次函数求最大最小值、利用三角函数的有界性求最大最小值、利用均值不等式求最大最小值、利用导数求最大最小值；其二，几何法，几何法求最值常用方法有利用三角形不等式（即三角形两边之和大于第三边；两边之差小于第三边）以及利用切线性质求最值。

在广东高考历年的圆锥曲线考题中，最值问题考察了多种方法。利用代数法求最值问题的考题有：利用二次函数（2012年20题第(1)问）；利用均值不等式（2005年，2012年20题第(2)问）；利用几何法求最值的考题有：利用三角形不等式求最值（2011年），利用切线性质求最值（2009年）。

龙源期刊网

造访几何学家阿波罗尼奥斯

作者：

来源：《中学科技》2013年第10期

观看了阿基米德用巧妙的切片法称出了球的体积公式，皓天不禁为古人的智慧所折服。

他们流连在了古希腊，忘记了2000年后的家乡，他们真的太爱这个地方了。

皓天：“在人类历史的长河里，阿基米德绝对是人杰！可我不想再往后看下去，不想见到他惨死在无知的罗马士兵的屠刀之下……”

鹏飞：“我们可以重回历史，但却不能改变历史。痛心啊！”

皓天：“古希腊——一片智慧的高地！我不想回家，真想永远留在这片神人出没的地方。”

鹏飞：“我们可以再去看一看希腊几何学的最高境界，你听说过阿波罗尼奥斯吗？”

皓天：“阿波罗尼奥斯？我没听说过。”

鹏飞：“可能是他的理论比较高深，所以你没听说过。不过那里风景更美，很值得一看！”

“赶紧去吧！”皓天又兴奋起来。

“阿波罗尼奥斯出生在佩尔格，比阿基米德小25岁，和阿基米德的学生年龄相仿，但他们不是师生关系。阿波罗尼奥斯是欧几里得的门徒，是欧几里得学生们的学生。他年轻时曾执教于亚历山大的大学，后来移居到了帕加马城。”

说话间，他们来到了繁荣的帕加马，这是一个精心规划的、建在山上的城市。这里有和亚历山大相仿的极好的图书馆和大学。

皓天和鹏飞站在帕加马城，鸟瞰着广袤的平原，感慨万千：“真美啊！”他们还看到建造在山边的一个大剧场。

为了尽快见到阿波罗尼奥斯，他们径直来到帕加马大学。

他们在校园里走着，三五成群的学生一边交谈着一边走向教室。前面的学生们忽然恭敬地停下脚步，“意普西隆，早上好！”“早上好，意普西隆！”从面前走过的男子稳健又自信，亲切地点头用微笑应答着他们。

皓天小声问鹏飞：“意普西隆？就是希腊字母ε，难道这个人的名字就是一个字母？” 龙源期刊网

阿波罗尼奥斯问题

问题是由公元前３世纪下半叶古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的几何作图问题，载于他的《论接触》中，惜原书已失传。后来公元４世纪学者帕波斯记载了其中所提出的一个作图问题：设有３个图形，可以是点、直线或圆，求作一圆通过所给的点（如果３个图形中包含点的话）并与所给直线或圆相切。当中共有１０种可能情形，其中最著名的是：求作一圆与３个已知圆相切，常称为阿波罗尼奥斯问题（Apollonius'problem）。据说阿波罗尼奥斯本人解决了问题，可惜结果没有流传下来。

１６００年法国数学家韦达在一篇论着中应用了两个圆相似中心的欧几里得解法，通过对每一种特殊情况的讨论，严格陈述了该问题的解。后来牛顿、蒙日、高斯等许多数学家都对这一问题进行过研究，得到多种解决方法。其中以法国数学家热尔岗约于１８１３年给出的解法较有代表性。以上所说都是通常的标尺作图法。如果放宽作图条件限制，则有多种简捷的解法。

给出阿波罗尼奥斯《圆锥曲线》中的十大精彩结论

① 椭圆的交点性质：如果在一个椭圆中，一个等于圆形的第四部分的矩形从两侧贴合到长轴上，并且亏缺个正方形，同时从贴合点有直线被折向到曲线上，则它们等于轴长，即用通俗点的话可概况为;椭圆上任意一点到该椭圆两焦点的距离之和等于长轴长。

② 双曲线的焦点性质：如果将一个等于圆形的第四部分的矩形从两侧贴合到双曲线或反曲线的轴上，并且超出一个正方形，同时直线从贴合点被折向到曲线的任一支上，则两线段中长的比短的的来恰好长出轴的长度，即双曲线上任意一点到该双曲线的两焦点的距离之差的绝对值等于该双曲线实轴之长。

③ 抛物线的焦点的性质：抛物线上任意一点到焦点的距离等于该点到准线的距离。

关于切线和直径的一些结果：

④ 如果与抛物线相切的一条直线和直径相交，则过切点在截线方向上平行于直径的直线平分切线的平行线在截线内的部分。

⑤ 如果与双曲线、椭圆或圆相切的一直线与直径相交在截线方向上过切点与中心作直线，则此直线平分切线的平行线在截线内的部分。

⑥ 如果圆锥线或者圆的两条切线相交，则连线交点与切点连线中点的直径是截线的直径。

怎样作出直径、中心和切线 ⑦ 已知一圆锥曲线作出它的一条直径：作法设有已知的圆锥曲线，A、B、C、D和E为其上的点，作互相平行的直线BD和AE，且被点F和H平分，则连线FH即为曲线的直径。（用同样的方法可以作出无数条直径）

⑧ 已知一个椭圆或双曲线，求中心：因为如果曲线的两直径AB和CD已作出，它们的交点就是曲线的中心。

⑨ 如果与圆锥曲线、圆或反曲线相切的两直线相交，作一条连接切点的直径，再过切线的交点横过地作某直线与曲线交于两点，那么整条直线比截于曲线之外的直线如同切点的连线分割该两交点间的直线所成的两线段之比。

⑩ 如果过同一点作两直线与圆锥曲线或或圆都交于两点的直线如果将两直线的内段按整条线段与外段之比来分割，使得这些线段成为关于该同一点的调和线段，那么通过分割点的线将与曲线交于两点并且过交点到外部点所作的直线将为曲线的切线。

初中数学配套教学软件_知识拓展

抛物线的画法

一位板球选手击出的球、小孩向空中掷的石头，它们的行进路线就近似拋物线．

拋物线已有2400年的历史，最早系统研究圆锥曲线的人，是希腊数学家梅内克缪斯 (Memechmus公元前4世纪)．

而真正集大成者是：阿波罗尼奥斯(Apollonius，约公元前262～约前190)古希腊数学家．他推广了梅内克缪斯的方法，证明三种圆锥曲线都可以由同一个圆锥体截取而得，并给出拋物线、椭圆、双曲线等名称．他的著作《圆锥曲线论》共8卷，约有400个命题．现存七卷，前四卷是希腊文的，后三卷有十九世纪的阿拉伯文译本．可说是集前人之大成，提出圆锥曲线的很多新性质．

1．由定义作法．

拋物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离相等．

2．折纸折出抛物线．

在一纸上画一条直线及线外一点，将点与直线上任意点对折，其折痕会包络出一拋物线． 初中数学配套教学软件_知识拓展

3．利用三角板作抛物线．

在纸的下方画一条直线，并在线外取一点焦点．将三角板的直角部分与直线接触，而且直角的一边须接触到焦点，再沿着直角的另一边画一条线．此直线的轨迹即为拋物线！

4．圆包络出抛物线．

这些圆都不是曲率圆，而是与拋物线及直线相切的圆． 初中数学配套教学软件_知识拓展

5．被固定弦平分的弦，包络出抛物线．

挑战：你能找出此拋物线的准线吗？

你能作出完整的拋物线吗？

6．韦内尔法作抛物线．

画两个圆，再画几个垂直线就出来，为什么它是拋物线呢？ 初中数学配套教学软件_知识拓展

7．雷达画法作抛物线．

作许多圆及许多并行线，则那些直线与圆的交点相连可连成拋物线！

8．给定一点一直经，作圆与之相切，圆心轨迹为抛物线，唯点不能在线上． 初中数学配套教学软件_知识拓展

9．给定一圆及一直径，作与之相切的圆，圆心即为抛物线．

10．给定一圆及一直径，找出与圆相切且焦点位于直径上之抛物线．

压轴题07阿波罗尼斯圆问题

在近几年的高考中，以阿波罗尼斯圆为背景的考题不断出现，备受命题者的青睐，下面

我们通过一例高考题，讲解如何运用阿波罗尼斯圆进一步加强对与此圆与关试题的认识。

背景展示

阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨

匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，

阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一.

求证：到两定点的距离的比值是不等于1的常数的点的轨迹是圆.

如图，点BA,

为两定点，动点P

满足PBPA



，

则1

时，动点P

的轨迹为直线；当1

时，动点P

的轨迹为圆，

后世称之为阿波罗尼斯圆．

证明：设PBPAmmAB

,02）（

．以AB

中点为原点，直线AB

为x

轴建立平面直

角坐标系，则），，（0mA），（0mB

．

又设），（yxC

，则由PBPA



得

:2222

)()(ymxymx

，

两边平方并化简整理得:）（）（）（）（2222222

11121

myxmx

，

当1

时，0x

，轨迹为线段AB

的垂直平分线；

当1时，

2222

22

22

)1(4

)

11

(











m

ymx

，轨迹为以点)0,

11

(

22

m





为圆心，

以

12

2



m长为半径的圆．○热○

点○

题○

型隐形的阿波罗尼斯圆

典型例题

例1、如图，圆C与x轴相切于点(1,0)T，与y轴正半轴交于两点,AB（B在A的上方），

且2AB．y

xO

TC

N

AMB

（Ⅰ）圆C的标准

．．方程为；（Ⅱ）过点A任作一条直线与圆22:1Oxy相交于,MN两点，

下列三个结论：①NAMA

NBMB

；②2NBMA

NA

MB

；③22NBMA

NAMB．

其中正确结论的序号是.（写出所有正确结论的序号）

方法一可以改进为：

这里的第（

Ⅰ）问并不很难,只要考生有一定平面几何基础既能轻易解出.但第

（

Ⅱ）问有难度.这是因为当圆O的弦MN绕定点A旋转时,各有关线段的长度都

在变化,从而相应线段的比值也就难于确定，方法一运算量较大。可是,如果你懂

答案第1页，共3页 专题1 阿波罗尼斯圆及其应用 微点2 阿波罗尼斯

圆的逆用

专题1 阿波罗尼斯圆及其应用

微点2 阿波罗尼斯圆的逆用

【微点综述】

当题目给了阿氏圆和一个定点，我们可以通过下述方法快速找到另一个定点，便于计算，令

圆O与直线OA相交于M，N两点设点E为OA上一点，且满足PA

PE

，由阿氏圆定理

AN

NE

，AM

ME

，则

ANNEOARROE



，∴

1OEROA



①

同理

AMMEROAOER



，∴

1OEROA



②

由①②消OA得：22OER

，即R

OE

，即ROE

，由①②消R得：2

OAOE

，

因此，满足条件的点E在阿氏圆的圆心和定点A的连线上，且R

OE

或2OA

OE



．

【典例刨析】

例1．（2022·湖南·临澧一中高二开学考试）

1．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他对圆锥曲线有深刻系统的研究，主要研究成果集中

在他的代表作《圆锥曲线论》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点

M与两定点A，B的距离之比为λ(λ＞0，λ≠1)，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆．下面我

们来研究与此相关的一个问题，已知圆O：x2

＋y2

＝1上的动点M和定点A1

(,0)

2

，B(1，

1)，则2|MA|＋|MB|的最小值为（

）

A

．

6 B

．7

C

．

10 D

．

11

2．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨

匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知答案第2页，共3页 动点M与两定点A，B的距离之比为(0,1)



，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆，

简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，圆22

:1Oxy、点1

,0

2A





和点1

0,

2B



，M为

圆O上的动点，则2||||MAMB

的最大值为（

）

A．5

2 B

．17

2 C．3

2 D．2

1 古希腊数学的发展：

a. 泰勒斯和毕达哥拉斯：

在古希腊论证数学发展史上，泰勒斯（Thales of Miletus，约公元前624～前547年）被称为第一个几何学家，他确立和证实了为人们公认的第一批几何定理：

1、圆为它的任一直径所平分；

2、半圆的圆周角是直角；

3、等腰三角形两底角相等；

4、相似三角形的各对应边成比例；

5、若两三角形两角和一边对应相等则三角形全等。

古希腊论证数学的另一位先驱是毕达哥拉斯（Pythagoras of Samos，约公元前584～前497年）及其学派。在毕达哥拉斯之前，人们并没有清楚认识到几何的证明是要有假设的，几何学所取得的一些结构，大都靠经验得出。至于它们之间的关系，包括相互之间、规律与规律的交互作用等，都未有过说明。是毕达哥拉斯在发展几何的过程中率先制定“公设”或“公理”，然后再经过严格的推导、演绎来进行。把证明引入数学是毕达哥拉斯伟大功绩之一。

毕达哥拉斯的第二个贡献是提出抽象。他把抽象运用到数学上，认为数学上的数、图形都是思维的抽象，已不是实际生活中的数与形。如几何物体，正是舍弃了诸如密度、颜色、重量，唯一所考虑的只是它的空间分布形式。抽象引发了几何的思辨，从实物的数与形，抽象到数学上的数与形，成为早期的几何思想的先驱。

后来，由勾股定理（西方成为毕达哥拉斯定理或百牛定理）引发的有关无理数的第一次数学危机推动了数学上的思想解放。为此作出努力的是柏拉图的学生天文学家欧多克索斯（Eudoxus,约公元前400年～前347年）。他为解释无理数的问题，采用了“比例理论”，这其中就隐含了极限的思想，对后来的欧几里得几何学的产生起到了积极作用。

b. 智者（Sophist）学派与古希腊三大难题:

在数学上，智人学派曾提出“三大问题”：

1.三等分任意角；

2.倍立方，求作一立方体，使其体积是已知立方体的二倍；

3.化圆为方，求作一正方形，使其面积等于一已知圆。

一年级看一个数学家的故事并用一两句话总结

好的，以下是为您生成的 30 条主题为“一年级看一个数学家的故事并用一两句话总结”的文案：

1. 《高斯的智慧之旅》

哎呀，你知道高斯吗？他小时候就能快速算出从 1 加到 100 的和！就像我们一下子找到藏在角落里的糖果一样神奇！总结：高斯从小展现惊人数学天赋，计算速度让人惊叹。

2. 《祖冲之与圆周率》

哇塞，祖冲之可厉害啦！他算出的圆周率超级精确。这不就像我们准确找到回家的路一样牛吗？总结：祖冲之算出精确圆周率，为数学做出巨大贡献。

3. 《陈景润的执着追求》

嘿！陈景润对数学那叫一个痴迷，不停地钻研难题。这不就像我们非要抓住飞走的气球一样坚持嘛！总结：陈景润执着钻研数学，精神值得学习。

4. 《牛顿的苹果奇迹》 天呐，牛顿被苹果砸中就发现了万有引力，这难道不是奇迹吗？就好像我们一跤摔出个宝藏！总结：牛顿因苹果发现万有引力，开启科学新征程。

5. 《阿基米德的浮力发现》

哟呵，阿基米德洗澡时都能发现浮力原理，这也太巧了吧！就像我们玩游戏时突然想到妙招！总结：阿基米德洗澡时灵感突发，找到浮力奥秘。

6. 《华罗庚的自学成才》

哎呀呀，华罗庚自学都能成为大数学家，这得多厉害呀！简直像自己学会飞一样神奇！总结：华罗庚自学成为数学家，励志又了不起。

7. 《欧几里得的几何世界》

哇哦，欧几里得创造的几何世界太奇妙啦！好比我们走进了一个充满魔法的城堡。总结：欧几里得构建奇妙几何世界，影响深远。

8. 《费马的最后定理》

嘿哟，费马的最后定理可难倒了好多人，最后还是被破解啦！这不就像攻克超级大难关吗？总结：费马最后定理历经艰难被破解，见证数学力量。

9. 《笛卡尔的坐标奇想》

哎呀，笛卡尔想到的坐标多新奇呀，就像给数学王国开了一扇新窗户！总结：笛卡尔的坐标奇想，改变数学思维方式。 10. 《毕达哥拉斯的神秘定理》

哇啦，毕达哥拉斯的定理神秘又有趣，好像藏着好多宝藏等我们去发现！总结：毕达哥拉斯定理神秘有趣，激发探索欲望。

圆锥曲线压轴小题

一、单选题

1．（2022·浙江·高三开学考试）已知椭圆22

2210xyab

ab的左、右焦点分别为1F、2F，

经过1F的直线交椭圆于A，B，2ABF的内切圆的圆心为I，若23450

IBIAIF，则该

椭圆的离心率是（）

A．5

5B．2

3C．3

4D．1

2

2．（2022·河南·模拟预测（文））已知,3Ma是抛物线C：220xpyp上一点，且

位于第一象限，点M到抛物线C的焦点F的距离为4，过点4,2P向抛物线C作两条切线，

切点分别为A，B，则AFBF

（）

A．1B．1C．16D．12

3．（2022·广东茂名·二模）已知抛物线E：22yx的焦点为F，A、B、C为抛物线E上

三点，当0FAFBFC

时，称ABC为“特别三角形”，则“特别三角形”有（）

A．1个B．2个C．3个D．无数个

4．（2022·重庆市天星桥中学一模）已知椭圆C：221

98xy

的左、右顶点分别为A，B，F

为椭圆C的右焦点，圆229xy上有一动点P，P不同于A，B两点，直线PA与椭圆C交

于点Q，1k，2k分别为直线BP，QF的斜率，则1

2k

k的取值范围是（）

A．9

8，B．(,1)(1,0)

C．3

4，D．3(,0)(0,)

4

5．（2022·全国·高三专题练习）已知点P为抛物线24yx上一动点，()1,0A，3,0B，

则APB的最大值为（）

A．

6B．

4C．

3D．

2

6．（2022·全国·高三专题练习（理））在平面直角坐标系xOy中，若抛物线C:y2=2px(0p)

的焦点为F，直线x=3与抛物线C交于A，B两点，｜AF|=4，圆E为FAB的外接圆，直

线OM与圆E切于点M，点N在圆E上，则OMON

的取值范围是（）

A．63,9

25B．3,21C．63,21

2021解析几何学的诞生及发展范文

几何学论文精选10篇之第八篇：解析几何学的诞生及发展 摘要：解析几何的发明归功于法国数学家笛卡儿和费马，他们工作的出发点不

同， 但却殊途同归。通过把坐标系引入几何中， 将几何的"形"与代数的"数"对应起

来， 从而将几何问题转化为代数问题。解析几何学的创立， 开始了用代数方法解决

几何问题的新时代， 在数学思想上可以看作是一次飞跃， 它使数学从常量的研究时

期进入了变量的研究阶段。 近代数学本质上可以说是变量数学，变量数学的第一个里程碑是解析几何的发

明。解析几何的诞生体现了数形结合的思想， 为17世纪的科学研究提供了迫切需要的

科学工具， 同时也为微积分的创立搭建了舞台， 解析几何的诞生是数学发展史上一

次划时代的变革[1]. 1解析几何学诞生的背景 古希腊亚历山大时期的著名数学家阿波罗尼奥斯写了八卷的《圆锥曲线》，其中

有七卷流传下来， 其中的内容被看作古希腊几何的登峰造极之作[2].但当时人们只是

从静态的观点来研究圆锥曲线图形的性质的， 即把他们看作是平面从不同角度圆截锥

体而形成的。文艺复兴时期人们研究行星运动和抛体运动， 要求用运动和变化的观点

研究圆锥曲线， 即应用坐标几何把曲线看成是物体经过运动而生成的随时间的变化而

变化的轨迹。这些需要将代数学与几何学有机结合， 从而开创出一个崭新的数学领域

-解析几何学。 解析几何的真正发明要归功于法国的两位数学家笛卡儿（1596~1650） 和费马

（1601~1665） , 他们工作的出发点不同， 但却殊途同归。 2笛卡儿与解析几何学 笛卡儿是法国数学家，物理学家和哲学家， 是西方近代资产阶级哲学奠基人之

一。笛卡儿1596年出生于法国， 其父亲是一名律师， 他八岁进入教会学校学习。曾

于1617年和1619年两次从军， 离开军营后曾到丹麦、荷兰、瑞士、意大利等地游学，

他的学术研究就是在军旅和游学途中作出的。1637年， 笛卡儿出版了著名的哲学著作

一、艾奥尼亚学派和演绎证明

1、创立：公元前624——前547 希腊科学之父泰勒斯

泰勒斯（前625－前547） 泰勒斯领导的爱奥尼亚学派据说开了希腊命题论证之先河，并证明了四条定理和“泰勒斯定理”。

2、应归功与泰勒斯的五个命题

（1）圆被任意直径二等分

（2）等腰三角形的两底角相等

（3）两条直角相交，对顶角相等

（4）两个三角形有两个角和一条边对应相等，则这两个三角形全等

（5）内接于半圆的角必为直角（泰勒斯定理）

3、毕达哥拉斯学派

（1） 基本信条:万物皆是数

主要成就：

（1）证明了毕达哥拉斯定理，即勾股定理。其方法最著名的猜测是“面积剖分法”。

（2）正多面体作图（包括正四、六、八、十二、二十面体）。以正十二面体的作图最为著名，它的每个面都是正五边形，并且和“黄金分割”相关（注：黄金分割这一名字并不是来源该学派）。

（3）关于数的研究，毕达哥拉斯学派的基本信条是“万物皆数” （这里指整数），并讨论了许多数论的性质，如偶数与奇数，完全数等。该学派还有关于“形数”的研究，他们把数作为几何思维元素的精神，“形数”体现了数与形的结合。形数：借助几何图形或（点阵）来表示的数

（4）初步数学化思想促进自然数分类研究： 完全数、亏数、盈数、亲和数、半亲和数

(5)美是和谐与比例

(6)发现了不可公度量。

评论：毕达哥拉斯学派把数看成是世界的基础，客观上形成对世界数量关系的认识，是人类认识上的一大进步。加强了数概念中的理论倾向，推动了几何学的抽象化倾向，这些研究使人类抽象思维能力达到了一个高的水平。不可公度量的发现，由此产生了“第一次数学危机”，这一问题的根本解决是人们对连续性有更精确的定义后才完全解决。

4、芝诺悖论与巧辩学派

（1）关于运动的三个悖论：二分说、阿基里斯追龟说、飞箭静止说

（2）三大尺规作图问题：*1、化圆为方、*2、倍立方、*3三等分角

（3）梅内赫莫斯为解决倍立方问题发现了圆锥曲线

圆锥曲线的发展历史

圆锥曲线，也被称为二次曲线，是数学中的一个重要分支，涵盖了一系列以圆锥为背景的曲线形状。这个领域的历史可以追溯到古代数学，并持续发展至今。

在古代，圆锥曲线的概念首先由古希腊数学家希波克拉底斯（Hipparchus）提出。他通过研究太阳的投影和行星的运动，发现了椭圆、双曲线和抛物线等圆锥曲线的一些性质。然而，对于这些曲线的深入理解和研究主要是在17世纪和18世纪进行的。

在17世纪，意大利数学家卡瓦列里（Cavalieri）提出了“圆锥截面”的概念，即通过一个平面与圆锥的相交，可以得到一条曲线。这个概念被广泛地应用于解析几何和微积分的研究中。同时，开普勒（Kepler）通过对行星运动的研究，发现了行星运动的三大定律，这实际上是进一步揭示了椭圆曲线的性质。

到了18世纪，法国数学家蒙日（Monge）进一步发展了圆锥曲线的理论。他引入了参数方程来描述这些曲线，这使得在坐标系中更容易地描绘和计算这些曲线的性质。同时，蒙日还推广了卡瓦列里的“圆锥截面”概念，将其应用于更广泛的几何问题中。 在19世纪和20世纪，圆锥曲线的研究进一步深入。德国数学家高斯（Gauss）在他的著作《曲面的一般研究》中，详细研究了曲面上的二次曲线，并引入了“二次曲面”的概念。意大利数学家皮亚诺（Peano）也进一步发展了圆锥曲线的几何理论，他引入了“皮亚诺曲线”的概念，这是一种不能用圆规和直尺画出的曲线。

在现代数学中，圆锥曲线仍然是研究的热点之一。除了传统的几何学研究外，圆锥曲线还在物理学、天文学、工程学等领域有着广泛的应用。例如，在物理学中，圆锥曲线可以描述粒子的运动轨迹；在天文学中，圆锥曲线可以描述行星的运动轨迹；在工程学中，圆锥曲线可以用于建筑设计、机械制造等领域。

圆锥曲线的发展历史是一部跨越千年的数学史诗。从古希腊的希波克拉底斯到现代的科学家们，数学家们一直在探索和理解这些神奇的曲线形状。随着科技的发展，圆锥曲线在各个领域的应用也将越来越广泛。

圆锥曲线起始课

苏教版高中数学教材选修2-1

【教学目标】

1. 通过用平面对圆锥面的不同的截法，产生三种不同的圆锥曲线，得出椭圆、双曲线和抛物线的概念，经历概念的形成过程，利于从几何上认识三种圆锥曲线的内在关系，初步具备归纳总结、类比区分等能力。

2. 借助实物模型，通过整体观察、动手实践等方式对画椭圆、点的轨迹等问题进行探究，形成积极主动、勇于探索的学习方式，完善思维结构，发展数学化能力，从代数角度归纳出椭圆的定义，上升到理论高度，提高数学素养.

3. 利用Dandelin双球探究圆锥曲线的定义，揭示了三种圆锥曲线截线定义和轨迹定义的完美统一，感受数学的内在美与和谐美，形成欣赏美、发现美的能力与意识，提高数学审美能力；通过创设问题情境等引入方式，激发起学习圆锥曲线的兴趣，形成注重实践、勇于探究的科学价值理念.

【重点难点】

重点：三种圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）概念及定义.

难点：用Dandelin双球发现圆锥曲线截线定义和轨迹定义的完美统一.

【方法手段】

多媒体，实物投影，直观图作图

【教学过程】

（一）课堂引入

师：同学们，我们在课本必修2的学习过程中，已经一起研究过了“平面解析几何初步”，主要学习了直线与圆两个基本平面曲线. 今天这一堂课，我们继续来探讨平面内另外几种常见的曲线.

师：首先，在正式开始这一节课之前，我们来看几张图片。（幻灯片播放）

太阳系中的行星轨道；射电望远镜轴截面轮廓；核电站的冷却塔的外形；篮球运动员投篮时篮球的运动轨迹；灯罩投影；及油罐横断面（有待商榷）。

（了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在现实生活中的普遍性，进一步激发起学生学习圆锥曲线的兴趣.）

椭圆、双曲线和抛物线统称为圆锥曲线.

问题1 为什么称为圆锥曲线？它与我们学习过的圆锥有什么关系？引出截线定义！

（二）研究探讨

我们知道，用一个平面截一个圆锥面，当平面经过圆锥面的顶点时，可得到两条相交直线，当平面与圆锥面的轴垂直时，截得的图形是一个圆，试改变平面的位置，观察截得的图形的变化情况.（动画展示）

试卷第1页，共14页 专题25 圆锥曲线的光学性质及其应用 微点1

椭圆的光学性质及其应用

专题25 圆锥曲线的光学性质及其应用

微点1 椭圆的光学性质及其应用

【微点综述】

从近几年圆锥曲线的命题风格看，既注重知识又注重能力，既突出圆锥曲线的本质特征．圆锥曲线的光学性质暗含了几何图形对称性这一重要几何性质，而切线、过中心和过焦点的弦的问题又是考查圆锥曲线定义和直线与圆锥曲线位置关系的常选角度，因此，熟练掌握圆锥曲线的光学性质并有意识地应用其解题，则可以提高我们解题的效率．因此在高考数学复习中，通过让学生研究圆锥曲线的光学性质和新定义的相关问题，快速提高学生的数学解题能力，增强学生的信心，备战高考．本专题我们来研究椭圆的光学性质及其应用．

一、椭圆的光学性质

【定理】从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点（如图1）．

椭圆的这种光学特性常被用来设计一些照明设备或聚热装置．例如电影放映机的聚光灯泡的反射面是椭圆面，灯丝在一个焦点上影片门在另一个焦点上．

二、椭圆光学性质的证明

椭圆光学性质的证明，分几何证法和代数证法．几何证明需要用到以下几个引理：

1．几个引理

【引理1】若点,AB在直线L的同侧，设点是直线L上到,AB两点距离之和最小的点，当且仅当点P是点A关于直线L的对称点A与点B连线AB和直线L的交点．

证明：在直线L上任取一个不同于点P的点P，则,PAPBPAPBABPAPBPAPB，根据三角形两边之和大于第三边，有ABPAPB，即PAPBPAPB，得证．．

【引理2】若点,AB在直线L的两侧，且点,AB到直线的距离不相等，设点P是直线L试卷第2页，共14页 上到点,AB距离之差最大的点，即PAPB最大，当且仅当点P是点A关于直线L的对称点A与点B连线AB的延长线和直线L的交点．

证明：在直线L上任取一个不同于点P的点P，则,PAPBPAPBABPAPBPAPB，根据三角形两边之差小于第三边，有ABPAPB，即PAPBPAPB，得证．

试卷第1页，共8页专题25 圆锥曲线的光学性质及其应用 微点3

抛物线的光学性质及其应用

专题25 圆锥曲线的光学性质及其应用微点3 抛物线的光学性质及其应用

【微点综述】

《数学课程标准》中强调，要发展学生的数学应用意识，力求使学生体验数学在解决实

际问题中的作用，促进学生逐步形成和发展数学的应用意识，提高实践能力． 圆锥曲

线的光学性质，在生产生活中，有着重要的实际意义．抛物线有聚焦的特性，成为聚能

装置或定向发射装置的最佳选择，探照、汽车大灯等反射镜面的纵剖线是抛物线，把光

源置于它的焦点处，经镜面反射后能够成为平行光束，使照射距离加大，并可以通过转

动抛物线的对称轴方向，控制照射方向．本专题我们就来研究抛物线的光学性质及其应

用．

一、抛物线的光学性质

图1

【定理】从抛物线的焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线与抛物线

的轴平行（或重合，如图3）．反之，平行于抛物线的轴的光线照射到抛物线上，经反

射后都通过焦点．

抛物线这种聚焦特性成为聚能装置或定向发射装置的最佳选择．例如探照灯、汽车大灯

等反射镜面的纵剖线是抛物线，把光源置于它的焦点处，经镜面反射后能成为平行光束，

使照射距离加大，并可通过转动抛物线的对称轴方向，控制照射方向．卫星通讯像碗一

样接收或发射天线，一般也是以抛物线绕对称轴旋转得到的．把接收器置于其焦点，抛

物线的对称轴跟踪对准卫星，这样可以把卫星发射的微弱电磁波讯号射线最大限度地集

中到接收器上，以保证接收效果．若把发射装置安装在焦点，把对称轴跟踪对准卫星，

则可以使发射的电磁波讯号射线平行地到达卫星的接收装置，同样能够保证接收效

果．最常见的太阳能热水器也是以抛物线镜面聚集太阳光加热焦点处的贮水器的．

二、抛物线光学性质的证明试卷第2页，共8页

抛物线光学性质的证明，分几何证法和代数证法，我们把定理转化为焦点在x轴、y轴的情形（例1、例2），分别用几何法、代数法给出证明．

1．抛物线光学性质的几何证明

1．已知：如图，抛物线