圆锥曲线PPT

y
由一元二次方程根与系数的关系，可知 x1+x2=6, x1·2=4 x
∵y1=x1-2 , y2=x2-2; ∴y1·2=(x1-2)(x2-2)=x1·2-2(x1+x2)+4 y x =4-12+4=-4
A
O
B
x
kOA kOB
∴OA⊥OB
y1 y2 y1 y2 4 1 x1 x2 x1 x2 4
图 形
顶点坐标
（±a,0),(0,±b)
（±a,0)
（0,0)
椭圆、双曲线、抛物线的标准方程和图形性质
椭圆 对称性 焦点坐标 离心率 e= c/a 准线方程 双曲线 抛物线
X轴 （p/2,0)
X轴，长轴长2a, X轴，实轴长2a, Y轴，短轴长2b Y轴，虚轴长2b （±c,0) （±c,0)
c2=a2-b2
互动 练习
x2 y2 1 右焦点,求: 25 16 (1) PF1 的最大值与最小值
2、已知点P 是椭圆 上一点 ， F1和F2 是椭圆的左
P A1 F1
d F2 A2
(2) PF1 PF2 的最大值
(1)解法二:(参数法)设P(5cosθ,4sinθ), 易知:c=3, 得F1(-3,0),由两点间距离公式得:
| PF1 |2 ( x 3) 2 y 2 16 x 6 x 9 (25 x 2 ) 25 9 2 3 x 6 x 25 ( x 5) 2 25 5
2
5 x 5 PF1 |max 8, | PF1 |min 2 |
(一)定义的应用
| PF1 |2 (5 cos 3) 2 (4 sin ) 2 9 cos2 30 cos 25 (3 cos 5) 2

(2)
x b
2 2
y2 a2
=1 (a＞b＞0),其中a2=b2+c2，焦点
坐标为⑤ F1(0,-c),F2(0,c).
采用PP管及配件：根据给水设计图配 置好PP管及配 件，用 管件在 管材垂 直角切 断管材 ，边剪 边旋转 ，以保 证切口 面的圆 度，保 持熔接 部位干 净无污 物
4.椭圆
x2 a2
近线方(5)程渐为近1线3 y：=±双b 曲x 线;双ax 22 曲 by线22
两条渐近线方程为
a
14
y=± a x
1 x2
a2
.
的两条渐
y2 b2
1
的
b
采用PP管及配件：根据给水设计图配 置好PP管及配 件，用 管件在 管材垂 直角切 断管材 ，边剪 边旋转 ，以保 证切口 面的圆 度，保 持熔接 部位干 净无污 物
A.椭圆 C.线段F1F2
B.圆 D.直线F1F2
采用PP管及配件：根据给水设计图配 置好PP管及配 件，用 管件在 管材垂 直角切 断管材 ，边剪 边旋转 ，以保 证切口 面的圆 度，保 持熔接 部位干 净无污 物
(2)定义法：某动点的轨迹符合某一基 本轨迹(如直线、圆锥曲线)的⑤ 定义 ,则可 根据定义采用设方程求方程系数得到动点 的轨迹方程；
(3)代入法(相关点法)：当所求动点M 是随着另一动点P(称之为相关点)而运动， 如果相关点P满足某一曲线方程，这时我 们可以用动点坐标表示相关点坐标，再把 相关点代入曲线方程，就把相关点所满足 的方程转化为动点的轨迹方程；
a2
y2 b2
0
近线方程.
就是双曲线x 2
a2
y2 b2
1
的两条渐

学习生涯
阿波罗尼奥斯年青时到亚历山大跟随欧 几里得的后继者学习，那时是托勒密三 世（246BC—221BC）统治时期，到了 托勒密四世（221BC—205BC）时代， 他在天文学研究方面已颇有名气。 后来到过小亚细亚西岸的帕加马王国居 住与工作，晚年回到亚历山大，并卒于 该城。

贡献

阿波罗尼奥斯的主要成就 是建立了完美的圆锥曲线 论，总结了前人在这方面 的工作，再加上自己的研 究成果，撰成了《圆锥曲 线论，将圆锥曲线的性质 网罗殆尽，几乎使后人没 有插足的余地。
简介
阿波罗尼奥斯（Apollonius) 公元前262年出生于小亚细亚 的玻尔加，公元前190年卒于 古埃及的亚历山大。亚历山大 时期第三位重要的数学家，与 欧几里得、阿基米德齐名，其 贡献涉及几何学和天文学。
生平
《圆锥曲线论》是一部
经典巨作，可以说代表 了希腊几何的最高水平， 直至17世纪笛卡尔、帕 斯卡出场之前，始终无 人能够超越。阿波罗尼 奥斯写此书被后世译者 称为“大几何学家”。
双曲线的建筑方面的应用

双曲线绕虚轴旋转形成单叶双曲面，单 叶双曲面上有两族直母线。在建筑上可 以把钢筋作为两族直母线，使他们构成 单叶双曲面。这样设计的建筑物非常轻 巧又坚固。
单叶双曲面之冷却塔
14
55
12 27
广州电视塔小蛮腰
其设计师是荷兰IBA事务所的马克· 海默 尔和芭芭拉· 库伊特。 有一天，我在厨房把一些弹性橡皮绳绑 在两个椭圆形的木盘之间，一个在底部， 一个在顶部。当我开始旋转顶部椭圆的 时候，一个复杂的形状出现了。我开始 激动起来，要从这个简单的想法开始， 把它发展成一个建筑物。

本节结束
谢谢
39

利用线性代数知识求解圆锥曲线问题
线性方程组
线性方程组是线性代数中的基础内容， 它可以用来求解与圆锥曲线相关的问题 。例如，通过解线性方程组，可以找到 满足特定条件的点的坐标。
VS
特征值与特征向量
特征值和特征向量在解析几何中也有广泛 应用。通过计算圆锥曲线的特征值和特征 向量，可以深入了解曲线的性质，从而更 好地解决相关问题。
椭圆离心率的范围是0<e<1，双曲线的离心率范围是e>1。
圆锥曲线的光学性质
01
光线经过圆锥曲线上的点时，其 方向会发生改变，这种现象叫做 圆锥曲线的光学性质。
02
光线经过椭圆时，会沿着椭圆的 主轴方向折射；经过双曲线时， 会沿着双曲线的副轴方向折射。
圆锥曲线的对称性
圆锥曲线具有对称性，即如果将圆锥 曲线沿其对称轴旋转180度，它仍然 与原来的曲线重合。
02 圆锥曲线的性质
焦点与准线
焦点
圆锥曲线上的点到曲线的两个焦 点的距离之和等于常数，这个常 数等于椭圆的长轴长，等于双曲 线的实轴长。
准线
与圆锥的母线平行的线，在平面 内与准线相交的直线与圆锥相切 于一点，这个点叫做切点。
离心率
离心率：是描述圆锥曲线形状的一个重要参数，它等于圆锥顶点到曲线的距离与 圆锥的半径之比。离心率越大，圆锥曲线越扁平，反之则越接近于球形。
双曲线的极坐标 方程
$frac{rho^2}{a^2} frac{rho^2}{b^2} = 1$
圆锥曲线在极坐 标下的表…
将圆锥曲线问题转化为极 坐标形式，便于理解和求 解。
利用极坐标求解圆锥曲线问题
利用极坐标求解圆锥曲线问题的步骤
首先将问题转化为极坐标形式，然后利用极坐标的性质和公式进行求解。

冰块如何压出泥土和沙子。他还认为火是稀有的空气。因此，根据阿纳基米内斯的说法，空气是地球，水和火的起源。 从水到地球的果实，距离我们并不遥远。也许阿纳克西米涅斯认为地球，空气和火都是创造生命所必需的，但万物的来源却是空气或蒸气。因此，他像泰勒斯一样，认为必须有一种潜在物质，是所有自然变化的源泉。 一无所获这三位弥勒斯哲学家都相信存在单一基本物质作为万物之源。但是一种物质怎么突然变成另一种物质呢？我们可以称其为变化的问题。 从大约公元前500年开始，意大利南部的希腊殖民地埃莱亚（Elea）出现了一批哲学家。这些“政治家”对此问题感兴趣。 这些哲学家中最重要的是帕门尼德斯（公元前540-480年）。帕门尼德斯认为存在的一切一直存在。这个想法对希腊人来说并不陌生。他们或多或少地认为世界上存在的一切都是永恒的。帕门尼德斯认为，什么都不可能。存在的一切都不会变成任何东西。 但是，帕门尼德斯（Parmenides）进一步提出了这个想法。他认为没有实际的改变。除此以外，别无他物。 当然，帕门尼德斯意识到自然处于不断变化的状态。他以自己的感觉察觉到事情发生了变化。但是他不能将其等同于他的理由告诉他。当被迫在依靠自己的理智或理性之间做出选择时，他选择了理性。 您会知道“看到时我会相信”的表达。但是帕门尼德斯看到这些东西时甚至都不相信。他认为我们的感官给我们提供了不正确的世界图景，这与我们的理性不符。作为一名哲学家，他把揭露各种形式的感知幻觉视为自己的任务。 这种对人类理性的坚定信念被称为理性主义。理性主义者是相信人的理性是我们了解世界的主要来源的人。 万物流动 一旦我们确定了特定哲学家的计划是什么，就更容易遵循他的思想路线，因为没有一个哲​学家将自己与整个哲学有关。 我说了他的思路-指的是哲学家，因为这也是一个关于人类的故事。过去的女人被女性和思想者所征服，这很可悲，因为结果是失去了许多非常重要的经验。直到本世纪，女性才真正在哲学史上留下了自己的烙印。 我无意给您任何作业-没有困难的数学问题或类似的东西，并且使英语动词变位超出我的兴趣范围。但是，我会不时给您一个简短的作业。 如果您接受这些条件，我们将开始。像个女人。可以理解，Thor对这个想法并不热心，但是他最终接受了这是他将自己的锤子拿回来的唯一方法。 因此，雷神（Thor）允许自己打扮成新娘装，洛基（Loki）是伴娘。 用当今的话来说，托尔和洛基是众神的“反恐小队”。他们伪装成女人，其任务是突破巨人的据点并夺回索尔的锤子。 当众神到达佐敦海姆时，巨人开始准备婚礼。但是在盛宴中，新娘-就是索尔-吃掉了整只牛和八只三文鱼。他还喝三桶啤酒。这使Thrym感到惊讶。“突击队”的真实身份几乎被揭露。但是Loki设法通过解释Freyja一直非常期待来到佐敦海姆，以至于她已经一周没有吃东西了，从而避免了这种危险。 索菲发现

b2 a2 c2 2c ， 显然有 PF2 F1F2 ，则 2c ，即 a a
即 e2 2e 1 0 ，解得 e 2 1
例 2．设椭圆的两个焦点分别为 F1、 、F2，过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P，若△F1PF2 为 等腰直角三角形，则椭圆的离心率是
x2 y 2 1。 所以，椭圆的标准方程为 8 2
2 2 y a b 5 ，且过点 ( 2,0) ； （4）焦点在 轴上，
y 2 x2 解析： （4）设椭圆方程为 2 2 1 ， a b
2 ∴ 2 1 ，∴ b2 2 ， b
又∵ a 2 b 2 5 ，∴ a 2 3 ，
y 2 x2 所以，椭圆方程为 1 ． 10 6
圆中一些几何要素 与椭圆方程间的关 系。
例 2．设椭圆的两个焦点分别为 F1、 、F2，过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P，若△F1PF2 为 等腰直角三角形，则椭圆的离心率是
x2 y 2 解一：设椭圆方程为 2 2 1 ，依题意， a b
焦点分别为 F1 , F2 ，点 P 在双曲线的右支上，且
| PF1 | 4 | PF2 | ，则此双曲线的离心率 e 的最大值为
8 解一：由定义知 | PF1 | | PF2 | 2a ，又已知 | PF1 | 4 | PF2 | ，解得 PF1 a ， 3 2 PF2 a ， 在 PF1F2 中 ， 由 余 弦 定 理 ， 得 3
MF1 a ex0
焦半径
MF1 a ey0 MF2 a ey0
MF2 a ex0
2．双曲线
3．抛物线
第三部份：典型例题
例1．求适合下列条件的椭圆的标准方程：

函数思想法
将问题转化为函数问题，利用函数的性质和图像，求解相关 问题。
05
圆锥曲线的问题与挑战
圆锥曲线中的难题与挑战
圆锥曲线中的复杂计算
圆锥曲线问题往往涉及大量的计算和复杂的数学公式，需要学生 具备较高的数学计算能力和逻辑思维能力。
圆锥曲线中的抽象概念
圆锥曲线问题常常涉及到抽象的概念和性质，需要学生具备较好的 数学基础和空间想象力。
利用圆锥曲线的参数方程，将问 题转化为参数的取值范围或最值 问题，简化计算。
圆锥曲线的特殊解题方法
焦点三角形法
利用圆锥曲线的焦点三角形，结合正 弦定理、余弦定理等，求解相关问题 。
切线法
通过圆锥曲线的切线性质，结合导数 和切线斜率，求解相关问题。
圆锥曲线的综合解题方法
数形结合法
将几何性质与代数表达式相结合，通过数形结合的方法，直 观地解决问题。
作用。
光线的弯曲程度与圆锥曲线的离 心率有关，离心率越大，光线弯
曲程度越明显。
圆锥曲线的对称性质
圆锥曲线具有对称性，包括中 心对称、轴对称和面对称等。
圆具有中心对称和轴对称，椭 圆和双曲线只有中心对称，抛 物线只有轴对称。
对称性是圆锥曲线的一个重要 性质，在解决几何问题时具有 广泛应用。
03
圆锥曲线的应用
路，提高解题能力。
培养数学思维
学生应注重培养数学思维，提高 逻辑推理能力和空间想象力，以
便更好地解决圆锥曲线问题。
如何进一步深化对圆锥曲线的研究
研究圆锥曲线的性质
01
学生可以进一步研究圆锥曲线的性质和特点，探索其内在规律
和数学之美。
探索圆锥曲线与其他数学领域的联系
02
学生可以探索圆锥曲线与其他数学领域之间的联系，例如与代

•圆锥曲线与方程
第三章Biblioteka 2019/09/301 圆锥曲线 前世今生
•圆锥面
•定义
两直线相交，其中一条直线
以另外一条直线为旋转轴进
行旋转所形成的曲面，称为
圆锥面。
也可以理解为两个全等的圆 锥顶点重合，高线重合，相 对放置时，两个侧面所形成 的的整体。
母线和圆锥的夹角为半顶角α。
•圆锥曲线
平面截圆锥面所得到的曲线，叫做圆锥曲线。 根据平面与圆锥轴线所成的角θ不同，所截圆锥曲线也不同。
•圆
•椭圆
大家应该也有点累了，稍作休息
大家有疑问的，可以询问和交流
•抛物线
•双曲线
2 圆锥曲线 平面定义
•圆锥曲线
•圆
平面内，到一个定点的距离为定长的点构成的集
合.
椭圆 平面内，到两个定点的距离之和为定长（大于两 定点之间的距离）的点构成的集合.
抛物线 平面内，到一个定点的距离与到一条定直线（不 过定点）的距离相等的点构成的集合.
双曲线 平面内，到两个定点的距离之差为定长（小于两 定点之间的距离）的点构成的集合.
•椭圆
•抛物线
•双曲线
3 圆锥曲线 光学性质
•椭圆
一个焦点处出发的 光，经反射后汇聚 到另一个焦点。
•抛物线
焦点处出发的光， 经反射后变成平 行光。
•双曲线
一个焦点处出发的光， 经反射后看上去就好像 是从另一个焦点处出发 的光。
其实，这哪里是什么悲伤的双曲线？ •悲伤的双曲线 渐近线，越走越近，又给了彼此空间！
词、曲、唱：王渊超 如果我是双曲线，恩~你就是那渐近线 如果我是反比例函数，你就是那坐标轴 虽然我们有缘，能够生在同一个平面 然而我们又无缘，恩~慢慢长路无交点 为何看不见，等式成立要条件 难到正如书上说的，无限接近不能达到 如果我是双曲线，恩~你就是那渐近线

圆锥曲线的光学性质及其应用
探照灯
从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射 后，反射光线平行于抛物线的轴
一束平行于抛物线的轴的光线，经过抛物面反射集中 于它的焦点
太阳灶
中国天眼
位于中国贵州，是目前世界上最大的射电望远镜，其探测的灵 敏度比仅次的美国阿雷西博望远镜高2.5倍，将我国空间测控能力 由月球延伸到太阳系外缘，把深空通讯数据下行速率提高几十倍， 能在今后二三十年时间保持世界一流的地位
椭圆的光学性质及应用
椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反 射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点Fra bibliotek音乐厅
激光消痣与体外碎石技术.
双曲线的光学性质及应用
双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线 反射后，反射光线是散开的，它们就好像是从另一个焦点射出一样
床头灯
柔光箱
古希腊时代，西西里岛的统治者开凿了一个椭圆形岩洞作为监 狱，被关押的犯人不堪忍受折磨 ，秘密商讨逃跑的计划，可每次 的逃跑计划都会很快被看守知道。犯人们百思不得其解，开始相 互猜疑，以为内部出现了内奸，其实并非有内奸，而是山洞的形 状有奥妙。你能解开这个谜吗?
课后思考
（1）你能将圆锥曲线的光学性质进行组合， 尝试设计一些作品吗？
（2）在圆锥曲线中能不能找到其它的光学性质？ 有没有其它的曲线也具有很好的光学性质？
（3）如果不是从圆锥曲线的焦点发出的光， 经圆锥曲线反射后会怎样呢？
现象 问题
从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，
反射光线平行于抛物线的轴
已知：抛物线 x2 2 py( p 0)焦点 F(0, p) 处发 出的
2
光线经过抛物线上一点 M (x0 , y0 )( x0 0) 反射

（2） 、已知点 M 到点 F(4,0)的距离比它到直线 l：x＋5＝0 的距离小 1，求点 M 的轨迹方程.
解析： 如图， 设点 M 的坐标为(x， y)， 由于点 M 到点 F(4,0) 的距离比它到直线 l：x＋5 ＝0 的距离小 1，则点 M 到点 F(4,0) 的距离与它到直线 l′：x＋4＝0 的距离相等，根据抛物线的定 义可知点 M 的轨迹是以 F 为焦点，直线 l′为准线的抛物线， p 且 ＝4，即 p＝8. ∴点 M 的轨迹方程为 y2＝16x. 2
归纳总结
求轨迹方程时，如果能够准确把握一些曲线的定义，先判断 曲线类型再求方程，往往对解题起到事半功倍的效果．
学以致用
x2 y2 P 是椭圆上任 F2 是椭圆 2＋ 2＝1(a>b>0)的两焦点， (1)F1、 a b 垂足为点 Q， 从任一焦点引∠F1PF2 的外角平分线的垂线， 一点， 则点 Q 的轨迹为( A．圆 C．双曲线 ) B．椭圆 D．抛物线
问题探究 探究2： 直线与圆锥曲线的位置关系
例 2、 （1）设直线 l ：y ＝kx ＋1，抛物线 C：y2＝4x，当 k 为何值时，l 与 C 相切、相交、相离.
y＝kx＋1 解析 联立方程组 2 y ＝4x 整理得 k2x2＋(2k－4)x＋1＝0. 当 k≠0 时，方程 k2x2＋(2k－4)x＋1＝0 为一元二次方程． ∴Δ＝(2k－4)2－4k2＝16(1－k)． ，消去 y，
∵|BC|＝6，∴|BM|＋|CM|＝6. 又∵动圆过点 A，∴|CM|＝|AM|，则|BM|＋|AM|＝6>4. 根据椭圆的定义知，点 M 的轨迹是以点 B(－2,0) 和点 A(2,0)为 焦点的椭圆，其中，2a＝6,2c＝4，∴a＝3，c＝2. ∴b2＝a2－c2＝5. x2 y2 故所求圆心的轨迹方程为 ＋ ＝1. 9 5