05阿基米德和阿波罗尼奥斯b

6名家有约还有许多根本问题没有解答。

公元前3世纪，当波加的阿波罗尼奥斯天真地继续研究阿基米德的大数时，可能不知晓等待他以及数代数学家的将是什么。

“我要让你们看一看谁懂得大数，”阿基米德想。

据说，他出于报复之心而虚构出关于牧牛的计算问题，解决这一问题所需的数字是如此庞大，以致直到最近才得以解决。

而且，解决这一问题的并不是人而是机器：世界上最快的电脑。

提出类似牧牛这类极其困难的问题只不过是阿基米德许多令人难以置信的功绩之一，这些功绩使他在他那个时代就成了一个传奇式人物。

公元前212年，罗马将军马塞卢斯围困了西西里的叙拉古港，该城之王希伦请求王亲阿基米德驱逐60艘敌舰。

阿基米德不久前发明了杠杆（他因此说了这句名当那位伟大的印度数学家斯里尼瓦萨罗摩奴阇得了结核病住在伦敦医院时，他的同事G．H．哈迪去看望他。

这位哈迪从来就不善于激起谈兴，他对罗摩奴阇说：“我是乘坐出租车来的，车的牌号为1729。

对我来说，这个数字似乎很枯燥，我希望它不是个凶兆。

”“胡说，”罗摩奴阇回答说，“这个数字一点也不枯燥，相反它非常有趣。

它是可以用两种不同方式表示的作为两个3次方之和的最小数。

”（罗摩奴阇不知怎么立即就辨别出1729＝13＋123和93＋103。

）罗摩奴阇死于1920年，年仅32岁。

他是一位数论学家，是研究整数属性的数学奇才。

数论是数学中最古老的领域之一，在一定程度上说也是最简单的领域。

数当然是数学最普遍的基础材料，然而，关于它们仍然阿基米德的报复[美] 保罗·霍夫曼名家有约7能从海中吊起敌船的吊车的可能性。

这种神话的根据可能是他发明过一种将他自己（不动的）的船吊到岸上来的吊车式的装置。

许多科学巨匠包括加利莱奥·伽利略和法国博物学家布丰伯爵，乔治-路易斯·莱克勒都对阿基米德用镜子焚烧敌船感兴趣，它与儿童用放大镜点燃纸片非常相似。

理论上说这种镜子是可以制造的，但它要有一个保持太阳光线聚焦于移动目标上的可变焦距，普通镜子是做不到这一点的。

阿波罗尼奥斯阿波罗尼奥斯(Apollonius of Perga)，约公元前262一公元前l 90年)大约是在阿基米德(Archimedes)诞生之后25年出生在小亚细亚西北部的城市别加(Perga)。

由于在希腊叫阿波罗尼奥斯的学者较多，所以常称他为别加的阿波罗尼奥斯。

据数学家帕波(Pappus of Alexandria，活动于300—350)记载，他为森密斯(Samos)的天文学家阿利斯塔克(Aristarchus ofSamos，约公元前310 —前230)的声望所吸收，在青年时代去亚里山大里亚城，向欧几里得(Euclid)的学生们学习数学。

他曾访问帕加马王国(小亚细亚西北)的佩尔加蒙(Pergamum)。

在那里有新建的大学和图书馆。

在那儿他结识了亚里士多德(Aristotle)的学生、数学家欧德莫斯(Eude —mus of Rhodes，约公元前320年)和国王阿塔拉斯(Attalus)一世。

阿波罗尼奥斯将自己的著作《圆锥曲线》的前三卷和后五卷分别献给了他们两人。

阿波罗尼奥斯的主要著作是关于圆锥曲线的。

我们知道在阿波罗尼奥斯之前早就有人研究圆锥曲线了。

阿利斯塔克和欧几里得都写过这方面的书，在阿基米德的论著中也有这方面的一些结果。

然而阿波罗尼奥斯做了去粗取精和使之系统化的工作。

他的《圆锥曲线》除了综合前人的成就之外，还包含有独到的创见材料，而且写得巧妙、灵活，组织得非常出色。

就成就而言，它在几何发展史上是一个巍然屹立的丰碑，是古典希腊几何的登峰造极之作。

《圆锥曲线》一问世，立即被奉为“权威”，常被后世作者所引用。

在《圆锥曲线》一书中已见坐标制思想的端倪，他以圆锥体底面直径作为横坐标，过顶点的垂线作为纵坐标。

这给后世坐标几何的建立以很大的启发。

阿波罗尼奥斯对圆锥曲线的几何性质有深刻的理解，并将抛物镜面能将平行于轴的光束聚集于焦点处的性质应用于光学而写了一本《取火镜》。

他在天文学方面也颇有建树，证明了求行星留点的方法，成功地将几何学应用于天文学。

阿基米德证明抛物线弓形面积
阿基米德利用穷竭法证明了抛物线弓形面积，具体方法如下：
首先，需要三个引理：
- 引理1：F点为抛物线焦点，A点为抛物线P点到准线的垂足，则抛物线P点处的切线为∠FPA的角平分线。

由抛物线的定义，PF=PA，可知切线垂直于FA，即切线也可表述为过P点做的FA的垂线PB。

可以用反证法证明，若PB不是切线，则与抛物线有两个交点P₁、P₂，即PB既是∠FP₁A₁的角平分线，又是∠FP₂A₂的角平分线，但∠FP₁A₁≠∠FP₂A₂，矛盾。

- 引理2：过抛物线弦AB的中点M做对称轴的平行线、交抛物线于点M'，则抛物线M'点处的切线平行于AB。

用解析几何很容易证明，至于阿基米德时代，欧几里得的《几何原本》、其后继者阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线论》已经将平面几何发展到极致，可以用线段、比例、相似等平面几何方法证明。

- 引理3：过抛物线弦AB的中点M做对称轴的平行线，过点A、点B做抛物线的切线，则这三条线交于一点S。

很容易证明S点为图中粉色三角形的外心。

这条引理等价为，过抛物线弦AB两个端点的两条切线交于一点S，过点S做对称轴的平行线交AB于点M，则点M 为AB的中点。

ΔSAB称为阿基米德三角形。

有了上述引理，就可以用平面几何方法计算抛物线与弦AB围成的弓形面积了。

按照此穷竭法操作，一直到极限，可知抛物线将阿基米德三角形SAB分成两份，面积比为1:2。

也可以表述为，弓形面积为。

李文林认为数学史的研究具有三重目的：一是历史的目的，即恢复历史本来的面目；二是数学的目的，即古为今用，为现实的数学研究与自主创新提供历史借鉴；三是教育的目的，即在数学教学中利用数学史，作为数学史研究的基本方法与手段，常有历史考证、数理分析、比较研究等方法。

《周脾算经》：天文学和数学的著作《九章算术》：总结性的数学著作宋元全盛时期（1000年-14世纪初）中国数学的全盛时期《数书九章》：秦九韶贾宪三角阵（二项展开式系数）郭守敬的球面三角朱世杰的四元术（四元高次方程论）完整的系统和完备的算法历史学家往往把兴起于埃及、美索不达米亚、中国和印度等地域的古代文明称为“河谷文明”。

早期数学就是在尼罗河、底格里斯河与幼发拉底河、黄河与长江、印度河与恒河等河谷地带首先发展起来的。

亚历山大大帝（前356～前323 ）是欧洲历史上最伟大的军事天才，马其顿帝国最富盛名的征服者。

亚历山大大帝，古代马其顿国王，世界古代史上著名的军事家和政治家泰勒斯生于公元前624年，是公认的希腊哲学鼻祖。

泰勒斯在数学方面的贡献是开始了命题的证明，它标志着人们对客观事物的认识从感性上升到理性，这在数学史上是一个不寻常的飞跃。

泰勒斯是演绎几何学的鼻祖，开数学证明之先河，“毕达哥拉斯学派万毕达哥拉斯非常重视数学，企图用数来解释一切。

万物皆数”是历史上第一次用数来观察、解释世界的学说。

无理数的发现是毕达哥拉斯学派最卓越的功绩，也是整个数学史上一项重大发现。

雅典时期的希腊数学黄金时代——亚历山大学派成就最大的是亚历山大前期三大数学家欧几里得、阿基米德和阿波罗尼奥斯。

欧几里得的《几何原本》是一部划时代的著作。

其伟大的历史意义在于它是用公理法建立起演绎体系的最早典范。

阿基米德他根据力学原理去探求解决面积和体积问题，已经包含积分学的初步思想。

阿波罗尼奥斯的主要贡献是对圆锥曲线的深入研究。

阿基米德“智慧之都”“力学之父”阿基米德原理”(浮力定律)亚历山大后期，公元前146年以后，在罗马统治下的亚历山大学者仍能继承前人的工作，不断有所发明。

极限的起源概念极限的概念起源于数学领域，它指的是在无限逼近过程中的临界值或极点。

极限的理念最初由古希腊数学家发展而来，如阿基米德、欧几里得和阿波罗尼奥斯等人。

其中，阿基米德对于正实数的数学无穷小概念的运用影响了后来对于极限的发展。

在欧几里得的《几何原本》中，也可见到对无限小数列和连续性的描述。

然而，真正对极限概念进行系统探索和发展的是17世纪的数学家斯帕诺（Johann Spahn），他从无穷数列的观点出发，研究了数列的逼近和趋势，提出了极限这一概念，并进一步发展了在解析几何和微积分中的应用。

随着数学发展的进程，极限的概念逐渐被引入到函数的研究中。

17世纪末至18世纪初，牛顿和莱布尼茨分别独立地发展了微积分学，并将极限作为微积分的基本概念之一。

微积分学的推广与应用为解析几何学和物理学的发展奠定了坚实基础。

为了系统地处理极限问题，数学家们提出了一系列与极限相关的数学方法和工具，如极限运算法则、级数展开和泰勒级数等。

这些方法和工具使得极限的概念得到更加深入和广泛的应用，为解决各种数学和科学问题提供了有力工具。

从数学的角度来看，极限是数学的一项基本概念，它运用于数学的各个分支，如数列极限、函数极限和无穷级数等。

极限的概念不仅在纯粹数学中具有重要意义，也在应用数学和其他学科中发挥着重要作用。

除了数学，极限的思想也渗透到其他学科领域。

在物理学中，极限概念被广泛应用于描述物理量的变化和趋势，如速度的极限、能量的极限等。

在工程学中，极限分析方法被用于结构和材料的设计与评估。

在经济学和社会科学领域，极限概念用于描述市场的饱和度和消费者的需求弹性等。

总结起来，极限的概念起源于数学，但其理念和方法已经渗透到许多学科领域。

它不仅是数学研究的基础，也是解决实际问题的重要工具。

通过对极限概念的深入研究和应用，我们可以更好地理解事物的发展和变化规律，为科学研究和工程实践提供理论支持和指导。

阿基米德传记阿基米德（Archimedes），古希腊数学家、物理学家、工程师和发明家，被公认为古代科学的巨人之一。

他是古希腊世界最重要的科学家之一，对数学和物理学做出了重要贡献，且发明了许多工程仪器和机械装置。

本文将从阿基米德的早年生活、学术成就以及他的重要发明等方面进行介绍。

早年生活与学术背景阿基米德出生于公元前287年的叙拉古（Syracuse）城，这座城市位于西西里岛的东海岸。

他是一位贵族家庭的子弟，从小就接受良好的教育。

据传阿基米德的父亲是一位富有的商人，因此他能够接触到当时最先进的数学和科学知识。

阿基米德在师从亚历山大大师阿波罗尼奥斯（Apollonius）和尤基里德（Eudoxus）等杰出数学家的指导下，迅速展现了他的才华和天赋。

他在数学领域取得了极大的成就，尤其在几何学方面，他发现并证明了许多定理，其中最著名的包括“阿基米德定理”和“阿基米德螺线”。

学术成就与发明阿基米德的研究领域涉及数学、物理学、力学、静力学等多个方面。

他在浮力定律研究中的贡献尤为显著。

据说，他在洗澡时发现了浮力定律，由此而得到了著名的“阿基米德原理”。

据阿基米德所述，人的体积被水溅起的水量所取代，而天平的平衡是水量的大小决定的。

这一原理在浮力定律的研究以及船只设计中有着广泛的应用。

除了浮力定律，阿基米德还设计了一系列机械装置和仪器。

他的重要发明之一是阿基米德螺旋泵，在农业灌溉、工程排水和消防中得到广泛应用。

此外，他还发明了阿基米德螺线，这是一条由一根平行于轴线的线按一定规律卷绕在柱面上所形成的曲线，被应用到许多领域，如建筑、航天、电子技术等。

最为人所知的是，“阿基米德原理”、“阿基米德螺旋泵”以及其他一系列的数学定理和仪器发明，使阿基米德在科学史上独树一帜，为未来的科学家和思想家树立了榜样。

结语阿基米德是古希腊科学史上的重要人物，他的贡献不仅在于他的学术研究，还在于他的重要发明和工程仪器。

他的数学成就奠定了几何学和物理学的基础，而他的工程发明为后世科学家开辟了道路。

阿基米德简介阿基米德（公元前287年—公元前212年），伟大的古希腊哲学家、数学家、物理学家、力学家，静态力学和流体静力学的奠基人。

出生于西西里岛的叙拉古的一个贵族家庭。

他从小就善于思考，喜欢辩论。

早年游历过古埃及，曾在亚历山大城学习。

据说他就在亚历山大里亚时期发明了阿基米德式螺旋抽水机。

后来阿基米德成为兼数学家与力学家的伟大学者，并且享有“力学之父”的美称。

阿基米德流传于世的数学著作有10余种，多为希腊文手稿。

阿基米德定律(Archimedes law)是物理学中力学的一条基本原理。

浸在液体(或气体)里的物体受到竖直向上的浮力作用。

欧洲文艺复兴时期，达·芬奇就曾尽力搜寻阿基米德的著作，但他无法看到《方法论》，因为文艺复兴时期的大师们只能依赖“抄本A”和“抄本B”（那时还未佚失）来了解阿基米德。

而达·芬奇要是看到了《方法论》，他一定会爽然自失——原来阿基米德的研究和成就早在1700年前就大大超过他了。

阿基米德在《方法论》中已经“十分接近现代微积分”，这里有对数学上“无穷”的超前研究，贯穿全篇的则是如何将数学模型进行物理上的应用。

研究者们甚至认为，“阿基米德有能力创造出伽利略和牛顿所创造的那种物理科学”。

阿基米德的几何著作是希腊数学的顶峰。

他把欧几里得严格的推理方法与柏拉图鲜艳的丰富想象和谐地结合在一起，达到了至善至美的境界，从而“使得往后由开普勒、卡瓦列利、费马、牛顿、莱布尼茨等人继续培育起来的微积分日趋完美”。

阿基米德是数学家与力学家的伟大学者，并且享有“力学之父”的美称。

其原因在于他通过大量实验发现了杠杆原理，又用几何演泽方法推出许多杠杆命题，给出严格的证明，其中就有著名的“阿基米德原理”。

他在数学上也有着极为光辉灿烂的成就，特别是在几何学方面。

他的数学思想中蕴涵着微积分的思想，他所缺的是没有极限概念，但其思想实质却伸展到17世纪趋于成熟的无穷小分析领域里去，预告了微积分的诞生。

造访几何学家阿波罗尼奥斯作者：来源：《中学科技》2013年第10期观看了阿基米德用巧妙的切片法称出了球的体积公式，皓天不禁为古人的智慧所折服。

他们流连在了古希腊，忘记了2000年后的家乡，他们真的太爱这个地方了。

皓天：“在人类历史的长河里，阿基米德绝对是人杰！可我不想再往后看下去，不想见到他惨死在无知的罗马士兵的屠刀之下……”鹏飞：“我们可以重回历史，但却不能改变历史。

痛心啊！”皓天：“古希腊——一片智慧的高地！我不想回家，真想永远留在这片神人出没的地方。

”鹏飞：“我们可以再去看一看希腊几何学的最高境界，你听说过阿波罗尼奥斯吗？”皓天：“阿波罗尼奥斯？我没听说过。

”鹏飞：“可能是他的理论比较高深，所以你没听说过。

不过那里风景更美，很值得一看！”“赶紧去吧！”皓天又兴奋起来。

“阿波罗尼奥斯出生在佩尔格，比阿基米德小25岁，和阿基米德的学生年龄相仿，但他们不是师生关系。

阿波罗尼奥斯是欧几里得的门徒，是欧几里得学生们的学生。

他年轻时曾执教于亚历山大的大学，后来移居到了帕加马城。

”说话间，他们来到了繁荣的帕加马，这是一个精心规划的、建在山上的城市。

这里有和亚历山大相仿的极好的图书馆和大学。

皓天和鹏飞站在帕加马城，鸟瞰着广袤的平原，感慨万千：“真美啊！”他们还看到建造在山边的一个大剧场。

为了尽快见到阿波罗尼奥斯，他们径直来到帕加马大学。

他们在校园里走着，三五成群的学生一边交谈着一边走向教室。

前面的学生们忽然恭敬地停下脚步，“意普西隆，早上好！”“早上好，意普西隆！”从面前走过的男子稳健又自信，亲切地点头用微笑应答着他们。

皓天小声问鹏飞：“意普西隆？就是希腊字母ε，难道这个人的名字就是一个字母？”“也许吧！”鹏飞拉住从后面赶上来的一个学生，“请问阿波罗尼奥斯在哪里上课？”“你说的是ε啊，他就在第五教室啊！”那学生觉得有点奇怪，心想居然有人不认识ε。

皓天：“我明白了，因为阿波罗尼奥斯一直在第五教室上课，所以学生们就用希腊的第五个字母来称呼他了。

数学史选择题集锦1、⾸先获得四次⽅程⼀般解法的数学家是( D )。

A. 塔塔利亚B. 卡尔丹C. 费罗D.费拉⾥2、最先建⽴“⾮欧⼏何”理论的数学家是( B )。

A. ⾼斯B. 罗巴契夫斯基C. 波约D. 黎曼3、提出“集合论悖论”的数学家是( B)。

A.康托尔B.罗素C.庞加莱D.希尔伯特4、( 泰勒斯)在数学⽅⾯的贡献是开始了命题的证明，被称为⼈类历史上第⼀位数学家A. 阿基⽶德B. 欧⼏⾥得C. 泰勒斯D. 庞加莱5、数学史上最后⼀个数学通才是( B)A、熊庆来B、庞加莱C、⽜顿D、欧拉7、当今数学包括了约A 多个⼆级学科。

A、400B、500C、600D、700。

1、秦九韶是“宋元四⼤家”之⼀，其代表作是（）。

（A）九章算术（B）九章算术注（C）数书九章（D）四元⽟鉴2、下⾯哪位数学家最早得到了正确的球的体积公式（）。

（A）欧⼏⾥得（B）祖冲之（C）刘徽（D）阿基⽶德3、古代⼏何知识来源于实践，在不同的地区，不同的⼏何学的实践来源不尽相同，古代埃及的⼏何学产⽣于（A）测地（B）宗教（C）天⽂（D）航海4、“零号”的发明是对世界⽂明的杰出贡献，它是由下列国家发明的（）。

（A）中国（B）阿拉伯（C）巴⽐伦（D）印度5、最早发现圆锥曲线的是下列哪位数学家（）。

（A）欧⼏⾥得（B）阿波罗尼奥斯（C）毕达哥拉斯（D）梅内赫莫斯6、下列哪位数学家提出猜想：每个偶数是两个素数之和；每个奇数是三个素数之和（）。

（A）费马（B）欧拉（C）哥德巴赫（D）华林7、下列哪位数学家⾸先证明了五次和五次以上的代数⽅程的根式不可解性（）。

（A）拉格朗⽇（B）阿贝尔（C）伽罗⽡（D）哈密顿8、在⾮欧⼏何的先⾏者中中，最先对“第五公设能由其他公设证明”表⽰怀疑的数学家（）。

（A）克吕格尔（B）普罗克鲁斯（C）兰伯特（D）萨凯⾥9、下列数学家中哪位数学家被称作“现代分析学之⽗”（）。

（A）柯西（B）魏尔斯特拉斯（C）康托尔（D）黎曼10、在现存的中国古代数学著作中，最早的⼀部是（）。

微积分学概念溯源例谈微积分是现代数学中的重要分支，它以古代数学中积分和微分的概念为基础，通过极限的方法研究函数的连续性、变化率和曲线的面积等问题。

微积分的发展可以追溯到古代希腊数学。

古希腊数学家阿基米德（Archimedes）是微积分学的奠基人之一。

在其著作《圆锥曲线论》中，阿基米德首次提出了用无限小量的概念来计算曲线的面积和体积。

他利用了切线的概念和无限小量的观点，解决了曲线的面积计算问题，并发展了类似于现代微积分中定积分的思想。

在阿基米德之后，古希腊数学家欧多克斯（Eudoxus）和阿波罗尼奥斯（Apollonius）也对微积分学作出了重要贡献。

欧多克斯发展了“方法论”的思想，将计算连续曲线面积的问题转化为计算无限小量的和的问题，并通过逼近法来研究曲线的面积。

阿波罗尼奥斯则通过计算曲线的切线和对切线进行运算的方法，解决了曲线的极值问题，奠定了微积分中微分的概念。

在欧洲文艺复兴时期，意大利数学家费马（Fermat）和巴哈林（Barrow）等人也对微积分学做出了重要贡献。

费马提出了切线和法线的概念，并通过求曲线斜率的方法研究曲线的变化率。

巴哈林将微分与积分联系起来，通过计算曲线的斜率和面积来研究曲线的性质，开辟了微积分学研究的新思路。

在17世纪，牛顿（Newton）和莱布尼茨（Leibniz）几乎同时发现了微积分的基本原理，并分别独立地建立了微积分的体系。

牛顿提出了微分和积分的概念，并通过微分方程的方法研究了物体的运动规律，为力学的研究提供了重要工具。

莱布尼茨则推广了费马的思想，提出了微分的代数记号和积分的方法，并通过研究曲线的切线和曲度来推导微分和积分的关系。

微积分学的概念在18世纪得到了进一步的发展和完善。

欧拉（Euler）提出了常微分方程的概念，并通过对函数进行级数展开的方法，研究了函数的性质和变换规律。

拉格朗日（Lagrange）则建立了微积分学的变分原理，通过极值问题的研究，对微积分学的应用进行了拓展。

阿波罗尼斯圆及其应用阿波罗尼斯圆介绍及其直接应用阿波罗尼斯圆及其应用阿波罗尼斯圆介绍及其直接应用【微点综述】动点的轨迹问题是高考中的一个热点和重点，尤其是阿波罗尼斯圆在高考中频频出现．处理此类问题的关键是通过建立直角坐标系，寻找动点满足的条件，得出动点的轨迹是一个定圆，从而把问题转化为直线和圆、圆和圆的位置关系问题，并在解决问题的过程中感悟转化与化归、化繁为简的数学思想方法．阿波罗尼斯(Apollonius 约公元前262~192)，古希腊数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠．阿波罗尼斯年青时到亚历山大城跟随欧几里得的后继者学习，和当时的大数学家合作研究．他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一．1.阿波罗尼斯圆的定义在平面上给定两点A ,B ，设P 点在同一平面上且满足PAPB=λ，当λ>0且λ≠1时，P 点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆．(λ=1时P 点的轨迹是线段AB 的中垂线)2.阿波罗尼斯圆的证明【定理1】设P x ,y ,A 1-a ,0 ,B a ,0 ．若PA PB =λ(λ>0且λ≠1)，则点P 的轨迹方程是x -λ2+1λ2-1a 2+y 2=2aλλ2-1 2，其轨迹是以λ2+1λ2-1a ,0 为圆心，半径为r =2aλλ2-1的圆．证明：由PA =λPB 及两点间距离公式，可得x +a 2+y 2=λ2x -a 2+y 2 ，化简可得1-λ2 x 2+1-λ2 y 2+21+λ2 ax +1-λ2 a 2=0①，(1)当λ=1时，得x =0，此时动点的轨迹是线段AB 的垂直平分线；(2)当λ≠1时，方程①两边都除以1-λ2得x 2+y 2+2a 1+λ2 x 1-λ2+a 2=0，化为标准形式即为：x -λ2+1λ2-1a 2+y 2=2aλλ2-1 2，∴点P 的轨迹方程是以λ2+1λ2-1a ,0 为圆心，半径为r =2aλλ2-1的圆．图① 图② 图③阿波罗尼斯圆的另一种形式：【定理2】A ,B 为两已知点，M ,N 分别为线段AB 的定比为λλ≠1 的内外分点，则以MN 为直径的圆C 上任意点P 到A ,B 两点的距离之比为λ．证明：以λ>1为例．如图②，设AB =2a ，AM MB =AN NB =λ，则AM =2aλ1+λ,BM =2a -2aλ1+λ=2a1+λ，AN =2aλλ-1,BN =2aλλ-1-2a =2aλ-1．过B 作AB 的垂线圆C 交于Q ,R 两点，由相交弦定理及勾股定理得QB 2=MB ⋅BN =4a 2λ2-1,QA 2=AB 2+QB 2=4a 2λ2λ2-1，于是QB =2a λ2-1,QA =2aλ2-1,∴QA QB =λ．∵M ,Q ,N 同时在到A ,B 两点距离之比等于λ的圆上，而不共线的三点所确定的圆是唯一的，∴圆C 上任意一点P 到A ,B 两点的距离之比恒为λ．同理可证0<λ<1的情形．3.阿波罗尼斯圆的相关性质由上面定理2的证明可得如下的性质：性质1：当λ>1时，点B 在圆C 内，点A 在圆C 外；当0<λ<1时，点A 在圆C 内，点B 在圆C 外．性质2：因AQ 2=AM ⋅AN ，故AQ 是圆C 的一条切线．若已知圆C 及圆C 外一点A ，可以作出与之对应的点B ，反之亦然．性质3：所作出的阿波罗尼斯圆的直径为MN =4aλλ2-1 ，面积为4πa 2λ2λ2-12．性质4：过点A 作圆C 的切线AQ (Q 为切点)，则QM ,QN 分别为∠AQB 的内、外角平分线．性质5：阿波罗尼斯圆的直径两端是按比例内分AB 和外分AB 所得的两个分点，如图所示，M 是AB 的内分点，N 是AB 的外分点，此时必有PM 平分∠APB ，PN 平分∠APB 的外角．证明：如图①，由已知可得PA PB =MA MB =NA NB =λ(λ>0且λ≠1)，∵S ΔPAM S ΔPBM =MA MB=λ，又S ΔPAM =12PA ⋅PM sin ∠APM ,S ΔPBM =12PB ⋅PM sin ∠BPM ,∴PA ⋅PM sin ∠APMPB ⋅PM sin ∠BPM=λ，∴sin ∠APM =sin ∠BPM ,∴∠APM =∠BPM ,∴PM 平分∠APB ．由等角的余角相等可得∠BPN =∠DPN ，∴PN 平分∠APB 的外角．性质6：过点B 作圆C 不与QR 重合的弦EF ，则AB 平分∠EAF ．证明：如图④，连结ME ,MF ，由已知FA FB =EA EB =λ,∴EB FB =EA FA.∵S ΔABE S ΔABF =EBFB (λ>0且λ≠1)，又S ΔABE =12AB ⋅AE sin ∠BAE ,S ΔABF =12AB ⋅AF sin ∠BAF ,∴AB ⋅AE sin ∠BAE AB ⋅AF sin ∠BAF =EB FB =AEAF，∴sin ∠BAE =sin ∠BAF ,∴∠BAE =∠BAF ,∴AB 平分∠EAF ．∴sin ∠BAE =sin ∠BAF ,∴∠BAE =∠BAF ,∴AB 平分∠EAF ．【典例刨析】1.(2022·河北盐山中学高二期中)已知两定点A -2,1 ，B 2,-1 ，如果动点P 满足PA =2PB ，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于___________.2.(2022四川涪陵月考)若ΔABC 满足条件AB =4,AC =2BC ，则ΔABC 面积的最大值为__________．3.已知圆O ：x 2+y 2=9，点B -5,0 ，在直线OB 上存在定点A (不同于点B )，满足对于圆O 上任意一点P ，都有PAPB 为一常数，试求所有满足条件的点A 的坐标，并求PAPB．4.在平面直角坐标xOy 中，已知点A 1,0 ,B 4,0 ，若直线x -y +m =0上存在点P 使得PA =12PB ，则实数m 的取值范围是_______．5.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两个定点A ，B 的距离之比为λ(λ>0，且λ≠1)，那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆.若平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P 满足PAPB =3，则PA 2+PB 2的最大值为( )A.16+83B.8+43C.7+43D.3+36.(2022四川·成都外国语学校高二月考)古希腊数学家阿波罗尼奥斯(约公元首262~公元前190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k k >0 且k ≠1 的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，已知点A -1,0 ，B 2,0 ，圆C :x -2 2+y -m 2=14m >0 ，在圆上存在点P 满足PA =2PB ，则实数m 的取值范围是( )A.22,62B.54,212C.0,212D.52,212【针对训练】7.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O :x 2+y 2=1，O 1:x -4 2+y 2=4，动点P 在直线x +3y -b =0上，过P 点分别作圆O ,O 1的切线，切点分别为A ,B ，若满足PB =2PA 的点P 有且只有两个，则实数b 的取值范围是________．8.已知A ,B 是平面上两个定点，平面上的动点C ,D 满足|CA |CB=|DA|DB =m ，若对于任意的m ≥3，不等式CD≤k AB 恒成立，则实数k 的最小值为______．9.已知点A (0,1)，B (1,0)，C (t ,0)，点D 是直线AC 上的动点，若|AD |≤2|BD|恒成立，则最小正整数t =__________.10.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：x 2+y 2=1，圆O 1：(x +4)2+y 2=4，动点P 在直线l ：x -22y +b =0上(b <0)，过P 分别作圆O ，O 1的切线，切点分别为A ，B ，若满足PB =2PA 的点P 有且只有一个，则实数b 的值为______.11.在平面直角坐标系xOy 中，M ,N 是两定点，点P 是圆O ：x 2+y 2=1上任意一点，满足：PM =2PN ，则MN 的长为.12.(2022辽宁·高二期中)古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名，他发现：“平面内到两个定点A ，B 的距离之比为定值λ(λ>0且λ≠1)的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系xOy 中，A (-2,0)，B (4,0)，动点P 满足|PA ||PB |=12.设点P 的轨迹为C 1.(1)求曲线C 1的方程；(2)若曲线C 1和⊙C 2:(x -4)2+(y -6)2=r 2(r >0)无公共点，求r 的取值范围.参考答案1.【答案】40π【分析】设P (x ,y )，根据题设条件，结合两点距离公式列方程并整理即可得P 的轨迹方程，即知轨迹为圆，进而求其面积即可.【详解】设P (x ,y )，由题设得：(x +2)2+(y -1)2=2[(x -2)2+(y +1)2]，∴(x -6)2+(y +3)2=40，故P 的轨迹是半径为40的圆，∴图形的面积等于40π.故答案为：40π2.【答案】163【分析】设BC =x ，则AC =2x ，由余弦定理得出cos B ，根据三角形任意两边之和大于第三边得出x 的范围，再由三角形面积公式，结合二次函数的性质得出答案.【详解】设BC =x ，则AC =2x ，由余弦定理可得cos B =16+x 2-(2x )22×4×x =16-3x 28x由三角形任意两边之和大于第三边得x +2x >4x +4>2x ，解得43<x <4，即169<x 2<16∴S ΔABC =12⋅4⋅x ⋅sin B =2x 1-cos 2B =2x 1-16-3x 2 264x 2=2569-916x 2-809 2当x 2=809时，ΔABC 面积取最大值163故答案为：163【点睛】本题主要考查了求三角形面积的最值，涉及余弦定理的应用，属于中档题.3.【答案】A -95,0 ，PA PB=35【分析】根据两点距离的坐标运算可得10λ2+2a x +34λ2-a 2-9=0，进而得10λ2+2a =034λ2-a 2-9=0 ，即可求解.【详解】设P (x ,y ),A (a ,0),a ≠-5，设PA PB=λ>0故PA PB=x -a 2+y 2x +52+y2=λ，且x 2+y 2=9，化简得：10λ2+2a x +34λ2-a 2-9=0，该式对任意的x ∈-3,3 恒成立，故10λ2+2a =034λ2-a 2-9=0 ，解得a =-95λ=35或a =-5λ=1 (舍去)，故PA PB=35，A -95,0 4.【答案】-22,22【分析】根据PA =12PB 得出点P 的轨迹方程，又点P 在直线x -y +m =0上，则点P 的轨迹与直线必须有公共点，进而解决问题.【详解】解：设P (x ,y )则PA =(x -1)2+(y -0)2,PB =(x -4)2+(y -0)2，因为PA =12PB ，所以有(x -1)2+(y -0)2=12(x -4)2+(y -0)2，同时平方，化简得x 2+y 2=4，故点P 的轨迹为圆心在(0,0)，半径2为的圆，又点P 在直线x -y +m =0上，故圆x 2+y 2=4与直线x -y +m =0必须有公共点，所以|m |1+1≤2，解得-22≤m ≤2 2.【点睛】本题考查了点的轨迹问题、直线与圆的位置关系的问题，解题的关键是能从题意中转化出动点的轨迹，并能求出点的轨迹方程.5.【答案】A【分析】设A -1,0 ,B 1,0 ，P x ,y ，由PA PB=3，可得点P 的轨迹为以2,0 为圆心，半径为3的圆，又PA 2+PB 2=2x 2+y 2+1 ，其中x 2+y 2可看作圆x -2 2+y 2=3上的点x ,y 到原点0,0 的距离的平方，从而根据圆的性质即可求解.【详解】解：由题意，设A -1,0 ,B 1,0 ，P x ,y ，因为PA PB=3，所以x +1 2+y 2x -12+y2=3，即x -2 2+y 2=3，所以点P 的轨迹为以2,0 为圆心，半径为3的圆，因为PA 2+PB 2=x +1 2+y 2+x -1 2+y 2=2x 2+y 2+1 ，其中x 2+y 2可看作圆x -2 2+y 2=3上的点x ,y 到原点0,0 的距离的平方，所以x 2+y 2 max =2+3 2=7+43，所以2x 2+y 2+1 max =16+83，即PA 2+PB 2的最大值为16+83，故选：A .6.【答案】D【分析】设P x ,y ，根据PA =2PB 求出点P 的轨迹方程，根据题意可得两个圆有公共点，根据圆心距大于或等于半径之差的绝对值小于或等于半径之和，解不等式即可求解.【详解】设P x ,y ，因为点A -1,0 ，B 2,0 ，PA =2PB ，所以x +12+y 2=2x -2 2+y 2即x 2+y 2-6x +5=0，所以x -3 2+y 2=4，可得圆心3,0 ，半径R =2，由圆C :x -2 2+y -m 2=14可得圆心C 2,m ，半径r =12，因为在圆C 上存在点P 满足PA =2PB ，所以圆x -3 2+y 2=4与圆C :x -2 2+y -m 2=14有公共点，所以2-12≤3-2 2+m 2≤2+12，整理可得：94≤1+m 2≤254，解得：52≤m ≤212，所以实数m 的取值范围是52,212，故选：D .7.【答案】-203,4.【分析】设出点的坐标，将原问题转化为直线与圆相交的问题，求解关于b 的不等式即可求得实数b 的取值范围.【详解】由题意O (0,0),O 1(4,0).设P (x ,y )，则∵PB =2PA ，∴x -42+y 2-4=2x 2+y 2-1，∴(x -4)2+y 2=4(x 2+y 2)，∴x 2+y 2+83x -163=0，圆心坐标为-43,0 ,半径为83，∵动点P 在直线x +3y -b =0上，满足PB =2PA 的点P 有且只有两个，∴直线与圆x 2+y 2+83x -163=0相交，∴圆心到直线的距离d =-43-b 1+3<83，∴-43-163<b <-43+163，即实数b 的取值范围是-203,4 .【点睛】本题主要考查圆的方程及其应用，等价转化的数学思想，直线与圆是位置关系的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8.【答案】34【分析】建立坐标系，得点C ,D 的轨迹方程，分离参量求范围即可求解【详解】不妨设AB =1，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系，则A 0,0 ,B 1,0 ，设C x ,y ,∴x 2+y 2x -1 2+y2=m ⇒x -m 2m 2-1 2+y 2=m 2m 2-1 2故动点C ,D 的轨迹为圆，由CD≤k AB 恒成立，则k ≥CD max =2m m 2-1=2m -1m≥34故答案为34【点睛】本题考查圆的轨迹方程，平面问题坐标化的思想，是难题9.【答案】4【解析】设点D x ,y ,根据|AD |≤2|BD|列出关于D x ,y 的关系式,再数形结合分析即可.【详解】设点D x ,y ,因为点D 是直线AC 上的动点,故y -1x =-1t⇒x +ty -t =0.由|AD |≤2|BD |得x 2+y -1 2≤4x -1 2+y 2 ,化简得x -43 2+y +13 2≥89.依题意可知,直线AC 与圆x -43 2+y +13 2=89至多有一个公共点,所以43-43t 1+t 2≥89,解得t ≥2+3或t ≤2- 3.所以最小正整数t =4.故答案为：4【点睛】本题主要考查了直线与圆和向量的综合运用,需要设点的坐标表达所给的信息,再数形结合利用圆心到直线的距离列式求解.属于中档题.10.【答案】-283.【分析】根据圆的切线的性质和三角形全等，得到PO 1 =2PO ，求得点P 的轨迹方程，再根据直线与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求解．【详解】由题意得：O (0,0)，O 1(-4,0)，设P (x ,y )，如下图所示∵PA 、PB 分别是圆O ，O 1的切线，∴∠PBO 1=∠PAO =90°，又∵PB =2PA ，BO 1=2AO ，∴△PBO 1∽△PAO ，∴PO 1 =2PO ，∴PO 1 2=4PO 2，∴(x +4)2+y 2=4(x 2+y 2)，整理得x -43 2+y 2=649，∴点P (x ，y )的轨迹是以43,0 为圆心、半径等于83的圆，∵动点P 在直线l ：x -22y +b =0上(b <0)，满足PB =2PA 的点P 有且只有一个，∴该直线l 与圆x -43 2+y 2=649相切，∴圆心43,0 到直线l 的距离d 满足d =r ，即43+b 12+(22)2=83，解得b =203或-283，又因为b <0，所以b =-283．【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中根据圆的切下的性质和三角形全等求得点P 的轨迹方程，再根据直线与圆相切，列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．11.【答案】32【分析】不妨就假设M ,N 在x 轴上，设M (m ,0),N (n ,0),P (x ,y )，由PM =2PN 可得x 2+y 2+2m -8n3x +4n 2-m 23=0，然后和方程x 2+y 2=1对比，就可以求出m ,n 【详解】由于M ,N 是两定点，不妨就假设M ,N 在x 轴上如图所示：设M (m ,0),N (n ,0),P (x ,y )，PM =2PN ，∴PM 2=4PN 2，∴(x -m )2+y 2=4(m -n )2+y 2 ，即x 2-2mx +m 2+y 2=4x 2-8nx +4n 2+4y 2，3x 2+(2m -8n )x +3y 2+4n 2-m 2=0，x 2+y 2+2m -8n 3x +4n 2-m 23=0与x 2+y 2=1表示同一个圆.∴2m -8n =0m 2-4n 23=1∴{m =2n =12或m =-2n =-12∴MN =32.故答案为：32.【点睛】本题考查的是圆的方程和点的轨迹方程的求法，较简单.12.【答案】(1)(x +4)2+y 2=16(2)(0,6)∪(14,+∞)【分析】(1)设P (x ,y )，然后根据|PA ||PB |=12列方程化简计算即可得曲线C 1的方程，(2)先求出两圆的圆心和半径，再由题意可得两圆外离或内含，从而可得C 1C 2 >4+r 或C 1C 2 <r -4，从而可求出r 的取值范围(1)设P (x ,y )，因为A (-2,0)，B (4,0)，动点P 满足|PA ||PB |=12，所以(x +2)2+y 2(x -4)2+y 2=12，化简得x 2+y 2+8x =0，即(x +4)2+y 2=16，所以曲线C 1的方程为(x +4)2+y 2=16，(2)曲线C 1的圆心为C 1(-4,0)，半径为4，⊙C 2:(x -4)2+(y -6)2=r 2(r >0)的圆心为C 2(4,6)，半径为r ，因为曲线C 1和⊙C 2:(x -4)2+(y -6)2=r 2(r >0)无公共点，所以两圆外离或内含，所以C 1C 2 >4+r 或C 1C 2 <r -4，所以(-4-4)2+(0-6)2=10>4+r 或(-4-4)2+(0-6)2=10<r -4，所以0<r <6或r >14，所以r 的取值范围为(0,6)∪(14,+∞)。