圆锥曲线齐次化

高中数学圆锥曲线齐次化第一篇朋友们，今天咱们来聊聊高中数学里那个有点神秘的圆锥曲线齐次化。

就说我有个朋友小明，之前学圆锥曲线的时候那叫一个头疼。

特别是碰到那种复杂的式子，完全不知道从哪儿下手。

后来老师给他讲了圆锥曲线齐次化，他一下子就开窍了。

比如说有个椭圆方程，x²/a² + y²/b² = 1，我们把它变成齐次式，就能找到很多隐藏的关系。

这就好像给我们开了个“后门”，能更轻松地解决问题。

齐次化在解题的时候特别有用，能让那些看起来乱七八糟的式子变得有条有理。

朋友们，要是您家孩子正在学高中数学，可得让他们好好琢磨琢磨这个圆锥曲线齐次化！第二篇大伙都知道高中数学不简单，尤其是圆锥曲线这一块。

今天咱就重点说一说圆锥曲线齐次化。

我记得我上学那会，班上好多同学都被圆锥曲线难住了。

有一次考试，最后一道大题就是关于圆锥曲线的，好多人都没做出来。

后来老师专门讲了齐次化这个方法。

比如说有个抛物线方程，通过齐次化，就能把一些条件变得更清晰，解题思路也就一下子出来了。

就像在黑暗中找到了一盏明灯，一下子就照亮了前面的路。

所以啊，掌握了圆锥曲线齐次化，数学难题也能变得不那么可怕。

第三篇亲爱的朋友们，咱们来聊聊高中数学里让人又爱又恨的圆锥曲线齐次化。

给您举个例子，小李同学数学成绩一直不错，可就是圆锥曲线老丢分。

后来他专门花时间研究了齐次化，成绩一下子就上去了。

比如说一个双曲线方程，看起来很复杂，但是一用齐次化，那些参数之间的关系就一目了然。

这就好比我们解一个谜题，齐次化就是那把关键的钥匙，能帮我们打开通往正确答案的大门。

大家说是不是很神奇？第四篇朋友们，高中数学的圆锥曲线齐次化您听说过吗？我有个表弟正在上高中，前段时间天天跟我抱怨圆锥曲线太难了。

我就给他讲了讲齐次化。

比如说一个简单的圆形方程，经过齐次化处理，就能发现很多之前没注意到的规律。

这就像变魔术一样，原本复杂的东西一下子变得简单易懂。

圆锥曲线技巧---齐次化处理一、解答题1．如图，设点A和B为抛物线y2=4px（p＞0）上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB．求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．【答案】M的轨迹是以（2p，0）为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点．【解析】试题分析：由OA⊥OB可得A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积均为定值，由OM⊥AB可用斜率处理，得到M的坐标和A、B坐标的联系，再注意到M在AB上，由以上关系即可得到M点的轨迹方程；此题还可以考虑设出直线AB的方程解决．解：如图，点A，B在抛物线y2=4px上，设，OA、OB的斜率分别为k OA、k OB．∴由OA⊥AB，得①依点A在AB上，得直线AB方程②由OM⊥AB，得直线OM方程③设点M（x，y），则x，y满足②、③两式，将②式两边同时乘以，并利用③式，可得﹣•（﹣）+=﹣x 2+，整理得④由③、④两式得由①式知，y A y B =﹣16p 2∴x 2+y 2﹣4px=0因为A 、B 是原点以外的两点，所以x ＞0所以M 的轨迹是以（2p ，0）为圆心，以2p 为半径的圆，去掉坐标原点．考点：轨迹方程；抛物线的应用．2．已知椭圆C:22221(0)x y a b a b+=>>的焦点是(、，且椭圆经过点2)2。

（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，且以AB 为直径的圆过椭圆右顶点M ，求证：直线l 恒过定点．【答案】（1）2214x y +=（2）详见解析【解析】试题分析：（1）设出椭圆方程，由题意可得223a b -=，再由椭圆的定义可得2a=4，解得a=2，b=1，进而得到椭圆方程；（2）由题意可知，直线l 的斜率为0时，不合题意．不妨设直线l 的方程为x=ky+m ，代入椭圆方程，消去x ，运用韦达定理和由题意可得MA ⊥MB ，向量垂直的条件：数量积为0，化简整理，可得65m =或m=2，即可得到定点试题解析：（1）椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>∴223a b -=，24a =+=+=所以所求椭圆C 的方程为2214x y +=（2）方法一（1）由题意可知，直线l 的斜率为0时，不合题意.（2）不妨设直线l 的方程为x ky m =+．由22,14x ky m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 得222(4)240k y kmy m +++-=.设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则有12224kmy y k +=-+……①,212244m y y k -=+………②因为以AB 为直径的圆过点M ，所以0MA MB ⋅=．由1122(2,),(2,)MA x y MB x y =-=- ，得1212(2)(2)0x x y y --+=．将1122,x ky m x ky m =+=+代入上式，得221212(1)(2)()(2)0k y y k m y y m ++-++-=.………③将①②代入③，得225161204m m k -+=+，解得65m =或2m =（舍）．综上，直线l 经过定点6(,0).5方法二证明：(1)当k 不存在时，易得此直线恒过点6(,0)5.（2）当k 存在时.设直线l y kx m =+的方程为，1122(,),(,)A x y B x y ，(2,0)M .由2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，可得222(41)84120k x kmx m +++-=.2216(41)0k m ∆=-+>1228,41km x x k -+=+……①21224441m x x k -=+…….②由题意可知0MA MB ⋅=,1122(2,),(2,),MA x y MB x y =-=- 1122,.y kx m y kx m =+=+可得1212(2)(2)0x x y y -⋅-+=.整理得221212(2)()(1)40km x x k x x m -+++++=③把①②代入③整理得222121650,41k km m k ++=+由题意可知22121650,k km m ++=解得62,.5m k m k =-=-（i ）当2,(2)m k y k x =-=-即时，直线过定点（2,0）不符合题意，舍掉.（ii ）65m k =-时，即6(5y k x =-，直线过定点6(,0)5，经检验符合题意.综上所述，直线l 过定点6(,0)5考点：1.椭圆方程；2.直线和椭圆相交的综合问题3．圆224x y +=的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P （如图），双曲线22122:1x y C a b-=过点P（1）求1C 的方程；（2）椭圆2C 过点P 且与1C 有相同的焦点，直线l 过2C 的右焦点且与2C 交于A ，B 两点，若以线段AB 为直径的圆心过点P ，求l 的方程.【答案】（1）2212y x -=；（2）36(1)02x y ---=，或36(1)02x y +--=..【解析】试题分析：（1）设切点坐标为0000(,)(0,0)x y x y >>，则切线斜率为0x y -，切线方程为0000()x y y x x y -=--，即004x x y y +=，此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为000014482S x y x y =⋅⋅=.由22000042x y x y +=≥知当且仅当00x y ==时00x y 有最大值，即S 有最小值，因此点P得坐标为，由题意知解得221,2a b ==，即可求出1C 的方程；（2）由（1）知2C的焦点坐标为(，由此2C 的方程为22221113x y b b +=+，其中10b >.由P 在2C 上，得22112213b b +=+，显然，l 不是直线y=0.设l 的方程为1122(,),(,)A x y B x y由22{163x my x y =++=得22(2)30m y ++-=，因1122),,)AP x y BP x y == 由题意知0AP BP ⋅=，所以12121212))40x x x x y y y y -++-++=，将韦达定理得到的结果代入12121212))40x x x x y y y y -++-++=式整理得22110m -+=，解得12m =-或3612m =-+，即可求出直线l 的方程.（1）设切点坐标为0000(,)(0,0)x y x y >>，则切线斜率为00x y -，切线方程为000()x y y x x y -=--，即004x x y y +=，此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为000014482S x y x y =⋅⋅=.由22000042x y x y +=≥知当且仅当00x y ==时00x y 有最大值，即S 有最小值，因此点P得坐标为，由题意知解得221,2a b ==，故1C 方程为2212y x -=.（2）由（1）知2C的焦点坐标为(，由此2C 的方程为22221113x y b b +=+，其中10b >.由P 在2C 上，得22112213b b +=+，显然，l 不是直线y=0.设l 的方程为1122(,),(,)A x yB x y由22{163x my x y =++=得22(2)30m y ++-=，又12,y y是方程的根，因此1221222{32y y m y y m +=-+-=+①②，由1122x my x my =+=+得12122221212122()2{66()32x x m y y m m x x m y y y y m +=++=+-=++=+③④因1122),,)AP x y BP x y =-= 由题意知0AP BP ⋅=，所以12121212))40x x x x y y y y -++++=⑤，将①，②，③，④代入⑤式整理得22110m -+-=，解得3612m =-或3612m =-+，因此直线l的方程为(1)02x y ---=，或(1)02x y +--=.考点：1.椭圆的方程；2.直线与椭圆的位置关系.4．（2015•山西四模）分别过椭圆E ：=1（a ＞b ＞0）左、右焦点F 1、F 2的动直线l 1、l 2相交于P 点，与椭圆E 分别交于A 、B 与C 、D 不同四点，直线OA 、OB 、OC 、OD 的斜率分别为k 1、k 2、k 3、k 4，且满足k 1+k 2=k 3+k 4，已知当l 1与x 轴重合时，|AB|=2，|CD|=．（1）求椭圆E的方程；（2）是否存在定点M，N，使得|PM|+|PN|为定值？若存在，求出M、N点坐标，若不存在，说明理由．【答案】（1）．（2）存在点M，N其坐标分别为（0，﹣1）、（0，1），使得|PM|+|PN|为定值2．【解析】试题分析：（1）由已知条件推导出|AB|=2a=2，|CD|=，由此能求出椭圆E的方程．（2）焦点F1、F2坐标分别为（﹣1，0），（1，0），当直线l1或l2斜率不存在时，P点坐标为（﹣1，0）或（1，0），当直线l1，l2斜率存在时，设斜率分别为m1，m2，设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得，由此利用韦达定理结合题设条件能推导出存在点M，N其坐标分别为（0，﹣1）、（0，1），使得|PM|+|PN|为定值2．解：（1）当l1与x轴重合时，k1+k2=k3+k4=0，即k3=﹣k4，∴l2垂直于x轴，得|AB|=2a=2，|CD|=，解得a=，b=，∴椭圆E的方程为．（2）焦点F1、F2坐标分别为（﹣1，0），（1，0），当直线l1或l2斜率不存在时，P点坐标为（﹣1，0）或（1，0），当直线l1，l2斜率存在时，设斜率分别为m1，m2，设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得，∴，，===，同理k3+k4=，∵k1+k2=k3+k4，∴，即（m1m2+2）（m2﹣m1）=0，由题意知m1≠m2，∴m1m2+2=0，设P（x，y），则，即，x≠±1，由当直线l1或l2斜率不存在时，P点坐标为（﹣1，0）或（1，0）也满足，∴点P（x，y）点在椭圆上，∴存在点M，N其坐标分别为（0，﹣1）、（0，1），使得|PM|+|PN|为定值2．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．5．已知椭圆C：2222=1x ya b+（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，32），P4（1，32）中恰有三点在椭圆C上.（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.【答案】(1)221 4x y+=.(2)证明见解析.【详解】试题分析：（1）根据3P ，4P 两点关于y 轴对称，由椭圆的对称性可知C 经过3P ，4P 两点.另外由222211134a b a b+>+知，C 不经过点P 1，所以点P 2在C 上.因此234,,P P P 在椭圆上，代入其标准方程，即可求出C 的方程；（2）先设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2，再设直线l 的方程，当l 与x 轴垂直时，通过计算，不满足题意，再设l ：y kx m =+（1m ≠），将y kx m =+代入2214x y +=，写出判别式，利用根与系数的关系表示出x 1+x 2，x 1x 2，进而表示出12k k +，根据121k k +=-列出等式表示出k 和m 的关系，从而判断出直线恒过定点.试题解析：（1）由于3P ，4P 两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过3P ，4P 两点.又由222211134a b a b +>+知，C 不经过点P 1，所以点P 2在C 上.因此222111314b a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2241a b ⎧=⎨=⎩.故C 的方程为2214x y +=.（2）设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2，如果l 与x 轴垂直，设l ：x =t ，由题设知0t ≠，且2t <，可得A ，B 的坐标分别为（t ，2），（t，2-）.则1222122k k t t-++=-=-，得2t =，不符合题设.从而可设l ：y kx m =+（1m ≠）.将y kx m =+代入2214x y +=得()222418440kx kmx m +++-=由题设可知()22=16410k m ∆-+>.设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=2841km k -+，x 1x 2=224441m k -+.而12121211y y k k x x --+=+121211kx m kx m x x +-+-=+()()12121221kx x m x x x x +-+=.由题设121k k +=-，故()()()12122110k x x m x x ++-+=.即()()22244821104141m kmk m k k --+⋅+-⋅=++.解得12m k +=-.当且仅当1m >-时，0∆>，欲使l ：12m y x m +=-+，即()1122m y x ++=--，所以l 过定点（2，1-）点睛:椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质，判断点是否在椭圆上，可以通过这一方法进行判断；证明直线过定点的关键是设出直线方程，通过一定关系转化，找出两个参数之间的关系式，从而可以判断过定点情况.另外，在设直线方程之前，若题设中未告知，则一定要讨论直线斜率不存在和存在两种情况，其通法是联立方程，求判别式，利用根与系数的关系，再根据题设关系进行化简.6．已知点P 3(1,2-是椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>上一点，F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，124PF PF +=（1）求椭圆C 的标准方程;（2）设直线l 不经过P 点且与椭圆C 相交于A ，B 两点.若直线PA 与直线PB 的斜率之和为1，问:直线l 是否过定点?证明你的结论【答案】（1）22143x y +=；（2）直线l 过定点(40)-，．证明见解析.【分析】（1）由椭圆定义可知2a =，再代入P 3(1,2-即可求出b ，写出椭圆方程；（2）设直线l 的方程y kx m =+，联立椭圆方程，求出k 和m 之间的关系，即可求出定点.【详解】（1）由12||||4PF PF +=，得2a =，又312P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，在椭圆上，代入椭圆方程有221914a b+=，解得b =，所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=．（2）证明：当直线l 的斜率不存在时，11()A x y ，，11()B x y -，，11121332211y y k k x ---+==+，解得14x =-，不符合题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程y kx m =+，11()A x y ，，22()B x y ，，由2234120y kx m x y =+⎧⎨+-=⎩，整理得222(34)84120k x kmx m +++-=，122834km x x k -+=+，212241234m x x k-=+，22430k m ∆=-+>．由121k k +=，整理得12125(21)()2402k x x k m x x m ⎛⎫-++-++-= ⎪⎝⎭，即(4)(223)0m k m k ---=．当32m k =+时，此时，直线l 过P 点，不符合题意；当4m k =时，22430k m ∆=-+>有解，此时直线l ：(4)y k x =+过定点(40)-，．【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆中直线过定点问题，属于中档题.7．如图，椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>经过点()0,1A -，且离心率为22．（1）求椭圆E 的方程；（2）若经过点()1,1，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q （均异于点A ），证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为定值．【答案】（1）2212x y +=；（2）所以直线AP 、AQ 斜率之和为定值2．【分析】（1）运用离心率公式和a ，b ，c 的关系，解方程可得a ，进而得到椭圆方程；（2）把直线PQ 的方程代入椭圆方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简计算即可得到结论．【详解】解：（1）由题意知22c a =，1b =，结合222a b c =+，解得a =，∴椭圆的方程为2212x y +=；（2）由题设知，直线PQ 的斜率不为0，则直线PQ 的方程为(1)1y k x =-+(2)k ≠，代入2212x y +=，得22(12)4(1)2(2)0+--+-=k x k k x k k ，由已知0∆>，设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，120x x ≠，则1224(1)12k k x x k -+=+，1222(2)12k k x x k-=+，从而直线AP 与AQ 的斜率之和：121212121122AP AQ y y kx k kx k k k x x x x +++-+-+=+=+121212112(2)()2(2)x x k k k k x x x x +=+-+=+-4(1)2(2)22(1)22(2)k k k k k k k k -=+-=--=-．所以直线AP 、AQ 斜率之和为定值2．【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．8．已知椭圆方程为2218y x +=，射线y =（x ≥0）与椭圆的交点为M ，过M 作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于A 、B 两点（异于M ）．（1）求证直线AB 的斜率为定值；（2）求△AMB 面积的最大值．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ.【分析】(1)设0k >,求得M 的坐标,则可表示出AM 的直线方程和BM 的直线方程,分别与椭圆的方程联立求得A x 和B x ,进而求得AB 的斜率;(2)设出直线AB 的方程与椭圆方程联立消去y ,利用判别式大于0求得m 的范围,进而表示出三角形AMB 的面积,利用m 的范围确定面积的最大值.【详解】（Ⅰ）斜率k 存在，不妨设k ＞0，求出M（2，2）．直线MA 方程为22()2y k x -=-，分别与椭圆方程联立，可解出22482A k x k -=-+，同理得，直线MB 方程为22(2y k x -=--．2224282B k x k +=-+∴A B AB A By y k x x -==-.（Ⅱ）设直线AB方程为y m =+，与2218y x +=联立，消去y得216x +2(8)0m +-=．由∆＞0得一4＜m ＜4，且m ≠0，点M 到AB 的距离为3md =．3AB ===设△AMB 的面积为S ．∴()22222211116||162432322S AB d m m ⎛⎫==-≤⋅= ⎪⎝⎭．当m =±max S =．【点睛】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题.考查了学生分析问题和解决问题的能力.探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：①从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.9．已知椭圆两焦点分别为F 1、F 2、P 是椭圆在第一象限弧上一点，并满足，过P 作倾斜角互补的两条直线PA 、PB 分别交椭圆于A 、B 两点（1）求P 点坐标；（2）求证直线AB 的斜率为定值；（3）求△PAB 面积的最大值．【答案】（1）(．（2．（3.【解析】【分析】（1）根据121PF PF ⋅= ，用坐标表示，结合点P （x ，y ）在曲线椭圆22124x y +=上，即可求得点P 的坐标；（2）设出BP 的直线方程与椭圆方程联立，从而可求A 、B 的坐标，进而可得AB 的斜率为定值；（3）设AB的直线方程：y m =+，与椭圆方程联立，可确定m -＜，求出P 到AB 的距离，进而可表示△PAB 面积，利用基本不等式可求△PAB 面积的最大值．【详解】（1）由题可得(10F，(20F ，设P 0（x 0，y 0）（x 0＞0，y 0＞0）则()100PF x y =--，()200PF x y =- ，∴()22120021PF PF x y ⋅=--= ，∵点P （x 0，y 0）在曲线上，则2200124x y +=，∴220042y x -=，从而()22004212y y ---=，得0y =则点P的坐标为(1．（2）由题意知，两直线PA 、PB 的斜率必存在，设PB 的斜率为k （k ＞0），则BP的直线方程为：()1y k x =-．由()221124y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得())22222)40k x k k x k ++-+-=，设B （x B ，y B ），则((222222211222B B k k k k k x x k k k ---+===+++，，同理可得2222A k x k +-=+，则22A B x x k-=+，()()28112A B A B k y y k x k x k -=----=+．所以AB的斜率A B AB A By y k x x -==-为定值．（3）设AB的直线方程：y m =+．由22124y m x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，得22440x m ++-=，由()22)1640m =--＞，得m -＜P 到AB的距离为d =则12PAB S AB d =⋅==≤=．当且仅当(2m =±∈-取等号∴△PAB．【点睛】本题以椭圆的标准方程及向量为载体，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形的面积计算及利用基本不等式求最值，解题的关键是直线与椭圆方程联立，利用韦达定理进行解题．10．已知中心在原点的椭圆C 的一个焦点为，且过点P .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点P 作倾斜角互补的两条不同直线PA ，PB 分别交椭圆C 于另外两点A ，B ，求证：直线AB 的斜率是定值.【答案】（Ⅰ）22142y x +=;（Ⅱ）见解析.【解析】【分析】（1）设椭圆C 的方程为：()222210y x a b a b+=＞＞，利用已知条件，求出a ，b ，即可得出椭圆C 的方程；（2）设出直线PA 、PB 的方程与椭圆方程联立，求出A ，B 的坐标，利用斜率公式，即可证明直线AB 的斜率为定值．【详解】（Ⅰ）设椭圆方程为22221y x a b+=（0a b >>）则有22211a b +=又222a b =+∴222112b b +=+∴4220b b --=解得22b =∴24a =∴椭圆C 的方程为22142y x +=或解：椭圆的另一焦点为(0,由24a ==得2a =又c =∴22b =∴椭圆C 的方程为22142y x +=（Ⅱ）依题意，直线PA ，PB 都不垂直于x 轴设直线PA方程为()1y k x -=-，则直线PB方程为()1y k x =--由()22124y k x y x ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得()22222))40k x k k x k ++-++-=∵22(2)412A k x k -⋅=+∴22(2)42A k x k +-=+同理22(2)42B k x k --=+∴(2)(2)()2A B A B A B AB A B A B A By y kx k kx k k x x k k x x x x x x -+---+-===---故直线AB 的斜率是定值【点睛】本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查直线的斜率公式，考查学生的计算能力，正确运用韦达定理是关键．11．已知椭圆两焦点1F 、2F 在y 轴上，短轴长为，离心率为2，P 是椭圆在第一象限弧上一点，且121PF PF ⋅= ，过P 作关于直线1F P 对称的两条直线PA 、PB 分别交椭圆于A 、B 两点．（1）求P 点坐标；（2）求证直线AB 的斜率为定值．【答案】（1）(；（2）证明见解析．【分析】（1）由已知可解出椭圆方程，然后设出()00P x y ，，结合121PF PF ⋅= ，即可解出点P 的坐标；（2）由（1）知1//PF x 轴，直线PA ，PB 斜率互为相反数，设PB 的直线方程为()1y k x -=-，与椭圆方程联立，即可解出222222B k x k--=+，同理可得222222A k x k +-=+，然后解出A B y y -，即可算出AB 的斜率AB k =【详解】解：（1）设椭圆的方程为22221y x a b+=，由题意可得b =，22c a =，即a =，222a c -=c ∴=，2a =∴椭圆方程为22142y x +=，∴焦点坐标为(0，(0，，设()0000(00)P x y x y >>，，，则()100PF x y =--，()200PF x y =- ，()22120021PF PF x y ∴⋅=--= ， 点P 在曲线上，则2200142y x +=，220042y x -∴=，从而()22004212y y ---=，得0y =，则点P的坐标为(；（2）由（1）知1//PF x 轴，直线PA ，PB 斜率互为相反数，设PB 的斜率为(0)k k >，则PB的直线方程为()1y k x -=-，由()221124y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，得())22222)40kx k k x k ++-+--=，设(),B B B x y，则(2222222122B k k k x k k --=-=++，同理可得2222A k x k +-=+，则22A B x x k-=+，()()28112A B A B k y y k x k x k -=----=+，所以AB的斜率A BABA By ykx x-==-【点睛】本题考查了椭圆的方程和性质，考查椭圆和直线的位置关系，属于较难题．12．如图，椭圆C ：经过点P（1，），离心率e=，直线l的方程为x=4．（1）求椭圆C的方程；（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在常数λ，使得k1+k2=λk3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）（2）答案见解析【解析】试题分析：（1）由题意将点P（1，）代入椭圆的方程，得到，再由离心率为e=，将a，b用c表示出来代入方程，解得c，从而解得a，b，即可得到椭圆的标准方程；（2）方法一：可先设出直线AB的方程为y=k（x﹣1），代入椭圆的方程并整理成关于x的一元二次方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用根与系数的关系求得x1+x2=，，再求点M的坐标，分别表示出k1，k2，k3．比较k1+k2=λk3即可求得参数的值；方法二：设B（x0，y0）（x0≠1），以之表示出直线FB 的方程为，由此方程求得M的坐标，再与椭圆方程联立，求得A的坐标，由此表示出k1，k2，k3．比较k1+k2=λk3即可求得参数的值解：（1）椭圆C ：经过点P（1，），可得①由离心率e=得=，即a=2c，则b2=3c2②，代入①解得c=1，a=2，b=故椭圆的方程为（2）方法一：由题意可设AB的斜率为k，则直线AB的方程为y=k（x﹣1）③代入椭圆方程并整理得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0设A（x1，y1），B（x2，y2），x1+x2=，④在方程③中，令x=4得，M的坐标为（4，3k），从而，，=k﹣注意到A，F，B共线，则有k=k AF=k BF，即有==k所以k1+k2=+=+﹣（+）=2k﹣×⑤④代入⑤得k1+k2=2k﹣×=2k﹣1又k3=k﹣，所以k1+k2=2k3故存在常数λ=2符合题意方法二：设B（x0，y0）（x0≠1），则直线FB的方程为令x=4，求得M（4，）从而直线PM的斜率为k3=，联立，得A（，），则直线PA 的斜率k 1=，直线PB 的斜率为k 2=所以k 1+k 2=+=2×=2k 3，故存在常数λ=2符合题意考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．视频13．如图，椭圆C:22221x y a b +=（a ＞b ＞0）经过点P （2,3），离心率e=12，直线l 的方程为y=4．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）AB 是经过（0,3）的任一弦（不经过点P ）．设直线AB 与直线l 相交于点M ，记PA ，PB ，PM 的斜率分别为k 1，k 2，k 3．问：是否存在常数λ，使得12311k k k λ+=？若存在，求λ的值．【答案】（Ⅰ）216x +212y =1（Ⅱ）2【解析】试题分析：（Ⅰ）通过将点P （2，3）代入椭圆方程，结合离心率计算即得结论；（Ⅱ）分AB 斜率存在、不存在两种情况讨论，结合韦达定理计算即得结论试题解析：（Ⅰ）由已知得22222491,1,2a b a b c c a ⎧+=⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪=⎪⎩，解得a=4，．所以椭圆C 的方程为216x +212y =1．（Ⅱ）当直线AB 不存在斜率时，A （，B （），M （0,4），此时k2=302-=32-，k 1=302---=32+，k 3=4302--=-12，11k +21k =-4，可得λ=2．当直线AB 存在斜率时，可设为k （k≠0），则直线AB 的方程为y=kx+3．设A （x 1,y 1），B （x 2,y 2），联立直线AB 与椭圆的方程，得221,16123,x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y ，化简整理得，（4k 2+3）x 2+24kx-12=0，所以x 1+x 2=22443k k -+，x 1x 2=21243k -+，而11k +21k =1123x y --+2223x y --=112x kx -+222x kx -=12121222()x x x x kx x -+=24k k-．又M 点坐标为（1k ,4），所以31k =1243k --=12k k -．故可得λ=2．因此，存在常数2，使得11k +21k =3k λ恒成立．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质14．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222x y a b +=1（a ＞b ＞0）的右顶点为（2，0），离心率为32，P 是直线x ＝4上任一点，过点M （1，0）且与PM 垂直的直线交椭圆于A ，B 两点．（1）求椭圆的方程；（2）若P 点的坐标为（4，3），求弦AB 的长度；（3）设直线PA ，PM ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，问：是否存在常数λ，使得k 1+k 3＝λk 2？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）2214x y +=；（2；（3）存在，λ＝2，计算见解析【分析】(1)根据题意可知c ，再由离心率公式可得a ，然后根据222b a c =-得出b ，即可得椭圆的方程；(2)根据P 点的坐标写出直线AB 方程，与椭圆联立解得,A B 坐标，利用两点间距离公式即可求得弦AB 的长度；(3)先假设存在，后分直线AB 斜率存在和不存在两种情况进行求解，直线AB 斜率不存在时容易的R λ∈,直线AB 斜率存在时，设,A B 点坐标，与椭圆联立，再分别求出123,,k k k ，进行化简整理即可得到λ的值.【详解】（1）由题知2a =，32c e a ==，c ∴=，2221b a c =-=，∴椭圆方程为2214x y +=．（2）(1,0)M Q ，(4,3)P 1MP k ∴=，∵直线AB 与直线PM 垂直，∴1AB k =-，∴直线AB 方程0(1)y x -=--，即1y x =-+，联立22114y x x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2580x x -=0x ∴=或85,(0,1)A ∴，83,55B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，||AB∴=（3）假设存在常数λ，使得123k k k λ+=．当直线AB 的斜率不存在时，其方程为1x =，代入椭圆方程得31,2A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，31,2B ⎛- ⎝⎭，此时(4,0)P ，易得1320k k k +==,当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为(1)y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y代入椭圆方程得（1+4k 2）x 2﹣8k 2x +4k 2﹣4＝0，12x x ∴+22814k k =+，21224414k x x k-=+，直线PM 方程为()11y x k =--，则34,P k ⎛⎫- ⎪⎝⎭21k k=-,11134y k k x +=-,23234y k k x +=-,132k k k λ+=,121233144y y k k x x k λ++⎛⎫+=- ⎪--⎝⎭，即()()()()12211233()4444y x y x k k x x k λ⎛⎫+-++- ⎪⎝⎭=---，化简得：()()1221121212324416x y x y x x k k x x x x k λ+++-=--++，将12x x +22814k k =+，21224414k x x k -=+，()111y k x =-，()221y k x =-，代入并化简得：2k k λ-=-2λ∴=．综上：2λ=．【点睛】本题考查的是椭圆标准方程基本量的运算以及椭圆的几何性质、直线与椭圆的应用和圆锥曲线中的定值问题，是难题.15．已知椭圆C:22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的两个焦点分别为F 1，0）、F 2，0）.点M （1，0）与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.（1）求椭圆C的方程；（2）已知点N的坐标为（3，2），点P的坐标为（m，n）（m≠3）.过点M任作直线l与椭圆C相交于A、B两点，设直线AN、NP、BN的斜率分别为k1、k2、k3，若k1＋k3＝2k2，试求m，n满足的关系式.【答案】（1）2213x y+=；（2）m－n－1＝0【解析】试题分析：（1）利用M与短轴端点构成等腰直角三角形，可求得b的值，进而得到椭圆方程；（2）设出过M的直线l的方程，将l与椭圆C联立，得到两交点坐标关系，然后将k1＋k3表示为直线l斜率的关系式，化简后得k1＋k3＝2，于是可得m，n的关系式.试题解析：（1）由题意，c，b＝1，所以a=故椭圆C的方程为221 3x y+=（2）①当直线l的斜率不存在时，方程为x＝1，代入椭圆得，y＝±3不妨设A（1，63），B（1，－63）因为k1＋k3＝66 223322-++＝2又k1＋k3＝2k2，所以k2＝1所以m，n的关系式为23nm--＝1，即m－n－1＝0②当直线l的斜率存在时，设l的方程为y＝k（x－1）将y＝k（x－1）代入221 3x y+=，整理得：（3k2＋1）x2－6k2x＋3k2－3＝0设A（x1，y1），B（x2，y2），则22 121222633,3131k kx x x xk k-+==++又y1＝k（x1－1），y2＝k（x2－1）所以k 1＋k 3＝121221121222(2)(3)(2)(3)33(3)(3)y y y x y x x x x x ----+--+=----＝12211212[2(1)](3)[2(1)](3)3()9k x x k x x x x x x ---+----++＝121212122(42)()6123()9kx x k x x k x x x x -++++-++＝222222223362(42)6123131336393131k k k k k k k k k k k -⨯-+⨯++++--⨯+++＝222(126)126k k ++＝2所以2k 2＝2，所以k 2＝23n m --＝1所以m ，n 的关系式为m －n －1＝0综上所述，m ，n 的关系式为m －n －1＝0.考点：椭圆标准方程，直线与椭圆位置关系，16．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点分别为12(F F 、，点M (1,0)与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点M (1,0)的直线与椭圆C 相交于A 、B 两点，设点N (3，2)，记直线AN 、BN 的斜率分别为k 1、k 2,求证：k 1+k 2为定值．【答案】(1)22 1.3x y +=(2)见证明【分析】（1）根据几何条件得,a b 即可，（2）先考虑斜率不存在时特殊情况，再考虑斜率存在情况，设直线方程以及交点坐标，化简12k k +，联立直线方程与椭圆方程，根据韦达定理代入化简即得结果.【详解】(1)依题意，222,c a b =-=由已知得1b OM ==,解得a =所以椭圆的方程为22 1.3x y +=（2）①当直线l 的斜率不存在时，由221,1,3x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得61,.3x y ==±设126622331,,1,,23322A B k k 则-+⎛⎫⎛-+=+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()1,y k x =-代入221,3x y +=化简整理得()2222316330.k x k x k +-+-=依题意，直线l 与椭圆C 必相交于两点，设()1122,,(,),A x y B x y 则22121222633,.3131k k x x x x k k -+==++又()()11221,1,y k x y k x =-=-故()()()()()()1221121212122323223333y x y x y y k k x x x x --+----+=+=----=()()()121212121212224693x x k x x x x x x x x ⎡⎤-++-++⎣⎦-++=22222222226336122246313131633933131k k k k k k k k k k k ⎡⎤--⨯+⨯-⨯+⎢⎥+++⎣⎦--⨯+++=()()2212212621k k +=+为定值.综上，12k k +为定值2.【点睛】本题考查椭圆方程以及直线与椭圆位置关系，考查综合分析求解能力，属中档题.17．已知椭圆E ：=1（a ＞b ＞0）的焦距为2，且该椭圆经过点．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）经过点P（﹣2，0）分别作斜率为k1，k2的两条直线，两直线分别与椭圆E交于M，N两点，当直线MN与y轴垂直时，求k1×k2的值．【答案】（Ⅰ）+y2=1（Ⅱ）【解析】试题分析:（Ⅰ）由题意得，2c=2，=1；从而求椭圆E的方程；（Ⅱ）由题意知，当k1=0时，M点的纵坐标为0，点N的纵坐标为0，故不成立；当k1≠0时，直线PM：y=k1（x+2）；联立方程得（+4）y2﹣=0；从而解得y M=；可得M（，），N（，）；从而可得（k2﹣k1）（4k2k1﹣1）=0，从而解得．解：（Ⅰ）由题意得，2c=2，=1；解得，a2=4，b2=1；故椭圆E的方程为+y2=1；（Ⅱ）由题意知，当k1=0时，M点的纵坐标为0，直线MN与y轴垂直，则点N的纵坐标为0，故k2=k1=0，这与k2≠k1矛盾．当k1≠0时，直线PM：y=k1（x+2）；由得，（+4）y2﹣=0；解得，y M=；∴M （，），同理N （，），由直线MN 与y 轴垂直，则=；∴（k 2﹣k 1）（4k 2k 1﹣1）=0，∴k 2k 1=．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．18．已知椭圆C ：2222x y a b+＝1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，点A 为椭圆的左顶点，点B 为上顶点，|AB |且|AF 1|+|AF 2|＝4.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点F 2作直线l 交椭圆C 于M 、N 两点，记AM 、AN 的斜率分别为k 1、k 2，若k 1+k 2＝3，求直线l 的方程.【答案】（1）22143x y +=；（2）310x y +-=【分析】（1）依题意得到关于a 、b 的方程组，解得即可；（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，设直线l 的方程为1x my =+，联立直线与曲线方程消元，列出韦达定理，由123k k +=，即1212322y y x x +=++，即可得到方程，解得即可；【详解】解：（1）依题意可得()()4a c a c ⎧++-=⎪=解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩23143x y +=（2）由（1）设()11,M x y ，()22,N x y ，()21,0F ，设直线l 的方程为1x my =+，联立方程得231143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 整理得()2234690m y my ++-=，所以122634m y y m -+=+，122934y y m -=+因为111x my =+，221x my =+，所以122834x x m +=+，212212434m x x m -+=+因为123k k +=，即1212322y yx x +=++，所以()()121212122336120my y y y x x x x ++--+-=代入得22222961248233612034343434m m m m m m m ---+⨯+⨯-⨯-⨯=++++解得3m =-即l ：310x y +-=【点睛】本题考查待定系数法求椭圆方程，直线与椭圆的综合应用，属于中档题.19．设A ，B 为曲线C ：24x y =上两点，A 与B 的横坐标之和为4.(1)求直线AB 的斜率；(2)设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．【答案】（1）1；（2）y ＝x ＋7..【分析】（1）设,A B 两点坐标，代入抛物线方程相减后可求得AB 的斜率；（2）由C 在M 处的切线与直线AB 平行，可求得切点M 坐标，设直线AB 的方程为y ＝x ＋m ，代入抛物线方程可得AB 中点为(2,2)N m +，AM ⊥BM 等价于12MN AB =，这样可求得m 值．【详解】解：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1≠x 2，22121244x x y y ==，，x 1＋x 2＝4，于是直线AB 的斜率12121214y y x x k x x -+===-.(2)由24x y =，得2x y '=.设M (x 3，y 3)，由题设知312x =，解得x 3＝2，于是M (2，1)．设直线AB 的方程为y ＝x ＋m ，故线段AB 的中点为N (2，2＋m )，|MN |＝|m ＋1|.将y ＝x ＋m 代入24x y =得x 2－4x －4m ＝0.当Δ＝16(m ＋1)＞0，即m ＞－1时，1,22x =±从而12AB x =-=由题设知|AB |＝2|MN |，即2(1)m +，解得m ＝7.所以直线AB 的方程为y ＝x ＋7.【点睛】本题考查直线与抛物线相交问题，解题时设直线方程方程为y ＝x ＋m 是解题关键．通过它与抛物线方程联立，可得AB 中点N 的横坐标，从而得MN ，而AM ⊥BM 等价于12MN AB =，因此可求得m ．本题解法中没有用到特殊方法，求切点坐标，求直线方程，求弦长等都是最基本的方法，务必牢固掌握．20．椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的离心率12.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）点P 是圆()2220x y rr +=>上异于点(),0A r -和(),0B r 的任一点，直线AP 与椭圆E 交于点M ，N ，直线BP 与椭圆E 交于点S ，T .设O 为坐标原点，直线OM ，ON ，OS ，OT 的斜率分别为OM k ，ON k ，OS k ，OT k .问：是否存在常数r ，使得OM ON OS OT k k k k +=+恒成立？若存在，求r 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）存在，r =.【分析】（1）由已知条件列出关于,,a b c 的方程组，解之可得椭圆标准方程；（2）由题意直线AP ，BP 斜率存在且均不为0，设直线AP 方程为()y k x r =+，()11,M x y ，()22,N x y ，直线方程代入椭圆方程整理后应用韦达定理得1212,x x x x +，代入OM ON k k +，同理用1k-代替k ，r -代替r ，得OS OT k k +，由两者相等可求得r ．【详解】（1）设椭圆焦距为()20c c >，由22212b c a c a ⎧+=⎪⎪=⎨=，解得2a =，b =.∴椭圆E 的标准方程为22143x y +=.（2）由题意直线AP ，BP 斜率存在且均不为0，设直线AP 方程为()y k x r =+，()11,M x y ，()22,N x y ，由22()143y k x r x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得，()()222223484120k x k rx k r +++-=.∴2122834k r x x k -+=+，2212241234k r x x k-=+.①又()()12121212N O O M k x r k x r y y k k x x x x +++=+=+()1212122kx x kr x x x x ++=，②从而①代入②得2263OM ON k k k k r -+=-.又AP BP ⊥，以1k -替代k ，以r -替代r ，同理可得2263OS OTk k k r k +=-，∴22226633k k k r r k-=--，∴()()22130k r +-=对0k≠恒成立，解得r =或r =，经检验，此时0∆>，因此存在r =.【点睛】本题考查由离心率求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系．在直线与椭圆相交问题中常常采用设而不求的思想方法．本题考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力．属于中档题．21．已知椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>过点2)2，设椭圆Γ的上顶点为B ，右顶点和右焦点分别为A ，F ，且56AFB π∠=．（1）求椭圆Γ的标准方程；（2）设直线:(1)l y kx n n =+≠±交椭圆Γ于P ，Q 两点，设直线BP 与直线BQ 的斜率分别为BP k ，BQ k ，若1BP BQ k k +=-，试判断直线l 是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．【答案】（1）2214x y +=（2）直线l 过定点，该定点的坐标为(2,1)-．【详解】（1）因为椭圆Γ过点22，所以222112a b +=①，设O 为坐标原点，因为56AFB π∠=，所以6BFO π∠=，又||BF a ==，所以12b a =②，将①②联立解得21a b =⎧⎨=⎩（负值舍去），所以椭圆Γ的标准方程为2214x y +=．（2）由（1）可知(0,1)B ，设11(,)P x y ，22(,)Q x y ．将y kx n =+代入2214xy +=，消去y 可得222(14)8440k x knx n +++-=，则22222(8)4(14)(44)16(41)0kn k n k n ∆=-+-=-+>，122814kn x x k -+=+，21224414n x x k -=+，所以122121************11()()2(1)()BP BQy y x kx n x x kx n x kx x n x x k k x x x x x x --+-++-+-++=+==222224482(1)8(1)214141444(1)(1)114n knk n k n k k k n n n n k --⋅+-⋅-++====--+-++，所以21n k =--，此时2216[4(21)1]640k k k ∆=---+=->，所以k 0<，此时直线l 的方程为21y kx k =--，即(2)1y k x =--，令2x =，可得1y =-，所以直线l 过定点，该定点的坐标为(2,1)-．22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，点26,13M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆上，椭圆C 的离心率为12.（1）求椭圆的方程；（2）设点A 为椭圆长轴的左端点，P ，Q 为椭圆上异于椭圆C 长轴端点的两点，记直线AP ，AQ 斜率分别为1k ，2k ，若1214k k =-，请判断直线PQ 是否过定点？若过定点，求该定点坐标，若不过定点，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）直线PQ 过定点()1,0.【分析】（1）根据点在椭圆上以及离心率列出方程组，求解出22,a b 的值则椭圆方程可求；（2）考虑直线PQ 的斜率是否存在，若斜率存在，设出直线PQ 的方程y kx m =+以及点,P Q 的坐标，根据1214k k =-求解出,k m 之间的关系从而确定出定点坐标；若斜率不存在可直接进行验证，即可得到最终结果.【详解】（1）因为椭圆过点,13M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭且离心率为12，所以22222811312a b c a a b c ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，所以解得2243a b ⎧=⎨=⎩，所以椭圆方程为22143x y +=；（2）因为()2,0A -，设()()1122,,,P x y Q x y ，当直线的斜率存在时，设直线:PQ y kx m =+，因为223412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，所以()2223484120k x kmx m +++-=，所以21212228412,3434km m x x x x k k -+=-=++，又因为1214k k =-，所以()()()()()()22121212121212121212222244kx m kx m k x x km x x m y y x x x x x x x x +++++⋅===-+++++++，所以222222222241283414121612164k m k k m m k m m km k --++=---++，所以2220m mk k --=，所以()()20m k m k -+=，所以2m k =或m k =-，当2m k =时，():2PQ y k x =+，此时过点()2,0A -不符合题意，当m k =-时，():1PQ y k x =-，此时过定点()1,0；当直线的斜率不存在时，:1PQ l x =，所以,P Q 坐标为331,,1,22⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()3312212124APAQkk -⋅=⋅=-----，满足要求，综上可知：直线PQ 过定点()1,0.【点睛】本题考查圆锥曲线的综合问题，涉及椭圆方程求解以及椭圆中直线过定点问题，主要考查学生的转化与计算能力，难度较难.23．已知圆22:(1)16D x y ++=，圆C 过点(1,0)B 且与圆D 相切，设圆心C 的轨迹为曲线E ．（1）求曲线E 的方程；（2）点(2,0)A -，,P Q 为曲线E 上的两点（不与点A 重合），记直线,AP AQ 的斜率分别为12,k k ，若122k k =，请判断直线PQ 是否过定点.若过定点，求该定点坐标，若不过定点，请说明理由．【答案】（1）22143x y +=(2)见解析【分析】（1）结合题意发现圆心C 的轨迹是以D ，B 为焦点的椭圆，建立方程，即可．（2）设出直线PQ 的方程，建立方程，将直线方程代入椭圆方程，结合根与系数关系，得到m ，k 的关系式，计算定点，即可．【详解】（1）设圆C 的半径为r ，依题意，|CB |＝r ，|CD |＝4－r ，进而有|CB |＋|CD |＝4，所以圆心C 的轨迹是以D ，B 为焦点的椭圆，所以圆心C 的轨迹方程为22143x y +=．（2）设点P Q 、的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，设直线PQ 的方程为y kx m =+（直线PQ 的斜率存在），可得()()()()1212222kx m kx m x x ++=++，整理为：()()()2212122480k x x km x x m -+-++-=，。

齐次化巧解圆锥曲线斜率问题齐次化基本原理：圆锥曲线遇到斜率之和或者斜率之积的题目时，以往我们常用方法是设直线方程，与圆锥曲线方程联立，然后通过韦达定理得到相关关于斜率的式子，方法比较容易，计算量比较复杂。

若采用齐次化方法来解决，可直接得到关于斜率的方程，会大大减少题目的计算量。

齐次：次数相等的意思。

例如: 22cy bxy ax y ++=称为二次齐次式。

具体方法：如果公共点在原点，不需要平移。

如果不在原点，先平移图像，将公共点平移到原点，无论如何平移，直线斜率是不变的。

平移的口诀：“左加右减，上减下加”。

这里“上减下加”，是在等式与y 同侧进行加减，我们经常讲的“上加下减”是在等式与y 的异侧进行的。

例如：b kx y +=向上平移一个单位后为1++=b kx y ，移到同侧后为b kx y +=-1。

平移后一般设直线为1=+ny mx （这样设齐次化更加方便，相当于“1”的妙用）。

平移后的直线与平移后的圆锥方程联立化简，可得到02=++⎪⎭⎫⎝⎛c x y b x y a 。

利用韦达定理可得斜率之和为：a b x y x y -=+2211，斜率之积为：acx y x y =⋅2211。

如果是定点之类的题型，还需要平移回去。

思路总结：①平移；②联立齐次化；③化简得02=++⎪⎭⎫⎝⎛c x y b x y a ；④韦达定理。

若是过定点，还需平移回去。

注意：因为1=+ny mx 不能表示过原点的直线，少量题目还需要专门讨论。

典型例题例1.抛物线x y 42=，点P 的坐标为（1,2），直线l 交抛物线于A 、B 两点，PA ⊥PB 。

求证：直线l 过定点。

解：将)2,1(P 点平移至原点)0,0(P '将抛物线向左平移1个单位，向下平移两个单位得到平移后的抛物线方程为：())1(422+=+x y ，化简得：0442=-+x y y设平移后直线B A ''方程为1=+ny mx ，设()()2211,,,y x B y x A ''联立⎩⎨⎧=-+=+04412x y y ny mx ，化简得：()()0444412=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+m x y n m x y n则14142211-=+-=⋅=⋅''''nmx y x y k k B P A P ，可得144=-n m ， ∴1=+ny mx 过定点（4，-4），平移回去，可得直线AB 过定点（5，-2）例2.椭圆13422=+y x ，定点)23,1(P ，A 、B 为椭圆上两点，且0=+PB PA k k 。

圆锥曲线齐次式圆锥曲线齐次式是一种重要的曲线参数化方法，它不仅用于表示2D图形，对于3D曲面也具有重要的应用。

一、概述圆锥曲线齐次式是一种重要的曲线参数化技术，它以半径、切线角度和长度等参数来参数化曲线面。

相比于传统的曲线拟合方法，它的优势在于：1、可以获得较高的精度：因为它只是对目标曲面的参数化，而不是对此曲面进行重新拟合，所以它可以获得较高的精度。

2、计算成本低：有效利用圆锥曲线齐次式，可以有效减少计算成本，这使得它特别适合大规模数据处理。

3、应用领域广泛：因为它可以获得较高精度且计算成本低，所以它可以用在众多领域，例如CAD/CAM、三维建模、数据拟合、运动分析等。

二、术语1、半径：半径是圆锥曲线的重要参数，且圆锥曲线的形状取决于半径的大小。

2、切线角度：切线角度是圆锥曲线曲面与水平面的夹角，它也是由圆锥曲线齐次式确定的重要参数。

3、长度：长度是指圆锥曲线沿空间轴的曲面长度，它也是构成圆锥曲线齐次式的重要参数。

三、求解方法1、求解圆锥曲线齐次式的最常见方法是用最小二乘法：它可以将曲线的若干点拟合到圆锥曲线的齐次式中，从而获得更准确的参数值。

2、另一种有效的方法是基于三角函数的几何方法：它可以利用三角函数的值来计算圆锥曲线的参数，从而获得较高的参数精度。

3、此外，还有一种利用几何变换的方法：它利用几何变换对曲线进行坐标变换，以获得更准确的参数结果。

四、应用举例1、运动分析：圆锥曲线齐次式可以用于表示近似运动曲面，例如用于表示均匀运动曲面等。

2、三维建模：圆锥曲线齐次式可以用于模拟复杂的三维对象，例如用于建模人体、机器人、机械手等。

3、CAD/CAM：圆锥曲线齐次式可用于CAD/CAM设计中，例如用于快速建模和刀具预测、五面螺纹车削等。

4、数据拟合：圆锥曲线齐次式可以用于高精度曲面数据拟合，例如用于几何轮廓拟合、曲线图形拟合等。

平移坐标系构造齐次式----解决斜率之和与斜率之积的利器1.关于“齐次”常识：“齐次”即次数相等的意思，例如22cy bxy ax ++称为二次齐式，即二次齐次式的意思，因为每一项都是关于y x ,的二次项。

2.当圆锥曲线遇到斜率之和或者斜率之积问题，可以先平移图形，将公共点平移到原点，曲线方程的平移口诀是“左加右减，上减下加”.（注意：你没有看错，“上减下加”，因为是在y 同侧进行加减，我们以往记的“上加下减”都是在y 的异侧。

）建立模型：问题的提出：已知点A 是平面内一个定点，圆锥曲线C 上有两动点P、Q ，证明直线AP 与AQ 斜率之和或者斜率之积为定值问题的解决：将公共点A 平移到原点O ，设平移后的直线为1=+ny mx ，与圆锥曲线方程（平移后）联立，一次项乘以ny mx +，常数项乘以2）（ny mx +，构造齐次式022=++cy bxy ax ，然后等式两边同时除以2x ，得到02=++⎪⎭⎫ ⎝⎛c x y b x y a 化简为02=++c bk ak ，可以直接利用韦达定理得出斜率之和或者斜率之积，即可得出答案，如果是过定点题目，还需要还原直线，之前如何平移，现在反平移回去。

3.圆锥曲线齐次化解题的基本步骤：1.平移；2.联立并齐次化；3.同除2x ；4.韦达定理；5.过定点题目，需还原直线，即反平移回去.优点是：大大减小了计算量，提高准确率！缺点：1=+ny mx 不能表示过原点的直线！例1.（2015•陕西）如图，椭圆2222:1(0)x yE a ba b+=>>经过点(0,1)A-，且离心率为22．（1）求椭圆E的方程；（2）经过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q（均异于点)A，证明：直线AP与AQ斜率之和为2．例2.（2017•新课标）设A，B为曲线2:4xC y=上两点，A与B的横坐标之和为4．（1）求直线AB的斜率；（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM BM⊥，求直线AB 的方程．例3.（2017•新课标Ⅰ）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，四点1(1,1)P ，2(0,1)P ，33(1,)2P -，43(1,)2P 中恰有三点在椭圆C 上．（1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过2P 点且与C 相交于A ，B 两点．若直线2P A 与直线2P B 的斜率的和为1-，证明：l 过定点．例4.（2018•新课标Ⅰ）设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，点M 的坐标为()0,2．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程；（2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠．例5．（2018•眉山期末）已知抛物线的顶点为原点，关于y 轴对称，且过点1(1,)2N -．（1）求抛物线的方程；（2）已知(0,2)C -，若直线2y kx =+与抛物线交于A ，B 两点，记直线CA ，CB 的斜率分别为1k ，2k ，求证：212k k k +为定值．。

齐次化解决圆锥曲线题目一、什么是齐次坐标？1.1 齐次坐标的概念在解决圆锥曲线题目时，我们经常会用到齐次坐标。

齐次坐标是指在二维欧几里德空间中，用三个数表示的点的坐标。

齐次坐标是一种扩充了的坐标表示方法，可以描述无穷远点和线上的点。

一个点的齐次坐标表示为[x, y, z]，其中x、y、z为实数，同时不全为零。

如果两个齐次坐标[x₁, y₁, z₁]和[x₂, y₂, z₂]表示同一个点，那么它们之间成比例，即存在实数k，使得x₂=kx₁，y₂=ky₁，z₂=kz₁。

这就是齐次坐标的齐次性。

1.2 齐次坐标的优点齐次坐标有很多优点，可以简化计算过程，降低计算难度和复杂度。

•齐次坐标可以用来表示无穷远点，无需再通过其他方式单独表示。

•齐次坐标可以用来表示直线和曲线等特殊的几何对象，而不只是点。

•齐次坐标的运算可以通过矩阵乘法实现，简化了计算过程。

二、齐次坐标与圆锥曲线方程的关系2.1 一般式方程圆锥曲线可以用一般式方程表示，例如二次曲线的一般式方程为Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0。

当A、B、C不全为零时，这个方程表示一个二次曲线。

将二次曲线的一般式方程转化为齐次坐标的形式，可以得到齐次方程。

例如，对于二次曲线的一般式方程Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0，将其转化为齐次坐标的形式，我们可以得到一个齐次方程Ax² + Bxy + Cy² + Dxw + Eyw + Fw² = 0。

2.2 齐次坐标与直线的关系在齐次坐标中，直线可以表示为三个点的线性组合。

考虑一条直线L，由两个点P₁[x₁, y₁, z₁]和P₂[x₂, y₂, z₂]确定，那么直线L上的任意一点P[x, y, z]都满足以下齐次坐标关系：|x y z| |x₁ y₁ z₁| |x₂ y₂ z₂| = 0。

齐次化解决圆锥曲线题目
圆锥曲线是高中数学中常见的一类曲线，其中包括了直线、圆、椭圆、双曲线和抛物线等多种类型。

在解题过程中，齐次化是一种常用的技巧，能够有效地简化计算和推导。

齐次化的基本思想是将曲线上的点表示为一个有理数向量$(x,y,z)^T$，其中 $T$ 表示转置。

对于曲线上的同一点，其坐标不唯一，但是向量 $(x,y,z)^T$ 的比例是唯一的。

因此，我们可以将向量 $(x,y,z)^T$ 乘以一个非零数 $k$，得到 $(kx,ky,kz)^T$，这两个向量代表的是同一点，因此称为等价向量。

利用齐次化，我们可以将曲线上的点表示成一个齐次坐标$(x,y,z,w)^T$，其中 $w$ 表示一个非零的参数。

这样，我们就可以将曲线上的每个点表示为一个等价的向量 $(x/w,y/w,z/w)^T$，并且可以将 $w$ 消掉，得到 $x,y,z$ 的关系式，从而得到曲线的方程。

以圆为例，设圆心坐标为 $(a,b)$，半径为 $r$，则圆的方程可以表示成 $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$。

我们将其齐次化，得到
$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2z^2$，再将 $z$ 消掉，得到
$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，即圆的方程。

同样地，我们可以将其他类型的圆锥曲线进行齐次化，从而得到其方程。

在解题过程中，利用齐次化可以简化计算，推导过程也更加清晰和简单。

因此，掌握齐次化技巧对于解决圆锥曲线题目非常有帮助。

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巧用齐次化方法解圆锥曲线问题
解：齐次化方法可以通过将圆锥曲线转换为齐次方程组来求解。

首先，我们将圆锥曲线的参数方程转换为齐次方程组：
z= ax^2 + by^2 + c
这可以写成：
x^2/a + y^2/b - z/c = 0
求解这个齐次方程组的方法是用拉格朗日原理，即：
L(x,y,z,λ) = x^2/a + y^2/b - z/c + λ(x^2+y^2-z) = 0
这样，我们可以从这个齐次方程组中求解x,y,z和λ。

继续：
将上述齐次方程组对x、y和z求导，可得：
∂L/∂x = 2x/a + 2λx = 0
∂L/∂y = 2y/b + 2λy = 0
∂L/∂z = -1/c + λ = 0
由此，有：
x = -aλ
y = -bλ
z = cλ
将其代入齐次方程组，获得：
-a^2λ^2 + -b^2λ^2 + cλ = 0
根据齐次方程的特点，λ必须为0，所以：
x = 0
y = 0
z = 0
因此，齐次化方法可以求解出圆锥曲线的参数方程：x = 0, y = 0, z = 0。

继续：
上述结果表明，x、y和z值均为0，意味着圆锥曲线的中心位于坐标原点。

此外，通过使用拉格朗日方程，我们可以计算出λ的值：
λ = 0
因此，圆锥曲线的方程为：
z = 0
也就是说，圆锥曲线是一条平面曲线，其中心位于坐标原点。

圆锥曲线齐次化此方法可以解决斜率之积之和问题问题综述：已知点00()P x y ，为平面内一个定点，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>> 上有两动点A 、B .若直线PA PB k k +或PA PB k k ⋅为定值，则直线AB 必过定点.见到很多的做法是去平移坐标系，在答疑过程中发现学生对于平移坐标系有点太过于陌生，笔者将方法稍微变化一下，步骤如下： ① 设直线方程为()()001m x x n y y -+-=； ② 联立齐次化，把y y x x --当作整体； ③ 韦达定理，12k k +或12k k ⋅； ④ 下结论.下面以几道真题和模拟题为例具体操作一下.PS ：此方法的优点在于只需要联立之后加上韦达定理就基本上出答案了，相对于正常做法而言减少了一定的计算量.齐次：“齐次”从字面上解释是“次数相等”， 一个多项式中各个单项式的次数都相同的式子，我们称之为齐次式，例如：x +3y +z 、x 2+xy +y 2、3223x x y xy y +++就是齐次式，在联立的时候有一个稍微麻烦一点点的地方就是需要我们去配凑齐次式，对于齐次式的理解我们可以看下面两道基础题帮助大家更深层次的理解齐次式. 1．(2016年全国III) 若 ，则 A ．B ．C ．1D ． 2．(2012年浙江) 若正数,x y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是A ．B ．C ．5D ．6【解析1】由22222cos 2sin 212tan 64cos 2sin 2sin cos 1tan 25αααααααα+++===++. 故选A ． 【解析2】35x y xy +=，， ，故选C.第1题将分母配凑一个22cossin αα+，使其分子分母都变为2次齐次式，再将两变量的比值当作整体，同理第2题将所求乘以，使其分子分母都变为1次齐次式，再将两变量的比值当作整体，其实这两道立体来看化齐次的背后目的为了减少变量的个数，使得变量从2个化为1个，这是我们解题的主线，化齐次的思想在高中数学的应用还有很多比如在求离心率的时，我们需要得到一个关于a c ，的齐次方程，还有就是我们今天要讲到的圆锥曲线中的应用.3tan 4α=2cos 2sin 2αα+=642548251625245285135y x+=113131213(34)()()555x y x y y x y x +⋅+=++≥1132555⨯=135y x+=例1 (2017秋•重庆期末)已知抛物线2:2(0)C y px p =>上一点(2)，A a 到其焦点的距离为3． (1) 求抛物线C 的方程；(2) 过点(40)，的直线与抛物线C 交于P ，Q 两点，O 为坐标原点，证明：90POQ ∠=︒． 解：(1) 24.y x =(2) 设直线的方程为1mx ny +=，11()P x y ，，Q 22()x y ，，111OP y k k x ==，222=OQ y k k x =. 联立直线与抛物线方程得221440.4mx ny y y n m y xx x +=⎧⎛⎫⎛⎫⇒--=⎨ ⎪ ⎪=⎝⎭⎝⎭⎩ 由韦达定理可得124.k k m ⋅=-又因为直线过点()40，，所以1401.4m n m +⋅=⇒=-故121=90⋅=-⇒⊥⇒∠︒k k OP OQ POQ .联立细节：222244()440y x y x mx ny y nxy mx =⇒=+⇒--=，再等式两边同时除以2x 就可以咯.例2．(2020•郑州一模)设曲线2:2(0)C x py p =>上一点(,2)M m 到焦点的距离为3． (1) 求曲线C 方程；(2) 设P ，Q 为曲线C 上不同于原点O 的任意两点，且满足以线段PQ 为直径的圆过原点O ，试问直线PQ 是否恒过定点？若恒过定点，求出定点坐标；若不恒过定点，说明理由． 解：(1) 24.=x y(2) 设直线的方程为1mx ny +=，11()P x y ，，Q 22()x y ，，111OP y k k x ==，222=OQ yk k x =， 联立直线与抛物线方程得22144104mx ny y y n m x yx x +=⎧⎛⎫⎛⎫⇒+-=⎨ ⎪ ⎪=⎝⎭⎝⎭⎩， 由韦达定理可得1214k k n⋅=-， 又因为线段PQ 为直径的圆过原点O ,故121OP OQ k k ⊥⇒=-，所以11144n n -=-⇒=， 故直线过定点()04，.联立细节：222244()440x y x y mx ny ny mxy x =⇒=+⇒+-=，再等式两边同时除以2x 就可以咯.注：例1和题2有异曲同工之妙，可以称之为姊妹题，例1是已知斜率关系证直线过定点，例2是已知直线过定点，求斜率关系.例3．(2015•陕西)如图，椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>经过点(0,1)A -．(1) 求椭圆E 的方程；(2) 经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点)A ，证明： 直线AP 与AQ 斜率之和为2．解：(1) 22 1.2+=x y(2) 设直线PQ 的方程为(1)1++=mx n y ，11()P x y ，，Q 22()x y ，，1111+==，AP y k k x 2221=+=AQ y k k x ， 联立直线与椭圆方程得222(1)1111(21)20212mx n y y y n m x x x y ++=⎧++⎪⎛⎫⎛⎫⇒-+-=⎨ ⎪ ⎪+=⎝⎭⎝⎭⎪⎩， 由韦达定理可得12221mk k n +=--， 又因为直线PQ 过点(11)，，所以 12221 2.21+=⇒+=-=-mm n k k n 联立细节：令1x p y q =+=，，则222222222111202()022(1)1211(21)20(21)20.22mp nq p q q p q q mp nq p q q q n q mpq p n m p p +=⎧⎪⇒+-=⇒+-+=⎨+-=⎪⎩⎛⎫⎛⎫⇒-+-=⇒-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设A ，B 为曲线2:4x C y =上两点，A 与B 的横坐标之和为4．(1) 求直线AB 的斜率；(2) 设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM BM ⊥，求直线AB 的方程．解：(1) 1.=AB k(2) ()21，M ，设直线AB 的方程为(2)(1)1-+-=m x n y ，11()，A x y ，B 22()x y ，，11112-==-，AM y k k x 2221=2-=-BM y k k x . 联立直线与抛物线方程得22(2)(1)11144()(14)0422m x n y y y n m n m x yx x -+-=⎧--⎛⎫⎛⎫⇒+--+=⎨ ⎪ ⎪=--⎝⎭⎝⎭⎩， 由韦达定理可得12144mk k n+⋅=-， 又因为AM BM ⊥，所以121144k k m n ⋅=-⇒+=，①又因为直线AB 与C 在M 处的切线平行，所以1mn-=，② 联立①②可得1188m n =-=，，故直线AB 的方程为7y x =+. 联立细节：令21x p y q -=-=，，则()()()()()()()()2222221404024(1)44140(4)4140.mp nq p p q p p q mp nq p q q q nq m n pq m p n m n m p p +=⎧⎪⇒+-=⇒+-+=⎨+=+⎪⎩⎛⎫⎛⎫⇒+--+=⇒+--+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，四点1(1,1)P ，2(0,1)P，3(P -，4P 中恰有三点在椭圆C 上． (1) 求C 的方程；(2) 设直线l 不经过2P 点且与C 相交于A ，B 两点．若直线2P A 与直线2P B 的斜率的和为1-，证明：l 过定点．解：(1) 22 1.4x y += (2) 设直线l 的方程为(1)1mx n y +-=，11()，A x y ，B 22()x y ，，21111P A y k k x -==，22221=P B y k k x -=. 联立直线与抛物线方程得222(1)111(84)81014mx n y y y n m x x x y +-=⎧--⎪⎛⎫⎛⎫⇒+++=⎨ ⎪ ⎪+=⎝⎭⎝⎭⎪⎩， 由韦达定理可得12811842m k k m n n +=-=-⇒=++，故直线方程为1(1)102n x y x +-+-=，因此直线l 过定点()21，. 联立细节：令1x p y q =-=，，则()()2222222221480480(1)148440(84)810.mp nq p q q p q q mp nq p q q q n q mpq p n m p p +=⎧⎪⇒++=⇒+++=⎨++=⎪⎩⎛⎫⎛⎫⇒+++=⇒+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设抛物线2:2C y x =，点(2,0)A ，(2,0)B -，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点． (1) 当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； (2) 证明：ABM ABN ∠=∠． 解：(1) 112y x =+或112y x =--. (2)设直线l 的方程为(2)1m x ny ++=，11()M x y ，，22()N x y ，，1112BM y k k x ==+，222=2BN y k k x =+， 联立直线与抛物线方程得2222(2)1(14)(82)420222m x ny y y n mn n m m y xx x ++=⎧⎛⎫⎛⎫⇒++-+-=⎨ ⎪ ⎪=++⎝⎭⎝⎭⎩， 由韦达定理可得1228214mn nk k n-+=-+， 又因为直线过点A ，所以14m =，故 12282014mn nk k n-+=-=+， 所以ABM ABN ∠=∠.联立细节：令2x p y q +==，，则()()()2222222222212402()402(2)14(82)(42)014(82)(42)0.mp nq q p q p mp nq mp nq q p n q mn n pq m m p q q n mn n m m p p +=⎧⇒-+=⇒-+++=⎨=-⎩⇒++-+-=⎛⎫⎛⎫⇒++-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

齐次化（一）：点P(x0，y0

)在圆锥曲线上的斜率和积为定值

问题

椭圆篇已知点P(x0，y0

)是椭圆上一个定点,椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上有两动点A、B.

(1)若直线kPA+kPB=λ(λ≠0),则直线AB过定点(x0-2y0λ，-y0-2x0b2λa2);(2)若直线kPA+kPB=0,则直线AB斜率为定值x0b2y0a2;(3)若直线kPA⋅kPB=λλ≠b2a2,则直线AB过定点(λa2+b2λa2-b2x0，-λa2+b2λa2-b2y0);(4)若直线kPA⋅kPB=b2a2,则直线AB斜率为定值-y0x0;(5)当直线AB过定点为原点时,则有kPA⋅kPB=-b2a2(第三定义);证明:将椭圆C按向量PO(-x0，-y0)平移得椭圆C:(x+x0)2a2+(y+y0)2b2=1,又点P(x0，y0

)在

椭圆x2a2+y2b2=1上,所以x20a2+y20b2=1,代入上式得x2

a2+y2b2+2x0a2x+2y0b2

y=0①.椭圆C上的定

点P(x0，y0)和动点A，B分别对应椭圆C上的定点O和动点A，B,设直线AB的方程为mx+ny=1,代入①得:x2a2+y2b2+2x0a2x+2y0b2y(mx+ny)=0,当x≠0时,两边除以x2得:1+2y0nb2y2x2+2x0na2+2y0mb2yx+1+2x0ma2

=0因为点A，B的坐标满足这个方程,所以kOA，kOB是这个关于

yx的方程的两个根.

注意:之所以将AB的方程设为mx+ny=1,就是利用了乘一法,即乘除一个为一的式子,能改

变结构,但不改变结果.

证明：(1)若kPA

+kPB=λ(λ≠0),由平移性质知kOA+kOB=λ,所以kOA+kOB=

-2b2x0n-2a2y0ma2(1+2y0n)=λ,即-2b2x0n-2a2y0m=λa2+2a2λy0n,所以-2y0

λm-2b2x0λa2-2y0n=1,由

圆锥曲线齐次化方法的应用圆锥曲线齐次化方法是数学中一种重要的计算技术，其主要应用于研究圆锥曲线的性质和解决其相关问题。

在数学中，圆锥曲线是由一个平面中的动点与一个固定点及该点到一根直线的距离的比值构成的几何图形。

圆锥曲线齐次化方法是将一个给定的非齐次点转化为一个等效的齐次点来描述圆锥曲线的方法。

这种方法可以使问题的表述更加简洁明了，在计算过程中也更加方便。

圆锥曲线齐次化方法广泛应用于各种数学问题中，例如在计算曲线的切线、法线和切平面时可以利用这种方法来简化计算过程。

在图像处理、计算机视觉和机器人控制等领域中，圆锥曲线齐次化方法也被广泛应用，可以用来识别图像中的圆弧和椭圆形状，在三维空间中进行位姿估计以及进行轨迹规划等问题中都有广泛的应用。

总之，圆锥曲线齐次化方法的应用十分广泛，可以在各个数学领域中解决各种复杂的问题，对于提高计算效率和精度有着重要的作用。