阿波罗尼奥斯《圆锥曲线》ppt要点

数学史（12）：阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线》模仿只会仿制他所见到的事物，而想象则能创造他所没有见过的事物。

——阿波罗尼奥斯佩尔加古城遗址古典希腊的另一位伟大数学家是阿波罗尼奥斯（Apollonius，约公元前262年～190年），生于小亚细亚西北部的佩尔加（Perga，今属土耳其安纳托利亚）。

他青年时代曾经到亚历山大城跟随欧几里得的后继者学习，后来到过小亚细亚西岸的帕加马(Pergamum)王国，也到过以弗所（Ephesus），嗣后卜居亚历山大城和当地的数学家合作研究。

在当时及后世，他都以“大几何学家”和天文学家闻名。

阿波罗尼奥斯在晚年总结自己的一生所学，撰写了几何学经典巨著《圆锥曲线》，写作风格和欧几里得、阿基米德是一脉相承的：先设立若干定义，再由此依次证明各个命题，推理十分严格。

尽管在他之前已有人研究圆锥曲线，但阿波罗尼奥斯做了去粗取精和系统化的工作，另有非常独到的创见，而且写得巧妙、灵活。

《圆锥曲线》前四卷是基础部分，后四卷是拓广的内容，其中八卷已失传，共含487个命题。

卷1 论述圆锥曲线的定义和性质阿波罗尼奥斯是第一个依据同一个（正的或斜的）圆锥的界面来研究圆锥曲线理论的人，也是第一个发现双曲线有两支的人。

如上图，给定一个圆直径BC，以及该圆所在平面外的一个点A。

过A点且沿圆周移动的一根直线便生成一对锥面。

直径BC圆叫该圆锥的底。

圆锥的轴（未画出）若垂直于底，这就是正圆锥（直角圆锥），否则就是斜圆锥（锐角圆锥和钝角圆锥）。

设圆锥的一个截面与底平面相交于直线DE，该直线和底圆直径BC相互垂直。

于是，三角形ABC就是一个包含了圆锥轴的三角形，也因此被称作为“圆锥轴三角形”。

该三角形和“圆锥曲线”相交于两点P，P`。

PP`连接线是该“圆锥曲线”的一条直径；Q点和Q`点的连接线是该“圆锥曲线”的一条弦，且和直线DE平行。

因此，连线QQ`和连线PP`虽然相交于V 点，但是未必和连线PP`垂直。

阿波罗尼随即证明了QQ`被PP`所平分，从而VQ=1/2QQ`。

阿波罗尼奥斯《圆锥曲线圆锥曲线，自古以来就一直是数学界的重要领域之一。

它所包含的椭圆形、双曲线和抛物线，既具有独特的数学性质，也广泛应用于物理学、工程学、计算机科学等各个领域。

虽然这些曲线的概念在数学上已有数百年的历史，但它们的应用范围仍在不断扩大，并被用于解决很多现实中的问题。

在众多圆锥曲线的研究者中，有一个人的名字不可忽视，他就是古希腊数学家阿波罗尼奥斯。

阿波罗尼奥斯活跃于公元1世纪，是古希腊数学的杰出代表。

他出生在柏拉图的故乡雅典，曾留学于亚历山大港，在那里学习了古代数学家欧多克索斯的学说，并慕名求教于亚历山大港的天文学家帕菲鲁斯。

他的学问颇丰，不但擅长纯数学，还对物理学、几何学、天文学等方面有不少研究。

不过，他最著名的成就是他对圆锥曲线的研究。

圆锥曲线的研究，是阿波罗尼奥斯一生的工作。

他在这方面的创新之处在于，他以圆锥形状来定义这些曲线，同时还建议使用切割法来研究它们。

具体来说，他设想利用一个圆锥体和一个平面相交，将圆锥体分为两部分，一部分为三角锥，另一部分为四边形锥。

当平面倾斜于圆锥体时，所得的曲线便是圆锥曲线，具体类型取决于平面与圆锥体的交角。

通过这种方法，阿波罗尼奥斯成功地分析了椭圆形、双曲线和抛物线，在不同的交角条件下，他得出了这些曲线的数学性质。

例如，他证明了椭圆形是一个闭合曲线，双曲线则是开放曲线，无法闭合。

他还发现双曲线的两支是互相关联的，抛物线则给出了一些现实世界中的模型，例如炮弹的弹道。

阿波罗尼奥斯在圆锥曲线的研究中，还发挥了很大的几何直觉。

他用圆锥体的三角形侧边来构建椭圆曲线和双曲线的属性。

他还提供了一个关于圆锥体的体积操作的综合性命题，由此解决了圆锥曲线中许多问题。

在阿波罗尼奥斯的创新性工作推动下，圆锥曲线的研究迅速发展。

圆锥曲线不仅是一种有趣的几何形态，更是许多学问领域的重要工具。

例如，在建筑学中，拱形的设计可以用双曲线的数学原理来构建；在船舶设计中，用双曲线构建的船体可以大大减小船体拖曳力，提高航行效率。

阿波罗尼斯圆和圆锥曲线阿波罗尼斯圆和圆锥曲线1.引言数学是一门古老而又深奥的学科，经历了无数数学家的探究和推演。

而其中，圆锥曲线是数学中的重要一环。

本文将着重讲解阿波罗尼斯圆和圆锥曲线这两个数学概念，带领读者一起了解这些深奥又神奇的数学魅力。

2.圆锥曲线的定义和概念圆锥曲线是一个既古老又经典的数学研究对象，定义如下：圆锥曲线是由一个直角圆锥和一个割平面在圆锥下部分得到的曲线。

圆锥曲线的三种类型包括：椭圆、双曲线和抛物线。

1)椭圆：是一个呈现封闭形状的曲线，其两个焦点的距离小于椭圆长轴长度一半；2)双曲线：是一个不封闭的曲线，其两焦点距离小于双曲线两支的距离之和；3)抛物线：是一个仅有一个焦点，其两端向外散开的曲线。

3.阿波罗尼斯圆阿波罗尼斯圆，又称为等离子圆，是与椭圆有关的一种曲线（当然，并不仅仅于此）。

具体来说，阿波罗尼斯圆的定义如下：在任意椭圆中，连接任意两点P、Q，并垂直于两点间中点连线的垂线交于定点F，其所构成的圆称作椭圆的阿波罗尼斯圆。

另外，阿波罗尼斯圆还具有以下几个重要性质：1)阿波罗尼斯圆的中心点与椭圆的中心点相同；2)阿波罗尼斯圆的半径为‘c’；3)阿波罗尼斯圆与椭圆的两点公共弦同样平分圆的两点弦。

4.圆锥曲线在几何和物理中的应用圆锥曲线不仅在数学中有重要地位，而且在几何和物理学中也有广泛应用。

1)几何中的应用：圆锥曲线可用于描述各种几何绘图，如建筑设计、平面制图、游戏设计等；2)物理中的应用：圆锥曲线在物理学中也有着广泛的应用。

例如，牛顿的万有引力定律就是建立在双曲线上的。

这个定律指出，两个物体之间的引力与它们的质量成正比例，与它们的距离平方成反比，等于一个常数。

在理论物理学中，尤其是广义相对论中，圆锥曲线的应用更为深入。

5.结尾总之，圆锥曲线是一个具有深厚历史背景和广泛应用的数学领域。

在阐述圆锥曲线历史和应用的过程中，本文也一并介绍了阿波罗尼斯圆的应用及其性质。

因此，在理解圆锥曲线的同时，也应该尝试探究圆锥曲线应用的其他领域。

数学史话阿波罗尼奥斯(Apollonius ，约公元前262-前190)是与欧几里得、阿基米德同一时期的伟大数学家.年轻时曾到亚历山大里亚就学，师从欧几里得的弟子，后来从事教学工作．阿波罗尼奥斯阿波罗尼奥斯是一位有名的天文学家，但他也写过多种数学著作，其中《圆锥曲线论》(Conic Sections)是一部非凡的巨著.因此，获得了“伟大的几何学者”的称号．《圆锥曲线论》一书对几何学的发展产生了深远的影响．《圆锥曲线论》共含8卷，包括了400多个命题，将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地．《圆锥曲线论》阿波罗尼奥斯在《圆锥曲线论》的第一卷中给出了三种圆锥曲线即椭圆，即椭圆(ellipse)，抛物线(pa⁃rabola)和双曲线(hyperbola)，如图1所示，并给出它们的定义.李炅图１64数学史话实际上，阿波罗尼奥斯发展圆锥曲线理论就是从给出这三种圆锥曲线定义开始的.他首先给出圆锥曲面的定义：如果有一点A ，在不含此点的平面α上画一圆，在圆周上取一点P ，连接AP并沿圆周运动形成的曲面叫作圆锥面，如图2.图２阿波罗尼奥斯把A 叫作顶点，把A 与圆心的连线叫圆锥面的轴，圆锥面和圆面围成的立体叫作圆锥．把圆面叫作圆锥的底．如果用含轴的平面截圆锥，可得两个三角形ABC 和AB ′C ′，BC 和B ′C ′是圆锥的底与截面的交线，也可找到一个平面截这个圆锥，使交线DE 垂直于BC ，得到截面和三角形ABC 的交线ZH ，如图3．图3(1)ZH 平行于AC .过曲线DZE 任意一点K ，引直线平行于ED 、交ZH 于G ，线段KG 在平行于底的MKN 面中，切口MKN 是以MN 为直径的圆，如图4．若引ZF ，满足ZF ∶ZA ＝BC 2∶BH ·AC ，K 是曲线DZE 上的点，总有KG 2=FZ ·ZG ，于是，以FZ 、ZG 为边的长方形面积FZ ·ZG 相当于以KG 为边的正方形的面积.把具有这种性质的曲线DZE叫抛物线．这就是门奈赫莫斯的“直角圆锥切线”.图4(2)ZH 不平行于AC .①ZHB ＜∠ACB 时，如图5，取交线ZZ ′，作截面与底的交线DHE ，由于DHE 和BC 相交，过A 引直线平行于ZZ ′，交BC 延长线于一点K ，作ZF 满足AK 2∶BK ∶KC ＝ZZ ′∶ZF ，过曲线任一点G ，过点G 作平行于DHE 的直线交ZZ ′于M ，于是有GM 2＝FZ ·ZM -α成立．(α是正值)这说明以GM 为一边的正方形面积小于以FZ 和ZM 为边的长方形的面积，称为“不足”（ελλεl ψls ,ellipse ），现叫作“椭圆”.这种曲线就是门奈赫莫斯的“锐角圆锥曲线”．图5②∠ZHB ＞∠ACB ，如图6.用平面切以A 为顶点的两圆锥，可得相对二条曲线DZE 和①希腊语是παραβολειν.D ′Z ′E ′，平行于ZZ ′的直线交BC 于K ，作FZ 满足AK 2∶BK ·KC ＝ZZ ′∶FZ ，对于曲线上任意一点G ，有：GM 2＝FZ ·ZM +α(α为正值)成立．这说明以GM 为边长的正方形面积大于以FZ 、ZM 为边的长方形面积．阿波罗尼奥斯将其命名为“过剩的”，即现在的双曲线．65数学史话图6阿波罗尼奥斯能在如上复杂的图形中，寻求各种圆锥曲线的定义，显示出了他的高超才智．第二卷开始部分描述了渐近线的性质，其中指出，由于渐近线是向无限远伸展，所以它们要与曲线越来越靠近，以致它们相隔的距离可以小于任何给定的长度.此外，阿波罗尼奥斯还证明了，由曲线上任一点向固定方向上的渐近线作直线所围成的矩形，其面积是一定的；这相当于笛卡儿术语中应以方程xy =c 来表示的关系.接着是描述求圆锥曲线的直径、抛物线的轴、椭圆与双曲线的轴和中心的方法.最后说明作曲线的切线的各种方法．第三卷含有一些定理，其中有一部分关于面积的定理．例如，若一条圆锥曲线上的任意两点A 和B 处的切线交于C ，并与过B 和A 的直径交于D 和E ，则△CBD 和△ACE 面积相等.还有极点和极轴的调和性质(类似于我们在射影几何初等课本中的习题)以及关于相交弦线段乘积定理．例如，如果平行于两个给定方向的弦AB 和CD 相交于O ，则AO ·OBCO ·OD是一常数，与O 的位置无关.第三卷开头论述了关于切线与直径所成图形的面积的定理，并且还介绍了一些有关轨迹的问题，在本卷最后叙述了二次曲线的著名的焦点性质.但是，在整个著作中，既没有讲到圆锥曲线的焦点——准线的性质，也没有讲到抛物线的焦点，这是难以理解的，因为据帕普斯说，欧几里得已知道这些性质．第四卷主要是讨论关于圆锥曲线相交的定理．还证明了第三卷中的极点和极轴的某些命题的逆命题．第五卷的独到之处在于它论述从一特定点到圆锥曲线所能作的最长和最短的线.阿波罗尼奥斯先从圆锥曲线长轴上或抛物线轴上的特殊点讲起，求出这些点到曲线的最大距离与最小距离.他又证明，若O 是任一圆锥曲线内的任一点，且若OP 是从O 到圆锥曲线的一极小或极大距离，则P 处垂直于OP 的直线是P 处的切线，又若O ′是OP 延长线上在圆锥曲线外面的任一点，则O ′P 是从O ′到圆锥曲线的极小线.切线在切点处的垂线现在叫法线，因此极大和极小线都是法线.阿波罗尼奥斯还研究了任一圆锥曲线的法线性质.例如，在抛物线或椭圆任一点处的法线还与曲线交于另一点.然后他指出怎样从圆锥曲线内部或外部的给定点作该曲线的法线．值得指出的是阿波罗尼奥斯在书中没有把法线看成是垂直于切线的直线，而是看成从曲线的内点或外点所作的到曲线上的极大直线和极小直线．第六卷包括全等圆锥曲线、相似圆锥曲线及圆锥曲线弓形.这个弓形也像圆的弓形那样是由圆锥曲线的弦所割出的一部分面积.还讲述了如何在一个给定的直圆锥上求一个等于给定圆锥曲线的截线．第七卷包含一批涉及共轭直径的定理，例如，关于在一对共轭直径的端点对有心圆锥曲线所作切线形成的平行四边形的面积恒等的定理．第八卷已失传．除了《圆锥曲线论》，阿波罗尼奥斯还著有《论比例截点(或截线，截面)》(On Proportional Section)；《关于相切》(Tangencies)；《论特殊截点(或截线、截面)》(On Dete －rminate Section)；《论确定的截点(或截线、截面)》(OnDeterminate Section)；《关于平面轨迹》(Plane Loci)；《斜向》(Vergings)．66。