高中数学阿波罗尼斯圆与圆锥曲线应用

《　ｏ　辔　嗡瞻鞘　帮　解题技巧与方法　黪　高咿数学圆锥蜥线教学反　在　撩题　咿　庭　探桥　◎赖春葵　（厦门集美中学３６１０２１）　【摘要】在高中数学教学中，圆锥曲线作为平面几何学　习的基础，是非常重要的章节，但是考虑到其中部分内容相　对较难，导致很多学生失去了学习兴趣，甚至产生了畏惧　感．因此，本文针对高中数学圆锥曲线教学进行了具体　分柢．　【关键词】高中数学；圆锥曲线；定义；解题　由于高巾数学当中的圆锥曲线题目具备较强的灵活　性，并且还会将多种知识运用到解题之中，并且也是历年以　来高考数学的压轴题，解答难度较大，并且得分偏低．所以，　作为教师就应该注意到教学的有效性．　～、创设情境。提升圆锥曲线教学趣味　开展圆锥曲线教学我们不难发现，学生很难在学习活　动　中融入网锥曲线的学习过程．如果能够为学生创设良　好的情景，就能够提升学生对于圆锥曲线知识的学习兴趣．　比如，在教学过程中，对于“椭圆曲线的定义”就可以设　置一个简单的探究性活动，创设出情境：事先准备一根细　绳，然后将其两端固定在同一个点上，让学生套上铅笔，将　绳子拉紧，然后移动笔尖，看看移动结束后画出来的是怎样　的轨迹，然后再将细绳的两端在两个不同的点进行固定，将　铅笔套上，将绳子拉紧后移动笔尖，看看移动之后的轨迹．　这样的活动虽然很简单，但是具备一定的可操作性，通过这　样的引人，学生也可以初步地认识到椭圆，同时，对于学习　圆锥曲线的兴趣也有一定的帮助．　二、重视综合能力，努力为学生“减负”　在高考当中，圆锥曲线所涉及的考题基本上都属于综　合类．其中包含了方程、代数、几何等多个方面的知识．所　以，存解决这一一类型问题的时候，就应该让学生尝试着将问　题简单化，将问题细细划分之后，再进行综合性的考虑，这　样的解决问题能够对于学生学习圆锥曲线有很大的帮助　作　．　１．化繁为简　凡事都拥有两面性，就算是复杂的问题也是由多个简　单的问题共同组成的．所以，在较难的问题解决中，就可以　多个角度综合考虑，去发现问题的解决之点，避开“硬碰　硬”．以下，通过实际的案例进行了具体的解答说明．　比如：在椭圆９０。＋１６ｂ　＝１４４上有Ａ，　两点，０为椭网　的中心，求点０到弦ＡＢ的距离．　分析这里，需要掌握Ａ，Ｂ两点的坐标，如果直接求　证，无论是Ａ，Ｂ两点的坐标还是说利用Ａ，Ｂ两点，都会变得　非常复杂．所以，就可以从侧面考虑，避过正面，通过直线　ＯＡ或者是ＯＢ方程与椭圆方程之间联立，就可以将Ａ或者　Ｂ的坐标直接求出来．　２．将陌生变为熟悉　绝大部分学生都会有一种感觉：对于老师已经讲过的　题目，其实自己已经会做了或者是觉得在老师讲解之后，自　己就可以做，但是一旦遇到了新的题目，就会出现手足无措　的感觉．每一个题型，都需要仅仅围绕一个中心点，也就是　所谓的万变不离其宗．所以，在遇到新题型或者是陌生的题　型，首先自己不能够慌，要尝试着将陌生的题型转变成为熟　悉的题型，然后逐步去解决，这样就能够很好地完成老师规　定的任务．　三、渗透数形结合思想，帮助学生完善解题思路　解析几何在几何问题解决中是利用代数的方法，这是　最典型的数形结合．所以，让学生拥有良好的数形结合思　想，就可以妥当地解决圆锥曲线的问题．在平时的教学中，　教师要懂得不断地向学生渗透数形结合的思想，帮助学生　完善几何问题的解析思路．　第一，在解决圆锥曲线问题时，要让学生脑海中时刻有　圆锥曲线图形的浮现，比如：曲线的焦点位置、抛物线开口　的注意等，并且根据焦点位置以及开口的实际方向，就可以　将直线同双曲线抑或是抛物线的位置最终判断出来。同时　在思考巾也可以结合具体的图形，不仅避开了烦琐的运算，　同时也可以快速、准确地作出特殊情况的判断．　第二，在几何问题解题时，最主要的一点内容是动点轨　迹方程的求证．在这一类型的问题解决过程中，就需要利用　曲线、几何等等方面的综合知识，其本质就是将图形化成代　数、将曲线化成方程，以此来了解曲线的性质．在动点轨迹　方程的求证中，最常用的方式有：定义法、几何法、直接法以　及参数法等，但是在轨迹方程求证的步骤中包含了：直角坐　标系的建立，设置出坐标点，将方程式列出，进行化简处理，　再将点的范围确定好，这些都是日常教学中需要注意并且　应该加强训练的地方．　，　比如，已知双曲线Ｇ：２ｘ　一Ｙ　：２与点Ｐ（１，２）．　（１）过点Ｐ作一条直线ｆ，确定ｚ斜率的取值范围，使得　ｃ与ｚ之间分别存在一个、两个以及没有交点．（２）如果存存　ｐ（１，１）。尝试着判断以９为中心点的弦是否存在．　本题命题的目的在于：第一个提问　是为了考查双曲线与直线之间相交的　交点个数，归结于方程组的解答；第二　个问题主要是对圆锥曲线与直线问题　的第二种方法——“差分法”进行处理．　考查知识点：在二次方程根当中对　于根的个数进行判断．两点连线的斜率　公式、中点　标公式．　，　．，Ｊ　ｌ　｝’　图　１　易错分析：在第一个提问当中，容易忽略二次项系数的　讨论；在第二个提问当中，算得Ｑ为中心点的弦的斜率为２，　那么就认定直线是存在的．　方法与技巧：在面对弦长的中点问题的时候，常常是利　用“差分法”设而不求，将弦所在的直线斜率、弦的中点坐标　相互地联系起来，就可以进行相互的转化．　．２　２　延伸练习：双曲线　一告＝１上有一个点Ｐ，Ｆ作为一　ｎ　扫　个焦点，那么将ＰＦ作为直径的圆同　。十ｙ　：ｏ。的位置是　（　）．　Ａ．内切　Ｂ．内切或者外切　数学学习与研究

龙源期刊网

变式教学在高中数学圆锥曲线中的有效教学应用

作者：李海云

来源：《新教育时代·学生版》2018年第48期

摘 要：圆锥曲线是高中数学几何教学的重要内容，同时也是高考的重点内容，不仅是因为圆锥曲线的教学过程中隐藏着丰富的教学方法和思想，更是因为高中数学的圆锥曲线教学是变式教学的表现形式，可以培养学生的知识运用能力和解决实际问题的能力，可以提高教学水平和质量，帮助学生培养学习兴趣和学习能力。

关键词：变式教学 圆锥曲线 教学应用 高中数学

圆锥曲线是高中数学教学的重要内容，也是较为难学的内容之一，掌握圆锥曲线运动变化中的变量和非变量的关系和他们的发展趋势，有助于掌握整个解析过程。在圆锥曲线教学的过程中应用变式教学，可以让学生在学习的过程中学会学习，能够举一反三，培养学生的学习能力和解决问题的能力，也有助于高中数学教学的教学方式的创新和高中生数学成绩的总体提高。

一、高中数学圆锥曲线教学存在的问题

高中数学圆锥曲线部分的知识是非常重要的，但我国高中生在这一方面的学习成绩不是很理想，成绩不理想主要有以下几方面的内容。

1.心理暗示作用

圆锥曲线本身就比较难学，在学习的过程中老师有意无意的暗示，让学生感觉圆锥曲线太难了，自己根本学不会，其次就是学长学姐的经验之谈，也让学生在学习过程中认为圆锥曲线太难学而失去学习的兴趣和信心。

2.没有总结出学习的方法

第一，学生在学习的过程中，感觉到学习的吃力但是因为缺乏经验和学习能力，同时，对于基础知识掌握的不牢靠，基本学习方法的不会运用，对圆锥曲线概念理解的困难等，不能在很短的时间内找到适合的学习方法和自己学习的动力，以至于一步跟不上，步步更不上。

3.教师的专业能力较弱 龙源期刊网

现如今，高中数学的教学难度变大，学生的发展太快，教师在教学过程中随机应变的能力和专业知识学习能力有些跟不上，导致圆锥曲线教学过程中，教师不能帮助学生总结教学方法和提高学习兴趣和能力。

圆锥曲线中的蝴蝶定理及其应用

2003年北京高考数学卷第18（III）题考查了椭圆内的蝴蝶定理的证明，本文给出了一般圆锥曲线的蝴蝶定理的两种形式，并由它们得到圆锥曲线的若干性质.

定理1：在圆锥曲线中，过弦AB中点M任作两条弦CD和EF，直线CE与DF交直线AB于P，Q，则有MQMP.

证明：如图1，以M为原点，AB所在的直线为y轴，建立直角坐标系.

设圆锥曲线的方程为022FEyDxCyBxyAx(*)，设A（0，t），B（0，-t），知t，-t是02FEyCy的两个根，所以0E.

若CD，EF有一条斜率不存在，则P，Q与A，B重合，结论成立.

若CD，EF斜率都存在，设C（x1，k1x1）, D（x2，k1x2），E（x3，k2x3）, F（x4,k2x4），P（0，p），Q（0，q），

111131132)(:xkxxxxxkxkyCE,132131111131132)()0(xxkkxxxkxxxxkxkp,同理242142)(xxkkxxq, 所以)()()]()()[(13244321214321xxxxxxxxxxxxkkqp

将xky1代入(*)得0)()(12211FxEkDxCkBkA,又0E得21121CkBkADxx, 21121CkBkAFxx , 同理 22243CkBkADxx,

22243CkBkAFxx，所以0qp，即MQMP.

注:2003年高考数学北京卷第18（III）题，就是定理1中取圆锥曲线为椭圆，AB为平行长轴的弦的特殊情形.

定理2：在圆锥曲线中，过弦AB端点的切线交于点M，过M的直线l∥AB，过M任作两条弦CD和EF，直线CE与DF交直线l于P，Q，则有MQMP.

证明：如图2，以M为原点，AB所在的直线为y轴，建立直角坐标系. FEMPQDCBAyx图1 设圆锥曲线的方程为022FEyDxCyBxyAx(*)，设A（11,yx），B（21,yx），则切线MA的方程是02211FyExD，切线MB的方程是02221FyExD，得0)(21yyE，所以0E.（下面与定理1的证明相同，略）

龙源期刊网

Matlab软件在高中数学圆锥曲线学习过程中的应用

作者：尹嘉梁

来源：《电子技术与软件工程》2015年第11期

摘 要 高中数学中圆锥曲线中最值和定值（定点）问题、求参数范围问题和存在与对称性问题是学习过程中的难点。为解决这些难点问题，基于Maltab软件在数学分析以及可视化性能方面的优越性，我们尝试将Maltab软件以高中数学中的圆锥曲线为应用背景，应用Maltab软件的相关函数绘制图像，实现数学公式的可视化。

【关键词】Matlab软件 圆锥曲线学习 图像绘制

1 引言

高中数学中圆锥曲线中最值和定值（定点）问题、求参数范围问题和存在与对称性问题是学习过程中的难点。有效解决这些难点一直是高中数学学习过程中的问题。随着计算机技术的飞速发展，计算机辅助教学越来越受到人们的重视。Matlab是一款与数学密切相关的算法软件，具有优越的数值计算与可视化等性能。可以使抽象的数学问题形象化，使抽象的数据、公式可视化，充分展现数据与公式的内在关系，加深对数学问题的理解。

2 Matlab在数学中的应用

椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线。从点的集合（或轨迹）来看，它们都是与定点和定直线的距离之比为常数e的点的集合（或轨迹），这个定点是它们的焦点，定直线是它们的准线，只是由于离散率 的取值范围不同，而分为椭圆、双曲线、抛物线三种曲线。

2.1 椭圆

椭圆的定义为平面内与两定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹，其标准方程如公式（1）所示。

（1）

其中a为椭圆的长半轴长，b为短半轴长，c为半焦距长，椭圆的离心率e为

e=c/a ∈（0，1） （2）

根据不同的离心率e值，如表（1）所示，可以应用Matlab软件绘制出不同的椭圆曲线，如图1所示。 龙源期刊网

龙源期刊网

高中数学圆锥曲线参数方程在解题中的应用

作者：韩斯羽

来源：《课程教育研究》2017年第38期

【摘要】圆锥曲线参数方程是高中数学中的重要内容之一，在帮助解题的同时，有利于培养学生的创新意识。本文首先介绍了圆锥曲线的参数方程内容，然后通过例题探讨了在解题中的应用，最后指出解题注意事项，以供参考。

【关键词】高中数学 圆锥曲线 参数方程 解题

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）38-0145-01

1.圆锥曲线的参数方程内容

2.圆锥曲线参数方程在解题中的应用

2.1 椭圆的参数方程

提高数学解题效率，并不是单纯做大量习题，而是根据自己的学习能力和特点，选择合适的习题，在解题中采用创新思维，能够对题目进行灵活转换，做一道题相当于做多道题。

2.2 抛物线的参数方程

2.3 双曲线的参数方程

高中数学的学习，要求学生培养自主学习能力，在解题中明确自己的不足之处，继而实现学习水平的提高。

3.解题注意事项

第一，参数方程中参数的选择，要求圆锥曲线上任一点的坐标和参数之间具有明显的、简单的关系。如果和运动有关，参数一般选择为时间t；如果和旋转有关，一般选择为角度θ；此外还可以选择直线的斜率、有向线段的长度等。

第二，对于中点弦的问题，常采用点差法，假设曲线上的两点为（x1，y1）、（x2，y2），带入方程后相减，然后利用中点关系和斜率公式，将4个参数消除。

第三，直线和圆锥曲线的位置关系问题，一般是解方程组，将其转化为一元二次方程，利用根与系数的关系、求根公式、判别式等进行处理，解题期间注意数形结合。 龙源期刊网

用心 爱心 专心 圆锥曲线中的蝴蝶定理及其应用

2003年北京高考数学卷第18（III）题考查了椭圆内的蝴蝶定理的证明，本文给出了一般圆锥曲线的蝴蝶定理的两种形式，并由它们得到圆锥曲线的若干性质.

定理1：在圆锥曲线中，过弦AB中点M任作两条弦CD和EF，直线CE与DF交直线AB于P，Q，则有MQMP.

证明：如图1，以M为原点，AB所在的直线为y轴，建立直角坐标系.

设圆锥曲线的方程为022FEyDxCyBxyAx(*)，设A（0，t），B（0，-t），知t，-t是02FEyCy的两个根，所以0E.

若CD，EF有一条斜率不存在，则P，Q与A，B重合，结论成立.

若CD，EF斜率都存在，设C（x1，k1x1）, D（x2，k1x2），E（x3，k2x3）, F（x4,k2x4），P（0，p），Q（0，q），

111131132)(:xkxxxxxkxkyCE,132131111131132)()0(xxkkxxxkxxxxkxkp,同理242142)(xxkkxxq, 所以)()()]()()[(13244321214321xxxxxxxxxxxxkkqp

将xky1代入(*)得0)()(12211FxEkDxCkBkA,又0E得21121CkBkADxx, 21121CkBkAFxx , 同理 22243CkBkADxx,

22243CkBkAFxx，所以0qp，即MQMP.

注:2003年高考数学北京卷第18（III）题，就是定理1中取圆锥曲线为椭圆，AB为平行长轴的弦的特殊情形.

定理2：在圆锥曲线中，过弦AB端点的切线交于点M，过M的直线l∥AB，过M任作两条弦CD和EF，直线CE与DF交直线l于P，Q，则有MQMP.

证明：如图2，以M为原点，AB所在的直线为y轴，建立直角坐标系. FEMPQDCBAyx图1

龙源期刊网

高中数学中圆锥曲线的性质及推广应用

作者：任志新

来源：《散文百家·下旬刊》2019年第01期

摘 要：古希腊亚历山大时期的数学家阿波罗尼奥斯，就利用平面截取一个对顶的圆锥，根据在平面的不同位置，可分别得出双曲线、椭圆和抛物线;当两个底面都与平面相交的时候，在圆锥的侧面就可得到双曲线;当底面和平面都没有相交的时候，在圆锥的侧面得到的就是椭圆，特殊的时候就是与对顶圆锥底面平行的时候得到的就是圆;而当平面与对顶圆锥一个底面相交的时候，在圆锥的侧面得到的就会是抛物线了。圆锥曲线包括椭圆、抛物线、双曲线和圆，通过直角坐标系，又与二次方程对应，所以，圆锥曲线又叫二次曲线。圆锥曲线是几何学研究的重要课题之一，也是中学数学核心内容之一，解决几何题的方法是数形结合。本文在此基础上简单的概括并分析圆锥曲线的性质，对其基本性质进行阐述，并探讨圆锥曲线的推广应用。

关键词：高中数学;圆锥曲线;基本性质;推广應用

圆锥曲线是解析几何的重要内容，其对于几何问题的研究却是利用代数的解题方法。而且，对于高中生来说，圆锥曲线的性质掌握及其推广应用是目前我国高考数学的重点考查内容。从更深层次来讲，加强对于圆锥曲线分类与性质的研究，在一定程度上可以帮助学生打开解题思路、提高解题技巧，同时培养学生以数学思维能力、创新能力为代表的综合能力。因此，为了使学生能够更好地掌握圆锥曲线的性质及其的推广应用，且进一步提高学生的数学学习素质，作为高中数学教师的我们，就要积极探讨圆锥曲线在解析几何下的分类及其性质，注重对学生圆锥曲线性质及其推广应用的教学。

一、高中数学中圆锥曲线的难点

1.理解并掌握圆锥曲线的基本概念、标准方程及其简单的基本性质。

2.熟练掌握圆锥曲线的性质及与直线、圆锥曲线的关系，构建良好的知识网络，提高分析、解决问题的能力。

武断来实行教学ꎬ要以学生为主体进行安排ꎬ教师是教学

的组织者、指导者、合作者ꎬ同时也是领导者和示范者.”

同时指出“教师的示范ꎬ非常重要ꎬ现在几乎忽略不提ꎬ很

遗憾.”示范不是浇灌.教师应当在题意的理解、方法的选

择、技巧的提醒、书写的规范等主要环节做足示范.对于学生

不会的问题ꎬ教师要让学生说出其理解、困惑ꎬ在学生“最近

发展区”上引领示范ꎬ让学生在体验中学习.２.解题方法的“缺失”

案例反映学生对解题方法、变换技能掌握不到位ꎬ无

法根据题意选择合理的解题路径.解题需要见微知著ꎬ能

根据条件引发对问题的整体思考.这需要教学中学生对

概念、结论的准确认知ꎬ对过程切身经历ꎬ但“掐头去尾烧

中间”的教学方式导致学生的学支离破碎ꎬ思维千疮百

孔ꎬ遇到类似问题想不起、做不到ꎬ张冠李戴不足为奇.课

堂必须是开放的:学生要有自主学习、自主思考的时间ꎬ

学生要有合作的机会、交流的平台ꎬ学生要带着问题去探

究ꎬ并且要让学生尝到这一系列活动的成果.让学生知晓

概念的发生发展过程、结论背景及推导方法、体会思想方

法的逻辑关系ꎬ使其知其然知其所以然.解题时才能从直

觉表象走向自觉分析并不断反思优化.章建跃博士认为:“课堂教学中ꎬ如果我们的教学不能打动学生ꎬ学生对我们的讲解无动于衷ꎬ那么他们就不可能有心领神会的心

灵共鸣ꎬ我们讲得再精彩也只能是无功而返.”解题过程

不能把学生想象过高(低)ꎬ要关注学生的多维感受ꎬ顺应

学生的思维ꎬ量力而行.

追溯“缺失”ꎬ崇尚自然.“要以数学地认识问题和解

决问题为核心任务ꎬ以数学知识的发生发展过程和理解

数学知识的心理过程为基本线索ꎬ为学生构建前后一致

逻辑连贯的学习过程ꎬ使他们在掌握数学知识的过程中

学会思考.”

参考文献:

[１]张红ꎬ宁锐.努力诠释中国特色的数学教育理念

以及实践特色[Ｊ].中学数学教学参考:上旬ꎬ２０１３(１/２):３－６ꎬ１４.

[２]章建跃.关注学生的感受最重要[Ｊ].中小学数

学:高中版ꎬ２００９(５).[３]章建跃.构建逻辑连贯的学习过程使学生学会思

圆锥曲线的光学性质及其应用

尹建堂

一、圆锥曲线的光学性质

圆锥曲线的光学性质源于它的切线和法线的性质，因而为正确理解与掌握其光学性质，就要掌握其切线、法线方程的求法及性质。

设P（00y,x）为圆锥曲线0FEyDxCyBxyAx22（A、B、C不同时为零）上一定点，则在该点处的切线方程为：2xxDyCy2xyyxBxAx00000

0F2yyE0。（该方程与已知曲线方程本身相比，得到的规律就是通常所说的“替换法则”，可直接用此法则写出切线方程）。

该方程的推导，原则上用“△法”求出在点P处的切线斜率)y,x(fk00，进而用点斜式写出切线方程)xx)(y,x(fyy0000，则在点P处的法线方程为)y,x(f1yy000

)xx(0。

1、抛物线的切线、法线性质

经过抛物线)0p(px2y2上一点作一条直线平行于抛物线的轴，那么经过这一点的法线平分这条直线和这一点的焦半径的夹角。如图1中21。

事实上，设)y,x(M00为抛物线px2y2上一点，则切线MT的方程可由替换法则，得2xxp2yy00，即)xx(pyy00，斜率为0yp，于是得在点M处的法线方程为

).xx(pyyy000

令0y，得法线与x轴的交点N的坐标为)0,px(0，

所以.2px|2ppx||FN|00

又焦半径,2px|MF|0

所以|FM||FN|，从而得,231即.21

当点M与顶点O重合时，法线为x轴，结论仍成立。

所以过M的法线平分这条直线和这一点的焦半径的夹角。

也可以利用点M处的切线方程求出)0,x(T0，则0x2p|TF|，又,2px|MF|0故321|FM||FT|，从而得.21

也可以利用到角公式来证明.21 抛物线的这个性质的光学意义是：“从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴”。

阿波罗尼斯圆及其应用

在数学的广袤领域中，阿波罗尼斯圆是一个具有独特魅力和重要应用价值的概念。它不仅在理论上丰富了我们对几何图形的理解，还在实际问题的解决中发挥着重要作用。

要理解阿波罗尼斯圆，首先得从它的定义说起。阿波罗尼斯圆是指平面内到两个定点的距离之比为常数（不为 1）的点的轨迹。简单来说，如果有两个固定的点 A 和 B，一个动点 P 到 A 和 B 的距离之比始终是一个定值 k（k 不等于 1），那么点 P 的轨迹就是一个阿波罗尼斯圆。

那么，如何来确定这个圆呢？假设两个定点 A 和 B 的坐标分别为

（x1, y1) 和 （x2, y2)，距离之比为 k，我们可以通过一系列的代数运算来找到这个圆的方程。这其中涉及到距离公式以及一些代数变形，虽然过程可能稍显复杂，但最终得出的结果却能清晰地描述这个圆的特征。

阿波罗尼斯圆有着许多有趣的性质。比如说，圆心一定在线段 AB

的中垂线上。而且，当两个定点之间的距离固定，比值 k 变化时，圆的大小和位置也会相应地改变。

接下来，让我们看看阿波罗尼斯圆在实际中的应用。在物理学中，它可以用来研究带电粒子在电场中的运动轨迹。当电场强度的分布满足一定条件时，粒子的运动轨迹可能就会是一个阿波罗尼斯圆。这为我们分析粒子的运动规律提供了有力的工具。 在工程设计中，阿波罗尼斯圆也能大显身手。例如在道路规划中，如果要设计一条曲线道路，使得车辆从一个固定点出发，到另一个固定点的行驶时间与距离之比保持恒定，就可以利用阿波罗尼斯圆的原理来进行规划。

在数学竞赛和高考中，阿波罗尼斯圆也常常作为考点出现。它可能会隐藏在一些看似复杂的几何问题中，需要我们敏锐地发现并运用其相关知识来求解。例如，给出一些点的位置关系和距离条件，让我们判断某个点是否在特定的阿波罗尼斯圆上，或者求与阿波罗尼斯圆相关的最值问题。

再举一个具体的例子，假设在一个平面直角坐标系中，有两点 A(－3, 0) 和 B(3, 0)，动点 P 满足 ｜PA| ＝ 2|PB|，我们可以通过计算得出点

阿波罗尼斯圆及其应用

数学理论

1.“阿波罗尼斯圆”：在平面上给定两点BA,，设P点在同一平面上且知足,PBPA当0且1时，P点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆。

（1时P点的轨迹是线段AB的中垂线）

2.阿波罗尼斯圆的证明及相关性质

定理：BA,为两已知点，QP,别离为线段AB的定比为)1(的内外分点，那么以PQ为直径的圆O上任意点到BA,两点的距离之比为.

证 （以1为例）

设QBAQPBAPaAB,，那么

1,1,1,1aBQaAQaPBaAP.

由相交弦定理及勾股定理知

,1,1222222222aBCABACaBQPBBC

于是,1,122aACaBC.BCAC

而CQP,,同时在到BA,两点距离之比等于的曲线（圆）上，不共线的三点所确信的圆是唯一的，因此，圆O上任意一点到BA,两点的距离之比恒为.

性质1.当1时，点B在圆O内，点A在圆O外；

当10时，点A在圆O内，点B在圆O外。

性质2.因AQAPAC2，过AC是圆O的一条切线。

假设已知圆O及圆O外一点A，能够作出与之对应的点,B反之亦然。

性质3.所作出的阿波罗尼斯圆的直径为122aPQ，面积为.122a

性质4.过点A作圆O的切线CAC(为切点），那么CQCP,别离为ACB的内、外角平分线。

性质5.过点B作圆O不与CD重合的弦,EF则AB平分.EAF

数学应用

1.（03北京春天）设)0)(0,(),0,(ccBcA为两定点，动点P到点A的距离与到点B的距离之比为定值),0(aa求点P的轨迹.

2.（05江苏）圆1O和圆2O的半径都是1，421OO，过动点P别离作圆1O和圆2O的切线NMPNPM,(,别离为切点），使得PNPM2，试成立适当坐标系，求动点P的轨迹方程.

阿波罗尼斯圆及其应用

在数学的广袤领域中，阿波罗尼斯圆是一个引人入胜且具有重要应用价值的概念。它以古希腊数学家阿波罗尼斯的名字命名，展现了数学的深邃与美妙。

让我们先来了解一下阿波罗尼斯圆的定义。给定平面内两个定点 A、B，平面内一动点 P 满足 PA ／ PB ＝ λ（λ 为非零常数且 λ ≠ 1），则点 P 的轨迹是一个圆，这个圆就被称为阿波罗尼斯圆。

为了更直观地理解阿波罗尼斯圆，我们可以通过一个简单的例子来感受。假设 A、B 两点的坐标分别为 （－2, 0) 和 （2, 0)，λ ＝ 2。设点

P 的坐标为 （x, y)，根据距离公式，PA 的长度为 √（x ＋ 2)＾2 ＋ y^2，PB 的长度为 √（x 2)＾2 ＋ y^2。因为 PA ／ PB ＝ 2，所以 √（x ＋ 2)＾2 ＋ y^2 ／ √（x 2)＾2 ＋ y^2 ＝ 2。对等式两边进行平方并化简，最终可以得到一个圆的方程。

那么，阿波罗尼斯圆有哪些独特的性质呢？首先，圆心一定在线段

AB 的中垂线上。其次，当 λ ＞ 1 时，点 P 的轨迹是一个以线段 AB 靠近 B 点的一侧为优弧的圆；当 0 ＜ λ ＜ 1 时，点 P 的轨迹是一个以线段 AB 靠近 A 点的一侧为优弧的圆。

接下来，让我们探讨一下阿波罗尼斯圆在实际中的应用。在物理学中，阿波罗尼斯圆可以用来分析带电粒子在电场中的运动轨迹。例如，当两个等量同种电荷形成的电场中，一个带电粒子在其中运动，其轨迹可能就符合阿波罗尼斯圆的特征。

在工程设计中，阿波罗尼斯圆也有重要的作用。比如在建筑设计中，要确定一些特定的支撑点位置，使得结构更加稳定，就可以运用阿波罗尼斯圆的原理来进行计算和规划。

在计算机图形学中，阿波罗尼斯圆可以用于生成特定形状的图形。通过对阿波罗尼斯圆的参数进行调整，可以创造出丰富多样的视觉效果。

在数学竞赛和考试中，阿波罗尼斯圆也是一个常见的考点。它常常与三角形、圆的相关知识结合，考察学生对几何图形的理解和运用能力。

科普：圆锥曲线的历史、应用和启示

圆锥曲线的历史、应用和启示

一．圆锥曲线的研究历史

1．圆锥面上的圆锥曲线

公元前4世纪后半期，由于战争，希腊的文化中心从雅典东移到古老埃及的亚历山大城，希腊、埃及两方文化结合，更使希腊人的文学、艺术、哲学、自然科学取得了卓越的成就，关于数学中圆锥曲线的研究也是在这个时期开始。

希腊人最先研究圆锥曲线，据传首先是为了解决当时的几何学与神学提出的所谓“德里问题”或“立方倍积问题”，并在逐步探索认识和解决问题的过程中，发展和深化了对圆锥曲线的了解。

所谓“德里问题”或“立方倍积问题”，是传说很久以前，一次希腊德里群岛中一个名叫杰罗西岛的地方发生了瘟疫。岛上部落问自己的酋长怎样祈祷上帝，才能免除这场灾难。酋长说，要把祭祀上帝的立方体形祭坛重新砌造成一个更大的，要求新砌的祭坛仍是立方体，但体积要为原来祭坛体积的2倍。即原立方体棱长为a，新立方体棱长x，得：， 。问题的实质就是如何根据a求作x 。

不少的古希腊学者研究过这个问题，开始大多是企图通过尺规作图的方法来解决的，也形成了多种方法（这些方法都不是严格意义上的“尺规作图”）。古希腊几何学家、天文学家梅内克缪斯(Menaechmus 前375-前325年)的方法是：用一个平面垂直于顶角分别是锐角、直角和钝角的圆锥的母线，得到三种不同截线，他把这三种截线分别叫做“锐角的”、“直角的”和“钝角的”圆锥截线，即后来的椭圆、抛物线和一支等轴双曲线。那么在“立方倍积问题”中，如何作出x= 这一线段呢？用现在的直角坐标方程的知识可知，它实际是两条抛物线 和两交点中非原点的那个交点的横坐标，而这两条抛物线梅内克缪斯在当时就是从圆锥截线得到。所以梅内克缪斯是系统研究圆锥曲线的第一人，他最早给圆锥曲线以命名，并利用抛物线满意地解决了“立方倍积问题”。

圆锥曲线就这样神奇地仿佛是无中生有地产生在圆锥曲面上。

2．几何学里的圆锥曲线

在公元前3世纪前后，最著名的希腊三大学者欧几里德（Euclid

一、以教材为背景，引出阿波罗尼斯圆

1、定义：

已知点M与两个定点叫,“2距离的比是一个正数机，求点M的轨迹方程，并说明 轨迹是什么图形(考虑机=1和〃 2 ≠ 1两种情形).

分析：当初=1时，表示线段2的垂直平分线.

下面我们只考虑机w 1时的情形

2、引例:已知点P(2,0),Q(8,0),点M与点用距离是它与点磔勺距离的(,用《几何画板》 探求M的轨迹,并给出轨迹方程.

(1)用几何画板进行动画演示

结论1：

(2)回顾求动点轨迹方程的一般步骤：建系、设点、列式、化简

(3)改变些的值进行动画演示.

MQ

结论2：

二、探究新知

1、阿波罗尼斯圆

(1)定义

(2)人物简介

(3)注意事项

三、阿波罗尼斯圆的方程推导

已知点M与两个定点M∣,M?距离的比是一个正数〃?，求点M的轨迹方程，并说明 轨迹是什么图形(m≠l).

四、阿波罗尼斯圆的应用

例1(2008江苏卷13)若AB = 2,AC = √2BC,则SMBC最大值是. X 阿波罗尼斯 及其应用 例2、（2013年江苏高考）在平面直角坐标系Xeytl,点A（0,3）,圆球半径为1,圆心C在直线 /： y=2x-4±,若圆C上存在点使得MA=2MO,求圆心C的横坐标疝勺取值范围.

例3、已知A(-2,0),P为圆U(x + 4y

+

练习:若48 = 2,8。= 1,8 = 3,用为以瓦）为直径的圆上一点,则怨= MC

五、课堂小结

1、一个概念

2、两种思想：方程思想、转化思想 坐标为 V=16上任意一点,若点B满足2∣ PAl = IPM,则5的 、三类问题：轨迹、定点、定值

阿波罗尼斯圆及其应用

在数学的广袤天地中，阿波罗尼斯圆宛如一颗璀璨的明珠，闪耀着独特的光芒。它不仅具有深刻的理论内涵，还在众多实际问题中有着广泛而重要的应用。

要理解阿波罗尼斯圆，首先得从它的定义说起。阿波罗尼斯圆是指平面内到两个定点的距离之比为定值（不为 1）的点的轨迹所形成的圆。简单来说，假如有两个定点 A 和 B，一个动点 P，并且满足 ｜PA|

／ ｜PB| ＝ 定值 k（k ≠ 1），那么点 P 的轨迹就是一个圆。

这个圆有着一些有趣的性质。比如说，圆心在线段 AB 的中垂线上；而且，当两个定点之间的距离固定，以及比值 k 确定时，这个圆的大小和位置也就唯一确定了。

那么，阿波罗尼斯圆在实际中有哪些应用呢？让我们一起来看看。

在几何问题中，阿波罗尼斯圆常常能帮助我们巧妙地解决一些难题。比如，在三角形中，如果已知某两条边的长度以及它们的比值，要求第三边的取值范围，这时就可以通过构建阿波罗尼斯圆来找到答案。

在物理学中，阿波罗尼斯圆也有它的身影。例如，在研究两个点电荷之间的电场分布时，如果电荷的电荷量之比为定值，那么等势线的形状就类似于阿波罗尼斯圆。 在工程领域，阿波罗尼斯圆同样发挥着重要作用。在建筑设计中，当需要确定一些特定的位置关系，以保证结构的稳定性和美观性时，阿波罗尼斯圆的知识能够提供有效的解决方案。

在数学竞赛中，阿波罗尼斯圆更是屡见不鲜。很多看似复杂的竞赛题目，一旦引入阿波罗尼斯圆的概念，往往就能迎刃而解。

接下来，通过一个具体的例子来感受一下阿波罗尼斯圆的魅力。

假设在平面直角坐标系中，有两个定点 A(0, 0)和 B(4, 0)，动点 P 满足 ｜PA| ／ ｜PB| ＝ 1/2，求点 P 的轨迹方程。

首先，设点 P 的坐标为 （x, y)。则 ｜PA| ＝ √（x² ＋ y²)，｜PB| ＝

√（x 4)² ＋ y²。

因为 ｜PA| ／ ｜PB| ＝ 1/2，所以 √（x² ＋ y²) ／ √（x 4)² ＋ y² ＝

阿波罗尼斯圆及其应用

在数学的广袤天地中，阿波罗尼斯圆宛如一颗璀璨的明珠，散发着独特的魅力。它不仅是一个具有深刻理论内涵的几何图形，更在实际应用中展现出了强大的威力。

要理解阿波罗尼斯圆，首先得从它的定义说起。阿波罗尼斯圆是指平面内到两个定点的距离之比为定值（这个定值不为 1）的点的轨迹所形成的圆。假设两个定点分别为 A、B，点 P 满足\（＼frac{PA}｛PB}

＝ k\）（＼（k\neq 1\）），那么点 P 的轨迹就是一个阿波罗尼斯圆。

让我们通过一个具体的例子来感受一下阿波罗尼斯圆的形成过程。假设点 A 的坐标为\（（－1, 0)＼），点 B 的坐标为\（（1, 0)＼），且\（k ＝ 2\）。那么，我们可以设点 P 的坐标为\（（x, y)＼）。根据两点间的距离公式，＼（PA ＝ ＼sqrt{（x ＋ 1)＾2 ＋ y^2}＼），＼（PB

＝ ＼sqrt{（x 1)＾2 ＋ y^2}＼）。因为\（＼frac{PA}｛PB} ＝ 2\），所以\（＼frac{＼sqrt{（x ＋ 1)＾2 ＋ y^2}｝｛＼sqrt{（x 1)＾2 ＋ y^2}｝

＝ 2\），两边平方并化简可得\（（x ＼frac{5}｛3}）＾2 ＋ y^2 ＝ ＼frac{16}｛9}＼），这就是一个以\（（＼frac{5}｛3}， 0)＼）为圆心，以\（＼frac{4}｛3}＼）为半径的圆。

阿波罗尼斯圆具有许多有趣的性质。比如，圆心在线段 AB 的中垂线上；当两个定点之间的距离固定时，比值\（k\）越大，圆的半径就越大；而且过两个定点的直线与阿波罗尼斯圆相交，交点到两个定点的距离之和等于圆的直径等等。 那么，阿波罗尼斯圆在实际中有哪些应用呢？

在物理学中，它可以用来研究带电粒子在电场中的运动轨迹。当电场强度的分布满足一定条件时，带电粒子的运动轨迹可能会形成阿波罗尼斯圆。这有助于我们更好地理解和预测带电粒子的运动行为。