2022新教材高中数学课时检测22简单幂函数的图象和性质含解析北师大版必修第一册

4.2 简单幂函数的图象和性质A级必备知识基础练1.函数y=3xα-2的图象过定点()A.(1,1)B.(-1,1)C.(1,-1)D.(-1,-1)2.在下列幂函数中,既是奇函数又在区间(0,+∞)上单调递增的是()A.f(x)=x-1B.f(x)=x-2C.f(x)=x3D.f(x)=x 1 23.(多选题)下列说法错误的是()A.幂函数的图象不经过第四象限B.y=x0的图象是一条直线C.若函数y=1x 的定义域为{x|x>2},则它的值域为y y<12D.若函数y=x2的值域是{y|0≤y≤4},则它的定义域一定是{x|-2≤x≤2}4.当x∈(1,+∞)时,函数y=xα的图象恒在直线y=x的下方,则α的取值范围是()A.(0,1)B.(-∞,0)C.(-∞,1)D.(1,+∞)5.幂函数y=x m与y=x n在第一象限内的图象如图所示,则()A.-1<n<0<m<1B.n<-1,0<m<1C.-1<n<0,m>1D.n<-1,m>16.若(a+1)13<(3-2a)13,则a的取值范围是.7.已知幂函数f(x)=x m2-2m-3(m∈Z)的图象关于y轴对称,并且f(x)在第一象限内是单调递减函数,则m= .8.已知函数y=(a2-3a+2)x a2-5a+5(a为常数).(1)当a为何值时,此函数为幂函数?(2)当a为何值时,此函数为正比例函数?(3)当a为何值时,此函数为反比例函数?B 级关键能力提升练9.(多选题)已知函数f (x )=x α的图象经过点(4,2),则下列结论正确的有( ) A.函数f (x )为增函数 B.函数f (x )为偶函数 C.若x>1,则f (x )>1 D.若0<x 1<x 2,则f(x 1)+f(x 2)2<fx 1+x 2210.已知函数f (x )=(m 2-m-1)x m2+m -3是幂函数,对任意x 1,x 2∈(0,+∞),且x 1≠x 2,满足f(x 1)-f(x 2)x 1-x 2>0,若a ,b ∈R ,且a+b>0,ab<0,则f (a )+f (b )的值( )A.恒大于0B.恒小于0C.等于0D.无法判断11.已知幂函数f (x )=mx n的图象过点(√2,2√2),设a=f (m ),b=f (n ),c=f (-2),则( ) A.c<b<a B.c<a<b C.b<c<aD.a<b<c12.(多选题)已知实数a ,b 满足等式a 12=b 13,则下列关系式可能成立的是( ) A.0<b<a<1 B.-1<a<b<0 C.1<a<bD.a=b13.已知幂函数f (x )=(m-1)2x m 2-4m+2在区间(0,+∞)上单调递增,函数g (x )=2x-k.(1)求实数m 的值;(2)当x ∈(1,2]时,记ƒ(x ),g (x )的值域分别为集合A ,B ,若A ∪B=A ,求实数k 的取值范围.14.已知幂函数f(x)=(2m2-6m+5)x m+1为偶函数.(1)求函数f(x)的解析式;(2)若函数y=f(x)-2(a-1)x+1在区间(2,3)上为单调函数,求实数a的取值范围.C级学科素养创新练15.已知幂函数f(x)=x(2-k)(1+k),k∈Z,且f(x)在区间(0,+∞)上单调递增.(1)求实数k的值,并写出相应的函数f(x)的解析式.(2)若函数F(x)=2f(x)-4x+3在区间[2a,a+1]上不单调,求实数a的取值范围.],若存在, (3)试判断是否存在正数q,使函数g(x)=1-qf(x)+(2q-1)x在区间[-1,2]上的值域为[-4,178求出q的值;若不存在,请说明理由.4.2 简单幂函数的图象和性质1.A2.C3.BCD 对于A,由幂函数的图象知,它不经过第四象限,所以A 对;对于B,因为当x=0时,x 0无意义,即在x=0无定义,所以B 错;对于C,函数y=1x 的定义域为{x|x>2},则它的值域为y 0<y<12,不是y y<12,所以C 错;对于D,定义域不一定是{x|-2≤x ≤2},如{x|0≤x ≤2},所以D 错.故选BCD .4.C 由幂函数的图象特征知α<1.5.B 由于y=x m在区间(0,+∞)上单调递增,且为上凸函数,故0<m<1.由于y=x n在区间(0,+∞)上单调递减,且在直线x=1的右侧时,y=x n的图象在y=x -1的图象的下方,故n<-1.故选B . 6.(-∞,23) 因为函数f (x )=x 13的定义域为R ,且为增函数,所以a+1<3-2a ,解得a<23. 7.1 因为幂函数f (x )=x m2-2m -3(m ∈Z )的图象关于y 轴对称,所以函数f (x )是偶函数,所以m 2-2m-3为偶数.又因为f (x )在第一象限内单调递减,所以m 2-2m-3<0,即-1<m<3,又m ∈Z ,所以m=1. 8.解(1)由题意知a 2-3a+2=1,即a 2-3a+1=0, 解得a=3±√52. (2)由题意知{a 2-5a +5=1,a 2-3a +2≠0,解得a=4.(3)由题意知{a 2-5a +5=-1,a 2-3a +2≠0,解得a=3.9.ACD 因为函数f (x )=x α的图象经过点(4,2), 所以α=12.所以f (x )=x 12.显然f (x )在定义域[0,+∞)上为增函数,所以A 正确;f (x )的定义域为[0,+∞),所以f (x )不具有奇偶性,所以B 不正确;当x>1时,√x >1,即f (x )>1,所以C 正确; 当0<x 1<x 2时,f(x 1)+f(x 2)22-[f(x 1+x 22)]2=√x 1+√x 222-(√x 1+x 22)2=x 1+x 2+2√x 1x 24−x 1+x 22=2√x 1x 2-x 1-x 24=-(√x 1-√x 2)24<0. 即f(x 1)+f(x 2)2<fx 1+x 22成立,所以D 正确.10.A 由已知函数f (x )=(m 2-m-1)x m2+m -3是幂函数,可得m 2-m-1=1,解得m=2或m=-1,当m=2时,f (x )=x 3,当m=-1时,f (x )=x -3,对任意的x 1,x 2∈(0,+∞),且x 1≠x 2,满足f(x 1)-f(x 2)x 1-x 2>0,函数f (x )单调递增,所以m=2,此时f (x )=x 3.又a+b>0,ab<0,可知a ,b 异号,且正数的绝对值大于负数的绝对值,则f (a )+f (b )恒大于0,故选A .11.B 幂函数f (x )=mx n的图象过点(√2,2√2),则{m =1,(√2)n =2√2⇒{m =1,n =3,所以幂函数的解析式为f (x )=x 3,且函数f (x )单调递增.又-2<1<3,所以f (-2)<f (1)<f (3),即c<a<b ,故选B .12.ACD 画出函数y=x 12与y=x 13的图象如图所示,设a 12=b 13=m ,作直线y=m. 从图象知,若m=0或m=1,则a=b ; 若0<m<1,则0<b<a<1; 若m>1,则1<a<b. 故其中可能成立的是ACD .13.解(1)依题意得(m-1)2=1.∴m=0或m=2.当m=2时,f (x )=x -2在区间(0,+∞)上单调递减,与题设矛盾,舍去.当m=0时,f (x )=x 2,符合题设,故m=0.(2)由(1)可知f (x )=x 2,当x ∈(1,2]时,函数f (x )和g (x )均单调递增.∴集合A=(1,4],B=(2-k ,4-k ]. ∵A ∪B=A ,∴B ⊆A.∴{2-k ≥1,4-k ≤4.∴0≤k ≤1.∴实数k 的取值范围是[0,1].14.解(1)由f (x )为幂函数知2m 2-6m+5=1,即m 2-3m+2=0,得m=1或m=2,当m=1时,f (x )=x 2是偶函数,符合题意;当m=2时,f (x )=x 3为奇函数,不符合题意,舍去. 故f (x )=x 2.(2)由(1)可知y=x 2-2(a-1)x+1, 函数y 的对称轴为直线x=a-1,由题意知函数y 在区间(2,3)上为单调函数, ∴a-1≤2或a-1≥3,解得a ≤3或a ≥4. ∴a 的取值范围为(-∞,3]∪[4,+∞). 15.解(1)由题意知(2-k )(1+k )>0,解得-1<k<2. 又k ∈Z ,∴k=0或k=1,分别代入原函数,得f (x )=x 2.(2)由已知得F (x )=2x 2-4x+3,对称轴为直线x=1.要使函数F (x )在区间[2a ,a+1]上不单调,则2a<1<a+1,则0<a<12.即实数a 的取值范围是(0,12).(3)由已知,g (x )=-qx 2+(2q-1)x+1. 假设存在这样的正数q 符合题意,则函数g (x )的图象是开口向下的抛物线,其对称轴为直线x=2q -12q=1-12q <1,因而,函数g (x )在区间[-1,2]上的最小值只能在x=-1或x=2处取得, 又g (2)=-1≠-4,从而g (-1)=2-3q=-4,解得q=2.此时,g (x )=-2x 2+3x+1,其图象的对称轴为直线x=34∈[-1,2],∴g (x )在区间[-1,2]上的最大值为g (34)=-2×(34)2+3×34+1=178,符合题意. ∴存在q=2,使函数g (x )=1-qf (x )+(2q-1)x 在区间[-1,2]上的值域为[-4,178].。

3.3 幂函数新课标要求通过具体实例，结合231,,,,y x y y x y x y x x=====的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数。

知识梳理一、幂函数的概念一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数． 二、五个幂函数的图象与性质1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y ＝x ；(2)y ＝12x ；(3)y ＝x 2；(4)y ＝x －1；(5)y ＝x 3的图象如图．2．五个幂函数的性质y ＝x y ＝x 2 y ＝x 3 12y x =y ＝x －1 定义域 R R R [0，＋∞) {x |x ≠0} 值域 R [0，＋∞)R [0，＋∞) {y |y ≠0} 奇偶性 奇 偶奇 非奇非偶 奇单调性 增在[0，＋∞) 上增， 在(－∞，0] 上减增增在(0，＋∞)上减， 在(－∞，0)上减三、一般幂函数的图象特征1．所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)．2．当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸．3．当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．4．幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y ＝x 对称．5．在第一象限，作直线x ＝a (a >1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．名师导学知识点1 幂函数的概念幂函数的判断及应用(1)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y ＝x α(α为常数)的形式，需满足：①指数为常数，②底数为自变量，③x α的系数为1.形如y ＝(3x )α，y ＝2x α，y ＝x α＋5…形式的函数都不是幂函数．(2)若一个函数为幂函数，则该函数也必具有y ＝x α(α为常数)这一形式． 【例1-1】在函数y ＝1x 2，y ＝2x 2，y ＝x 2＋x ，y ＝1中，幂函数的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 B解析 ∵y ＝1x 2＝x －2，∴是幂函数；y ＝2x 2由于出现系数2，因此不是幂函数；y ＝x 2＋x 是两项和的形式，不是幂函数；y ＝1＝x 0(x ≠0)，可以看出，常函数y ＝1的图象比幂函数y ＝x 0的图象多了一个点(0,1)，所以常函数y ＝1不是幂函数． 【例1-2】已知y ＝(m 2＋2m －2)22m x-＋2n －3是幂函数，求m ，n 的值．解 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －2＝1，2n －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－3，n ＝32或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝32.所以m ＝－3或1，n ＝32.【变式训练1-1】给出下列函数:①y=x 3;②y=x 2+2x ;③y=4x 2;④y=x 5+1;⑤y=(x-1)2;⑥y=x ;⑦y=x -2.其中幂函数的个数为 ( ) A .1 B .2 C .3D .4C [解析] 由幂函数的定义知,只有①⑥⑦是幂函数,故选C .【变式训练1-2】已知幂函数y=(m 2-m-1),求此幂函数的解析式,并指出其定义域.解:∵y=(m 2-m-1)为幂函数,∴m 2-m-1=1,解得m=2或m=-1.当m=2时,m 2-2m-3=-3,则y=x -3(x ≠0);当m=-1时,m 2-2m-3=0,则y=x 0(x ≠0).故所求幂函数的解析式为y=x -3(x ≠0)或y=x 0(x ≠0).知识点2 幂函数的图象及应用(1)幂函数图象的画法①确定幂函数在第一象限内的图象：先根据α的取值，确定幂函数y ＝x α在第一象限内的图象．②确定幂函数在其他象限内的图象：根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数f (x )在其他象限内的图象．(2)解决与幂函数有关的综合性问题的方法首先要考虑幂函数的概念，对于幂函数y ＝x α(α是常数)，由于α的取值不同，所以相应幂函数的单调性和奇偶性也不同．同时，注意分类讨论思想的应用．【例2-1】若点(2，2)在幂函数f (x )的图象上，点⎝⎛⎭⎫－2，14在幂函数g (x )的图象上，问当x 为何值时，(1)f (x )>g (x )；(2)f (x )＝g (x )；(3)f (x )<g (x )．解 设f (x )＝x α，因为点(2，2)在幂函数f (x )的图象上，所以将点(2，2)代入f (x )＝x α中，得2＝(2)α，解得α＝2，则f (x )＝x 2.同理可求得g (x )＝x －2. 在同一坐标系中作出函数f (x )＝x 2和g (x )＝x－2的图象(如图所示)，观察图象可得，(1)当x >1或x <－1时，f (x )>g (x )； (2)当x ＝1或x ＝－1时，f (x )＝g (x )； (3)当－1<x <1且x ≠0时，f (x )<g (x )．【变式训练2-1】如图所示，图中的曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限的图象，已知n 取±2，±12四个值，则相应于C 1，C 2，C 3，C 4的n 依次为( )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－12答案 B解析 根据幂函数y ＝x n 的性质，在第一象限内的图象当n >0时，n 越大，y ＝x n 递增速度越快，故C 1的n ＝2，C 2的n ＝12；当n <0时，|n |越大，曲线越陡峭，所以曲线C 3的n ＝－12，曲线C 4的n ＝－2.知识点3 幂函数的性质比较幂值大小的方法(1)若两个幂值的指数相同或可化为两个指数相同的幂值时，则可构造函数，利用幂函数的单调性比较大小．(2)若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”． 【例2-1】[2021·安徽亳州二中高一期中] 已知函数f (x )=(m 2-m-1)是幂函数,且在(0,+∞)上单调递减,则实数m= ( )A .2B .-1C .4D .2或-1A 【解析】因为f (x )为幂函数,所以m 2-m-1=1,解得m=2或m=-1.因为f (x )在(0,+∞)上单调递减,所以m 2-2m-2<0,所以m=2.故选A .【例2-2】比较下列各组数中两个数的大小： (1)⎝⎛⎭⎫250.5与⎝⎛⎭⎫130.5； (2)⎝⎛⎭⎫－23－1与⎝⎛⎭⎫－35－1； (3)3432⎛⎫⎪⎝⎭与3234⎛⎫⎪⎝⎭. 解 (1)∵幂函数y ＝x 0.5在(0，＋∞)上是单调递增的， 又25>13，∴⎝⎛⎭⎫250.5>⎝⎛⎭⎫130.5. (2)∵幂函数y ＝x－1在(－∞，0)上是单调递减的，又－23<－35，∴⎝⎛⎭⎫－23－1>⎝⎛⎭⎫－35－1. (3)∵函数y 1＝34x 在(0，＋∞)上单调递增， 又32>1，∴3432⎛⎫⎪⎝⎭>341 ＝1. 又∵函数y 2＝32x 在(0，＋∞)上单调递增，且34<1，∴3234⎛⎫⎪⎝⎭<321 ＝1，∴3432⎛⎫ ⎪⎝⎭>3234⎛⎫⎪⎝⎭. 【变式训练2-1】比较下列各组数的大小： (1)⎝⎛⎭⎫230.3与⎝⎛⎭⎫130.3；(2)－3.143与－π3.解 (1)∵y ＝x 0.3在[0，＋∞)上单调递增且23>13，∴⎝⎛⎭⎫230.3>⎝⎛⎭⎫130.3.(2)∵y ＝x 3是R 上的增函数，且3.14<π， ∴3.143<π3，∴－3.143>－π3.【变式训练2-2】已知幂函数y ＝x 3m －9(m ∈N *)的图象关于y 轴对称且在(0，＋∞)上单调递减，求满足()31ma -+ <()332m a -- 的a 的取值范围．解 因为函数在(0，＋∞)上单调递减，所以3m －9<0， 解得m <3.又因为m ∈N *，所以m ＝1,2. 因为函数的图象关于y 轴对称， 所以3m －9为偶数，故m ＝1. 则原不等式可化为()131a -+<()1332a --.因为y ＝13x- 在(－∞，0)，(0，＋∞)上均单调递减，所以a ＋1>3－2a >0或3－2a <a ＋1<0或a ＋1<0<3－2a ， 解得23<a <32或a <－1.故a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪a <－1或23<a <32.名师导练A 组-[应知应会]1．已知点,在幂函数y=f (x )的图像上,则 ( ) A .f (x )= B .f (x )=x 3 C .f (x )=x -2D .f (x )=xB [解析] 设f (x )=x a ,由题意知a==3,所以a=3,所以f (x )=x 3.故选B .2．（2021秋•三明期末）已知幂函数21()m f x x -=的图象经过点(2,8)，则实数m 的值是() A ．1-B ．12C ．2D ．3【分析】把点的坐标代入幂函数解析式，即可求出m 的值． 【解答】解：幂函数21()m f x x -=的图象经过点(2,8)， 2128m -∴=，2m ∴=，故选：C ．3．（2021秋•下城区校级期末）若一个幂函数的图象经过点1(2,)4，则它的单调增区间( )A ．(,1)-∞B ．(0,)+∞C ．(,0)-∞D ．R【分析】先求出幂函数的解析式，再得出其单调增区间． 【解答】解：设幂函数()f x x α=，函数()f x 经过点1(2,)4，∴124α=，解得2α=-， ∴221()f x x x -==， 故它的单调递增区间为(,0)-∞． 故选：C ．4．（2021秋•杨浦区校级期末）已知常数a Q ∈，如图为幂函数a y x =的图象，则a 的值可以为( )A ．23B ．32 C ．23-D ．32-【分析】根据幂函数的图象关于y 轴对称，且在第一象限内单调递减，可以得出C 选项正确． 【解答】解：根据幂函数a y x =的图象关于y 轴对称，函数是偶函数，排除B 、D 选项； 再根据幂函数a y x =的图象在第一象限内从左到右下降，是单调减函数， 所以0a <，排除A ，即C 选项正确． 故选：C ．5．已知幂函数y=(m 2-2m-2)在(0,+∞)上单调递增,则实数m 的值为 ( )A .-1B .3C .-1或3D .1或-3B [解析] 因为幂函数y=(m 2-2m-2)在(0,+∞)上单调递增,所以m 2-2m-2=1且m 2+m-1>0,解得m=3,则实数m 的值为3.6．（2021秋•白山期末）若函数21()(22)m f x m m x -=--是幂函数，且()y f x =在(0,)+∞上单调递增，则f （2）(= ) A ．14B ．12C ．2D ．4【分析】根据幂函数的定义，令2221m m --=，求出m 的值，再判断m 是否满足幂函数在(0,)x ∈+∞上为增函数即可，确定m 的值，从而求出幂函数的解析式，得出结果．【解答】解：因为函数21()(22)m f x m m x -=--是幂函数， 所以2221m m --=，解得1m =-或3m =．又因为()y f x =在(0,)+∞上单调递增，所以10m -， 所以3m =，2()f x x =， 从而f （2）224==， 故选：D ．7．（2020秋•河南月考）幂函数223()mm y x m Z +-=∈的图象如图所示，则m 的值为( )A ．2-或0B ．1-C ．0D ．2-【分析】依题意，2m =-或1-或0，结合函数为奇函数，依次验证即可得到答案．【解答】解：由幂函数在第一象限的单调性可得，2230m m +-<，解得31m -<<， 再由m Z ∈可得，2m =-或1-或0． 又从图象可知该函数是奇函数，若2m =-，则2233m m +-=-，符合题意； 若1m =-，则2234m m +-=-，不合题意； 若0m =，则2233m m +-=-，符合题意， 综上，2m =-或0． 故选：A ．8．（2022春•沈河区校级月考）设113244342(),(),()433a b c ===，则a ，b ，c 的大小顺序是( )A ．c a b <<B ．c b a <<C ．a c b <<D ．b c a <<【分析】先判断1b >，再化a 、c ，利用幂函数的性质判断a 、c 的大小． 【解答】解：112439()()1416a ==<，144()13b =>，314428()()1327c ==<；且89012716<<<，函数14y x =在(0,)+∞上是单调增函数，所以114489()()2716<，所以c a <； 综上知，c a b <<． 故选：A ．9．(多选题)已知幂函数f (x )= (m ,n ∈N *,m ,n 互质),则下列关于f (x )的结论正确的是( )A .当m ,n 是奇数时,幂函数f (x )是奇函数B .当m 是偶数,n 是奇数时,幂函数f (x )是偶函数C .当0<<1时,幂函数f (x )在(0,+∞)上单调递减D .当m ,n 是奇数时,幂函数f (x )的定义域为R ABD [解析] f (x )==.当m ,n 是奇数时,幂函数f (x )是奇函数,故A 中的结论正确;当m 是偶数,n 是奇数时,幂函数f (x )是偶函数,故B 中的结论正确;当0<<1时,幂函数f (x )在(0,+∞)上单调递增,故C 中的结论错误;当m ,n 是奇数时,幂函数f (x )=的定义域为R,故D 中的结论正确.故选ABD .10．（多选）（2021秋•徐州期末）下列关于幂函数y x α=的性质，描述正确的有( ) A ．当1α=-时函数在其定义域上是减函数B ．当0α=时函数图象是一条直线C ．当2α=时函数是偶函数D ．当3α=时函数有一个零点0【分析】根据幂函数的图象与性质，判断选项中的命题是否正确即可．【解答】解：对于A ，1α=-时幂函数1y x -=在(,0)-∞和(0,)+∞是减函数，在其定义域上不是减函数，A 错误；对于B ，0α=时幂函数01(0)y x x ==≠，其图象是一条直线，去掉点(0,1)，B 错误； 对于C ，2α=时幂函数2y x =在定义域R 上是偶函数，C 正确；对于D ，3α=时幂函数3y x =在R 上的奇函数，且是增函数，有唯一零点是0，D 正确． 故选：CD ．11．（2019秋•金山区校级期末）幂函数()y f x =的图象经过点1(4,)2，则1()16f 的值为 ．【分析】利用待定系数法求出幂函数()y f x =的解析式，再计算1()16f 的值．【解答】解：设幂函数()y f x x α==，R α∈；其图象过点1(4,)2，所以142α=，解得12α=-；所以12()f x x -=，所以112211()()1641616f -===．故答案为：4．12．[2021·厦门外国语学校高一期中] 已知幂函数f (x )=(m 2-5m+7)x m-1为偶函数,则实数m 的值为 .3 [解析] ∵f (x )为幂函数,∴m 2-5m+7=1,解得m=2或m=3.当m=2时,f (x )=x 为奇函数,不满足题意;当m=3时,f (x )=x 2为偶函数,满足题意.综上所述,m=3.13．（2021秋•湖州期末）幂函数()()f x x R αα=∈的图象经过点(2,8)，则α的值为 ；函数()f x 为 函数．（填“奇”或“偶” )【分析】先求出幂函数解析式，再判断奇偶性即可． 【解答】解：幂函数()()f x x R αα=∈的图象经过点(2,8)， 28α∴=，3α∴=，3()f x x ∴=，定义域为R ，又33()()()f x x x f x -=-=-=-，()f x ∴是奇函数，故答案为：3，奇．14．（2020春•嘉陵区月考）若幂函数22(22)m y m m x -=--在(0,)x ∈+∞上为减函数，则实数m 的值是【分析】根据给出的函数为幂函数，由幂函数概念知2221m m --=，再根据函数在(0,)+∞上为减函数，得到幂指数应该小于0，求得的m 值应满足以上两条．【解答】解：因为函数22(22)m y m m x -=--既是幂函数又是(0,)+∞的减函数， 所以222120m m m ⎧--=⎨-<⎩⇒312m m m ==-⎧⎨<⎩或，解得：1m =-． 故答案为：1-．15．（2021秋•道里区校级月考）当01x <<时， 1.1()f x x =，0.9()g x x =，2()h x x -=的大小关系是 ．【分析】画出这三个函数在区间(0,1)上的图象可得答案． 【解答】解：画出幂函数的图象如下图可知()()()f x g x h x <<故答案为()()()f x g x h x <<16．（2021•西湖区校级模拟）已知函数223()(2,)n n f x x n k k N -++==∈的图象在[0，)+∞上单调递增则n = ，f （2）= ．【分析】根据幂函数的单调性，列出不等式求出n 的值，写出()f x 的解析式，再计算f （2）的值．【解答】解：函数223()n n f x x -++=的图象在[0，)+∞上单调递增，所以2230n n -++>， 即2230n n --<，解得13n -<<；又2n k =，且k N ∈，所以0n =，2，当0n =时，3()f x x =；当0n =时，3()f x x =；所以f （2）328==．故答案为：0，2；8．17．[2021·浙江宁波高一期中] 已知幂函数f (x )的图像过点P 8,.(1)求函数f (x )的解析式;(2)画出函数f (x )的图像,并指出其单调区间.解:(1)设f (x )=x α. ∵f (x )的图像过点P 8,,∴8α=,即23α=2-1,解得α=-,故函数f (x )的解析式为f (x )=(x ≠0). (2)作出函数f (x )的图像如图所示.由图可知,函数f (x )的单调递减区间为(-∞,0),(0,+∞),无单调递增区间.18．[2021·广州六中高一期中] 已知幂函数f (x )的图像过点(2,).(1)求出函数f (x )的解析式,判断并证明f (x )在[0,+∞)上的单调性;(2)若函数g (x )是R 上的偶函数,当x ≥0时,g (x )=f (x ),求满足g (1-m )≤的实数m 的取值范围. 解:(1)设f (x )=x α,将点(2,)的坐标代入,得=2α,解得α=, 所以f (x )=.幂函数f (x )==在[0,+∞)上单调递增.证明:任取x 1,x 2∈[0,+∞),且x 1<x 2,则f (x 1)-f (x 2)=-==, 因为x 1-x 2<0,+>0,所以f (x 1)<f (x 2), 故幂函数f (x )=在[0,+∞)上单调递增.(2)当x ≥0时,g (x )=f (x ),而幂函数f (x )=在[0,+∞)上单调递增, 所以当x ≥0时,g (x )单调递增.因为函数g (x )是R 上的偶函数,所以g (x )在(-∞,0)上单调递减. 由g (5)=,g (1-m )≤可得|1-m|≤5,解得-4≤m ≤6,所以满足g (1-m )≤的实数m 的取值范围为[-4,6]. B 组-[素养提升]1．已知幂函数y ＝223m m x-- (m ∈Z )的图象与x 轴和y 轴没有交点，且关于y 轴对称，则m 等于( )A ．1B ．0,2C ．－1,1,3D ．0,1,2答案 C解析 ∵幂函数y ＝223m m x -- (m ∈Z )的图象与x 轴、y 轴没有交点，且关于y 轴对称， ∴m 2－2m －3≤0，且m 2－2m －3(m ∈Z )为偶数，由m 2－2m －3≤0，得－1≤m ≤3，又m ∈Z ，∴m ＝－1,0,1,2,3.当m ＝－1时，m 2－2m －3＝1＋2－3＝0，为偶数，符合题意；当m ＝0时，m 2－2m －3＝－3，为奇数，不符合题意；当m ＝1时，m 2－2m －3＝1－2－3＝－4，为偶数，符合题意；当m ＝2时，m 2－2m －3＝4－4－3＝－3，为奇数，不符合题意；当m ＝3时，m 2－2m －3＝9－6－3＝0，为偶数，符合题意．综上所述，m ＝－1,1,3.2．（2022春•凯里市校级期中）已知一次函数()f x 的图象过点(0,1)-和(2,1)，()(1)m g x m x =-为幂函数．（Ⅰ）求函数()f x 与()g x 的解析式；（Ⅱ）当a R ∈时，解关于x 的不等式：()()af x g x <．【分析】（1）利用待定系数法求出解析式即可；（2）分0a <或4a >，0a =，4a =，04a <<四种情况讨论即可．【解答】解：()I 根据一次函数()f x 的图象过点(0,1)-和(2,1)，设()f x kx b =+，则112b k b -=⎧⎨=+⎩，解得11k b =⎧⎨=-⎩，则()1f x x =- ()(1)m g x m x =-为幂函数，则2m =，故2()g x x =()()()II af x g x <即2(1)a x x -<，则△24(4)a a a a =-=-当0a <或4a >时，不等式的解集为24{|}a a a x x --或24{|}a a a x x +->， 当0a =时，不等式的解集为{|0}x x ≠；当4a =时，不等式的解集为{|2}x x ≠当04a <<时，不等式的解集为R ．。

§5简单的幂函数知识点一幂函数性质与图像[填一填]1．幂函数如果一个函数，底数是自变量x，指数是常数α，即y＝xα，这样的函数称为幂函数．2．幂函数性质与图像所有的幂函数在(0，＋∞)上有定义，并且图像都过点(1,1)，如果α>0，则幂函数的图像还过(0,0)，并在区间[0，＋∞)上递增；如果α<0，则幂函数在区间(0，＋∞)上递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图像与y轴无限接近；当x趋向于＋∞时，图像与x轴无限接近．[答一答]1．幂函数y＝xα的图像在第一象限内有何特征？提示：幂函数y＝xα的图像在第一象限内具有如下特征：直线x＝1，y＝1，y＝x将直角坐标平面在第一象限的直线x＝1的右侧分为三个区域(Ⅰ)、(Ⅱ)、(Ⅲ)如图：则α∈(1，＋∞)⇔y＝xα的图像经过区域(Ⅰ) ，如y＝x2；α∈(0,1)⇔y＝xα的图像经过区域(Ⅱ)，如y＝x；α∈(－∞，0)⇔y＝xα的图像经过区域(Ⅲ)，如y＝1x.并且在直线x＝1的右侧，从x轴起，幂函数y＝xα的指数α由小到大递增，即“指大图高”、“指小图低”，在直线x＝1的左侧，图像从下到上，相应的指数由大变小．知识点二奇函数与偶函数[填一填]3．奇函数与偶函数(1)一般地，图像关于原点对称的函数叫作奇函数．在奇函数f(x)中，f(x)与f(－x)绝对值相等，符号相反，即f(－x)＝－f(x)；反之，满足f(－x)＝－f(x)的函数y＝f(x)一定是奇函数．(2)一般地，图像关于y轴对称的函数叫作偶函数．在偶函数f(x)中，f(x)与f(－x)的值相等，即f(－x)＝f(x)；反之，满足f(－x)＝f(x)的函数y＝f(x)一定是偶函数．(3)当函数f(x)是奇函数或偶函数时，称函数f(x)具有奇偶性．[答一答]2．(1)若奇函数y＝f(x)在x＝0处有定义，则f(0)的值是否唯一确定？提示：若奇函数y＝f(x)在x＝0处有定义，由f(0)＝－f(0)可知，f(0)＝0，故f(0)的值是唯一确定的，即一定有f(0)＝0.(2)偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反，最值相反吗？奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，最值相同吗？提示：偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反，最值相同；奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，最值不同．1．幂函数图像的分布特点和规律幂函数在第一象限内的图像，在经过点(1,1)且平行于y轴的直线的右侧，按幂指数由小到大的关系幂函数的图像从下到上的分布．2．幂函数y＝xα(α∈R)的图像和性质(1)当α>0时，图像过点(1,1)，(0,0)且在第一象限随x的增大而上升，函数在区间[0，＋∞)上是单调增函数．(2)当α<0时，幂函数y＝xα图像的基本特征：过点(1,1)，且在第一象限随x的增大而下降，函数在区间(0，＋∞)上是单调减函数，且向右无限接近x轴，向上无限接近y轴．(3)当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时，幂函数为偶函数．3．奇、偶函数图像对称性的缘由若函数f(x)是奇函数，对函数f(x)图像上任一点M(x，f(x))，则点M关于原点的对称点为M′(－x，－f(x))．又f(－x)＝－f(x)，则有M′(－x，f(－x))，所以点M′也在函数f(x)的图像上，所以奇函数的图像关于原点对称．同理可证偶函数的图像关于y轴对称．4．奇、偶函数图像的几点说明(1)一个函数为偶函数，其图像一定关于y轴对称，但是却不一定与y轴相交．(2)既是奇函数又是偶函数的函数图像在x轴上．如y＝0，x∈[－1,1]既是奇函数又是偶函数．(3)从图像上看：函数的奇偶性体现的是对称性，单调性体现的是升降性．(4)根据以上奇、偶函数图像对称性的特点可以解决已知奇、偶函数在某区间的部分图像，画出其关于原点或y轴对称的另一部分的图像问题.类型一幂函数的概念【例1】已知函数y＝(m2－m－5)x m＋1是幂函数，求m的值，并写出函数解析式．【思路探究】幂函数的解析式形如y＝xα(α∈R)，幂值前面的系数为1，底数为x，α∈R为常数．【解】∵y＝(m2－m－5)x m＋1为幂函数，∴y可以写成y＝xα(α为常数)的形式，∴m2－m－5＝1，解得m＝3或m＝－2.当m＝3时，m＋1＝4，此时y＝x4；当m＝－2时，m＋1＝－1，此时y＝x－1.规律方法判断一个函数是否为幂函数，依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式．幂函数的解析式为一个幂的形式，且满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.反过来，若一个函数为幂函数，则该函数也必具有上述形式，这是我们解决某些问题的一个隐含条件．(1)以下四个函数：y ＝x 0；y ＝x －2；y ＝(x ＋1)2；y ＝2·x 13 中，是幂函数的有( B ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：形如y ＝x α(α为常数)的函数为幂函数，所以只有y ＝x 0，y ＝x －2为幂函数． (2)f (x )＝(m 2－m －1)x m 2－2m －1是幂函数，则实数m ＝2或－1.解析：f (x )＝(m 2－m －1)x m 2－2m －1是幂函数，所以m 2－m －1＝1，解得m ＝－1或2. 类型二 幂函数的性质【例2】 幂函数y ＝x α中α的取值集合C 是{－1,0，12，1,2,3}的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合C 为( )A ．{－1,0，12}B ．{12，1,2}C ．{－1，12，1,3}D ．{12，1,2,3}【思路探究】 根据常见的幂函数的图像与性质进行逐一判断．【解析】 根据幂函数y ＝x －1，y ＝x 0，y ＝x 12，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3的图像和解析式可知，当α＝－1，12，1,3时，相应幂函数的值域与定义域相同．【答案】 C规律方法 1.画幂函数的图像时，可先画出其在第一象限内的图像，再由定义域、单调性、奇偶性得出在其他象限内的图像．2．幂函数图像的特征：(1)在第一象限内，直线x ＝1的右侧，y ＝x α的图像由上到下，指数α由大变小；在第一象限内，直线x ＝1的左侧，y ＝x α的图像由上到下，指数α由小变大．(2)当α>0时，幂函数的图像都经过(0,0)和(1,1)点，在第一象限内，当0<α≤1时，曲线上凸；当α≥1时，曲线下凸；当α<0时，幂函数的图像都经过(1,1)点，在第一象限内，曲线下凸．如图，图中曲线是幂函数y ＝x α在第一象限的大致图像．已知α取－2，－12，12，2四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的α的值依次为( B )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－12解析：解法1：在第一象限内，在直线x ＝1的右侧，y ＝x α的图像由上到下，指数α由大变小，故选B.解法2：赋值法．令x ＝4，则4－2＝116，4－12＝12，412＝2,42＝16，易知选B.类型三 幂函数性质的应用【思路探究】 注意分情况讨论要做到不重不漏．先根据条件确定m 的值，再利用幂函数的增减性求实数a 的取值范围．【解】 因为函数在(0，＋∞)上递减， 所以m 2－2m －3<0，解得－1<m <3. 又因为m ∈N ＋，所以m ＝1或2，由函数图像关于y 轴对称知，m 2－2m －3为偶数，所以m ＝1.把m ＝1代入不等式得(a ＋1)－ 13<(3－2a )－ 13.因为y ＝x － 13在(－∞，0)和(0，＋∞)上均递减，所以有a ＋1>3－2a >0或0>a ＋1>3－2a 或a ＋1<0<3－2a ，解得23<a <32或a <－1.即a 的取值范围是(－∞，－1)∪(23，32)．规律方法 作直线x ＝m (m >1)，它与若干个幂函数的图像相交，交点从上到下的排列顺序正是幂指数的降序排列，故可利用其比较指数α的大小．(1)已知(0.71.3)m <(1.30.7)m ，则m 的取值范围是m >0.解析：根据幂函数y ＝x 1.3的图像，当0<x <1时，0<y <1，所以0<0.71.3<1，又根据幂函数y ＝x 0.7的图像，当x >1时y >1，所以1.30.7>1，于是有0.71.3<1.30.7，又(0.71.3)m <(1.30.7)m ，所以m >0. (2)已知幂函数y ＝f (x )的图像过点(2，22)，试求出此函数的解析式，并作出图像，判断奇偶性、单调性．解：设幂函数解析式为y ＝x α，将点(2，22)的坐标代入，得2α＝22，解得α＝－12，所以函数的解析式y ＝x － 12.定义域为(0，＋∞)，它不关于原点对称，所以，y ＝f (x )是非奇非偶函数．当x >0时，f (x )是单调减函数，函数的图像如图．下面用定义证明y ＝x － 12 ＝1x 在(0，＋∞)上为减函数：设x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2，则Δx ＝x 2－x 1>0， Δy ＝y 2－y 1＝1x 2－1x 1＝x 1－x 2x 1x 2＝(x 1－x 2)x 1x 2(x 1＋x 2)＝－Δxx 1x 2(x 1＋x 2)<0，所以y ＝x － 12 ＝1x 在(0，＋∞)上为减函数．类型四 函数奇偶性的判断 【例4】 判断下列函数的奇偶性． (1)f (x )＝x 4＋3x 2； (2)f (x )＝x －1x ；(3)f (x )＝0，x ∈(－1,1]； (4)f (x )＝－2x ＋1.【思路探究】 先确定函数的定义域是否关于原点对称，再看f (－x )与f (x )之间的关系． 【解】 (1)函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称． ∵f (－x )＝(－x )4＋3(－x )2＝x 4＋3x 2＝f (x )， ∴函数f (x )为偶函数．(2)函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称． ∵f (－x )＝－x －1－x ＝－⎝⎛⎭⎫x －1x ＝－f (x )， ∴函数f (x )为奇函数．(3)函数f (x )的定义域为(－1,1]，不关于原点对称，故函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数． (4)函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称． ∵f (－x )＝－2(－x )＋1＝2x ＋1≠±f (x )， ∴函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数． 规律方法 1.用定义判断函数奇偶性的步骤是：2．在客观题中，多个函数有公共定义域时也可以利用如下性质判断函数的奇偶性： (1)偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数； (2)奇函数的和、差仍为奇函数；(3)两个奇函数的积为偶函数，两个奇函数的商(分母不为零)也为偶函数； (4)一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝x 3＋1x 3；(2)f (x )＝x － 53； (3)f (x )＝x 4＋1x 2＋1；(4)f (x )＝2－x ＋x －2.解：(1)函数f (x )＝x 3＋1x 3的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．又∵f (－x )＝－x 3＋1－x 3＝－⎝⎛⎭⎫x 3＋1x 3＝－f (x )， ∴函数f (x )＝x 3＋1x3是奇函数．(2)函数f (x )＝x － 53的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． 又∵f (－x )＝(－x ) － 53＝13(－x )5＝－13x 5＝－x － 53＝－f (x )，∴函数f (x )＝x － 53是奇函数．(3)函数f (x )＝x 4＋1x 2＋1的定义域是R ，关于原点对称．又∵f (－x )＝(－x )4＋1(－x )2＋1＝x 4＋1x 2＋1＝f (x )，∴函数f (x )＝x 4＋1x 2＋1是偶函数．(4)函数f (x )＝2－x ＋x －2的定义域为{2}，不关于原点对称，∴该函数既不是奇函数也不是偶函数．类型五 利用函数奇偶性求函数的解析式【例5】 若f (x )是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝x (1－x )，求当x ≥0时，函数f (x )的解析式．【思路探究】 解决本题的关键是利用奇函数的关系式f (－x )＝－f (x )将x <0时f (x )的解析式转化到x >0上．同时要注意f (0)＝0.【解】 ∵f (x )是奇函数，∴当x >0时，f (x )＝－f (－x )＝－{(－x )[1－(－x )]}＝x (1＋x )， 当x ＝0时，f (0)＝－f (0)，即f (0)＝0.∴当x ≥0时，f (x )＝x (1＋x )．规律方法 1.解答本题时，很容易遗漏x ＝0的情况，在区间转化时要细心．2．利用函数的奇偶性求解函数的解析式，主要利用函数奇偶性的定义．求解一般分以下三个步骤：(1)设所求函数解析式中所给的区间上任一个x ，即求哪个区间上的解析式，就设x 在哪个区间上．(2)把所求区间内的变量转化到已知区间内．(3)利用函数奇偶性的定义f (x )＝－f (－x )或f (x )＝f (－x )求解所求区间内的解析式．(1)已知f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 为偶函数，其定义域为[a －1,2a ]，则a ＝13，b ＝0.解析：因为f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且定义域为[a －1,2a ]，所以a －1＋2a ＝0，a ＝13，所以f (－x )＝f (x )恒成立．所以－bx ＝bx ，所以b ＝0. (2)函数f (x )为R 上的奇函数，且当x <0时，f (x )＝x (x －1)，则当x >0时，f (x )＝－x (x ＋1)．解析：当x >0时，－x <0，所以f (－x )＝－x (－x －1)＝x (x ＋1)， 又因为f (x )为R 上的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，所以－f (x )＝x (x ＋1)， 所以f (x )＝－x (x ＋1)．——易错误区—— 函数奇偶性判断中的误区【例6】 以下说法中：(1)函数f (x )＝5x 2，x ∈(－3,3]是偶函数．(2)f (x )＝x 3＋1x 是奇函数．(3)函数f (x )＝|x －2|是偶函数．(4)函数f (x )＝0，x ∈[－2,2]既是奇函数，又是偶函数．正确的有( )A ．(1)(2)B ．(1)(4)C ．(2)(4)D ．(3)(4)【错解】 选B 或选D【正解】 C 对于(1)，函数f (x )＝5x 2，x ∈(－3,3]的定义域不关于原点对称①，故该函数是非奇非偶函数，故(1)错误．对于(2)，函数f(x)＝x3＋1的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且能满足f(－x)＝－f(x)，x所以是奇函数，故(2)正确．对于(3)，函数f(x)＝|x－2|是由f(x)＝|x|的图像向右平移了两个单位得到的②，图像不关于y轴对称，所以(3)错误．对于(4)，函数f(x)＝0，x∈[－2,2]图像既关于原点对称又关于y轴对称，所以(4)正确，因此正确的只有(2)(4)．【错因分析】 1.忽视了①处函数的定义域x∈(－3,3]不关于原点对称，出现只是根据f(－x)＝f(x)而判定为偶函数的错误；2．忽视了②处函数f(x)＝|x－2|的图像不关于y轴对称，出现只看到绝对值，就认为是偶函数的错误．【防范措施】 1.定义域优先的原则由奇偶函数的定义，“对于函数定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)”可知，具有奇偶性的函数的定义域必是关于原点对称．如本例中(1)函数f(x)＝5x2，x∈(－3,3]的定义域不关于原点对称，所以不具有奇偶性．2．注意图像的变换一些常用的图像平移、变换要牢记，如本例中函数f(x)＝|x－2|，就是要根据y＝|x|的图像特征来平移得到，因为函数y＝|x|的图像关于y轴对称，而向右平移2个单位后图像就不再关于y轴对称，故可得结论．函数f(x)＝|x－2|－|x＋1|是(C)A．偶函数B．奇函数C．非奇非偶函数D．既奇又偶函数解析：f(x)＝|x－2|－|x＋1|当x≥2时，f(x)＝x－2－x－1＝－3，当x≤－1时，f(x)＝2－x＋x＋1＝3，当－1<x<2时，f(x)＝2－x－x－1＝1－2x.画出图像如图．由图知f(x)为非奇非偶函数．一、选择题1．下列所给函数中，是幂函数的是(C)A．y＝－x3B．y＝3xC．y＝x 12D．y＝x2－1解析：幂函数的形式为y＝xα，只有C符合．2．幂函数y＝xα(α∈R)的图像一定不经过(A)A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限解析：∵α∈R，x>0，∴y＝xα>0，∴图像不可能经过第四象限，故选A.3．已知函数f(x)是奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2＋2x，则当x<0时，f(x)＝(D) A．x2＋2x B．x2－2xC．－x2－2x D．－x2＋2x解析：令x<0，则－x>0，∴f(－x)＝(－x)2＋2(－x)＝x2－2x，又∵f(x)为奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝－(x2－2x)＝－x2＋2x.二、填空题4．已知幂函数f (x )的图像经过点(2，2)，则f (4)＝2. 解析：设f (x )＝x α，∴α＝12，∴f (4)＝4 12 ＝2.5．已知函数f (x )＝a (x ＋1)－2|x |＋1的图像关于原点对称，则实数a ＝2.解析：由题意可知f (x )为奇函数，且奇函数f (x )＝a (x ＋1)－2|x |＋1在x ＝0处有意义，∴f (0)＝0，∴a －21＝0，∴a ＝2. 三、解答题6．已知f (x )＝(m 2－2m －2)x m －1是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增．(1)求m 的值；(2)求函数g (x )＝f (x )－2ax ＋1在区间[2,3]上的最小值h (a )． 解：(1)∵f (x )＝(m 2－2m －2)x m －1是幂函数， ∴m 2－2m －2＝1，解得m ＝3或m ＝－1；又f (x )在(0，＋∞)上单调递增，∴m －1>0，∴m 的值为3.(2)函数g (x )＝f (x )－2ax ＋1＝x 2－2ax ＋1＝(x －a )2＋1－a 2，当a <2时，g (x )在区间[2,3]上单调递增，最小值为h (a )＝g (2)＝5－4a ；当2≤a ≤3时，g (x )在区间[2,3]上先减后增，最小值为h (a )＝g (a )＝1－a 2； 当a >3时，g (x )在区间[2,3]上单调递减，最小值为h (a )＝g (3)＝10－6a .。

2020-2021学年新教材数学北师大版必修第一册教师用书：第2章§4 4.2简单幂函数的图象和性质含解析4.2简单幂函数的图象和性质学习目标核心素养1。

了解幂函数的概念．(重点）2．掌握y＝x，y＝x2,y＝x3，y＝错误!，y＝x错误!的图象与性质．(重点)3．掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数有关问题．（重点、难点)1.借助幂函数的图象的学习，培养直观想象素养．2．通过幂函数的性质的学习，培养逻辑推理素养．1．幂函数的概念形如y＝xα(α为常数)的函数，即底数是自变量、指数是常数的函数称为幂函数．思考：y＝1错误!是幂函数吗？提示:是．因为它可写成y＝x0错误!的形式．2．幂函数的图象如图在同一坐标系内作出函数(1)y＝x；（2）y＝x错误!；(3）y ＝x2;（4）y＝x－1；(5）y＝x3的图象．3．幂函数的性质(1）所有的幂函数在（0,＋∞)上都有定义，并且图象都过点（1,1）;（2)α〉0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间［0，＋∞）上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸;当0<α〈1时，幂函数的图象上凸；（3)α〈0时，幂函数的图象在区间（0,＋∞)上是减函数．1．已知幂函数f错误!＝kxα的图象过点错误!，则k＋α等于(）A．错误!B．1C．错误!D．2C[由幂函数的定义知k＝1.又f错误!＝错误!，所以错误!错误!＝错误!，解得α＝错误!，从而k＋α＝错误!。

]2．函数y＝x错误!的图象是（）A B C DB[当0<x〈1时，x错误!>x；当x〉1时，x错误!<x，故选B。

］3．已知幂函数f(x)＝（t3－t＋1)x错误!(t∈Z)是偶函数，且在(0，＋∞)上是增加的,则函数的解析式为________．f（x）＝x2［∵f(x)是幂函数,∴t3－t＋1＝1，解得t＝－1或t＝0或t＝1.当t＝0时,f(x）＝x错误!是非奇非偶函数，不满足题意；当t＝1时，f（x）＝x－2是偶函数，但在(0，＋∞）上是减少的，不满足题意；当t＝－1时，f(x)＝x2，满足题意．综上所述,实数t的值为－1，所求解析式为f(x)＝x2.］4．已知函数f(x）＝（2m－3)x m＋1是幂函数．(1）求m的值；（2)判断f(x）的奇偶性．[解］(1）因为f(x)是幂函数，所以2m－3＝1,即m＝2。