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1.2.4 子空间的直和与补子空间
定义 设 V1 ,V2 是线性空间 V 的两个子空间，若其和 V1 V2 中 每个向量的分解式
1 2
1 V1 , 2 V2
是唯一的，则称 V1 V2 为直和，记作 V1 V2
定理 V1 V2 是直和的充分与必要条件是 V1 V2 0 证明 必要性 V1 V2 ， V1 且 V2 ，而 0 V1 V2 ，
基，则
定理
设 V1 ,V2 是线性空间 V 的任意两个子空间，则
V1 = span { 1 , 2 ,, r , 1 , 2 ,, n1 r }
所以
V2 = span { 1 , 2 ,, r , 1 , 2 ,, n2 r }
V1 V2 span { 1 , 2 ,, r , 1 , 2 ,, n1 r , 1 , 2 ,, n2 r }
以上运算可以推广到 n 个子空间 V1 ,V2 ,,Vn ．
例 5 设 V1 ,V2 分别为齐次线性方程组 Ax 0 ， Bx 0 的解空间， 则V1 V2 为
Ax 0 Bx 0
的解空间. 例 6 设 1 1,2,1,0， 2 1,1,1,1，1 2,1,0,1 ， 2 1,1,3,7 ，
P[ x]r 1 构成 P[ x]n 的一个 r 维子空间，并且
P[ x]r 1 span 1, x, x2 ,, xr 1 ．
0,0, xk 1 , xk 2 ,, xn
例 3
n 在 R 中，前 k 个分量 的全体构成一个 n k 维子空
1.2 线性子空间
1.2.1 子空间的概念 定义 设W是线性空间V的一个非空子集合，如果W对
于V中所定义的加法和数乘两种运算也构成一个线性空间，
则称W是V的线性子空间 . 根据上述定义，要验证线性空间V的非空子集合W是V的
子空间，需验证W对于V中运算封闭且满足运算规律（3）、
(4)即可．因为运算规律（1）、（2）、（5）、（6）、 （7）、（8）显然是成立的，而由线性空间的性质可知，只
也是 V 的子空间，称这个子空间为 V1 与 V2 的和． 如果线性空间 V1 与 V2 分别由 1 , 2 ,, s 与 1 , 2 ,, t 所生成，
那么
V1 V2 span 1,2 ,, s + span1, 2 ,, t span 1,2 ,, s , 1, 2 ,, t
要W对于V中运算封闭，运算规律（3）、(4)也就自然满足，
故有下面定理 .
定理
线性空间V的非空子集W构成V的子空间的充分
必要条件是： W对于V中的线性运算封闭． 根据上述定理，设V是线性空间，0为V的零元素，那么
W={0}就是V的一个子空间． 当然V也是V的子空间．
例 1 设 1 , 2 ,, s 是线性空间 V 中一组向量， 不难看出这 组向量所有可能的线性组合所成集合
i 1
b j j ai i span 1 , 2 ,, s
j 1 i 1
t
s
所以
span 1 , 2 ,, s = span 1 , 2 ,, t
定理
1 , 2 ,, s 的秩．
定理
r
线性空间 V = span
n
设 V 是 n 维线性空间 V 的一个 r 维子空间， r n 是 V 的 一 个 基 ， 则 V 中 存 在 nr 个 向 量
dimV1 V2 dim V1 + dim V2 - dim(V1 V2 ) 证明 设 dim V1 n1 ， dim V2 n2 ， dim(V1 V2 ) r ，取 交空间 V1 V2 的一个基为 1 , 2 ,, r ，将其扩充为 V1 与 V2 的一个
组， 所以
向量组 1 , 2 , 1 , 2 的秩为 3，并且 1 , 2 , 1 为其一个极大线性无关
1, 2 , 1 即 V1 V2 = span
（2) 再求交． 对V1 V2 而言，对于任意的 V1 V2 ，有
a1 , a2 , b1 , b2 P ，使 a11 a2 2 b1 1 b2 2 即 a11 a2 2 b1 1 b2 2 0
若向量组 1 , 2 ,, s 与 1 , 2 ,, t 等价， 则对于任意的 1 , 2 ,, s ， span
t j 1
均有 ai i b j j span 1 , 2 ,, t
同理， 对于任意的 span 1 , 2 ,, t ，均有
2 2
故 0 即 h11 h2 2 hr r k1 1 k 2 2 k n1 r n1 r =0
p1 p2 pr l1 l2 ln2 r 0
又因为 1 , 2 ,, r ,
1 , 2 ,, n r 也线性无关，所以
因为 V1 V2 是 V 的子空间，所以
n
dimV1 V2 dim V n n
故
dim(V1 V2 ) = dim V1 + dim V2 - dimV1 V2 n dimV1 V2 0
所以 dim(V1 V2 ) 0 ，即 V1 V2 为非零子空间，必含有非零向量
所 以 V1 V2 中 的 任 意 元 素 均 可 由
表 示 ， 即 dim(V1 V2 ) 1 ， 5,2,3,4 是V1 V2 的一个基，即V1 V2 = span
1.2.3 子空间的维数与基
定理
i span 1 , 2 ,, t ， j span 1 , 2 ,, s ， 即向量组 1 , 2 ,, s 与 1 , 2 ,, t 可以互相线性表示，所以这两个向量
T
间，如果记 i ，则上述子空 0,,0, 1 ,0,,0 （ i 1,2,, n ） 间为 s p a n k 1, k 2 ,, n ．
例 4
(i )
n 元齐次线性方程组 Ax 0 的全体解向量构成 R n 的一
个子空间，我们称这个子空间为该方程组的解空间，其基是该方程 组的基础解系，维数为 n r ，其中 r 为系数矩阵的秩．
所以
a1,2a1, a1,0 a2 , a2 , a2 , a2 2b1, b1,0, b1 b2 , b2 3b2 ,7b2 0,0,0,0
a1 a 2 2b1 b2 0 2a a b b 0 1 2 1 2 即 3b2 0 a1 a 2 a 2 b1 7b2 0 T 其基础解系为 1,4,3,1 1 4 2 31 2 5,2,3,4
再令
则有
l1 1 l2 2 ln r n r
2 2
所以 V1 且 V2 从而 V1 V2
p11 p2 2 pr r , l1 1 l 2 2 l n r n r 即 p11 p2 2 pr r l1 1 l 2 2 ln2 r n2 r 0 又因为 1 , 2 ,, r , 1 , 2 ,, n2 r 线性无关，所以
1,2 与 V2 span1, 2 的和与交的维数以及它们的 求 V1 span 基． 解 （1) 先求和． 因为 1, 2 span1, 2 span 1, 2 , 1, 2 V1 V2 = span
dim V1 V2 3 ， 并且 V1 V2 的一个基为{ 1 , 2 , 1 }
推论 并且
若 V1 ,V2 是线性空间 V 的两个子空间， dim V n ，
n n
dim V1 + dim V2 n ， 则必存在 0 ，且 V1 V2 n 证明 因为 V1 ,V2 是 V 的子空间，所以 dimV1 V2 dim V1 + dim V2 - dim(V1 V2 ) ， 即 dim(V1 V2 ) = dim V1 + dim V2 - dimV1 V2 又因为 dim V1 + dim V2 n ，所以 dim V1 + dim V2 - dimV1 V2 n dimV1 V2
组等价． 充分性
s
充分且必要条件为 1 , 2 ,, s 与 1 , 2 ,, t 等价． 证 明 必 要 性 若 span 1 , 2 ,, s = span 1 , 2 ,, t ， 则
两个向量组 1 , 2 ,, s 与 1 , 2 ,, t 生成的子空间相同的
1.2.2 子空间的交与和 定理 设 V1 ,V2 是线性空间 V 的子空间， 用V1 V2 表示 V1 与 V2 中公共元素的集合， 则V1 V2 也是 V 的子空间， 称这个子空间为 V1
与 V2 的交． 定理 设 V1 ,V2 是线性空间 V 的子空间，则
V1 V2 1 2 1 V1 , 2 V2
{k11 k2 2 k s | ki R(i 1,2,, s)}
是非空的，而且对线性运算封闭，从而构成 V 的一个子空间，称 为由 1 , 2 ,, s 生成的子空间，记为 span(1,2 ,, s ) ．
例 2
在 P[ x]n 中所有次数不大于 r 1r n 的多项式的全体
以下证明这组生成元线性无关，令 h11 h2 2 hr r k1 1 k 2 2 k n1 r n1 r
l1 1 l2 2 ln2 r n2 r 0
