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第5节 线性子空间的基与维数

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线性空间的基与维数

线性空间的基与维数

2,
a
3,
a
T
4)
线性空间 V的任一元素在不同的基下所对的
坐标一般不同，一个元素在一个基下对应的坐标是
唯一的．
例２ 所有二阶实矩阵组成的集合V，对于矩阵 的加法和数量乘法，构成实数域 R上的一个线性
空间．对于V中的矩阵
E
11
1 0
0 0
,
E
12
0 0
1 , 0
0 0
0 0
E
21
1
0
,
E
22
( x1, x2 , , xn )T
结论
１．数域 P上任意两个n 维线性空间都同
构２．．同构的线性空间之间具有反身性、对称性
与传递性．
３．同维数的线性空间必同构．
同构的意义
在线性空间的抽象讨论中，无论构成线性空间 的元素是什么，其中的运算是如何定义的，我们所 关心的只是这些运算的代数性质．从这个意义上可 以说，同构的线性空间是可以不加区别的，而有限 维线性空间唯一本质的特征就是它的维数．
( 2)
V中任一元素总可由1,2 ,
,
线
n
性
表示,
那末, 1,2 , ,n 就称为线性空间V 的一个
基, n 称为线性空间V 的维数.
维数为n的线性空间称为n 维线性空间,记作Vn . 当一个线性空间 V 中存在任意多个线性无关
的向量时，就称 V 是无限维的．
若1 ,2 , ,n为Vn的一个基,则Vn可表示为
一、线性空间的基与维数
已知：在 Rn中，线性无关的向量组最多由 n 个向量组成，而任意 n 1个向量都是线性相关的．
问题：线性空间的一个重要特征——在线性空 间V 中，最多能有多少线性无关的向量？

第五节 线性子空间

第五节 线性子空间
§6.5 线性子空间
二、线性子空间的判定
线性空间一个非空子集要满足什么条件才能成 为线性子空间?
设 W 是 V 的子集合. 因为 V 是线性空间. 所 以对于原有的运算， W 中的向量满足线性空间定 义的八条规则中的 1) , 2) , 5) , 6) , 7) , 8) . 为了使W 自身构成一线性空间，主要的条件是要求W 对于V 中原来运算的封闭性，以及规则 3) 与 4)成立. 即
线上.
§6.5 线性子空间
z
k P2(kx1,ky1,kz1) P1(x1,y1,z1 )
o
y
x y 4 .5 线性子空间
例 7 证明集合 W = { (0 , x2 , x3 , … , xn ) | x2 , x3 , … , xn R } 是 Rn 的子空间，并求它的一个基，确定它的维
证毕
§6.5 线性子空间
定理 3 设 W 是数域 P 上 n 维线性空间 V 的
一个 m 维子空间，1 , 2 , … , m 是 W 的一个基 ,
那么这组向量必定可扩充为整个空间的基. 也就是
说在 V 中必定可以找到 n - m 个向量m +1 , m + 2 , …, n ，使得 1 , 2 , … , n 是 V 的基 .
可以扩充为整个空间的基. 根据归纳法原理，定理得证.
证毕
例 8 在 P 4 中，求向量组 1 , 2 , 3 , 4 生
成的子空间的基与维数.
1 (1,1,0,1) , 2 (0,1,2,4) , 3 (2,1,2,2) , 4 (0,1,1,1) .
§6.5 线性子空间
L(1 , 2 , … , m , m +1 )

线性空间的基与维数

线性空间的基与维数

线性空间的基与维数线性空间是线性代数中的重要概念，它是由一组元素构成的集合，这些元素之间满足线性运算的性质。

在线性空间中，基与维数是两个重要的概念。

一、线性空间的基线性空间的基是指线性空间中的一组线性无关的元素，通过这组元素可以表示整个线性空间中的任意元素。

换言之，线性空间中的每个元素都可以唯一地由基中的元素线性组合而成。

线性空间的基具有以下特性：1. 基中的元素线性无关，即任意一个基中的元素不能被其他基中的元素线性表示。

2. 基中的元素张成整个线性空间，即线性空间中的任意元素都可以由基中的元素线性组合而成。

3. 基中的元素个数是唯一的，即同一个线性空间中的不同基所包含的元素个数是相同的，这个个数称为线性空间的维数。

二、线性空间的维数线性空间的维数是指线性空间中的基所包含的元素的个数，用整数表示。

维数是衡量线性空间大小的一个重要指标。

线性空间的维数具有以下性质：1. 对于一个线性空间，如果存在一个有限的基，则该线性空间的维数是有限的。

2. 对于一个线性空间，如果不存在有限的基，则该线性空间的维数是无限的。

维数是线性空间一个重要的性质，它决定了线性空间的很多性质。

在线性代数中，我们可以通过求解线性方程组的秩来确定线性空间的维数。

三、基与维数的应用基与维数在线性代数的各个分支中有广泛的应用。

以下是一些典型的应用场景：1. 线性变换的表示：线性变换可以由一个矩阵表示，基的选择与线性变换的矩阵表示密切相关。

2. 向量空间的表示：向量空间中的向量可以由线性组合表示，基的选择可以简化向量空间中向量的表示和计算。

3. 子空间的判断：基与维数可以用来判断一个子集是否构成了线性空间的子空间。

4. 线性方程组的解空间：线性方程组的解空间可以由基与维数表示。

总结：线性空间的基与维数是线性代数中的重要概念。

基是线性空间中一组线性无关的元素，可以表示线性空间中的任意元素；维数是基所包含的元素的个数，它决定了线性空间的很多性质。

§5 线性子空间

§5 线性子空间
n
由它的一组基生成. 即Pn 由它的一组基生成 类似地， 类似地，还有
事实上， 事实上，任一有限 维线性空间都可由 它的一组基生成. 它的一组基生成
P[ x ]n = L(1, x , x 2 ,L , x n−1 ) = a0 + a1 x + L + an−1 x n−1 a0 , a1 ,L , an−1 ∈ P
一、线性子空间 二、生成子空间
一、线性子间
1、线性子空间的定义
是数域P上的线性空间 设V是数域 上的线性空间，集合 W ⊆ V (W ≠ ∅ ) 是数域 上的线性空间， 对于V中的两种运算也构成数域 若W对于 中的两种运算也构成数域 上的线性空间 对于 中的两种运算也构成数域P上的线性空间, 则称W为V的一个线性子空间，简称为子空间． 的一个线性子空间 子空间． 则称 为 的一个线性子空间，简称为子空间 线性子空间也是数域P上一线性空间 上一线性空间， 注：① 线性子空间也是数域 上一线性空间，它也 有基与维数的概念. 有基与维数的概念. ② 任一线性子空间的维数不能超过整个空间的 维数. 维数.
若为Pn的子空间，求出其维数与一组基. 若为 的子空间，求出其维数与一组基. 的子空间， 不是P 的子空间. 解：W1 、W3是Pn的子空间， W2不是 n的子空间. 事实上， 事实上，W1 是n元齐次线性方程组 元齐次线性方程组 ① 的解空间. 所以， 的解空间. 所以，维W1 ＝n－1，①的一个基础解系
例5
判断P 的下列子集合哪些是子空间： 判断 n的下列子集合哪些是子空间：
W1 = {( x1 , x2 ,L , xn ) x1 + x2 + L + xn = 0, xi ∈ P } W2 = {( x1 , x2 ,L , xn ) x1 + x2 + L + xn = 1, xi ∈ P } W3 = {( x1 , x2 ,L , xn−1 ,0) xi ∈ P , i = 1,2,L , n − 1}

子空间的交的基与维数的一种简易求法

子空间的交的基与维数的一种简易求法

求子空间的交与维数是线性代数中常见的知识点，本文通过一种简便
的方法使求子空间的交与维数的问题更加容易。

首先，假设有两个子空间S1S2，那么求它们的交可以把它们看成两个
集合，求它们的并集，集合有交集——这就是求子空间交的算法。

只
需要将S1和S2分别用向量来表示，把两个子空间中的向量连接起来，那么就可以这样来求解：从这个集合中把共同维度（即集合体中所有
向量内积为0）的向量去掉，那么剩下的向量构成了这两个子空间的交。

其次，求子空间的维数。

在求交的基础上，便可以求出所求子空间的
维数。

因为交是由向量构成的，也就是说维数即是这个子空间中所含
的向量数量。

显然，通过求解交的方法，可以简便的的求出子空间的
维数。

总的来说，通过一种求子空间的交和维数的简易求法，可以让求解子
空间交维数变得更加简单容易，而不需要耗费大量的精力和时间。

因此，本文提出的这种求法在线性代数教学和科研中都有着重要的作用。

线性代数基和维数

线性代数基和维数

定义4.5.1 R n 的非零子空间H的线性无关生成 集称为H的基（basis）.
n R 例4.5.2 可逆n阶方阵的n个列向量构成 的基.
证明：设可逆方阵 A 1,2 ,...,n , 其列向量组线性无 关. 对 R n 中的任意向量 ,由性质4.2.5, 1,2 ,...,n , 线性相关. 由例4.2.7知， 可由1 ,2 ,...,n 线性表出， 1 ,2 是 ,...,n 的基 Rn . 因此
证明：证明方法类似于上例中的讨论. 令B是A的行最简形矩阵. B的主元列线性无关， 而A行等价于B，由定理4.5.2可知，A的主元列线性 无关.
B的非主元列可表成B的主元列的线性组合，则A 的非主元列也可表成A的主元列的线性组合，因而 可以从ColA的生成集中删除. 这样，A的主元列构成了ColA的基.
如果 能用两种方式表成1,2 ,..., p 的线性 组合，即
k11 k22 ... k p p ,
l11 l22 ... l p p .
两式相减，有
0 (k1 l1 )1 (k2 l2 )2 ... (k p l p ) p .
例4.5.7 NulA的维数是方程组Ax=0中自由变 量的个数. ColA的维数是A的主元列的数目.
n R 定理4.5.6 若H是 的子空间，dim H p. 则
（1）H中任意p个线性无关的向量构成H的一 组基; （2）如果H中p个向量构成H的生成集，则这 p个向量也构成H的一组基.
子空间H的基相对于生成集的另一个优点是： H中的每个向量仅能用一种方式写成基向量 的线性组合，即表出是唯一的. 定理4.5.8 若 1 , 2 ,..., p 是子空间H的基，则H 中的任一向量能且仅能用一种方式表为 1 ,2 ,..., p 的线性组合. 证明：因为 1 , 2 ,..., p 是H的生成集，H中任 一向量 必可表为 1,2 ,..., p 的线性组合.

基与维数的几种求法

基与维数的几种求法线性空间基和维数的求法方法一根据线性空间基和维数的定义求空间的基和维数,即：在线性空间v中，如果有n个向量α1,,αn满足用户:(1)α1,α2,αn线性无关。

(2)v中任一向量α总可以由α1,α2,,αn线性则表示。

那么称v为n维（有限维）线性空间，n为v的维数，记为dimv=n，并称α1,α2,,αn为线性空间v的一组基为。

如果在v中可以找到任意多个线性无关的向量，那么就成v为无限维的。

基准1设v=xax=0，a为数域p上m⨯n矩阵，x为数域p上n佩向量，谋v的维数和一组基为。

解设矩阵a的秩为r，则齐次线性方程组ax=0的任一基础解系都是v的基，且v的维数为n-r。

基准2数域p上全体形似对矩阵的乘法及数与矩阵的乘法所共同组成⎪的二阶方阵，-ab⎪⎪的线性空间，谋此空间的维数和一组基为。

⎪⎪0a⎪⎪⎪01⎪⎪00⎪为线性空间,v=｜a,b∈p⎪⎪的一组线性毫无关系的向⎪⎪⎪⎪-10⎪⎪01⎪⎪⎪-ab⎪⎪⎪0a⎪⎪0a⎪⎪01⎪⎪00⎪量组，且对v中任一元素⎪=a⎪+b⎪⎪有ab1001-ab⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪01⎪⎪00⎪⎪,⎪为v的一组基为，v的维数为2。

⎪10⎪⎪01⎪方法二在已知线性空间的维数为n时，任意n个向量组成的线性无关向量组均作成线性空间的基。

基准3假设r[x]n就是一切次数大于n的实系数多项式迎上零多项式所构成的线性空间，证明：1,(x-1),(x-1),,(x-1)构成r[x]n的基。

证明实地考察k1⋅1+k2(x-1)++kn(x-1)的系数为0得kn=0，并代入上式可得xn-2的系数kn-1=0依此类推便存有kn=kn-1==k1=0，故1,(x-1),,(x-1)又r[x]的维数为n,于是1,(x-1),,(x-1)为r[x]的基。

方法三利用定理：数域p上两个非常有限佩线性空间同构的充份必要条件就是它们存有相同的维数。

例4设a=⎪，证明：由实数域上的矩阵a的全体实系数多项式f(a)共同组成的空间v=⎪f(a)｜a=⎪⎪⎪0-1⎪⎪⎪⎪与复数域c作为实数域r上的线性空间10⎪⎪⎪v'={a+bi｜a,b∈r}同构，并非谋它们的维数。

线性空间的基与维数

线性空间的基与维数线性空间是线性代数中的重要概念，它是指具有加法和数乘运算的集合，并满足线性空间的定义和性质。

在线性空间中，基和维数是两个核心概念，它们对于理解线性空间的结构和性质具有重要意义。

一、线性空间的定义和性质线性空间是指满足以下定义和性质的集合：1. 集合中存在加法运算，即对于任意两个元素x和y，存在相应的元素x+y；2. 集合中存在数乘运算，即对于任意元素x和数k，存在相应的元素kx；3. 加法和数乘运算满足封闭性，即对于任意元素x和y，x+y和kx 仍然属于该集合；4. 加法满足结合律和交换律，即对于任意元素x、y和z，(x+y)+z=x+(y+z)和x+y=y+x；5. 加法满足单位元存在性，即存在一个元素0，对于任意元素x，有x+0=x；6. 加法满足逆元存在性，即对于任意元素x，存在相应的元素-y，使得x+(-y)=0；7. 数乘运算满足结合律和分配律，即对于任意元素x和k、l，有k(lx)=(kl)x和(k+l)x=kx+lx；8. 数乘运算满足单位元存在性，即对于任意元素x，有1x=x。

二、在线性空间中，基是指一个线性无关且能生成整个空间的向量组。

即对于线性空间V，存在向量组{v1, v2, ..., vn}，满足以下条件：1. 线性无关性：向量组中的任意有限个向量线性无关，即不存在非零标量c1, c2, ..., cn，使得c1v1 + c2v2 + ... + cnvn = 0；2. 生成性：向量组的线性组合能够生成整个线性空间V，即对于任意向量v∈V，存在标量c1, c2, ..., cn，使得v = c1v1 + c2v2 + ... + cnvn。

线性空间的维数是指基中向量的个数，用n表示。

记作dim(V) = n。

三、线性空间的基与维数的性质线性空间的基与维数具有以下性质：1. 基的个数是唯一的：线性空间V的任意两个基所含向量个数相同；2. 维数的唯一性：线性空间V的维数唯一，与基的选择无关；3. 向量组的性质：线性空间V中的任意向量组若线性无关，则含有的向量个数不超过维数；4. 维数与子空间：线性空间V的任意非零子空间的维数小于等于V的维数；5. 维数与线性变换：线性空间V到线性空间W的线性映射T是满射时，有dim(W) ≤ dim(V)；当T是一一映射时，有dim(W) ≥ dim(V)。

线形空间的维数与基

浅谈线性空间的维数与基摘要本文通过对有限维线性空间中基和维数的讨论，总结出了有限维线性空间的基和维数的求解方法，并且，用不同的方法对线性空间的基和维数的应用进行了探讨.关键词：线性空间；维数；基；同构；子空间THE DISCUSSING TO THE DIMENSIONS ANDBASES OF LINEAR SPACEABSTRACTIn this paper, by discussing dimensions and bases of finite dimensions linear space, we Summarizes the methods to soluting dimensions and bases of finite dimensional linear space. Moreover, the application of the bases and dimensions are discussed in different ways.Keywords: linear space; dimension; base; isomorphism; subspace .目录摘要 (1)关键词： (1)ABSTRACT (2)一、基本概念 (4)二、线性空间的基和维数求解方法 (5)2.1、定义法 (5)2.2、利用相关定理求维数与基 (8)三、线性空间基和维数的应用 (10)3.1、次子空间的应用 (10)3.2、在同构线性空间中的应用 (12)四、有限维线性空间基的扩充 (13)五、参考文献 (15)致谢 (15)一、基本概念定义1.2、U 中向量集H 如果满足下述两个条件，① 向量集H 是线性相关的；② U 中每一个向量可以由H 中有限个向量线性表出；则H 是U 的一个基，只含0向量的基是空集。

定义1.3、U 称为有限维的，如果U 有一个基包含有限多个向量，否则U 称为无限维的，有限维线性空间的一个基所含向量个数称为U 的维数。

线性代数 第五章 向量空间


称为n元向量空间。
,an P
向量空间---基和维数
向量空间V中若向量组 1 ,2 , ,k 为极大
向 线性无关组，则称其为向量空间V的一组基
量 维数：基中所含向量的个数，dimV k.
空 Pn 的基和维数：由n个n元向量组成的极大
间
线性无关组。故基不唯一。
1,2, ,n , i 0,0, ,1, ,0T
m2 n 2

mn1n , mn2n ,
m11
M=

m21

mnnn .

mn1
m12 m22
mn2
m1n
m2
n


mnn

1 2
n 1 2
n M
M称为基(I)到基(II)的过渡矩阵。（M可逆？）
向量空间---过渡矩阵
(I ) 1,2, ,n; (II) 1, 2, , n 是 Pn
间
Байду номын сангаас
k31 3 , 1 / 1, 1 ; k32 3 , 2 / 2 , 2 ;
3 3
3 , 2 2 , 2
2
3, 1 1, 1
1.
向量空间---作业
向 P139 6 量 P142 3(1), 3(2) 空 P147 6,7
, , , ;
, 0, 且 , 0 O.
, , 是 Rn 中任意向量，k为任意实数。
向量空间---内积和标准正交基
向量的长度：|| || ,
向
单位向量： || || 1
向 的两组基，向量 在基(I)、(II)的坐标分
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r
s x1 1 x2 2 xs s x j aij i i 1 j 1
r
如果能找到不全为0的 x1 , x2 ,, xs ,， 使
x j a1 j x j a2 j x j arj 0 j 1 j 1 j 1
命题5.8 设W和Z都是线性空间V的子空间，如果
W Z 且 dim(W )=dim( Z ), 则 W Z .
例5.2（Ex 3）下面的证明方法类似引理5.2。
i ai 11 ai 2 2 air r aij j ,
i 1,2,, s.
考虑下面的线性表示
r
( ai 1 xi )1 ( ai 2 xi ) 2 ( air xi ) r 0
i 1 i 1 i 1
r
r
r
ai 1 xi ai 2 xi air xi 0
i 1 i 1 i 1
r
r
r
a11 x1 a21 x2 ar 1 xr 0 a12 x1 a22 x2 ar 2 xr 0 a x a x a x 0 2r 2 rr r 1r 1
x1 b1 几个例子表明：线性空 x x b 2 2 1 x1 x2 x3 b3 间的基不是唯一的，基 中的向量是有序的。 x x x x b 2 3 n n 1
解得坐标为
x1 b1 , x2 b2 b1 , x3 b3 b2 ,, xn bn bn1
即任意向量都可由 1 , 2 ,, n 线性表示 。 由命题5.1知1 , 2 ,, n 是一个基且向量 坐标为
(b1 , b2 b1 , b3 b2 ,, bn bn1 )
注释2 例子表明线性空间 K n 一定有基。 （1）一般线性子空间一定有基吗？ （2）基中向量个数都相等吗？
j 1
r

x11 x2 2 x r r xi i
i 1
r
r xi aij j xi aij j xi aij j i 1 j 1 i 1 j 1 j 1 i 1
r r r r
r
r x11 x2 2 xr r xi aij j j 1 i 1 于是 1 , 2 ,, r 线性无关 x11 x2 2 xr r 0
上面命题5.1的条件（2）（线性无关）代
替了定义5.1的条件（2）（表示唯一）， 因此由命题3.3即可证明该结论
n 证明下面向量组是线性空间 的一个基， K 例5.1
1 (1,1,,,1,1), 2 (0,1,,1,1), 3 (0,0,,1,1), , n (0,0,,0,1),
证明 由条件i)，令
常数
j a1 j1 a2 j 2 arj r , j 1,2, , s .
要证 1 , 2 ,, s 线性相关，即证有不全为零的数
k1 , k2 ,, ks , 使得 k11 k2 2 k s s 0.
事实上最大线性无关向量个数恰好是n
定理5.4 数域K上n维向量空间V的每个非0子空间
W都存在基。 证明 因为W是非0子空间， 所以W存在线性无关 的向量组。 令 1 , 2 ,, r 是W的一个线性无关向 量组，满足对W的任意向量 , 向量组
1 , 2 ,, r ,
都线性相关。 于是 可由 1 , 2 ,, r 线性表示， 因此，1 , 2 ,, r 是W 的一个基。 注释3 教材求 1 , 2 ,, r 的过程类似一个“算法”。
引理5.2可等价的表述为 引理5.2 设 1 , 2 ,, s 与 1 , 2 ,, r 是线性空 如果两个向量组满足 间V 的两个向量组， i) 向量组 1 , 2 ,, s可经 1 , 2 ,, r 线性表出；
ii)向量组 1 , 2 ,, s 线性无关,
因此，得到
作业：P168 Ex 1, 2(2)
1 , 2 ,, r 线性无关
x11 x2 2 xr r 0 只有零解
a11 x1 a21 x2 ar 1 xr 0 a12 x1 a22 x2 ar 2 xr 0 只有零解 a x a x a x 0 2r 2 rr r 1r 1 a11 a21 a a 12 22 a1r a2 r a11 ar 1 a21 ar 2 0 ar 1 arr a12 a22 ar 2 a1r a2 r 0 arr
的个数 s ，所以它有非零解。
已经知道
1 (1,1,,,1,1), 2 (0,1,,1,1), 3 (0,0,,1,1), , n (0,0,,0,1),
线性空间 K n的一个基。对 K n的任意向量组
1 , 2 ,, s ( s n),
由于 1 , 2 ,, s 中每个向量都可由 1 , 2 ,, n 线性表示， 于是由命题5.2知 1 , , s 线性相关。 推论5.3 K n中线性无关的向量个数不超过n.
作线性组合
x11 x2 2 x s s x j j
j 1
s
s x j aij i x j aij i x j aij i j 1 i 1 j 1 i 1 i 1 j 1
s r s r
因此，s r .
定义5.2 设W数域K上n维向量空间V的非0子空间, 则W 的一个基包含的向量个数成为W 的维数。 特别规定零子空间的维数为0. 利用线性子空间的维数定义向量组的秩如下 定义5.3 设 1 , 2 ,, s 是向量空间V上的向量，称
L(1 , 2 ,, s )
的维数为向量组 1 , 2 ,, s 的秩。 注释4 零子空间是维数等于0的唯一子空间。
线性子空间的维数就是线性无关向量的最大个数。
从维数的定义可以得到下面几个显然的结论。
命题5.6 设W为数域K上n维向量空间V的r 维子空间, 则W 的任意r个线性无关向量都构成W 的一个基。
命题5.7 设W和Z都是线性空间V的子空间， 并且
W Z , 则 dim(W ) dim( Z ).
显然这组不全为0的数 x1 , x2 ,, xs 也使
s
s
s
把它看成一 个方程组， 看它有无非 零解
x11 x2 2 x s s 0.
从而 1 , 2 ,, s 线性相关。
x j a1 j x j a2 j x j arj 0 j 1 j 1 j 1
a11 x1 a12 x2 a1 s x s 0 a21 x1 a22 x2 a2 s x s 0 a x a x a x 0 r2 2 rs s r1 1
由条件ii)， 该方程组中方程的个数r ＜未知量
s
s
s
它能 （3）线性空间的基是线性空间的一个框架， 表示空间的每个向量， 也就确定了空间的结构。 （4）直观上将，基就是“最大”线性无关向量组。
如何判定一个向量组是否是线性子空间的基呢？ 命题5.1 设W是线性空间V的一个线性子空间， W的 当且仅当它满足 向量组1 , 2 ,, r 是W的一个基， （1） W的每个向量都可由 1 , 2 ,, r 线性表示； （2） 1 , 2 ,, r 线性无关。
并且求向量 (b1 , b 2,, bn ) 在该基下坐标。
证明 显然
1 1 1 1 1 2 0 1 1 1 3 0 0 1 1 1 0 n
0 0 0 1
因此，由例3.7知向量组 1 , 2 ,, n 线性无关。
令
x11 x2 2 xn n
则 s r.
推论5.5 设W数域K上n维向量空间V的子空间, 则 W 的所有基都包含相同个数的向量。
证明 假设下面是W 的两个任意基
A : 1 , 2 ,, r , B : 1 , 2 ,, s
于是 由于A可由B线性表示并且A线性无关，
r s. 于是 由于B可由A线性表示并且B线性无关， s r.
设 1 , 2 ,, r 是线性子空间W的一个基， 对任意的
向量 W , 令
k11 k2 2 kr r ,
称有序数组 ( k1 , k2 ,, kr ) 是 在基 1 , 2 ,, r 下坐标.
注释1 （1）由上面定义知零子空间没有基。
（2）线性子空间中一个基的向量是有序的。
§5 线性子空间的基与维数
重点 1、线性空间基、维数、坐标的概念 2、基的判定方法 3、线性空间基的性质
一、线性子空间基的定义与判定
定义5.1 设W是线性空间V的一个线性子空间， W的 向量组1 , 2 ,, r 称为W的一个基，如果它满足 （1） W的每个向量都可由 1 , 2 ,, r 线性表示； （2） W的每个向量由 1 , 2 ,, r 线性表示唯一。
（3）线性子空间中的基个数有限还是无限？
二、线性子空间基的性质 引理5.2 设 1 , 2 ,, s 与 1 , 2 ,, r 是线性空 如果两个向量组满足 间V 的两个向量组， i) 向量组 1 , 2 ,, s可经 1 , 2 ,, r 线性表出； ii) s r， 则向量组 1 , 2 ,, s必线性相关。