向量空间的基与维数

p.151 习题7.4 (向量空间的基和维数)1, 2 ,3, 4 四题为同类型题. 要做两件事：① 证明是向量空间；② 求基和维数. ① 证明是向量空间，有两种方法：第一是定义法，验证运算，并验证八条性质；第二是子空间法，证明V 是某个已知的向量空间的子空间.② 求基和维数：找出V 中一个向量集，证明线性无关，且V 中每个向量都可由该向量集线性表示，从而该向量集是基，再写出维数.以第4题为例，给出解答. 其余题类似方法解决.4. 设F 是数域, {|Tr()0}n n V A F A ⨯=∈=是F 上向量空间. 证明V 是F 上的向量空间，并求V 的一个基和维数.解：(1) 首先证明V 是F 上的向量空间. 显然，V 是n n F ⨯的非空子集（因为零矩阵的迹为零，故零矩阵0V ∈），我们已经知道，n n F ⨯是F 上的向量空间. 因此，要证明V 是F 上的向量空间，只需证明V 是n n F ⨯的子空间. 对任意,A B V ∈，任意k F ∈，有Tr()Tr()Tr()000A B A B +=+=+=，Tr()Tr()00kA k A k =⋅=⋅=故,A B V kA V +∈ ∈. 因此，V 是n n F ⨯的子空间，当然V 是F 上的向量空间.(2) 求V 的一个基和维数.记1122113311{,,,,|,1,2,,,}nn ij S E E E E E E E i j n i j =- - - = ≠，其中kl E （,1,2,,k l n =）为n 阶基本矩阵，即(,)k l 元为1，其余元素均为0的n 阶方阵. 易知S 中有21n -个n 阶方阵，且这些矩阵的迹都是0，故S V ⊂. 下证向量组S 是V 的一个基：① 设 22112233113311,1,2,,()()(nn nn ij ij i j n i jk E E k E E k E E k E = ≠-+ -+ +-)+=0∑. 注意到等式左边为221212122212nnn n n n nn k k k k k k k k k k ++⎛⎫⎪- ⎪⎪⎪-⎝⎭，故22330,nn k k k = = == 0,,1,2,,,ij k i j n i j = = ≠，所以向量组S 线性无关.② 设()ij A a =是V 中任意给定的向量，则由Tr()0A =知，1122nn a a a =---，这样，22121212221222112233113311,1,2,,()()(nn n n n n nn nn nn ij ij i j n i ja a a a a a a A a a a a E E a E E a E E a E = ≠---⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪-⎝⎭=-------)+∑表明A 可由向量组S 线性表出.因此，向量组S 是一个基，2dim 1V n =-.6. 设123123(1,0,1,0),(2,1,3,7),(3,1,0,3),(4,3,1,3),(1,0,1,3),αααβββ= =-- =- =-- =- =4(0,1,1,0)F ∈. 令1123,,W ααα=<>, 2123,,W βββ=<>. 求12W W +和12W W 的基与维数.这种题型上学期在第四章中已经做过.解：由1123,,W ααα=<>, 2123,,W βββ=<>，可知，12123123,,,,,W W αααβββ= +<>.()T T T T T T 123123123410100802011301010300,,,,,130111001601073330000011αααβββ--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪ ⎪=→⎪ ⎪--⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭(#)由此看出，1232,,,αααβ是123123,,,,,αααβββ的一个极大无关组，且1123368,βααα=-++31322βααβ =-+. 因此，1232,,,αααβ是12W W +的一个基，12dim()4W W +=. 又由(#)看出，12dim 3,dim 3W W = =，所以由维数公式，12dim()3342W W =+-=. 注意到，11231231123836,2W W W W βαααββαα=-∈ -=-∈++从(#)可看出，1β与23ββ-线性无关，因此，132,βββ -为12W W 的一个基.所以，12dim()4W W +=，1232,,,αααβ是12W W +的一个基；12dim()2W W =，132,βββ -是12W W 的一个基.第7题中的S <>表示向量集S 生成的子空间. 如果12,,{},n S ααα=为有限集，则12,,,n S ααα<> = <>；如果S 为无限集，则S <> 表示由S 中任意有限个向量的任意线性组合的全体构成的子空间（本题要求证明这是一个子空间，请自行完成）.8. 设F 是数域,m s A F ⨯∈. 证明: 在s n F ⨯中所有满足0AB =的矩阵B 构成s n F ⨯的子空间, 并求该子空间的基与维数.解：(1) 证明{}|0s n F AB W B ⨯=∈ =是s n F ⨯的子空间. （略） (2) 记B 的列向量组为12,,},{n βββ, 当然0AB =⇔0,1,2,,i A i n β= =.考虑齐次线性方程组0AX =. 若rank()A s =，即A 列满秩，则0AX =只有零解，那么满足0AB =的矩阵B 只能是零矩阵，故此时dim 0.W = 若rank()A r s =<，则0AX =有非零解，根据齐次线性方程组解的结构定理，设1,,s r ηη- 是0AX =的一个基础解系. 令()()()11112111,0,,0,0,,,0,,0,,n s n s n s n B B B ηηη⨯⨯⨯= = 0, = ,0,()()()21222222,0,,0,0,,,0,,0,,n s n s n s n B B B ηηη⨯⨯⨯= = 0, = ,0,()()(),1,2,,0,,0,0,,,0,,0,s r s r s r s r s r n s r s n s n s n B B B ηηη------⨯⨯⨯= = 0,= ,0,则以上()s r n -个矩阵构成W 的一个基（请大家自行证明），(dim )W s r n -=.9. 设12,,,s W W W 是数域F （或无限域）上的向量空间V 的s 个非平凡子空间, 证明:存在向量V α∈使得1.si i W α=∈ /进一步证明：如果dim V n =, 则存在V 的基12,,,n ααα使得每一个1.sj i i W α=∈ /证明: (1) 先证明第一个结论.（对s 作数学归纳法）1° 当1s =时，1W 为非平凡子空间，当然向量V α∈使得1W α∉，结论成立.2° 假设结论对1s -个非平凡子空间成立. 现考虑s 个非平凡子空间情形，设12,,,s W W W 是V 的s 个非平凡子空间，由归纳假设，存在向量V β∈，但是11.s i i W β-=∈ /接下来对β分两种情形讨论：如果s W β∉，则1si i W β=∈/，结论得证；如果s W β∈，由于s W 是非平凡子空间，必存在V γ∈，但s W γ∉，现考虑以下s 个不同的向量,,,s βγβγβγ+ 2+ +这s 个向量一定都不在s W 中（因为s W β∈，s W γ∉），另一方面，这s 个向量至少有一个不在11s i i W -= 中，因为如果这s 个向量都在11s i i W -= 中，则必有某两个向量（不妨设,k l βγβγ+ +）会同属于某个子空间j W （11j s ≤≤-），这样()()()j k l k l W ββγβγ-=+- +∈，而0k l -≠，故得到j W β∈，则11s i i W β-=∈，矛盾，因此，至少有某个，比如11s i i m W βγ-=+∈/，这样，向量1si i W m βγ=∈/+，结论得证.综上，本题第一个结论成立.(2) 现证明第二个结论. 由第一个结论，存在1V α∈，但11.si i W α=∈ /又由第一个结论，存在2V α∈，但211s i i W αα=⎛⎫∈>/ ⎪⎭<⎝，这样，12,αα 线性无关. 再由第一个结论，存在3V α∈，但3121,s i i W ααα=⎛⎫∈ >/ <⎪⎝⎭，这样，123,,ααα 线性无关. 如此进行下去，，最后得到n V α∈，但1211,,,s n i n i W αααα-=⎛⎫∈ >/ ⎪⎭<⎝，这样，12,,,n ααα 线性无关，由于dim V n =，所以12,,,n ααα 是V 的一个基，且每个1.sj i i W α=∈ /。

向量空间的基与维数结论1 设，当下述三个条件有两条满足时，{}就是V的一个基.(i)零向量可由唯一地线性表示；(ii)V中每个向量都可由唯一地线性表示；(iii).结论 2 设,都是F上向量空间V的子空间. 若，,则，且.例 1 设和都是数域，且，则是上的向量空间.域F是F上向量空间，基是{1}，.C是R向量空间，{ 1 , i} 是基，.R是有理数域上的无限维向量空间，这是因为对任意的正整数t，是线性无关的，这里.令，则F是一个数域，F是Q上的向量空间.1)1,线性无关：设，. 则(否则，,矛盾)，因此.2) 1,,线性无关：设，，i=1,2,3 . ( 1 ),两端平方得,由于1,线性无关，故假如，则，且，即. 矛盾.因而故假如，则得，这与是无理数相矛盾. 因而将代入(1)，便得这说明1,,线性无关.3) 1,,,线性无关：设，，i=1,2,3,4 . 则有. ( 2 )假如不全为零，则得到“1,,线性相关”的结论，矛盾. 所以与应全为零，将代入(2)得又由1,线性无关得. 这样，我们证得了1,,,线性无关.故{1,,,}是F的一个基..例2 C[a,b]={f(x)|f(x)是定义在[a,b]上的连续实函数}. C[a,b]是R上的向量空间.对任意的正整数n，可证得线性无关：设，使( 3 )取n+1个实数，使a b.由(3)知.即其中而. 用左乘(4)两端，得这说明线性无关.故C[a,b]是R上无限维向量空间.引理设V是F上向量空间，是V的子空间，V，i=1,2,…,s. 试证明证对s作数学归纳.当s=1 时，结论显然成立.设，且对个V的不等于V的子空间结论成立.下考虑V的子空间，，. 由归纳假设知故存在1) 当时，，故；2) 当时，由于，因此显然,,…,.且存在，使（否则，如果,,…,，, ,,使,，所以，即有，这与矛盾）.这样，故例3 设.存在集合, 使S含无穷多个向量，且S中任意n个不同的向量都是V 的一个基.证取V的一个基，令. 对任意从中删去后剩下的个向量生成的V的子空间记为，则由引理知, 故存在令, 中任n个不同的向量线性无关，是V的基.设，有，且中任意n个不同的向量构成V的一个基.对任意，有.这样的子空间共有个. 由引理知存在令. 则||=k+1，且中任意n个不同的向量是V的基.这个过程进行下去，满足条件的无限集S即可找到.另证：设是V的一个基，令令让,,…,F互不相同，则由于其行列式是Vandermonde行列式，即故线性无关，是Ｖ的一个基. Ｓ中含无穷多个向量.例４设是Ｆ上n(>０)维向量空间V的子空间，且i=1,2,3,…,s. 则存在V的一个基，使得该基中每一个向量都不在中.证：对s作数学归纳.当时，取的一个基，，将其扩充为V的一个基. 可证明出线性无关，是V的基，且, i=1,2,…,r,设，且对个V的子空间结论成立. 现考虑V的s个子空间,由归纳假设知存在V的一个基，使1）如果，那么即满足要求;2）如果. 不妨设∈, , 由最多有一个F中的数，使, （否则，如果有两个不同的数, , 使，则，故，矛盾），所以除可能的之外，F 中有非零数，使同理有 F 中非零数，使显然易证线性无关，是V的基，且满足要求.例 5 设W是的由全体形如的向量所生成的子空间, 证明证令(j)是第i行第j列位置元素是1，而其余的个元素全是零的n阶方阵.对, i≠t,对, (j) ∈W.(j)容易验证}是线性无关的（共个向量）故而W中每个矩阵其迹为0. 因此，故引理 设是向量空间V 的子空间，则(i)(ii)例 6 设是F 上向量空间V 的子空间.(i) 证明：(ii)举一个例子，使上述严格不等式成立. 证(i)===(ii) 在中，令1w +2w +3w=（1，0，0）,(-1,0,1)）,而1w ⋂2w =2w ⋂3w =1w ⋂3w ={0}, 1w ⋂2w ⋂3w =={0},此时∑=31dim i i w =2<3=∑=31dim i i w -()∑≤≤≤⋂nj i jiw w 1dim +dim(1w⋂2w ⋂3w ).例7 设A )(F M m s ⨯∈,B )(F M n m ⨯∈.令0w ={α∈n F ∣AB α=10⨯s },1w = {B α∣α∈0w }, 求证1w 是m F 的子空间,且dim 1w =秩B-秩(AB).证 显然10⨯n ∈0w ,故B 10⨯n =10⨯m ∈1w ,即1w ≠∅, ∀1α,2α∈ 0w ,B 1α,B 2α是1w 的任意向量,∀1α,2α∈F,AB(2211ααa a +)= 2211AB AB ααa a +=0,∴2211ααa a +∈ 0w ,∴B(2211ααa a +)∈1w ⇒2211B B ααa a +∈1w ,因而1w 是m F 的子空间 .01当秩B=秩(AB)时,齐次线性方程组AB 1⨯n X =10⨯s 与B 1⨯n X =10⨯m 同解.因此1w ={0},故dim 1w =0=秩B －秩(AB).02以下我们假设秩B>秩(AB).ABX=0与BX=0不是同解的. 0w ≠{0},1w ≠{0}.)1秩B=n.此时0w ≠{0},设{1β，2β，…t β}为0w 的一个基,其中 t=n- 秩(AB) .则有1w =(B 1β，B 2β，…B t β). 设1b B 1β+2b B 2β+…+t b B t β=0,i b ∈F,i=1,2,…t. 则B(1b 1β+2b 2β+…+t b t β)=0,而BY=0只有零解,故1b 1β+2b 2β+…+t b t β=0, 又1β，2β，…t β线性无关.所以i b =0，i=1,2,…n. 这说明{B 1β，B 2β，…B t β}是1w 的一个基.dim 1w =t=n-秩(AB)=秩B-秩(AB).)2秩B<n.令'0w ={γ∈n F B γ=10⨯m }，'0w 是B 1⨯n Y =10⨯m 的解空间，dim '0w =n- 秩B>0.显然'0w ⊆0w .由于我们事先假设了秩B ≠秩(AB),所以'0w ≠0w .设{1β，2β，…P β}是'0w 的一个基. P=n-秩B>0.扩充成0w 的一个基，1β，2β，…P β,1+p β，…,t β, t=n-秩(AB). 而1w =(B 1β，B 2β，…B P β,B 1+p β，…,B t β)= (B 1+p β，…,B t β). 设j j tp j B b β∑+=1=0， j b ∈F, j=p+1,…,t.则B(j j tp j b β∑+=1)=0.即j j tp j b β∑+=1∈'w 故存在1b ,p b b ,...,2∈F ，使j j tp j b β∑+=1=i i pi b β∑=1.i i pi b β∑=1+jjtp j b β)(1∑+=-=0.而1β，2β，…P β,1+p β，…,t β线性无关，所以k b =0，k=1,2,,…,t; 这说明B 1+p β,B 2+p β，…,B t β线性无关,是1w 的一个基. 因此 dim 1w =t-p=[n-秩(AB)]-【n-秩B]= 秩B-秩(AB).例8 设1w ,2w 是向量空间v 的子空间,且dim(1w +2w )=dim(1w ⋂2w )+1 证明,下述两条必有一条成立: (ⅰ) 1w +2w =1w ,1w ⋂2w =2w ; (ⅱ) 1w +2w =2w ,1w ⋂2w =1w .。

向量空间的基与维数在线性代数中，向量空间是一个具有特定性质的数学结构，它由一组向量组成，并满足一些线性运算规则。

在向量空间中，我们经常讨论两个重要的概念，即基和维数。

一、基的定义和性质向量空间的基是指一组线性无关的向量，它们能够生成该向量空间中的所有向量。

具体而言，设V是一个向量空间，S={v1,v2,...,vn}为V 中的向量组，如果满足以下两个条件：1. 向量组S中的向量线性无关；2. 向量空间V中的每一个向量都可以由向量组S线性表示，则称S 为向量空间V的基。

基的性质包括：1. 基的向量个数是确定的。

如果两个基包含的向量个数不同，那么它们所在的向量空间也是不同的。

2. 基的向量组中的向量个数是向量空间的维数。

二、维数的定义和性质在向量空间中，维数是指该向量空间的基中所含向量的个数。

通常用符号dim(V)表示，其中V是一个向量空间。

维数的性质包括：1. 如果V是一个向量空间，那么V的两个基所含向量的个数相同。

也就是说，向量空间的维数是唯一确定的。

2. 一个向量空间的维数是非负整数。

3. 如果向量空间的维数是有限的，则称该向量空间为有限维向量空间。

否则，称该向量空间为无限维向量空间。

三、例子和应用1. 二维平面上的向量空间R^2，其基可以选择为{(1,0),(0,1)}，其中(1,0)和(0,1)分别是R^2的两个标准单位向量。

因此，R^2的维数为2。

2. 三维空间中的向量空间R^3，其基可以选择为{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}，其中(1,0,0)、(0,1,0)和(0,0,1)分别是R^3的三个标准单位向量。

因此，R^3的维数为3。

基和维数的概念不仅在线性代数中有着重要的应用，也在其他数学领域和物理学、工程学等各个领域得到广泛应用。

它们帮助我们更好地理解和描述向量空间的结构和性质，为解决实际问题提供了强有力的工具和方法。

总结起来，向量空间的基是一组线性无关的向量，它们能够生成该向量空间中的所有向量；维数是该向量空间基所含向量的个数。

向量空间的基与维数定理一、基的定义与性质在向量空间中，基是指能够通过线性组合生成整个向量空间的一组向量。

具体来说，若向量空间V中的向量组{v1, v2, ..., vn}：1. 线性无关：任意一个向量vi都不能由其他向量的线性组合表示出来。

2. 生成性：任意一个向量v都可以表示成向量组{v1, v2, ..., vn}的线性组合。

二、基的存在性与维数定理对于任意一个向量空间V，都存在一组基。

而且，不同的基所含有的向量个数是相同的，称为这个向量空间的维数，记作dim(V)。

三、基的个数与维数之间的关系设V是一个有限维向量空间，则：1. 若V中存在有限个向量，它们组成了V的一组基，则称V是有限生成的；2. 若V是有限生成的，则V中的任何一组基所含有的向量个数都相同。

四、维数定理相关的证明与推论1. 维数定理的证明：设V为一个有限维向量空间，存在两个有限的基：{v1, v2, ..., vm} 和 {u1, u2, ..., un}。

首先，我们需要证明向量组{v1, v2, ..., vm}线性无关。

即对于任意一个向量的线性组合：a1v1 + a2v2 + ... + amvm = 0，若存在不全为零的系数a1, a2, ..., am，则上述方程成立，从而基{u1, u2, ..., un}中的向量也可以表示成{v1, v2, ..., vm}的线性组合，与其构成基的定义相矛盾，所以{v1, v2, ..., vm}是线性无关的。

其次，我们需要证明向量组{v1, v2, ..., vm}能生成整个向量空间V。

任意一个向量u都可以表示为基{u1, u2, ..., un}的线性组合：u = b1u1 + b2u2 + ... + bun，并且可以将基{u1, u2, ..., un}中的向量表示成基{v1, v2, ..., vm}的线性组合：ui = a1i v1 + a2i v2 + ... + ami vm，因此，u也可以表示成基{v1, v2, ..., vm}的线性组合：u = (b1a11 + b2a21 + ... + banan) v1 + (b1a12 + b2a22 + ... + banan) v2 + ... + (b1a1m + b2a2m + ... + banan) vm，即向量组{v1, v2, ..., vm}能够生成整个向量空间V。