2010届高三数学专项复 习题：棱锥新人教A版

同步练习 .1069 棱锥1．给出下列命题：①底面是正多边形的棱锥是正棱锥； ②侧棱都相等的棱锥是正棱锥；③侧棱和底面成等角的棱锥是正棱锥；④侧面和底面所成二面角都相等的棱锥是正棱锥，其中正确命题的个数是( ) ()A 0 ()B 1 ()C 2 ()D 32．如果三棱锥S ABC -的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，且顶点S 在底面的射影O 在ABC ∆内，那么O 是ABC ∆的( ) ()A 垂心 ()B 重心 ()C 外心 ()D 内心3．已知三棱锥D ABC -的三个侧面与底面全等，且AB AC ==，2BC =，则以BC 为棱，以面BCD 与面BCA 为面的二面角的大小是( )()A 4π ()B 3π ()C 2π()D 32π4、若P 是正四面体内一点，P 到各面距离之和是一个定值，这个定值等于（ ）A 、正四面体的棱长B 、正四面体的斜高C 、正四面体相对棱间的距离D 、正四面体的高5、若一个三棱锥中，有一条棱长为a ，其余棱长均为1，则其体积)(a F 取得最大值时a 的值为（ ）A 、1B 、23 C 、25 D 、26 6、一棱锥被平行于底面的平面所截，若截面面积与底面面积之比为1：3，则此截面把一条侧棱分成的两线段之比为（ ）A 、1：3B 、1：2C 、1：3D 、1：()13-7、正三棱锥的高是3，侧棱长是7，那么侧面和底面所成的二面角的大小是 . 8、三棱锥的三条侧棱两两垂直，且长度分别为1cm,2cm,3cm ，则此棱锥的体积为 。

9、已知三棱锥A-BCD 的体积为V ，棱BC 的长为a ，面ABC 和面DBC 的面积分别为S 1和S 2，设面ABC 和面DBC 所成二面角为α，则αsin ＝ .10、三棱锥P-ABC 中，PA=PB=PC=AB=AC=a ，则该三棱锥表面积S 的取值范围是 ；体积V 的取值范围是 .11．如图，已知三棱锥P ABC -的侧面PAC 是底角为045的等腰三角形，PA PC =，且该侧面垂直于底面，90ACB ∠=，10,6AB BC ==，113B C =， (1)求证：二面角A PB C --是直二面角；(2)求二面角P AB C --的正切值；(3)若该三棱锥被平行于底面的平面所截，得到一个几何体111ABC A B C -，求几何体111ABC A B C -的侧面积．12、已知在四面体ABCD 中，PA = a ，PB = b ，PC = c ，G ∈平面ABC ． （1）若G 为△ABC 的重心，试证明31=PG (a +b +c )； （2）试问（1）的逆命题是否成立？并证明你的结论．PC 1 CB AA 1B 1ABCDGP参考答案ADCDDD7、︒60 8、1cm 3 9、2123s s va 10、22)123(23a S a +≤<3810a V ≤<11、证 (1) 如图，在三棱锥P ABC -中，取AC 的中点D ．由题设知PAC ∆是等腰直角三角形，且PA PC ⊥．∴ PD AC ⊥． ∵ 平面11A ACC ⊥平面ABC ，∴ PD ⊥平面ABC ， ∵ AC BC ⊥ ∴ PA BC ⊥，∴ PA ⊥平面PBC ， ∵ PA ⊂平面PAB ， ∴平面PAB ⊥平面PBC ， 即二面角A PB C --是直二面角．解 (2)作DE AB ⊥，E 为垂足，则 PE AB ⊥．∴ PED ∠是二面角P AB C --的平面角．在Rt ABC ∆中，10,6AB BC ==，则8,4AC PD ==由Rt ADERt ABC ∆∆，得BC AD DE AB⋅=＝1046⨯＝512，∴ 所求正切为tan PD PED DE ∠=＝35． (3) ∵ 1132B C BC == ∴111,,A B C 分别是,,PA PB PC 的中点． ∴ 184162PAC S ∆=⨯⨯=， 162PBC S ∆=⨯⨯= ∵ PE =2514416+＝3454， 1102PAB S ∆=⨯=344． ∴ S 棱锥侧16PAB PBC PCA S S S ∆∆∆=++=，∴ 几何体111ABC A B C -的侧面积 3S 124S ==几何体棱锥侧图31－31PC 1CBAEA 1B 1D12、解：（1）连AG 交BC 于D ，则D 平分BC ，且G 分所成的比为2∶1，从而32+=+=a ，)2(21)]()[(21)(21a c b -+=-+-=+=，故)(31)2(31c b a a c b a ++=-++=．（2）逆命题成立，证明如下：设D 分所成的比为p ，G 分所成的比为q ．则)(11p p p p -+=+=， )(11qq q q -+=+= pp p p p +++=-++=+=111)(1，于是，)111(1PA PC p p PB p q q PA AG PA PG -+++++=+= =p q pq p q q q )1)(1()1)(1(11+++++++ 因31=PG (a +b +c )，故31)1)(1()1)(1(11=++=++=+p q pq p q q q ， 解得q =2，p = 1，于是G 为△ABC 的重心．。

2011届高考数学专题练习 立体几何试卷一、填空题 (共 小题，每小题 分)1. 如图，正方体1111ABCD A BC D -中，E 、F 分别为AB 、AD 的中点，则1AD 与EF 所成角的大小为 ．2. 如图是一个几何体的三视图，若它的体积是33，则a=________.3. 如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的各条棱长都相等，M 是侧棱1CC 的中点，则异面直线1AB BM 和所成的角的大小是 。

4. 已知OA 为球O 的半径，过OA 的中点M 且垂直于OA 的平面截球面得到圆M ，若圆M 的面积为3π，则球O 的表面积等于__________________.二、选择题 (共 小题，每小题 分)5. 若直线a b ⊥，且直线//a 平面α，则直线b 与平面α的位置关系是 ．A ．b α⊂B ．//b αC ．b α⊂或//b αD ．b 与α相交或b α⊂或//b α6. 在正四棱柱1111ABCD A BC D -中，顶点1B 到对角线1BD和到平面11A BCD 的距离分别为h 和d ，则下列命题中正确的是（ ）A ．若侧棱的长小于底面的变长，则hd的取值范围为(0,1)B ．若侧棱的长小于底面的变长，则h d 的取值范围为223( C ．若侧棱的长大于底面的变长，则h d 的取值范围为23(2)3 D ．若侧棱的长大于底面的变长，则h d 的取值范围为23()+∞7. 如右图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为12。

则该集合体的俯视图可以是8. 设,m n 是平面α内的两条不同直线；12,l l 是平面β内的两条相交直线，则//αβ的一个充分而不必要条件是A. 1////m l βα且B. 12////m l l 且nC. ////m n ββ且D. 2////m n l β且9. 如图，在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠ACB=900,∠ACC 1=600,∠BCC 1=450,侧棱CC 1的长为1，则该三棱柱的高等于 A.21 B.22 C.23 D.3310. 如图，正方体1111ABCD A BC D -的棱线长为1，线段11B D 上有两个动点E ，F ，且12EF =，则下列结论中错误的是 （A ）AC BE ⊥（B ）//EF ABCD 平面（C ）三棱锥A BEF -的体积为定值 （D ）AEF BEF ∆∆的面积与的面积相等11. 一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：2cm ）为（A ）48122+（B ）48242+ （C ）36122+（D ）36242+三、解答题 (共 小题，每小题 分)12. 如图，已知PA ⊥正方形ABCD 所在平面，E 、F分别是AB ，PC 的中点，45PDA ∠=．（1）求证：//EF 面PAD ；（2）求证：面PCE ⊥面PCD ．13. 如图，在五面体ABCDEF 中，AB ∥DC ，2BAD π∠=，2CD AD ==，四边形ABFE 为平行四边形，FA ⊥平面ABCD ，3,7FC ED ==（Ⅰ）直线AB 到平面EFCD 的距离；A 1B 1C 1D 1 （Ⅱ）二面角F ADE --的平面角的正切值．14. 如图，DC ⊥平面ABC ，//EB DC ，22AC BC EB DC ====，120ACB ∠=，,P Q 分别为,AE AB 的中点．（I ）证明：//PQ 平面ACD ；（II ）求AD 与平面ABE 所成角的正弦值．15. 如图，在四棱锥ABCD P -中，ABCD PD 平面⊥，CD AD ⊥，且DB 平分ADC ∠，E 为PC 的中点，1==CD AD ,22=DB（Ⅰ）证明BDE PA 平面// （Ⅱ）证明PBD AC 平面⊥（Ⅲ）求直线BC 与平面PBD 所成的角的正切值16. 如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ，2AD =，2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，∠ABM=60。

8.3简单几何体的表面积与体积8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积课后篇巩固提升基础达标练1.(多选题)长方体ABCD-A1B1C1D1的长、宽、高分别为3,2,1,则()A.长方体的表面积为20B.长方体的体积为6C.沿长方体的表面从A到C1的最短距离为3D.沿长方体的表面从A到C1的最短距离为22×(3×2+3×1+2×1)=22,A错误.长方体的体积为3×2×1=6,B正确.如图①所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,BC=2,BB1=1.在表面上求最短距离可把几何体展开成平面图形,如图②所示,将侧面ABB1A1和侧面BCC1B1展开,则有AC1=,即当经过侧面ABB1A1和侧面BCC1B1时的最短距离是;如图③所示,将侧面ABB1A1和底面A1B1C1D1展开,则有AC1==3,即当经过侧面ABB1A1和底面A1B1C1D1时的最短距离是3;如图④所示,将侧面ADD1A1和底面A1B1C1D1展开,则有AC1==2,即当经过侧面ADD1A1和底面A1B1C1D1时的最短距离是2.因为3<2,所以沿长方体表面从A到C1的最短距离是3,C正确,D不正确.2.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则三棱锥D-ACD1的体积是()A. B. C. D.1D-ACD1的体积等于三棱锥D1-ACD的体积,三棱锥D1-ACD的底面ACD是直角边长为1的等腰直角三角形,高D1D=1,∴三棱锥D-ACD1的体积为V=×1×1×1=.3.一个正四棱锥的底面边长为2,高为,则该正四棱锥的表面积为()A.8B.12C.16D.20=2,所以该四棱锥的表面积为22+4××2×2=12.4.正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为()A.3πB.C.πD.1,由图可知,该几何体由两个四棱锥构成,并且这两个四棱锥体积相等.四棱锥的底面为正方形,且边长为,故底面积为()2=2;四棱锥的高为1,则四棱锥的体积为×2×1=.故几何体的体积为2×.5.正三棱锥的底面周长为6,侧面都是直角三角形,则此棱锥的体积为()A. B. C. D.,正三棱锥的底面周长为6,所以正三棱锥的底面边长为2,侧面均为直角三角形,可知侧棱长均为,三条侧棱两两垂直,所以此三棱锥的体积为.6.(2020全国高一课时练习)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的体积是120,E为CC1的中点,则三棱锥E-BCD的体积是.ABCD-A1B1C1D1的体积为120,所以AB·BC·CC1=120,因为E为CC1的中点,所以CE=CC1,由长方体的性质知CC1⊥底面ABCD,所以CE是三棱锥E-BCD的底面BCD上的高,所以三棱锥E-BCD的体积V=AB·BC·CE=AB·BC·CC1=×120=10.7.正四棱柱的一条体对角线长为9,表面积为144,适合这些条件的正四棱柱有个.a,高为h,由题意得这个方程组有两个解,所以适合条件的正四棱柱有2个.8.已知某几何体是由两个全等的长方体和一个三棱柱组合而成,如图所示,其中长方体的长、宽、高分别为4,3,3,三棱柱底面是直角边分别为4,3的直角三角形,侧棱长为3,则此几何体的体积是,表面积是.V=4×6×3+×4×3×3=90,表面积S=2(4×6+4×3+6×3)-3×3+×4×3×2+×3+3×4=138.9.在正四棱锥S-ABCD中,点O是底面中心,SO=2,侧棱SA=2,则该棱锥的体积为.侧棱SA=2,高SO=2,∴AO==2,因此,底面正方形的边长AB=AO=4,底面积为AB2=16.该棱锥的体积为V=AB2·SO=×16×2=.10.有一个正四棱台形状的油槽,可以装油190 L,假如它的两底面边长分别等于60 cm和40 cm,则它的深度为 cm.S',S.由V=(S++S')h,得h==75(cm).能力提升练1.(2020某某某某检测)我国古代名著《X丘建算经》中记载:“今有方锥下广二丈,高三丈,欲斩末为方亭,令上方六尺,问亭方几何?”大致意思为“有一个正四棱锥下底面边长为二丈,高三丈,现从上面截去一段,使之成为正四棱台状方亭,且正四棱台的上底面边长为六尺,问该正四棱台的体积是多少立方尺?”(注:1丈=10尺)()A.1 946立方尺B.3 892立方尺C.7 784立方尺D.11 676立方尺,正四棱锥的高为30,所截得正四棱台的下底面棱长为20,上底面棱长为6, 设棱台的高为OO1=h,由△PA1O1∽△PAO可得,解得h=21,可得正四棱台的体积为×21×(62+202+6×20)=3892(立方尺),故选B.2.(2020某某某某检测)如图所示,在上、下底面对应边的比为1∶2的三棱台中,过上底面的一边A1B1和AC,BC的中点F,E作一个平面A1B1EF,记平面分三棱台两部分的体积为V1(三棱柱A1B1C1-FEC),V2两部分,那么V1∶V2=.h,上底面的面积是S,则下底面的面积是4S,∴V棱台=h(S+4S+2S)=Sh,V1=Sh,∴.∶43.(2020全国高一课时练习)如图,AA1,BB1,CC1相交于点O,形成两个顶点相对、底面水平的三棱锥容器,AO=A1O,BO=B1O,CO=C1O.设三棱锥高均为1,若上面三棱锥中装有高度为0.5的液体,且液体能流入下面的三棱锥,则液体流下去后液面高度为.,流下去后,液体上方空出的三棱锥的体积为三棱锥体积的.设空出的三棱锥的高为x,则,所以x=,所以液面高度为1-.-4.已知一个三棱柱的三视图如图所示,求这个三棱柱的侧面积.,该三棱柱的底面为正三角形,各侧面为矩形,侧棱长为4cm,如图所示.因为正三角形ABC和正三角形A'B'C'的高为2cm,所以正三角形ABC的边长AB==4(cm).故三棱柱的侧面积为S侧=4×4×3=48(cm2).5.一个正三棱锥P-ABC的底面边长为a,高为h.一个正三棱柱A1B1C1-A0B0C0的顶点A1,B1,C1分别在三条棱上,A0,B0,C0分别在底面△ABC上,何时此三棱柱的侧面积取到最大值?O,连接PO,图略,则PO为三棱锥的高,设A1,B1,C1所在的底面与PO交于O1点,则,令A1B1=x,而PO=h,则PO1=x,于是OO1=h-PO1=h-x=h.所以所求三棱柱的侧面积为S=3x·h(a-x)x=.当x=时,S有最大值为ah,此时O1为PO的中点,即A1,B1,C1分别是三条棱的中点.素养培优练在正三棱台ABC-A1B1C1中,已知AB=10,棱台一个侧面梯形的面积为,O1,O分别为上、下底面正三角形的中心,连接A1O1,AO并延长,分别交B1C1,BC于点D1,D,∠D1DA=60°,求上底面的边长.AB=10,∴AD=AB=5,OD=AD=.设上底面的边长为x(x>0),则O1D1=x.如图所示,连接O1O,过D1作D1H⊥AD于点H,则四边形OHD1O1为矩形,且OH=O1D1=x.∴DH=OD-OH=x,在Rt△D1DH中,D1D==2x.∵四边形B1C1CB的面积为(B1C1+BC)·D1D,∴(x+10)×2x,即40=(x+10)(10-x),∴x=2,故上底面的边长为2.。

高三单元滚动检测卷·数学考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分．4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．滚动检测五第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设全集U＝R，集合A＝{x|x(x－2)＜0}，B＝{x|x＜a}，若A与B的关系如图所示，则实数a的取值范围是()A．[0，＋∞)B．(0，＋∞)C．[2，＋∞)D．(2，＋∞)2．两个函数的图象经过平移后能够重合，称这两个函数为“同根函数”，给出四个函数：f1(x)＝2log2(x＋1)，f2(x)＝log2(x＋2)，f3(x)＝log2x2，f4(x)＝log2(2x)，则“同根函数”是() A．f2(x)与f4(x) B．f1(x)与f3(x)C．f1(x)与f4(x) D．f3(x)与f4(x)3．若命题p：函数y＝lg(1－x)的值域为R；命题q：函数y＝2cos x是偶函数，且是R上的周期函数，则下列命题中为真命题的是()A．p∧q B．(綈p)∨(綈q)C．(綈p)∧q D．p∧(綈q)4．(·河南名校联考)在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若a2＋b2＝2 016c2，则2tan A·tan Btan C(tan A＋tan B)的值为()A ．0B ．2 014C ．2 015D ．2 0165．《张邱建算经》有一道题：今有女子不善织布，逐日所织的布同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织布( ) A ．110尺 B ．90尺 C ．60尺D ．30尺6．(·渭南模拟)已知椭圆x 24＋y 23＝1上有n 个不同的点P 1，P 2，…，P n ，且椭圆的右焦点为F ，数列{|P n F |}是公差大于11 000的等差数列，则n 的最大值为( ) A ．2 001 B ．2 000 C ．1 999D ．1 9987．(·河北衡水中学第二次调研考试)已知f (x )，g (x )都是定义在R 上的函数，g (x )≠0，f ′(x )g (x )＞f (x )g ′(x )，且f (x )＝a x g (x )(a ＞0，且a ≠1)，f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52.若数列{f (n )g (n )}的前n 项和大于62，则n 的最小值为( ) A ．6 B ．7 C ．8D ．98．在三棱锥P －ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，D 为侧棱PC 上的一点，它的正视图和侧视图如图所示，则下列命题正确的是( )A ．AD ⊥平面PBC 且三棱锥D －ABC 的体积为83B ．BD ⊥平面P AC 且三棱锥D －ABC 的体积为83C ．AD ⊥平面PBC 且三棱锥D －ABC 的体积为163D ．BD ⊥平面P AC 且三棱锥D －ABC 的体积为1639．若tt 2＋9≤a ≤t ＋2t 2在t ∈(0,2]上恒成立，则a 的取值范围是( )A ．[16，1]B ．[16，2 2 ]C ．[16，413]D ．[213，1]10．已知点G 为△ABC 的重心，∠A ＝120°，A B →·A C →＝－2，则|A G →|的最小值是( ) A.33B.22C.23D.3411．若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 等于( )A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或712．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤3x －2，x －2y ＋1≤0，2x ＋y ≤8，则lg(y ＋1)－lg x 的取值范围为( )A ．[0,1－2lg 2]B ．[1，52]C ．[12，lg 2]D ．[－lg 2,1－2lg 2]第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P ，Q 是面对角线A 1C 1上的两个不同动点，给出以下判断：①存在P ，Q 两点，使BP ⊥DQ ； ②存在P ，Q 两点，使BP ∥DQ ；③若|PQ |＝1，则四面体BDPQ 的体积一定是定值； ④若|PQ |＝1，则四面体BDPQ 的表面积是定值；⑤若|PQ |＝1，则四面体BDPQ 在该正方体六个面上的正投影的面积的和为定值． 其中真命题是________．(将正确命题的序号全填上)14．已知矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝a ，若P A ⊥平面AC ，在BC 边上取点E ，使PE ⊥DE ，则满足条件的E 点有两个时，a 的取值范围是________．15．设a >1，若曲线y ＝1x 与直线y ＝0，x ＝1，x ＝a 所围成封闭图形的面积为2，则a ＝________.16．已知M 是△ABC 内的一点(不含边界)，且A B →·A C →＝23，∠BAC ＝30°，若△MBC ，△BMA 和△MAC 的面积分别为x ，y ，z ，记f (x ，y ，z )＝1x ＋4y ＋9z ，则f (x ，y ，z )的最小值是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，－π2＜φ＜π2，x ∈R )的部分图象如图所示．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)当x ∈[－π，－π6]时，求f (x )的取值范围．18．(12分)(·咸阳模拟)数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n 是S n 和1的等差中项，等差数列{b n }满足b 1＝a 1，b 4＝S 3.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设c n ＝1b n b n ＋1，数列{c n }的前n 项和为T n ，证明：13≤T n ＜12.19.(12分)如图，已知点P在圆柱OO1的底面圆O上，AB、A1B1分别为圆O、圆O1的直径且AA1⊥平面P AB.(1)求证：BP⊥A1P；(2)若圆柱OO1的体积V＝12π，OA＝2，∠AOP＝120°，求三棱锥A1－APB的体积．20．(12分)(·保定调研)已知函数f(x)＝ln x＋ax－a2x2(a≥0)．(1) 若x＝1是函数y＝f(x)的极植点，求a的值；(2)若f(x)＜0在定义域内恒成立，求实数a的取值范围．21．(12分)如图，P －AD －C 是直二面角，四边形ABCD 是∠BAD ＝120°的菱形，AB ＝2，P A ⊥AD ，E 是CD 的中点，设PC 与平面ABCD 所成的角为45°.(1)求证：平面P AE ⊥平面PCD ；(2)试问在线段AB (不包括端点)上是否存在一点F ，使得二面角A －PF －D 的大小为45°？若存在，请求出AF 的长，若不存在，请说明理由．22．(12分)(·合肥第二次质检)已知△ABC 的三边长|AB |＝13，|BC |＝4，|AC |＝1，动点M 满足CM →＝λCA →＋μCB →，且λμ＝14.(1)求|CM →|最小值，并指出此时CM →与C A →，C B →的夹角；(2)是否存在两定点F 1，F 2，使||MF 1→|－|MF 2→||恒为常数k ？，若存在，指出常数k 的值，若不存在，说明理由．答案解析1．C 2.A 3.A 4.C 5.B 6.B 7.A 8.C 9．D [t t 2＋9＝1t ＋9t，而u ＝t ＋9t 在(0,2]上单调递减，故t ＋9t ≥2＋92＝132，t t 2＋9＝1t ＋9t ≤213(当且仅当t ＝2时，等号成立)，t ＋2t 2＝1t ＋2t 2＝2(1t ＋14)2－18， 因为1t ≥12，所以t ＋2t 2＝1t ＋2t 2＝2(1t ＋14)2－18≥1(当且仅当t ＝2时等号成立)，故a 的取值范围是[213，1]．]10．C [设BC 的中点为M ，则A G →＝23AM →.又M 为BC 的中点，∴AM →＝12(A B →＋A C →)，∴A G →＝23AM →＝13(A B →＋A C →)，∴|A G →|＝13A B →2＋A C →2＋2A B →·A C →＝13A B →2＋A C →2－4.又∵A B →·A C →＝－2，∠A ＝120°， ∴|A B →||A C →|＝4.∵|A G →|＝13AB →2＋AC →2－4≥132|A B →||A C →|－4＝23，当且仅当|A B →|＝|A C →|＝2时取“＝”，∴|A G →|的最小值为23，故选C.]11．A [因为y ＝x 3，所以y ′＝3x 2， 设过(1,0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)，则在该点处的切线斜率为k ＝3x 20，所以切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30.又(1,0)在切线上，则x 0＝0或x 0＝32.当x 0＝0时，由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切，可得a ＝－2564，当x 0＝32时，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切，可得a ＝－1.]12．A [如图所示，作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤3x －2，x －2y ＋1≤0，2x ＋y ≤8确定的可行域．因为lg(y ＋1)－lg x ＝lg y ＋1x ，设t ＝y ＋1x，显然，t 的几何意义是可行域内的点P (x ，y )与定点E (0，－1)连线的斜率． 由图可知，点P 在点B 处时，t 取得最小值； 点P 在点C 处时，t 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋1＝0，2x ＋y ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，即B (3,2)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3x －2，2x ＋y ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，即C (2,4)．故t 的最小值为k BE ＝2－(－1)3＝1，t 的最大值为k CE ＝4－(－1)2＝52，所以t ∈[1，52]．又函数y ＝lg x 为(0，＋∞)上的增函数， 所以lg t ∈[0，lg 52]，即lg(y ＋1)－lg x 的取值范围为[0，lg 52]．而lg 52＝lg 5－lg 2＝1－2lg 2，所以lg(y ＋1)－lg x 的取值范围为[0,1－2lg 2]． 故选A.] 13．①③⑤解析 当P 与A 1点重合，Q 与C 1点重合时，BP ⊥DQ ， 故①正确；BP 与DQ 异面，故②错误；设平面A 1B 1C 1D 1两条对角线交点为O ，则易得PQ ⊥平面OBD ，平面OBD 可将四面体BDPQ 分成两个底面均为平面OBD ，高之和为PQ 的棱锥，故四面体BDPQ 的体积一定是定值， 故③正确；若|PQ |＝1，则四面体BDPQ 的表面积不是定值， 故④错误；四面体BDPQ 在上下两个底面上的投影是对角线互相垂直且对角线长度分别为1和2的四边形，其面积为定值，四面体BDPQ 在四个侧面上的投影， 均为上底为22，下底和高均为1的梯形，其面积为定值， 故四面体BDPQ 在该正方体六个面上的正投影的面积的和为定值， 故⑤正确．14．a >6解析 以A 点为原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴，如图所示． 则D (0，a,0)，设P (0,0，b )，E (3，x,0)，PE →＝(3，x ，－b )，DE →＝(3，x －a,0)， ∵PE ⊥DE ，∴PE →·DE →＝0， ∴9＋x (x －a )＝0， 即x 2－ax ＋9＝0，由题意可知方程有两个不同根， ∴Δ>0，即a 2－4×9>0，又a >0，∴a >6. 15．e 2解析 ∵a >1，曲线y ＝1x 与直线y ＝0，x ＝1，x ＝a 所围成封闭图形的面积为2，∴ʃa 11x d x ＝2，∴ |ln x a 1＝2，ln a ＝2，∴a ＝e 2. 16．36解析 由题意得A B →·A C →＝|A B →|·|A C →|cos ∠BAC ＝23，则|A B →|·|A C →|＝4，∴△ABC 的面积为12|A B →|·|A C →|·sin ∠BAC ＝1，x ＋y ＋z ＝1，∴f (x ，y ，z )＝1x ＋4y ＋9z ＝x ＋y ＋z x ＋4(x ＋y ＋z )y ＋9(x ＋y ＋z )z ＝14＋(y x ＋4x y )＋(9x z ＋z x )＋(4zy ＋9y z )≥14＋4＋6＋12＝36(当且仅当x ＝16，y ＝13，z ＝12时，等号成立)． 17．解 (1)由图象得A ＝1，T 4＝2π3－π6＝π2，所以T ＝2π，则ω＝1， 将(π6，1)代入得1＝sin(π6＋φ)，而－π2＜φ＜π2，所以φ＝π3， 因此函数f (x )＝sin(x ＋π3)． (2)由于x ∈[－π，－π6]，－2π3≤x ＋π3≤π6， 所以－1≤sin(x ＋π3)≤12， 所以f (x )的取值范围是[－1，12]． 18．(1)解 ∵a n 是S n 和1的等差中项，∴S n ＝2a n －1.当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1－1，∴a 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2a n －1)－(2a n －1－1)＝2a n －2a n －1.∴a n ＝2a n －1，即a n a n －1＝2， ∴数列{a n }是以a 1＝1为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＝2n －1，S n ＝2n －1.设{b n }的公差为d ，b 1＝a 1＝1，b 4＝1＋3d ＝7，∴d ＝2，∴b n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1.(2)证明 c n ＝1b n b n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12(12n －1－12n ＋1)． ∴T n ＝12(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1) ＝12(1－12n ＋1)＝n 2n ＋1， ∵n ∈N *，∴T n ＝12(1－12n ＋1)＜12， T n －T n －1＝n 2n ＋1－n －12n －1＝1(2n ＋1)(2n －1)＞0， ∴数列{T n }是一个递增数列，∴T n ≥T 1＝13， 综上所述，13≤T n ＜12. 19．(1)证明 易知AP ⊥BP ，由AA 1⊥平面P AB ，得AA 1⊥BP ，且AP ∩AA 1＝A ，所以BP ⊥平面P AA 1，又A 1P ⊂平面P AA 1，故BP ⊥A 1P .(2)解 由题意得V ＝π·OA 2·AA 1＝4π·AA 1＝12π，解得AA 1＝3.由OA ＝2，∠AOP ＝120°，得∠BAP ＝30°，BP ＝2，AP ＝23，∴S △P AB ＝12×2×23＝23， ∴三棱锥A 1－APB 的体积V ＝13S △P AB ·AA 1＝13×23×3＝2 3. 20．解 (1)函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－2a 2x 2＋ax ＋1x. 因为x ＝1是函数y ＝f (x )的极值点，所以f ′(1)＝1＋a －2a 2＝0，解得a ＝－12(舍去)或a ＝1， 经检验，当a ＝1时，x ＝1是函数y ＝f (x )的极值点，所以a ＝1.(2)当a ＝0时，f (x )＝ln x ，显然在定义域内不满足f (x )＜0恒成立；当a ＞0时，令f ′(x )＝(2ax ＋1)(－ax ＋1)x＝0 得，x 1＝－12a (舍去)，x 2＝1a，所以当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表： x (0，1a ) 1a (1a ，＋∞) f ′(x )＋ 0 －f (x )极大值所以f (x )max ＝f (1a )＝ln 1a＜0，所以a ＞1. 综上可得a 的取值范围是(1，＋∞)．21.(1)证明 因为P A ⊥AD ，二面角P －AD －C 是直二面角，所以P A ⊥平面ABCD ，因为DC ⊂平面ABCD ，所以P A ⊥CD ，连接AC ，因为ABCD 为菱形，∠BAD ＝120°，所以∠CAD ＝60°，∠ADC ＝60°，所以△ADC 是等边三角形．因为E 是CD 的中点，所以AE ⊥CD ，因为P A ∩AE ＝A ，所以CD ⊥平面P AE ，而CD ⊂平面PCD ，所以平面P AE ⊥平面PCD .(2)解 以A 为坐标原点，AB ，AE ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系．因为P A ⊥平面ABCD ，所以∠PCA 是PC 与平面ABCD 所成角，所以∠PCA ＝45°，所以P A ＝AC ＝AB ＝2，于是P (0,0,2)，D (－1，3，0)，PD →＝(－1，3，－2)．设AF ＝λ，则0<λ<2，F (λ，0,0)，所以PF →＝(λ，0，－2)．设平面PFD 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则有n 1·PD →＝0，n 1·PF →＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋3y －2z ＝0，λx －2z ＝0， 令x ＝1，则z ＝λ2，y ＝λ＋13， 所以平面PFD 的法向量为n 1＝(1，λ＋13，λ2)． 而平面APF 的法向量为n 2＝(0,1,0)．所以|cos 〈n 1，n 2〉|＝2|λ＋1|7λ2＋8λ＋16＝22， 整理得λ2＋8λ－8＝0，解得λ＝26－4(或λ＝－26－4舍去)，因为0<26－4<2，所以在AB 上存在一点F ，使得二面角A －PF －D 的大小为45°，此时AF ＝26－4.22．解 (1)由余弦定理知cos ∠ACB ＝12＋42－132×1×4＝12⇒∠ACB ＝π3， 因为|CM →|2＝CM →2＝(λC A →＋μC B →)2＝λ2＋16μ2＋2λμC A →·C B →＝λ2＋1λ2＋1≥3， 所以|CM →|≥3， 当且仅当λ＝±1时，“＝”成立，故|CM →|的最小值是3，此时〈CM →，C A →〉＝〈CM →，C B →〉＝π6或5π6. (2)以C 为坐标原点，∠ACB 的平分线所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系(如图)，所以A (32，12)，B (23，－2)，设动点M (x ，y )， 因为CM →＝λC A →＋μC B →， 所以⎩⎨⎧ x ＝32λ＋23μ，y ＝12λ－2μ⇒⎩⎨⎧ x 23＝(λ2＋2μ)2，y 2＝(λ2－2μ)2，再由λμ＝14知x 23－y 2＝1， 所以动点M 的轨迹是以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点，实轴长为23的双曲线，即||MF 1→|－|MF 2→||恒为常数23，即存在k ＝2 3.。

人教版高中数学必修第二册8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积同步练习一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.棱长为3的正方体的表面积为()A.27B.64C.54D.362.已知高为3的三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为1的正三角形(如图L8-3-1),则三棱锥B1-ABC的体积V=()图L8-3-1A.1B.12C D3.如图L8-3-2,长方体ABCD-A1B1C1D1的体积为V1,E为棱CC1上的点,且CE=13CC1,三棱锥E-BCD 的体积为V2,则 2 1=()图L8-3-2A.13B.16C.19D.1184.已知正四棱锥的底面边长为2,侧棱长为5,则该正四棱锥的体积为()A.43B.23C.43D5.已知正三棱柱的高为4,体积为43,则底面三角形的边长为()A.1B.2C.3D.46.如图L8-3-3,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,正三棱锥D-A1BC1的表面积与正方体的表面积之比是()图L8-3-3.2B.3C.3D.27.如图L8-3-4,在三棱锥P-ABC中,D,E分别为PB,PC的中点,记三棱锥D-ABE的体积为V1,三棱锥P-ABC的体积为V2,则V1∶V2=()图L8-3-4A.1∶2B.1∶3C.1∶4D.1∶58.如图L8-3-5,一个直三棱柱形容器中盛有水,且侧棱AA1=8.若侧面AA1B1B水平放置时,水面恰好过AC,BC,A1C1,B1C1的中点,则当底面ABC水平放置时,水面的高为()图L8-3-5A.6B.7C.2D.4二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)9.有一个正四棱台形的油槽,可以装油190L,假如它的两底面边长分别为60cm和40cm,则它的高为cm.10.已知正四棱柱的底面边长为22,体积为32,则此四棱柱的表面积为.11.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,则四棱锥A1-EFGH的体积为.12.在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB,AC,AA1两两成60°角,点E,F,G分别为AB,AC,AA1上的点,且AE=12AB,AF=13AC,AG=23AA1,则三棱锥G-AEF的体积与三棱柱ABC-A1B1C1的体积之比为.三、解答题(本大题共2小题,共20分)13.(10分)已知一个长方体共顶点的三个面的面积分别是2,3,6.(1)求这个长方体的体对角线长;(2)求这个长方体的体积.14.(10分)正四棱台ABCD-A1B1C1D1的上底面是边长为2的正方形,下底面是边长为4的正方形,侧棱长为2,侧面是全等的等腰梯形,求正四棱台的表面积.15.(5分)在《九章算术》中,堑堵指底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱,阳马指底面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图L8-3-6,在堑堵ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,AA1=AB=2,则当阳马B-A1ACC1的体积最大时,堑堵ABC-A1B1C1的体积为.图L8-3-616.(15分)如图L8-3-7是一个以△A1B1C1为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体,截面为ABC,已知A1B1=B1C1=2,∠A1B1C1=90°,AA1=4,BB1=3,CC1=2.(1)求该几何体的体积;(2)求截面ABC的面积.图L8-3-7参考答案与解析1.C[解析]所求表面积为6×32=54.2.D[解析]V=13×33.D[解析]由题意得,V1=S长方形ABCD·CC1,V2=13S△BCD·CE=13×12S长方形ABCD×13CC1=118S长方形ABCD·CC1,则 2 1=118.故选D.4.D[解析]由题知该正四棱锥底面的对角线的长度为22,故该正四棱锥的高h=5−2=3,所以其体积V=13×4×3=D.5.B[解析]设正三棱柱底面三角形的边长为a,则底面三角形的面积2,由正三棱柱的体积2×4=43,得a=2,故选B.6.B[解析]设正方体的棱长为1,则正方体的表面积为6,正三棱锥D-A1BC1的棱长均为2,其表面积为4×12×2sin60°×2=23,∴正三棱锥D-A1BC1的表面积与正方体的表面积之比B.7.C[解析]∵E是PC的中点,∴P,C到平面ABE的距离相等,∴V三棱锥P-ABE=V三棱锥C-ABE,又D是PB的中点,∴D到平面ABE的距离等于P到平面ABE的距离的12,∴V三棱锥D-ABE=12V三棱锥P-ABE=14V三棱锥P-ABC ,∴ 1 2= 三棱锥 - ૸三棱锥 - ૸=14.故选C.8.A[解析]根据题意,当侧面AA1B1B水平放置时,有水的部分为四棱柱,其底面是梯形,设△ABC的面积为S,则S梯形=34S,水的体积V水=34S×A1A=6S.当底面ABC水平放置时,有水的部分为三棱柱,设水面的高为h,则V水=Sh=6S,故h=6,故选A.9.75[解析]设正四棱台的体积为V mL,上、下底面的面积分别为S'cm2,S cm2,高为h cm,则V=13(S+ '+S')h,即h=3×1900003600+2400+1600=75,故高为75cm.10.16+322[解析]设正四棱柱的高为h,则4,所以此四棱柱的表面积为4×4×22+2×22×22=322+16.11.43[解析]∵正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,∴四边形EFGH是边长为2的正方形,又点A1到平面EFGH的距离d=AA1=2,∴四棱锥A1-EFGH的体积V=13×d×S正方形EFGH=13×2×2×2=43.12.127[解析]设三棱柱ABC-A1B1C1的高为H,三棱锥G-AEF的高为H',则三棱锥G-AEF的体积V=13×S△AEF×H'=13×S△AEF×23H.设△AEF的边AF上的高为h',则根据点E为AB的中点得,△ABC=12×AF×h'=12×13AC×h'=16AC×h',S△ABC=12×AC×2h'=AC×h',则三棱锥G 的边AC上的高为2h',所以S△AEF-AEF的体积V1=127AC×H×h',三棱柱ABC-A1B1C1的体积V2=AC×h'×H,故所求体积之比为127. 13.解:(1)设此长方体共顶点的三条棱的长分别为a,b,c,则ab=2,bc=3,ac=6,解得c=3,a=2,b=1.故这个长方体的体对角线长为(2)2+(3)2+12=6.(2)由(1)可知这个长方体的体积V=abc=6.14.解:∵正四棱台的上底面是边长为2的正方形,下底面是边长为4的正方形,∴上底面、下底面的面积分别是4,16.∵侧棱长为2,侧面是全等的等腰梯形,∴=3,∴一个侧面的面积为12×(2+4)×3=33,∴正四棱台的表面积为4+16+33×4=20+123.15.2[解析]设AC=x,BC=y,则由题意得x>0,y>0,x2+y2=4.阳马B-A1ACC1的体积V1=13×2x×y=23xy,∵xy≤ 2+ 22=2,当且仅当x=y=2时取等号,∴当阳马B-A1ACC1的体积最大时,AC=BC=2,此时堑堵ABC-A1B1C1的体积V2=S△ABC·AA1=12×2×2×2=2.16.解:(1)如图,过C作平行于△A1B1C1的截面A2B2C,分别交AA1,BB1于点A2,B2.由题知,该几何体的体积V=三棱柱 1 1૸1- 2 2૸+ 四棱锥૸- 2 2=12×2×2×2+13×12×(1+2)×2×2=6.(2)在△ABC中,AB=22+(4−3)2=5,BC=22+(3−2)2=5,AC=(22)2+(4−2)2=23,则S=12×23×(5)2-(3)2=6.△ABC。

2010年高考数学一轮复习精品学案（人教版A 版）解三角形一.【课标要求】（1） 通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决 一些简单的三角形度量问题；（2） 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实 际问题。

二.【命题走向】对本讲内容的考察主要涉及三角形的边角转化、三角形形状的判断、 三角形内三角函数的求值以及三角恒等式的证明问题，立体几何体的空间角以及解析几何中的有关角等问题。

今后高考的命题会以正弦定理、 余弦定理为知识框架，以三角形为主要依托，结合实际应用 问题考察正弦定理、余弦定理及应用。

题型一般为选择题、填空题，也可能是中、难度的解 答题.a sinA = cosB =—,c2.斜三角形中各元素间的关系:如图6-29，在△ ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示 A 、B 、C 的对边。

（1）三角形内角和： A + B + C = n 。

（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等（R 为外接圆半径）（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的 余弦的积的两倍.a 2=b 2 +c 2— 2bccosA ; b 2= c 2 + a 2— 2cacosB ; c 2= a 2+ b 2 — 2abcosC 。

3•三角形的面积公式: 1 1 1 —absi nC = — bcsi nA = — acs inB ;2 2 22 2 2A a si nBsi nC b sin Csi nA c si n Asin B(3)A= = =2sin (B+C)2 si n(C+A)2si n(A+B)2 ..【要点精讲】1•直角三角形中各元素间的关系:如图，在△ ABC 中, C = 90°, AB = c , AC = b , BC =a 。

（1） 三边之间的关系（2） 锐角之间的关系a 2 +b 2 =c 2。

20XX 届高考数学二轮专题复习：立体几何类型一：三视图例1. 陕西理5．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是 （ ）（A ）283π- （B ）83π-（C ）82π-（D ）23π即一个正方体中间去掉一个圆锥体，所以它的体积是3218222833V ππ=-⨯⨯⨯=-.类型二：关于球例2. 已知球的直径SC =4，A ，B 是该球球面上的两点，AB =3， 30=∠=∠BSC ASC ，则棱锥S —ABC 的体积为A ．33B ．32C ．3D ．1变式训练2. （四川）如图，半径为R 的球O 中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是_________．答案：2πR 2解析：如图，设求的一条半径与圆柱相应的母线夹角为α，则圆柱的侧面积22sin 2cos 2sin 2S R R R πααπα=⋅⋅=，当4πα=时，S 取最大值22R π，此时球的表面积与该圆柱的侧面积之差为22R π．类型三：平行与垂直的证明例3.如图，在四棱锥ABCD P -中，平面PAD ⊥平面ABCD ， AB=AD ，∠BAD=60°，E 、F 分别是AP 、AD 的中点 求证：（1）直线E F//平面PCD ； （2）平面BEF ⊥平面PAD.变式训练3：如图，正方形ABCD 和四边形ACEF 所在典型例题的平面互相垂直。

EF//AC ，AB=2,CE=EF=1（Ⅰ）求证：AF//平面BDE ； （Ⅱ）求证：CF ⊥平面BDF;证明：（Ⅰ）设AC 于BD 交于点G 。

因为EF ∥AG,且EF=1，AG=12AG=1 所以四边形AGEF 为平行四边形 所以AF ∥EG因为EG ⊂平面BDE,AF ⊄平面BDE, 所以AF ∥平面BDE（Ⅱ）连接FG 。

因为EF ∥CG,EF=CG=1,且CE=1,所以平行四边形CEFG 为菱形。

所以CF ⊥EG.因为四边形ABCD 为正方形，所以BD ⊥AC.又因为平面ACEF ⊥平面ABCD,且平面ACEF ∩平面ABCD=AC,所以BD ⊥平面ACEF.所以CF ⊥BD.又BD ∩EG=G,所以CF ⊥平面BDE.类型四：例4： 如图，直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC =，1AA AB =，D 为1BB 的中点，E 为1AB 上的一点，13AE EB =．（Ⅰ）证明：DE 为异面直线1AB 与CD 的公垂线； （Ⅱ）设异面直线1AB 与CD 的夹角为45°，求二面角111A AC B --的大小．(19)解法一：（I ）连接A 1B ，记A 1B 与AB 1的交点为F.因为面AA 1BB 1为正方形，故A 1B ⊥AB 1，且AF=FB 1，又AE=3EB 1，所以FE=EB 1，又D 为BB 1的中点，故DE ∥BF ，DE ⊥AB 1. ………………3分 作CG ⊥AB ，G 为垂足，由AC=BC 知，G 为AB 中点.又由底面ABC ⊥面AA 1B 1B.连接DG ，则DG ∥AB 1，故DE ⊥DG ，由三垂线定理，得DE ⊥CD. 所以DE 为异面直线AB 1与CD 的公垂线.（II ）因为DG ∥AB 1，故∠CDG 为异面直线AB 1与CD 的夹角，∠CDG=45° 设AB=2，则AB 1=，DG=，CG=，AC=.作B 1H ⊥A 1C 1，H 为垂足，因为底面A 1B 1C 1⊥面AA 1CC 1，故B 1H ⊥面AA 1C 1C.又作HK ⊥AC 1，K 为垂足，连接B 1K ，由三垂线定理，得B 1K ⊥AC 1，因此∠B 1KH 为二面角A 1-AC 1-B 1的平面角.变式训练4：已知三棱锥P－ABC中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC=½AB，N为AB上一点，AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.（Ⅰ）证明：CM⊥SN；（Ⅱ）求SN与平面CMN所成角的大小.证明：设PA=1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系如图。

2010届高三理科数学小综合专题练习——立体几何东莞实验中学提供一、选择题：1．下列命题中，正确的是（）A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面C．棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形D．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形2．在空间中,给出下面四个命题,则其中正确命题的个数为( )①过平面α外的两点,有且只有一个平面与平面α垂直；②若平面β内有不共线三点到平面α的距离都相等，则//αβ；③若直线l与平面内的无数条直线垂直，则lα⊥；④两条异面直线在同一平面内的射影一定是两条平行线；A0B1C2D33．图示最左边的几何体由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆A．（1）（2） B．（1）（3） C．（1）（4） D．（1）（5）4．一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（）A．433B．33C．43D．1235器中水面的高度h随时间t变化的可能图象是（）（4）（1）（2）（3）（5）正视图侧视图A B C D二、填空题：6．如图是一个空间几何体的主视图、侧视图、俯视图，如果主视图、侧视图所对应的三角形皆为边长为2的正三角形，俯视图对应的四边形为正方形，那么这个几何体的表面积是 ，体积是 ．7．C B A '''∆是正△ABC 的斜二测画法的水平放置图形的直观图，若C B A '''∆的面积为3，那么△ABC 的面积为_______________。

8．已知边长为a 正方体1111D C B A ABCD -，O 为上底面1111D C B A 的中心，E 为棱11B A 上的一点且EO AE +的长为最小，则最小值是 。

9．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 .10．在空间直角坐标系中，已知点A （1，0，2），B(1，-3，1)，点M 在y 轴上，且M 到A 与到B 的距离相等，则M 的坐标是________。

人教A 版数学课本优质习题总结训练——选择性必修一P91．证明：如果向量a ，b 共线，那么向量2a b + 与a 共线．2．已知四面体ABCD 的每条棱长都等于a ，点E ，F ，G 分别是棱,,AB AD DC 的中点，求下列向量的数量积：(1)AB AC ⋅uu u r uuu r ；(2)AD DB ⋅ ；(3)GF AC ⋅ ；(4)EF BC ⋅ ；(5)FG BA ⋅ ；(6)GE GF ⋅ .P103．如图，在四面体OABC 中，OA OB =，CA CB =，E ，F ，G ，H 分别是OA ，OB ，BC ，CA 的中点．求证：四边形EFGH 是矩形．P144．已知四面体OABC ，OB OC =，AOB AOC θ∠=∠=．求证：OA BC ⊥．P155．如图，平行六面体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是菱形，且1160C CB C CD BCD ∠=∠=∠=，1CD CC =，求证：1CA ⊥平面1C BD ．5题图6题图P356．如图，在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 为线段DD 1的中点，F 为线段BB 1的中点．(1)求点A 1到直线B 1E 的距离；(2)求直线FC 1到直线AE 的距离；(3)求点A 1到平面AB 1E 的距离；(4)求直线FC 1到平面AB 1E 的距离．P387．PA,PB,PC 是从点P 出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60°，那么直线PC 与平面PAB 所成角的余弦值是()D ．3C B ．2A ．128．如图，△ABC 和△D BC 所在平面垂直，且AB BC BD ==，120CBA DBC =∠=∠︒．求：(1)直线AD 与直线BC 所成角的大小；(2)直线AD 与平面BCD 所成角的大小；(3)平面ABD 和平面BDC 的夹角的余弦值．8题图9题图10题图P419．如图，二面角l αβ--的棱上有两个点A ，B ，线段BD 与AC 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱l ．若4AB =，6AC =，8BD =，CD =α与平面β的夹角．10．如图，在三棱锥A BCD -中，3AB AC BD CD ====，2AD BC ==，M ，N 分别是AD ，BC 的中点．求异面直线AN ，CM 所成角的余弦值．P4411．在空间直角坐标系中，已知向量(,,)(0)u a b c abc =≠ ，点()0000,,P x y z ，点(),,P x y z ．(1)若直线l 经过点0P ，且以u 为方向向量，P 是直线l 上的任意一点，求证：000x x y y z z a b c---==(2)若平面α经过点0P ，且以u 为法向量，P 是平面α内的任意一点，求证：()()00a x x b y y -+-+()00c z z -=．12．在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD ，ABEF 的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子M ，N 分别在正方形对角线AC 和BF 上移动，且CM 和BN 的长度保持相等，记CM BN a ==(0a <<．(1)求MN 的长；(2)a 为何值时，MN 的长最小？(3)当MN 的长最小时求平面MNA 与平面MNB 夹角的余弦值．12题图13题图P4813．如图，在平行六面体ABCD A B C D -''''中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，侧棱AA '的长为b ，且120A AB A AD ''=∠=∠︒.求：(1)AC '的长；(2)直线BD '与AC 所成角的余弦值.P4914．如图，把正方形纸片ABCD 沿对角线AC 折成直二面角，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，O 是原正方形ABCD 的中心，求折纸后EOF ∠的大小.14题图15题图15．如图，在棱长为a 的正方体OABC O A B C ''''-中，E ，F 分别是AB ，BC 上的动点，且AE BF =．(1)求证：A F C E ''⊥；(2)当三棱锥B BEF '-的体积取得最大值时，求平面B EF '与平面BEF 的夹角的正切值．16．如图，两条异面直线a ，b 所成的角为θ，在直线a ，b 上分别取点A '，E 和点A ，F ，使AA a '⊥，且AA b '⊥.已知A E m '=，AF n =，EF l =，求线段AA '的长.P6717．求经过点P(2,3)，并且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程．18．设点P 0(x 0,y 0)在直线A x +B y +C=0上，求证：这条直线的方程还可以写成A(x -x 0)+B(y -y 0)=0.P6819．若直线l 沿x 轴向左平移3个单位长度，再沿y 轴向上平移1个单位长度后回到原来的位置．试求直线l 的斜率．20．一条光线从点(6,4)P 射出，与x 轴相交于点Q(2,0)，经x 轴反射，求入射光线和反射光线所在的直线方程.P8021．已知λ为任意实数，当λ变化时，方程342(22)0x y x y λ+-+++=表示什么图形？图形有何特点？P8822．圆C 的圆心在x 轴上，并且过A(-1,1)和B(1,3)两点，求圆C 的方程．23．等腰三角形的顶点是(4,2)A ，底边一个端点是(3,5)B ，求另一个顶点C 的轨迹方程，试说明它的轨迹是什么？P9524．某圆拱桥的水面跨度20m ，拱高4m ，现有一船，宽10m ，水面以上高3m ，这条船能否从桥下通过？P9825．求下列条件确定的圆的方程，并画出它们的图形：(1)圆心为M(3,-5)，且与直线720x y -+=相切；(2)圆心在直线y =x 上，半径为2，且与直线y =6相切；(3)半径为13，且与直线2x -3y +6=0相切于点(3,4)．26．求与x 轴相切，圆心在直线3x -y =0上，且被直线x -y =0截得的弦长为27的圆的方程．27．求圆心在直线x -y -4=0上，并且经过圆x 2+y 2+6x -4=0与圆x 2+y 2+6y -28=0的交点的圆的方程．28．求经过点M (3，﹣1)且与圆C ：x 2+y 2+2x ﹣6y +5=0相切于点N (1，2)的圆的方程．29．已知A(-2,-2)，B(-2,6)，C(4,-2)三点，点P 在圆x 2+y 2=4上运动，求|PA|2+|PB|2+|PC|2的最大值和最小值．P9930．已知圆x 2+y 2=4，直线l ：y =x +b ，b 为何值时，圆上恰有三个点到直线l 的距离都等于1？31．已知点P(-2,-3)和以点Q 为圆心的圆(x -1)2+(y -2)2=9．(1)画出以PQ 为直径，点Q '为圆心的圆，再求出圆Q '的方程；(2)设圆Q 与圆Q '相交于A ，B 两点，直线PA ，PB 是圆Q 的切线吗？为什么？(3)求直线AB 的方程．P10232．若直线l 的方程为x -y sin θ+2=0，则直线l 的倾角α的范围是()A ．[0，π]B ．[4π，2π]C ．[4π，34π]D ．[4π，2π)∪(2π，34π)33．已知平行四边形的两条边所在直线的方程分别为x +y -1=0，3x -y +4=0，且它的对角线的交点为M(3,3)，求这个平行四边形其他两边所在直线的方程．34．求点P(-2,-1)到直线:(13)(1)240l x y λλλ+++--=(λ为任意实数)的距离的最大值．35．过点P (3,0)作一条直线，使它夹在两直线l 1：2x －y －2＝0和l 2：x ＋y ＋3＝0间的线段AB 恰好被点P 平分，求此直线的方程．P10336．已知直线l :x -2y -8=0和A(-2,0)，B(2,4)两点，若直线l 上存在点P 使得|PA|+|PB|最小，求点P 的坐标．37．求圆心在直线y =-2x 上，并且经过点A(2,－1)，与直线x +y =1相切的圆的方程.38．求由曲线x 2+y 2=|x |+|y |围成的图形的面积．39．一条光线从点A(-2,3)射出，经x 轴反射后，与圆C:(x -3)2+(y -2)2=1相切，求反射后光线所在直线的方程40．已知圆C:(x -1)2+(y -2)2=25，直线l :(2m +1)x +(m +1)y -7m -4=0.(1)求证：直线l 恒过定点；(2)直线l 被圆C 截得的弦何时最长？何时最短？并求截得的弦长最短时m 的值以及最短弦长.P11241．比较下列每组中椭圆的形状，哪一个更接近于圆？为什么？(1)22936x y +=与2211612x y +=；(2)22936x y +=与221610x y +=．P11542．如图，圆O 的半径为定长r ，A 是圆O 内一个定点，P 是圆O 上任意一点．线段AP 的垂直平分线l 和半径OP 相交于点Q ，当点P 在圆上运动时，点O 的轨迹是什么？为什么？43．一动圆与圆22650x y x +++=外切，同时与圆226910x y x +--=内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么曲线?P11644．如图，矩形ABCD 中，||2AB a =，||2(0)BC b a b =>>．E ，F ，G ，H 分别是矩形四条边的中点，R ，S ，T 是线段OF 的四等分点，R '，S '，T '是线段CF 的四等分点．证明直线ER 与GR '、ES 与GS '、ET 与GT '的交点L ，M ，N 都在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上．45．已知椭圆221259x y +=，直线:45400l x y -+=．椭圆上是否存在一点，使得：(1)它到直线l 的距离最小？最小距离是多少？(2)它到直线l 的距离最大？最大距离是多少？46．已知椭圆22149x y +=，一组平行直线的斜率是32．(1)这组直线何时与椭圆相交？(2)当它们与椭圆相交时，证明这些线被椭圆截得的线段的中点在同一条直线上．P12147．已知方程22121x y m m -=++表示双曲线，求m 的取值范围．48．双曲线2221(0)12x y a a -=>的两个焦点分别是F 1与F 2，焦距为8；M 是双曲线上的一点，且|MF 1|=5，求|MF 2|的值．P12749．如图，圆O 的半径为定长r ，A 是圆O 外一个定点，P 是圆O 上任意一点．线段AP 的垂直平分线l 与直线OP 相交于点Q ，当点P 在圆O 上运动时，点Q 的轨迹是什么？为什么？50．m ，n 为何值时，方程221x y m n+=表示下列曲线：(1)圆；(2)椭圆；(3)双曲线？P12851．M 是一个动点，MA 与直线y x =垂直，垂足A 位于第一象限，MB 与直线y x =-垂直，垂足B 位于第四象限．若四边形OAMB (O 为原点)的面积为3，求动点M 的轨迹方程．52．设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与双曲线22221x y a b-=的离心率分别为1e ，2e ，求1e 和e 2的取值范围．53．已知双曲线2212y x -=，过点(1,1)P 的直线l 与双曲线相交于A ，B 两点，P 能否是线段AB 的中点？为什么？54．已知双曲线221416x y -=与直线:(2)l y kx m k =+≠±有唯一的公共点M ，过点M 且与l 垂直的直线分别交x 轴、y 轴于A(x ,0)，B(0,y )两点．当点M 运动时，求点P(x ,y )的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．如果推广到一般双曲线，能得到什么相应的结论？P13855．已知圆心在y轴上移动的圆经过点A(0,5)，且与x轴、y轴分别交于B(x,0)，C(0,y)两个动点，求点M(x,y)的轨迹方程.56．如图，M是抛物线y2=4x上的一点，F是抛物线的焦点，以Fx为始边、FM为终边的角∠xFM=60°，求|FM|．P13957．设抛物线y2=2px的焦点为F，从点F发出的光线经过抛物线上的点M(不同于抛物线的顶点)反射，证明反射光线平行于抛物线的对称轴．P14558．与圆x2+y2=1及圆x2+y2-8x+12=0都外切的圆的圆心在()A．椭圆上B．双曲线上的一支上C．抛物线上D．圆上59．当α从0到π变化时，方程x2+y2cosα=1表示的曲线怎样变化？60．已知正三角形一个顶点位于抛物线y2=2px(p＞0)的焦点，另外两个顶点在抛物线上，求这个等边三角形的边长．P14661．在抛物线y2=4x上求一点P，使得点P到直线y=x+3的距离最短．62．当m变化时，指出方程(m-1)x2+(3-m)y2=(m-1)(3-m)表示的曲线的形状．63．过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点F作直线与抛物线交于A，B两点，以AB为直径画圆，观察它与抛物线的准线l 的关系，你能得到什么结论？相应于椭圆、双曲线如何？你能证明你的结论吗？-选择性必修一结束-。

典型例题一
例1 正六棱锥的底面周长为24，侧面与底面所成角为，求：（1）棱锥的高；（2）斜高；（3）侧棱长；（4）侧棱与底面所成角．
分析：本题涉及了正棱锥的若干基本量，可以把基本量放置到直角三角形中，由已知量求未知量．
解：正六棱锥的底面周长为24．
∴正六棱锥的底面边长为4．
在正棱锥中，
取中点，连，，
是正六边形的中心．
连，则底面
∴．
∴是侧面与底面所成二面角的平面角，即．
（1）在△中，，，
∴．
（2）同样在△中，斜高，
（3）△中，，．
∴．
（4）∵底面，∴是侧棱与底面所成角，
同样在△中，，∴，
说明：在立体几何中，要善于把长度和角度放到三角形中去解决，正棱锥中有关长度、角度主要在两上重要的直角三角形中，本题中的方法也可用于其它正棱锥中．比如：已知正四棱锥底面边长为，相邻两侧面所成二面角为，求正棱锥的高、斜高、侧棱长．正四棱锥相邻侧面是全等的等腰三角形，利用这个性质先落实相邻侧面所成二面的平面角，先计算侧棱长为，然后利用底面边长和侧棱长在两个重要的直角三角形中，计算出高为，斜高为．。

2010届高三数学专项复习题：向量一、判断题1．判断下列命题真假①平行向量一定方向相同．②共线向量一定相等．③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等的向量．④不相等的向量，则一定不平行．⑤非零向量的单位向量是．2．判断下列各命题是否正确①若，则．②若、、、是不共线的四点，则是四边形是平行四边形的充要条件．③若，，则．④两向量、相等的充要条件是⑤是向量的必要不充分条件．⑥的充要条件是与重合、与重合．二、选择题3．如图，四边形，其中，则相等的向量是（）A．与 B．与C．与 D．与4．下列命题中，正确的是（）A． B．C． D．5．下列各命题中假命题的个数为（）①向量的长度与向量的长度相等．②向量与向量平行，则与的方向相同或相反．③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同．④两个有共同终点的向量，一定是共线向量．⑤向量与向量是共线向量，则点、、、必在同一条直线上．⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段．A．2 B．3 C．4D．56．在下列各结论中，正确的结论为（）①两向量共线且模相等是这两个向量相等的必要不充分条件；②两向量平行且模相等是这两个向量相等的既不充分也不必要条件；③两向量方向相同且模相等是这两个向量相等的充分条件；④两向量方向相反且模不相等是这两个向量不相等的充分不必要条件．A．①、③ B．②、④ C．③、④ D．①、③、④7．下列命题，真命题的个数为（）①两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同．②若非零向量与是共线向量，则、、、四点共线．③若且，则．④四边形为平行四边形的充要条件是．A．0 B．1 C．2 D．38．在矩形中，，、分别为和的中点，则在以、、、、、为起点和终点的所有向量中，相等向量的对数为（）A．9 B．11 C．18 D．249．下列各命题为真命题的有（）①物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量．②温度有零上温度和零下温度，因此温度也是向量．③方向为南偏西的向量与北偏东的向量是共线向量．④坐标平面上的轴和轴都是向量．A．个 B．2个 C．3个 D．4个三、填空题10．如图，、是线段的三等分点，分别以图中各点为起点和终点，最多可以写出__________个互不相等的非零向量．11．如下图，等腰三角形中，、分别是腰、靠近顶点的三等分点．若，则．四、解答题12．如右图，在以正方体的顶点为起点、终点的向量中，（1）写出所有与相等的向量；（2）写出所有与相反的向量；（3）写出与相等及相反的向量；（4）写出所有与共线的向量．13．在直角坐标系中，画出下列向量：（1），的方向与轴正方向的夹角为，与轴正方向的夹角为；（2），的方向与轴正方向的夹角为，与轴正方向的夹角为；（3），的方向与轴正方向的夹角为，与轴正方向的夹角为．参考答案1．（1）假命题（2）假命题（3）真命题（4）假命题（5）真命题2．（1）不正确（2）正确（3）正确（4）不正确（5）正确（6）不正确3．D 4．C 5．C 6．D 7．B 8．D 9．B ①真命题．作用力与反作用力是一对大小相同方向相反的向量，因而它们是一对共线向量．②假命题．因为零上和零下并不代表方向．③真命题．因为南偏西的向量恰好为北偏东的向量的反方向（如图），所以它们共线．④假命题．因为虽然轴和轴有方向，但无长度（或者说无法测得它们的长度，也无法确定它们的起点与终点），故它们不是向量．综上所述，在四个命题中，真命题有①③两个，故应选择B．10．611．212．（1）、、是与相等的向量；（2）、、、是与相反的向量；（3）与相等，、与相反；（4）、、、、、、与共线．13．。

课题柱体、锥体的外接球
授课人大庆市第四中学靖晶课型复习课
授课班级高三（3）班授课时间2021年12月13日
教学目标1.掌握确定柱体（圆柱与直棱柱）、棱锥（三棱锥、四棱锥）外接球球心位
置的一般方法;
2.掌握确定柱体（圆柱与直棱柱）、棱锥（三棱锥、四棱锥）外接球半径的
计算方法
教学重点确定柱体（圆柱与直棱柱）、棱锥外接球球心的位置及计算其外接球半径教学难点一般棱锥外接球球心位置的确定
教学手段白板辅助教学
教法与学法启发，讨论，归纳总结
教学程序
【知识梳理】
常用球的性质：
性质1 球心和球面上所有点连线的距离，等于
性质2 球心与截面圆圆心连线于截面
性质3 球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半
径r, 有下面的关系:
常用特殊几何体与球基本元素的关系：
1设长方体的长、宽、高分别为a,b,c,其外接球直径为
2三条侧棱两两垂直的三棱锥，设三条侧棱长分别为a,b,c，其外接球直径为
3三组对棱长分别相等的三棱锥，对棱长分别为a,b,c,则该棱锥的外接球直径
为
A。

9.6（A）棱柱、棱锥、多面体课时提升作业文一、选择题1.给出下列命题:①底面是正多边形的棱锥是正棱锥;②侧棱都相等的棱锥是正棱锥;③侧棱和底面成等角的棱锥是正棱锥;④侧面和底面所成二面角都相等的棱锥是正棱锥,其中正确命题的个数是( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)32.如果三棱锥S - ABC的底面是不等边三角形,侧面与底面所成的二面角都相等,且顶点S在底面的射影O在△ABC内,那么O是△ABC的( )(A)垂心 (B)重心 (C)外心 (D)内心3.已知三棱锥D- ABC的三个侧面与底面全等,且AB=AC=错误!未找到引用源。

,BC=2,则以BC 为棱,以面BCD与面BCA为面的二面角的大小是( )(A)错误!未找到引用源。

(B)错误!未找到引用源。

(C)错误!未找到引用源。

(D)错误!未找到引用源。

4.将一个边长为a的正方体,切成27个全等的小正方体,则表面积增加了( )(A)6a2 (B)12a2 (C)18a2 (D)24a25.(2013·西城模拟)侧面都是直角三角形的正三棱锥,底面边长为a时,该三棱锥的表面积是( )(A)错误!未找到引用源。

a2 (B)错误!未找到引用源。

a2(C)错误!未找到引用源。

a2 (D)错误!未找到引用源。

a26.如图,在多面体ABCDEF中,已知面ABCD是边长为3的正方形,EF∥AB,EF=错误!未找到引用源。

,EF到面AC的距离为2,则该多面体的体积为( )(A)错误!未找到引用源。

(B)5 (C)6 (D)错误!未找到引用源。

7.如图,直三棱柱ABB1- DCC1中,∠ABB1=90°,AB=4,BC=2,CC1=1,DC上有一动点P,则△APC1周长的最小值为( )(A)5+错误!未找到引用源。

(B)5-错误!未找到引用源。

(C)4+错误!未找到引用源。

(D)4-错误!未找到引用源。

8.(2013·成都模拟)在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,顶点B1到对角线BD1和到平面A1BCD1的距离分别为h和d,则下列命题中正确的是( )(A)若侧棱的长小于底面的边长,则错误!未找到引用源。