高三数学选修2-2(苏教版)思维导图

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1 .微 积 分基本定理
(1)定理内容:一般地,如果 f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且 F'(x)=f(x),
那么
������ ������
f(x)dx=F(b)-F(a).
这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿—莱布尼茨公式.
(2)符号表示:
������
2 1
=
32.
答 案 :32
1
2
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X Z D 新知导学 INZHIDAOXUE
重难探究
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2.定积分和曲边梯形面积的关系 设曲边梯形在 x 轴上方的面积为 S 上,在 x 轴下方的面积为 S 下,则
f(x) (1)当曲边梯形在
x
2
2������ + π
6
'=12cos
2������ + π
6
· 2������ + π
6
'=cos
2������ + π
6
,
∴
π
2
0
cos
2������ + π
6
dx=12sin
2������ + π
6
=12
sin 2 × π + π
26
-sin
2× 0+π
6
π 2
0=12
sin
7π 6
-sin
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y 5
5
O
x
–5
图形: 以原点为圆心,5为半径的圆上
满足3<|z|<5(z∈C)
的复数z对应的点在
复平面上将构成怎样
的图形？
–5 –3
设z=x+yi(x,y∈R)
y 5
3
35
O5
x
3 x2 y2 5
9 x2 y2 25
–3
–5
图形: 以原点为圆心,半径3至5的圆环内
有序实数对(a,b)
一一对应
复数z=a+bi
直角坐标系中的点Z(a,b)
（数）
（形）
z=a+bi Z(a,b)
y 建立了平面直角坐标
系来表示复数的平面
b
------复数平面
(简称复平面)
a
ox
x轴------实轴
y轴------虚轴
D 例1.(1)下列命题中的假命题是（）
(A)在复平面内，对应于实数的点都 在实轴上； (B)在复平面内，对应于纯虚数的点 都在虚轴上； (C)在复平面内，实轴上的点所对应 的复数都是实数； (D)在复平面内，虚轴上的点所对应 的复数都是纯虚数。
(5)z5=4a-3ai(a<0) (－5a)
思考：
(1)满足|z|=5(z∈R)的z值有几个？
(2)这些复数对应的点在复平面上构成 怎样的图形？
满足|z|=5(z∈C) 的复数z对应的点在 复平面上将构成怎 样的图形？
–5
设z=x+yi(x,y∈R)
| z | x2 y2 5
x2 y2 25
∴(m2+m-6)-2(m2+m-2)+4=0，

1 4 4 7 7 10
(3n

1 2)(3n

1)
,,
计算S1
,
S
2
,
S3
,
S4
,
根据计算结果
,
猜想S
的表达式
n
,
并证明.
例题讲解
例 3．数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 Sn = 2n - an (n∈N*). （1）计算 a1，a2，a3，a4 的值； （2）猜想数列{an}的通项公式并证明.
4
.
请你写出一个具有一般性的等式，使你写出
的等式包含了已知的等式，这个等式是
课堂练习
1．观察 1 = 1，1 +3 = 4，1 +3 +5 = 9， 1 + 3 + 5 + 7 = 16，…，猜想一般结论为 1 3 5 (2n 1) n2
2．已知等式 sin230°+ sin230°+ sin30°·sin30°
课堂练习
1．观察 1 = 1，1 +3 = 4，1 +3 +5 = 9， 1 + 3 + 5 + 7 = 16，…，猜想一般结论为 1 3 5 (2n 1) n2
2．已知等式 sin230°+ sin230°+ sin30°·sin30°
3
=4
，sin240°+ sin220°+ sin40°·sin20°= 3
公式；
（2）用数学归纳法证明你 的猜想.
练习：《学案》P87 第 1 ~ 8 题.
例题讲解
例 6.在各项为正的数列{an}中，数列的前

i．
①(1 ± i)2 = ±2i；
②1+i = i；1−i = −i；
1−i
1+i
③������ + ������i = i(������ − ������i)，
如3+4i = i(4−3i) = i；
4−3i 4−� = ������ + ������i、复平面内点 Z(������, ������)、向量���⃗⃗���⃗⃗���⃗��� = (������, ������)的一一对应关系； 复数模的几何意义：|������| = |������ + ������i| = √������2 + ������2 = |���⃗⃗���⃗⃗���⃗���|
2.对数的运算性质(������>0，且������ ≠1，������>0，������>0)：①log������(������ ∙ ������) = log������������ + log������������；
简易逻辑
命题
关系
原命题：若 p 则 q
互否
否命题：若p 则q
互逆
互为逆否 等价关系
互逆
逆命题：若 q 则 p
互否
逆命题：若q 则p
充分条件、必要条件、充要条件 若������ ⇒ ������，则������是������的充分条件，������是������的必要条件
复合命题 量词
或：p q 且：p q 非： p 全称量词 存在量词
2
映射
函数
函数图象 及其变换
第二部分 函数、导数及微积分
������: ������ → ������：一对一，或多对一

y 5
5
O
x
z x2 y2 5
–5
x -5 -4 -3 0 3 4 5
y 0 3 4 5 4 3 0
虚轴上； (C)在复平面内，实轴上的点所对应的复
数都是实数； (D)在复平面内，虚轴上的点所对应的复
数都是纯虚数。
2．“a=0”是“复数a+bi (a , b∈R)所对应的
点在虚轴上”的（ C）。
(A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件
(C)充要条件
(D)不充分不必要条件
例2已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在 复平面内所对应的点位于第二象限，求 实数m允许的取值范围。
推广到复数集？ (2)从复数的特点出发，寻找复数集新
的(实数集所不具有)性质和特点？
复数的几何意义
问题一 问题二 问题三 问题四 课堂小结
问题一：
对于复数a+bi和c+di(a,b,c,d ∈ R)， 你认为满足什么条件时，可以说这两个 复数相等？ a=c,并且b=d，即实部与虚部分别 相 等时，叫这两个复数相等。
x (几何模型)
你能否找到用来表示复数的几何模型呢？
有序实数对(a,b)
一一对应
复数z=a+bi
（数）
y
z=a+bi
Z(a,b)
b
直角坐标系中的点Z(a,b) （形）
建立了平面直角坐标 系来表示复数的平面
------ 复平面
a
ox
概念辨析
例题
x轴------实轴 y轴------虚轴
实数绝对值的几何意义: 复数的绝对值
变式：证明对一切m，此复数所对应的 点不可能位于第四象限。

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2.3数学归纳法
第一课时
对于某类事物，由它的一些特殊事 例或其全部可能情况，归纳出一般 结论的推理方法，叫归纳法。
｛ 归纳法
完全归纳法 不完全归纳法
特点: 由特殊
一般

a2=a1+d
a3=a1+2d
an=a1+(n-1)d
a4…=a…1+3d1+3+5+…+(2n-1)=n2 (n∈N*)
请问： 第②步中“当n=k+1时”的证明可否改换为：
1+3+5+……+(2k-1)+[2(k+1)-1]= 1+3+5+……+(2k-1)+(2k+1)
= （k +1)[1+ (2k +1)] = (k+1)2 ?为什么？
2
例3:用数学归纳法证明
12 + 22 + 32 + + n2 = n(n + 1)(2n + 1) 6
练习、求证:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n• 1• 3•…•(2n-1)
证明：① n=1时：左边=1+1=2，右边=21•1=2，左边=右边，等 式成立。
② 假设当n=k((k∈Nk≥1）时有： (k+1)(k+2)…(k+k)=2k• 1• 3•…• (2k-1), 当n=k+1时：
左边=(k+2)(k+3)…(k+k)(k+k+1)(k+k+2)
时情况则有待利用假设及已知的定义、公式、

2
课堂练习：
练习： 已知 f (x) x ，求曲线 y f (x)在
即xQ无限趋近于2时，kPQ无限趋近于常数4．
O2x
从而曲线f(x)＝x2在点(2，4)处的 切线斜率为4．
解：设P(2，4)，Q(xQ，xQ2)解，：设P(2，4)，Q(2＋Δx，(2＋Δx)2)， 则割线PQ的斜率为：
则割线PQ的斜率为：
kPQ＝
xQ 2－4 xQ－2
令xQ－2＝x，
y=f(x)
你在解本题的过程中有没有发现什么？
y
f(x2)
f
(
x2 )－f ( x2－x1
x1
)
＝
y x
＝k
你能解释为什么会出现这一现象吗？
f(x1)
O
B
△ y
A △x
x1
x2 x
一次函数y＝kx＋b在区间[m，n]上的平均变化率等 于斜率k．
例4 已知函数 f ( x)＝x2 ，分别计算f ( x) 在下
列区间上的平均变化率：
3
（1）[1，3]； 4
（2）[1，2]；
（3）[1，1.1]； 2.1 （4）[1，1.001]； 2 .0 0 1
函数在[1，1＋x] 的平均变化率：
y
f (1＋x)－f (1) (1＋x)－1
＝ (1＋x)2－12 x
＝ x2＋2x x
＝2＋x
多算几次，找找规律
当△x无限趋近于0时，
割线逼近切线，割线斜率 逼近切线斜率．
当Δx无限趋近于0时， kPQ无限趋近于常数2， 从而曲线f(x)＝x2＋1 在点x＝1处的切线斜率为2．
y y = f(x)
Q 割线
切线
f (x0+x) f (x0)

交集，并集，补集 或，且，非运算
有限
无限
六、课后作业： 完成课本P66练习1—4
Sn具有P, (S1,S2,…,Sn是A类事物的对象）
所以A类事物具有P
3、归纳推理的步骤:
实验观察 大胆猜想 检验猜想
1，3，5，7，…，由此你猜想出第 n 个数是__2_n__1__.
例.观察下图发现： 1=12
1+3=4＝22 1+3+5=9＝32 1+3+5+7=16＝42 1+3+5+7+9=25＝52
的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=r2
径的球的方程为
(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2
3、进行类比推理的步骤：
(1)找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；
(2)用一类对象的已知特征去猜测另一类对象的特征， 从而得出一个猜想； (3)检验这个猜想.
观察、比较 联想、类推
猜想新结论
例如用１６进位制表示Ｅ+Ｄ＝１Ｂ，则 Ａ×Ｂ＝（ Ａ ）
Ａ．６E Ｂ．７２ Ｃ．５Ｆ Ｄ．０Ｂ
例3:(2001年上海)已知两个圆①x2+y2=1:与 ②x2+(y-3)2=1,则由①式减去②式可得上述两 圆的对称轴方程.将上述命题在曲线仍然为 圆的情况下加以推广,即要求得到一个更一 般的命题,而已知命题应成为所推广命题的 一个特例,推广的命题为：-设---圆--的---方--程---为---①------(b-x≠----ad-)-)2-+,-(-则-y--由-b--)①-2-=-式r-2-减与---去②--②-(-x-式--c--可)-2-+得-(--y上---d述--)-2两-=-r-圆2-（-的-a--≠对---称c-或-轴--

4 x ( 3 x 2) ( 2 x 3) 3
2
18 x 8 x 9 3 2 法二： y (6 x 4 x 9 x 6) 3 ⅱ 2 = (6 x ) - (4 x ) + (9 x)ⅱ -6
2
18 x 8 x 9
2
•
法则4:两个函数的商的导数，等于分子
' ' '
(2)[ f ( x) g ( x)]' f ' ( x) g ' ( x) (3)[Cf ( x)]' Cf ' ( x)(C为常数) (4)[ f ( x)g ( x)]' f ' ( x) g ( x) f ( x) g ' ( x)
f ( x) ' f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) (5)[ ] 2 g ( x) g ( x)
[ f ( x) g ( x)] f ( x) g ( x) f ( x) g ( x).
•
例2： (1)求函数h( x) x sin x的导数. (2)求函数f ( x) 2 x ln x的导数.
解 : (1)h( x) ( x sin x) x sin x x(sin x) sin x x cos x
' '
•
练习:
1.求下列函数的导数:
(1) y (2 x 1)(3 x 2)
(3) y 2 x 2 ln x
x x (2) y 1 sin cos 2 2 x (4) y 2x 3
2.求下列函数的导数:
(1) y (tan x)x
1 (3) y e 2 x

（1）与已知条件矛盾；
（2）与已有公理、定理、定义矛盾；
（3）自相矛盾。
(2)应用反证法的情形
(1)直接证明困难; (2)需分成很多类进行讨论． （3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个” “否定”类命题； （4）结论为 “唯一”类命题；
间接证明（例题选讲）
例1.求证:若一个整数的平方是偶数,则这个数也是偶 数. 证: 假设这个数是奇数,可以设为 2k+1, 则有 而 不是偶数
这与原命题条件矛盾.
所以假设不成立，原命题成立。
例2 已知a≠0，证明x的方程ax=b有且只有 一个根。
例3 已知： 求证： （ 1） （ 2） 中至少有一个不小于 .
间接证明（练习）
2.设函数
，求证：
中至少有一个不小于1.
反证法的思维方法：
正难则反
间接证明（基本概念）
反证法的过程包括以下三个步骤： （1） 反设——假设命题的结论不成立，即假定 原命题的反面为真； （2） 归谬——从反设和已知条件出发，经过一 系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果； （3） 存真——由矛盾结果，断定反设不真，从 而肯定原结论成立.
注:(1)归缪矛盾：
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2.2.2间接证明
间接证明（问题情境）
间接证明（基本概念）
间接证明是不同于直接证明的又一类
证明方法. 反证法是一种常用的间接证明方法.
否定结论 导致矛盾 否定命题不成立 合理的推理 原结论成立
反证法：
ห้องสมุดไป่ตู้
假设命题结论的反面成立，经过正确的 推理,引出矛盾，因此说明假设错误,从而 证明原命题成立,这样的的证明方法叫反 证法。

1．类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性 质的猜想．
2．若数列 {an}为等差 数列 ，且am＝ x，an＝y(m≠n，m，
n∈N＋)，则am＋n＝
mx－ny m－n
．现已知数列{bn}(bn＞0，n∈N＋)
为等比数列，且bm＝x，bn＝y(m≠n，m，n∈N＋)，类比以
上结论，可得到什么结论？你能说明结论的正确性吗？
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高中数学 选修2-2
一、复习引入
1．什么叫推理?推理由哪几部分组成? 2．合情推理的主要形式有和. 3．归纳推理是从事实中概括出结论的一种推理模2＋ 2＝2 2， 3＋3＝3 3， 4＋ 4 ＝4 4 ，
（a，b3均为3实数）8，请8推测a＝15 ，b1＝5 ．
六、课堂总结
1．类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共 同或相似性质．类比的性质相似性越多，相似的性质与推 测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越 可靠．
2．类比推理的一般步骤： （1）找出两类事物之间的相似性或者一致性． （2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一
类比推理的一般步骤： ⑴ 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征； ⑵ 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得
出一个猜想； ⑶ 检验猜想．
四、数学运用
例1 （G．波利亚的类比）类比实数的加法与乘法，并列 出它们类似的性质．
四、数学运用
例2 试将平面上的圆与空间的球进行类比.
五、学生探究
个明确的命题（猜想）．
七、课后作业
教材第68页练习第1题，第2题，第3题，第4题．
（1）a＝b a＋c＝b＋c 猜想 a＞b a＋c＞b＋c （2）a＝b ac＝bc 猜想 a＞b ac＞bc （3）a＝b a2＝b2 猜想 a＞b a2＞b2