高考数学二轮复习 9 三角变换、平面向量与解三角形课件 文

53、 伟 大 的 事 业，需 要决心 ，能力 ，组织 和责任 感。 ——易 卜 生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特
55、 为 中 华 之 崛起而 读书。 ——周 恩来
高三数学二轮专题复习课件：三角变 换与解三角形
36、“不可能”这个字(法语是一个字 )，只 在愚人 的字典 中找得 到。--拿 破仑。 37、不要生气要争气，不要看破要突 破，不 要嫉妒 要欣赏 ，不要 托延要 积极， 不要心 动要行 动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要 素。(注 意：传 统观念 认为勤 奋和机 会是成 功的要 素，但 是经过 统计学 和成功 人士的 分析得 出，乐 观是成 功的第 三要素 。
39、没有不 40、对时间的价值没有没有深切认识 的人， 决不会 坚韧勤 勉。
谢谢！
51、 天 下 之 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭

3．已知 tanα＋π4＝12，且－π2<α<0，则
2sicno2sαα＋－siπ4n2α等于(
)
A．－2 5 5 B．－3105
C．－3
10 10
D．2 5 5
解析 由 tanα＋π4＝t1a－nαt＋anα1＝12，得 tanα＝－13.
又－π2<α<0，所以
□ 推论：cosA＝
04 b2＋c2－a2 2bc
，
□05 a2＋c2－b2
cosB＝
2ac
，
□06 a2＋b2－c2
cosC＝
2ab
.
6．面积公式
□ □ □ S△ABC＝
01
1 2bcsinA
＝
02
1 2acsinB
＝
03
1 2absinC
.
7．常用结论
□ (1)三角形内角和 01 A＋B＋C＝π ； □ □ (2)a>b>c⇔ 02 A>B>C ⇔ 03 sinA>sinB>sinC ； □ □ (3) 04 sin(A＋B)＝sinC ， 05 cos(A＋B)＝－cosC .
□ tan2α＝
05
2tanα 1－tan2α
；
□ □ cos2α＝
06 1＋cos2α 2
，sin2α＝
07
1－cos2α 2
.
3．辅助角公式
□01
asinα＋bcosα＝
a2＋b2sin(α＋φ)tanφ＝ba .
4．正弦定理
□01 sianA＝sibnB＝sincC＝2R(2R 为△ABC 外接圆的直径)． □ □ □ 变形：a＝ 02 2RsinA，b＝ 03 2RsinB，c＝ 04 2RsinC .

考点一
考点一 考点二 考点三
试题 通解 优解
[自主突破·提速练]
1．若 tan α＝－ 22，且 α 是第四象限角，则 cos2(α－π2)＋sin(3π－
α)cos(2π＋α)＋ 22cos2(α＋π)＝( D )
A．－
2 3
C．－13
B.
2 3
1 D.3
考点一
试题 通解 优解
考点一 考点二 考点三
α＝13＋－
3× 3
36＋
32＝13，故选
D.
考点一
试题 通解 优解
考点一 考点二 考点三
因为 α 是第四象限角，tan α＝－ 22，故 cos2(α－π2)＋sin(3π－
α)cos(2π＋α)＋
22cos2(α＋π)＝sin2
α＋sin
αcos
α＋
2 2
cos2
α＝
sin2
α＋sin αcos α＋ 22cos2 sin2 α＋cos2 α
第二讲 三角恒等变换与解三角形
考点一 三角恒等变换
试题 解析
考点一 考点二 考点三
1．(2016·高考全国Ⅲ卷)若 tan α＝34，则 cos2 α＋2sin 2α＝( A )
A.6245
B.4285
C．1
D.1265
考点一
试题 解析
考点一 考点二 考点三
利用同角三角函数的基本关系式求解． 因为 tan α＝34，则 cos2 α＋2sin 2α＝coss2inα2＋α4＋sicnoαs2coαs α＝ 1ta＋n24tαa＋n 1α＝1＋3424＋×134＝6245.故选 A.
试题 解析
(1)由已知及正弦定理得 2cos C(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin C， 即 2cos Csin(A＋B)＝sin C，故 2sin Ccos C＝sin C.

专题限时集训(十) 三角恒等变换与解三角形(建议用时：45分钟)1．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，cos α＝35，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________. －17 [由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0知，sin α<0，所以sin α＝－1－cos 2α＝－45，tan α＝sin αcos α＝－43， 所以tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝－17.]2．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝45，则tan x ＝________.－7 [由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝35，sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝45得sin x ＋cos x ＝325，sin x －cos x ＝425，从而sin x ＝7210，cos x ＝－210，所以tan x ＝sin xcos x ＝－7.]3．若θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，sin 2θ＝378，则sin θ＝________.34 [∵θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，∴2θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，故cos 2θ≤0，∴cos 2θ＝－1－sin 22θ＝－1－⎝⎛⎭⎪⎫3782＝－18. 又cos 2θ＝1－2sin 2θ，∴sin 2θ＝1－cos 2θ2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－182＝916，∴sin θ＝34.]4．在△ABC 中，BC ＝3，AC ＝2，A ＝π3，则B ＝________.π4 [由正弦定理可得，BC sin A ＝AC sin B ，即3sinπ3＝2sin B ，解得sin B ＝22，因为B ＋C ＝π－A ＝2π3，所以0<B <2π3，则B ＝π4.] 5．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝14，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝________. －78 [cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－⎝⎛⎭⎪⎫1－2×116＝－78.]6．已知sin α＝12＋cos α，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4的值为________．－142 [sin α＝12＋cos α，即sin α－cos α＝12，两边平方得，sin 2α＝34>22，而α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos 2α＝－1－sin 22α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝－74，所以cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos 2α22sin α－cos α＝－7422×12＝－142.]7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积等于________．332[∵c 2＝(a －b )2＋6，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.① ∵C ＝π3，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－ab ，②由①和②得ab ＝6，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.]8．(2016·无锡期末)已知sin(α－45°)＝－210且0°＜α＜90°，则cos 2α的值为________．725[∵0°＜α＜90°， ∴－45°＜α－45°＜45°.∴cos(α－45°)＝1－sin2α－45°＝7210， ∴cos 2α＝sin(90°－2α)＝2sin(45°－α)cos(45°－α)＝725.]9．(2016·苏州期中)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若tan A ＝2tanB ，a 2－b 2＝13c ，则c ＝________.1 [∵tan A ＝2tan B ，∴sin A cos A ＝2sin Bcos B ，∴sin A cos B ＝2cos A sin B ，∴a ·a 2＋c 2－b 22ac ＝2b ·b 2＋c 2－a 22bc，整理得3a 2－3b 2＝c 2. 又a 2－b 2＝13c ，故c ＝c 2，解得c ＝1或0(舍去)．]10．在△ABC 中，若sin(A －B )＝1＋2cos(B ＋C )sin(A ＋C )，则△ABC 的形状一定是________三角形．直角 [因为sin(A －B )＝1＋2cos(B ＋C )sin(A ＋C )＝1－2cos A sin B ，又sin(A －B )＝sin A cos B －cos A sin B ＝1－2cos A sin B ，所以sin A cos B ＋cos A sin B ＝1，即sin(A ＋B )＝1，所以A ＋B ＝π2，故三角形为直角三角形．]11．已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2，则β＝________.π3 [因为0<β<α<π2，所以0<α－β<π2，又因为cos α＝17，cos(α－β)＝1314，所以sin α＝437，sin(α－β)＝3314，所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝437×1314－17×3314＝32，所以β＝π3.]12．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ，满足ba ＋c ＋ca ＋b≥1，则角A的范围是________．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3 [由b a ＋c ＋c a ＋b ≥1，得b (a ＋b )＋c (a ＋c )≥(a ＋c )(a ＋b )，化简得b 2＋c 2－a 2≥bc ，即b 2＋c 2－a 22bc ≥12，即cos A ≥12(0<A <π)，所以0<A ≤π3.]13．(2016·济南模拟)在锐角三角形ABC 中，若C ＝2B ，则AB AC的范围是________．【导学号：19592031】(2，3) [设△ABC 三内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，则有AB AC ＝c b ＝sin Csin B＝sin 2B sin B＝2cos B . 又∵C ＝2B <π2，∴B <π4.又A ＝π－(B ＋C )＝π－3B <π2，∴B >π6，即π6<B <π4，∴22<cos B <32，2<2cos B < 3.] 14．(2016·保定模拟)已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且tan B ＝2－3a 2－b 2＋c 2，BC →·BA →＝12，则tan B ＝________. 2－3 [由题意得，BC →·BA →＝|BC →|·|BA →|cos B ＝ac cos B ＝12，即cos B ＝12ac，由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12ac⇒a 2＋c 2－b 2＝1，所以tan B ＝2－3a 2－b 2＋c 2＝2－ 3.]15．(2016·盐城三模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若△ABC 为锐角三角形，且满足b 2－a 2＝ac ，则1tan A －1tan B的取值范围是________．⎝⎛⎭⎪⎫1，233 [∵b 2－a 2＝ac ，∴b 2＝a 2＋ac .又b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， ∴a 2＋ac ＝a 2＋c 2－2ac cos B ， ∴c ＝2a cos B ＋a ，∴sin C ＝2sin A cos B ＋sin A ， ∴sin(A ＋B )＝2sin A cos B ＋sin A ， ∴sin(B －A )＝sin A ， ∵△ABC 为锐角三角形， ∴B －A ＝A ，即B ＝2A .由⎩⎪⎨⎪⎧0＜A ＜π2，0＜B ＜π2，0＜C ＜π2，可得π6＜A ＜π4，π3＜B ＜π2.∴1tan A －1tan B ＝cos A sin A －cos Bsin B＝sin B －A sin A sin B＝sin A sin A sin B ＝1sin B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，233.]16．(2016·江苏高考)在锐角三角形ABC 中，若sin A ＝2sin B sin C ，则tan A tan B tanC 的最小值是________．8 [在锐角三角形ABC 中，∵sin A ＝2sin B sin C ， ∴sin(B ＋C )＝2sin B sin C ，∴sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B sin C ，等号两边同除以cos B cos C ，得tanB ＋tanC ＝2tan B tan C .∴tan A ＝tan[π－(B ＋C )]＝－tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C tan B tan C －1＝2tan B tan C tan B tan C －1.①∵A ，B ，C 均为锐角，∴tan B tan C －1>0，∴tan B tan C >1， 由①得tan B tan C ＝tan Atan A －2.又由tan B tan C >1得tan Atan A －2>1，∴tan A >2.∴tan A tan B tan C ＝tan 2Atan A －2＝tan A －22＋4tan A －2＋4tan A －2＝(tan A －2)＋4tan A －2＋4≥24＋4＝8，当且仅当tan A －2＝4tan A －2，即tan A＝4时取得等号．故tan A tan B tan C 的最小值为8.]。

＋cos2 α＝1 可得 cos2 α＝23，cos α＝ 36，sin α＝－ 33.cos2α－π2
二 考点三
＋sin(3π－α)cos(2π＋α)＋
22cos2(α＋π)＝sin2
α＋sin
αcos
α＋
2 2
cos2
α＝13＋－
3× 3
36＋
32＝13，故选
D.
第十六页，共46页。
考点(kǎo diǎn)一
考点三
α＝(α－β)＋β 等； (3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次；
(4)弦、切互化：一般是切化弦．
第十四页，共46页。
考点(kǎo diǎn)一
考点一 考点二 考点三
试题(shìt通í)解(tōngji优ě)解
[自主突破·提速练]
1．若 tan α＝－ 22，且 α 是第四象限角，则 cos2(α－π2)＋sin(3π－
＝－3 52.
第十九页，共46页。
考点(kǎo diǎn)一
试题 通解 优解
考点(kǎo diǎn) 因为54π<x<74π，所以 π<x－π4<32π，
一 考点(kǎo diǎn)
又 cosπ4－x＝－45，所以 cosx－π4＝－45，
二
考点三
sinx－π4＝－35，所以 sin x－cos x
考点(kǎo diǎn)一
考点一 考点二 考点三
试题(shìt解í)析(jiě
先利用二倍角公式展开，再进行“1”的代换，转化为关于 tan θ
的关系式进行求解．
∵cos
2θ＝ccooss22
θ－sin2 θ＋sin2
θθ＝11－ ＋ttaann22

又∵α，β为锐角，∴0＜α＋2β＜3π2 ，∴α＋2β＝3π4 .
高考热 点突破
误区警示：本题易出现α＋2β＝kπ＋（k∈Z）的错误，原因 是没注意到α＋2β的范围.
（1）已知某些相关条件，求角的解题步骤： ①求出该角的范 围；②结合该角的范围求出该角的三角函数值. （2）根据角的函数值求角时，选取的函数在这个范围内应是单 调的.
随堂讲义
专题二 三角函数、三角变换、解三角形、 平面向量
第二讲 三角变换与解三角形
栏 目 链 接
高考热 点突破 突破点1 两角和与差的三角函数的应用
如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，以 Ox 轴为始边作两个锐 角 α，β ，它们的终边分别与单位圆相交于 A，B 两点，已知 A，B
两点的横坐标分别为
＝ 1－cos2 α＝53，
所以 cos（α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β＝187×54－1157×53
＝－1835.
高考热 点突破 突破点2 正弦定理、余弦定理的应用
在△ABC 中，BC＝ 5，AC＝3，sin C＝2sin A.
（1）求边 AB 的长；
（2）求
sin2A－π4
高考热 点突破
解析：由题意知 AB＝5（3＋ 3），∠DBA＝90°－60°＝30°，
∠DAB＝45°，∴∠ADB＝105°.
∴sin 105°＝sin 45°·cos 60°＋sin 60°·cos 45°
π 4＝
22A＝
2，解得 A
＝2.
（2）f4α＋43π＝2cosα＋π3 ＋π6 ＝2cosα＋π2 ＝－2sin α
＝－3107，即 sin α＝1157，
f4β－32π＝2cosβ－π6 ＋π6 ＝2cos β＝85，即 cos β＝45. 因为 α，β∈0，π2 ，所以 cos α＝ 1－sin2 α＝187，sin β

2.(2013·课标全国Ⅰ,文 13)已知两个单位向量 a,b 的夹角为 60°,c=ta+(1-t)b.若 b·c=0,则 t= 2 .
解析:∵b· c=0,|a|=|b|=1,<a,b>=60°, ∴a·b=1×1×12 = 12. ∴b·c=[ta+(1-t)b]·b=0,
即 ta·b+(1-t)b2=0.
又
x∈
0,
π 2
,
从而 sin x=12.
所以 x=π6.
(2)f(x)=a·b= 3sin x·cos x+sin2x = 23sin 2x-12cos 2x+12
=sin
2������-
π 6
+ 12.
当 x=π3 ∈
0,
π 2
时,sin
2������-
π 6
取最大值 1.
所以 f(x)的最大值为32.
第 2 讲 三角变换、平面向量与解三角形
1.(2013·课标全国Ⅱ,文 6)已知 sin 2α=23,则 cos2
������
+
π 4
=(
A
)
A.16
B.13
C.12
D.23
解析:由半角公式可得,cos2
������ + π
4
=1+cos22������+π2
= 1-sin2������
2
=12-23 = 16.
=(������������ + ������������)·������������=(������������ + ������������ − ������������)·������������ =(2������������ − ������������)·������������=2������������2 − ������������·������������ =2×32=18.

例 1 若 sin θ＝－54，tan θ＞0，则 cos θ＝________． 解析：由已知 sin θ＝－45，tan θ＞0，知 θ 在第三象限， ∴cos θ＝－ 1－sin2 θ ＝－ 1－－452＝－35. 答案：－35
(1)三角函数线是研究三角函数性质的主要依据，在函 数值大小比较时经常运用．
则 cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝ccooss22θθ＋－ssiinn22θθ＝11＋－ttaann22θθ
＝－35.
例 2 设向量 a＝sin2π＋4 2x，cos x＋sin x，b＝(4sin x，cos x－sin x)，f(x)＝a·b.
(1)求函数 f(x)的解析式； (2)已知常数 ω>0，若 y＝f(ωx)在区间－π2 ，23π上是增函 数，求 ω 的取值范围；
(2)同角三角函数间的关系、诱导公式在三角函数式的 化简中起着举足轻重的作用，应注意正确选择公式及公式的 应用条件．
1．已知角 θ 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的正半轴重
合，终边在直线 y＝2x 上，则 cos 2θ＝(B)
A．－45
B．－53
3
4
C.5
D.5
解析：∵角 θ 的终边在直线 y＝2x 上，∴tan θ(x)＝Asin(ωx ＋φ)的解析式．
解析：由图象，知最大值为 3.则 A＝ 3.12T＝21π，故 ω
＝2.所求解析式为 y＝ 3sin(2x＋φ)．
∵点 Mπ3 ，0在图象上，∴φ＝－23π＋2kπ(k∈Z)．
取 φ＝－23π，∴所求解析式为 y＝ 3sin2x－23π.
根据三角函数的图象特征转化为求函数的周期、最值、 单调区间问题，并且用代数式表示．
2．已知 ω>0，0＜φ＜π，直线 x＝π4 和 x＝5π 4 是函数 f(x)＝sin(ωx

sin2α＝ □01 2sinαcosα
；
cos2α＝ □02 cos2α－sin2α ＝ □03 2cos2α－1 ＝ □04 1－2sin2α ；
tan2α＝ □05 1－2tatannα2α
；
cos2α＝ □06 1＋c2os2α，sin2α＝ □07 1－c2os2α .
□ 3．辅助角公式
a∶b∶c＝ □08 sinA∶sinB∶sinC
.
5．余弦定理
□ a2＝ 01 b2＋c2－2bccosA ，b2＝ □ c2＝ 03 a2＋b2－2abcosC .
□02 a2＋c2－2accosB ，
□ 推论：cosA＝
04
b2＋c2－a2 2bc
，
□ cosB＝
05
a2＋c2－b2 2ac
(2)由ssiinnCA＝2，得 c＝2a，
由余弦定理 b2＝a2＋c2－2accosB 及 cosB＝41，b＝2，
得 4＝a2＋4a2－4a2×41，得 a＝1，从而 c＝2.
又因为 cosB＝14，且 0<B<π，所以 sinB＝
15 4.
因此 S＝12acsinB＝21×1×2×
415＝
15 4.
角度 2 解三角形与平面几何知识的综合 例 4 如图，在平面四边形 ABCD 中，已知 A＝π2，B＝23π，AB＝6.在 AB 边上取点 E，使得 BE＝1，连接 EC，ED.若∠CED＝23π，EC＝ 7.
(1)求 sin∠BCE 的值； (2)求 CD 的长．
解 (1)在△BEC 中，由正弦定理，知sin∠BEBCE＝sCinEB.
1
PART ONE
核心知识回顾
1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式

6
6
2
例 1—2 若
7π
A.
4
5
10
sin2α= 5 ,sin(β-α)= 10 ,且
π
B.
4
π
3π
α∈[4 ,π],β∈[π, 2 ],则 α+β=(
4π
5π
C.
D.
3
3
A )
解析
因为
π
π
因为 α∈[4,π],所以 2α∈[2,2π].
5
π
π π
sin 2α= ,所以 2α∈[ ,π],即 α∈[ , ],
C.5
π
(θ-4 )的值等于(
2
tan
A )
D.6
π
2
1+
π
1+sin2
5
2
3
2
解析 由已知得 cos (θ- )=
=
=
= ,
4
2
2
2
6
π)
2
2 (-π)
1-cos(21sin
π
1-sin2
1
π
1
2
3
4
2
2
sin (θ-4)=
=
=
=
.故
tan
(θ)=
=
.
π
2
2
2
2
6
4 cos (- )
5
4
3 10
2 5 10
5
2
=()×(- )× = .
10
5
10
5
2
π π
3π
因为 α∈[4 , 2],β∈[π, 2 ],
5π