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板块三专题突破核心考点规范答题示例2解三角形典例2 (14分)aAABC中，角A 已知。
二3, cos A B 二A +申.⑴求b的值；(2)求AABC的面积.,B, C所对的边分别为o, b, c.审题路线图(1)利用同角公式、诱导公式f求得sin A, sinB-利用正弦定理求方(2)方法一|余弦定理求边c|f S二嘉csin B方法二|用和角正弦公式求sin C|f S二討sin C规范解答•分步得分解(1)在厶ABC中，由题意知，sinA =Ajl-cos2A = %，371 2).R 3><¥由正弦定理，得b二$血4二卫二3\13 b2 + c2 - cr (2)方法一由余弦定理，得cos A二一阪—=3， = cosA = f.兀71又因为B = A + 2,所以sin B - sin A +㊁3&,所以c2- + 9 = 0,解得c二书或3书,71又因为B二A +㊁为钝角，所以b>c,即c10分所以S^ABC - |^csin B = |x3X^3X ； _ ? •14分方法二因为sinB 二+ |>^,所以cos 5 =sin C = sin(A +B) = sin Acos B + cos Asin B = |,10分所以S^A BC= ^absin C」J.14分构建答题模板第一步找条件：寻找三角形中已知的边和角，确定转化方向.定工具：根据已知条件和转化方向，选择使用的定理和公式，实施边角之间的转化.I第三步求结果：根据前两步分析，代入求值得出结果.第四步再反思：转化过程中要注意转化的方向，审视结果的合理性.评分细则⑴第⑴问：没求sin A而直接求出sin B的值，不扣分；写出正弦定理，但b计算错误，得1分.(2)第(2)问：写出余弦定理，但c计算错误，得1分；求出c的两个值，但没舍去，扣2分；面积公式正确，但计算错误，只给1分；若求出sin C, 利用S二鼻bsinC计算，同样得分.跟踪演练2（2018-全国I）在平面四边形ABCD中，ZADC = 90°Z4 = 45°，AB = 2, BD = 5.⑴求cos ZADB;在△ABD中，由正弦定理得BDsin ZAABsin ZADB5即sin 45。
第2讲三角恒等变换与解三角形（文理)JIE TI CE LUE MING FANG XIANG解题策略·明方向⊙︱考情分析︱1．三角恒等变换是高考的热点内容，主要考查利用各种三角函数公式进行求值与化简,其中二倍角公式、辅助角公式是考查的重点，切化弦、角的变换是常考的内容．2．正弦定理、余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查：(1）边、角、面积的计算;（2）有关边、角的范围问题；(3)实际应用问题．⊙︱真题分布︱（理科)年份卷别题号考查角度分值202 0Ⅰ卷9、16三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值；利用余弦定理解三角形10Ⅱ卷17解三角形求角和周长的12（文科）KAO DIAN FEN LEI XI ZHONG DIAN考点分类·析重点考点一三角恒等变换错误!错误!错误!错误!三角恒等变换与求值1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1）sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β。
(2）cos(α±β）＝cos αcos β∓sin αsin β。
(3)tan(α±β)＝错误!。
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 2α＝2sin αcos α。
（2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.（3）tan 2α＝错误!.3．辅助角公式a sin x＋b cos x＝错误!sin(x＋φ）（其中tan φ＝错误!)典错误!错误!错误!典例1（1)（2020·全国Ⅱ卷模拟）cos2 40°＋2sin 35°sin 55°sin 10°＝（A)A．错误!B．错误!C．错误!＋错误!D．错误!(2)(2020·宜宾模拟）已知α∈错误!,且3sin2α－5cos2α＋sin 2α＝0，则sin 2α＋cos 2α＝（A)A．1B．－错误!C．－错误!或1D．－1（3）已知函数f（x）＝错误!cos x cos错误!＋sin2错误!－错误!.①求f（x)的单调递增区间;②若x∈错误!，f（x)＝错误!,求cos 2x的值．【解析】（1）原式＝cos240°＋2sin 35°cos 35°sin 10°＝cos240°＋sin 70°sin 10°＝12＋12cos 80°＋sin 70°sin 10°＝错误!＋错误!(cos 70°cos 10°－sin 70°sin 10°＋2sin 70°sin 10°）＝错误!＋错误!(cos 70°cos 10°＋sin 70°sin 10°）＝错误!＋错误!cos 60°＝34。
学习资料专题1 第2讲三角恒等变换与解三角形三角恒等变换及其应用授课提示：对应学生用书第17页考情调研考向分析三角恒等变换是三角变换的工具，主要考查利用两角和与差的三角函数公式、二倍角公式进行三角函数的化简与求值,重在考查化简、求值，公式的正用、逆用以及变式运用，可单独考查，也可与三角函数的图象和性质、向量等知识综合考查，加强转化与化归思想的应用意识．选择、填空、解答题均有可能出现,中、低档难度.1。
应用三角变换化简求值．2。
结合三角变换研究三角函数的图象和性质.[题组练透]1．若sin错误!＝错误!，则sin错误!＝（）A。
错误! B.错误!C.错误!D.错误!解析：由题意,根据诱导公式可得sin错误!＝cos 错误!＝cos错误!,又由余弦的倍角公式,可得cos错误!＝1－2sin2错误!＝1－2×错误!2＝错误!，即sin错误!＝错误!，故选D.答案：D2．(2019·三明质检)下列数值最接近错误!的是（)A.3cos 14°＋sin 14°B。
3cos 24°＋sin 24°C.错误!cos 64°＋sin 64°D。
错误!cos 74°＋sin 74°解析：选项A：错误!cos 14°＋sin 14°＝2sin(60°＋14°)＝2sin 74°;选项B：错误!cos 24°＋sin 24°＝2sin（60°＋24°)＝2sin 84°；选项C：错误!cos 64°＋sin 64°＝2sin（60°＋64°)＝2sin 124°＝2sin 56°;选项D：错误!cos 74°＋sin 74°＝2sin(60°＋74°)＝2sin 134°＝2sin 46°，经过化简后，可以得出每一个选项都具有2sin α，0°＜α＜90°的形式，要使得选项的数值接近2，故只需要sin α接近于sin 45°，根据三角函数y ＝sin x ，0°＜x ＜90°图象可以得出sin 46°最接近sin 45°,故选D 。
第2讲 三角恒等变换与解三角形高考定位 1.三角函数的化简与求值是高考的命题热点，其中同角三角函数的基本关系、诱导公式是解决计算问题的工具，三角恒等变换是利用三角恒等式(两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式)进行变换，“角”的变换是三角恒等变换的核心；2.正弦定理与余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查边、角、面积的计算及有关的范围问题.真 题 感 悟1.(2018·全国Ⅲ卷)若sin α＝13，则cos 2α＝( )A.89B.79C.－79D.－89解析 cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝79.答案 B2.(2018·全国Ⅲ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，则C ＝( ) A.π2B.π3C.π4D.π6解析 根据题意及三角形的面积公式知12ab sin C ＝a 2＋b 2－c 24，所以sin C ＝a 2＋b 2－c22ab＝cosC ，所以在△ABC 中，C ＝π4.答案 C3.(2018·浙江卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝7，b ＝2，A ＝60°，则sin B ＝________，c ＝________.解析 因为a ＝7，b ＝2，A ＝60°，所以由正弦定理得sin B ＝b sin A a ＝2×327＝217.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 可得c 2－2c －3＝0，所以c ＝3. 答案2173 4.(2017·浙江卷)已知△ABC ，AB ＝AC ＝4，BC ＝2.点D 为AB 延长线上一点，BD ＝2，连接CD ，则△BDC 的面积是________，cos ∠BDC ＝________.解析 依题意作出图形，如图所示， 则sin∠DBC ＝sin∠ABC .由题意知AB ＝AC ＝4，BC ＝BD ＝2， 则sin∠ABC ＝154，cos∠ABC ＝14. 所以S △BDC ＝12BC ·BD ·sin∠DBC ＝12×2×2×154＝152.因为cos∠DBC ＝－cos∠ABC ＝－14＝BD 2＋BC 2－CD 22BD ·BC ＝8－CD28，所以CD ＝10.由余弦定理，得cos∠BDC ＝4＋10－42×2×10＝104. 答案152104考 点 整 合1.三角函数公式(1)同角关系：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α.(2)诱导公式：对于“k π2±α，k ∈Z 的三角函数值”与“α角的三角函数值”的关系可按下面口诀记忆：奇变偶不变，符号看象限. (3)两角和与差的正弦、余弦、正切公式： sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； cos(α±β)＝cos αcos βsin αsin β；tan(α±β)＝tan α±tan β1tan αtan β.(4)二倍角公式：sin 2α＝2sin αcos α，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α.(5)辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中tan φ＝b a. 2.正弦定理、余弦定理、三角形面积公式 (1)正弦定理在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (R 为△ABC 的外接圆半径)；变形：a ＝2R sin A ，sin A ＝a 2R， a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C 等.(2)余弦定理在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc.(3)三角形面积公式S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B .热点一 三角恒等变换及应用【例1】 (1)(2018·全国Ⅰ卷)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A (1，a )，B (2，b )，且cos 2α＝23，则|a －b |＝( )A.15B.55C.255D.1(2)若tan α＝2tan π5，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝( )A.1B.2C.3D.4(3)如图，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点C ，B 在圆O 上，且点C 位于第一象限，点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，－513，∠AOC ＝α.若|BC |＝1，则3cos2α2－sin α2·cos α2－32的值为________. 解析 (1)由题意知cos α>0.因为cos 2α＝2cos 2α－1＝23，所以cosα＝306，sin α＝±66，得|tan α|＝55.由题意知|tan α|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －b 1－2，所以|a －b |＝55.故选B.(2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin αcos π5＋cos αsinπ5sin αcos π5－cos αsin π5＝tan αtan π5＋1tan αtanπ5－1＝2＋12－1＝3.(3)由题意得|OC |＝|OB |＝|BC |＝1，从而△OBC 为等边三角形，所以sin∠AOB ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝513，所以3cos2α2－sin α2cos α2－32＝3·1＋cos α2－sin α2－32＝－12sin α＋32cos α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝513.答案 (1)B (2)C (3)513探究提高 1.解决三角函数的化简求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示 (1)当已知角有两个时，“所求角”一般表示为“两个已知角”的和或差的形式； (2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.2.求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解. 【训练1】 (1)(2018·全国Ⅱ卷)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________.(2)(2017·北京卷)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若sin α＝13，则cos(α－β)＝________.(3)(2018·湖州质检)若cos(2α－β)＝－1114，sin(α－2β)＝437，0<β<π4<α<π2，则α＋β的值为________.解析 (1)∵sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0， ∴sin 2α＋cos 2β＋2sin αcos β＝1，① cos 2α＋sin 2β＋2cos αsin β＝0，② ①②两式相加可得sin 2α＋cos 2α＋sin 2β＋cos 2β＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＝1， ∴sin(α＋β)＝－12.(2)α与β的终边关于y 轴对称，则α＋β＝π＋2k π，k ∈Z ， ∴β＝π－α＋2k π，k ∈Z .∴cos(α－β)＝cos(α－π＋α－2k π) ＝－cos 2α＝－(1－2sin 2α)＝－⎝⎛⎭⎪⎫1－2×19＝－79. (3)因为cos(2α－β)＝－1114且π4<2α－β<π，所以sin(2α－β)＝5314.因为sin(α－2β)＝437且－π4<α－2β<π2，所以cos(α－2β)＝17.所以cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)]＝cos(2α－β)·cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β) ＝－1114×17＋5314×437＝12.因为π4<α＋β<3π4，所以α＋β＝π3.答案 (1)－12 (2)－79 (3)π3热点二 正、余弦定理的应用 [考法1] 三角形基本量的求解【例2－1】 (2018·全国Ⅰ卷)在平面四边形ABCD 中，∠ADC ＝90°，∠A ＝45°，AB ＝2，BD ＝5.(1)求cos∠ADB ； (2)若DC ＝22，求BC .解 (1)在△ABD 中，由正弦定理得BD sin∠A ＝AB sin∠ADB ，即5sin 45°＝2sin∠ADB，所以sin∠ADB ＝25. 由题设知，∠ADB <90°， 所以cos∠ADB ＝1－225＝235.(2)由题设及(1)知，cos∠BDC ＝sin∠ADB ＝25. 在△BCD 中，由余弦定理得BC 2＝BD 2＋DC 2－2·BD ·DC ·cos∠BDC＝25＋8－2×5×22×25＝25.所以BC ＝5.探究提高 1.解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则考虑两个定理都有可能用到.2.关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角恒等变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”.[考法2] 求解三角形中的最值问题【例2－2】 (2018·绍兴质检)已知a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，且a cosC ＋3a sin C －b －c ＝0.(1)求A ；(2)若a ＝2，求△ABC 面积的最大值.解 (1)由a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0及正弦定理得 sin A cos C ＋3sin A sin C －sin B －sin C ＝0. 因为B ＝π－A －C ，所以3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0. 易知sin C ≠0，所以3sin A －cos A ＝1，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝12.又0＜A ＜π，所以A ＝π3.(2)法一 由(1)得B ＋C ＝2π3C ＝2π3－B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜B ＜2π3，由正弦定理得a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2sinπ3＝43， 所以b ＝43sin B ，c ＝43sin C .所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×43sin B ×43sin C ·sin π3＝433sin B ·sin C ＝433·sinB ·sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝ 433⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin B cos B ＋12sin 2B ＝sin 2B －33cos 2B ＋33＝233sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6＋33. 易知－π6＜2B －π6＜7π6，故当2B －π6＝π2，即B ＝π3时，S △ABC 取得最大值，最大值为233＋33＝ 3.法二 由(1)知A ＝π3，又a ＝2，由余弦定理得22＝b 2＋c 2－2bc cos π3，即b 2＋c 2－bc ＝4bc＋4＝b 2＋c 2≥2bcbc ≤4，当且仅当b ＝c ＝2时，等号成立.所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×32bc ≤34×4＝3，即当b ＝c ＝2时，S △ABC 取得最大值，最大值为 3.探究提高 求解三角形中的最值问题常用如下方法：(1)将要求的量转化为某一角的三角函数，借助于三角函数的值域求最值.(2)将要求的量转化为边的形式，借助于基本不等式求最值. [考法3] 解三角形与三角函数的综合问题【例2－3】 (2018·嘉兴、丽水高三测试)已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋3(sin x ＋cos x )2.(1)求函数f (x )的最大值和最小正周期；(2)设△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，若a ＝2，c ＝7，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C 2＝3，求b 的值.解 (1)因为f (x )＝12cos 2x －32sin 2x ＋3(1＋sin 2x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋3，所以f (x )的最大值为1＋3，最小正周期T ＝π. (2)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋C ＋π6＋ 3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π6＋3＝3，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫C ＋π6＝0C ＝π3.由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 可得b 2－2b －3＝0， 因为b >0，所以b ＝3.探究提高 解三角形与三角函数的综合题，其中，解决与三角恒等变换有关的问题，优先考虑角与角之间的关系；解决与三角形有关的问题，优先考虑正弦、余弦定理.【训练2】 (2016·浙江卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b ＋c ＝2a cos B .。
